Estatística descritiva e demográfica

ESTATÍSTICA
Edite Manuela da G.P. Fernandes
Universidade do Minho, Braga, 1999

ESTATÍSTICA
com a colaboração de
A. Ismael F. Vaz
na realização dos gráﬁcos
Universidade do Minho, Braga, 1999

Título: Estatística
Autor: Edite Manuela da G.P. Fernandes
Composição: Texto preparado em LATEX por A. Ismael F. Vaz
Impressão da capa, fotocópias e montagem: Serviços de Reprograﬁa e Publicações da
Universidade do Minho
Capa: A. Ismael F. Vaz
TEX é uma marca registada da American Mathematical Society.
100 exemplares em Janeiro de 1999

Conteúdo
Prefácio iv
I Estatística descritiva 1
1 Introdução 2
1.1 O que é a Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 População e Amostras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Tipos de Estatística . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Descrição numérica dos dados 6
3 Descrição gráﬁca dos dados 12
4 ”Estatísticas” descritivas 21
4.1 Medidas de tendência central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.2 Medidas de dispersão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Medidas de associação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
5 Distribuição normal 31
6 Análise de Regressão 34
6.1 Regressão Linear e Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.2 Regressão não linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
II Séries cronológicas 36
7 Componentes do estudo 37
7.1 Representação gráﬁca de uma série cronológica . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2 Estudo de uma série cronológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8 Decomposição 39
i

CONTEÚDO ii
9 Estudo da tendência 40
9.1 Métodos para estudo da tendência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
9.1.1 Método das médias móveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
9.1.2 Método analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
10 Movimento sazonal 46
10.1 Método para determinar as flutuações sazonais . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10.1.1 Método das médias mensais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
III Estatística demográfica 49
11 Estruturas populacionais 50
11.1 Taxas de crescimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
11.2 Cálculo das densidades populacionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
11.3 Estruturas demográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.3.1 Pirâmides de idades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
11.3.2 Grupos funcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
12 Qualidade dos dados 60
12.1 Relação de masculinidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12.2 Índice de Whipple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
12.3 Índice de irregularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
12.4 Índice combinado das Nações Unidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
12.5 A equação da concordância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
13 Análise da mortalidade 65
13.1 Taxa bruta de mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
13.2 Tipos particulares de mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
13.3 Tábua de mortalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
14 Análise da natalidade e da fecundidade 74
15 Análise da nupcialidade 79
15.1 Taxas de nupcialidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
15.2 Tábua de nupcialidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
16 Análise dos movimentos migratórios 85
16.1 Métodos directos de análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
16.2 Métodos indirectos de análise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

CONTEÚDO iii
IV Exercícios 88
Tabela de números aleatórios 105

Prefácio
Este trabalho está dividido em quatro partes e tem como objectivo servir de apoio às aulas
teóricas e teórico-práticas da disciplina anual de Estatística do mestrado em História das
Populações.
A primeira parte faz uma breve introdução à Estatística descritiva. Além de serem in-
troduzidos conceitos relacionados com a descrição gráfica de dados, é também apresentado
um capítulo sobre as medidas mais importantes de tendência central, de dispersão e de
associação entre dados.
Na segunda parte são introduzidos e estudados alguns aspectos importantes das séries
cronológicas, designadamente a tendência e a sazonalidade.
A terceira parte trata da Estatística demográfica. Não só são referidas medidas ele-
mentares para a análise da Qualidade dos dados, como também são apresentadas taxas
e outras medidas de análise das variáveis microdemográficas mais importantes, nomeada-
mente a mortalidade, natalidade, fecundidade e nupcialidade.
Na última parte são incluídos enunciados de trabalhos práticos de apoio às aulas teórico-
práticas.
Braga, Outubro de 1998
iv

Parte I
Estatística descritiva
1

Capítulo 1
Introdução
Embora a palavra estatística ainda não existisse no ano 3 000 A.C. há indícios de que nessa
altura já se faziam censos na Babilónia e no Egipto. A palavra censo deriva de "censere",
que em latim significa taxar. Na era romana o imperador César Augusto ordenou que se
fizesse um censo em todo o império.
A palavra estatística deriva de ”status”, que em latim significa estado. Sob esta palavra
os Estados têm acumulado dados relativos ao seu povo. A estatística nas mãos dos governos
tem sido uma ferramenta essencial para a definição das suas políticas.
1.1 O que é a Estatística
O termo estatística tem várias interpretações.
Para a maioria das pessoas estatística emprega-se para designar informação em termos
de números. Não usaremos o termo estatística com este significado. A estas quantidades
numéricas daremos o nome de observações ou dados.
O termo estatística tem ainda outros significados. A Estatística é um ramo da área da
matemática aplicada com os seus próprios simbolismos, terminologia, conteúdo, teoremas
e técnicas. Quando estudamos Estatística estamos a tentar conhecer e dominar as suas
técnicas. Assim, podemos definir a Estatística como uma ciência matemática que agrega
um conjunto de técnicas apropriadas para a recolha, a classificação, a apresentação e a
interpretação de dados numéricos.
Um outro significado para a palavra é o da ”estatística” que está relacionada com
quantidades que forem calculadas a partir de dados amostrais. Neste caso é costume
colocar a palavra entre aspas. Por exemplo, se os dados obtidos forem: 12, 12, 14, 15, 12
e 13, a quantidade 12+12+14+15+12+13
6
, conhecida por média aritmética, é uma ”estatística”.
1.2 Aplicações
As aplicações das técnicas estatísticas estão já tão difundidas e a sua influência tem sido
tão marcante, que a importância da Estatística é já hoje em dia reconhecida em todos os
2

CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO 3
domínios da investigação científica e do desenvolvimento tecnológico.
Uma das áreas onde a Estatística começou a ser aplicada mais cedo foi no planeamento
e na análise de experiências realizadas na agricultura. A metodologia da Estatística tem
sido muito usada na investigação realizada pelas indústrias farmacêutica e médica. As
próprias instituições governamentais usam a Estatística para estudar a situação económica
do País e alterar as políticas de cobrança de impostos, de assistência social, de obras
públicas, etc. A teoria das probabilidades juntamente com a Estatística, isto é, a teoria
da decisão estatística, é usada como um meio para a tomada de decisões importantes ao
mais alto nível. Usamos as técnicas estatísticas na indústria para o controlo da qualidade
dos produtos, no ’marketing’, no estudo dos efeitos da publicidade, e também em todas as
áreas onde é preciso tomar decisões tendo como base informação incompleta, tal como na
Biologia, Geologia, Psicologia e Sociologia. Nas políticas educacionais a Estatística é uma
ferramenta muito importante para ajudar a definir pedagogias e métodos de ensino.
1.3 População e Amostras
Dois dos termos mais usados em Estatística são: população e amostra.
População designa um conjunto de unidades com qualquer característica comum. Por
exemplo, o conjunto das idades das crianças da Escola Preparatória XXX da cidade YYY
constitui uma população; o conjunto de todas as classificações obtidas, na disciplina de
Matemática, pelas crianças do 5o
¯
ano de escolaridade das Escolas Preparatórias do País
constitui uma população.
A Estatística ocupa-se fundamentalmente das propriedades das populações susceptíveis
de representação numérica.
A população pode ser finita ou infinita, consoante seja finito ou infinito o número
de elementos que a compõem. Para conhecer bem as propriedades da população temos
de analisar todos os elementos dessa população. Contudo, nem sempre é possível analisar
todos os elementos. Esta impossibilidade pode dever-se ao facto de a população ser infinita.
O estudo incidirá, assim, sobre um subconjunto finito de elementos que seja representativo
da população. Este subconjunto chama-se amostra.
A representatividade da amostra é uma das questões mais importante relacionada com
a teoria da amostragem. A amostra deve conter qualitativa e quantitativamente em pro-
porção tudo o que a população possui.
A amostra tem de ser também imparcial, isto é, todos os elementos da população devem
ter igual oportunidade de serem escolhidos para fazerem parte da amostra.
Mesmo quando a população é finita podem surgir outras razões que levem à utilização
de amostras para o estudo da população. Existem razões económicas - pode tornar-se
caro a observação do comportamento de um número muito grande de elementos; razões
de tempo - a observação de todos os elementos pode demorar tanto tempo que quando os
resultados estiverem prontos para divulgação já se encontrem desactualizados.
Existem, ainda, outras razões que nos levam a preferir recolher uma amostra em vez de
usar a população. Nalguns casos, as unidades que constituem a amostra para inspecção,

são destruídas. Noutros casos, em virtude da escassez de pessoas treinadas (sem forma-
ção específica) para recolher amostras, é mais seguro confiar num número reduzido de
informação. Haveria uma menor ocorrência de erros humanos.
Parece, assim, ser mais vantajoso recolher amostras e basear o nosso estudo na análise
dessas amostras. Este processo parece ser bastante simples, no entanto, pode dar origem
a enganos.
A selecção de elementos da população que são mais facilmente acessíveis ao experimen-
tador, origina uma amostra conveniente. Este tipo de amostra não é representativa da
população e pode levar a conclusões erradas sobre as propriedades da população.
Uma alternativa à amostra conveniente, que é muitas vezes parcial, é a amostra ale-
atória simples.
A ideia principal consiste em dar a cada elemento da população a mesma oportunidade
de ser escolhido para fazer parte da amostra. Para abreviar usaremos, daqui para a frente,
a.a.s. para designar amostra aleatória simples.
Uma a.a.s. é obtida através de um método que dá a qualquer possível amostra de
tamanho n (com n elementos) a mesma oportunidade de ser a amostra escolhida.
Dos métodos existentes, o mais usado e simples para a obtenção de uma a.a.s. consiste
em:
• usar uma tabela de números aleatórios como a que está representada na tabela da
figura 1.1. (ou um gerador de números aleatórios como têm algumas máquinas de
calcular, normalmente designado pela função RND). Uma tabela de números alea-
tórios é uma lista dos 10 dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 que satisfaz as seguintes
propriedades:
1. Um dígito em qualquer posição da lista tem a mesma oportunidade de ser o 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ou 9.
2. Os dígitos nas diferentes posições são independentes no sentido de que o valor
de um deles não influencia o valor de qualquer outro.
A tabela apresenta uma divisão dos números por grupos de 5 dígitos e tem as linhas
numeradas, com o objectivo de facilitar a consulta. Para usar a tabela devemos ter em
atenção o seguinte:
1. Qualquer par de dígitos da tabela tem a mesma oportunidade de ser (qualquer) um
dos 100 possíveis pares 00, 01, 02, 03, ..., 97, 98, 99.
2. Qualquer trio de dígitos na tabela tem a mesma oportunidade de ser um dos 1000
possíveis trios 000, 001, 002, 003, ..., 997, 998, 999.
3. E assim por adiante, para grupos de 4 ou mais dígitos da tabela. Os grupos de 4
dígitos seriam os seguintes: 0000, 0001, 0002, ..., 0997, 0998, ..., 9997, 9998, 9999.
Para a selecção de uma a.a.s. usamos o seguinte processo:

linha
101 19223 95034 05756 28713 96409 12531 42544 82853
102 73676 47150 99400 01927 27754 42648 82425 36290
103 45467 71709 77558 00095 32863 29485 82226 90056
104 52711 38889 93074 60227 40011 85848 48767 52573
105 95592 94007 69971 91481 60779 53791 17297 59335
Figura 1.1: Parte da tabela de números aleatórios (ver Anexo)
1. enumerar os elementos da população a partir do 0 (se existirem até 10 elementos
na população), do 00 ( se existirem até 100 elementos na população), do 000 (se
existirem até 1000 elementos na população) ou ..., até esgotar todos os elementos;
2. seleccionar o tamanho da amostra;
3. retirar da tabela da figura 1.1, a partir de qualquer linha, grupos de 1, 2, 3 ou ...
dígitos (consoante o número de elementos da população), todos seguidos. Cada grupo
selecciona o elemento da população com aquele número.
Nota 1.3.1 :
• Sempre que aparecerem grupos de 1, 2, 3 ou ... (conforme o caso) dígitos repetidos,
devemos ignorá-los.
• Sempre que aparecerem grupos de 1, 2, 3 ou ... dígitos que sejam quantidades maiores
ou iguais que o número de elementos da amostra, devemos ignorá-los.
1.4 Tipos de Estatística
Podemos dividir a Estatística em dois grupos: a Estatística Descritiva e a Estatística
Inferencial.
A primeira toma indistintamente a população e a amostra com o objectivo de as des-
crever. Esta descrição das observações pode ser feita gráfica ou numericamente. Será uma
descrição gráfica se for feita a representação gráfica de certas quantidades calculadas a
partir das observações. A descrição diz-se numérica se forem calculadas quantidades que
dão informação, embora sumária, do comportamento das observações. A análise estatística
feita no século passado e no príncipio deste século foi na maior parte do tipo descritivo.
A Estatística tem sido definida como a ciência para a tomada de decisões baseadas
em incertezas, isto é, baseadas num conjunto de informações incompletas. Para tomarmos
decisões sobre a população, seleccionamos uma amostra aleatória simples retirada da po-
pulação. Baseando-nos na informação obtida da amostra inferimos sobre as características
da população. A Estatística Inferencial baseia-se no estudo das amostras para podermos
tirar conclusões sobre a população donde retirámos essas amostras.

Capítulo 2
Descrição numérica dos dados
A ideia que muitas pessoas têm da Estatística é a de que ela está associada a tabelas
enormes de números, por vezes documentadas com alguns gráficos à mistura! As tabelas
repletas de informação são muitas vezes cansativas de ler, difíceis de interpretar e de se tirar
conclusões e alguns gráficos mal dimensionados e legendados podem originar interpretações
erradas.
Mesmo assim, as tabelas são um dos meios mais usados para organizar e resumir um
conjunto vasto e desordenado de dados (ou observações). É mais vantajoso contruir uma
tabela pequena com algumas quantidades especiais ("estatísticas"da amostra ou parâme-
tros da população) que caracterizam e resumem a distribuição (o comportamento) dessas
observações, do que uma tabela com um conjunto enorme de números. Os gráficos têm
como objectivo dar uma visão resumida e rápida do comportamento dos dados.
Consideremos o seguinte ficheiro de dados da Escola Preparatória XXX da cidade YYY.
Para cada aluno, foram registados os seguintes valores das variáveis: SEXO (feminino ou
masculino), IDADE (10, 11, 12, 13, 14 ou 15 anos), ALTURA (de 129 cm. a 145 cm.),
PESO (de 27 kg. a 45 kg.), ANO (5o
ou 6o
ano de escolaridade) e TURMA (1, 2, 3, 4
ou 5). A maior parte das tabelas e gráficos apresentados nesta parte I dizem respeito aos
valores deste ficheiro.
Dado um conjunto de observações, é costume, em primeiro lugar, contar quantas vezes
aparece cada valor, isto é, o número de ocorrências desse valor. Dos 318 alunos presente-
mente a frequentar a Escola Preparatória XXX da cidade YYY,
• quantos são do sexo feminino?
• quantos são do sexo masculino?
• quantos frequentam, neste ano lectivo, o 5o
ano de escolaridade?
• quantos estão inscritos no 6o
ano de escolaridade?
• quantos alunos do 5o
ano têm ainda 10 anos?
• quantos alunos frequentam o 6o
ano com 15 anos de idade?
6

CAPÍTULO 2. DESCRIÇÃO NUMÉRICA DOS DADOS 7
Depois de observados todos os registos e contadas as ocorrências dos seis acontecimentos
descritos, obtivemos os seguintes valores, conhecidos por frequências absolutas : 124
alunos do sexo feminino, 194 do sexo masculino, 147 do 5o
ano, 171 do 6o
ano, como se
SEXO Frequências Percentagens F.Acumulada
feminino 124 38.99 38.99
masculino 194 61.01 100.00
Total 318 100.00
ANO Frequências Percentagens F.Acumulada
5o
ano 147 46.23 46.23
6o
ano 171 53.77 100.00
Total 318 100.00
Figura 2.1: Tabelas de frequências do SEXO e do ANO de escolaridade
pode ver na coluna indicada por ’Frequências’ da tabela da figura 2.1; 73 alunos estão
no 5o
com 10 anos e 9 no 6o
com 15 anos. Confirme estes valores com os assinalados
da coluna ’Frequências’ da tabela da figura 2.2. Verificando-se que 124 + 194 = 318 ou
147 + 171 = 318 conclui-se que foram consideradas todas as observações (consistência
interna).
A frequência absoluta de qualquer valor de uma variável é o número de vezes que
esse valor ocorre nos dados. Isto é, esta frequência corresponde a uma contagem.
Observando apenas o número 124 de alunos do sexo feminino e 194 do sexo masculino
podemos dizer que há mais rapazes do que raparigas, no entanto, não se vê logo quantos
mais. Se compararmos estes números com o número total de alunos, calculando o quociente
entre o número total de alunos do sexo feminino (ou do sexo masculino) e o número total
de alunos da escola, a que chamaremos frequência relativa, então já podemos dizer que
124
318
= 0.39 (ou 194
318
= 0.61) são do sexo feminino (ou masculino) o que é nitidamente menos
(ou mais) do que metade dos alunos.
A frequência relativa de qualquer valor é a proporção ou fracção de todas as observa-
ções que têm aquele valor. Esta frequência pode ser expressa em termos de percentagem,
multiplicando a fracção resultante por 100 e atribuindo o sinal de %. Das fracções an-
teriores tiramos 39% de alunos do sexo feminino e 61% do sexo masculino. A soma das
frequências relativas deve ser igual a 1 (ou das percentagens igual a 100%).
Veja as percentagens de alunos dos dois sexos na coluna indicada por ’Percentagens’
da tabela da figura 2.1.
As frequências acumuladas absolutas (ou relativas) representam o número (ou a
fracção/percentagem) de observações que são menores ou iguais a um valor especificado.
Assim o número (ou fracção/percentagem) de alunos com idade inferior a 12, do 5o
ano de
escolaridade é de 118 (ou 0.8027/80.27%) e o número (ou fracção/percentagem) de alunos
do 6o
ano com idade igual ou inferior a 14 anos é de 162 (ou 0.9474/94.74%), como se pode
confirmar pela coluna ’F.Acumuladas’ da tabela da figura 2.2.

ANO=5o
IDADE Frequências Percentagens F.Acumuladas
10 73 49.66 49.66
11 45 30.61 80.27
12 22 14.97 95.24
13 4 2.72 97.96
14 3 2.04 100.00
Total 147 100.00
ANO=6o
11 91 53.22 53.22
12 46 26.90 80.12
13 20 11.70 91.81
14 5 2.92 94.74
15 9 5.26 100.00
Total 171 100.00
Figura 2.2: Tabela de frequências da IDADE, por ANO de escolaridade
Da coluna ’F.Acumuladas’ da tabela da figura 2.3 podemos verificar que o número de
alunos do 6o
ano que têm um peso igual ou inferior a 40 Kg. é de 161, o que corresponde
a 94.15% dos alunos desse ano.
Da coluna ’F.Acumuladas’ da tabela da figura 2.4 podemos concluir que a percentagem
de alunos do sexo feminino com altura igual ou inferior a 140 cm. é aproximadamente de
91%.
As frequências absolutas e as relativas são um meio muito usado para classificar os
dados quando a escala usada para medir as variáveis é nominal, isto é, a medição da
variável apenas define a classe a que o elemento pertence. Por exemplo, a variável SEXO
é nominal, uma vez que ela é definida pelas duas classes: feminino e masculino; a variável
ANO de escolaridade é nominal e as classes definidas são o 5o
e o 6o
ano de escolaridade;
a variável TURMA é também nominal, definida pelas classes 1, 2, 3, 4 e 5 para o 5o
ano
de escolaridade e 1, 2, 3, 4 e 5 para o 6o
ano.
Certas variáveis são medidas de acordo com uma escala ordinal. Neste caso a medição
define classes e ordena-as de acordo com os valores atribuídos. Como exemplo, temos as
pontuações (1, 2, 3, ... e 10) que hoje se usam para definirmos a nossa preferência relativa
a qualquer acontecimento. A diferença entre o 2 e o 1 é a de que o 2 significa ter preferência
em relação ao 1 mas não se sabe quanto.
Mesmo quando a escala de medição da variável é intervalar/proporcional e a variável
pode tomar uma quantidade enorme de valores, podemos classificar (resumir) os dados
calculando as frequências de grupos de valores, chamados classes ou intervalos. Quando a
medida de uma variável nos diz quanto ela é diferente da medida de outra, então a variável

ANO=5o
Classes
de pesos Frequências Percentagens F.Acumuladas
peso <=30 34 23.13 23.13
30 a 35 74 50.34 73.47
35 a 40 33 22.45 95.92
40 a 45 6 4.08 100.00
Total 147 100.00
ANO=6o
Classes
de pesos Frequências Percentagens F.Acumuladas
peso <=30 46 26.90 26.90
30 a 35 77 45.03 71.93
35 a 40 38 22.22 94.15
40 a 45 10 5.85 100.00
Total 171 100.00
Figura 2.3: Tabela de frequências dos PESOS, por ANO de escolaridade
foi medida numa escala intervalar. Por exemplo, uma avaliação baseada na escala de 0 a
20 é intervalar; uma classificação de 14.4 valores é nitidamente superior a uma de 7.2, no
entanto, 14.4 não significa um desempenho duas vezes melhor do que o 7.2. A medição
duma variável numa escala proporcional diz-nos quanto ela tem a mais em relação a outra.
Por exemplo, a ALTURA e o PESO dos alunos são exemplos de variáveis proporcionais.
Um peso de 46 Kg. é duas vezes superior ao peso de 23 Kg.
Quando temos este tipo de variáveis devemos decidir quantas classes/intervalos quere-
mos formar. Quando temos poucas observações devemos definir um número pequeno de
classes, 4, 5 ou 6. No entanto, quando o número de observações é elevado menos do que 10
classes origina uma perda significativa de informação. Tudo depende também da variação
dos valores que a variável pode tomar. Assim como o número de intervalos e a amplitude
desses intervalos são arbitrários, também o são os pontos que definem o início, limite
inferior, e o fim, limite superior, de cada intervalo. Estes limites separam os intervalos
uns dos outros. Eles devem ser escolhidos por forma a que, para cada observação, fique
bem claro a que intervalo ela pertence. Por exemplo, relativamente à variável ALTURA,
podemos usar um dos dois seguintes processos:
1. o primeiro intervalo, para a variável ALTURA, compreende os valores que vão desde
125 a 130 cm. inclusivé ( isto é, 125 < ALTURA ≤ 130); o segundo intervalo terá
observações desde 130 cm. até 135 cm. inclusivé (130 < ALTURA ≤ 135), ....,
até ao último intervalo que engloba ALTURAS que vão desde os 145 aos 150 cm.
(145 < ALTURA ≤ 150);

SEXO=feminino
Classes
de alturas Frequências Percentagens F.Acumuladas
altura<=130 5 4.03 4.03
130 a 135 42 33.87 37.90
135 a 140 66 53.23 91.13
140 a 145 10 8.06 99.19
altura>145 1 0.31 100.00
Total 124 100.00
SEXO=masculino
Classes
de alturas Frequências Percentagens F.Acumuladas
altura<=130 2 1.03 1.03
130 a 135 32 16.49 17.53
135 a 140 84 43.30 60.82
140 a 145 63 32.47 93.30
altura>145 13 6.70 100.00
Total 194 100.00
Figura 2.4: Tabela das frequências das ALTURAS, por SEXO do aluno
2. (e como, para esta variável, todas as observações são quantidades inteiras) os limi-
tes dos intervalos são definidos usando valores com casas decimais, 0.5 unidades
inferiores ao valor, para o limite inferior, e 0.5 unidades superiores ao valor, para o
limite superior, de cada intervalo. Neste caso, ficamos com os seguintes intervalos
fechados nos dois extremos: [124.5, 130.5], [130.5, 135.5], [135.5, 140.5], [140.5, 145.5]
e [145.5, 150.5].
É também comum considerar os intervalos dos extremos como ’totalmente’ abertos, o
primeiro à esquerda, e o último à direita, isto é, o primeiro intervalo pode ser do tipo
≤ 130cm. e o último do tipo > 145cm. Verifique o processo utilizado na definição dos
intervalos para a variável ALTURA, na tabela da figura 2.4 e para a variável PESO na
tabela da figura 2.3.
A amplitude destas classes/intervalos é a diferença entre o limite superior e o inferior.
Para a variável ALTURA a amplitude dos intervalos é de 5 cm. e para o PESO é de 5 Kg.
Confirme estes valores nas tabelas das figura 2.4 e 2.3 respectivamente.
Como estes intervalos são definidos por um conjunto, por vezes, vasto de valores, há
necessidade de ter um valor que represente cada intervalo. Este valor é o ponto médio e
calcula-se como a semi-soma dos limites superior e inferior do intervalo. No caso da variável
ALTURA os pontos médios dos intervalos são respectivamente 127.5, 132.5, 137.5, 142.5 e
147.5 e para a classificação da variável PESO temos como pontos médios os valores: 27.5,

32.5, 37.5, 42.5. Repare que os intervalos dos extremos foram considerados como tendo
amplitudes iguais aos restantes.
O número de observações que pertencem a cada classe/intervalo é a sua frequência
absoluta. Tudo o que já foi dito relativamente às frequências relativas e acumuladas é
válido para estas classes/intervalos.

Capítulo 3
Descrição gráfica dos dados
Um gráfico serve para dar uma visão resumida dos dados. Um gráfico bem construído pode
revelar factos (características) sobre os dados que, a retirar de uma tabela necessitariam
de uma análise mais cuidada.
1. O gráfico de barras serve para comparar a frequência de ocorrência de certas
observações.
Na maior parte dos exemplos, os valores comparados são frequências absolutas ou
relativas, em termos de percentagem, de variáveis medidas de acordo com as escalas
nominal e ordinal. A figura 3.1 apresenta um gráfico de barras respeitante aos dados
Gráfico de barras
0
20
40
60
80
100
120
140
10 11 12 13 14 15
IDADE
Frequência
Figura 3.1: Gráfico de barras das frequências das IDADES dos alunos
12

CAPÍTULO 3. DESCRIÇÃO GRÁFICA DOS DADOS 13
10 73 22.96 22.96
11 136 42.77 64.72
12 68 21.38 87.11
13 24 7.55 94.65
14 8 2.52 97.17
15 9 2.83 100.00
Total 318 100.00
Figura 3.2: Tabela de frequências das IDADES dos alunos da Escola
As barras aparecem normalmente verticais, separadas e devem ter todas a mesma
largura. A altura da barra varia com a frequência, o que significa que a área do
rectângulo também varia. A nossa percepção da quantidade representada, corres-
ponde precisamente à área da barra.
Um gráfico de barras pode ser representado através de figuras a que se pode dar o
nome de gráfico ilustrativo ou pictograma. No entanto, essas figuras devem defi-
nir imagens todas com a mesma largura, variando a altura com o valor da frequência.
Nas figuras 3.3 e 3.4 estam representados dois exemplos de gráficos de barras utili-
zando figuras. O primeiro não está correcto, pois pode levar a falsas interpretações
em termos relativos; o segundo, que é tão atraente como o primeiro, está correcto. As
áreas das figuras visualizam correctamente as proporções relativas entre as variáveis.
Figura 3.3: Pictograma (errado) da variável SEXO (ver tabela da figura 2.1)

Figura 3.4: Pictograma da variável SEXO (ver tabela da figura 2.1)
2. O gráfico de sectores ou circular serve para representar várias variáveis. O tama-
nho de cada sector é proporcional ao valor da variável, que representa, em relação à
soma dos valores das variáveis lá representadas.
Assim e tendo em conta os alunos do 5o
ano de escolaridade, verificamos que há
números diferentes de alunos dos sexos feminino e masculino nas diferentes turmas,
como se pode ver na tabela da figura 3.5 e os gráficos de sectores correspondentes
seriam os representados nas figuras 3.6 e 3.7.
3. Existe ainda outro gráfico de barras, para representar várias variáveis, só que desta
vez elas apresentam-se sobrepostas. Dos mesmos valores da tabela da figura 3.5, o
gráfico de barras sobrepostas é o que está representado na figura 3.8.
4. O gráfico de linha serve para representar os valores de uma variável e mostra a
tendência (comportamento) dessa variável normalmente em relação ao tempo. Por
exemplo, se fosse conhecido o número de alunos inscritos na Escola XXX durante
os útimos dez anos, poderíamos representar esses valores ao longo do eixo vertical e
ao longo do eixo horizontal, representaríamos o tempo de acordo com o que está na
figura 3.9.
As escalas podem ser iniciadas em qualquer valor, em vez de 0. Para chamar a
atenção da omissão do 0, é frequente utilizar uma linha em ziguezague sobre o eixo.
5. Um gráfico de pontos serve para representar dados relativos a duas variáveis,
quando elas são medidas em escalas intervalar/proporcional ou ordinal. Cada variável

ANO=5o
Turma
SEXO 1 2 3 4 5 Total
feminino 10 7 12 7 14 50
masculino 24 22 14 21 16 97
Total 34 29 26 28 30 147
ANO=6o
Turma
SEXO 1 2 3 4 5 Total
feminino 17 16 15 11 15 74
masculino 20 18 18 24 17 97
Total 37 34 33 35 32 171
Figura 3.5: Frequências dos alunos do 5o
ano por TURMA
é representada num eixo. Cada ponto do gráfico corresponde a um par de valores
(x, y); x diz respeito ao valor da 1a
variável ( sobre o eixo das abcissas) e y diz respeito
ao correspondente valor da 2a
variável (sobre o eixo das ordenadas). Por exemplo,
se quiséssemos representar os PESOS e as ALTURAS dos alunos do SEXO feminino
da TURMA 2 do 5o
ANO da Escola XXX teríamos o gráfico que está representado
na figura 3.10.
6. O histograma das frequências é o gráfico mais importante na Estatística Inferen-
cial.
Quando os dados são valores de uma variável medida numa escala intervalar/proporcional,
uma tabela de frequências para cada uma das classes mostra a distribuição de valo-
res dessa variável. Considere o exemplo apresentado na tabela da figura 2.4 relativo
às ALTURAS dos alunos da Escola XXX, distribuídos por SEXO. Esta distribuição
pode ser representada graficamente num histograma. Este gráfico é desenhado tendo
como base um par de eixos coordenados, com a medida da variável que foi observada
colocada ao longo do eixo horizontal e o número ou a proporção de observações me-
didos ao longo do eixo vertical. O eixo vertical começa normalmente em 0 e o eixo
horizontal pode começar num valor qualquer, desde que seja conveniente.
A figura 3.11 mostra o exemplo em que as ALTURAS estão divididas por classes,
também chamadas intervalos de amplitudes iguais a 5 cm. Cada barra representa
uma dessas classes e a altura corresponde à frequência absoluta (número de valores
que pertencem à classe). Também se usam as frequências relativas ou proporções na
definição de histogramas.
Os histogramas têm as barras verticais, umas a seguir às outras e devem ser todas
da mesma largura. Assim, ao agrupar um conjunto de dados por classes para repre-

fe m inino
20
14
24
14
29
1
2
3
4
5
Figura 3.6: Gráfico de sectores dos alunos do 5o
ano do sexo feminino, por TURMA
]../pictures/sectoresm.eps
Figura 3.7: Gráfico de sectores dos alunos do 5o
ano do sexo masculino, por TURMA
sentar um histograma, devemos escolher intervalos (classes) com amplitudes iguais.
Não existe nenhum valor ideal para a amplitude da classe (intervalo). O objectivo
é conseguir obter uma distribuição de frequências equilibrada. Assim, tenta-se evi-
tar colocar todos os valores num número muito reduzido de classes de amplitudes
enormes ou distribuir poucos valores por muitas classes de amplitudes pequenas. As
classes devem ser definidas de tal forma que não haja ambiguidades sobre a classe
(ou intervalo) a que pertence cada observação.
7. A forma da distribuição de frequências de um conjunto de dados pode ser analisada
através do histograma das frequências. A figura 3.12 mostra uma distribuição não
simétrica e descaída para a direita. Por vezes, a análise é facilitada pelo polígono que
se obtém unindo, por linhas, os pontos médios dos topos das barras no histograma,
como se vê na figura 3.12. O polígono é terminado para a esquerda e para a direita,
unindo os pontos que se colocam no eixo horizontal distanciados de metade da am-
plitude para a esquerda do primeiro intervalo e para a direita do último intervalo.
Este polígono é conhecido por polígono de frequências.
8. Ao gráfico das frequências acumuladas chama-se ogiva. Este gráfico obtém-se co-
locando pontos na vertical dos limites inferiores das classes (ou intervalos) a uma
distância do eixo horizontal que corresponde à percentagem das observações que são

20
14
24
14
28
25
23
14
22
16
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
1 2 3 4 5
Turm a
Percentagem feminino
m asculino
Figura 3.8: Gráﬁco de barras dos alunos do 5o
ano, por turma e por SEXO
menores ou iguais àquele valor (do limite inferior da classe) e unindo estes pontos por
rectas. As ogivas têm um semelhança com um S aberto. Um exemplo de ogiva é o que
se encontra na ﬁgura 3.14 e que corresponde às frequências da coluna ’F.Acumuladas’

220
240
250
265
270
280
295
309
315 318
200
220
240
260
280
300
320
83/84 84/85 85/86 86/87 87/88 88/89 89/90 90/91 91/92 92/93
te m po (a no le ctivo)
Númerodealunosinscritos
Figura 3.9: Gráﬁco relativo ao número de alunos da Escola, nos últimos dez anos
132
134
136
138
140
142
144
25 30 35 40 45
P e so (kg)
Altura(cm)
Figura 3.10: Gráﬁco relativo aos PESOS e ALTURAS dos 7 alunos da TURMA 2 (5o
ANO)

5
42
66
10
0
10
20
30
40
50
60
70
125-130 130-135 135-140 140-145
Altura (cm )
Frequência
Figura 3.11: Histograma relativo às ALTURAS dos alunos do SEXO feminino
Frequência
Figura 3.12: Polígono de frequências de uma distribuição deﬁnida por 8 intervalos

Classes de
alturas Frequências Percentagens F.Acumuladas
altura<=130 2 1.03 1.03
130 a 135 32 16.49 17.53
135 a 140 84 43.30 60.82
140 a 145 63 32.47 93.30
altura>145 13 6.70 100.00
Total 194 100.00
Figura 3.13: Frequências das ALTURAS dos alunos do SEXO masculino
Figura 3.14: Ogiva das ALTURAS dos alunos do SEXO masculino da escola

Capítulo 4
”Estatísticas” descritivas
Além das tabelas e dos gráﬁcos, que têm com objectivo organizar e dar uma imagem visual
dos dados, existem certas características de uma distribuição de valores, como o valor
central e a sua dispersão, que podem ser resumidas por meio de certas quantidades.
Exemplos destas quantidades, conhecidas por "estatísticas"descritivas, são: o ponto
médio, a mediana, a moda, a média, a amplitude, o desvio padrão e a variância.
4.1 Medidas de tendência central
1. o ponto médio é o valor que se encontra a meio caminho entre a menor e a maior
das observações de uma lista. Por deﬁnição
Xm =
menor obs. + maior obs.
2
.
Considerando a tabela 4.1 relativa às ”estatísticas” das IDADES dos alunos da Escola
XXX, o Xm é igual a 10+15
2
= 12.5.
2. A média (aritmética) de um conjunto de n observações obtém-se somando todas
as observações e dividindo depois pelo seu número.
Se X1, X2, X3, ..., Xn forem as n observações, então a média deste conjunto é
¯X =
n
i=1 Xi
n
.
Quando os dados estão agrupados por classes numa tabela de frequências, a soma de
observações idênticas é equivalente a multiplicar o valor dessa observação, Xi, pela
sua frequência fi. Assim, a média pode ser calculada através de
¯X =
k
i=1 fiXi
n
,
21

CAPÍTULO 4. ”ESTATÍSTICAS” DESCRITIVAS 22
IDADE
Percentis Menores
1% 10 10
5% 10 10
10% 10 10 Observações 313
25% 11 10 Soma dos pesos 313
50% 11 Média 11.3239
Maiores Desvio padrão 1.150557
75% 12 15
90% 13 15 Variância 1.32378
95% 14 15 Assimetria 1.162583
99% 15 15 Kurtose 4.48434
Figura 4.1: ”Estatísticas” das IDADES dos alunos da Escola
em que n = k
i=1 fi e k é o número de classes distintas. Quando cada classe é
representada por um intervalo de valores, o Xi é o valor que representa esse intervalo
e que anteriormente chamámos o ponto médio do intervalo. Se os intervalos dos
extremos são caracterizados por ≤ e >, os pontos médios são calculados do mesmo
modo, supondo que esses intervalos têm amplitudes iguais aos restantes. Da tabela
da ﬁgura 4.1, vemos que a média das IDADES dos 318 alunos da Escola XXX é de
11.3239.
3. A mediana é o valor típico, isto é, é o ponto central das observações quando elas
não estão agrupadas e já se encontram colocadas por ordem crescente.
Quando o número de observações é impar, o valor do meio é a mediana; quando o
número de observações é par, existe um par de valores no centro e a mediana passa
a ser a média aritmética desse par. Para o cálculo da mediana de um conjunto de
observações não agrupadas por classes ou intervalos, podemos usar a seguinte regra:
Se n for o número de observações, calcule a quantidade (n + 1)/2. Coloque as
observações por ordem crescente e conte a partir do início (n + 1)/2 observações. Se
n for impar a última contabilizada será a mediana da lista; se n for par, a quantidade
(n + 1)/2 não é inteira, e tomamos a semi-soma das duas observações contíguas a
esta quantidade (a anterior e a posterior) da lista.
Quando os n dados estão agrupados por k classes/intervalos, podemos usar o seguinte
processo para o cálculo da mediana:
• calcular n
2
,
• calcular as frequências absolutas acumuladas das classes,

• determinar o intervalo que contém a mediana. Seja M o número desse intervalo
(M é um inteiro de 1 a k). A frequência acumulada dos intervalos anteriores ao
do da mediana é FM−1. A frequência absoluta do intervalo da mediana é fM e
a acumulada é FM , e FM−1 < n
2
< FM ,
• calcular o número de observações que devemos tomar do intervalo da mediana
e que é igual a n
2
− FM−1,
• como existem fM observações no intervalo da mediana e considerando-as unifor-
memente distribuídas, o valor da mediana está a n/2−FM−1
fM
de distância do início
do intervalo da mediana que tem amplitude igual a A e cujo limite inferior é
liM . Assim,
mediana = liM +
n
2
− FM−1
fM
A.
Como num histograma as áreas dos rectângulos são proporcionais às frequências
dos respectivos intervalos, a linha vertical traçada no valor da mediana divide o
histograma em duas áreas iguais.
4. A moda é o valor mais frequente, isto é, o valor com maior frequência entre as
observações de uma lista. Para o cálculo da moda convém colocar as observações
por ordem crescente para se ver qual delas ocorre mais vezes. Essa observação é a
moda. A lista, neste caso, diz-se unimodal. Pode até haver mais do que uma moda.
Se duas ou mais observações ocorrem o mesmo número de vezes, então a lista diz-se
respectivamente bimodal ou multimodal.
Quando os dados se apresentam agrupados, a classe com maior frequência define a
classe da moda. Se cada classe for definida por um só valor, esse é a moda; se a classe
é definida por um intervalo de valores, o ponto que representa a classe, o ponto médio
dessa classe, é a moda. Tal como foi dito no parágrafo anterior podemos também
aqui ter mais do que uma moda ou mesmo não ter nenhuma.
Destas medidas centrais, a média e a mediana são as mais usadas. A mediana utiliza
informação relativa à ordem, não usando os valores numéricos das observações. A média,
por sua vez, usa esses valores numéricos, sendo por isso a mais usada.
As diferentes localizações da média, da mediana e da moda são mais facilmente visíveis
usando a curva das frequências desse conjunto de dados, o polígono de frequências. A moda
é o valor onde a curva é mais alta. A mediana é o valor que divide a área, compreendida
entre o eixo e a curva, em duas partes iguais; metade fica à esquerda da mediana e a outra
metade à direita. A média é o ponto central de uma distribuição simétrica.
Numa distribuição simétrica a moda coincide com a mediana e também com a média.
Veja a figura 4.2.
A figura 4.3 apresenta dois exemplos de distribuições não simétricas. A primeira é
assimétrica positiva e a segunda é assimétrica negativa. Repare na sequência de localização
das três medidas: moda, mediana e média.

Figura 4.2: Curva das frequências de uma distribuição simétrica
Figura 4.3: Curvas de frequências de duas distribuições não simétricas

Dos valores da tabela 4.1 podemos retirar a mediana, que é o percentil de ordem 50, e
é igual a 11 e de acordo com a tabela que foi apresentada na figura 3.1, a moda é também
11, uma vez que é o valor que tem maior frequência (136). Assim, esta distribuição das
IDADES dos alunos da Escola XXX da cidade YYY é assimétrica positiva. Confirme este
facto com o gráfico de barras já anteriormente apresentado na figura 3.1. Da tabela da
figura 4.1 o valor do parâmetro ’Assimetria’=1.162583, porque é positivo, significa que a
distribuição é assimétrica positiva. Se este valor fosse negativo, teríamos uma distribuição
assimétrica negativa.
4.2 Medidas de dispersão
As medidas centrais são importantes mas não fornecem a informação completa sobre o
conjunto das observações. Falta, pois, indicação sobre a dispersão desses valores.
Quando se usa a mediana para medir o centro de uma distribuição, é conveniente
fornecer elementos sobre a variação ou dispersão da distribuição, através dos percentis.
As medidas de dispersão mais usadas são: a variância e o desvio padrão. Devem
ser usadas quando a medida de tendência central usada for a média, pois elas medem a
dispersão em relação à média, como centro da distribuição.
1. O percentil de ordem p de um conjunto de valores (observações de uma variável)
é o valor abaixo do qual estão p por cento dos valores, estando os restantes acima
dele.
A mediana é o percentil de ordem 50, também conhecido por segundo quartil.
O percentil de ordem 25 chama-se primeiro quartil.
O percentil de ordem 75 chama-se terceiro quartil.
Um quarto das observações são menores do que o 1o
quartil, metade são menores do
que o 2o
e um quarto são maiores do que o 3o
quartil.
2. A amplitude de um conjunto de valores é definida como a diferença entre a maior
e a menor das observações e mede a dispersão total dos valores do conjunto.
3. A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios das observações em
relação à média.
Assim, se X1, X2, X3, ..., Xn forem n observações e se ¯X for a sua média, a variância
é calculada a partir de
s2
=
n
i=1(Xi − ¯X)2
n
.
Quando os dados estão agrupados por k intervalos, a variância é definida por
s2
=
k
i=1(fiX2
i )
n
− ¯X2

em que n = k
i=1 fi, k é o número de classes (ou intervalos), fi é a frequência da
classe i e Xi o valor que representa a classe i.
Quando as observações formam uma amostra aleatória simples de tamanho n, reti-
rada de uma população, a variância da amostra deve ser calculada usando n − 1 no
denominador do primeiro termo da expressão, em vez de n, e deve-se multiplicar o
segundo termo por n
(n−1)
.
Existem razões para esta escolha e têm a ver com o facto de esta ’estatística’ poder
ser usada para estimar a variância da população.
4. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. Utiliza-se s para designar o desvio
padrão.
A variância e o desvio padrão das IDADES são, retirados directamente da tabela da
ﬁgura 4.1, respectivamente ’Variância’= 1.32378 e ’Desvio padrão’= 1.150557.
Alguns comentários em relação a estas medidas:
(i) A variância é uma quantidade positiva ou nula. Será nula se todos os desvios forem
nulos e isto acontece quando todos os Xi forem iguais a ¯X (sendo todos iguais). Neste
caso, não existe dispersão.
(ii) Se as observações estão dispersas e existem de um e de outro lado da média, os desvios
das observações à esquerda da média são negativos e os desvios das observações à
direita são positivos. Estes desvios serão tanto maiores, em valor absoluto, quanto
mais afastadas as observações estiverem da média. Os quadrados dos desvios são
quantidades positivas e tanto maiores quanto maiores forem os desvios. Assim, se
os valores estão juntos, a variância é pequena; se eles estão dispersos, a variância é
grande.
(iii) Quando as observações são medidas numa unidade (por exemplo, centímetros, segun-
dos, gramas, ...), a variância vem nessa medida ao quadrado. No entanto, o desvio
padrão vem medido na mesma unidade das observações.
4.3 Medidas de associação
As medidas centrais e de dispersão fornecem informação básica relativa a dados univariados,
embora não completa. No entanto, se tivermos duas variáveis, as medidas referidas atrás.
não são suﬁcientes para as descrever. Normalmente estamos interessados numa possível
ligação entre as variáveis: - os valores das variáveis aumentam simultaneamente, como a
altura e o peso das pessoas, ou variam em sentidos opostos, como o número de cigarros
fumados por dia e a esperança de vida do fumador!
Diz-se que duas variáveis estão associadas se existe uma ligação directa entre as suas
variações,

• quando o aumento de uma variável tende a acompanhar o aumento de outra variável,
diz-se que a associação é positiva;
• quando o aumento de uma variável tende a acompanhar a diminuição de outra va-
riável, então as variáveis dizem-se associadas negativamente.
A associação é medida em termos médios. A associação faz sentido para variáveis
medidas em qualquer tipo de escala. Associação positiva ou negativa já só faz sentido
quando as variáveis forem medidas numa escala ordinal ou intervalar/proporcional.
1. Uma das medidas de associação é o coeficiente de correlação. Dadas n observa-
ções bivariadas nas variáveis X e Y , X1, X2, ..., Xn e Y1, Y2, ..., Yn, o coeficiente de
correlação r é definido por
r =
1
n
n
i=1(Xi − ¯X)(Yi − ¯Y )
sXsY
em que ¯X e ¯Y são as médias dos valores de X e de Y respectivamente e sX e sY os
desvios padrões das mesmas variáveis.
O numerador da expressão é a média dos produtos dos desvios de X e de Y , em
relação às correspondentes médias. O denominador é o produto dos desvios padrões
de X e de Y .
Interpretação de r:
• o coeficiente de correlação r mede a associação entre duas variáveis; é positivo
quando a associação é positiva e negativo quando a associação for negativa (o
valor de r é tanto maior quanto mais forte for a associação);
• o coeficiente de correlação toma sempre valores entre -1 e +1 (os desvios padrão
no denominador estandardizam o r, as unidades no numerador e denominador
são as mesmas, o que significa que r é adimensional);
• os valores extremos r = −1 e r = 1 indicam uma associação perfeita (r = −1
significa que os pontos pertencem a uma linha recta de declive negativo, isto é,
quando x aumenta, y diminui; r = 1 significa que os pontos pertencem a uma
linha recta com declive positivo, isto é, quando x aumenta, y também aumenta;
• o coeficiente de correlação mede a proximidade da mancha de pontos em relação
a uma linha recta (r mede uma associação linear).
A figura 4.4 mostra cinco casos com diferentes valores de r. O último caso refere-se a
uma situação onde não existe uma relação linear, embora exista outro tipo de relação.
2. Existe uma maneira de medir a associação linear através de uma quantidade r2
,
chamada coeficiente de determinação. Este coeficiente é a proporção da variância
de uma variável, que pode ser explicada pela dependência linear na outra variável.

Figura 4.4: Cinco casos de associação

Para compreender melhor o seu significado, considere os dois gráficos da figura 4.5.
No primeiro, existe uma associação perfeita linear com r = −1. A variável Y está
totalmente ligada à variável X; quando X varia, Y também varia e o ponto (X, Y )
move-se ao longo da linha. O conjunto dos 8 valores de Y tem uma grande variância;
mas esta variância é devida (explicada) à ocorrência dos diferentes valores de X,
levando consigo os valores de Y . A dependência linear em X explica toda a variação
em Y e r2
= 1.
Figura 4.5: Duas associações diferentes entre duas variáveis
No segundo gráfico, o conjunto dos 21 valores de Y também tem uma grande variância.
Alguma desta variância pode ser explicada pelo facto de a variação em X levar consigo
uma variação (em média) em Y .
O gráfico apresenta esta situação, mostrando os diferentes valores de Y que acompa-
nham os dois valores de X. Neste caso, r2
= +1 pois a associação entre X e Y explica
apenas parte da variação em Y . Esta parte é a fracção r2
da variância dos valores de Y
Neste exemplo, r2
= 0.49 e diz-se que 49 por cento da variância de Y é explicada pela
dependência linear de Y em relação a X.
O coeficiente r2
mede apenas a intensidade da associação e não nos diz nada sobre se
ela é positiva ou negativa.
A associação entre duas variáveis pode ser devida a três factores:
• ao factor causa, isto é, uma das variáveis origina (causa) variações na outra;
• à existência de outra(s) variável(eis) que origina(m) o aparecimento das duas (ou,
cuja variação causa variações nas duas) variáveis em estudo;
• a uma terceira variável, que não se encontra em estudo, mas que, juntamente com
uma das variáveis causa variações na outra.

Para concluir que a associação entre duas variáveis é devido à causa, é necessário que:
• a associação se repita em diferentes circunstâncias, reduzindo a probabilidade de ser
consequência da mistura entre variáveis;
• se conheca uma explicação plausível, mostrando como uma variável pode causar
variações noutra variável;
• não pareçam existir terceiros factores que possam causar variações nas duas variáveis.
A associação que se deve a razões comuns, pode ser utilizada para predizer uma das
variáveis, como função da outra.
Figura 4.6: Recta de regressão
Correlação e predição estão muito relacionadas. Por exemplo, se uma variável indepen-
dente X e uma variável dependente Y têm um r2
= 1, isto significa que as observações
em X e Y estão sobre uma linha recta. Este modelo pode ser usado para predizer Y a
partir de um valor de X - ler na recta o correspondente valor de Y , Yx. Se o valor de r2
é
pequeno, a predição é menos precisa porque os pontos não estão sobre uma linha recta e
Y varia muito, para um valor fixo de X.
A linha que deve ser usada para predizer Y a partir de X, baseada numa mancha de
pontos é a recta de regressão. Veja o exemplo da figura 4.6.

Capítulo 5
Distribuição normal
Quando um conjunto de dados tem uma distribuição descrita por uma das curvas normais,
a média é facilmente detectada. Esta distribuição é simétrica, a média coincide com a
mediana e também com a moda. É o valor que corresponde ao pico. Veja o gráfico da
figura 4.2.
O desvio padrão também é facilmente detectável da curva normal. Os pontos onde a
curvatura muda, de ambos os lados em relação ao centro, estão localizados a um desvio
padrão de cada lado da média. O gráfico da figura 5.1. apresenta três exemplos de
distribuições normais com a mesma média mas com diferentes desvios padrão.
Figura 5.1: Distribuições normais com diferentes desvios
A média fixa o centro da curva, enquanto que o desvio padrão determina a forma.
Alterando a média de uma distribuição normal não altera a forma, apenas altera a sua
localização nos eixos. No entanto, alterando o desvio padrão, a forma da curva é alterada.
31

CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 32
Em todos os casos, temos a curva normal das frequências com uma amplitude igual a
seis desvios padrão.
Considere a ﬁgura 5.2. Em qualquer distribuição normal,
Figura 5.2: Distribuição normal
1. metade das observações são menores do que a média e a outra metade maiores;
2. 68 por cento das observações pertencem ao intervalo limitado por um desvio padrão
para cada lado da média; destas, metade (34 por cento) estão entre a média e um
desvio padrão para além da média;
3. 95 por cento das observações pertencem ao intervalo limitado por dois desvios para
cada lado da média;
4. 99.7 por cento das observações pertencem ao intervalo limitado por três desvios em
relação à média.
Em qualquer distribuição normal, o percentil de ordem 84 de uma distribuição normal
está localizado a um desvio padrão acima da média. Do mesmo modo o percentil de ordem
16 é o ponto localizado a menos um desvio padrão em relação à média.
As observações retiradas de diferentes distribuições normais podem ser comparadas,
colocando-as em unidades de desvio padrão acima ou abaixo da média. Observações ex-
pressas em unidades de desvio padrão em relação à média, chamam-se pontuações es-
tandardizadas (’standard’). Esta pontuação é calculada da seguinte maneira:
pontuação estandardizada =
observação − média
desvio padrão
.

CAPÍTULO 5. DISTRIBUIÇÃO NORMAL 33
Por exemplo, uma pontuação de 24 unidades num teste, cuja média foi de 18 e o desvio
padrão de 6, é equivalente a (24−18
6
=)1 unidade de pontuação estandardizada. Uma
pontuação estandardizada de 1 corresponde sempre ao percentil de ordem 84, qualquer
que seja a distribuição normal original.

Capítulo 6
Análise de Regressão
Seja Y uma variável aleatória dependente cuja variação é afectada pela variação da variável
independente X.
Sejam X1, X2, ..., Xn os valores escolhidos arbitrariamente para X e Yi(i = 1, ..., n) os
correspondentes valores de Y .
6.1 Regressão Linear e Simples
A partir dos valores observados, podemos estimar a recta de regressão linear e simples
(com uma só variável independente). A forma da recta é:
Yx = α + β(X − X)
em que X é a média aritmética dos n valores de X, X1, X2,... ,Xn e α e β são calculados
através de
α =
n
i=1 Yi
n
β =
n
i=1(Xi − X)(Yi − Y )
n
i=1(Xi − X)2
=
n
i=1(Xi − X)Yi
n
i=1(Xi − X)2
.
Embora seja possível fazer interpolação, isto é, calcular o valor de Y que corres-
ponde a um dado valor de X = X0, se este pertencer ao intervalo definido pelos valores
X1, X2, ..., Xn usados nos cálculos, a extrapolação deve ser implementada com cuidado
pois,
1. embora existindo uma relação linear entre X e Y (esta pode ser adequada na região
definida pelo conjunto de valores usados), o modelo pode deixar de ser válido fora da
região definida por esse conjunto,
2. quanto mais afastado X0 estiver de X, maior será o erro de extrapolação.
34

CAPÍTULO 6. ANÁLISE DE REGRESSÃO 35
6.2 Regressão não linear
Além do modelo de regressão linear, existem outros modelos que podem descrever a de-
pendência de Y em relação a X. Mesmo assim, a análise de regressão já definida pode ser
aplicada, desde que seja possível para isso redefinir as variáveis ou transformar a equação,
de modo a conseguir-se um modelo linear nos parâmetros.
Como primeiro exemplo, considere o caso em que
Y = α + βX2
.
A equação é já linear nos parâmetros α e β e a única não linearidade está na variável
independente X.
No segundo exemplo,
Yx = Xβ
,
mais complicado, a não linearidade envolve directamente o parâmetro β a ser calculado.
Esta equação exige uma transformação de variáveis que a torne linear em β.
Para o primeiro caso, o modelo matemático, no caso geral, é
Yx = α + βw + γw2
com w = W − W. Se fizermos x = w e z = w2
, este modelo reduz-se a um modelo linear
e múltiplo.
Para o segundo caso, se aplicarmos logaritmos, obtemos o modelo
ln Yx = β ln X ou yx = βx
que já é linear no parâmetro β, sendo, neste caso, x = ln X e y = ln Y . Este modelo é
agora linear e simples, sem constante α.

Parte II
Séries cronológicas
36

Capítulo 7
Componentes do estudo
Comecemos pela definição:
Definição 7.0.1 Uma série cronológica é um conjunto de observações feitas em períodos
sucessivos de tempo, durante um certo intervalo.
Exemplo 7.0.1 Valores da taxa bruta de natalidade, em anos sucessivos.
Exemplo 7.0.2 Percentagem da população com idade inferior a 7 anos, em anos suces-
sivos.
Vamos designar o conjunto dessas observações por X1, X2, ..., Xn e vamos supor que
foram feitas nos períodos de tempo t1, t2, ..., tn contados a partir de uma origem fixada.
As observações são normalmente feitas em períodos de tempo igualmente espaçados.
7.1 Representação gráfica de uma série cronológica
Para iniciar a análise de uma série cronológica deve representar-se graficamente as ob-
servações. Esta representação gráfica chama-se cronograma. Nos eixos das ordenadas
marca-se o valor da série. No eixo das abcissas marca-se o tempo (ver figura 7.1)
7.2 Estudo de uma série cronológica
Duas das questões mais importantes a ter em conta no estudo de uma série cronológica
são:
• A comparação entre valores da série se o intervalo entre tempos não é constante.
Pode ser ultrapassada fazendo uma correcção aos valores da série.
• A variação da população a que se refere o fenómeno. As variações sofridas ao longo
do tempo que sejam devidas à variação no número de elementos da população não
interessam. A análise das variações deve ser feita em termos relativos.
37

CAPÍTULO 7. COMPONENTES DO ESTUDO 38
0
1
2
3
4
5
6
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
tem po
valordasérie
cronogram a
Figura 7.1: Gráfico de uma série cronológica
Constata-se que na maior parte das séries cronológicas as sucessivas observações não
são independentes. Por exemplo, o valor da observação no instante t3 depende dos valores
nos instantes t1 e t2.
Quando se verifica dependência é possível prever valores futuros tendo como base valores
da série já observados.
O estudo de uma série cronológica consiste na descrição, na explicação, na previsão e
no controlo dessa série. Assim,
• a descrição consiste na caracterização do comportamento através da identificação
de pontos altos e baixos, distância entre eles, valores aberrantes e pontos de viragem;
• a explicação compreende a formulação de hipóteses e a tentativa de construir um
modelo matemático que permita descrever o comportamento da série até ao presente;
• a previsão estabelece uma relação entre o comportamento observado da série e o
comportamento futuro;
• o controlo é um fenómeno que tenta modificar o comportamento futuro da série.

Capítulo 8
Decomposição
Algumas séries cronológicas são influenciadas por uma ou duas causas dominantes. Outras
são influenciadas por uma infinidade de causas.
É conveniente decompor as séries cronológicas em componentes que se agrupam em:
movimentos sistemáticos



tendência (’trend’)
movimento sazonal
movimento oscilatório
movimentos não sistemáticos movimento aleatório
• A tendência é a variação em média, ao longo do tempo (compreende os movimen-
tos que se manifestam suave e consistentemente ao longo de um período grande de
tempo).
• Os movimentos sazonais são variações em relação à tendência que ocorrem, em
geral, dentro de um ano.
Os movimentos sazonais podem ter causas naturais e causas sociais.
– As causa naturais estão associadas (quase sempre) com as estações do ano.
– As causa sociais estão associadas com usos, costumes e tradições sociais.
• Os movimentos oscilatórios ocorrem mais em séries económicas e associam-se a
ciclos económicos de expansão e depressão. Não apresentam periodicidade definida.
Estes são difíceis de separar da tendência.
• Os movimentos aleatórios são de carácter fortuito, irregulares e de origem desco-
nhecida.
Exemplos: guerras, epidemias, greves, secas, ...
Para o estudo da série é aconcelhável identificar e limitar primeiro a tendência, depois
os movimentos sazonais e finalmente as oscilações.
39

Capítulo 9
Estudo da tendência
A tendência é um movimento suave e consistente ao longo de um período grande de tempo
(o termo grande é relativo pois o que é grande para uma série pode ser pequeno para
outra). O número de anos em que se deve considerar a tendência varia de série para série.
Algumas causas da presença da tendência numa série cronológica são:
• causas relacionadas com variações na população;
• causas relacionadas com idade, saúde, educação, constituição, conhecimentos teóricos
da população;
• causas relacionadas com a qualidade e quantidade de recursos.
Estas causas estão relacionadas entre si.
Os objectivos a atingir com a determinação da tendência são:
1. Estudá-la para extrapolar como forma de prever o comportamento da série no futuro;
2. Eliminá-la para estudar as outras componentes (sazonalidade, oscilação e aleatorie-
dade).
Quando se elimina a tendência, a série diz-se estacionária.
9.1 Métodos para estudo da tendência
Os dois métodos mais importantes para estudar a tendência são:
1. Método das médias móveis
2. Método analítico
40

CAPÍTULO 9. ESTUDO DA TENDÊNCIA 41
9.1.1 Método das médias móveis
O método das médias móveis consiste em calcular a média aritmética de observações
contidas em escalões, tomando-a como estimativa do valor local da tendência. Assim, as
etapas a seguir são:
1. começa-se por dividir a série em escalões, com igual número de termos sobrepostos;
• o número de observações em cada escalão chama-se período da média móvel,
(ver ﬁgura 9.1)
x x x x x x x x x x
Figura 9.1: Escalões de período igual a 3
• Se tem k observações em cada escalão, existem k − 1 observações em comum
com os escalões seguintes (e anteriores).
2. Calculam-se as estimativas locais da tendência;
• Se k é impar (k = 2m + 1):
as estimativas da tendência são (exemplo com k = 3, m = 1)
t2 =
X1 + X2 + X3
3
t3 =
X2 + X3 + X4
3
t4 =
X3 + X4 + X5
3
...
tn−1 =
Xn−2 + Xn−1 + Xn
3
e a tendência não é estimada para os primeiros e últimos m pontos do tempo.
• Se k é par (k = 2m)

i) as estimativas da tendência calculam-se em pontos médios de um intervalo
(exemplo com k = 4, m = 2)
ponto médio de [2, 3] =
X1 + X2 + X3 + X4
4
X2 + X3 + X4 + X5
4
X3 + X4 + X5 + X6
4
...
ii) para centrar estas médias, calcula-se uma 2a
média móvel de período 2
[2, 3] = X1+X2+X3+X4
4
[3, 4] = X2+X3+X4+X5
4
⇒
t3 =
X1+X2+X3+X4
4
+ X2+X3+X4+X5
4
2
.
Do mesmo modo
t4 =
X2+X3+X4+X5
4
+ X3+X4+X5+X6
4
2
, ...
O método das médias móveis é um caso particular dos filtros lineares, filtros esses que
transformam uma série X noutra Y , por meio de uma operação linear.
9.1.2 Método analítico
Com o método analítico a determinação da tendência é feita ajustando uma função da
variável tempo (t) ao cronograma da série cronológica.
Este ajuste é feito, em geral, pelo método dos mínimos quadrados.
De acordo com o tipo de função assim podemos ter tendências lineares, parabólicas,
exponenciais, ...
A função vai traduzir uma lei matemática que se admite ser seguida pela tendência.
A escolha do tipo de função a ajustar não é fácil e este processo deve ser iniciado com
a representação gráfica da série e inspecção cuidada do cronograma.
Tendência linear
O modelo mais simples que é possível representar é o modelo linear com a seguinte
forma:
Xt = α + βt. (9.1)
Como
Xt = α + β(t − t) = α + βt − βt = α − βt + βt,

tem-se
α = α − βt (9.2)
em que t é a média aritmética dos tempos, t1, t2, ..., tn, e os valores de α e β são calculados
da seguinte maneira:
α =
X1 + X2 + ... + Xn
n
(9.3)
e
β =
(t1 − t)X1 + (t2 − t)X2 + ... + (tn − t)Xn
(t1 − t)2 + (t2 − t)2 + ... + (tn − t)2
. (9.4)
O valor de α da equação Xt = α + βt chama-se ordenada na origem, isto é, quando
t = 0, Xt = α, e β representa o declive da recta. Este declive dá a variação verificada
em Xt quando t varia de um período de tempo (constante).
O quadrado do coeficiente de correlação das duas variáveis X e t, r2
(coeficiente de
determinação) dá a percentagem da variação da série original explicada pela tendência
linear. A diferença 100% − r2
% é a variação explicada pelos outros movimentos.
Além da tendência linear, descrita por um polinómio linear, existem outros tipos, tais
como: tendências quadráticas (polinómio quadrático), tendências cúbicas (polinómio cú-
bico), exponenciais, etc.
Exemplo 9.1.1 Considere a seguinte tabela de valores [2]:
Ano t X desvios:X − Xt
1973 1 233 41.258
1974 2 250.3 39.884
1975 3 158 -71.09
1976 4 178.3 -69.464
1977 5 293.5 27.062
1978 6 309.5 24.388
1979 7 279 -24.786
1980 8 355.2 32.74
O cronograma está representado na figura 9.2.
No ajuste de uma tendência linear, usando as equações (9.3), (9.4), (9.2) e finalmente
(9.1), obtêm-se
Xt = 173.068 + 18.674 t.
A representação desta recta está na figura 9.2. A interpretação é a seguinte - A partir
de uma valor de 173.068 verificado para t = 0 (1972), a tendência (Xt) aumenta (β > 0),
em média, por ano (ver 1a
coluna da tabela) 18.67.
Se calcularmos o coeficiente de determinação, r2
, teremos r2
= 0.475, ou seja, 47.5%
da variação da série original é explicada pela tendência, ficando 52.5% à conta dos outros

150
200
250
300
350
400
450
1 2 3 4 5 6 7 8
t
X
X Linear Quadrática Exponencial
Figura 9.2: Cronograma da série e modelos ajustados

movimentos. Na figura 9.2 estão também representadas duas funções. Uma quadrática e
outra exponencial , que corresponderiam a ajustes de modelos quadráticos e exponenciais,
respectivamente.
Os desvios, X − Xt, calculados pela diferença entre os valores observados, X, e os
valores da tendência linear, Xt, representam a série corrigida da tendência. Para a
série do exemplo 9.1.1, os desvios estão representados na figura 9.3.
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
1 2 3 4 5 6 7 8
t
Figura 9.3: Desvios. Série corrigida da tendência
A diferença entre o método das médias móveis e o método analítico é considerável. No
primeiro, não se considera a tendência como definida por qualquer lei e obtém-se apenas
uma curva ”suave”, sem outros movimentos. Com o segundo método, determina-se uma
função que traduz uma certa lei matemática que se admite ser seguida pela tendência.

Capítulo 10
Movimento sazonal
Os movimentos sazonais são variações que ocorrem dentro de um ano e de acordo com
um certo modelo (mais ou menos rígido) que se repete de ano para ano.
São todos os movimentos periódicos de período igual ou inferior a um ano.
Exemplo 10.0.2 Sazonalidade de casamentos[1] (índices)
Paróquias
Mês Sul do Pico Transmontanas Guimarães
Jan 122 126 117
Fev 164 172 160
Mar 29 91 64
Abr 52 111 118
Mai 140 131 127
Jun 105 98 111
Jul 73 64 64
Ago 69 68 76
Set 93 83 78
Out 154 75 96
Nov 161 78 110
Dez 39 104 94
Deste exemplo é visível que a marcação de casamentos, nalgumas regiões, é afectada
por:
• razões sociais: respeito pelas interdições da Quaresma, Advento
• razões económicas: fainas agrícolas, preparação das vinhas (ﬁm de inverno), vindi-
mas, pastagens no verão.
46

CAPÍTULO 10. MOVIMENTO SAZONAL 47
10.1 Método para determinar as ﬂutuações sazonais
10.1.1 Método das médias mensais
O termo mensal está relacionado com o facto do período sazonal ser de um ano e estar
dividido em meses. Neste caso deve-se trabalhar com médias mensais.
Se o ciclo for outro, por exemplo, o ano dividido em trimestre deve-se trabalhar com
médias trimestrais.
O método das médias mensais só deve aplicar-se a uma série quando os dados não
apresentarem tendência ou quando esta não for muito pronunciada. Existindo tendência,
esta viciará os índices. Assim, o método das médias mensais só deve ser aplicado depois
de se ter eliminado a tendência.
Se a tendência foi estimada através do ajuste de uma recta, Xt = α + βt (ver (9.1)), os
desvios em relação à tendência traduzem a série corrigida da tendência e é a partir destes
valores corrigidos que se calculam os índices sazonais.
As etapas do método são as seguintes:
1. Dispôr as observações num quadro da seguinte maneira:
mêsano 1900 1901 1902 ... Total Média Índice
Jan ...
Fev ...
Mar ...
Abr ...
Mai ...
Jun ...
Jul ...
Ago ...
Set ...
Out ...
Nov ...
Dez ...
Total ...
(este exemplo refere-se a um período dividido em meses)
2. Calcular os totais (somas) referentes aos meses e colocá-los na coluna referenciada
com Total;
3. Calcular as médias para cada mês e colocá-las na coluna referenciada por Média;
4. Calcular a média das médias (média geral) e colocá-la na última célula da coluna
”Média”;

CAPÍTULO 10. MOVIMENTO SAZONAL 48
5. Os índices sazonais são calculados como a percentagem da média de cada mês em
relação à média geral.
Nota 10.1.1 A soma dos índices é 1200.
Nota 10.1.2 O nível que traduz ausência de sazonalidade é igual a 100.
Assim, os índices são interpretados da seguinte maneira:
• Um valor menor que 100 indica que nesse mês a ﬂutuação sazonal se traduz numa
quebra em relação ao nível ’normal’ (100);
• Um valor maior que 100 indica um aumento em relação ao nível normal.
Nota 10.1.3 Também existe o método das médias móveis para estudar a sazonalidade [2].

Parte III
Estatística demográﬁca
49

Capítulo 11
Estruturas populacionais
Iremos estudar alguns dos aspectos globais da população através do seu volume, ritmo de
crescimento e densidade.
11.1 Taxas de crescimento
Quando temos, ao longo do tempo, informação variada sobre o volume de uma população
queremos numa primeira análise calcular o ritmo de crescimento. O valor do ritmo de
crescimento deve corresponder a um resultado anual médio para ser possível fazer compa-
rações em períodos de amplitudes diferentes. O ritmo de crescimento de uma população
pode ser
i) Contínuo:
com
Pn = P0ean
(11.1)
onde:
e = 2.718282 (exponencial)
Pn =população num momento n
P0 =população num momento 0
a =taxa de crescimento.
Aplicando logaritmos neperianos (ln) a (11.1) temos
ln Pn = ln P0 + ln ean
ln Pn − ln P0 = an
ln
Pn
P0
= an
50

CAPÍTULO 11. ESTRUTURAS POPULACIONAIS 51
e
a =
ln Pn
P0
n
(11.2)
onde a corresponde à taxa de crescimento contínuo.
ii) Aritmético:
com
Pn = P0(1 + an)
ou seja
Pn = P0 + P0an
Pn − P0 = P0an
e
a =
Pn − P0
P0n
(11.3)
onde a corresponde à taxa de crescimento aritmético.
iii) Geométrico:
com
Pn = P0(1 + a)n
(11.4)
ou seja
Pn
P0
= (1 + a)n
(11.5)
e aplicando logaritmo na base 10 a (11.5) temos
log
Pn
P0
= n log(1 + a)
log(1 + a) =
log Pn
P0
n
,
ou seja
1 + a = 10
log
Pn
P0
n
e
a = 10
log Pn
P0
n − 1 (11.6)
onde a corresponde à taxa de crescimento geométrico.
Exemplo 11.1.1 Se em 1821 a população de uma região era de 3276203 habitantes, e se
a taxa de crescimento, a, é de 0.25%, qual a população ao ﬁm de 5, 25 e 100 anos?

i) Se for crescimento contínuo
P5 = 3276203e0.0025×5
= 3317412
P25 = 3276203e0.0025×25
= 3487500
P100 = 3276203e0.0025×100
= 4206728
ii) Se for crescimento aritmético
P5 = 3276203(1 + 0.0025 × 5) = 3317156
P25 = 3276203(1 + 0.0025 × 25) = 3480966
P100 = 3276203(1 + 0.0025 × 100) = 4095254
iii) Se for crescimento geométrico
P5 = 3276203(1 + 0.0025)5
= 3317361
P25 = 3276203(1 + 0.0025)25
= 3487228
P100 = 3276203(1 + 0.0025)100
= 4205416
(ver figura 11.1)
Exemplo 11.1.2 Análise prospectiva:
Se a taxa de crescimento geométrico for a = 0.0021 (0.21%), ao fim de quantos anos
(n?) duplicará a população?
Crescimento geométrico:
Pn = P0(1 + a)n
2P0 = P0(1 + a)n
2P0
P0
= (1 + a)n
2 = (1 + a)n
.
Aplicando logaritmos,
log 2 = n log(1 + a)
0.30103 = n log(1.0021)
0.30103 = n × 0.0009111
n =
0.30103
0.0009111
e
n = 330, 4...
R: ao fim de 330 anos

3276000
3376000
3476000
3576000
3676000
3776000
3876000
3976000
4076000
4176000
5 25 100
a no
população
contínuo aritmético geom étrico
Figura 11.1: Variações da população

Exemplo 11.1.3 Análise regressiva:
A população em 1821 era de 3276203 habitantes. Se admitirmos que o ritmo de cres-
cimento na primeira metade do sec XIX era de 0.0021 (a = 0.21%) qual teria sido a
população em 1801?
Sabe-se que em 1821, n = 20, Pn = P20 = 3276203. Considerando 1801 como o ano 0,
queremos saber P0 (com crescimento geométrico).
Pn = P0(1 + a)n
3276203 = P0(1 + 0.0021)20
3276203
P0
= (1 + 0.0021)20
.
Aplicando logaritmos,
log
3276203
P0
= 20 log(1.0021)
log
3276203
P0
= 0.01822.
Aplicando agora a função inversa, potência de 10,
3276203
P0
= 100.01822
3276203
P0
= 1.04285
e
P0 =
3276203
1.04285
= 3141586.
11.2 Cálculo das densidades populacionais
Para calcular a densidade populacional de uma certa região usa-se:
dens. pop.=
Total de habitantes existentes nessa região
superﬁcie (em km2) dessa região
Exemplo 11.2.1 Se a superfície de um lugar é de 9 milhares de km2
e a população desse
lugar é de 414 milhares de habitantes, a densidade populacional é:
dens. pop. =
414 milhares de habitantes
9 milhares por km2
= 46 habitantes por km2

11.3 Estruturas demográficas
A análise de alguns aspectos globais da população também compreende o conhecimento
das estruturas demográficas.
Uma estrutura demográfica consiste na subdivisão da população em grupos homo-
géneos a partir de determinadas características.
Existem diversos tipos de estruturas: por sexos e idades, por estado civil, por actividade
económica, por níveis de instrução, ...
Exemplo 11.3.1 Analisemos a repartição por sexos e idades:
a) a repartição por sexos justifica-se pelo facto das populações masculina e feminina
desempenharem funções diferentes na sociedade, com incidências demográficas devido
a um complexo de factores biológicos, sociais e culturais.
b) a repartição por idades justifica-se pela necessidade:
• de se analisar os efeitos específicos de cada idade (com o aumento da idade os
comportamentos e as capacidades vão-se modificando)1
;
• de se comparar determinados aspectos das fases da vida (início da socialização,
instrução primária, primeiro casamento,...) em pessoas com diferentes idades2
.
11.3.1 Pirâmides de idades
A pirâmide de idades é uma representação gráfica da distribuição de uma população por
sexos e idades, que permite ter uma visão de conjunto das estruturas de idades de uma
população.
• As idades são representadas num eixo vertical. Os efectivos (população existente) são
representados em dois semi-eixos horizontais; o da esquerda é reservado aos efectivos
masculinos; o da direita aos femininos.
As figuras 11.2 e 11.3 apresentam dois exemplos de pirâmides de idades.
• Podemos construir pirâmides por idades e por grupos de idades.
• Representando os efectivos em números absolutos, a população em cada idade (ou
grupo de idades) é representada por rectângulos, cuja área é proporcional ao efectivo
(a ’largura’ é constante e o ’comprimento’ é proporcional ao efectivo ou volume da
população (número de habitantes)).
1
Efeito idade
2
Efeito geração

Figura 11.2: Exemplo de pirâmide de idade [1]

Figura 11.3: Exemplo de pirâmide de idade [1]

• A escala utilizada deve ser tal que a pirâmide terá uma altura igual (≈) a 2
3
da largura
total.
• Podem aparecer vários tipos de pirâmides, embora a mais vulgar seja a ’triangular’.
Assim, existem as pirâmides com forma de
1. acento circunflexo que é típica dos países não desenvolvidos com mortalidade e
natalidade muito elevadas e caracteriza-se por ter uma base larga e topo muito
reduzido;
2. urna que é típica dos países desenvolvidos com baixos níveis de mortalidade e
natalidade e tem uma base muito reduzida e um topo bastante empolado;
3. ás de espadas, típica dos países desenvolvidos com aumento de fecundidade num
certo período de tempo.
• Quando trabalhamos com grupos de idades, a largura do rectângulo é proporcional
ao número de anos existentes em cada grupo. Se os grupos forem quinquerais (muito
vulgar) basta fixar uma largura, que será constante.
O comprimento é proporcional ao total dos efectivos das diversas idades (que com-
põem o grupo) dividido pelo número de anos do grupo (quinquenal→5).
• Se interessar fazer comparações no tempo ou no espaço, é mais conveniente represen-
tar os efectivos relativos. A comparação passa a ser feita em termos de percentagens
entre os diferentes grupos de idades.
11.3.2 Grupos funcionais
Quando temos que comparar muitas estruturas populacionais, ao longo do tempo, para
verificar a sua evolução, ou comparar estruturas de um número vasto de localidades, surgem
vulgarmente muitos gráficos a partir dos quais é difícil tirar conclusões. Para uma visão
mais rápida da evolução ou da diversidade de estruturas é mais conveniente compactar
a informação disponível, de acordo com determinados critérios. O mais importante é a
idade. É possível concentrar a análise num número reduzido de subgrupos, chamados
grupos funcionais.
Por exemplo, dividir a população em três grandes grupos: 0-14 anos que define a
população jovem, 15-64 anos que define a população activa e 65 e +anos que define a
população velha. Uma outra divisão consiste nos seguintes grupos: 0-19, 20-59 e 60 e +
anos.
É possível ainda pegar num destes grupos e dividi-lo. Por exemplo, o grupo 20-59 pode
dividir-se em 20-39, população activa jovem, e 40-59, população activa velha.
Se o critério para a definição de grupos funcionais for o da escolaridade, teríamos os
seguintes grupos: 0-5 (população em idade pré-escolar), 5-18 (população em idade escolar)
e 18-24 (população em idade universitária).

Deﬁnidos os grupos funcionais deve proceder-se à manipulação dos dados, transformando-
os em índices-resumos que se constroem a partir dos grupos funcionais.
Os índices-resumos mais importantes são:
• percentagem de jovens
população com 0-14 (ou 0-19) anos
população total
× 100%
• percentagem de activos
população com 15-64 (ou 20-59) anos
população total
× 100%
• percentagem de velhos
população com 65 e + (ou 60 e +) anos
população total
× 100%
• índice de vitalidade (’racio’ entre velhos e jovens)
população com 65 e + anos
população com 0-14
× 100%
• ’racio’ de dependência dos jovens
× 100%
• ’racio’ de dependência dos velhos
população com 65 e + anos
× 100%
• ’racio’ de dependência total
população com 0-14 e 65 e + anos
× 100%

Capítulo 12
Qualidade dos dados
12.1 Relação de masculinidade
As pirâmides de idades nunca são simétricas pois nascem mais rapazes do que raparigas.
Por cada 100 raparigas nascem 105 rapazes. No entanto a mortalidade (factor fundamental
na análise da redução dos diversos efectivos) é mais intensa nos homens do que nas mu-
lheres. Factores como as migrações, guerras, ... podem modificar ainda mais a assimetria
’natural’.
A relação de masculinidade é dada pelo quociente, para cada idade (ou grupo de
idades),
efectivos masculinos
efectivos femininos
× 100.
Como a relação de masculinidade dos nascimentos ronda os 105, a relação de masculi-
nidade do primeiro grupo de idades é muito próxima de 105.
À medida que se avança na idade, devido ao facto de que a mortalidade masculina é
superior à mortalidade feminina, as relações de masculinidade diminuem. É o efeito idade.
O índice, relação de masculinidade dos nascimentos, é frequentemente utilizado para
apreciar a qualidade do registo de nascimentos, por sexos. Normalmente existem
omissões mais acentuadas num sexo do que noutro.
Quando o número de nascimentos não é suficientemente grande, alguns desvios podem
ser consequência directa de flutuações aleatórias mesmo estando em presença de observa-
ções perfeitas. No entanto, é possível calcular um intervalo de variação deste erro, em
função do número de nascimentos observados:
1. Para uma relação de masculinidade de 105, em 1000 nascimentos teríamos 512 mas-
culinos e 488 femininos. A proporção de rapazes é de 0.512 = 512
1000
. A proporção de
raparigas é então de 0.488.
2. Os limites do intervalo de confiança a 95% (0.95 de probabilidade de conter o valor)
para a proporção são
60

CAPÍTULO 12. QUALIDADE DOS DADOS 61



0.512 − 1.96
0.512 × 0.488
n
i
,
0.512 + 1.96
0.512 × 0.488
n
s



em que n representa o número total de nascimentos.
3. Os limites de confiança da relação de masculinidade são
i
1 − i
× 100,
s
1 − s
× 100
em que i e s são respectivamente os limites inferior e superior do intervalo do passo
anterior.
4. Se o valor da relação de masculinidade observado está fora do intervalo (do passo
anterior) é de admitir uma má qualidade no registo dos nascimentos. Se for superior
existe provavelmente um sobre-registo dos nascimentos masculinos (menos provável)
ou um sub-registo dos femininos (mais provável).
12.2 Índice de Whipple
O método baseado no cálculo da relação de masculinidade dos nascimentos e, quando o
número de nascimentos é pequeno, do intervalo de variação (limites de confiança da relação
de masculinidade) serve para analisar a qualidade dos dados das estatísticas demográficas.
O método baseado no índice de Whipple serve para analisar determinado tipo de
distorção existente nos recenseamentos.
O tipo de distorção referida é a atracção pelos números (idades) terminados em 0 e 5.
Sabe-se que em demografia e em países não desenvolvidos e há muitos anos atrás as
pessoas tinham dificuldade em declarar com exactidão a sua idade. Por exemplo, pessoas
com 48, 49, 51 e 52 anos de idade tinham a tendência em declarar que tinham 50 anos.
Esta idade aparecia com muitos registos e os valores adjacentes tinham poucos efectivos.
O índice de Whipple constrói-se da seguinte maneira:
1. calcula-se o número de pessoas entre 23 e 62 anos (inclusivé);
2. calcula-se o número de pessoas que, no intervalo de idades de 23 a 62 anos, têm
idades registadas que terminam em 0 e 5;
3. calcula-se o índice
IW =
no
de pessoas na alínea 2 × 5
no
de pessoas na alínea 1
× 100.

O IW pode variar entre 100 (ausência de concentração) e 500 (caso limite em que todas
as pessoas declaram idades terminadas em 0 e 5)
Para facilitar a análise usa-se a escala de valores do anuário demográﬁco das Nações
Unidas de 1963. Assim
se pode concluir-se que
IW < 105 dados muito exactos
105 ≤ IW < 110 dados relativamente exactos
110 ≤ IW < 125 dados aproximados
125 ≤ IW ≤ 175 dados grosseiros
IW > 175 dados muito grosseiros
12.3 Índice de irregularidade
Este índice serve para medir qualquer tipo de atracção, por exemplo, pelos números pares
e impares, pelo número 0, pelo número 5, pelos números terminados em 1,2,3, ...
O índice de irregularidade constrói-se da seguinte forma:
1. calcula-se o número de pessoas com a idade cuja atracção se pretende medir;
2. calcula-se a média aritmética do número de pessoas com as 5 idades que enquadram
a idade que se pretende analisar;
II =
no
de pessoas da alínea 1
no
de pessoas da alínea 2
× 100
Quanto mais o II se afasta de 100 mais demonstra a força da atracção.
12.4 Índice combinado das Nações Unidas
Este índice serve para medir a qualidade global de um recenseamento.
Este índice combina três indicadores:



indicador de regularidade das idades das pessoas do sexo masculino
indicador de regularidade das idades das pessoas do sexo feminino
indicador de masculinidade
O índice combinado das Nações Unidas calcula-se da seguinte maneira:
1. calcula-se o índice de regularidade dos sexos (i.r.s.) da seguinte forma:

i.r.s. = média aritmética das diferenças, em valor absoluto, entre as
relações de masculinidade dos grupos sucessivos
2. calcula-se o índice de regularidade das idades do sexo masculino
(i.r.i.(M)) e do sexo feminino (i.r.i.(F)) da seguinte maneira:
i.r.i.(M) = média aritmética das diferenças, em valor absoluto,
entre as relações de regularidade (r.r.) e o 100
com
r.r.=
efectivos do grupo
média aritmética dos efectivos dos 2 grupos adjacentes
× 100
(com fórmulas idênticas para o i.r.i.(F))
ICNU=3 × (i.r.s.)+i.r.i.(M)+i.r.i(F)
Para faciliar a interpretação existe uma grelha (das Nações Unidas) classificativa:
se pode concluir-se que
ICNU < 20 a validade do recenseamento é boa
20 ≤ ICNU < 40 a qualidade é má
ICNU ≥ 40 a qualidade é muito má
12.5 A equação da concordância
A equação da concordância tem como objectivo verificar se existe ou não uma con-
cordância entre os diversos dados disponíveis. Estes dados estão relacionados com os dois
tipos de movimentos:
natural
migratório
que se verificam num determinado período de tempo.
Considerem-se dois instantes x e x + n (n anos após o instante x), i.e., dois períodos
com n anos de diferença.
Se conhecermos a população nos dois instantes:

Px ← população no momento x
Px+n ← população no momento x + n
e se
N é o número de nascimentos veriﬁcados naquele período,
O, o número de óbitos ocorridos naquele período,
E, o número de emigrantes naquele período,
e I, o número de imigrantes no mesmo período,
então a equação da concordância (se todos os elementos nela intervenientes tiverem sido
correctamente apurados) é:
Px+n = Px + N − O + I − E
em que N − O representa o crescimento natural e I − E representa o crescimento
migratório.
A Px + N − O + I − E chama-se população esperada.
Quando a população esperada não coincide com a população recenseada, Px+n, deve-se
tentar explicar essa diferença. Três hipóteses podem ser formuladas:
1. as parcelas N e I (+) estão subavaliadas;
2. as parcelas O e E (-) estão sobreavaliadas;
3. os recenseamentos não são de boa qualidade.
Face à realidade do país em estudo (na época em estudo) assim se podem tirar as
conclusões mais acertadas.
Algumas recomendações:
1. Face à diferença observada entre população esperada e população recenseada ter em
atenção o sinal dessa diferença;
2. Veriﬁcar a qualidade dos dados pelos índices de irregularidade e Whipple e ICNU e
pela relação de masculinidade dos nascimentos. Se a qualidade for boa, afasta-se a
hipótese de recenseamento de má qualidade.
3. Resta uma análise dos movimentos migratórios;
4. Resta ainda uma análise dos registos de nascimento e dos óbitos.
Nos registos de nascimento, a relação de masculinidade dos nascimentos ajuda a
concluir sobre o subregisto (ou sobreregisto).
5. Notar que é mais frequente um subregisto do que um sobreregisto.

Capítulo 13
Análise da mortalidade
O estudo da mortalidade, enquanto fenómeno social, gira em torno das três vertentes:
1. caracterização do declínio observado na época em estudo;
2. estudo dos factores responsáveis por esse declínio;
3. estudo das diferenças observadas entre determinados grupos (mortalidade diferencial)
13.1 Taxa bruta de mortalidade
A taxa bruta enquanto medida elementar de análise da mortalidade geral é dada por
t.b.m.=
total de óbitos num período
população média existente nesse período
× 1000
t.b.m. signiﬁca taxa bruta de mortalidade.
A taxa bruta de mortalidade pode ser calculada como resultante da interacção entre o
modelo do fenómeno e a estrutura por idades.
A t.b.m. é a soma dos produtos das estruturas relativas em cada idade (ou grupo de
idades) pelas taxas nessas idades (ou grupo de idades):
x=0
Pxtx
em que Px representa a estrutura relativa em cada grupo de idades (proporção) e é igual a
população do grupo de idades
população total
e tx é a taxa de mortalidade do grupo que é igual a
total de óbitos no grupo
população no grupo
× 1000.
Ao conjunto de taxas por idades (ou grupo de idades) chama-se modelo do fenómeno.
65

CAPÍTULO 13. ANÁLISE DA MORTALIDADE 66
Exemplo 13.1.1 [3] Completar e
Grupos de idades total de óbitos população tx × 1000 Px Pxtx
1 1848 46514 39,73 0,0326 1,30
1-4 1087 184916 5,88 0,1295 0,76
5-9 318 215461 1,48 0,1509 0,22
10-14 171 173563 0,99 0,1215 0,12
15-19 198 145227 1,36 0,1017 0,14
20-24 197 125339 1,57 0,0878 0,14
25-29 185 101699
30-34 182 82518
35-39 200 73395
40-44 247 60945
45-49 251 53330
50-54 346 46561
55-59 398 37816
60-64 483 27889
65-69 502 20397
70+ 2463 32502
Total 9076 1428082 1,0000 6,37
• calcular a taxa bruta de mortalidade (geral);
• calcular a taxa bruta de mortalidade como resultante da interacção entre modelo e
estrutura.
Por este processo ficam visíveis os factores intervenientes - o modelo e as estruturas.
Quando surgem diferenças nos valores da t.b.m., elas podem vir dos tx (modelos) ou
dos Px (estruturas) e têm significados diferentes:
• Variações entre modelos (tx) significam a existência de diferentes riscos de mortali-
dade (diferenças nas condições gerais de saúde e higiene);
• Variações entre estruturas (Px; maior ou menor envelhecimento) são alheias ao fenó-
meno em análise.
As taxas brutas são muito sensíveis aos efeitos da estrutura. Basta as proporções da
população serem diferentes nos grupos em que a mortalidade é mais intensa para termos
importantes efeitos de estrutura que nos impossibilitam a comparação entre países, regiões
ou épocas.
A validade de uma análise feita através das taxas brutas é tanto menor quanto mais di-
versificadas forem as estruturas das regiões ou épocas que se querem comparar. A validade
aumenta com a homogeneização das estruturas populacionais.

13.2 Tipos particulares de mortalidade
1. A taxa de mortalidade por idades e por grupos de idades é dada por
total de óbitos entre as idades exactas
população média existente entre essas idades
× 1000
2. A taxa de mortalidade infantil (t.m.i) calcula-se da seguinte maneira:
total de óbitos entre 0 e 1 anos exactos
população média existente entre 0 e 1 anos exactos
× 1000
Exemplo 13.2.1 Se numa região houve 11751 nascimentos em 1961, 11730 em
1962, 385 óbitos com menos de 1 ano de vida em 1962, então a t.m.i. em 1962 é:
t.m.i. =
385
11740.5
× 1000 = 32.8 por mil
3. A taxa de mortalidade infantil clássica (t.m.i.c.) é dada por
total de óbitos com menos de 1 ano
total de nascimentos nesse ano
× 1000.
Tradicionalmente esta medida da taxa de mortalidade infantil relacionava o número
de óbitos com menos de um ano e o efectivo dos nascimentos nesse ano (noção de
quociente - proporção).
Exemplo 13.2.2 Tomando os valores do exemplo 13.2.1:
t.m.i.c.=
385
11730
× 1000 = 32.8 por mil
Esta deﬁnição não é totalmente satisfatória pois os óbitos ocorridos num ano não
resultam apenas de nascimentos desse ano. Sem informação relativa ao ano de nas-
cimento do óbito ocorrido num certo ano, podemos imputar os óbitos a uma média
ponderada dos dois efectivos de nascimentos em causa (do ano em questão e do ante-
rior). Este novo processo para calcular a mortalidade infantil chama-se método da
média ponderada (m.m.p.).
Os coeﬁcientes de ponderação que se devem usar são os da tabela:

Ponderação da mortalidade infantil
(método de Shryock e Siegel)
t.m.i.c. k k
200 0.6 0.4
150 0.67 0.33
100 0.75 0.25
50 0.8 0.2
25 0.85 0.15
15 0.95 0.05
Os coeficientes de ponderação a usar têm em conta os seis tipos de população, de
acordo com o nível de mortalidade infantil esperado e que é determinado pela taxa
de mortalidade infantil clássica. Assim
t.m.i.(m.m.p.)=
total de óbitos com menos de 1 ano
k N0 + k N1
× 1000
sendo N0 o total de nascimentos do ano anterior, N1 o total de nascimentos daquele
ano e k e k os coeficientes da tabela que correspondem à t.m.i.c. calculada.
Exemplo 13.2.3 Do exemplo 13.2.1:
t.m.i.(m.m.p.) =
385
0.15(11751) + 0.85(11730)
× 1000 = 32.8 por mil
uma vez que a t.m.i.c.=32.8 e da tabela, o valor mais próximo, corresponde à 2a
linha
a contar do fim.
4. Taxas de mortalidade endógena e exógena
As causas que originam a mortalidade infantil são endógenas e exógenas.
As endógenas são consequência de deformações congénitas, doenças hereditárias ou
traumatismos causados pelo parto. Estes óbitos ocorrem normalmente durante o
primeiro mês (menos de 28 dias).
Os óbitos exógenos estão relacionados com doenças infecciosas, alimentação e cuida-
dos hospitalares insuficientes ou acidentes. Estes óbitos ocorrem nos restantes meses
(de 28 dias até 11 meses).
Não havendo registo de óbitos por causas de morte pode usar-se um método (J.
Bourgeois-Pichat) que não exige senão o conhecimento dos óbitos por dias e idades.
Assim, para se calcular o total de óbitos exógenos, soma-se ao total de óbitos
observados no intervalo 28-365 dias, 22.8% destes (ou 25% para uma divisão de 31 a

365 dias). O total de óbitos endógenos é então a diferença entre o total dos óbitos
registados e os óbitos exógenos calculados.
A taxa de mortalidade infantil clássica é igual à taxa de mortalidade endógena
(t.m.end.) mais a taxa de mortalidade exógena (t.m.exo.) sendo
t.m.end.=
total de óbitos endógenos
total de nascimentos do ano
× 1000
t.m.exo.=
total de óbitos exógenos
total de nascimentos do ano
× 1000.
13.3 Tábua de mortalidade
É possível fazer uma análise da mortalidade de uma população calculando outros índices.
O princípio da estandardização [3], que separa o impacte das estruturas do das frequências
(modelos), tem como objectivo manter o efeito das estruturas constante, calculando os
índices comparativos. Não é contudo o método mais usado.
É comum usar o princípio da translação. Com este princípio procura-se estimar a inten-
sidade e o calendário a partir das frequências calculadas em transversal. Aplica-se, assim,
o método da coorte ﬁctícia que consiste em transpôr os fenómenos que se observam num
determinado momento do tempo, para uma coorte imaginária. No caso da mortalidade, a
intensidade mede o número médio de acontecimentos por pessoa e o calendário mede a
sua repartição no tempo. O calendário, ao ser resumido pelo índice da tendência central,
a média, dá-nos a possibilidade de conhecer a duração de vida média das pessoas.
No cômputo dos efectivos de uma população podem surgir efectivos de idade ignorada.
Havendo um número signiﬁcativo de pessoas de idade ignorada, pode usar-se um critério
de repartição dessas pessoas. Calcula-se o factor (Coale e Demeny) de correcção:
população total
população total - população de idade desconhecida
e os efectivos de cada idade (ou grupo de idades) são multiplicados por este factor.
Existem tábuas de mortalidade por idades que se chamam completas, e tábuas de
mortalidade por grupos de idades, chamadas tábuas abreviadas.
Nota 13.3.1 No caso da tábua de mortalidade abreviada, as diversas funções são calcu-
ladas por grupos de idades quinquenais (n=5), excepto no primeiro grupo, que devido à
importância da mortalidade infantil, se divide em dois grupos:
• menos de 1 ano (n=1)
• 1-4 anos completos (n=4).
As diversas funções que integram uma tábua de mortalidade são:

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