Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler

Preliminares Aproximação Racional Aproximação Algébrica
Uma Caçada Transcendente: A Classiﬁcação
de Mahler
Profa. Ana Paula Chaves
Instituto de Matemática e Estatística
Universidade Federal de Goiás
Seminário de Álgebra 2015.1 - IME/UFG
19 de março de 2015

Preliminares
Algumas Deﬁnições
Motivação
Aproximação Racional
O Teorema de Liouville
Números de Liouville
O Teorema de Dirichlet
Um Novo Critério de Irracionalidade
Aproximação Algébrica
Um Novo Critério de Transcendência
A Classiﬁcação de Mahler

Preliminares
Deﬁnição
Um número complexo α é dito algébrico, se existe um
polinômio não nulo P(z) ∈ Z[z] tal que P(α) = 0.
Exemplo
Todos os números racionais, m
p/q com p/q ∈ Q, i =
√
−1, ...

Preliminares
Deﬁnição
Um número complexo ξ que não é algébrico, é dito
transcendente.
Deﬁnição
Dois números ξ e τ são ditos algebricamente dependentes se
existe um polinômio, não nulo, de duas variáveis
P(x, y) ∈ Z[x, y] tal que P(ξ, τ) = 0.

Preliminares
Deﬁnição
Seja P(z) ∈ Z[z] com P(z) = a0 + a1z + · · · + anzn. A altura de
P é dada por
H(P) := max{|a0|, . . . , |an|}.
Deﬁnição
A altura e o grau de um número algébrico α, denotados por
H(α) e ∂(α), são respectivamente iguais à altura e o grau do
seu polinômio minimal.

Preliminares
Motivação
Dado um número complexo arbitrário ξ, renunciamos ao
trabalho de determinar quando existe um polinômio não-nulo
que tenha ξ como raíz. Ao invés disso, vamos considerar os
polinômios P(z) ∈ Z[z] para os quais |P(ξ)| é o menor
possível, dependendo da altura e do grau de P, mas sempre
diferente de zero. Pode se dizer que estamos “brincando” de
escolher polinômios com o objetivo de responder: Qual o
menor valor que |P(ξ)| pode assumir fora do zero?

Preliminares
Motivação
Uma questão natural a ser levantada é:
Como esta caça a polinômios que quase se anulam em ξ se
conecta com sua transcendência?
Veremos que esta aproximação nos leva a um reﬁnamento da
deﬁnição de transcendência, pois divide os transcendentes em
classes disjuntas.

Preliminares
Motivação
Esta classiﬁcação, criada em 1932 por Kurt Mahler, nos leva à
uma nova compreensão dos números transcendentes e nos
permite produzir resultados como:
• Dar uma condição suﬁciente para que dois números
transcendentes ξ e ζ aplicados a um polinômio
F(x, y) ∈ Z[x, y] sejam tais que F(ξ, ζ) também seja
transcendente.
• Mostrar que a função f : C → C dada por
f(z) = ez + ∞
n=1 10−n! leva valores algébricos em valores
transcendentes.

Apesar de Euler ter levantado a questão sobre a existência de
números transcendentes em 1748, Liouville, quase um século
depois, foi o primeiro a mostrar exemplos de tais números
utilizando o seguinte resultado:
Teorema (Liouville - 1844)
Seja α um algébrico com polinômio minimal P(z) ∈ Z[z] de
grau n ≥ 2. Então, existe uma constante positiva c := c(α) tal
que
α −
p
q
≥
c
qn
para todo racional p/q, com q > 0.

Ele construiu um exemplo que não satisfazia o seu teorema, o
número
L =
∞
n=1
10−n!
= 0.1100010000000000000000001...,
e portanto é transcendente. Este número é conhecido por
constante de Liouville, sendo o primeiro exemplo de número
transcendente.

Liouville foi além e criou um conjunto não enumerável de
números reais que não satisfazia o seu teorema:
Deﬁnição
Um número ξ ∈ R é dito número de Liouville se existe uma
sequência de inﬁnitos racionais pn/qn, com qn > 1, tais que
para todo n ∈ N temos
0 < ξ −
pn
qn
<
1
qn
n
Exemplo
Todo número escrito como n≥1 ank−n!, onde k ∈ N − {1} e
an ∈ {1, . . . , k − 1} é um número de Liouville.

Sabemos que todo número de Liouville é transcendente, mas a
recíproca é verdadeira?
A resposta é negativa! Números transcendentes como e e π
não são números de Liouville.

Alguns resultados interessantes sobre números de Liouville
são:
Teorema (Mailet - 1906)
Se ξ é um número de Liouville e f é uma função racional, não
constante, com coeﬁcientes racionais, então f(ξ) também é um
número de Liouville.
Teorema (Erdös - 1962)
Todo número real pode ser escrito como a soma de dois
números de Liouville.

Agora, veremos que, ao contrário dos números racionais, os
irracionais podem ser tão bem aproximados por racionais
quanto desejarmos:
Teorema (Dirichlet)
Dado um número irracional τ, existe uma constante positiva
C(τ) = C tal que para todo H inteiro positivo, existem inteiros p
e q, com 0 < max{|p|, |q|} ≤ H, satisfazendo a desigualdade
|τq − p| <
C
H
Se C < H, então q = 0.

Como consequência dos Teoremas de Liouville e Dirichlet,
obtemos uma nova deﬁnição de irracionalidade, equivalente a
usual:
Teorema
Dado um número real τ e um inteiro positivo H, seja
Ω(τ, H) = min{|P(τ)|; P(z) = a1z + a0 ∈ Z[z]
com P(τ) = 0 e H(P) ≤ H}
Deﬁna ω(τ, H) como Ω(τ, H) = H−ω(τ,H) e
ω(τ) = lim supH→+∞ ω(τ, H). Então τ é irracional se, e
somente se, ω(τ) = 0.

Um Novo Critério de Transcendência
E como consequência das generalizações dos Teoremas de
Dirichlet e Liouville, conseguimos um critério para
transcendência semelhante ao obtido para irracionalidade:
Teorema
Dados um número complexo ξ e inteiros positivos H e N, sejam
PN,H = {P(z) ∈ Z[z]; gr(P) ≤ N e H(P) ≤ H}
e
Ω(ξ, N, H) = min{|P(ξ)|; P(z) ∈ PN,H e P(ξ) = 0}.
Deﬁna ω(ξ, N, H) como Ω(ξ, N, H) = H−ω(ξ,N,H)·N,
ω(ξ, N) := lim supH→∞ ω(ξ, N, H) e ω(ξ) := lim supN→∞ ω(ξ, N).
Então ξ é transcendente se, e somente se, ω(ξ) = 0.

Quais os possíveis valores de ω(ξ)?
i. ω(ξ) = 0 equivale a ξ ser algébrico;
ii. 0 < ω(ξ) < +∞
iii. ω(ξ) = +∞

Relembrando da deﬁnição de ω(ξ):
ω(ξ) = lim sup
N→∞
ω(ξ, N)
onde ω(ξ, N) também é um lim sup dado por
ω(ξ, N) = lim sup
H→∞
ω(ξ, N, H),
observamos que: Se ω(ξ, N0) = ∞ para algum N0 ∈ N, então
ω(ξ) = lim sup
N→∞
ω(ξ, N) ≥ ω(ξ, N0) = ∞ ⇒ ω(ξ) = ∞

Portanto, para se obter ω(ξ) = ∞, existem duas maneiras:
i. ω(ξ, N0) = ∞ para algum N0;
ii. ω(ξ, 1), ω(ξ, 2), . . . não possui ponto de acumulação.

Dessa forma, a classiﬁcação que divide os números complexos
em duas classes,
• ω(ξ) = 0 (no caso ξ algébrico)
• ω(ξ) = 0 (no caso ξ transcendente)

Se tornou uma classiﬁcação mais detalhada que consiste em
quatro classes,
• ω(ξ) = 0
• 0 < ω(ξ) < ∞
• ω(ξ) = ∞ e existe um N0 tal que ω(ξ, N0) = ∞
• ω(ξ) = ∞ e para todo N, ω(ξ, N) = ∞

Visando analisar bem estes últimos três casos, vamos definir
υ(ξ) := menor inteiro positivo N tal que ω(ξ, N) = ∞.
Logo, caso ω(ξ, N) < ∞ para todo N, então υ(ξ) = ∞. Agora,
se ω(ξ) = ∞ então υ(ξ) pode ser finito ou infinito.

Deste modo, temos quatro possibilidades para ω(ξ) e υ(ξ) que
correspondem às quatro classes vistas anteriormente e dão
origem à seguinte classiﬁcação devida a Mahler (1932), para
um número complexo ξ:
Se ω(ξ) = 0 e (logo) υ(ξ) = ∞, ξ é um A-número.
Se 0 < ω(ξ) < ∞ e (logo) υ(ξ) = ∞, ξ é um S-número.
Se ω(ξ) = ∞ e υ(ξ) < ∞, ξ é um U-número.
Se ω(ξ) = ∞ e υ(ξ) = ∞, ξ é um T-número.

U-números são aqueles em que ω(ξ) = +∞ mas υ(ξ) < ∞.
Isto nos leva à deﬁnir subclasses dentro dos U-números de
acordo com os possíveis valores de υ(ξ):
Deﬁnição
Sejam ξ um número complexo e m um inteiro positivo. Então ξ
é dito um U-número de tipo m se ω(ξ) = +∞ e υ(ξ) = m. Os
U-números de tipo m também são conhecidos como
Um-números.
Proposição
Os Números de Liouville são exatamente os U1-números.

Apesar de haver uma quantidade não enumerável de
U-números, quase todo número não é U-número:
Teorema
O conjunto dos U-números tem medida nula em C

A existência de Um-números para todo m ≥ 1 foi mostrada por
Leveque, com o resultado:
Teorema (Leveque, 1953)
Seja ai n{2, 4} para todo j. Então, a raíz m-ésima de
(3 + j≥1 aj10−j)/4 é um Um-número.
Chaves e Marques construíram Um-números de forma mais
natural, como podemos ver:
Teorema (Chaves-Marques, 2014)
Sejam α um algébrico de grau m e L a constante de Liouville.
Então αL e α + L são Um-números.

O resultado de Erdös pode ser reescrito como: ?todo número
real pode ser escrito como a soma de dois U1-números?.
Pollington mostrou que esta não é uma propriedade exclusiva
desta classe de U-números:
Teorema (Pollington, 1993))
Dado um inteiro positivo m, todo número real pode ser escrito
como a soma de dois Um-números

Mais alguns resultados sobre U-números:
• Mahler em 1953 mostrou que log α não é um U-número,
onde α = 1 é um algébrico não nulo.
• Mahler, também em 1953, provou que π não é um
U-número.
• Adhikari, Saradha, Shorey e Tijedman em 2001, aplicaram
a teoria de A. Baker sobre forma linear em logaritmos
mostrar que os números
n≥0
((3n + 1)(3n + 2)(3n + 3))−1
e
n≥1
2−n
Fn/n,
onde (Fn)n≥0 é a sequência de Fibonacci, são
transcendentes mas não são U-números.

Um fato conhecido é que o conjunto dos Números Algébricos é
precisamente o conjunto dos A-números. Observamos que a
união dos A- e U-números formam um conjunto de medida
nula no plano complexo. Daí, quase todos os números são S-
ou T-números. Daremos um passo à frente, estabelecendo o
resultado:
Teorema
Quase todos os números são S-números

No mesmo trabalho em que Mahler exibiu a sua classiﬁcação,
ele provou que:
Teorema (Mahler, 1932)
Todo número da forma eα, com α algébrico não nulo, é um
S-número.

Quando Mahler propôs a sua classiﬁcação, ele mostrou que o
conjunto dos U-números e dos T-números tinham medida
nula. Entretanto, Entretanto, Mahler não conseguiu provar a
existência de T-números em seu trabalho. A primeira prova
deste fato foi descoberta 36 anos depois de Mahler propôr a
sua classiﬁcação, e é devida a Schmidt.
Teorema (Schmidt, 1968)
Existem T-números.

• Apesar de sabermos que T-números existem, exibir
exemplos desta classe ainda é um problema em aberto.
• Caveny, em 1993, mostrou que se α é um T- ou U-número
e β é um U-número, então αβ é transcendente.

Estabelecemos a relação entre classiﬁcação de Mahler e
dependência algébrica com o seguinte Teorema:
Teorema
Se dois números são algebricamente dependentes, então eles
pertencem à mesma classe.
A contrapositiva deste teorema nos permite produzir um
resultado interessante sobre transcendência:
Corolário
Sejam ξ e ζ números transcendentes que pertencem a classes
diferentes e F(x, y) ∈ Z[x, y] um polinômio não nulo. Então,
F(ξ, ζ) é transcendente.

Alguns problemas a serem resolvidos são:
• Dar exemplos de T-números.
• Saber qual a classiﬁcação de π
• Quais funções analíticas f são tais que se ξ é um número
de Liouville, f(ξ) também é?

Bibliograﬁa
Bibliograﬁa I
A. P. Chaves, D. Marques
An Explicit Family of Um-numbers
Elemente der Mathematik (Printed ed.), v. 69, p. 18-22,
2014.
Y. Bugeaud
Approximation by Algebraic Numbers
New York: Cambridge University Press, 2014. 274 p.
(Cambridge Trats in Mathematics vol. 160)
E. Burger, R. Tubbs.
Making Transcendence transparent: An intuitive approach
to classical transcendental number theory
Springer-Verlag, 2004. 263 p.

Bibliograﬁa
“If numbers aren’t beautiful, I don’t know what is.” (P. Erdös)
Obrigada!

Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Similar a Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler

Similar a Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler (19)

Último

Último (18)

Uma Caçada Transcendente: A Classificação de Mahler