1. Antonio Šabić
VJEŽBA 4: RC-KRUG
UVOD:
Kako se iz samoga imena vidi, RC strujni krug se sastoji od otpornika otpora R i kondenzatora
kapaciteta C, spojenih na izvor izmjenične struje. Da bi se bolje shvatilo ponašanje
kondenzatora u krugu izmjenične struje, promotrimo najprije sklop prikazan na slici.
Sklopkom P je moguće ploče kondenzatora C spojiti ili kratko (položaj 1) ili na bateriju
elektromotorne sile ε (položaj 2 sklopke). Kada je sklopka u položaju 2, drugi Kirchoffov zakon
za strujnu petlju daje sljedeći izraz:
0
C
Q
RI ,
Q/C je napon na kondenzatoru, a I struja koja protječe strujnim krugom tijekom nabijanja ploča
kondenzatora. Po njegovom nabijanju, struja prestaje teći strujnim krugom. Prethodna
jednadžba se može riješiti uvrštavanjem izraza za električnu struju:
dt
dQ
I  .
Pa dobijemo sljedeću diferencijalnu jednadžbu:
R
E
Q
RCdt
dQ

1
,
čije je rješenje, uz početni uvjet Q(t) = 0, jednako:
 
 /
1)( t
eCtQ 
 ,
gdje je τ = RC takozvana vremenska konstanta serijski spojenog RC kruga. Kada je t >> τ,
napon na kondenzatoru (definiran s Q/C) se asimptotski približava elektromotornoj sili izvora
ε.
Prebacivanjem sklopke u položaj 1 dolazi do prelaska naboja s jedne ploče kondenzatora na
drugu. Drugo Kirchoffovo pravilo za taj novonastali strujni krug glasi:
0
C
Q
RI .

2. Antonio Šabić
Kada u prethodnu formulu uvrstimo izraz za električnu struju dobijemo sljedeću diferencijalnu
jednadžbu:
0
1
 Q
RCdt
dQ
.
Rješenje ove diferencijalne jednadžbe, uz početni uvjet Q(t = 0) = CE je:

 /
)( t
eCtQ 

Promotrimo sada RC krug prikazan na slici ispod:
Drugo Kirchoffovo pravilo, analogno jednadžbi:
0
C
Q
RI ,
daje:
0cos0 
C
Q
IRtU  .
Prvi pribrojnik opisuje napon izvora. Uvrštavanjem izraza za električnu struju dobije se sljedeća
diferencijalna jednadžba:
t
R
U
Q
RCdt
dQ
cos
1 0
 .
Rješenje ove jednadžbe je periodična funkcija vremena, koju općenito možemo pisati
ovako:
   tQtQ cos)( 0 .
Faza ϕ opisuje kašnjenje vremenske promjene naboja za naponom. Uvrštavanjem
dviju prethodnih jednadžbi jedna u drugu, dobije se sljedeći sustav jednadžbi:

3. Antonio Šabić
R
U
Q
RC
Q
Q
RC
Q
0
00
00
cos
1
sin
0sin
1
cos




Iz prve jednadžbe sustava se može dobiti izraz za kut ϕ:
RCtg   .
Iz druge jednadžbe sustava se može dobiti izraz za amplitudu naboja na kondenzatoru, Q0:
cos00 CUQ  ,
što za amplitudu napona na kondenzatoru, V0, daje:
cos00 UUC  .
Pribor koji nam je potreban je osciloskop, funkcijski generator te otporna i kapacitorska dekada.
U prvom zadatku moramo priključiti osciloskop na funkcijski generator. Tako se upoznajemo
s pojedinim funkcijama osciloskopa i funkcijskog generatora. Na temelju perioda po jednog
sinusoidalnog, pilastog i pravokutnog signala trebamo odrediti njegovu kružnu frekvenciju ω,
te je usporediti s frekvencijom ν prikazanom na funkcijskom generatoru (ω=2πν).
U drugom zadatku trebamo spojiti sklop prikazan na slici 2 u skripti. Funkcijski generator
trebamo namjestiti da daje pravokutni signal na izlazu, te na jedan od kanala dovesti napon
izvora (napon između točaka P i O), a na drugi napon kondenzatora UC (napon između točaka
T i O). Trebamo odabrati različite kombinacije otpora R i kapaciteta C da kako bismo uočili
pojavu potpunog, djelomičnog i neznatnog izbijanja kondenzatora. Zatim, trebamo skicirati
dobivene slike. Izmjerimo napone U0 i U1 te pomoću jednadžbe:
10
10
ln2
UU
UU
T



izračunamo vremensku konstantu RC kruga, te je usporedimo s vrijednošću τ = RC. Zatim,
usporedimo vrijednosti τ i poluperioda T/2 za sva tri slučaja.
U trećem zadatku namjestimo funkcijski generator da daje sinusoidalni signal neke frekvencije
ω. Trebamo odrediti fazne razlike napona izvora i napona na kondenzatoru za različite
kombinacije otpora R i kapaciteta C, te dobivene vrijednosti usporediti sa izrazom za kut ϕ i
promotrimo signale i u konfiguraciji X - Y.

4. Antonio Šabić
MJERENJE:
PRVI ZADATAK
VRSTA SIGNALA T (ms) ω (rad/s) f (Hz) ν (Hz)
SINUSOIDALNI 5 1256,64 200 200
PILASTI 4 1570,80 250 250
PRAVOKUTNI 3 2094,40 333 330
Pri izvođenju prvog zadatka na osciloskopu smo očitali vrijednosti perioda, te smo kružnu
frekvenciju izračunali prema formuli:
T


2
 .
Frekvenciju f, koja bi trebala biti približno jednaka frekvenciji ν funkcijskog generatora smo
izračunali po formuli:
T
f
1
 .
U drugom zadatku funkcijski generator treba postaviti tako da daje pravokutni napon na izlazu.
U tome se slučaju njegov izlazni napon može napisati ovako:





,
,
0
0
U
U

TtT
Tt


2/
2/0
gdje je T period signala. Ako je vremenska konstanta RC kruga τ (τ = RC) manja od poluperioda
signala (τ < T/2), kondenzator se neće nabiti do napona U0, nego do nekog napona U1. Taj je
napon početni napon za sljedeći poluperiod, u kojemu se kondenzator neće nabiti do napona –
U0, nego do napona –U1. Vremenska je promjena napona na kondenzatoru tijekom trajanja
poluperioda u kojemu je ε = U0 jednaka:
  /
011 1)( t
C eUUUtU 
 ,
za 0 < t < T/2, gdje je s UC(t) označen napon na kondenzatoru. Tijekom sljedećega poluperioda
(ε = -U0) napon je na kondenzatoru jednak:
  /)2/(
011 1)( Tt
C eUUUtU 
 ,
za T/2 < t < T. U trenutku t = T/2 su naponi dani jednadžbama:
0
C
Q
RI
i
dt
dQ
I 

5. Antonio Šabić
jednaki, te se za vremensku konstantu τ dobije sljedeći izraz:
10
10
ln2
UU
UU
T


 .
U ovom smo zadatku tražili slučajeve potpunog, djelomičnog i neznatnog izbijanja za različite
kombinacije otpora i kapaciteta, te smo ih zabilježili, također i napone U0 i U1:
1) POTPUNO IZBIJANJE
U0 (V) U1 (V) C (nF) R (kΩ)
0,50 0,40 30,00 5,00
Koristeći mjerenja za τ = 0,68 ms. Kada vremensku konstantu računamo preko RC dobivamo τ
= 150 μs.
2) DJELOMIČNO IZBIJANJE
U0 (V) U1 (V) C (nF) R (kΩ)
0,50 0,45 99,00 8,00
Koristeći mjerenja za τ = 0,51 ms. Kada vremensku konstantu računamo preko RC dobivamo τ
= 792 μs.
3) NEZNATNO IZBIJANJE
U0 (V) U1 (V) C (nF) R (kΩ)
0,50 0,18 100,00 44,00
Koristeći mjerenja za τ = 1,99 ms. Kada vremensku konstantu računamo preko RC dobivamo τ
= 4400 μs.
TREĆI ZADATAK
R (kΩ) C (nF) Δt (μs)
5 60 300
8 60 350
5 30 170
8 100 400
Na funkcijskom generatoru smo postavili sinusoidalni signal te frekvenciju 300 Hz. Faznu
razliku napona izvora i napona na kondenzatoru ćemo izračunati prema formuli:
RCtg   ,
iz čega slijedi da je kut ϕ:

6. Antonio Šabić
ft
T
t


 

 2
2
.
Kako smo na funkcijskom generatoru namjestili frekvenciju na vrijednost od 300 Hz, kutna
frekvencija je jednaka, ω = 1884 rad/s.
ϕ (rad)
IZRAČUNAT IZMJEREN
0,51 0,57
0,73 0,66
0,28 0,32
0,98 0,75
KOMENTAR:
U prvom zadatku vidimo da nema nekakvih odstupanja, osim malog odstupanja kod
pravokutnog signala, što može biti posljedica titranja signala na ekranu što otežava precizno
očitavanje.
U drugom zadatku, kad usporedimo vremensku konstantu izračunatu preko mjerenja i preko
formule RC, vidimo da je odstupanje veliko kod potpunog i neznatnog izbijanja. Ako
usporedimo vremensku konstantu s poluperiodom, konstanta je puno manja od poluperioda kod
potpunog izbijanja, a kod neznatnog izbijanja je puno veća. Kod djelomičnog izbijanja je došlo
do manjeg odstupanja. Kod trećeg zadatka rezultati su približno jednaki, osim kod zadnje
mjerenja gdje vidimo odstupanje. Do greške je moglo doći uslijed titranja slike na ekranu, što
otežava precizno očitavanje.