Este documento explica cómo representar gráficamente diferentes productos notables como el binomio cuadrado, la suma por su diferencia, el binomio al cubo y la diferencia de cubos. Describe dividir figuras geométricas como cuadrados y cubos para ilustrar estas fórmulas algebraicas y mostrar visualmente cómo se calculan sus áreas. El autor concluye que las representaciones gráficas ayudan a comprender mejor estos conceptos algebraicos.

1. Representación Gráfica de un Producto
Notable

2. En este trabajo comprobaré las formulas matemáticas de los
productos notables. Recordar que un producto notable es un
producto de expresiones algebraicas que cumplen reglas fijas y
cuyo resultado puede calcularse por simple expresión. Los
comprobaré mediante su representación gráfica. Los productos
notables que comprobaré mediante su representación gráfica son
los siguientes:
•Binomio Cuadrado
•Suma por su Diferencia
•Binomio al Cubo
•Diferencia de Cubos
Introducción:

3. Binomio Cuadrado
a
(a – b)
(a – b)
b
b
(a – b)
(a – b)
b
Para comprobar esta fórmula, a un cuadrado de lado a lo
dividimos de la siguiente manera.
Se puede comprobar, que con esta división el área de este
sector es (a – b)2 por lo que para que la fórmula calce habrá
que preguntarse ¿Qué se le restó al cuadrado de lado a
para que quede el cuadrado de (a – b)2 ?
a
b

4. (a – b)
(a – b)
b
b
(a – b)
(a – b)
b
(a – b)2
b2
2b(a – b)
Estas son las medidas da las áreas de las figuras formadas por el
cuadrado de lado a descompuesto:
b

5. La respuesta a la pregunta planteada anteriormente: ¿Qué se le restó al
cuadrado de lado a para que quede el cuadrado de (a – b)2 ? es bastante
evidente lógicamente al cuadrado del lado a hay que restarle las tres partes
restantes:
b22b(a – b)
Restándole las tres partes, la fórmula quedaría, trabajándola paso a paso:
(a – b)2 = a2 – ( 2ab - 2b2 + b2)
(a – b)2 = a2 – (2ab – b2)
2 2 2
(a – b)2 = a2 – ( 2b(a – b) + b2)

6. Para que quede más claro…
2
(a – b)2 b22b(a – b)a2
= –
+= –
+
2 2 2

7. Para comprobar esta ecuación primero realizamos gráficamente la primera
parte. Realizamos dos cuadrados uno de lado a y otro de lado b. Entonces
quedaría:
Suma por su Diferencia.
a2 b2
= –

8. Como dice la ecuación, al cuadrado de lado a le quitamos el
cuadrado de lado b. Por lo que quedaría algo así:
Para calcular esta área, podemos dividir la figura de manera que se mas fácil
su cálculo, por ejemplo:
b
b
(a  b)
a
a
(a  b)
b
b
(a  b)
a
a
(a  b)
Esto nos permite poder
calcular el área de los
dos rectángulos que se
forman.

9. Entonces ahora podemos reorganizar esos dos rectángulos para que
podamos calcular el área total de la figura:
b
b
(a  b)
a
a
(a  b)
En esta imagen ya
esta
reorganizada, ya
que coloqué el
rectángulo de área
b(a – b) junto al
otro conformando
un rectángulo. Así
se puede calcular
toda el área.
(a + b)
(a - b)
2 2

10. Binomio al Cubo
Primero realizamos un cubo, de arista (a + b). Por ende:
a
(a + b)
b
3
Para comprobar esta área, voy a
separar las piezas que e dividido de
manera que se mas fácil su cálculo.
También las diferenciare por color,
para notar cuáles son iguales.

11. a
(a + b)
a
3
+
a2b
a2ba2b +
ab2
ab2
ab2
+ b3
3 2 2 3

12. a
3
b3
Para saber cuanto mide el área lo descompondremos.
a
a
a
a
a
a
Diferencia de Cubos
Para comprobar esta área, lo primero que haremos es demostrar
gráficamente la diferencia de dos cubos, para entenderla mejor:

13. (a  b) a 2 (a  b) b 2 (a  b) ab
b
a
(a  b)
(a  b)
a
a
(a  b) b

14. En conclusión, se pudo comprobar que todos los productos notables se
pueden representar gráficamente, y así puede ser mas fácil su estudio. En
lo personal el estudio de las representaciones gráficas de los productos
notables me ayudó considerablemente para poder entenderlos mejor ya
que ahora veía dibujos y formas y no solamente letras y operatorias, por lo
que es mas fácil.
Conclusión

15.  http://www.slideboom.com/presentations/512530
 http://cl.kalipedia.com/kalipediamedia/matematicas
/media/200709/26/algebra/20070926klpmatalg_48
_Ges_SCO.png
 http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thu
mb/d/d3/Binomio_al_cubo.svg/300px-
Binomio_al_cubo.svg.png
Bibliografía: