Vicerrectorado Académico
Universidad Nacional Abierta
Didáctica del Álgebra
y la Trigonometría
Julio Mosquera
Caracas, 2005
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Índice
Introducción .......................................................................................................
4 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
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Introducción
En esta asignatura usted tendrá la oportunidad de estudiar asuntos
relacionados con la enseñanza y aprendiz...
6 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
la Lección 12 se le indica exactamente cuáles son estos audios. Prepare
anticip...
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MÓDULO 1
Investigación sobre el pensamiento algebraico
Objetivo del Módulo:
Comprender los principales métodos, problema...
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Unidad 1
Lección 1
Modelos y Teorías del Aprendizaje del Álgebra
En esta lección estudiaremos una serie de contenidos re...
10 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
Aunque los antiguos proponían sólo [dos tipos] de análisis, zetetics y
poristi...
Lección 1 11
Hay dos especies de preguntas, teoremas y problemas. Un teorema
demuestra la existencia de ciertas propiedade...
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de los trabajos de Kieran (1996), Usiskin (1988) y Picciott y Wah (1993). Para...
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con otras partes de las matemáticas y apoyar la afirmación que el
álgebra si tiene aplicaciones.
Habilidades ...
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Usos de las Variables en el Álgebra
Todas las concepciones del álgebra incluye...
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4. Dada su opinión en 1, ¿propone usted la realización de un
video diferente? Bosqueje ese video si su respue...
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Investigación sobre la Enseñanza y el Aprendizaje de la Trigonometría
Se han r...
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En el contexto de la circunferencia trigonométrica, el seno y coseno son
presentados como funciones reales de...
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Shama decidió entonces centrar su investigación en este concepto. Para ello
ad...
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lección contar con más detalles sobre este asunto en particular. Para concluir,
nos interesa resaltar que Sha...
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Algunos investigadores se han ocupado de estudiar la relación entre la
trigono...
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anterior no se logra fácilmente; como veremos más adelante, este enfoque
introduce al profesor en lo que Skov...
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rectángulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1)
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trigonometría en el aula, pero éstas no se encuentran relacionadas linealmente.
Más bien existe una relación ...
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Orhun, N. (2000). Studen’s mistakes and misconceptions on teaching of
trigonom...
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Unidad 1
Lección 2
Enseñanza del Álgebra y Justicia Social en la Escuela
Esta lección está dedicada a la reflexión sobr...
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memorización de algoritmos, y como ésta es una tarea que realizan
mejor las co...
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social y la enseñanza del álgebra. Por un lado tenemos aquellos que piensan que
la solución está en redefinir...
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Board (Eds.), The nature and role of algebra in the K-14 curriculum:
Proceedin...
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Unidad 2
Lección 3
Desarrollo del Pensamiento Algebraico
Normalmente hablamos de la enseñanza y el aprendizaje del álge...
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Es ocioso ponerse a trazar el origen del álgebra, como de cualquier otro campo...
Lección 3 31
Desarrollo del pensamiento algebraico
El desarrollo del pensamiento algebraico puede ser descrito en términos...
32 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
aprendizaje de las matemáticas en etapas anteriores. Por tanto, la Lectura 4
e...
Lección 3 33
Las funciones trigonométricas como el seno, coseno y tangente son usadas en
cálculos en trigonometría. Estas ...
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Desarrollemos un poco más algunas de las ideas expuestas anteriormente.
Como v...
Lección 3 35
En la figura 2 tenemos que Jya representa la media cuerda AM. Desde la India la
función seno fue introducida ...
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como el de proporciones. El concepto de ángulo no es aprendido con facilidad
p...
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Unidad 2
Lección 4
Estudio de las Funciones Periódicas
Comprender las funciones circulares no es una tarea fácil. Estas...
38 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
10. Defina pulso
11. ¿Cómo se clasifican las ondas? Ilustre cada caso con
ejem...
Lección 4 39
Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/
Partiendo de la situación anterior podemos defin...
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Consideremos algunas medidas muy particulares del ángulo t. Estos es, cuando
e...
Lección 4 41
Actividad 4.4
1. Investigue cómo definen las funciones trigonométricas en por lo menos un
libro de texto de M...
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MÓDULO 2
Álgebra y Trigonometría en la Realidad y en los Materiales
Curriculares
Objetivo del Módulo:
Analizar la relac...
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Unidad 3
Lección 5
Aplicaciones del Álgebra
Esta lección está dedicada al estudio de ciertas situaciones de la vida rea...
44 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
La distinción anterior entre enfoques de enseñanza puede ser combinado con
dif...
Lección 5 45
funciones exponencial y logarítmica, y trigonometría. Mientras que en el
segundo se pone el énfasis en el des...
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  1. 1. Vicerrectorado Académico Universidad Nacional Abierta Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Julio Mosquera Caracas, 2005
  2. 2. 2
  3. 3. 3 Índice Introducción ...................................................................................................................... 5 Lección 1: Modelos y Teorías del Aprendizaje del Álgebra .......................................... 9 Lección 2: Enseñanza del Álgebra y Justicia Social en la Escuela ................................. 25 Lección 3: Desarrollo del Pensamiento Algebraico .......................................................... 29 Lección 4: Estudio de las Funciones Periódicas ............................................................... 37 Lección 5: Aplicaciones del Álgebra ................................................................................ 43 Lección 6: Aplicaciones de la Trigonometría ................................................................... 53 Lección 7: Tipos de Materiales Instruccionales ................................................................ 65 Lección 8: Evaluación de Materiales Instruccionales ....................................................... 87 Lección 9: El Álgebra y la Trigonometría en los Programas de Estudio .......................... 93 Lección 10: Transición de la Aritmética al Álgebra ......................................................... 101 Lección 11: Criterios para Diseñar y Evaluar de Entornos de Aprendizaje ...................... 105 Lección 12: Diseño de Entornos de Aprendizaje .............................................................. 111 Lección 13: Prácticas de Enseñanza en la Escuela ........................................................... 113 Anexo ................................................................................................................................ 117
  4. 4. 4 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
  5. 5. 5 Introducción En esta asignatura usted tendrá la oportunidad de estudiar asuntos relacionados con la enseñanza y aprendizaje del álgebra y la trigonometría. En Venezuela, a diferencia de otros países, actualmente no existen asignaturas diferenciadas bajo esos nombres en la Tercera Etapa de Educación Básica ni en la Educación Media Diversificad y Profesional. Sin embargo, el programa de estudio de Matemática incluye muchos contenidos de estas dos ramas de las matemáticas. Por tanto, el futuro profesor tiene que conocer esos contenidos y su didáctica para desempeñarse en el futuro como un buen profesor de matemáticas. En esta asignatura, como en las otras asignaturas de didáctica, asumimos que el único eslabón entre la enseñanza y el aprendizaje es el estudio. Desde esta perspectiva, para garantizar que un estudiante aprenda, no es suficiente una buena enseñanza, es necesario que estudie. La enseñanza por si sola no produce aprendizaje. En buena medida es la dedicación y el esfuerzo del estudiante puesto en el estudio lo que garantiza el aprendizaje. Esta asignatura está organizada en tres módulos, seis unidades y catorce lecciones. Entendemos por lección un intervalo de cuatro horas semanales de estudio. No asumimos que tengan que ser cuatro horas continuas de estudio. Diseñamos las lecciones de manera tal que con cuatro horas de estudio, con dedicación y concentración usted asimilará el material presentado y realizará las actividades propuestas. Claro está que no todos los estudiantes necesitan del mismo tiempo para estudiar un tema y comprenderlo, unos necesitarán más tiempo otros menos. Lo importante es asumir el estudio como un asunto serio y dedicarle el tiempo necesario. Este material instruccional está acompañado de una Selección de Lecturas. En esa selección usted encontrará un material complementario para el estudio de varias de las lecciones. Cada vez que se disponga a estudiar una lección debe tener a mano la selección de lecturas. Usted encontrará anexo un CD con el ClassPad 300 Manager. Usted debe instalar esta aplicación en un computador para realizar algunas actividades que se proponen en las lección 7, 8 y 12. También se incluye una versión del material manipulable “piezas de álgebra”. Este material es necesario para realizar actividades de las lecciones 7, 8 y 12. Algunas pocas actividades incluidas en este curso requieren que usted vaya al Centro Local y vea un video determinado para poder realizarlas. Esas actividades están identificadas con un icono especial que se muestra a la derecha. Esos videos son: Ondas, Sistemas de Coordenadas y Variables. Si usted vive muy lejos del Centro Local organice su visita al mismo de manera tal que pueda ver los tres videos el mismo día y tomar notas para responder a las actividades propuestas. También se requiere que usted oiga dos programas de audio correspondientes a la asignatura Matemáticas I de Estudios Generales. En
  6. 6. 6 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría la Lección 12 se le indica exactamente cuáles son estos audios. Prepare anticipadamente la visita al Centro Local, lea previamente con detenimiento las actividades que requieren videos. Para terminar, le recomendamos que siempre tenga a mano un cuaderno de trabajo, preferiblemente cuadriculado, y una caja con diversas herramientas. En particular le recomendamos que tenga una calculadora científica, materiales de geometría, etc. También le recomendamos que tenga varias sesiones de trabajo en una computadora con acceso a internet para que explore algunos de los sitios recomendados a lo largo del curso. Es más, en algunas actividades se le solicita que trabaje con alguna aplicación que se encuentra en algún sitio de internet. Igualmente le recomendamos que obtenga una dirección de correo electrónico, lo cual facilitaría la comunicación con nosotros. Julio Mosquera jmosque@una.edu.ve
  7. 7. 7 MÓDULO 1 Investigación sobre el pensamiento algebraico Objetivo del Módulo: Comprender los principales métodos, problemas y resultados de la investigación en didáctica del álgebra y sus implicaciones para el trabajo en la clase de matemáticas. UNIDAD 1: El Álgebra y la Aritmética en la Investigación OBJETIVO DE LA UNIDAD: Identificar diferentes tendencias en la investigación en didáctica de las matemáticas sobre el aprendizaje del álgebra y la trigonometría. CONTENIDOS: Teorías e investigación en la enseñanza, aprendizaje y evaluación del álgebra y trigonometría. Concepciones alternas de los estudiantes en el álgebra y la trigonometría. Visión algebraica de la realidad. Raza, Género, Injusticia, repitencia, creencias y concepciones. UNIDAD 2: Pensamiento Algebraico y Trigonométrico OBJETIVO DE LA UNIDAD: Especificar modelos del desarrollo del pensamiento algebraico en jóvenes y adolescentes. CONTENIDOS: Pensamiento algebraico y trigonométrico. Desarrollo y madurez del pensamiento algebraico y trigonométrico del estudiante. Interpretación de las funciones circulares.
  8. 8. 8 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría
  9. 9. 9 Unidad 1 Lección 1 Modelos y Teorías del Aprendizaje del Álgebra En esta lección estudiaremos una serie de contenidos relacionados con teorías e investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza del álgebra y la trigonometría en la escuela. En particular prestaremos atención a aquellas que tienen que ver con las concepciones alternas que se forman los estudiantes sobre diversos temas de álgebra y de trigonometría. También nos ocuparemos un poco de las creencias. Antes de entrar en la materia particular de esta lección, consideraremos qué es el álgebra. La manera como respondamos a esta pregunta influirá sobre la forma como enfoquemos el problema de la enseñanza del aprendizaje y la enseñanza del álgebra en la escuela. Es decir, nuestra concepción del álgebra influirá sobre los tipos de problemas que nos planteemos y las formas de resolverlos. ¿Qué es el álgebra? Las respuestas a esta pregunta la podemos clasificar en dos grupos. En el primer grupo incluimos respuestas dadas por matemáticos. En el segundo grupo incluimos respuestas a esta pregunta ofrecidas por educadores matemáticos o especialistas en didáctica de las matemáticas. Entre los primeros podemos mencionar a Vieta (o Viete), Newton, de Morgan, el grupo Bourbaki, y Mac Lane y Birkhoff. Según Vieta (1591), considerado por muchos historiadores de las matemáticas como el fundador del álgebra, El álgebra fue descubierta por los antiguos a partir de la Aritmética, y es la más noble, y de ninguna manera celebrada suficientemente técnica de los números. Como dice Cardano, como el Álgebra sobrepasa toda la sutileza humana y la claridad de cada alma mortal, ésta tiene que ser considerada como un verdadero regalo celestial, el cual da tal experiencia iluminadora del verdadero poder del intelecto que quienquiera que lo domine creerá que no hay nada que no pueda comprender. (...) Hay una cierta manera de buscar la verdad en matemáticas del cual se dice que Plato fue el primero en descubrirlo. Theon lo llamó análisis, el cual el define como asumir que aquello que es buscado como si fuera admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta lo que es [ya] admitido [y trabajar] a través de las consecuencias [asumidas] hasta llegar a y comprender aquello que se busca.
  10. 10. 10 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Aunque los antiguos proponían sólo [dos tipos] de análisis, zetetics y poristics, a los cuales mejor se aplica la definición de Theon, Yo he agregado un tercero, que podría llamarse rhetics o exegetics. Es propiamente zetetics por la cual uno establece una ecuación y proporción entre un término que debemos hallar y los términos dados, poristics por la cual la verdad de un teorema propuesto es evaluada por medio de una ecuación o proporción, y exegetics por la cual el valor de un término desconocido en una ecuación o proporción es determinado. Por tanto, todo el arte analítico, asumiendo estas tres funciones por si mismo, podría denominarse la ciencia del descubrimiento correcto en matemáticas. Esta (Zetetics) no limita su razonamiento a números, una limitación del viejo analista, sino que trabaja con la recientemente descubierta logística simbólica la cual es más fructífera y poderosa que la logística numérica para comparar las magnitudes unas con otras. La logística numérica es [una logística] que emplea números, la logística simbólica una que emplea símbolos o signos para cosas como, digamos, letras del alfabeto. En análisis la palabra “ecuación”, por si misma, significa un igualdad construida propiamente de acuerdo con [las reglas] de la zetetics. Así una ecuación es una comparación de una magnitud desconocida y una magnitud conocida. Finalmente, el arte analítico, dotado de estas tres formas de zetetics, porsitics y exegetics, reclama para si mismo el más grande de todos los problemas, el cual es Resolver todo problema. [Traducción Julio Mosquera] Para Newton (1628), El cálculo es ejecutado con Números, como en la Aritmética Vulgar, o con Especies, como es usual entre los Algebristas. Ambos están construidos sobre los mismos Fundamentos, y buscan el mismo Objetivo, viz. la Aritmética definitiva y particularmente, el Álgebra indefinida y universalmente; de manera tal que todas las Expresiones que son halladas mediante estos Cálculos, y particularmente Conclusiones, pueden ser llamadas Teoremas. Pero el Álgebra es particularmente excelente en esto, mientras que las Preguntas Aritméticas son resueltas solamente procediendo desde las Cantidades dadas a las Cantidades buscadas, el Álgebra procede en Orden retrogrado, de las Cantidades buscadas, como si estuvieran dadas, a la Cantidades dadas, como si fueran buscadas, al final se llega a una Conclusión o Ecuación de una u otra manera, a partir de la cual podremos obtener la Cantidad buscada. [Traducción de Julio Mosquera] Augusto de Morgan (1828) comenta que el álgebra ... es la parte de las matemáticas en la cual símbolos son empleados para abreviar y generalizar el razonamiento que surge en cuestiones relacionadas con los números.
  11. 11. Lección 1 11 Hay dos especies de preguntas, teoremas y problemas. Un teorema demuestra la existencia de ciertas propiedades de números dados y conocidos. Un problema tiene por su objeto determinar que números tienen relaciones dadas con otros números conocidos. [Traducción de Julio Mosquera] Para Nicolas Bourbaki (1943), seudónimo usado por un colectivo de matemáticos franceses que sentaron las bases de la matemática moderna, El álgebra se ocupa esencialmente del cálculo, esto es, ejecutar, sobre elementos de un conjunto, “operaciones algebraicas”, el ejemplo más conocido es proporcionado por las “cuatro reglas” de la aritmética elemental. El álgebra ... por largo tiempo ha sido considerada como el estudio de las operaciones algebraicas, independiente de las entidades matemáticas a las que ellas puedan aplicarse. Privadas de cualquier carácter específico, la noción común subyacente a las operaciones algebraicas usuales es muy simple: realizar una operación algebraica en dos elementos a, b del mismo conjunto E, significa asociar al par ordenado (a, b)un tercer elemento c bien definido del conjunto E. En otras palabras, no hay más nada en esta noción que una función: tener una operación algebraica es tener un función definida sobre ExE y toma sus valores en E ... En conformidad con las definiciones generales, tener sobre un conjunto E una o varias leyes de composición o leyes de acción definen una estructura sobre E; para las estructuras definidas de esta manera preservamos precisamente el nombre de estructuras algebraicas y es el estudio de éstas lo que constituye el álgebra. [Traducción de Julio Mosquera] Un libro clásico de álgebra es el de Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967). Para estos matemáticos, El álgebra comienza como el arte de manipular cantidades, productos y el poder de los números. Las reglas para esta manipulación sostenida por todos los números, de modo que la manipulación puede ser llevada a cabo con letras en representación de los números. Entonces parece que las mismas reglas contenidas para varios tipos de números diferentes … y que las reglas incluso se aplican a las cosas ... las cuales no son para nada números. Un sistema algebraico, como el que estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicación operan, siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas básicas. (p. 1). Actividad 1.1 Compare y contraste las cinco definiciones del álgebra y los comentarios sobre éstas presentados anteriormente. Señale las principales semejanzas y diferencias. Pasaremos ahora a considerar algunas definiciones del álgebra propuestas por educadores matemáticos. Entre los educadores matemáticos haremos mención
  12. 12. 12 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría de los trabajos de Kieran (1996), Usiskin (1988) y Picciott y Wah (1993). Para Kieran (1996), el “Álgebra es una herramienta por medio de la cual no sólo representamos números y cantidades con símbolos literales sino que también calculamos con esos símbolos” (p.271). Como la misma Kieran señala, esta definición de álgebra escolar incluye tanto “acciones” como “objetos”. Para Usiskin (1988), el álgebra escolar tiene “... que ver con la comprensión de las “letras” (hoy acostumbramos a llamarlas variables) y sus operaciones, y consideramos que los estudiantes están estudiando álgebra cuando encuentran las variables por primera vez.” (p.8). Y agrega que ésta provee los medios para analizar y describir relaciones. Además, el álgebra es la clave para la caracterización y comprensión de las estructuras matemáticas (Usiskin, 1988, p. 18). Este mismo autor distingue cuatro concepciones del álgebra. Concepción 1: Álgebra como aritmética generalizada. Concepción 2: Álgebra como el estudio de procedimientos para resolver ciertos tipos de problemas. Concepción 3: Álgebra como el estudio de relaciones entre cantidades. Concepción 4: Álgebra como el estudio de estructura. (Usiskin, 1988) Picciotto y Wah (1993) proponen un cambio radical en la manera de concebir el álgebra escolar. Proponen una nueva álgebra, la cual La nueva Álgebra, como ellos la llaman, se construye teniendo en cuenta las limitaciones del enfoque tradicional y superándolas. Ellos proponen que la nueva Álgebra debe diseñarse de manera tal que permita abrir la puerta para todos los estudiantes. Ésta se caracterizaría por: Multidimensionalidad. Tal curso usa una interdependencia entre temas y herramientas, para crear un “scaffolding” alrededor del cual se puedan construir las lecciones en las que los conceptos del álgebra sean aprendidos en un ambiente rico de resolución de problemas (ver Figura 1). La manipulación de símbolos es sólo una aspecto del curso. Empoderamiento por medio de herramientas. Las herramientas matemáticas son objetos (y ambientes electrónicos) los cuales proveen modelos concretos y manipulables de ideas complejas y abstractas, por tanto las hacen accesibles e interesantes. Ellos son los “objetos-para-pensar-con” como los denomina Papert (1980) en su libro Mindstorms, pero no son necesariamente basados en computadora. Motivación por medio de temas. Los temas son contextos matemáticos ricos, tomados del mundo real o problemas llamativos, donde los conceptos del álgebra pueden ser introducidos, explorados, desarrollados y revisados. Los temas bien escogidos pueden darle vida al álgebra, revelar conexiones
  13. 13. Lección 1 13 con otras partes de las matemáticas y apoyar la afirmación que el álgebra si tiene aplicaciones. Habilidades por medio de la resolución de problemas. La manipulación de símbolos, en lugar de ser el centro principal de atención, se convierte en una herramienta para la resolución de problemas, lo cual es el principal modo de operar a través de todo el curso. Organización en espiral. La interacción de herramientas hace posible múltiples representaciones de conceptos y una exposición extendida a los mismos. Este enfoque permite prever y revisar de manera substancial, y ayuda a resaltar conexiones entre conceptos. Figura 1. Una nueva Álgebra (Picciotto y Wah, 1993, traducción libre de Julio Mosquera) Ese nuevo enfoque del contenido y la enseñanza del álgebra se respresenta con el siguiente modelo. Figura 2. Modelo de una nueva álgebra Actividad 1.2 En los párrafos anteriores presentamos una serie de definiciones y consideraciones acerca del álgebra en la escuela. 1. ¿Cuál de esas concepciones cree usted que predomina en la escuela venezolana? 2. Señale las principales diferencias y semejanzas entre los planteamientos de Kieran, Usiskin, y Picciotto y Wah.
  14. 14. 14 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Usos de las Variables en el Álgebra Todas las concepciones del álgebra incluyen de una manera u otra el estudio, uso o manipulación de las letras. Diversos autores incluyen la consideración del uso y la concepción de las letras y las variables en el álgebra. Kieran (1996) señala que las concepciones de las variables más comúnmente desarrolladas y usadas por los niños son la de las letras como un incógnita y la de las letras como representantes de un rango de valores. Usiskin (1988) plantea que las variables son interpretadas y usadas de diferentes formas según el contexto en que son usadas, en principio el proponer los siguientes “contextos”. (1) A = L. W (formula) (2) 40 = 5.X (ecuación, para resolver) (3) sen x = cos x tan x (identidad) (4) 1 = n ( 1 n ) (propiedad) (5) y = kx (ecuación de una función, no resolver). En (1) las letras son percibidas como conocidas, en (2) la letra es una incógnita, en (3) es el argumento de una función, en (4) se percibe la generalización de un patrón que n es una instancia o caso de ese patrón, y por último, en (5) x es el argumento de una función y k un parámetro, el estudiante tiene sentido de la “variabilidad”. Las expresiones (1) y (2) tienen todas la misma forma: el producto de dos números igual a un tercer número. Según el tipo de expresión la interpretación de las variables (las letras) cambia. En la expresión (1), las letras A, L y W, representan el área, el largo y el ancho, y son percibidas como conocidas. En (2) uno piensa en X como una incógnita. En (3), X es vista como el argumento de una función. La expresión (4), a diferencia de las otras, generaliza un patrón aritmético y no identifica una instancia del patrón. Sólo con (5) hay el sentido de “variabilidad”, del cual el término de variable se derivó. En (5), X es de nuevo el argumento de una función, y el valor K una constante o parámetro. Usiskin (1988) luego resume estos usos de las variables en cuatro categorías. (1) Generalizador de patrones. (traduce, generaliza) (2) Incógnita, constante. (resolver, simplificar) (3) Argumentos, parámetros. (relacionar, graficar). (4) Marcas arbitrarias en el papel. (manipular, justificar). Actividad 1.3 3. Vea el video Variables. Tome como referencia los usos de las letras (variables) en el álgebra identificadas por Usiskin. ¿Cuáles de esos usos son presentados en este video? Razone su respuesta.
  15. 15. Lección 1 15 4. Dada su opinión en 1, ¿propone usted la realización de un video diferente? Bosqueje ese video si su respuesta es afirmativa. Para más detalles sobre estos planteamientos revise las lecturas 3 y 6 en la Selección de Lecturas. Investigación sobre Aprendizaje del Álgebra La investigación sobre el aprendizaje del álgebra ha evolucionado en las últimas tres o cuatro décadas desde el análisis de los errores que comenten los estudiantes al resolver ecuaciones hasta el estudio de las concepciones y el desarrollo del pensamiento algebraico pasando por la indagación sobre las estrategias que usan los estudiantes para resolver problemas y ecuaciones. Otra manera de caracterizar la investigación sobre el desarrollo del pensamiento algebraico es tomando en consideración su punto de partida. Básicamente podemos distinguir dos enfoques, uno donde se propone como punto de partida la aritmética y otro donde se toma la geometría, en la Sección 3.2 de la Lectura 6 se hace referencia a estos puntos de vista. También encontramos algunas investigaciones que hacen referencia a la oposición o resistencia al álgebra. Nos ocuparemos aquí de un trabajo de investigación que ubicamos en la etapa más reciente del desarrollo antes descrito. Se trata de una investigación acerca de las concepciones que se forman los estudiantes del concepto de igualdad. Este trabajo es presentado en la Lectura 1 incluida en la Selección de Lecturas. Actividad 1.4 1. Haga una lista de las concepciones erróneas que se forman los estudiantes acerca del signo igual. 2. Señale cuál es la principal concepción errónea que se forman los niños del concepto de igualdad. Converse con una maestra de Primera o de Segunda etapa de EB sobre este asunto y pregúntele si ha detectado algo similar entre sus estudiantes. 3. Explique con sus propias palabras la estrategia usada por Falkner para lograr que sus estudiantes comprendieran el significado del signo de igualdad. 4. ¿Cree usted que estudiantes de la Tercera Etapa de EB y de EMDP sostienen una concepción errónea del signo de igualdad. 5. ¿Por qué es importante que los estudiantes logren una concepción adecuada del signo de igualdad? En la Lectura 1 encontramos un reporte informal de una investigación sobre el significado que le asignan los estudiantes de primeros grados al signo de igualdad. En este artículo se resalta la importancia de la comprensión adecuada de dicho signo para encarar con éxito el estudio del álgebra. También se presentaron algunas estrategias didácticas para trabajar con niños la elaboración de ese significado.
  16. 16. 16 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Investigación sobre la Enseñanza y el Aprendizaje de la Trigonometría Se han realizado muy pocas investigaciones sobre el aprendizaje y la enseñanza de la Trigonometría en la escuela. Una evidencia de esta escasez es que la Trigonometría no aparece mencionada en el Handbook of Research on the Teaching and Learning of Mathematics editado por Grouws (1992, citado en de Kee, Moura y Dionne, s.f.). En esta sección haremos referencia a algunos de los pocos trabajos que pudimos localizar en nuestra investigación bibliográfica sobre el tema. (de Kee y otros, s.f., Doerr, 1996, Shama, 1998, Delice y Monaghan, 2003, Orhun, 200 y Balckett y Tall, 1991). Estos trabajos pueden ser catalogados en cinco categorías: (1) estudio de la comprensión de conceptos trigonométricos (de Kee y otros, s.f. y Shama, 1998), (2) estudio de las concepciones erróneas y errores (Orhun, 2000), (3) estudio de la integración de la trigonometría con otros tópicos (Doerr, 1996), (4) estudio del efecto del uso de computadoras en el aprendizaje de la trigonometría (Blackett y Tall, 1991) y (5) estudio comparativo de la enseñanza de la trigonometría (Delice y Monaghan, 2003). De Kee y otros (s.f) estudiaron la comprensión de las nociones de las funciones seno y coseno en estudiantes de secundaria. Estos autores aclaran que se ocupan de la comprensión en un momento determinado y no en su desarrollo. Basándose en un modelo constructivista propuesto por Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f.) distinguen cinco tipos de componentes de la comprensión (1) inicial, (2) procedimental (3) abstracción, (4) formalización y (5) global. Los autores diseñaron un conjunto de tareas las cuales le propusieron a los cinco estudiantes participantes durante una serie de entrevistas. Todos los estudiantes pertenecían a la misma sección. Tomando en cuenta el modelo de Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f) elaboraron una serie de criterios para indagar acerca de la comprensión del seno y del coseno por parte de los alumnos. Por ejemplo, relacionado con el componente abstracción propusieron un texto a los alumnos sobre la invarianza de las razones trigonométricas respecto al triángulo, es decir, las razones trigonométricas no varían si las dimensiones del triángulo se reducen o se aumentan en longitud. La comprensión de la noción de seno y coseno en los estudiantes de secundaria fue estudiada por de Kee y otros (s.f) en dos contextos clásicos. El primero de estos contextos fue el del triángulo rectángulo, mientras que el segundo fue el contexto de la circunferencia trigonométrica. En ambos contextos se indagó sobre la comprensión según los cinco componentes del modelo de Herscovics y Bergeron (1982). El seno y coseno son vistos como razones de lados de un triángulo rectángulo con hipotenusa En el primer contexto, el triángulo rectángulo, se encontró que algunos estudiantes tienen problema en comprender el seno y el coseno como razones sin unidad; no pueden calcular el seno o el coseno a partir de un ángulo, emplean correctamente la notación trigonométrica; reproducen correctamente la definición formal de seno y de coseno, y las aplican correctamente al caso de un ángulo agudo en un triángulo dado; y en un principio los alumnos sólo veían al seno y al coseno como fracciones, es decir, no se consideraban expresar las fracciones resultantes como números con decimales (por ejemplo, tomar 3 como 0,6).
  17. 17. Lección 1 17 En el contexto de la circunferencia trigonométrica, el seno y coseno son presentados como funciones reales de variable real. Esta manera de ver las funciones trigonométricas es estudiada en la lección 4. Al igual que en el contexto anterior, de Kee y otros (s.f) le pidieron a los estudiantes que dijeran cómo le explicarían a un compañero lo qué es una función trigonométrica. Se les propuso a los estudiantes que harían a partir de una tabla con valores del seno para ciento ochenta ángulos medidos en grados. Para algunos estudiantes cada par de valores en la tabla representaba una función, para otros de los estudiantes la tabla completa representaba una función trigonométrica. Otros alumnos hicieron referencia al triángulo y otros a las gráficas. Ninguno de los estudiantes hizo referencia a las funciones circulares. Una vez que los investigadores les mencionaron estas funciones y les pidieron que hablaran sobre ellas, sólo una alumna se dio cuenta que éstas y las funciones trigonométricas están relacionadas. Todos los estudiantes mostraron tener dificultades en comprender que una tabla representa a una función, en general tenían problemas con el concepto de función. Los estudiantes también mostraron tener dificultades para hallar el valor del seno de un número real usando una cuerda y una circunferencia trigonométrica. De Kee y otros (s.f.) encontraron cuatro representaciones del seno y del coseno entre los estudiantes de secundaria. La primera tiene que ver con las razones, la segunda con las coordenadas cartesianas, la tercera con los valores que se obtienen en una calculadora y, por último las curvas con aspecto ondulado. El desempeño de los estudiantes en todas las tareas fue mejor en el primer contexto que en el segundo. Los estudiantes mostraron no haber establecido relaciones entre las diferentes representaciones del seno y del coseno antes enumeradas. Si desea mejorar la comprensión es necesario promover y fortalecer las relaciones entre esas representaciones. Por último, de Kee y otros (s.f) resaltan que los estudiantes en general tenían dificultad para expresarse. Por tanto, proponen que se den más a menudo oportunidades para la discusión de temas de matemáticas en el aula. Shama (1998) estudió la comprensión de la periodicidad con un proceso que tiene una estructura Gestalt. Este trabajo de investigaciones fue realizado con estudiantes israelíes de 3er grado hasta el grado 12. Este es un estudio que se llevó a cabo en dos fases, la primera de tipo cualitativo en la que se observaron clases y se realizaron entrevistas con los estudiantes. La segunda de tipo cuantitativo consistió de una encuesta aplicada a 895 estudiantes de grado 11. La periodicidad aparece en la naturaleza, por todos lados. Por ejemplo, la fases de la luna y las estaciones. También encontramos patrones periódicos en algunas manifestaciones culturales. La periodicidad es un concepto científico. Las funciones periódicas son usadas para modelar un sin número de fenómenos en biología, química,, física y en la tecnología. Este concepto cobra aún más relevancia si lo vemos como necesario para comprender la conducta de sistemas caóticos y sistemas no lineales. Los patrones periódicos juegan un papel de relevancia en las matemáticas. Podemos concluir que es un concepto muy general y de mucha relevancia (Shama, 1998, p.255). Señala Shama (1999) que a pesar de la relevancia de este tema, hasta ese momento no se había investigado sobre la comprensión de la periodicidad.
  18. 18. 18 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Shama decidió entonces centrar su investigación en este concepto. Para ello adoptó como marco conceptual las ideas de concepto imagen y concepto definición propuesta por Vinner (1991, citado por Shama, 1998, p 256). Shama (1998) organiza la presentación de los resultados de su investigación en tres grandes categorías. Estas categorías son la comprensión de la periodicidad como un proceso, la identificación del período. Tanto los resultados de la entrevista como los de la encuesta llevan a la conclusión que la mayoría de los estudiantes concibe la periodicidad como un proceso. Este puede decir que el concepto imagen de la periodicidad se basa en ejemplos dinámicos. Esto se debe tanto a la enseñanza como a la experiencia diaria. En las entrevistas se encontró con frecuencia el error de considerar fenómenos no-periódicos como si fueran periódicos. Tomando en consideración los resultados de la entrevista se diseñaron diferentes tipos de preguntas para evaluar aún más esa relación. Muchos de los estudiantes mostraron una comprensión incompleta de la periodicidad. Los resultados acerca de la identificación del periódico fueron organizados en cuatro grupos. El primer grupo fue identificado como la longitud del período. Shama (1998) observa que una función con período de longitud r, también tiene período de longitud nr, para, cualquier número natural n. Un período de longitud mínima. Los estudiantes prefirieron identificar un período fundamental como el período. Una conducta similar se encontró en los profesores. El segundo grupo fue identificado como las características de los puntos extremos del período. La mayoría de los estudiantes prefirieron identificar puntos de discontinuidad, puntos extremos o puntos cero (de la forma (x, o) ó (o, y) como los puntos extremos de un período. El tercer grupo tiene que ver con la localización del período. En los resultados anteriores vimos que los estudiantes tienen preferencia por el período fundamental y ciertas características de los extremos del período. En esta parte de la investigación Shama (1998) explora si los estudiantes tienen una preferencia particular por la localización del período. En efecto, los estudiantes suelen escoger como período aquel que comienza en el extremo izquierdo de la representación gráfica de una función periódica. Por ejemplo, en el curso de un decimal periódico escoger como extremo inicial del período el primer dígito a la derecha de la coma, les cuesta identificar como extremo inicial del período a un dígito que esté “alejado” de la coma. En otras palabras, los estudiantes tienden a localizar el período al comienzo de la representación gráfica en el extremos izquierdo. Por último, encontramos los resultados sobre los extremos del período. Algunos estudiantes piensan que los extremos de un período tienen que ser iguales, para algunos incluso si un período termina y comienza en extremos diferentes no es un período. Shama (1998) concluye su artículo con una discusión sobre los resultados más resaltantes de su investigación. Uno de estos resultados es el que tiene que ver con la comprensión de la periodización como proceso. En particular, los estudiantes tienden a confundir el proceso con sus productos, entonces transfieren las propiedades del primero a los segundos. Entendida la periodicidad como proceso, se concibe entonces como fenómeno dependiente del tiempo. Por tanto, como un proceso que tiene un punto de inicio. Además, se tiende a asociar una dirección de ocurrencia al período como proceso es la frente de muchos de los errores que cometen los estudiantes. El otro resultado relevante discutido por Shama (1998) tiene que ver con la teoría de la Gestalt escapa del objetivo de la
  19. 19. Lección 1 19 lección contar con más detalles sobre este asunto en particular. Para concluir, nos interesa resaltar que Shama (1998) llama la atención sobre la necesidad de investigar acerca de la influencia que tiene la enseñanza sobre estas maneras en que los estudiantes comprenden la periodicidad. Pasamos ahora a considerar la investigación de Orhun (2000) sobre errores y concepciones erróneas en la enseñanza de la trigonometría. Para Orhun (2000) la trigonometría es la unidad donde se juntan tópicos de aritmética, realidades geométricas y relaciones trigonométricas. En la educación secundaria, la enseñanza de la trigonometría se limita, en buena medida, a la obtención de razones para un ángulo en particular. En la lección 9 estudiaremos este asunto para el caso de la enseñanza de la trigonometría en Venezuela. En parte, este énfasis en asuntos tan particulares es responsabilidad de los docentes quienes muchas veces no le proveen a los estudiantes de oportunidades de aprendizaje que lleven al aprendizaje de conceptos fundamentales en trigonometría. En la enseñanza de la trigonometría en la escuela se debería considerar tanto las necesidades futuras de los estudiantes como resultados de algunas investigaciones en educación matemática. En cuanto al primer punto tenemos que experimentar por parte de los estudiantes con la parte analítica de la trigonometría es necesaria para el estudio del cálculo en la universidad. Sobre el segundo asunto tenemos que el uso de diferentes sistemas de representación (tablas numéricas, ecuaciones, gráficos) y la traducción entre ellos ayuda a la mejor comprensión de la conceptos matemáticos. En la investigación realizada por Orhun participaron 77 estudiantes de décimo grado en Turquía. El estudio, tipo survey, se llevo a cabo mediante la aplicación de un instrumento con 15 preguntas. En el artículo comentado aquí, Orhun (2000) sólo presenta los resultados obtenidos en cuatro de esas preguntas. Dos de estas preguntas tienen que ver con la relación entre la medida de un ángulo con vértice en el centro de la circunferencia trigonométrica. Las otras dos preguntas tienen que ver con la función seno. El desempeño de los estudiantes en esta cuatro preguntas es bastante bajo. En las respuestas a las dos primeras preguntas los estudiantes mostraron dificultad en la conversación entre medidas de ángulos en grados a radianes. En cuanto a las otras dos preguntas, éstas tenían que ver con el concepto de dominio de una función y con percibir un número real como un ángulo en una función trigonométrica. Orhun (2000) concluye que los estudiantes no desarrollan conceptos claros de trigonometría, algunos de ellos usan la notación algebraica de manera informal, la mayoría no comprende el concepto de trigonometría numérica, y la trigonometría es comprendida como relaciones entre los ángulos y los lados de un triángulo rectángulo. Orhun le atribuye todos estos errores y concepciones erróneas en los estudiantes al método de enseñanza que predomina en las escuelas. Para superar estos problemas, Orhun recomienda enseñar primero las funciones trigonométricas como funciones reales y antes de entrar a tratar problemas con ángulos, el uso de los gráficos de las funciones trigonométricas, y determinar las posibles concepciones erróneas y elaborar métodos para eliminarlas. Muchos de los problemas que encontramos en el aprendizaje de la trigonometría se resolverían con una enseñanza que tome en cuenta estas observaciones.
  20. 20. 20 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Algunos investigadores se han ocupado de estudiar la relación entre la trigonometría y otras materias escolares. Por ejemplo, Doerr (1996) estudió la integración entre la trigonometría, los vectores y la fuerza en un contexto de enseñanza centrado en el modelaje matemático. Doerr (1996) reporta en este trabajo la parte cualitativa de su investigación. En esta parte los datos fueron recogidos de diversas fuentes, tales como grabaciones en video de las clases y los cuadernos de apuntes de los estudiantes. En este estudio participaron 17 estudiantes, desde noveno hasta el doceavo grado, que aceptaron tomar un curso integrado de álgebra, trigonometría y física. Doerr (1996) nos recuerda que hay que distinguir en la enseñanza del modelaje entre el enfoque exploración de un modelo y el enfoque construcción de un modelo. En el primer caso los estudiantes exploran con un modelo las posibilidades tales como fueron ya estudiadas por un experto. Entonces, desde este enfoque se le permita al estudiante comprender la manera de pensar de un experto sobre el problema particular propuesto al estudiante. En el segundo enfoque se le provee a los estudiantes de oportunidades para expresar sus propios conceptos, definir relaciones y explorar las consecuencias de esas relaciones. En este enfoque se busca que los estudiantes investiguen sus propias maneras de pensar sobre el problema propuesto. Según Doerr (1996) este enfoque es el más útil, la construcción de modelos lleva a los estudiantes a que hagan explícitas sus propias concepciones sobre las relaciones entre las variables y examinar las consecuencias de las mismas. Dentro de este enfoque se incluye el uso de herramientas computarizadas que faciliten la construcción de modelos. Sin embargo, escogieron un enfoque que combina ambas aproximaciones. En las clases que tomaban los estudiantes se les presentaba un evento físico y se les pedía que hicieran explícitas sus propias representaciones, elegir las variables y formular las relaciones entre ellas. Estas clases formaban parte de una unidad curricular la cual fue diseñada de manera tal que integre tres componentes. 1) la recolección de datos en un experimento físico, 2) desarrollar y explorar una simulación por computadora y 3) analizar matemáticamente los datos (simbólico, gráfico, tabulador y geométrico). Uno de los resultados más interesantes reportados por Doerr (1996) es que los estudiantes enfocaron desde cuatro puntos de vista diferentes las soluciones a los problemas planteados. Esto se debió en parte a que el ambiente de simulación por computadora proveyó a los estudiantes de herramientas flexibles que les permitían explorar la situación y contribuir una representación que tuviera sentido para ellos. Otro resultado reportado por Doerr (1996) es el de la creciente complejidad en los modelos desarrollados por los estudiantes. A medida que los estudiantes progresaban a lo largo de las clases, incorporaban varios componentes del modelo, los integraban con componentes previos y los extendían para responder a situaciones más complejas. Se produjo un refinamiento de las conjeturas elaboradas por los estudiantes. A pesar de esto, los estudiantes solían basarse más en las ecuaciones y la geometría para desarrollar sus soluciones a expensas del uso de la simulación por computadora. Doerr (1996) organiza las implicaciones de su estudio en dos grupos. En el primer grupo incluye implicaciones para la enseñanza. Se concluye que este enfoque integrado en la enseñanza de la trigonometría fomenta la diversidad de razonamientos, la creatividad y el enriquecimiento de las respuestas mucho más allá de lo que se logra en el aula normal de matemáticas. Sin embargo, todo lo
  21. 21. Lección 1 21 anterior no se logra fácilmente; como veremos más adelante, este enfoque introduce al profesor en lo que Skovsmose (2001) llama una zona de riesgo (ver la lección 5). Se requiere mejorar las actividades de manera tal que permitan llevarlas a un cierre. En el segundo grupo, Doerr (1998) incluye las implicaciones para el curriculum. Primero tenemos que un enfoque como el propuesto requiere un curriculum que permita la exploración de un problema durante un prolongado período de tiempo, muy distinto de lo que se hace dentro de un currículum tradicional. Para que nos demos una idea de este asunto, tenemos que el contenido cubierto durante los 35 días que duró el experimento, normalmente se cubre en 10 ó 12 días en un ambiente tradicional. El segundo punto tiene que ver con el contenido incluido en el curriculum. Desde la perspectiva propuesta por Doerr (1996) el modelaje no es sólo una actividad agregada al curriculum. Entonces, el curriculum se basaría en nociones centrales de las matemáticas, las actividades de indagación de los estudiantes estarían guiadas por una pregunta esencial a partir de la cual se generaron nuevos problemas. Este entorno promocionó la investigación y mantuvo el interés de los estudiantes durante todas las clases. Para concluir, Doerr (1996) resalta que implementar este enfoque en el aula no es sencillo. Se requiere de una interpretación entre el trabajo en pequeños grupos y la discusión con toda la clase. Blackett y Tall (1991) realizaron un estudio sobre el uso de computadoras en la enseñanza de la trigonometría y el género. Este estudio es del tipo experimental y un grupo control. Blackett y Tall (1991) señalan que en Inglaterra, la evidencia empírica muestra que aunque las hembras se desempeñan tan bien como los varones en matemáticas en los primeros años, a medida que avanzamos en los años de escolaridad comienzan a aparecer diferencias a favor de los varones, en particular en los grupos de mayor habilidad. También se sabe que las hembras resultan menos aventajadas que los varones en pruebas visuales-espaciales. Otro resultado mencionado por Blackett y Tall (1991), observado en experimentaciones anteriores, es que las hembras tienden más a la cooperación mientras que los varones tienden más a la competencia. Por lo tanto, se plantearon como hipótesis de su investigación si cierto software diseñado para relacionar conceptos espaciales y datos numéricos y simbólicos es usado en la enseñanza de la trigonometría entonces las hembras mejorarían en la percepción de esas relaciones. El experimento fue realizado en dos escuelas en Inglaterra, una de las escuelas fue tomada como grupo control y la otra escuela fue considerada como grupo experimental. Un pre-test administrado a todos los estudiantes confirmó que había diferencias significativas entre ambos grupos. Luego le fueron administrados dos post-test, uno se aplicó inmediatamente al finalizar el tratamiento y el otro ocho semanas más tarde. Blackett y Tall (1991) reconocen que la enseñanza inicial de la trigonometría está llena de dificultades. Al principio, se le pide al estudiante que establezca relaciones entre dibujos de triángulos y relaciones numéricos, trabajar con razones y manipular símbolos involucrados en tales relaciones. Aquí enfrentamos varios problemas. Primero, el uso de bosquejos de triángulos comunicaría la idea que sólo se pueden obtener resultados precisos usando procedimientos numéricos y si se usan dibujos estáticos en lugar de prestar atención a las relaciones cambiantes dinámicamente. Segundo, otras dificultades aparecen cuando el estudiante tiene que conceptualizar que pasa cuando un triángulo
  22. 22. 22 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría rectángulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1) en la medida que un ángulo agudo aumenta y la hipotenusa se mantiene fija, el lado opuesto aumenta y el lado adyacente decrece, (2) los ángulos permanecen constantes, el alargamiento de la hipotenusa por un factor dado cambia los otros dos lados por el mismo factor (Blackett y Tall, 1991). Una manera de superar estas dificultades es mediante la introducción de un software que permita la manipulación dinámica de objetos matemáticos. Blackett y Tall (1991) reportan que su experimento confirmó la hipótesis que el grupo experimental, el cual uso el software, mejoró su desempeño respecto a los estudiantes en el grupo control. En especial, las hembras en el grupo experimental mostraron una mayor ganancia en ese mejoramiento que los varones, excepto en el caso del grupo de los menos capaces. Además, concluyen que el uso del software ayuda a los estudiantes a establecer relaciones entre las habilidades visual y numérica. Por último tenemos el estudio de Delice y Monaghan (2003) sobre las herramientas usadas en la enseñanza de la trigonometría en Inglaterra y el Turquía respectivamente. Este estudio se centra en dos asuntos. (1) el desempeño de los estudiantes al hallar longitud y ángulos desconocidos a partir de diagramas, simplificación de expresiones y resolución de problemas; y (2) los contextos de aprendizaje: el curriculum, la evaluación, las prácticas en el aula y la actitud de los profesores. Este estudio es el tipo estudio de casos múltiple exploratorio. Los datos fueron recogidos mediante un test, entrevistas con los estudiantes y profesores, y observaciones de clases. En este estudio participaron 60 estudiantes de 17-18 años de edad de ambos países. Para evaluar el desempeño de los estudiantes se usó un instrumento con 16 preguntas. Sobre álgebra (la mayoría de simplificación), 16 preguntas de simplificación trigonométrica y 6 problemas del “mundo real”. Veamos ahora los resultados obtenidos en cada una de las partes del instrumento aplicado a los estudiantes. Los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes ingleses en la primera parte del instrumento. En particular, Delice y Monaghan (2003) resaltan que los estudiantes ingleses experimentaron dificultad en especial con fracciones algebraicas, cancelando con frecuencia equivocadamente. Todos los estudiantes tuvieron dificultad para responder la segunda parte del instrumento, pero los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeño que los estudiantes de Inglaterra. Algunos estudiantes manifestaron en la entrevista que traducían la expresión trigonométrica, operaban con la nueva expresión y luego la convertían otra vez a trigonométrica. Este método no resultó muy útil en particular cuando se cometían errores en la manipulación algebraica. Los estudiantes ingleses obtuvieron mejores resultados que los estudiantes turcos en la tercera parte del instrumento. En particular, los estudiantes turcos tienen problemas con representaciones tridimensionales y con figuras donde aparecen más de un triángulo rectángulo. En lo que respecta al uso de instrumentos Delice y Monaghan (2003) reportan diferencias entre ambos países. En Inglaterra es común el uso de calculadoras y de hojas con fórmulas en las clases de trigonometría. Mientras que en Turquía se usan, aunque de manera marginal, las tablas trigonométricas. El uso de las tablas aparece como un objetivo en los programas de matemáticas en ese último país. Volveremos sobre este tema más adelante en la lección 9. Las herramientas seleccionadas y la manera en que son usadas depende de la enseñanza de la
  23. 23. Lección 1 23 trigonometría en el aula, pero éstas no se encuentran relacionadas linealmente. Más bien existe una relación dialéctica entre uso de herramientas y enseñanza. Por ejemplo, en Inglaterra los estudiantes realizan problemas con ángulos de cualquier magnitud, mientras que en Turquía se trabaja casi exclusivamente con ángulos múltiplos de 15°. Lo anterior se debe al uso de calculadoras. Aún más, en Inglaterra se enfatiza las funciones seno, coseno y tangente las cuales aparecen como teclas en las calculadores. Como vemos, a diferencia de Orhun (2000), Delice y Monaghan (2003) no asumen una simple relación de causalidad entre la manera en que los profesores enseñan trigonometría y aquello que los estudiantes aprenden. Delice y Monaghan (2003) concluyen que la trigonometría en Inglaterra y en Turquía están relacionadas pero resultan ser diferentes trigonometrías. En ambos países las actividades que se realizan en el aula son diferentes”, hay diferencias considerables en las herramientas y técnicas usadas; las acciones matemáticas relacionadas al uso de las herramientas difieren; y las reglas de comportamiento relacionadas con las actividades y uso de herramientas son distintas. Hasta aquí pasamos revista a un conjunto de investigaciones sobre diferentes aspectos de la enseñanza y aprendizaje de la trigonometría en la escuela. Cada uno de estos trabajos se enfoca en problemas particulares de la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría, usan diferentes metodologías, etc. Casi todos ellos coinciden en que se han realizado muy pocas investigaciones; en este campo a pesar de la importancia de este contenido en la escuela y de las numerosas dificultades que muestran los estudiantes en su aprendizaje. A continuación le proponemos una actividad relacionada con estas investigaciones. Actividad 1.5 1. ¿Cuáles son los temas centrales tratados en cada una de las investigaciones anteriores? 2. Haga una lista de los tipos de investigaciones, metodologías e instrumentos usados en cada una de las investigaciones, identifique cuáles son los más usados. 3. Haga un resumen con los resultados más relevantes reportados en cada una de las investigaciones. Referencias Blackett, N. y Tall, D. (1991). Gender and th eversatile learning of trigonometry using computer software. Ponencia publicada en The Proceedings of the International Group for the Psychology of Mathematics Education XV, Vol. 1 (pp. 144-151). Assisi, Italia. Disponible en: www.warwick.ac.uk/staff/ David.Tall/ pdfs/dot1991g-blackett-trig-pme.pdf De Kee, S., Moura, y Dionne, J. (s.f.). La comprensión de nociones del seno y el coseno en los alumnos de secundaria. Trabajo mimeografiado. Delice, A. y Mohaghan, J. (2003). Tool use in trigonometry in two countries. Documento en línea. Disponible en: http://cerme4.crm.es/Papers% 20definitius/ 9/Delice-Monaghan.pdf Doerr, H. M. (1996). Integrating the study of trigonometry, vectors, and force through modelling. School Science and Mathematics, 96, 407-418.
  24. 24. 24 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Orhun, N. (2000). Studen’s mistakes and misconceptions on teaching of trigonometry. Trabajo en línea. Disponible en: http://math.unipa.it/ ~grim/AOrhun.PDF Picciotto, H. y Wah, A. (1993). A new algebra: Tools, themes, concepts. Journal of Mathematical Behavior, 12(1). Disponible en: www.picciotto.org/math-ed/new-algebra/new-algebra.html#geoboards Shama, G. (1998). Understanding periodicity as a process with a Gestalt structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255-281. Usiskin, S. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. En A. Coxford y A. P. Schulte (Comps.), Ideas of algebra, K-12 (1988 Anuario). Reston: NCTM.
  25. 25. 25 Unidad 1 Lección 2 Enseñanza del Álgebra y Justicia Social en la Escuela Esta lección está dedicada a la reflexión sobre problemas relacionados con la justicia social en la escuela, con el respeto a los derechos culturales y educativos de todos los estudiantes. En particular, en esta lección se trata con problemas relacionados con la “raza”, género y repitencia, entre otros. Las matemáticas han sido utilizadas tradicionalmente, de manera consciente o inconsciente, como un filtro. Como un mecanismo para seleccionar a los más “aptos” según determinada ideología. Aquí proponemos un cambio de metáfora, las matemáticas más bien deben funcionar como un trampolín que impulse el desarrollo de los estudiantes en la escuela y en la vida diaria. Las matemáticas como una herramienta para el “empoderamiento” de los que sobreviven, como los llama Paulo Freire. Las matemáticas, y en particular los contenidos de álgebra, constituyen un obstáculo, una puerta que no permite que todos avancen en el sistema escolar en condiciones similares. Podemos decir que el álgebra es una puerta que se mantiene cerrada para la mayoría de los estudiantes. Para Muchos la Puerta Está Cerrada Piccitto y Wah (1993) sostienen que el problema no es si enseñar o no álgebra a los estudiantes de secundaria en los Estados Unidos, sino más bien cómo enseñarla. El enfoque tradicional, que también predomina en Venezuela, ha demostrado ser terriblemente ineficiente en cuanto a la promoción del aprendizaje del álgebra por parte de un gran número de estudiantes. Por tanto, es tiempo de abandonar ese enfoque y de pensar en uno nuevo. Un enfoque nuevo que sea fundamentalmente diferente al que se quiere sustituir. Para elaborar ese nuevo enfoque se requiere identificar las limitaciones del enfoque tradicional. Picciotto y Wah (1993) identifican cinco limitaciones principales: 1) unidimensionalidad, 2) autoritarismo, 3) sin sentido aparente, 4) dicotomía habilidades/enriquecimiento y 5) organización de los tópicos. Veamos detalles de cada una de estas limitaciones. 1) Se hace un énfasis exagerado en la manipulación de símbolos que resulta demasiado abstracta para la mayoría de los estudiantes, para otros, resulta aburrida. A falta de un contexto concreto para la comunicación, la clase queda prácticamente dividida en dos grupos aquellos que “entienden el truco” y el resto que no logra captarlo. 2) Todo conocimiento proviene del profesor. El fin es manipular símbolos y el profesor es la única fuente de información sobre como manipularlos correctamente. Los estudiantes dependen de la
  26. 26. 26 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría memorización de algoritmos, y como ésta es una tarea que realizan mejor las computadoras que los humanos, ellos con frecuencia los olvidan y se encuentran desamparados. 3) El trabajo parece completamente desconectado de las situaciones que los estudiantes encuentran fuera del aula, o aún en otras ramas de las matemáticas o de otras ciencias. 4) La resolución de problemas es relegada para actividades de enriquecimiento y está divorciada del propósito principal del curso, el cual es la adquisición de habilidades limitadas por medio de la práctica repetitiva. 5) Los tópicos son enseñados en capítulos autosuficientes. Los estudiantes tienen un tiempo insuficiente para absorber una idea nueva antes de pasar a la siguiente. Aún los problemas con enunciado son construidos para evaluar una sola habilidad, en lugar de apoyarse o ejercitar el reservorio entero del conocimiento matemático del estudiante. (Picciotto y Wah, 1993) Esta lista de limitaciones identificadas por Picciotto y Wah se refiere a asuntos curriculares y pedagógicos. Estas deficiencias se encuentran enraizadas en la esencia misma de la manera como se enseñan actualmente las matemáticas en la escuela y en particular los contenidos de álgebra. Entonces, estos autores señalan que cambios en ciertos aspectos del enfoque tradicional no nos conducirán a ninguna parte, lo que se requiere es una nueva Álgebra. Esta nueva Álgebra contendría cambios fundamentales tanto en el contenido como en lo pedagógico (Picciotto y Wah, 1993). Actividad 2.1 Escriba un ensayo breve donde desarrolle su opinión sobre la caracterización que hacen Picciotto y Wah (1993) del álgebra escolar. Señale si algunas de estas características se aplican al caso venezolano y explique como se manifiestan. Una Nueva Álgebra Picciotto y Wah (1993) sostienen que la manera de lograr una mayor justicia social y equidad en la enseñanza del álgebra en la escuela secundaria estadounidense es cambiar radicalmente los contenidos y las maneras en que enseñamos esta rama de las matemáticas. Algunos elementos de la propuesta de Picciotto y Wah fueron presentados en la lección anterior. Volveremos a considerarla más adelante. Kaput (1998) , de manera similar que Picciotto y Wah (1993), plantea que el álgebra es actualmente una máquina de iniquidad la cual debe ser transformada en una máquina de empoderamiento matemático. Igualmente plantea que lo anterior no se logra introduciendo modificaciones menores en la manera como estamos enseñando actualmente los tópicos de álgebra en la escuela. Kaput también propone que es necesario redefinir el álgebra que enseñamos actualmente en la escuela. No entraremos en más detalles aquí sobre las propuestas de Picciotto y Wah (1993) y de Kaput (1998) respectivamente. Lo importante de resaltar es que encontramos básicamente dos posiciones respecto al problema de la justicia
  27. 27. Lección 2 27 social y la enseñanza del álgebra. Por un lado tenemos aquellos que piensan que la solución está en redefinir totalmente lo que llamamos álgebra escolar y la manera como la hemos venido enseñando en nuestras aulas. Por el otro lado encontramos aquellos que sostienen que la solución está en buscar maneras de enseñar, y lograr que todos los estudiantes, aprenden el álgebra tal cual como está planteada actualmente. Dentro de esta segunda opción se encuentra el matemático estadounidense afro-descendiente Robert P. Moses. Las ideas de Moses las encontramos en Lectura 2 en la Selección de Lecturas. Para profundizar en el estudio de la iniquidad y la injusticia social promovida por la actual enseñanza de las matemáticas en la escuela usted tiene que leer la Lectura 2 incluida en la Selección de Lecturas. En dicha lectura presentamos el caso particular de la lucha de la población de afro-descendiente en los Estados Unidos por la justicia social en la enseñanza del álgebra en la escuela. Actividad 2.2 1. Describa en pocas palabras la línea central del argumento de Moses y Cobb (2001). Nota: Le sugerimos que lea detenidamente las primeras tres páginas de la Lectura 2 y tome en cuenta la transición de los razonamientos a partir de la situación política de los afro-descendientes en Estados Unidos. 2. ¿Qué papel juega el cambio tecnológico en la manera como concebimos la educación? 3. ¿Tienen los padres y la sociedad la misma actitud hacia el aprendizaje de las matemáticas que el aprendizaje de otras asignaturas? Explique. 4. ¿Cómo caracterizan Moses y Cobb la relación de los afro-descendientes con la tecnología? 5. ¿Cuál es la situación de estudiantes provenientes de las minorías en las matemáticas universitarias? 6. ¿Cuáles serían las repercusiones de no aprender matemáticas entre los estudiantes afro-descendientes en Estados Unidos? 7. ¿Qué papel juega el álgebra en la exclusión de los estudiantes del sistema escolar? 8. ¿Cuáles son los planteamientos principales de Moses y Cobb para una nueva organización del álgebra? 9. ¿Por qué se dice que el Proyecto Álgebra es radical? 10. ¿Cuáles elementos de los argumentos de Moses y Cob se aplican a la realidad venezolana? 11. ¿Cree usted que existe en Venezuela el mismo nivel de discriminación en través de las matemáticas escolares, en particular el álgebra, que en los Estados Unidos? ¿Es nuestro sistema escolar más justo? Referencias Kaput, J. (1998). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of mathematical power by “algebrafying” the K-12 curriculum. In National Council of Teachers of Mathematics & Mathematical Sciences Education
  28. 28. 28 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Board (Eds.), The nature and role of algebra in the K-14 curriculum: Proceedings of a National Symposium (pp. 25-26). Washington, DC: National Research Council, National Academy Press. Picciotto, H. y Wah, A. (1993). A new algebra: Tools, themes, concepts. Journal of Mathematical Behavior, 12(1). Disponible en: www.picciotto.org/math-ed/new-algebra/new-algebra.html#geoboards
  29. 29. 29 Unidad 2 Lección 3 Desarrollo del Pensamiento Algebraico Normalmente hablamos de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra y de la trigonometría. Esta manera de hablar pone el énfasis en el contenido. Cada vez es más común cambiar de énfasis y hablar entonces de pensamiento algebraico y pensamiento trigonométrico. Como vemos se cambia el énfasis en el desarrollo del pensamiento algebraico en lugar del mero contenido. Ese es precisamente el tema que nos ocupa en esta lección. Después de haber tenido la oportunidad de estudiar algunas investigaciones sobre el aprendizaje del álgebra y problemas de injusticia social en la enseñanza del álgebra en la escuela, pasaremos ahora a considerar el tema del pensamiento algebraico y trigonométrico, y su desarrollo. Álgebra ¿Qué es el álgebra? En la Lección 1 le dedicamos un buen tiempo a estudiar una serie de definiciones del álgebra. Revise esas definiciones. A continuación le presentamos otra definición de esta rama de las matemáticas. Para Piaget y Garcia (1984) el álgebra es “... la ciencia de las estructuras generales comunes a todas las partes de las matemáticas, incluyendo la lógica” (p. 161). Esta definición es característica de los autores que se posicionan dentro de la corriente estructuralista al estilo Bourbaki. Aunque, estos mismos autores reconocen que el álgebra se consolidó como disciplina independiente durante un largo período que se caracterizó por el estudio de la resolución de ecuaciones como tema único. Esta definición, como usted ya lo habrá notado, tiene elementos en común con la definición del grupo Bourbaki. Consideramos esta definición de Piaget y Garcia porque estos autores ofrecen, como veremos más adelante, un enfoque muy interesante sobre el desarrollo del pensamiento algebraico. Orígenes y desarrollo del álgebra La determinación del origen del álgebra dependerá de la definición del álgebra que asumamos. Si concebimos al álgebra como el arte de resolver ecuaciones tendríamos que ésta tendría un origen muy remoto y cuyo desarrollo alcanzaría su punto más alto en el trabajo de Vieta. Por el contrario, si asumimos el álgebra como el estudio de las estructuras algebraicas, entonces tendríamos que su origen es bastante reciente y su desarrollo vertiginoso durante el siglo XX.
  30. 30. 30 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Es ocioso ponerse a trazar el origen del álgebra, como de cualquier otro campo de las matemáticas, a una persona o civilización. Las matemáticas son un fenómeno pan-humano, esto quiere decir que muchas personas y civilizaciones contribuyen a su desarrollo. Cuando nos referimos al origen del álgebra nos referimos más bien a las fuentes de ideas y problemas en que surgen. Desde el punto de vista clásico, el origen del álgebra es localizado en la aritmética. En el cuadro siguiente, elaborado por Sfard y Linchevski (1994), podemos ver un ejemplo de esquema de desarrollo del álgebra elaborado desde el punto de vista clásico. Cuadro 1. Etapas en el desarrollo del álgebra Tipo Etapa Nuevo interés por Representación Hechos históricos 1. Aritmética generalizada 1.1. Operacional 1.1.1. Cálculo numérico Verbal (retórica) Papiro Rhind, c. 1650 B.C. Mixta Verbal+simbólica (sincopada) Diofanto, c. 250 A.D. 1.2. Estructural 1.2.1. Producto (Numérico) del cálculo (algebra de un valor fijo) Simbólica (letra como incógnita) Siglo XVI, principalmente Vieta (1540-1603) 1.2.2. Función (numérica) (algebra functional) Simbólica (Letra como variable) Vieta, Liebniz (1646-1716), Newton (1642- 1727) 2. Álgebra abstracta 2.1. Operacional Procesos sobre símbolos (combinaciones de operaciones) Simbólica (Letras sin significado) Escuela formalista inglesa (de Morgan, Peacock, Gregory), desde 1830 2.2. Estructural Estructuras abstractas Simbólica Siglos XIX y XX; teoría de grupos, anillos, campos, etc., álgebra lineal (Sfard y Linchevski, 1994). En la columna titulada “Representación” podemos ver que la evolución de la notación en el álgebra ha pasado básicamente por tres etapas. Estas etapas son comúnmente denominadas como retórica, sincopada y simbólica respectivamente. Cada una de estas etapas tiene asociado un uso de las letras. Sfard y Linchevski (1994) distinguen dos tipos de álgebra: aritmética generalizada y abstracta, y dentro de cada tipo identifican dos etapas: operacional y estructural. En cada una de estas etapas se manifiesta un nuevo interés por determinados objetivos matemáticos. Tenemos así que en la etapa estructural del álgebra como aritmética generalizada encontramos un nuevo interés por las funciones, en cuyo estudio se usan las letras como variables.
  31. 31. Lección 3 31 Desarrollo del pensamiento algebraico El desarrollo del pensamiento algebraico puede ser descrito en términos de sucesión de tres etapas, las cuales se denominan como: intra-operacional, inter- operacional y trans-operacional (Piaget y Garcia, 1984). A continuación describimos cada una de estas etapas. (...). La etapa intra-operacional está caracterizada por relaciones intra-operacionales que se presentan bajo formas aislables sin transformaciones de una a otra que impliquen la existencia de invariantes y sin composición entre ellas que conduzcan a definir estructuras. La etapa inter-operacional está caracterizada por correspondencia y transformaciones entre las formas aislables de la etapa anterior, con los invariantes que tales transformaciones exigen. La etapa trans-operacional está caracterizada por la construcción de estructuras cuyas relaciones internas corresponden a las transformaciones inter-operacionales. (Piaget y Garcia, 1984, p. 134) Para estos autores, la constitución del álgebra como disciplina independiente se caracterizó por la resolución de ecuaciones, la cual fue su tema central y único durante mucho tiempo. Veamos como Piaget y Garcia (1984) plantean las etapas antes señaladas para el caso específico de la resolución de ecuaciones. Durante un primer período, extremadamente prolongado, no se trata sino de la resolución de ecuaciones específicas. El método que se aplica es puramente “empírico”, por tanteos sucesivos. Cada ecuación es objeto de un tratamiento particular. Estamos sin duda, en un período intra-operacional. No es sino hasta el siglo XVIII que comienza la búsqueda de métodos más generales y de plantear, asimismo, problemas generales tales como la existencia o no existencia de soluciones. Las transformaciones de ecuaciones que pueden permitir reducir una ecuación no resuelta a una ecuación resoluble dominan ampliamente las investigaciones. Aquí, como en el caso de la geometría, el análisis va a desempeñar un papel fundamental. Lagrange y Gauss son, entre otras, las grandes figuras de este período que constituye, desde nuestro punto de vista, un período inter-operacional. Con Galois y el desarrollo de la teoría de los grupos—primera estructura tematizada en matemáticas—culmina la historia de la resolución de ecuaciones y comienza el predominio del análisis de estructuras. Este es el punto de partida de un largo período trans- operacional. (pp. 156-157) Actividad 3.1 Considere las etapas del desarrollo del álgebra según Sfard y Linchevski (1994) y las etapas del desarrollo identificadas por Piaget y Garcia (1984) y establezca las semejanzas entre ambos enfoques. Si bien usted se está formando para enseñar mejor las matemáticas de la II Etapa de EB y la EMDP, no podemos ignorar los problemas de la enseñanza y
  32. 32. 32 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría aprendizaje de las matemáticas en etapas anteriores. Por tanto, la Lectura 4 está dedicada al desarrollo del pensamiento algebraico en los primeros grados. Reconocemos que la formación en los tres primeros grados de la EB es de particular importancia para el desarrollo posterior de los estudiantes en matemáticas. Actividad 3.2 Esta actividad es referida a la Lectura 4 de la Selección de Lecturas. 1. Resuelva el Problema de la Proporción planteado en la Figura 1 antes de leer las soluciones propuestas en la Lectura 4. ¿Cuál estrategia usó usted? 2. Describa las principales diferencias entre las estrategias algebraica y aritmética respectivamente. 3. Resuelva el Problema Promedio. ¿Cómo lo resolvió? 4. Describa brevemente con sus propias palabras la enseñanza del álgebra en China. 5. Escriba un ensayo breve de una página señalando la relevancia del trabajo reportado en la Lectura 4 para la realidad venezolana. De la Lectura 4 podemos concluir que en distintos sistemas educativos encontramos enseñanzas diferentes de las matemáticas. En particular, tenemos que en unos se enfatizan las estrategias algebraicas, como en China, y en otros las estrategias aritméticas y de medición, como en los Estados Unidos. Una situación similar encontramos en la investigación de Delice y Monaghan (2003) presentada en la Lección 1 acerca de las diferencias en el uso de herramientas en la enseñanza de la trigonometría en Turquía e Inglaterra. Para concluir esta sección, podemos decir que tanto el álgebra como el pensamiento matemático en los individuos han pasado por un largo proceso de desarrollo, el cual no se ha detenido. Tenemos que tomar en cuenta ese proceso de desarrollo al momento de considerar la enseñanza, al aprendizaje y la evaluación en álgebra. Trigonometría Al igual que en la sección anterior, antes de iniciar nuestras consideraciones en torno al pensamiento trigonométrico tenemos que aclarar qué entendemos por Trigonometría. ¿Qué es la trigonometría? La trigonometría es considerada por algunos autores como una geometría computacional. En sus inicios, la trigonometría comenzó como el componente computacional de la geometría. Por ejemplo, una proposición de la geometría establece que un triángulo es determinado por un lado y dos ángulos. En otras palabras, dado un lado de un triángulo y dos ángulos en el triángulo, entonces los otros dos lados y el otro ángulo están determinados. La trigonometría incluye los métodos para calcular esos otros dos lados. El ángulo restante se halla fácilmente ya que la suma de los tres ángulos de un triángulo es de 180 grados.
  33. 33. Lección 3 33 Las funciones trigonométricas como el seno, coseno y tangente son usadas en cálculos en trigonometría. Estas funciones relacionan medidas de ángulos a medidas de segmentos de rectas asociados. Origen de la Trigonometría A continuación transcribimos una breve historia de la trigonometría elaborada por Lydia Bobakova (2004). La historia de la trigonometría se remonta a los primeros registros matemáticos en Egipto y Babilonia. Los babilonios establecieron la medición de ángulos en grados, minutos y segundos. No fue sino hasta el tiempo de los griegos, sin embargo, que una cantidad considerable de trigonometría existió. En el siglo II antes de nuestra era, el astrónomo Hiparco compiló una tabla trigonométrica para la resolución de triángulos. En su gran manual de astronomía, El Almagesto, Tolomeo proveyó una tabla de cuerdas en pasos de 1°, desde 0° hasta 180°, esto es con una exactitud de 1/3600 de una unidad. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, sin embargo, los astrónomos de la India habían desarrollado un sistema trigonométrico basado en la función seno en lugar de la función cuerda de los griegos. Esta función seno, a diferencia de la moderna, no era una razón sino simplemente la longitud del lado opuesto al ángulo en un triángulo recto de hipotenusa fija. A finales del Siglo XVII, los astrónomos musulmanes heredaron tanto las tradiciones griegas como las de la India, pero ellos prefirieron la función seno. A finales del Siglo X ellos habían completado el seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas básicos de la trigonometría para los triángulos planos y esféricos. Varios matemáticos sugirieron usar r = 1 en lugar de r = 60, éste produce exactamente los valores modernos de las funciones trigonométricas. Finalmente, el gran astrónomo Nasir ad-Din at-Tusi escribió el libros la Figura Transversal, el cual fue el primer tratamiento de la trigonometría plana y esférica como ciencia matemática independiente. En la mitad del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencia e integral. Uno de los fundamentos de su trabajo fue la representación de Newton de muchas funciones como series infinitas de potencias de x. Entonces Newton encontró la serie sen(x) y series similares para el cos(x) y tan(x). Con la invención del cálculo, las funciones trigonométricas fueron tomadas por el análisis, donde aún juegan un papel importante en las matemáticas puras y aplicadas. Finalmente, en el siglo XVIII el matemático suizo Leonardo Euler definió las funciones trigonométricas en términos de los números complejos. Esto convirtió a todo el campo de la trigonometría en una aplicación de los números complejos, y mostró que las leyes básicas de la trigonometría eran simplemente consecuencia de la aritmética de esos números. [Traducción: Julio Mosquera]
  34. 34. 34 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Desarrollemos un poco más algunas de las ideas expuestas anteriormente. Como vemos la trigonometría se nutre de adelantos logrados en diversas culturas o civilizaciones. Ésta tiene sus orígenes en las matemáticas y la astronomía elaborada por babilonios, griegos, indios y árabes preocupados por el estudio de las esferas y de los triángulos esféricos. Recordemos que antes del siglo XVI, para los astrónomos la Tierra se encontraba en el centro de una serie de esferas encajadas. La adopción de este modelo motivó el desarrollo de la trigonometría esférica para calcular la posición de las estrellas o de los planetas. Figura 1. Modelo del universo como esferas concéntricas. (Fuente: http://www.hps.cam.ac.uk/starry/sacroarmill.html) Como menciona Bobakova (2004) en su escrito, los primeros usos de las funciones trigonométricas estaban relacionados con las cuerdas de una circunferencia, y el reconocimiento de la longitud de la cuerda subtendida por un ángulo dado x. En la terminología actual diríamos que los matemáticos de esa época estaban realmente trabajando con la función 2 sen (x/2). Los matemáticos de la India, bajo la influencia de los trabajos babilónicos y griegos, elaboraron aún más la trigonometría. En algunos de los tratados matemáticos hindúes como Aryabhata contienen tablas de medias cuerdas, conocidas con el término jya-ardha o simplemente jya, el cual tiene la siguiente relación con nuestro concepto moderno de seno: jya x = r sen x, como se muestra en la figura 2. Figura 2. Dibujo de una media cuerda de una circunferencia. [Fuente: George Gheverghese Joseph, 2000. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, new ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 282.]
  35. 35. Lección 3 35 En la figura 2 tenemos que Jya representa la media cuerda AM. Desde la India la función seno fue introducida en el mundo árabe en el siglo VIII, donde el término jya fue transliterado en jiba o jyb. Las primeras traducciones al latín de tratados matemáticos árabes erróneamente tomaron jiba por la palabra árabe jaib, la cual puede significar la apertura de un vestido de mujer en el cuello. Por consiguiente, jaib fue traducido al latín como sinus, el cual significa “doblaje” (en un traje), “seno”, “mirador”, y hasta “curva”. De allí proviene nuestra palabra en español “seno”. Otro conjunto de funciones trigonométricas, la tangente y la cotangente, se desarrollaron del estudio de las longitudes de las sombras producidas por objetos de varias alturas. Tales de Mileto usó longitudes de sombras para calcular la altura de las pirámides cerca del año 600 de nuestra era. Los matemáticos hindúes y árabes desarrollaron una tradición trigonométrica basada en longitudes de sombras, una tradición que, a su vez, influyó sobre las matemáticas europeas. Las funciones secante y cosecante derivaron de tablas usadas por navegantes en el siglo XV. El término Trigonometría apareció por primera vez como el título de un libro, la Trigonometria de Bartolomeo Pitiscus la cual fue publicada en 1595. En este libro la trigonometría era asumida como la medida de triángulos. Lo anterior nos indica que la aparición del término trigonometría no estuvo asociado a las actividades reales que dieron origen a esta rama de las matemáticas. De allí la confusión que tienen muchos autores de libros de texto y profesores de matemáticas acerca del origen de la trigonometría. De esta parte podemos concluir que primero se originó la trigonometría esférica, estrechamente ligada a la astronomía, que la trigonometría plana, varias civilizaciones o culturas han contribuido al desarrollo de la trigonometría. Aunque los matemáticos, astrónomos y otros técnicos realizaron importantes desarrollos en el campo de la trigonometría, la mayoría relacionados con la astronomía y otras actividades prácticas, no fue sino hasta finales del Siglo XVI que se adoptó el término trigonometría para referirse a ese campo específico de las matemáticas. Desarrollo del pensamiento trigonométrico Como ya dijimos en la Lección 1, contamos con muy pocas investigaciones en educación matemática sobre el desarrollo del pensamiento trigonométrico. En la bibliografía encontramos trabajo de investigación relacionados con la formación de conceptos específicos (de Kee y otros, s.f.) y sobre propuestas didácticas (Doerr, 1996). Por tanto, no contamos con modelos del desarrollo del pensamiento trigonométrico como lo que tenemos para el pensamiento algebraico o para el pensamiento geométrico. Por ahora, contamos con resultados aislados obtenidos en diversas investigaciones tales como las presentadas en la Lección 1. ¿Qué nos dicen esas investigaciones? De las investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje de la trigonometría presentadas en la Lección 1 podemos decir que algunas de las dificultades que los estudiantes tiene en apropiarse de los contenidos de la trigonometría están relacionadas con problemas en el aprendizaje de otros conceptos matemáticos. Dos de estos conceptos matemáticos son el de razón, de ángulo y de función. Sabemos que los estudiantes tienen problemas para aprender de razones, así
  36. 36. 36 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría como el de proporciones. El concepto de ángulo no es aprendido con facilidad por los estudiantes. Una dificultad adicional es que los alumnos estudian el concepto de ángulo por primera vez en geometría, luego en trigonometría se tiene que abandonar esas ideas de ángulo. Sobre este asunto volveremos más adelante. También se han documentado las numerosas concepciones erróneas y errores que cometen los estudiantes al trabajar con funciones. Estos tres conceptos son fundamentales para una comprensión adecuada de los conceptos y procedimientos que se estudian en trigonometría. Además, tenemos las dificultades que encuentran los estudiantes en el estudio de conceptos propios de la trigonometría, tal es el caso de la periodicidad. Shama (1998), ver Lección 1, nos muestra todas las concepciones erróneas que presentan los estudiantes al identificar situaciones periódicas y sus elementos. En general, las investigaciones sugieren que la enseñanza de la trigonometría se inicie por el estudio de las funciones trigonométricas en contextos dinámicos, en especial con la ayuda de tecnologías como calculadoras y aplicaciones en computadora. Concluimos esta sección resaltando que el problema de la construcción de un modelo para el razonamiento trigonométrico sigue sin solución. Referencias Bobakova, L. (2004). Project a didactic situation: The basic trigonometrical equations. Documento en línea. Disponible en: http://www.fmph.uniba.sk/~kzdm/projekty/talianske/progetto3.pdf Piaget, J. y Garcia, R. (1984). Psicogénesis e historia de la ciencia. México: Siglo XXI. Sfard, A. y Linchevski, L. (1994). The gains and pitfalls of reification: The case of algebra. Educational Studies of Mathematics, 26, 191-228. Shama, G. (1998). Understanding periodicity as a process with a Gestalt structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255-281.
  37. 37. 37 Unidad 2 Lección 4 Estudio de las Funciones Periódicas Comprender las funciones circulares no es una tarea fácil. Estas funciones aparecen por primera vez en el programa de estudio del Primer Año de la Educación Media Diversificada y Profesional, para ese momento el estudiante posiblemente ni siquiera se ha formado un concepción completa de la relación funcional entre dos variables. Lo anterior dificulta aún más la comprensión de las funciones circulares. Esta lección está dedicada pues al estudio de las funciones circulares y las dificultades que enfrenta el profesor en su enseñanza y el estudiante en su aprendizaje. Esta lección está formada por dos partes básicas. En la primera haremos un repaso de las funciones periódicas. Nos interesa resaltar su importancia en el estudio de la trigonometría. En la segunda parte pasaremos revista a una investigación sobre la formación del concepto de función periódica en estudiantes. Las funciones periódicas constituyen el corazón de la Trigonometría. Antes de entrar en el estudio de este tipo de funciones usted debe realizar la actividad siguiente. Actividad 4.1 Esta actividad requiere que usted vea el video Ondas. Una vez que vea el video responda las preguntas siguientes: 1. ¿Cómo se inicia el movimiento ondulatorio del agua? 2. ¿Qué son cimas y valles? 3. Describa el movimiento ondulatorio. 4. Describa el movimiento oscilatorio 5. Señale las principales semejanzas y diferencias entre estos dos tipos de movimientos. 6. ¿Qué es la posición de equilibrio de una partícula? 7. Describa con sus propias palabras qué es un fenómeno periódico. 8. ¿Qué es una onda? 9. ¿Qué relación existe entre la oscilación y la onda?
  38. 38. 38 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría 10. Defina pulso 11. ¿Cómo se clasifican las ondas? Ilustre cada caso con ejemplos. 12. Defina período, frecuencia, amplitud y longitud de onda. 13. ¿Qué es un nodo? 14. Escriba un breve ensayo sobre las ondas y que papel juega la trigonometría en su estudio. Funciones periódicas Decimos que una función f es periódica si existe un número real positivo p tal que f(x) = f(x + p) para todo x en el dominio de f. El menor número p para el cual f es periódica es denominado período de f. Actividad 4.2 Describa tres situaciones que podrían ser modeladas por funciones periódicas. Funciones circulares Las funciones circulares se definen como aquellas funciones que describen las posiciones vertical y horizontal de un punto sobre una circunferencia, tales como la función del ángulo (seno y coseno) y todas aquellas funciones derivadas de ellas (http://mathworld.wolfram.com/CircularFunctions.html). Siguiendo con Wolfran, tenemos que las funciones circulares también reciben el nombre de funciones trigonométricas. Partiendo de esta definición podemos definir a la trigonometría como el estudio de las funciones circulares. Actividad 4.3 ¿Cuál es la relación entre las funciones periódicas y las circulares? ¿Qué es una función? ¿Cómo es eso de las posiciones vertical y horizontal? Una función f es un regla que la asigna a todos los elementos de un conjunto dado A uno y sólo un elemento en el conjunto B. Denominamos f(x) al valor de la función f en x. En nuestro caso particular consideramos las funciones circulares. Esto es, asumimos una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen O, tomamos un punto P cualquiera sobre la circunferencia y el segmento OP. Para cada medida en radianes del ángulo que forma el segmento OP con el eje X, este ángulo se mide en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Tenemos así una correspondencia entre las medidas del ángulo en radianes y el punto P correspondiente sobre la circunferencia unitaria.
  39. 39. Lección 4 39 Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/ Partiendo de la situación anterior podemos definir dos funciones que asocien a cada medida del ángulo t una y sólo una posición horizontal o vertical. Primero, podemos definir la función que le asigna a cada valor de t la longitud x. Es decir, esta función está definida por el conjunto de pares ordenados (t, x), ésta es la función coseno. Segundo, le asignamos a cada valor t la longitud y. Es decir, esta función está definida por el conjunto de pares ordenados (t, y), ésta es la función seno. En la figura siguiente se muestra como estas funciones están relacionadas según un triángulo rectángulo. Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/ Si nos imaginamos al punto P moviéndose sobre la circunferencia en el sentido contrario al de las agujas del reloj, podemos ver como las longitudes de los lados del triángulo rectángulo cambian y la hipotenusa se mantiene constante. Veamos en la figura siguiente algunos casos particulares. Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/ ¿Cuál es la gráfica de estas funciones circulares? Una función se expresa también como un conjunto de pares ordenados. A la primera de estas funciones se representa mediante el conjunto de puntos (t, x) = (t, f(t)) ó (t, cos(t)). La segunda función se expresa en pares ordenados de la forma (t, y) = (t, f(t)) ó (t, sen(t)). A partir de estos conjuntos de pares ordenados podemos hacer una gráfica de cada una de estas funciones circulares.
  40. 40. 40 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría Consideremos algunas medidas muy particulares del ángulo t. Estos es, cuando el punto P se encuentra en las intersecciones de la circunferencia con los ejes. Ángulo t en radianes 0 /2  3/2 2 P(x,y) (1, 0) (0, 1) (-1, 0) (0, -1) (1, 0) X = cos(t) 1 0 -1 0 1 Y = sen(t) 0 1 0 -1 0 Grafiquemos estos pares de puntos sobre sendos ejes de coordenadas cartesianas. Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/ Considere otros valores de t y bosqueje las gráficas de cada una de estas dos funciones circulares para el rango de t indicado en las figuras anteriores. A continuación mostramos la gráfica de la función seno. Fuente: http://mathworld.wolfram.com/PeriodicFunction.html
  41. 41. Lección 4 41 Actividad 4.4 1. Investigue cómo definen las funciones trigonométricas en por lo menos un libro de texto de Matemática para el Primer Año de EMDP. 2. ¿Es esa definición igual o equivalente a la dada en esta lección? Explique. Transformación de las funciones trigonométricas Como usted sabe se pueden construir varias funciones trigonométricas a partir de las funciones seno y coseno. Veamos a continuación dos de estas funciones: Tangente tg(x) = sen(x)/ cos(x) Secante sec(x) = 1/cos(x) Otra manera de generar funciones trigonométricas es mediante transformaciones, es decir, consideramos función dada de la forma: f(x) = a.sen(b.x + c) + d Para valores diferentes de a, b, c y d obtendremos diferentes funciones. Para experimentar qué sucede cuando cambian los valores de cada uno de estos parámetros visite la página web http://cs.jsu.edu/mcis/faculty/leathrum/ Mathlets/awl/periodic-main.html. En esa página encontrará un “applet”* que le permitirá experimentar variando los valores de los parámetros y “observar” las transformaciones que sufre la gráfica de la función. En esa página usted encontrará a la izquierda la gráfica de la función f(x) = sen(x), al hacer clic sobre los botones con los signos + y – debajo de cada parámetro usted podrá aumentar o disminuir el valor del mismo respectivamente. Actividad 4.5 Mantenga fijo en 1 los valores de todos los parámetros y experimente variando sólo uno de los parámetros a la vez. Para restablecer los valores de los parámetros a 1 haga clic sobre el botón Clear. 1. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando a aumenta o disminuye? 2. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando b aumenta o disminuye? 3. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando c varía? 4. ¿Qué sucede con la gráfica de la función seno cuando d varía? Para investigar en Internet En el sitio web: http://www.ies.co.jp/math/products/trig/menu.html usted encontrará una serie de “applets” que le pueden servir de mucha ayuda para la exploración de diversos temas de trigonometría. * Un “applet” es una pequeña aplicación escrita en lenguaje Java y generalmente incrustada en una página web. Esta aplicación permite realizar actividades interactivas.
  42. 42. 42 MÓDULO 2 Álgebra y Trigonometría en la Realidad y en los Materiales Curriculares Objetivo del Módulo: Analizar la relación del álgebra y la trigonometría con la realidad, las prácticas escolares y el uso de materiales curriculares en su enseñanza. UNIDAD N° 3: Álgebra y sus Aplicaciones OBJETIVO DE LA UNIDAD: Identificar diversas situaciones en las que se aplica el álgebra y la trigonometría. CONTENIDOS: La Matemática del entorno y de la actividad humana: aplicaciones académicas, tecnológicas y cotidianas de la trigonometría. UNIDAD N° 4: Materiales Curriculares OBJETIVO DE LA UNIDAD: Conocer diversos materiales curriculares y su uso en didáctica del álgebra y la trigonometría. CONTENIDOS: Materiales curriculares en álgebra y trigonometría, tipos y características. Software especializado para la enseñanza del álgebra y la trigonometría.
  43. 43. 43 Unidad 3 Lección 5 Aplicaciones del Álgebra Esta lección está dedicada al estudio de ciertas situaciones de la vida real que pueden ser modeladas mediante lenguaje algebraico. Vinculamos el trabajo aquí realizado con el diseño de proyectos pedagógicos para ser realizados en la escuela. El estudio de las aplicaciones del álgebra, y en particular de la trigonometría, cobra particular relevancia en el contexto de una enseñanza basada en proyectos. Si asumimos que los proyectos están dirigidos a resolver un conjunto de problemas, la calidad de los proyectos dependerá enormemente de los problemas que postulemos y sus diversas vías de solución. En otras palabras, un conocimiento adecuado de cómo pueden ser usadas las matemáticas para resolver problemas de la realidad es fundamental para un implantación adecuada de la enseñanza por proyectos en la escuela. La habilidad para aplicar las matemáticas en la resolución de problemas reales, comúnmente llamado modelaje, no se puede reducir a la habilidades matemáticas generales. El hecho que una estudiante domine conocimientos matemáticos básicos no implica que los pueda aplicar a situaciones reales. Skovsmose distingue tres tipos de conocimientos: (a) matemático, (b) aplicación de la matemática y (c) crítico. Ninguno puede ser reducido al anterior, aunque cada uno necesita el anterior. Por ejemplo, no se puede aplicar las matemáticas sin saber matemáticas, pero saber matemáticas no garantiza que las sepa aplicar. Esto significa que la aplicación de las matemáticas tiene que ser enseñada explícitamente si queremos que los estudiantes aprendan a usar las matemáticas para resolver problemas reales. Skovsmose (2001) contrasta el enfoque de enseñanza “tradición de ejercicios” con el enfoque de “investigación”. En el primer enfoque, el profesor tradicionalmente organiza la clase en dos partes. En la primera parte explica el contenido y en la segunda parte presenta ejercicios resueltos y para ser resueltos por los estudiantes. Desde este enfoque, además, los ejercicios suelen tener una única solución correcta y una sola manera de resolverse. Como mencionamos, este enfoque contrasta con el enfoque de investigación. El enfoque de investigación se enmarca dentro de la enseñanza basada en proyectos. Dentro de este enfoque surge la idea de “escenarios de investigación”. Estos son los escenarios que favorecen el trabajo de investigación (Skovsmose, 2001). Un escenario de investigación invita al estudiante a formularse preguntas y a buscar explicaciones. El papel del profesor es invitar al estudiante a formularse preguntas y apoyar la búsqueda de explicaciones.
  44. 44. 44 Didáctica del Álgebra y la Trigonometría La distinción anterior entre enfoques de enseñanza puede ser combinado con diferentes referencias, conceptos y actividades, ofrecidas a los estudiantes en la clase de matemáticas. Tenemos así tres tipos de referencias: las matemáticas mismas, aspectos de semi-realidad y de la vida real. Estas referencias son en general presentadas como puntos de partida para la elaboración de significados. Esta combinación de enfoques y referencias nos lleva a considerar seis tipos de medios de enseñanza, los cuales se muestran en la tabla siguiente. Tabla 1. Medios de aprendizaje identificados por Skovsmose (2001) Tradición de ejercicios Escenarios de investigación Referencias a las matemáticas puras (1) (2) Referencias a la semi-realidad (3) (4) Referencias a la vida real (5) (6) Podemos decir que en Venezuela predominan los medios de enseñanza (1) y (3). Vemos en los libros de texto, así como en los programas oficiales, y en la evaluaciones aplicadas por los profesores que predominan los ejercicios que hacen referencia a las matemáticas mismas o a situaciones semi-reales, ejemplos de ellos sobran. Veamos un ejemplo cuya referencia es la semi-realidad. Un carpintero dispone de un cilindro de madera de medio metro de diámetro y 2,3 m de largo si perfora en el mismo centro un cilindro de radio 10 cm. Calcula cuál es el volumen del cilindro hueco que obtiene. (Gonzalez, 1987, p. 384) ¿Qué piensa usted de esta situación? ¿Cree usted que situaciones como éstas se presentan en la realidad? Tenemos además que en este problema lo que se requiere es la aplicación de una fórmula que permita calcular el volumen buscado. No se trata de usar las matemáticas para modelar una situación. Los medios de enseñanza (5) y (6) ponen al profesor en una situación de mucha exigencia. En general el profesor evita plantear situaciones problemáticas en el aula que sean abiertas y que conduzcan a situaciones desconocidas, o donde el profesor no tenga control total. Skovsmose (2001) se refiere a estas situaciones como zonas de riesgo. Las situaciones problemáticas tal cual como son en la realidad resultan tal vez muy complejas para ser modeladas con las matemáticas que aprendemos en la Educación Básica y en la Educación Media Diversificada. Por ello, es recomendable que el profesor inicie el trabajo en el aula considerando los medios de enseñanza (2) y (4). Lo cual significa una ruptura con el enfoque tradición de ejercicios, sin colocarse en una zona de mucho riesgo. Enfatizamos entonces la enseñanza de las matemáticas basada en proyectos y desde el enfoque de los escenarios de investigación. La enseñanza de las matemáticas aplicadas, o del modelaje, en la escuela se ha hecho en general desde dos enfoques. En el primero de estos enfoques se enfatiza el aprendizaje de modelos estándar. Este enfoque ha sido introducido muy tímidamente en la escuela Venezolana, en particular en los temas de
  45. 45. Lección 5 45 funciones exponencial y logarítmica, y trigonometría. Mientras que en el segundo se pone el énfasis en el desarrollo de las habilidades de modelaje. Este enfoque realmente nunca ha sido introducido en nuestras escuelas. En cierta forma, estos enfoques están relacionados con los distinguidos por Doerr (1996), ver Lección 1. Estos últimos enfoques son el de exploración y el de construcción. En el primero se explora con un modelo dado, en general con un modelo estándar, y en el segundo el estudiante construye sus propios modelos a partir de las herramientas matemáticas que ya conoce. El proceso de modelaje no es algorítmico, es decir, no hay recetas para la resolución de problemas de matemáticas aplicadas. Sin embargo, podemos contar con algunas recomendaciones que nos guíen en la actividad de modelaje. Primero consideraremos lo que se denominan las fases del proceso de modelaje en matemáticas, estas cuatro fases son: 1) formulación, 2) solución, 3) interpretación y 4) validación. A continuación presentamos una caracterización breve de cada una de estas fases. Tabla 2. Fases del proceso de modelaje matemático. Formulación La fase en la cual la situación problemática es considerada y un modelo matemático es construido para representarla; Solución La fase en la cual el modelo matemático es resuelto por medio de la aplicación de técnicas matemáticas apropiadas; Interpretación La fase en la cual la solución matemática obtenida es traducida al contexto de la situación problemática; y Validación La fase en la cual la validez del modelo es puesta a prueba comprobando la solución, observando o experimentando, en la situación problemática. Fuente: Treilibs, 1979, p. 2, traducción y adaptación de Julio Mosquera Estas fases, y las relaciones entre ellas, son usualmente presentadas en un diagrama como el que se muestra en la Figura 2. Como señala Treilibs (1979) la fase inicial, la de formulación, es la que usualmente resulta más difícil o de mayor dificultad, tanto para el profesor como para los estudiantes. Esto coincide en cierta forma con la idea de zona de riesgo identificada por Skovsmose (2001). En esa fase uno se encuentra con una situación problemática que no está definida claramente, de la cual uno tiene que abstraer sus elementos clave y construir un modelo matemático preciso para la situación problemática (Treilibs, 1979, p. 3). Esta dificultad no debe desanimarnos para incluir la aplicación de las matemáticas en nuestras clases. ¿Por que ocuparse de la enseñanza de aplicaciones de las matemáticas? Primero tenemos que las aplicaciones juegan un papel central en las matemáticas. Segundo, tenemos que el modelaje matemático puede ser considerado como el equivalente del “método científico” (Treilibs, 1979).

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