1. FACULTAD DE CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN
ESCUELA PROFESIONAL DE EDUCACIÓN SECUNDARIA
MATEMÁTICA E INFORMÁTICA
VI SEMESTRE-2010
PRESENTADO POR:
NORY LUPACA QUISPE
EMAIL: nory.lq@gmail.com

3. INDICE
INTRODUCCIÓN
HISTORIA DE TRIANGULO
CONTENIDO TEÓRICO
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PROPUESTOS
CONCLUSIONES
BIBLIOGRAFÍA

4. INTRODUCCION
El aprendizaje escolar debe orientar y estimular
los procesos internos del desarrollo del
estudiante.
Los objetivos de semejanza de triangulo son
utilizar adecuadamente los criterios en la
resolución de problemas y diferenciar cada
criterio asociadas al triangulo.

6. TRIANGULO ISOSCELES

7. Erase una vez un niño llamado Isósceles. Se
mudó a un pueblo llamado Pocomás. Estaba
emocionado pues asistiría a una nueva
escuela, este cursaba el quinto grado.
En su primer día de clases su maestra, llamada
Geometría, presentó a todos sus compañeros
de clase, por sus nombres, entre ellos se
encontraba un niño llamado Cuadrado, otro
Rectángulo, también Trapecio, Rombo y
Paralelogramo. Isósceles miró a todos lados, y
se percató que sus compañeros eran muy
diferentes a él.

8. SALÓN DE CLASES

9. La maestra asignó que escribieran sobre su
familia y que construyeran su árbol
familiar. Isósceles fue a su casa y le narró a
su mamá lo sucedido. “ Hijo mío, te contaré
la historia de nuestra familia y construirás
tu árbol familiar”.

10. “Mi padre,( tu abuelo), se llamaba
Rectángulo, era un hombre de carácter
fuerte y muy recto en sus ideas.

11. Mis hermanos, muy diferentes y opuestos en sus
pensamientos. Tenían por nombres Obtusángulo
y Acutángulo, este último era un niño hermoso
por sus facciones perfectas.

12. Tu padre, Escaleno, proviene de una familia muy
pequeña. Su padre se llamaba Equilátero, fue un gran
hombre, con valores incalculables y muy justo con el
prójimo.

14. “Mamá” , preguntó Isósceles,” “Porqué yo no me parezco a mis
compañeros de clase. Ellos son más corpulentos y más fuertes
que yo”.
" Isósceles, no todos pertenecemos a la misma familia, ni
llevamos el mismo apellido”. ” Posiblemente ellos pertenecen a la
familia de los Cuadriláteros” . Sí, mamá, "También me he dado
cuenta , que nosotros nos parecemos pero no somos iguales, mi
abuelo y mi papá son diferentes a mí. “ Hijo, contestó su madre,
nosotros pertenecemos a una misma familia llamada Triángulos,
aunque nos parecemos en nuestra apariencia, no somos
iguales”.
“Nadie en el mundo es exactamente igual a otra persona”.
Isósceles pensó en la forma más rápida de construir su árbol
familiar y diseño el siguiente diagrama.

15. FAMILIA DE LOS TRIANGULOS

16. De esta manera Isósceles construyó su árbol
familiar y lo presentó a su maestra, la Sra.
Geometría. Ella quedó muy complacida con
su trabajo. La maestra les explicó que no
todas las familias son iguales, ni su número
de componentes tampoco.
Sus compañeros de clase comprendieron
porque, Isósceles era diferente a ellos.
Isósceles tuvo muchos amigos y comprendió
que debemos amar al prójimo sin establecer
diferencias.

19. • Si dibujamos dos
triángulos en la
pizarra…
• ¿Cómo saber si
son semejantes o
no?

20. Semejanza

21. Descripción: Dos figuras son
semejantes cuando tienen la misma
“forma”, pero no necesariamente el
mismo tamaño
Ejemplos de
figuras
semejantes

22. No son figuras semejantes

23. Definición geométrica: Dos figuras son semejantes
cuando la razón entre las medidas de sus lados homólogos
(correspondientes) es constante, es decir son proporcionales y sus
ángulos correspondientes son congruentes
Ejemplo:¿Los siguientes rectángulos
son semejantes? ¿Tienen sus lados respectivos
proporcionales?
10 4
5cm
5 2 Así es, ya que los
productos
2cm “cruzados” son
4cm iguales
¿Son sus ángulos correspondientes congruentes? 10 •2 = 5 • 4
Al cumplirse las dos condiciones
Efectivamente, al tratarse de dos anteriores, podemos decir que
rectángulos, todos los ángulos
miden 90º y se cumple que los los dos rectángulos son
ángulos correspondientes son
congruentes semejantes

24. Triángulos semejantes
Dos triángulos son semejantes si sus
ángulos son, respectivamente, iguales
y sus lados homólogos son
proporcionales.

25. Criterios de semejanza de
triángulos
existen algunos principios que nos permiten
determinar si dos triángulos son semejantes
sin necesidad de medir y comparar todos
sus lados y todos sus ángulos. Estos
principios se conocen con el nombre de
criterios de semejanza de triángulos

26. Existen tres criterios de semejanza
de triángulos
1. AA ( ángulo-ángulo)
2. LLL (lado-lado-lado)
3. LAL (lado-ángulo-lado)

27. I. Primer criterio
ANGULO – ANGULO “AA”
Dos triángulos que tienen los dos ángulos
congruentes son semejantes entre sí.
A A´
´
B
C ´ ´
C’ B´
Es decir: Si ´ , ´ de lo anterior se deduce que ´
Entonces, ABC semejante con A´B´C´

28. Ejemplo
¿Son los siguientes triángulos semejantes?
100º
65
65 25
30º
¡SI! 30º
100º
Por que al tener dos de sus
ángulos congruentes,
cumplen con el criterio AA

29. II. Segundo criterio
LADO-LADO-LADO “LLL”
Dos triángulos que tienen los tres lados proporcionales son
semejantes entre sí.
A A´
b b´
a
a´
B
C c
Es decir: C’ B´
a b c c´
a´ = b´ = c´ =K El cociente obtenido de
comparar los lados
homólogos entre sí
Entonces, ABC semejante con A´B´C´ recibe el nombre de
razón de semejanza.

30. Ejemplo
Determine si los triángulos ABC y PQR son semejantes
P
Verifiquemos si las medidas B 1,5
de los lados son C
proporcionales 3,5
1,5 3,5 5 7
= = 5
3 7 10
A 10
Efectivamente , así es, ya que
los productos “cruzados” son
iguales
1,5 • 7 = 3 • 3,5 = 10,5
Q
3,5 • 10 = 7 • 5 = 35
Por lo tanto Triángulos ABC y PQR son semejantes por criterio 3
LLL
R

31. Ejemplo
• Por el criterio LLL, estos triángulos son
semejantes.
2 6
9 8
3
2=6=8
3 9 12
12

32. III. Tercer criterio
LADO-ANGULO-LADO “LAL”
Dos triángulos que tienen dos lados proporcionales y el
ángulo comprendido entre ellos es igual, son
semejantes entre sí.
A A´
a
a´
C B
c ´
Es decir: C’ c´ B´
a = c
a´ c´ y = ´
Entonces ABC semejante a A´B´C´

33. Ejemplo
¿Son los triángulos ABC y DEF semejantes?
Veamos si dos de sus lados
son proporcionales A D
9
E
3 = 4 3
9 12
C
B 4
Efectivamente así es, ya
que los productos
12
“cruzados” son iguales
3 • 12 = 4 • 9
Efectivamente, porque, tal
¿Los ángulos formados por como se señala en el
estos dos lados son dibujo, ambos son rectos
congruentes?
F
Por criterio LAL Triángulos ABC y DEF son SEMEJANTES

34. Ejemplo
• Según el criterio anterior, estos triángulos
deben ser semejantes.
33º
4 33º
8
3,5
7
4 = 3,5
8 7

36. Ejercicio
Conocemos las dimensiones de los lados de dos triángulos. Comprueba que son semejantes
y halla la razón de semejanza.
a) 8 cm, 10 cm, 12 cm
b) 52 cm, 65 cm, 78 cm
Representemos el ejercicio Efectivamente, al calcular los
productos
65 “cruzados”, podemos ver la
12 proporcionalidad entre las
8
78 medidas de los lados
respectivos
10
52 •10 = 8 • 65 = 520
65 • 12 = 10 •78 = 780
52
Comprobemos que las medidas de los lados
homólogos son proporcionales Para calcular la razón de
semejanza se calcula una de
52 = 65 = 78 = las razones
6,5 65 : 10 = 6,5
8 10 12
Entonces los triángulos son semejantes por criterio LLL

37. Ejercicio
Tenemos un triángulo cuyos lados miden 3 cm, 4 cm y 5 cm
respectivamente y deseamos hacer una ampliación a escala 3:1.
¿Cuánto medirá cada lado?.¿Cuál es la razón de semejanza?.
Representamos la situación x=9
5
3
12 = y
4 z =15
Luego, debe ocurrir:
X Y Z 3 X =3
3
=
4
=
5
=
1
=3 Entonces: X= 3· 3 = 9
3
Y
Escala de
La razón de 4
=3 Y = 4 · 3 =12
ampliación
semejanza es 3 Z =3 Z = 5 · 3 = 15
5

38. Otro ejercicio similar
Los lados de un triángulo miden 30, 40 y 50 centímetros respectivamente. Los
lados de un segundo triángulo miden 12, 16 y 20 centímetros. ¿Son
semejantes?. En caso afirmativo, ¿cual es la razón de semejanza?.
Para comprobar la
proporcionalidad podemos
20 12 efectuar los productos
50 “cruzados”
30x16=480 y 40x12=480
30 además
16
40x20=800 y 16x50=800
40
Para calcular la razón de
Comprobemos que las medidas de los
semejanza se calcula una de
lados homólogos son proporcionales
las razones
50 : 20 = 2,5
30 = 40 = 50
12 16 20

39. Una aplicación
Un poste vertical de 3 metros proyecta una sombra de 2 metros; ¿qué altura tiene
un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de 4,5 metros?(Haz un dibujo
del problema).
Son semejantes
por que cumplen el
p criterio AA, tienen
o iguales el ángulo
s 3m recto y el ángulo
x de elevación que
t
forman los rayos
e solares con el suelo
2m sombra
4,5m
Los triángulos definidos por el poste y su sombra y el árbol y su
sombra son semejantes, por lo tanto
Formamos la proporción
3 2 X= 3 • 4,5
x = 4,5 De donde 2
= 6,75m

41. Los lados de un triángulo miden 24 m., 18m. y 36
1 m., respectivamente. Si los lados de otro triángulo miden
12m., 16 m. y 24 m., respectivamente. Determina si son o no
semejantes, justificando tu respuesta.
2 Si los triángulos ABC y A’B’C’ tienen iguales los ángulos marcados
del mismo modo, establece la proporcionalidad de sus lados.
Los lados de un triángulo miden 36 m., 42 m. y 54
3 m., respectivamente. Si en un triángulo semejante a éste, el lado
homólogo del primero mide 24 m., hallar los otros dos lados de
este triángulo.

42. 4 La razón de semejanza del triángulo ABC con el triángulo A’B’C’
es 3:4. Si los lados del primero son 18, 21 y 30, determina los
lados del segundo.
Los lados de un triángulo rectángulo miden 6 m., 8 m. y 10 m.
respectivamente. ¿Cuánto medirán los catetos de un triángulo
5
semejante al primero si su hipotenusa mide 15 m.?
Los lados de un triángulo miden 2 cm., 1,5 cm. y 3 cm. Construye,
6 sobre un segmento de 2,5 cm.. homólogo del primer lado de este
triángulo, un triángulo semejante a aquel.

43.  el tema desarrollado es de mucha
ayuda para estudiantes de secundaria.
 semejanza de triángulos es una parte
que ayuda a desarrollar la capacidad
para resolver problemas, ya que solo es
una parte de triángulos.

44. COVEÑAS NAQUICHE, Manuel; Matemática
2º Editorial Coveñas 2008
COVEÑAS NAQUICHE, Manuel; Matemática
3º Editorial Coveñas 2008
 http://www.salesianosalameda
 www.alcaste.com