Unid1 ed juan_abreu

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Trabajo de Estructuras Discretas... Juan Miguel Abreu Rivero

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Unid1 ed juan_abreu

  1. 1. Juan Abreu15.776.729 SAIA B
  2. 2. Operaciones Veritativas :Los Conectivos u Operadores Lógicos son símboloso conectivos que nos permiten construir otrasproposiciones; o simplemente unir dos o másproposiciones, a partir de proposiciones dadas. Se lellama conectivos lógicos a los conectivos: y; o; o…o;si,.. Entonces; sí y sólo si; no ;Ejemplo: p: La tierra se cultiva ; q: el mango es unafruta.1)La tierra se cultiva y el mango es una fruta.2)O la tierra se cultiva o el mango es una fruta.3)La tierra se cultiva sí y sólo si el mango es una fruta.
  3. 3. NOTA IMPORTANTE: Cuando una proposición nocontiene conectivos lógicos diremos que es unaproposición atómica o simple; y en el caso contrario,diremos que es una proposición molecular ocompuesta.Proposición atómica o simple:1) Marte es u2) El sol es una estrellaproposición molecular o compuesta:1)Marte es un planeta y el sol es una estrella.2)O Marte es un planeta o el sol es una estrella.3)Marte es una estrella sí y sólo si el sol es unaestrella.
  4. 4. TABLA SIMBOLICA
  5. 5. La negación Sea p una proposición, la negación de p es otra proposición identificada por: ~ p, que se lee "no p", "no es cierto que p", "es falso que p", y cuyo valor lógico está dado por la siguiente tabla de verdad.Ejemplo: p: Barcelona es un estado Oriental.~ p: Es falso que Barcelona es un estado Oriental.~ p: No es cierto que Barcelona sea un estado Oriental.~ p: Barcelona no es un estado Oriental.
  6. 6. LA CONJUNCIÓN Sean p y q dos proposiciones. La conjunción de p y q es la proposición p ^ q, que se lee "p y q", y cuyo valor lógico está dado con la tabla o igualdad siguiente:Ejemplo:p: el negro primero peleo en Carabobo.q: Bolívar murió en Colombia.p ^ q: El Negro Primero peleó en Carabobo y Bolívar murióen Colombia.Además, VL(p ^ q) = 1, ya que VL(p)= 1 y VL(q)= 1.
  7. 7. LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA Sean p y q dos proposiciones. La disyunción de p y q es la proposición p v q, que se lee "p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla siguiente:Ejemplo:p: La estatua de la Simón Bolívar está en Cd. Bolívarq: La estatua de Miranda está en Caracas.p v q: La estatua de Simón Bolívar está en Cd. Bolívar o Laestatua de Miranda está en Caracas.VL(pvq)=1, ya que VL(p)=1 y VL(q) = 0.
  8. 8. LA DISYUNCIÓN EXCLUSIVA Sean p y q dos proposiciones. La disyunción exclusiva de p y q es la proposición pvq, que se lee "o p o q", y cuyo valor lógico está dado por la tabla.Ejemplo: p: 17 es un número primo; q: 17 es un número parp v q: ó 17 es un número primo ó 17 es un número par. VL(p v q) = 1, ya que VL(p) = 1 y VL(q) = 0.
  9. 9. EL CONDICIONALSean p y q dos proposiciones. El condicional conantecedente p y consecuente q es la proposición p →q,que se lee "si p, entonces q", y cuyo valor lógico estádado por la siguiente tabla:Ejemplo:Observe las proposiciones condicionales siguientes:1. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 3 (Verdadera).2. Si 5 es primo, entonces 2 + 1 = 4 (Falsa).
  10. 10. CONDICIONALES ASOCIADOSDado un condicional p→q podemos asociarles lossiguientes condicionales:1. Directo: p →q2. Recíproco: q →p3. Contrarrecíproco: ~ q → ~ p4. Contrario: ~ p → ~ q
  11. 11. EjemploEscribir el recíproco, contrarrecíproco y contrariodel siguiente condicional: Si 5 es primo entonces 7es impar.Solución* Recíproco: Si 7 es impar entonces 5 es primo.* Contrario: Si 5 no es primo entonces 7 no esimpar.* Contrarrecíproco: Si 7 no es impar entonces 5 noes primo.
  12. 12. EL BICONDICIONALSean p y q dos proposiciones. Se llama Bicondicionalde p y q a la proposición p↔q, que se lee "p si sólo siq", o "p es condición necesaria y suficiente para q", ycuyo valor lógico es dado por la siguiente tabla.La tabla nos dice que p↔q es verdadero cuando VL(p)= VL(q), y esa falsa cuando VL(p) ≠VL(q)Ejemplo: p: 2 + 1 = 3 ; q: 2< 3 p↔q : 2 + 1 = 3 si y sólo si 2< 3
  13. 13. Formas ProposicionalesA las nuevas expresiones que se obtienen al aplicarlos conectivos lógicos a las variablesproposicionales p, q, r, s, t, entre otros., se lesllaman formas proposicionales, por ejemplo: t→(q ^ ~ r) ~ [(p↔ s)^ (r↔ q)] son formasproposicionales y podemos decir, para ser máspreciso que las variables proposicionales tambiénson formas proposicionales.
  14. 14. Tablas de Verdad de las Formas Proposicionales Las tablas de verdad permiten determinar el valor deverdad de una proposición compuesta y depende de lasproposiciones simples y de los operadores que contengan.Las posibilidades de combinar valores de verdad dependendel número de proposiciones dadas.Para una proposición (n = 1), tenemos 2 1 = 2 combinacionesPara dos proposiciones (n = 2), tenemos 2 2 = 4combinacionesPara tres proposiciones (n = 3), tenemos 2 3 = 8combinacionesPara n proposiciones tenemos 2 n combinaciones
  15. 15. Tautologías y ContradiccionesProposición Tautológica o TautologíaEs aquella proposición molecular que es verdadera (esdecir, todos los valores en su conectivo principal de sutabla de verdad son (1) independientemente de losvalores de sus variables.Ejemplo:Probar que P v ~ P es una tautología P v ~P 1 1 0 0 1 1
  16. 16. CONTRADICCIÓNEs aquella proposición molecular que siempre es falsa (esdecir cuando los valores de su conectivo principal son todos0) independientemente de los valores de sus variablesproposicionales que la forman.Por ejemplo, la proposición molecular del ejemplo siguientees una contradicción, p ^ ~ p, para chequearlo recurrimos almétodo de las tablas de verdad.Ejemplo: Probar que p ^ ~ p es una contradicción pÙ~p 100 001
  17. 17. LEYES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONESLeyes Idempotentes1.1. p ^ p =p1.2. p v p = p2.Leyes Asociativas2.1. (P v q) v r =p v (q v r)2.2. (P ^ q) ^r = p ^(q ^ r)3. Leyes Conmutativas3.1. P ^q = q ^p3.2. P v q = q v p 4. Leyes Distributivas4.1. P v ( q ^ r ) = ( p v q ) ^ (p v r)4.2. P ^ ( q v r ) = ( p ^q ) v (p ^ r)5. Leyes de Identidad5.1. P v F =P5.2. P ^ F = F5.3. P v V = V5.4. P ^ V =P
  18. 18. 6. Leyes de Complementación6.1. P v ~ P = V (tercio excluido)6.2. P ^ ~ P = F (contradicción)6.3. ~ ~ P = P (doble negación)6.4. ~ V = F, ~ F = VOtras Equivalencias Notablesa. p→ q = ~ p v q (Ley del condicional)b. p↔ q = (p→ q) ^ (q→ p) (Ley del bicondicional)c. p v q = ( p ^ ~ q ) v ( q ^ ~ p ) (Ley de disyunción exclusiva)d. p→ q = ~ q→ ~ p (Ley del contrarrecíproco)e. p^q =~(~p v~q)f. (p v q ) → r ) = ( p → r ) ^ (q → r ) (Ley de demostración por casos)g. g. (p→ q) = (p ^ ~ q →F) (Ley de reducción al absurdo)
  19. 19. IMPORTANTEUna de las grandes utilidades de las leyes dadasanteriormente es que nos permiten simplificarproposiciones. El procedimiento de probar que unaproposición es equivalente a otra usando las leyesdel álgebra proposicional, es llamada pruebadeductiva.
  20. 20. EjemploProbar deductivamente la ley de exportación( p ^ q ) → r ) = ( p → (q → r )Solución( p ^ q ) → r = ~ ( p ^ q ) v r ( Ley condicional )= (~ p v ~ q) v r ( Ley de De Morgan)= ~ p v (~ q v r ) ( Ley asociativa )= ~ p v (q → r) ( Ley condicional)= p → (q → r) ( Ley condicional)
  21. 21. CIRCUITOS LÓGICOSLos circuitos lógicos o redes de conmutaciónlos podemos identificar con una formaproposicional. Es decir, dada una formaproposicional, podemos asociarle un circuito; odado un circuito podemos asociarle la formaproposicional correspondiente. Además, usandolas leyes del álgebra proposicional podemossimplificar los circuitos en otros más sencillos,pero que cumplen la misma función que eloriginal.
  22. 22. Veamos los siguientes interruptores en conexión:La conexión en serie: p^qLa conexión en paralelo: pvq
  23. 23. Ejemplo Construir el circuito correspondiente a la siguiente expresión: (p ^ q) v [( p ^ r) v ~ s)]Solución:
  24. 24. Ejemplo: Simplificar el siguiente circuito:(p v q)^ (~ p v q)^ (~ p v ~ q) = [(p v q)^ (~ p v q)] ^ (~ p v ~ q)= [(p ^ ~ p) v q] ^ (~ p v ~ q)= [F v q] ^ (~ p v ~ q)= q ^ (~ p v ~ q)= ( q ^ ~ p) v (q ^ ~ q)= ( q ^ ~ p) v F= ( q ^ ~ p) ; esto es equivalente a:

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