𝑟=𝑏𝑒𝑎𝜃<br /> <br />Deducción de la Ecuación de la Espiral Exponencial por medio  de un Análisis Mecánico<br />
Descripción<br />Imaginemos una tornamesa que gira a velocidad angular, 𝜔 constante.<br /> <br />
Figurémonos ahora, un balín situado sobre un radio imaginario a una distancia r, del centro.<br />
Por efecto de la rotación, el balín sale impulsado con una velocidad 𝑟𝜔,y se aleja en trayectoria perpendicular al radio.<...
El balín recibe un nuevo impulso de otro radio y, así, la secuencia continúa.<br />
Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:<br />perpendicular ...
Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:<br />perpendicular ...
El ángulo con el que el balín incide en el radio siguiente (círculo amarillo)<br />es llamado y, y constituye la clave par...
Expresión Matemática de la Trayectoria<br />Recurrimos a una herramienta utilizada en el trabajo con Coordenadas Polares: ...
Con tal fin, comparamos las maneras de indicar la dirección de una función de acuerdo a las coordenadas con las que se tra...
El ángulo q versus y<br />Se representa la dirección de  una función con el ángulo q que se forma entre la tangente a la c...
La expresión para la tangente de y es:<br />tan y = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟<br /> <br />Un hecho de gran conveniencia para integrar la ecuac...
La trayectoria del balín es siempre perpendicular al radio que lo impulsa y por lo tanto…
… el ángulo (y) con que incide el balín en el siguiente radio es, por necesidad, constante. </li></li></ul><li>Integración...
A continuación  escribimos :<br />𝑟=𝑒𝑐𝑒𝑎𝜃 <br /> <br />𝑟=𝑏𝑒𝑎𝜃 <br /> <br />𝑏= 𝑒𝑐 <br /> <br />donde<br />Está última expre...
Y<br />Finalmente, logramos lo que lo que nos propusimos.<br />Sin embargo, si le interesa saber más acerca de la tangente...
¿Cómo determinaría Leibniz el ángulo y utilizando su «pensamiento infinitesimal» y aplicándolo en el «triángulo diferencia...
Trayecto de la espiral<br />Una vez determinados los «infinitésimos», Leibniz los utilizaría en el «triángulo diferencial»...
Finalmente<br />Al ver la espiral dentro del círculo tal vez recordemos las veces que hemos estado parados en la plataform...
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Deducción de la ecuación de la espiral exponencial con consideraciones mecánicas.

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Una deducción de la expresión matemática de la Espiral Exponencial a partir de un análisis de la rotacion de una tornamesa y una partícula sobre ella.

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Deducción de la ecuación de la espiral exponencial con consideraciones mecánicas.

  1. 1. 𝑟=𝑏𝑒𝑎𝜃<br /> <br />Deducción de la Ecuación de la Espiral Exponencial por medio de un Análisis Mecánico<br />
  2. 2. Descripción<br />Imaginemos una tornamesa que gira a velocidad angular, 𝜔 constante.<br /> <br />
  3. 3. Figurémonos ahora, un balín situado sobre un radio imaginario a una distancia r, del centro.<br />
  4. 4. Por efecto de la rotación, el balín sale impulsado con una velocidad 𝑟𝜔,y se aleja en trayectoria perpendicular al radio.<br /> <br />
  5. 5. El balín recibe un nuevo impulso de otro radio y, así, la secuencia continúa.<br />
  6. 6. Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:<br />perpendicular al radioque proporciona el impulso (círculo verde).<br />
  7. 7. Al unir las trayectorias obtenemos la espiral de la derecha. En ella observamos que la trayectoria es:<br />perpendicular al radioque proporciona el impulso (círculo verde)<br />oblicua al radio siguiente (círculo amarillo)<br />
  8. 8. El ángulo con el que el balín incide en el radio siguiente (círculo amarillo)<br />es llamado y, y constituye la clave para la expresión matemática de la trayectoria.<br />
  9. 9. Expresión Matemática de la Trayectoria<br />Recurrimos a una herramienta utilizada en el trabajo con Coordenadas Polares: la tangente del ángulo y.<br />Veamos en las siguientes láminas de dónde sale y y la representación de su tangente.<br /> <br />
  10. 10. Con tal fin, comparamos las maneras de indicar la dirección de una función de acuerdo a las coordenadas con las que se trabaja.<br />
  11. 11. El ángulo q versus y<br />Se representa la dirección de una función con el ángulo q que se forma entre la tangente a la curva en p con la abscisa.<br />Se representa la dirección de una función con la tangente del ángulo y<br />
  12. 12. La expresión para la tangente de y es:<br />tan y = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟<br /> <br />Un hecho de gran conveniencia para integrar la ecuación anterior es que, en el caso particularque nos ocupa, y, es constante. <br />Esto se debe a que:<br /><ul><li>Los radios son equidistantes entre sí.
  13. 13. La trayectoria del balín es siempre perpendicular al radio que lo impulsa y por lo tanto…
  14. 14. … el ángulo (y) con que incide el balín en el siguiente radio es, por necesidad, constante. </li></li></ul><li>Integración de <br />tany = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟<br /> <br />Reemplazamos tan y por 1/a para escribir:<br />𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 = a dq<br /> <br />Integramos para obtener:<br />lnr = a q + c<br />donde 𝑐 es la constante de integración.<br /> <br />
  15. 15. A continuación escribimos :<br />𝑟=𝑒𝑐𝑒𝑎𝜃 <br /> <br />𝑟=𝑏𝑒𝑎𝜃 <br /> <br />𝑏= 𝑒𝑐 <br /> <br />donde<br />Está última expresión corresponde a la Espiral Exponencial también llamada, por las razones expuestas, Espiral Equiangular.<br />
  16. 16. Y<br />Finalmente, logramos lo que lo que nos propusimos.<br />Sin embargo, si le interesa saber más acerca de la tangente del ángulo y, a continuación presentamos una deducción informal, al estilo de los matemáticos del siglo XVII.<br />
  17. 17. ¿Cómo determinaría Leibniz el ángulo y utilizando su «pensamiento infinitesimal» y aplicándolo en el «triángulo diferencial»?Sigamos los siguientes gráficos…<br />
  18. 18. Trayecto de la espiral<br />Una vez determinados los «infinitésimos», Leibniz los utilizaría en el «triángulo diferencial» en una manera parecida a esta:<br />𝐵𝑎𝑠𝑒, 𝑥, =𝑑𝑟;<br /> 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎, 𝑦, =𝑟𝑑𝜃,<br /> 𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎, 𝑒𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑠<br />y por lo tanto la tangente de y es:<br /> <br />tany = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟<br /> <br />
  19. 19. Finalmente<br />Al ver la espiral dentro del círculo tal vez recordemos las veces que hemos estado parados en la plataforma de un carrusel (tiovivo) y la desestabilización que nuestro andar sufría cuando la tornamesa ya giraba y aún no encontrábamos a nuestro a caballito.<br />El bamboleo se manifestaba por que con cada paso, nuestro pié daba con un nuevo radio que imprimía una velocidad distinta en cada pierna: menor si nos adentrábamos en la plataforma y mayor si nos salíamos de ella.<br />Por último, si nos desplazábamos tangencialmente a un círculo imaginario, experimentábamos una verdadera1 fuerza centrífuga (la espiral se aleja del centro cuando 𝛙 > 0 ) que nos llevaba hacia el canto de la tornamesa al igual que el balín de esta presentación.<br /> <br />1A la fuerza centrífuga se le considera una fuerza ficticia, pero si se le analiza desde el punto de vistaacá expuesto, no lo es. <br />René Gastelumendi Dargent, Abril del 2011<br />
  20. 20. Libros de Consulta<br />Consultar, en particular, el capítulo de Coordenadas Polares:<br />Cálculo con Geometría Analítica de George F. Simmons (Contiene abundantes datos históricos)<br />Cálculo, de James Stewart<br />Cálculo con Geometría Analítica de Stein & Barcellos.<br />Cálculo con Geometría Analítica de Edwards & Penney (Utilizan la cotangente en vez de la tangente y).<br />

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