1 | P á g i n a
I N D I C E
UNIDAD 1: Introducción a la Geometría Analítica
1.1 Antecedentes históricos
1.2 Sistema de coo...
2 | P á g i n a
UNIDAD I: INTRODUCCIÓN ALA GEOMETRÍAANÁLITICA
1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS.
INTRODUCCIÓN: En esta unidad se...
3 | P á g i n a
Lo que de verdad conmovió al mundo fue el hecho fue que Descartes por medio de su
sistema de coordenadas p...
4 | P á g i n a
4. ¿Quién ya había intentado unir el álgebra y la geometría?
5. Explica de qué manera integró Descartes el...
5 | P á g i n a
1.3 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO
Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualqu...
6 | P á g i n a
EJEMPLO: A continuación, se indican sobre un plano los puntos P(1, 3), Q(–3, 5),
R(–2, –3), S(1, – 4).
Se ...
7 | P á g i n a
3.-Trazar la línea que pasa por los puntos:
(1, 2) 𝑦 (3, 4)
(−2, 1) 𝑦 (−4, 4)
(−3, −2) 𝑦 (−1, −7)
(2, −4) ...
8 | P á g i n a
1.4 PROPIEDADES DE SEGMENTOS DE RECTA.
 Distancia no dirigida entre dos puntos.
Sean P1(x1, y1) y P2(x2, ...
9 | P á g i n a
2. Demuestra que los siguientes puntos 𝐴(−4,6), 𝐵(6, 2) 𝑦 𝐶(4,−4) son los vértices de
un triángulo escalen...
10 | P á g i n a
PROBLEMARIO
I.- Halla la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:
1. 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4,−3)
2. 𝐿(0, 4...
11 | P á g i n a
 División de un segmento en una razón dada.
Vamos a determinar las coordenadas de un punto 𝑃 que divida ...
12 | P á g i n a
finalmente la abscisa del punto P será igual:
r
xrx
x



1
12
para 1r
Siguiendo el mismo procedimient...
13 | P á g i n a
b). Dado el segmento de recta cuyos extremos son 𝐴(−6,8) 𝑦 𝐵(4,−2) Determinar el
punto P que lo divide en...
14 | P á g i n a
b). Si el segmento 𝐴𝐵 se divide en cuatro partes iguales la razón para cada punto es:
Para el punto 𝑃1, t...
15 | P á g i n a
c). b). Si el segmento 𝐴𝐵 se divide en cinco partes iguales la razón para cada punto
es:
Para el punto 𝑃1...
16 | P á g i n a
Criterios de aplicación.
1.- La razón es positiva cuando el punto buscado estará situado entre los puntos...
17 | P á g i n a
EJEMPLOS:
1). Los extremos de un segmento de recta son: 𝐴(−3,−4) 𝑦 𝐵(4,2). Determinar sobre
dicho segment...
18 | P á g i n a
PROBLEMARIO.
I.- Halla las coordenadas del punto medio para cada uno de los siguientes segmentos,
cuyos e...
19 | P á g i n a
10.- Para el tendido de un cableado telefónico sobre una calle se requieren cuatro
postes, los cuales deb...
20 | P á g i n a
1.5 ÁREADE UN POLÍGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS
VÉRTICES.
Área de una región triangular se ex...
21 | P á g i n a
PROBLEMARIO.
I.- Halla el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes triángulos cuyas
coordenada...
22 | P á g i n a
UNIDAD 2: LOS ELEMENTOS DE UNARECTACOMO LUGAR GEOMÉTRICO.
2.1 PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN
 La rect...
23 | P á g i n a
Criterios de aplicación sobre la pendiente.
El ángulo ( 𝜃) de inclinación de la recta puede tomar cualqui...
24 | P á g i n a
c). 𝑚 = 0, si 𝜃 = 0°
d). 𝑚 = ∞, si 𝜃 = 90°
La pendiente se define matemáticamente por el siguiente
TEOREM...
25 | P á g i n a
EJEMPLO.
Halle la pendiente y ángulo de inclinación de la recta que se forma por los puntos
(−2,6) y (3, ...
26 | P á g i n a
PROBLEMARIO.
I.- Halla la pendiente y el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que se
forman c...
27 | P á g i n a
2.2 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD.
1.- Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. Dos re...
28 | P á g i n a
PROBLEMAS.
Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos 𝐴 𝑦 𝐵, así como las definidas
por los pun...
29 | P á g i n a
2.3 ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS.
Ángulo de dos rectas.
Consideremos la figura las dos rectas ...
30 | P á g i n a
Pero 𝑚1 = 𝑡𝑔 𝛼1 𝑦 𝑚2 = 𝑡𝑔 𝛼2 . Luego, de (2)
𝑡𝑔 𝜃1 =
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚2 𝑚1
(3)
Para el triángulo 𝐴𝐵𝐶, con 𝜃2 ...
31 | P á g i n a
EJEMPLO. Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los
puntos: 𝐴(−2,1), 𝐵(3,4) 𝑦...
32 | P á g i n a
𝑡𝑔 𝑎 =
3
5
− (−
3
7
)
1 + (−
3
7
) (
3
5
)
=
21 + 15
35
35 − 9
35
𝑡𝑔 𝑎 =
36
26
= 1.3846
a = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (1.38...
33 | P á g i n a
POBLEMARIO
I. – Determina los ángulos interiores de los siguientes triángulos cuyos vértices son los
punt...
34 | P á g i n a
ACTIVIDADES PROBLEMARIO.
I.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendient...
35 | P á g i n a
2.5 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA
PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN.
Veamos el caso particular d...
36 | P á g i n a
EJEMPLO.
a). Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada en el origen es
−7. Escr...
37 | P á g i n a
 Problemas de aplicación de la ecuación de la recta como modelo matemático.
Numerosos problemas del mund...
38 | P á g i n a
b). ¿Cuál fue el valor del sistema cuando era nuevo?
Solución.
Cuando el sistema era nuevo, 𝑡 = 0; por co...
39 | P á g i n a
f). ¿Después de cuantos años de uso el valor de la computadora se deprecia totalmente?
Solución.
Cuando e...
40 | P á g i n a
2.- Una casa que tiene cuatro años de uso tiene un valor de $48,000, pero cuando era
nueva su valor era d...
41 | P á g i n a
2.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTAQUE PASA POR DOS
PUNTOS DADOS.
Por geometría, una recta queda...
42 | P á g i n a
PROBLEMARIO
1.- Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados.
𝑎). 𝐴(2,4) 𝑦 𝐵(−7,5) 𝑏). ...
43 | P á g i n a
2.7 USO DE LAS DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÒN DE UNA RECTA.
 Formas de la ecuación de una recta.
Anteri...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Cuadernillo de geometría analítica

1.378 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
1.378
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
5
Acciones
Compartido
0
Descargas
8
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

Cuadernillo de geometría analítica

  1. 1. 1 | P á g i n a I N D I C E UNIDAD 1: Introducción a la Geometría Analítica 1.1 Antecedentes históricos 1.2 Sistema de coordenadas rectangulares 1.3 Localización de puntos en el plano 1.4 Propiedades de segmentos de recta 1.5 Área de un polígono en función de las coordenadas de sus vértices UNIDAD 2: La línea recta 2.1 Pendiente y ángulo de inclinación de una recta 2.2 Condiciones de Paralelismo y perpendicularidad de dos rectas 2.3 Ángulo de intersección entre dos rectas 2.4 Determinación de la Ecuación de la Recta punto-pendiente 2.5 Determinación de la Ecuación de la Recta pendiente-ordenada en el origen 2.6 Determinación de la Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos dados 2.7 Determinación de la Ecuación simétrica o canónica de la recta 2.8 Ecuación de la recta en su forma general 2.9 Ecuación de la recta en la forma normal 2. 10 Distancia de un punto a una recta UNIDAD 3: Las cónicas 3.1 Determinación de la ecuación de la circunferencia y su gráfica 3.2 Determinación de la ecuación de la parábola y su gráfica 3.3 Determinación de la ecuación de la elipse y su gráfica
  2. 2. 2 | P á g i n a UNIDAD I: INTRODUCCIÓN ALA GEOMETRÍAANÁLITICA 1.1 ANTECEDENTES HISTÓRICOS. INTRODUCCIÓN: En esta unidad se muestra el manejo de un sistema de coordenadas cartesianas, la representación de puntos en el plano y el cálculo de la distancia entre puntos. Se analiza la división de un segmento en una razón dada y en su punto medio. Se calcula el área de un polígono cualquiera en función de las coordenadas de sus vértices, realizando las representaciones gráficas correspondientes. OBJETIVO: Uso del plano cartesiano para la representación de puntos y manejo de conceptos como distancia, división de un segmento en una razón dada y área, y aplicará las fórmulas correspondientes en la solución de algunos problemas. Descartes fue un filósofo y matemático francés que nació en La Haya, cerca de Tours, el 31 de marzo de 1596. Falleció en Estocolmo, suecia, el 11 de febrero de 1650. Descartes usó su nombre latinizado: Renatus Cartesius. Hay que considerar que el latín era el lenguaje erudito y esta costumbre era muy común. Esta es la causa de que su sistema filosófico se llame "cartesiano" y que el sistema más corriente sobre el que se trazan las curvas que representan ecuaciones, sistema que Descartes inventó, es el de las "coordenadas cartesianas". Sin embargo, Descartes escribió en francés más que en latín, señal de la decadencia de esta lengua universal entre los eruditos en Europa. Desde los días de su educación con los jesuitas, descartes fue siempre muy devoto. Cuando en 1633 tuvo noticia de la condena de Galileo por herejía, abandonó por el momento el libro que estaba escribiendo sobre el universo en el que aceptaba la teoría de Copérnico, lo que nos demuestra su espíritu devoto. Descartes fue un mecanicista. Empezó a dudar de todo, pero esta duda pareció ser lo que él buscaba como hecho incontrovertible. La existencia de una duda implicaba la existencia de alguien que dudaba, y de ahí dedujo la existencia de sí mismo. Expresó esto en la frase latina Cogito ergo sum ("Pienso, luego existo"). La doctrina que hizo a partir de este punto le valió el título que a veces se le ha concedido de padre de la filosofía moderna. Descartes contribuyó principalmente a la ciencia con sus matemáticas. Se interesó especialmente en esta materia cuando estuvo en el ejército, ya que la inactividad de que gozó le dio mucho tiempo para pensar. Su gran descubrimiento lo hizo en la cama, según se cuenta, al observar el vuelo de una mosca. Se le ocurrió que la posición de la mosca podía darse en cada momento de su vuelo al localizar los tres planos perpendiculares que se cortan en el punto que ésta ocupa en el espacio. Es una superficie bidimensional, como puede ser una hoja de papel, cada punto se podía localizar por las dos rectas que se cortaban perpendicularmente en dicho punto. Esto no era totalmente original. Todos los puntos del globo terráqueo se podían localizar por medio de una longitud y una latitud, que son en una superficie esférica, análogas a lo que representan las coordenadas cartesianas en una superficie plana.
  3. 3. 3 | P á g i n a Lo que de verdad conmovió al mundo fue el hecho fue que Descartes por medio de su sistema de coordenadas podía representar cada punto del plano por un sistema original de dos números. Para los puntos del espacio se requerían tres números, el tercero de los cuales representaba las unidades de arriba o abajo. Descartes publicó este concepto en un apéndice de unas cien hojas que incluyo en su libro, publicado en 1637, que trataba de vértices y de la estructura del sistema solar. No es la primera vez en la historia de la ciencia que un apéndice fuera mucho más valioso en su contenido que el libro al que estaba sujeto. El gran mérito del concepto de Descartes fue el de combinar álgebra y geometría para el enriquecimiento de ambas, pudiendo de esta manera resolver problemas con más facilidad que si se hubieran de hacer con las de las dos por separado. Esta combinación abrió camino al cálculo que Newton desarrolló, que consiste esencialmente en la aplicación del álgebra a fenómenos de variación lenta (como el movimiento acelerado) que pudieron así representarse geométricamente por distintos tipos de curvas. Como fuera "análisis" el sinónimo de álgebra que se utilizó desde los días de Vieta, se llamó geometría analítica a la función que Descartes hizo con las dos ramas de las matemáticas. ACTIVIDADES EVALUATORIAS CUESTIONARIO: 1. Nombre del fundador de la geometría analítica. 2. ¿Cuáles son los contenidos de los libros de Clavius? 3. ¿Cuál fue el primer descubrimiento matemático de Descartes?
  4. 4. 4 | P á g i n a 4. ¿Quién ya había intentado unir el álgebra y la geometría? 5. Explica de qué manera integró Descartes el álgebra y la geometría. 6. ¿Cuál es el concepto de geometría analítica? 7. Biografía de René Descartes. 8. Cuáles son los contenidos principales de la obra de Descartes publicada en 1637. 1.2 SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES.  Sistema de coordenadas cartesianas Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría analítica. Sistema de coordenadas cartesiano: Este sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí, generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al interceptarse forman ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos en cuatro partes llamados cuadrantes (I, II, III y IV), las cuales se enumeran en el sentido contrario de las manecilla del reloj, como se muestra en la Figura: Considerando que cada eje es una recta numérica que contienen todos los números reales en forma creciente de izquierda a derecha en el eje horizontal y de abajo a arriba en el eje vertical, es decir todos los números positivos están a la derecha y arriba del origen (O) y los negativos a la izquierda y abajo del mismo origen. Al eje horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al eje vertical de las Y o de las Ordenadas. Para la ubicación de un punto cualquiera en el plano se consideran las distancias a los ejes, que son sus Coordenadas. La distancia de un punto al eje de las Y es su Abscisa y la distancia al eje de las X es su ordenada. Las Abscisas se representan por la letra X y las Ordenadas por la letra Y, es decir que las coordenadas de un punto P son P(X, Y), las cuales se anotan como parejas ordenadas dentro de un paréntesis y separadas por una coma. Las coordenadas del origen O son (0,0).
  5. 5. 5 | P á g i n a 1.3 LOCALIZACIÓN DE PUNTOS EN EL PLANO Cuando nos encontramos en una gran ciudad, podemos localizar cualquier esquina si contamos con dos datos: el nombre de la calle y el nombre de la avenida que cruza. En un salón de clases se puede localizar cualquier asiento, con tan sólo dos datos: el número de la fila y el número de la hilera. Los anteriores son ejemplos de la localización de puntos en el plano coordenado. Representación gráfica de los puntos. En el sistema de coordenadas rectangulares hay una relación que establece que a cada par de números reales (x, y) le corresponde un punto definido del plano, y a cada punto del plano le corresponde un par único de coordenadas (x, y). En el proceso graficador hay que tomar en cuenta que siempre el número que se da primero es la de la abscisa (x) y el segundo la ordenada (y), así como los signos de las coordenadas del punto para ubicarlo en los cuadrantes, para ello se emplea papel cuadriculado o de coordenadas rectangulares, ya que facilita la localización y el marcado de puntos en el plano. La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto, para trazar el punto 𝐴(2,5), fijamos la coordenada en el eje “X” que esta 2 unidades a la izquierda del origen, con lo cual representamos la abscisa del punto, luego fijamos la coordenado del eje “Y” que está a 5 unidades hacia arriba del origen, con lo cual representamos la ordenada del punto como vemos en la figura: Se debe prestar atención en no confundir el eje de las abscisas con el de las ordenadas: el primer número representa el de la abscisa x y, en consecuencia, se marca sobre el eje horizontal de las x, mientras que el segundo es la ordenada y, por tanto, se indica sobre el eje vertical de las y. Por ello, los puntos A (5, 2) y B (2, 5) tienen localizaciones muy diferentes, como podemos observar en la figura anterior.
  6. 6. 6 | P á g i n a EJEMPLO: A continuación, se indican sobre un plano los puntos P(1, 3), Q(–3, 5), R(–2, –3), S(1, – 4). Se observa que si ambas coordenadas son positivas, el punto se encuentra en el primer cuadrante (I); si son ambas negativas, el punto se encuentra en el tercer cuadrante (III); si la abscisa es negativa y la ordenada positiva, se localiza en el segundo cuadrante (II), y, finalmente, si la abscisa es positiva y la ordenada negativa, se encuentra en el cuarto cuadrante (IV). Por consiguiente, se puede afirmar que a cada pareja ordenada de puntos le corresponde un punto del plano, y viceversa; a cada punto del plano le corresponde una pareja ordenada de puntos. ACTIVIDADES EVALUATORIAS PROBLEMARIO: I.- Graficar lo siguiente: 1.- ¿En qué cuadrante se localizan los siguientes puntos? 𝑎). 𝑁(−5,0) 𝑏). 𝑂(−2,−4) 𝑐). 𝑃(−7,5) 𝑑). 𝑆(−4.9, −2.7) 𝑒). 𝑈 ( 9 4 , −3 2 ) 2.- Determinar gráficamente los siguientes puntos. 𝑎). 𝐴(3,4), 𝐵(−2,1), 𝐶(−5, −2) 𝑏). 𝐶(1,3), 𝑀(0, 4), 𝑅(−6, 6) 𝑐). 𝐵(2,2), 𝐺(7,4), 𝑂(−8, 10) 𝑑). 𝐿(−9, −3), 𝐹(−5, 1), 𝐼(4, 0)
  7. 7. 7 | P á g i n a 3.-Trazar la línea que pasa por los puntos: (1, 2) 𝑦 (3, 4) (−2, 1) 𝑦 (−4, 4) (−3, −2) 𝑦 (−1, −7) (2, −4) 𝑦 (5, −2) (3, 0) 𝑦 (0, 4) (−4, 0) 𝑦 (0, −2) 4.- Dibujar el triángulo cuyos vértices son los puntos: (0,6), (3,0) 𝑦 (−3,0). 5.- Dibujar el cuadrado cuyos vértices son los puntos: (4,4), (−4, 4),(−4, −4) 𝑦 (4, −4). 6.- Dibujar el rectángulo cuyos vértices son: (1,−1),(1, −3),(6,−1) 𝑦 (6, −3). 7.- Dibujar el rombo cuyos vértices son: (1, 4),(3, 1), (5,4) 𝑦 (3, 7). 8.- Dibujar la recta que pasa por (4, 0) 𝑦 (0,6) y la recta que pasa por (0,1) 𝑦 (4,5) y hallar el punto de intersección de las dos rectas. 9.- Probar gráficamente que la serie de puntos (−3,5),(−3, 1),(−3, −1), (−3,−4) se hallan en una línea paralela a la línea que contiene a los puntos: (2, −4),(2,0), (2,3),(2, 7). 10.- Probar gráficamente que la línea que pasa por (−4, 0) 𝑦 (0, −4) es perpendicular a la línea que pasa por (−1,−1) 𝑦 (−4, −4).
  8. 8. 8 | P á g i n a 1.4 PROPIEDADES DE SEGMENTOS DE RECTA.  Distancia no dirigida entre dos puntos. Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma recta horizontal o vertical (ver figura) se traza una recta que pasa por P1, paralela al eje x y otra recta que pasa por el punto P2 paralela al eje y, estas rectas se intersectarán en un punto Q (x2, y1) formando así un triángulo P2 QP1, en el cual identificamos: │P1 P2│= hipotenusa = 𝑑 = (distancia) P1Q = cateto adyacente = (x2 − x1) QP2 = cateto opuesto = (y2 – y1) Al aplicar el teorema de Pitágoras, tenemos: (P1P2)2 = (P1Q)2 +(QP2)2 P1P2 = √( 𝑃1 𝑄)2 + ( 𝑄𝑃2)2 P1P2 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 ∴ La distancia no dirigida entre dos puntos se representa por: 𝑑 = √( 𝑥2 − 𝑥1)2 + ( 𝑦2 − 𝑦1)2 EJEMPLOS: 1. Calcular la distancia entre los puntos: 𝐴(−3,2) 𝑦 𝐵(1,−1). Solución: Aplicando la fórmula de la distancia entre dos puntos, tenemos: 525916)12()13( 22 AB
  9. 9. 9 | P á g i n a 2. Demuestra que los siguientes puntos 𝐴(−4,6), 𝐵(6, 2) 𝑦 𝐶(4,−4) son los vértices de un triángulo escaleno. (Sus tres lados son desiguales) Solución: Debemos calcular las longitudes de los lados AB , AC y BC usando la fórmula de la distancia. 77,1011616100)26()64( 22 AB 8,1216410064)46()44( 22 AC 32,640364)42()46( 22 BC
  10. 10. 10 | P á g i n a PROBLEMARIO I.- Halla la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: 1. 𝐴(−2,5) 𝑦 𝐵(4,−3) 2. 𝐿(0, 4) 𝑦 𝐵(9, 2) II.- Resuelve los siguientes problemas. 1. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 2√3 es el punto 𝐴(1,0); si la ordenada del otro extremo es (−3), halla su abscisa. 2. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 4 es el punto 𝑃(2,−2); si la abscisa del otro extremo es ( 2 ), halla su ordenada. 3. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo isósceles. (Dos lados iguales y uno desigual) 1. 𝐴(−2,2), 𝐵(3,1) 𝑦 𝐶(−1, −6) 2. 𝐴(−2,1), 𝐵(2,2) 𝑦 𝐶(5, −2) 4. Demuestra que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo rectángulo. (Sus tres lados son desiguales) 1. 𝐴(3,2), 𝐵(−2,−3) 𝑦 𝐶(0,4) 2. 𝐾(2,−2), 𝐿(−8,4) 𝑦 𝑀(5,3) 5. Demuestra que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo. (Sus lados opuestos son paralelos e iguales) a). 𝐴(4,2), 𝐵(2, 6), 𝐶(6,8) 𝑦 𝐷(8, 4) b). 𝐴(1,3), 𝐵(7, 3), 𝐶(9,8) 𝑦 𝐷(3, 8)
  11. 11. 11 | P á g i n a  División de un segmento en una razón dada. Vamos a determinar las coordenadas de un punto 𝑃 que divida a un segmento de recta AB de extremos conocidos, en partes tales que guarden entre sí la razón (0 relación) PB AP r  , consideremos el segmento 𝐴𝐵 en donde A y B son dos puntos cualesquiera y se designan con las coordenadas A(x1, y1) y B(x2, y2). El punto que divide al segmento es 𝑃(𝑥, 𝑦), y la razón es PB AP r  , que quede claro que lo que se busca son las coordenadas del punto P. Ver figura: De acuerdo con la figura los segmentos 11PA y 11BP guardan la misma relación que los segmentos AP y PB, es decir: xx xx BP PA PB AP r    2 1 11 11 En donde: xx xx r    2 1 de donde: )1( )( 12 12 12 12 rxxrx rxxxrx xxrxrx xxxxr    
  12. 12. 12 | P á g i n a finalmente la abscisa del punto P será igual: r xrx x    1 12 para 1r Siguiendo el mismo procedimiento para las ordenadas, obtenemos: yy yy BP PA PB AP r    2 1 22 22 de donde: r yry y    1 12 para 1r Para el caso particular de que el 𝑷(𝒙, 𝒚) sea la mitad del segmento 𝐴𝐵 y la razón 𝑟 = 1, le llamaremos punto medio y las coordenadas de 𝑷 serán: 2 12 xx x   2 12 yy y   Punto medio Punto medio es el punto que divide a un segmento en dos partes iguales. El punto medio de un segmento, es único y equidista de los extremos del segmento Ejemplos: a). Los extremos de un segmento de recta son: 𝐴(−3,−4) 𝑦 𝐵(4,2). Determinar sobre dicho segmento un punto P que divide a este segmento según la razón 𝑟 = 2. Solución: Su abscisa será: 3 5 3 38 21 )3()4)(2(      x Su ordenada será: 0 3 0 3 44 21 )4()2)(2(      y El punto pedido 𝑃( 3 5 , 0)
  13. 13. 13 | P á g i n a b). Dado el segmento de recta cuyos extremos son 𝐴(−6,8) 𝑦 𝐵(4,−2) Determinar el punto P que lo divide en la relación 3 2 Solución: 2 5 10 23 188 ) 3 2(1 6)4)( 3 2(         x 4 5 20 23 244 ) 3 2(1 8)2)( 3 2(       y El punto P buscado es 𝑃(−2, 4). c). Encontrar el punto medio M del segmento AB , sabiendo que: A(-8,-6) y B(4,2). Solución: 2 2 4 2 84     x 2 2 4 2 62     y El punto M buscado es: 𝑀(−2, −2). Determinación de la razón cuando un segmento se divide en n partes iguales. Si un segmento se divide en n partes iguales, la razón para determinar las coordenadas de cada punto que divide a dicho segmento, se calcula de la siguiente manera: a). Si el segmento 𝐴𝐵, se trisecta (dividir en tres partes iguales), la razón para cada punto es: Para el punto 𝑃1, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃1 𝑃1 𝐵 = 1 2 → 𝑈𝑛 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 → 𝑑𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 Para el punto 𝑃2, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃2 𝑃2 𝐵 = 2 1 = 2
  14. 14. 14 | P á g i n a b). Si el segmento 𝐴𝐵 se divide en cuatro partes iguales la razón para cada punto es: Para el punto 𝑃1, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃1 𝑃1 𝐵 = 1 3 Para el punto 𝑃2, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃2 𝑃2 𝐵 = 2 2 = 1
  15. 15. 15 | P á g i n a c). b). Si el segmento 𝐴𝐵 se divide en cinco partes iguales la razón para cada punto es: Para el punto 𝑃1, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃1 𝑃1 𝐵 = 1 4 Para el punto 𝑃2, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃2 𝑃2 𝐵 = 2 3 Para el punto 𝑃3, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃3 𝑃3 𝐵 = 3 2 Para el punto 𝑃4, tenemos: 𝑟 = 𝐴𝑃4 𝑃4 𝐵 = 4 1 = 4
  16. 16. 16 | P á g i n a Criterios de aplicación. 1.- La razón es positiva cuando el punto buscado estará situado entre los puntos dados del segmento. 𝒓 = + 2.- La razón es negativa, cuando el punto buscado este situado fuera de los puntos dados del segmento. 𝒓 = −
  17. 17. 17 | P á g i n a EJEMPLOS: 1). Los extremos de un segmento de recta son: 𝐴(−3,−4) 𝑦 𝐵(4,2). Determinar sobre dicho segmento un punto P que divide a este segmento según la razón 𝑟 = 2. Solución: Su abscisa será: 3 5 3 38 21 )3()4)(2(      x Su ordenada será: 0 3 0 3 44 21 )4()2)(2(      y El punto pedido: 𝑃( 3 5 ,0) 2). Dado el segmento de recta cuyos extremos son 𝐴(−6,8) 𝑦 𝐵(4,−2) Determinar el punto P que lo divide en la relación 3 2 Solución: 2 5 10 23 188 ) 3 2(1 6)4)( 3 2(         x 4 5 20 23 244 ) 3 2(1 8)2)( 3 2(       y El punto P buscado es 𝑃(−2, 4).
  18. 18. 18 | P á g i n a PROBLEMARIO. I.- Halla las coordenadas del punto medio para cada uno de los siguientes segmentos, cuyos extremos son: a). 𝐴(−4,6) 𝑦 𝐵(3, −2) b). 𝐴(2,5) 𝑦 𝐵(8, 1) c). 𝐴(−2,1) 𝑦 𝐵(3, −5) II.- Resuelve los siguientes problemas. 1.- Los vértices de un triángulo son 𝐴(3,8), 𝐵(2, −1) 𝑦 𝐶(6, −1). Si 𝐷 es el punto medio del lado 𝐵𝐶, calcular la longitud de la mediana 𝐴𝐷. Mediana: Es el segmento de recta trazado de un vértice de un triángulo al punto medio de su lado opuesto. 2.- Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados sucesivos del cuadrilátero cuyos puntos son (−3,−1), (0, 3), (3,4) 𝑦 (4,−1), forman un paralelogramo. 3.- Los extremos del diámetro de una circunferencia son 𝐴(3,−2) 𝑦 𝐵(5, 6); halla las coordenadas del centro. 4.- Demuestra que las rectas que unen los puntos medios de los lados del triángulo cuyos vértices son 𝐴(−1,5), 𝐵(−4, −6) 𝑦 𝐶(−8,−2), y dividen a dicho triángulo en cuatro triángulos iguales. 5.- Halla las coordenadas de un punto 𝑃( 𝑥, 𝑦) que divide al segmento determinado por 𝑃1(−2,5) 𝑦 𝑃2(10,−2) en la relación 𝑟 = 2 3⁄ 6.- Se sabe que el punto 𝑃(8, −4) divide al segmento que se determina por los puntos 𝑃1(14, −12) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) en la relación 𝑟 = 2, halla las coordenadas del 𝑃2. 7.- Halla las coordenadas de los puntos que trisectan al segmento 𝐴(3,5) 𝑦 𝐵(6, 10); determina también su punto medio. 8.- El extremo del diámetro de una circunferencia de centro 𝐶(6, −2) es 𝐴(2,4); halla las coordenadas 𝐵( 𝑥, 𝑦) del otro extremo. 9.- Halla las coordenadas de los puntos que dividen al segmento determinado por 𝐴(9,−3) 𝑦 𝐵(−2, 7) en 4 partes iguales.
  19. 19. 19 | P á g i n a 10.- Para el tendido de un cableado telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales deben estar separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentra en uno de los extremos del cableado que está en el punto: 𝐴(60,90) y el último extremo que se localiza en 𝐵(−30, −30), se desea determinar las coordenadas del punto D y C para colocar ahí otros postes entre A y B. las longitudes están dadas en metros m. Para el tendido de un cableado telefónico sobre una calle se requieren cuatro postes, los cuales deben estar separados por distancias iguales. Si el primero de los postes se encuentra en uno de los extremos del cableado que está en el punto 𝐴(60, 90) y el último extremo que se localiza en 𝐵(−30,−30), se desea determinar las coordenadas del punto D y C para colocar ahí otros postes entre 𝐴 y 𝐵. las longitudes están dadas en metros m.
  20. 20. 20 | P á g i n a 1.5 ÁREADE UN POLÍGONO EN FUNCIÓN DE LAS COORDENADAS DE SUS VÉRTICES. Área de una región triangular se expresa por: 𝐴 = 1 2 | 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 𝑥1 𝑦1 | = 1 2 ( 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦3 + 𝑥3 𝑦1 − 𝑥1 𝑦3 − 𝑥3 𝑦2 − 𝑥2 𝑦1) Esta fórmula también se emplea para determinar el área de cualquier polígono. Se hace notar que el primer renglón se ha repetido al final con el fin de facilitar la operación. Si los vértices se ordenan en la fórmula en sentido contrario a las manecillas del reloj, el área resultante es de signo positivo; en caso contrario será negativa. Ejemplo: Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos 𝐴(3,2), 𝐵(7,4) 𝑦 𝐶(−2, 5). 𝐴 = 1 2 | 𝑥1 𝑦1 𝑥2 𝑦2 𝑥3 𝑦3 𝑥1 𝑦1 | = 1 2 | 3 2 7 4 −2 5 3 2 | 𝐴 = 1 2 [(3)(4) + (7)(5) + (−2)(2) − (3)(5) − (−2)(4) − (7)(2)] 𝐴 = 1 2 [12 + 35 − 4 − 15 + 8 − 14 ] 𝐴 = 1 2 [22] = 22 2 = 11 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 2 Á𝑟𝑒𝑎 = 11 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 2
  21. 21. 21 | P á g i n a PROBLEMARIO. I.- Halla el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes triángulos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. 𝐴(3,−4), 𝐵(5,2) 𝑦 𝐶(−7, −3) 2. 𝐴(−4,−1), 𝐵(−2,−6) 𝑦 𝐶(5,−2) 3. 𝐴(7,−3), 𝐵(−2,2) 𝑦 𝐶(6,4) II.- Halla el área, perímetro y semiperímetro para los siguientes polígonos cuyas coordenadas de los vértices son: 1. 𝐴(−3,3), 𝐵(4,2), 𝐶(7, 7) 𝑦 𝐷(−1,6) 2. 𝐴(−3,−2), 𝐵(−7,1), 𝐶(−2, 8), 𝐷(1, 5) 𝑦 𝐸(6,3) 3. 𝐴(−5,1), 𝐵(−4,6), 𝐶(3, 5), 𝐷(7, 2) 𝑦 𝐸(2,−4) III.- Resuelve los siguientes problemas. 1. Los vértices de un triángulo rectángulo son los puntos (1,−2),(4, −2),(4,2). Determinar la longitud de los catetos, después el área del triángulo y la longitud de la hipotenusa. 2. Halla el área del triángulo cuyos vértices son: 𝐴(2,−2), 𝐵(−8,4) 𝑦 𝐶(5,3); comprueba el resultado por la fórmula: 𝐴 = ( 𝑏)(ℎ) 2 3. Los vértices de un cuadrilátero son los puntos (1, 3), (7,3),(9,8) 𝑦 (3,8); Calcule su área y compruebe el resultado por la fórmula: 𝐴 = 𝑏ℎ
  22. 22. 22 | P á g i n a UNIDAD 2: LOS ELEMENTOS DE UNARECTACOMO LUGAR GEOMÉTRICO. 2.1 PENDIENTE Y ÁNGULO DE INCLINACIÓN  La recta. Intuitivamente sabemos qué es una recta; sin embargo, a pesar de su sencillez, el de recta es un concepto fundamental en las matemáticas, ya que muchos de los fenómenos o procesos que se estudian en las ciencias son lineales, es decir, las variables que intervienen en ellos se relacionan por medio de una ecuación que representa una recta. De acuerdo con los axiomas de Euclides las propiedades fundamentales de la recta son:  Dos rectas distintas son paralelas o se cortan en un solo punto.  Por dos puntos distintos pasa únicamente una recta. Pendiente de una recta Se define como pendiente o coeficiente angular de una recta, al grado de inclinación que dicha recta posee con respecto a un sistema de referencia, o coordenado. Matemáticamente se dice que la pendiente de una recta es una diferencia de ordenadas entre una diferencia de abscisas, y se denota convencionalmente con la literal 𝑚 y de acuerdo con la definición, se expresa por 𝑚 = 𝑡𝑔 𝜃 Se suele decir que la pendiente de una recta se define como la tangente de su ángulo de inclinación. Ángulo de inclinación El ángulo de inclinación de una recta es el ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje 𝑥. Sea 𝐿 una recta no paralela al eje 𝑥 y que lo intersecta en el punto 𝐴. La dirección de la recta en relación con los ejes coordenados puede indicarse si se conoce el ángulo 𝜃 < 180° que se obtiene al girar la semirrecta 𝐴𝑋⃗⃗⃗⃗⃗ en sentido contrario al recorrido de las manecillas del reloj hasta coincidir con la recta 𝐿. Por lo tanto, este ángulo (𝜃) se denomina inclinación de la recta 𝐿. A partir de la ecuación 𝑚 = 𝑡𝑔 𝜃, despejando para el ángulo de inclinación, tenemos: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑚 X L X’ Y 𝜃 𝐴
  23. 23. 23 | P á g i n a Criterios de aplicación sobre la pendiente. El ángulo ( 𝜃) de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0° ≤ 𝜃 ≤ 180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la comprensión del comportamiento de la pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares: a). 𝑚 es un número positivo, si 0° < 𝜃 < 90° b). 𝑚 es un número negativo, si 90° < 𝜃 < 180° Incremento en y>0 Incremento en x>0 P2 Y X P Incremento en x>0 X P P2 Incremento en y<0 Y
  24. 24. 24 | P á g i n a c). 𝑚 = 0, si 𝜃 = 0° d). 𝑚 = ∞, si 𝜃 = 90° La pendiente se define matemáticamente por el siguiente TEOREMA. Sean 𝑃1 ( 𝑥1,𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2) dos puntos diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es: 𝒎 = 𝒚 𝟐 − 𝒚 𝟏 𝒙 𝟐 − 𝒙 𝟏 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒙 𝟏 ≠ 𝒙 𝟐 X Incremento en y = 0 P2 P Incremento en x = 0 P2 P X Y Y
  25. 25. 25 | P á g i n a EJEMPLO. Halle la pendiente y ángulo de inclinación de la recta que se forma por los puntos (−2,6) y (3, −4). Grafique la recta. La pendiente de la recta a través de estos puntos es: 2 5 10 )2(3 64 12 12          xx yy m Por lo tanto, la pendiente es 𝑚 = −2 y la recta que pasa por 𝑃1 𝑦 𝑃2 se muestra en la figura: Para determinar el ángulo de inclinación utilizamos la ecuación: 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑚 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑚 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (−2) 𝜃 = −63° 26′ 6′′ Como la 𝑚 es negativa, el ángulo 𝜃 es mayor de 90° pero menor de 180°, por lo que el ángulo encontrado deberá restarse a 180°, es decir: 𝜃 = 180° − 63° 26′ 6′′ = 116° 33′54′′ Y X 𝜃 = 116° 33′54′′𝑃1(−2, 6)
  26. 26. 26 | P á g i n a PROBLEMARIO. I.- Halla la pendiente y el ángulo de inclinación para las siguientes rectas que se forman con los puntos: 1. 𝐴(−5,−2) 𝑦 𝐵(7,5) 2. 𝑀(7,8) 𝑦 𝑁(4,3) 3. 𝐴(0,3) 𝑦 𝐵(11,−1) 4. 𝑃(7,4) 𝑦 𝑄(1,−2) II. Determina la pendiente de las siguientes rectas cuya inclinación es: 𝑎). 135° 𝑐). 60° 𝑏). 120° 𝑑). 45° III. Determina el ángulo de inclinación para las siguientes rectas cuya pendiente es: 𝑎). 1 𝑏). 2.144506 𝑐). − 1.428148 𝑑). − 0.6 IV. Se apoya una escalera contra una pared. El extremo superior queda a 4 metros (m) sobre el piso y el inferior a 2m de distancia de la pared. ¿Cuál es la inclinación de la escalera con respecto al piso? Dibuje el esquema.
  27. 27. 27 | P á g i n a 2.2 PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD. 1.- Dos rectas que son paralelas, sus pendientes son iguales. Dos rectas, 𝐿1 𝑦 𝐿2, son paralelas sólo si sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son 𝑚1 𝑦 𝑚2, la condición de paralelismo establece que 𝒎 𝟏 = 𝒎 𝟐. Como 𝐿1 𝑦 𝐿2 son paralelas, sus inclinaciones 𝜃1 𝑦 𝜃2 son iguales, es decir, 𝜃1 = 𝜃2 y en consecuencia 𝑡𝑔 𝜃1 = 𝑡𝑔 𝜃2 , por lo tanto 𝑚1 = 𝑚2. 2.- Dos rectas son perpendiculares entre sí, si la pendiente de una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta. Dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus pendientes es igual a (−1 ): 𝒎 𝟏 𝒎 𝟐 = −𝟏 Y X 𝐿1 𝜃1𝜃2 𝐿2𝐿2 𝜃1𝜃2 𝑌 𝑋 𝐿2 𝜃1 𝜃2 𝐿1 𝐿1
  28. 28. 28 | P á g i n a PROBLEMAS. Dadas las siguientes rectas que pasan por los puntos 𝐴 𝑦 𝐵, así como las definidas por los puntos 𝑀 𝑦 𝑁; determina si son paralelas o perpendiculares entre sí: 𝑎). 𝐴(4,1), 𝐵(−2, 5) 𝑦 𝑀(3,7), 𝑁(−1, 1) 𝑏). 𝐴(−7,1), 𝐵(1,−6) 𝑦 𝑀(−4,−6), 𝑁(3, 2) 𝑐). 𝐴(2,2), 𝐵(9,9) 𝑦 𝑀(6,5), 𝑁(5,6) Demuestra, por medio de pendientes, que los puntos dados son los vértices de un paralelogramo. 𝑎). 𝐴(4,6), 𝐵(2, −2), 𝐶(−11, −1) 𝑦 𝐷(−3,−9) 𝑏). 𝐴(2,4), 𝐵(6,2), 𝐶(8,6) 𝑦 𝐷(4,8) Demuestra que los puntos dados son los vértices de un rombo y que sus diagonales son perpendiculares y se cortan en su punto medio. 𝑎). 𝐴(6,5), 𝐵(9, 9), 𝐶(5, 6) 𝑦 𝐷(2,2) 𝑏). 𝐾(2,2), 𝐿(5, 6), 𝑀(9,9) 𝑦 𝑁(6,5) Demostrar por medio de pendientes que los siguientes puntos son las paralelas de un cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares. 𝑎). 𝐴(0,1), 𝐵(3, 5), 𝐶(7, 2) 𝑦 𝐷(4,−2) 𝑏). 𝐾(4,−2), 𝐿(7, 2), 𝑀(3,5) 𝑦 𝑁(0,1)
  29. 29. 29 | P á g i n a 2.3 ANGULO DE INTERSECCIÓN ENTRE DOS RECTAS. Ángulo de dos rectas. Consideremos la figura las dos rectas 𝐿1 𝑦 𝐿2. Sea 𝐶 su punto de intersección y 𝐴 𝑦 𝐵 los puntos en que cortan al eje 𝑋. Sean 𝜃1 𝑦 𝜃2 los dos ángulos suplementarios que forman. Cada uno de estos ángulos, 𝜃1 𝑦 𝜃2, se miden, en sentido contrario al de las manecillas de un reloj, o sea en sentido positivo. La recta a partir de la cual se mide el ángulo se llama recta inicial; la recta hacia la cual se dirige el ángulo se llama recta final. Las pendientes de las rectas inicial y final se llaman pendiente inicial y pendiente inal, respectivamente. Gráficamente, se tiene: Vamos a calcular cada uno de los ángulos 𝜃1 𝑦 𝜃2 cuando se conocen las pendientes 𝑚1 𝑦 𝑚2 de los lados que forman estos ángulos. El triángulo ABC, siendo 𝜃1 = 𝐴𝐶𝐵, tendremos: 𝛼2 = 𝛼1 + 𝜃1, o sea 𝜃1 = 𝛼2 − 𝛼1 (1) Tomando las tangentes de ambos miembros de (1) Tenemos: 𝑡𝑔𝜃1 = 𝑡𝑔𝛼2 − 𝑡𝑔𝛼1 1 + 𝑡𝑔𝛼2 𝑡𝑔𝛼1 𝐿1 𝐴 𝐵 𝐶 𝛼2𝛼1 𝑌′ ’ 𝑌 𝜃1 𝜃2 𝛼2 𝜃2 𝑋 𝐿1 𝐿2 𝐴
  30. 30. 30 | P á g i n a Pero 𝑚1 = 𝑡𝑔 𝛼1 𝑦 𝑚2 = 𝑡𝑔 𝛼2 . Luego, de (2) 𝑡𝑔 𝜃1 = 𝑚2 − 𝑚1 1 + 𝑚2 𝑚1 (3) Para el triángulo 𝐴𝐵𝐶, con 𝜃2 por ángulo exterior, tenemos 𝜃2 = 𝛼1 + (180°− 𝛼2) Tomando tangentes de ambos miembros, obtenemos: 𝑡𝑔 𝜃2 = 𝑡𝑔𝛼1 + 𝑡𝑔(180° − 𝛼2) 1 − 𝑡𝑔𝛼1 𝑡𝑔(180° − 𝛼2) = 𝑡𝑔𝛼1 − 𝑡𝑔𝛼2 1 + 𝑡𝑔𝛼1 𝑡𝑔𝛼2 , De donde obtenemos el resultado buscado: 𝑡𝑔 𝜃2 = 𝑚1 − 𝑚2 1 + 𝑚1 𝑚2 (4) Para calcular un ángulo especificado es esencial saber si se debe usar la fórmula (3) o la (4), es decir, debemos tener la seguridad de que estamos calculando un ángulo particular o su suplemento. Esto se resuelve muy sencillamente si observamos que, en ambos resultados, el numerador se obtiene restando la pendiente inicial de la pendiente final. De acuerdo con esto tenemos el siguiente TEOREMA. Un ángulo especificado 𝜃 formado por dos rectas está dado por la fórmula. 𝒕𝒈 𝜽 = 𝒎 𝟐 –𝒎 𝟏 𝟏 + 𝒎 𝟏 𝒎 𝟐 , 𝒎 𝟏 𝒎 𝟐 ≠ −𝟏 , (5) En donde 𝑚1 es la pendiente inicial y 𝑚2 la pendiente final correspondiente al ángulo 𝜃.
  31. 31. 31 | P á g i n a EJEMPLO. Determinar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son los puntos: 𝐴(−2,1), 𝐵(3,4) 𝑦 𝐶(5,−2); comprobar los resultados. Solución: Al graficar los puntos dados, se obtiene: Determinaremos las pendientes de los lados del triángulo. 𝑚𝐴𝐵 = 𝑦𝐴 − 𝑦 𝐵 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶 = 1 − 4 −2 − 3 = −3 −5 = 3 5 𝑚𝐵𝐶 = 𝑦 𝐵 − 𝑦 𝐶 𝑥 𝐵 − 𝑥 𝐶 = 4 + 2 3 − 5 = 6 −2 = −3 𝑚𝐴𝐶 = 𝑦𝐴 − 𝑦 𝐶 𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐶 = 1 + 2 −2 − 5 = 3 −7 = − 3 7 Al aplicar la fórmula 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑚2 – 𝑚1 1 + 𝑚1 𝑚2 Resulta para el ángulo a 𝑡𝑔 𝑎 = 𝑚 𝐴𝐵̅̅̅̅ – 𝑚 𝐴𝐶̅̅̅̅ 1 + 𝑚 𝐴𝐶̅̅̅̅ 𝑚 𝐴𝐵̅̅̅̅
  32. 32. 32 | P á g i n a 𝑡𝑔 𝑎 = 3 5 − (− 3 7 ) 1 + (− 3 7 ) ( 3 5 ) = 21 + 15 35 35 − 9 35 𝑡𝑔 𝑎 = 36 26 = 1.3846 a = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (1.3846) ∴ a = 54°09′44′′ Para el ángulo b 𝑡𝑔 𝑏 = 𝑚 𝐵𝐶̅̅̅̅ – 𝑚 𝐴𝐵̅̅̅̅ 1 + 𝑚 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑚 𝐵𝐶̅̅̅̅ 𝑡𝑔 𝑏 = −3 (− 3 5 ) 1 + ( 3 5 )(−3) = −18 5 5 − 9 5 𝑡𝑔 𝑏 = −18 −4 = 4.5 b = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (4.5) ∴ b = 77°28′16′′ Para el ángulo c 𝑡𝑔 𝑐 = 𝑚 𝐴𝐶̅̅̅̅ – 𝑚 𝐵𝐶̅̅̅̅ 1 + 𝑚 𝐵𝐶̅̅̅̅ 𝑚 𝐴𝐶̅̅̅̅ 𝑡𝑔 𝑏 = − 3 7 − (−3) 1 + (−3) (− 3 7 ) = −3 + 21 7 7 + 9 7 𝑡𝑔 𝑐 = 18 16 = 1.125 c = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 (1.125) ∴ c = 48°21′59′′ Por el teorema: “La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°”, tenemos: a + b + c = 180° 54°09′44′′ + 77°28′16′′ + 48°21′59′′ = 180°
  33. 33. 33 | P á g i n a POBLEMARIO I. – Determina los ángulos interiores de los siguientes triángulos cuyos vértices son los puntos que a continuación se indican; comprueba los resultados: 1. 𝐴(−2,0), 𝐵(5,−5) 𝑦 𝐶(3, 7) 2. 𝐾(2,5), 𝐿(−3,−2) 𝑦 𝑀(4,2) 3. 𝐴(−2,3), 𝐵(4,4) 𝑦 𝐶(−3, −1) 4. 𝐾(−5,−4), 𝐿(9, −2) 𝑦 𝑀(1,6) 2.4 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTAPUNTO-PENDIENTE.  La recta como lugar geométrico. Se llama línea recta no vertical al lugar geométrico de los puntos tales que, tomados dos puntos diferentes, el valor de la pendiente siempre es constante. Esta definición nos permite determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos de sus condiciones geométricas, por ejemplo, su pendiente y uno de sus puntos, o dos de sus puntos. TEOREMA. La ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃1( 𝑥1,𝑦1) y tiene la pendiente dada 𝑚, es: 𝒚 − 𝒚 𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙 𝟏) EJEMPLO:Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝑃(4,−5) y cuya pendiente es 3. Escribe la ecuación en la forma punto-pendiente. Solución Tenemos que 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1), donde 𝑥1 = 4, 𝑦1 = −5 y 𝑚 = 3; por tanto: 𝑦 − (−5) = 3( 𝑥 − 4) 𝑦 + 5 = 3(𝑥 − 4) Esta última ecuación es la de la recta que pasa por el punto 𝑃(4,−5) y cuya pendiente es 3; está expresada en la forma punto-pendiente.
  34. 34. 34 | P á g i n a ACTIVIDADES PROBLEMARIO. I.- Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente que se indica. 𝐴(5,9) 𝑦 𝑚 = 3 𝑄(0,−2) 𝑦 𝑚 = − 3 4 II. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene el ángulo de inclinación que se indica.* 𝐴(7,4) 𝑦 𝜃 = 60° 𝑃(2,−7) 𝑦 𝜃 = 135° III.- Halla la ecuación de las rectas siguientes en la forma punto-pendiente. 1. 𝑃𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃(3,7) 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 4. 2. 𝑃𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑃(−2,5) 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 3. 3. 𝑃𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (−1,−6) 𝑦 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 1 4 . 4. 𝑃𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 (4,−9) 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 − 1 5 .
  35. 35. 35 | P á g i n a 2.5 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTA PENDIENTE-ORDENADA EN EL ORIGEN. Veamos el caso particular de la ecuación en la forma punto-pendiente, la denominada pendiente-ordenada en el origen. Si una recta de pendiente 𝑚 corta el eje 𝑦 en el punto 𝑃(0, 𝑏) tenemos que: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚( 𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 𝑏 = 𝑚( 𝑥 − 0) 𝑦 − 𝑏 = 𝑚𝑥 ∴ 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 A esta forma de la ecuación de la recta, también se le denomina común. Una recta paralela al eje 𝑦 no tiene ordenada en el origen; por lo anterior la ecuación obtenida no se aplica; en este caso su ecuación es 𝑥 = 𝑎. Se hace notar que la recta 𝑙 tiene su ordenada en el origen, intersectando al eje 𝑦 en 𝑏. TEOREMA. La ecuación de la recta cuya pendiente es 𝑚 y tiene su ordenada en el origen (𝑏), es: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃.   𝑶 𝒙 (𝟎, 𝒃) 𝒚
  36. 36. 36 | P á g i n a EJEMPLO. a). Determina la ecuación de la recta cuya pendiente es 4 y la ordenada en el origen es −7. Escribe la ecuación en la forma pendiente-ordenada en el origen. Solución. 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑚 = 4 y 𝑏 = 7; luego: 𝑦 = 4𝑥 + (−7) 𝑦 = 4𝑥 − 7 b).Hallar la ecuación de la recta que tiene de pendiente (− 2 7 ) y su intersección con el eje y es (3). Solución. Si se sustituyen los datos dados en la ecuación, pendiente y ordenada, en el origen de la recta, resulta: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 𝑦 = − 2 7 𝑥 + 3 PROBLEMARIO. I.- Halla la ecuación de la recta que tiene la pendiente dada y sus intersecciones con el eje "𝑦 " se indica. 1. 𝑚 = − 3 5 , intersección (−3) 2. 𝑚 = −5, intersección (2) II.- Determina la ecuación de la recta de pendiente 4 y ordenada en el origen igual a −5.
  37. 37. 37 | P á g i n a  Problemas de aplicación de la ecuación de la recta como modelo matemático. Numerosos problemas del mundo real se describen mediante una relación lineal entre las variables que intervienen en él; es decir, su relación se expresa por medio de una ecuación de primer grado, la cual generalmente se presenta en la forma pendiente- ordenada en el origen, o sea, en la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏. EJEMPLO: Analicemos el siguiente problema. Una computadora tiene 10 años de uso y su valor actual es de $23,000, pero hace cuatro años su valor era de $41,400. Si el valor de la computadora varía linealmente con el tiempo, determina: a). La ecuación que expresa el valor del sistema en términos del tiempo transcurrido. Solución. Respecto a este problema es importante puntualizar lo siguiente: 1. El valor (𝑣) del sistema varía con el tiempo (𝑡); por lo tanto, la variable independiente es 𝑡, en tanto que la variable dependiente es 𝑣. Es decir, nuestros pares ordenados son de la forma (t, v) 2. La relación entre las variables es lineal; por consiguiente la ecuación particular que las relaciona es de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏, donde 𝑦 = 𝑣 y 𝑥 = 𝑡. De acuerdo con lo anterior, a partir de los pares ordenados (10, 23, 000) y (6,41,400) encontramos la ecuación específica del problema. Observa que hace cuatro años la computadora tenía seis años de uso y para ese tiempo su valor era de $41,400. Determinamos primero el valor de la pendiente: 𝑚 = 𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1 = 23,000 − 41,400 10 − 6 = −4,600 Con el valor de la pendiente y uno de los pares ordenados podemos resolver la ecuación; por ejemplo, si utilizamos el par ordenado (10, 23,000), tenemos que: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 𝑦 − 23,000 = −4600(𝑥 − 10) 𝑦 = −4,600𝑥 + 46,000 + 23,000 𝑦 = −4,600𝑥 + 69,000 La expresión del valor del sistema en función del tiempo es: 𝑣 = −4,600𝑡 + 69,000
  38. 38. 38 | P á g i n a b). ¿Cuál fue el valor del sistema cuando era nuevo? Solución. Cuando el sistema era nuevo, 𝑡 = 0; por consiguiente, tenemos: 𝑣(0) = −4,600(0) + 69,000 𝑣(0) = 69,000 c). ¿Cuánto se deprecia el valor de la computadora por año? Solución. Como la pendiente representa la razón de cambio de la variable dependiente respecto a la independiente, entonces de acuerdo con la ecuación específica, por cada año que transcurre el valor de la computadora se deprecia $4600. d). ¿Cuál será el valor de la computadora después de 12 años de uso? Solución. De acuerdo con la ecuación obtenida: 𝑣(12) = −4,600(12) + 69,000 𝑣(12) = −55,200 + 69,000 𝑣(12) = 13,800 La computadora tendrá un valor de $13,800 después de 12 años de uso. e). Si se contempla vender la computadora cuando su valor sea de $4,600, ¿cuántos años tendrá de uso? Solución. En este caso contamos con el dato 𝑣 = 4,600 y lo que debemos encontrar para qué valor de 5 es 𝑣 = 4600; es decir: 𝑣 = −4,600𝑡 + 69,000 4,600 = −4,600𝑡 + 69,000 4,600 − 69,000 = −4,600𝑡 −4600𝑡 = −64,400 𝑡 = −64,400 −4,600 = 14 𝑡 = 14
  39. 39. 39 | P á g i n a f). ¿Después de cuantos años de uso el valor de la computadora se deprecia totalmente? Solución. Cuando el sistema se deprecia totalmente, 𝑣 = 0; Luego: 𝑣 = −4,600𝑡 + 69,000 0 = −4,600𝑡 + 69,000 4,600𝑡 = 69,000 𝑡 = 69,000 4,600 𝑡 = 15 Después de 15 años la computadora se deprecia totalmente. Gráfica de la función 𝑣 = −4,600𝑡 + 69,000 PROBLEMARIO. 1.- El valor comercial de un automóvil que tiene ocho años de uso es de $56,000. Cuando tenía cinco años de uso, su valor era de $80,000. Si dicho valor varía linealmente con el tiempo, determina: a). La ecuación particular que expresa el valor del auto en términos del tiempo de uso. b). El valor del automóvil cuando tenga 12 años de uso. c). El valor del automóvil cuando era nuevo. d). A los cuantos años de uso el automóvil ya no tendrá valor comercial. 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 0 5 10 15 20 Valordelequipo(v) Tiempo en años (t) v= -4600(t) + 69000
  40. 40. 40 | P á g i n a 2.- Una casa que tiene cuatro años de uso tiene un valor de $48,000, pero cuando era nueva su valor era de $300,000. Si el valor de la casa varía linealmente con el tiempo, calcula: a). La ecuación que expresa el valor de la casa en términos del tiempo. b). El valor de la casa dentro de 20 años. c). La variación del valor de la casa por año. 3.- Suponga que la demanda (comprarán) por semana de un producto es de 100 unidades, cuando el precio es de $58 por unidad y de 200 unidades a un precio de $51 cada una. Determina la ecuación de la demanda y su gráfica, suponiendo que es lineal. 4.- Un pequeño negocio pronostica que su ingreso crecerá de acuerdo con el métpdo de la línea recta con una pendiente de $50,000 por año. En su quinto año, el negocio tuvo ingresos por $330,000. Determine una ecuación que describa la relación entre los ingresos R, y el número de años T, desde la apertura del negocio. 5.- Un nuevo edificio de apartamentos se vendió por $960,000 cinco años después de que se compró. Los propietarios originales calcularon que el edificio se apreciaba $45,000 por año mientras ellos fuesen los propietarios. Determine la ecuación lineal que describa la apreciación del edificio si x es el número de años desde la compra original. 6.- A 15,000 pies sobre el nivel del mar el agua hierve a 185°𝐹, mientras que a 18,000 pies hierve a 179.6°𝐹. Si la relación entre el punto de fusión del agua y la altitud es lineal, determina: a). La ecuación que expresa la temperatura de fusión del agua respecto a la altitud. b). La temperatura de fusión del agua al nivel del mar. c). La temperatura de fusión del agua a 12,000 pies de altura sobre el nivel del mar. 7.- Un fabricante de refrigeradores produce 3000 unidades cuando el precio es de $940 y 2200 unidades cuando el precio es de $740. Suponga que el precio 𝑝 y la cantidad 𝑞 producidas están relacionadas de manera lineal. Determine la ecuación de la oferta y su gráfica.
  41. 41. 41 | P á g i n a 2.6 DETERMINACIÓN DE LA ECUACIÓN DE LA RECTAQUE PASA POR DOS PUNTOS DADOS. Por geometría, una recta queda perfectamente determinada por dos cualesquiera de sus puntos; analíticamente, la ecuación de una recta también queda perfectamente determinada cuando se conocen las coordenadas de dos cualesquiera de sus puntos. TEOREMA La ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados 𝑃1( 𝑥1, 𝑥2) 𝑦 𝑃2( 𝑥2,𝑦2), es: 𝑦 − 𝑦1 = ( 𝑦1 − 𝑦2 𝑥1 − 𝑥2 )( 𝑥 − 𝑥1) A esta forma de la recta también se le denomina cartesiana. EJEMPLO. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−3,−1) 𝑦 𝐵(5,2). Y convertirla a la forma pendiente-ordenada (común). Solución: Al sustituir los datos dados en la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados, resulta: 𝑦 − 𝑦1 = ( 𝑦1 − 𝑦2 𝑥1 − 𝑥2 )( 𝑥 − 𝑥1) 𝑦 + 1 = ( −1 − 2 −3 − 5 ) ( 𝑥 + 3) 𝑦 + 1 = −3 −8 ( 𝑥 + 3) −8( 𝑦 + 1) = −3( 𝑥 + 3) −8𝑦 − 8 = −3𝑥 − 9 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 −8𝑦 = −3𝑥 − 9 + 8 −8𝑦 = −3𝑥 − 1 𝑦 = 3𝑥 8 + 1 8 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎
  42. 42. 42 | P á g i n a PROBLEMARIO 1.- Halla la ecuación de las rectas que pasan por los puntos dados. 𝑎). 𝐴(2,4) 𝑦 𝐵(−7,5) 𝑏). 𝑀(−1,3) 𝑦 𝑁(2,6) 2.- Un collar antiguo se espera que tenga un valor de $360 después de 3 años y de $640 al cabo de 7 años. Determine la ecuación que describa el valor del collar después de x años. 3.- Un mapa coordenado de un campus universitario da las coordenadas (𝑥, 𝑦) de tres edificios principales como sigue: Centro de cómputo (3.5,−1) Laboratorio de ingeniería (0.5, 0) Biblioteca (−1,−4.5) Determine las ecuaciones (en forma pendiente-ordenada) de las trayectorias en línea recta que conectan: a). El laboratorio de ingeniería con el centro de cómputo b). El laboratorio de ingeniería con la biblioteca. Demuestre que estas trayectorias son perpendiculares. 4.- Una compañía que repara copiadoras comerciales cobra por un servicio una cantidad fija más una tarifa por hora. Si un cliente tiene una factura de $150 por un servicio de una hora y $280 por un servicio de tres horas, determine una ecuación lineal que describa el precio de un servicio, en donde x es el número de horas del servicio.
  43. 43. 43 | P á g i n a 2.7 USO DE LAS DISTINTAS FORMAS DE LA ECUACIÒN DE UNA RECTA.  Formas de la ecuación de una recta. Anteriormente aprendiste a determinar la ecuación de una recta cuando se conocen dos de sus condiciones geométricas. Como ahora sabes, cuando la ecuación se expresa de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 se denomina en la forma pendiente ordenada en el origen, cuando se escribe de la forma 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) se llama ecuación de la recta en la forma punto pendiente por último cuando se expresa 𝑦 − 𝑦1 = ( 𝑦1 − 𝑦2 𝑥1 − 𝑥2 )( 𝑥 − 𝑥1) se llama ecuación que pasa por dos puntos. Ahora aprenderemos a hallar la ecuación de una recta expresándolas en las formas siguientes:  Forma simétrica  Ecuación de la recta en su forma general  Ecuación de la recta en la forma normal  Forma simétrica de la recta. Si conocemos las intersecciones de una recta con los ejes coordenados podemos demostrar que esa recta está determinada por la ecuación 𝑥 𝑎 + 𝑦 𝑏 = 1, donde a es la abscisa en el origen (valor de 𝑥 cuando 𝑦 = 0) y b es la ordenada en el origen (valor de 𝑦 cuando 𝑥 = 0).

×