1III.Modelo de Ramsey    A. El control óptimo         1. Método para solucionar problemas de         maximización a través...
23. Ejemplo general de tiempo finito, T es el último                              Tmomento. Max V (0) = ∫ u (ct , k t , t ...
34. Solucionar el problema-cinco pasos. Caso deuna variable de estado, una variable de control     a) Identifica las varia...
4                (a) El precio implícito de capital en el                periodo final (o limite, si T es infinito), νT,  ...
5b) Función instantánea de utilidad con tasa de                                          1 −θ                             ...
6(3) Usamos la expresión de la tasa decrecimiento de ν para eliminarla de lasegunda CPO. Entonces f  (k ) − δ = ρ + θ &   ...
7                  compensar Bonnie por su preferencia de                  consumir ahora, es decir r < ρ.Trayectorias Pos...
8B. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans    1. Introducción         a) Ramsey (1928) preguntó ¿cuánto debe ahorrar         un...
9                (iii) Normalmente en estos                problemas tenemos un valor inicial                de las variab...
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13         (iii) lim FK ( K , L) = 0                K →∞         (iv) lim FL ( K , L) = 0                L →∞(c) Rendimien...
14 La forma intensiva-Función deproducción por unidad de trabajo y                                          f(k) 0        ...
15        factores (trabajo, capital) es igual a la        producción total. wt Lt + rt K t = Yt                  (i) Los ...
163. El problema de la familia representativa               ∞           ⎛ c1−θ − 1 ⎞ L(0 )       ∞               ⎛ c1−θ − ...
17                                                f  (k ) − (ρ + δ )(n − ρ ) − θ c = ν& = δ + n − f  (k ) ⇒ c =           ...
18    Comportamiento de cc                 c(t ) = 0                  &    f  (k ) > ρ + δ             f  (k ) < ρ + δ    ...
19                                      dc      (c) Cuando f  (k ) = n + δ ⇒      = 0 el                                  ...
20           Comportamiento de kc                 k <0                 &cmax                                       k =0   ...
21(2) Las flechas hacia arriba y hacia abajomuestran la dirección de cambio de c. Porejemplo, en la izquierda de c = 0 c a...
22      (c) Pero para ser convergente tenemos la      condición que n-ρ < 0      ρ + δ > n + δ ⇒ f  (k * ) > f  (k RO ) ⇒ ...
23                   de silla está en las partes suroeste y noreste                   de la gráfica y pasa por E.     El D...
24             El Diagrama de Fases         valor inicial de capital es k<k*       c              c=0                     ...
25             (a) Antes que kT = 0, la tasa de             crecimiento de consumo             aumenta cada momento porque...
26                 c0, el consumo no crece                 bastante.                 (b) La economía gana un punto        ...
27                                       (a) Sustituimos con                                       r * * = f  (k * *) − δ ...
28(2) Problema-horizonte es de periodo 0 aperiodo T                  T                               ⎛ c 1−θ − 1 ⎞    Max ...
29capital) así la cantidad de capital enmomento T debe ser cero.(b) Sendero de silla, la óptima en el caso detiempo infini...
30            El Diagrama de Fases               Horizonte Finito      c   A                    c=0                    &B ...
31                                          (d) Dado la relación entre la tasa de ahorro                                  ...
32&    &           ⎛1 − θ c ⎞ ⎡             (ρ + δ )⎤                 ⎜ θ + y ⎟ + ⎢α (δ + n ) − θ ⎥ = 0 ⇒c    k  − α = αAk...
33      Comportamiento de c/y      ⎡ ρ +δ          ⎤      ⎢ θ − α (δ + n )⎥ > 0      ⎣               ⎦c/y                 ...
34      Comportamiento de c/y      ⎡ ρ +δ          ⎤      ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0      ⎣               ⎦c/y                 ...
35                                      (b) Entonces, c/y disminuye                             (iv) Consideremos un valor...
36                                  (a) Otra vez el diagrama de fase en este                                  caso está en...
37         Comportamiento de kc/y(c/y)2(c/y)’(c/y)1                                      k =0                             ...
38                 (a) d (c y ) = ⎧αAk α −1 ⎛ 1 − θ                                ⎨         ⎜                            ...
39                                (b) Del punto inicial k0, (c/y)0, la                                tasa de ahorro dismi...
40                  Caso III              ⎡ ρ +δ          ⎤   c/y        ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0              ⎣             ...
41C. Dos conclusiones sobre las funciones del diagrama defase. Elaboración de caso II      Diagrama de Fase-Caso II       ...
42a) Las dos funciones no pueden ser paralelosporque las pendientes son diferentes.                                   d (c...
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  1. 1. 1III.Modelo de Ramsey A. El control óptimo 1. Método para solucionar problemas de maximización a través del tiempo 2. Objetivo a) El agente elige las trayectorias óptimas de tiempo de unas variables de control para maximizar una función objetivo como una función de utilidad o de beneficio. En los modelos de esta clase, la variable de control, típicamente, es consumo. b) Sujeto a varias restricciones que son dinámicas en el sentido que describen la evolución de la economía. (1) Unas restricciones describen los comportamientos de unas variables, se denominan variables de estado. La variable de estado siempre tiene un ‘puntito’ encima de la variable. El puntito significa la derivada dx respecto a tiempo de la variable = x. & dt (2) Otras restricciones pueden describir los valores iniciales y finales (depende del problema) de la variable de estado.
  2. 2. 23. Ejemplo general de tiempo finito, T es el último Tmomento. Max V (0) = ∫ u (ct , k t , t )dt ct 0 k t = g (k t , ct , t ) & a) Sujeto a k o = k k T e − rT T ≥ 0 b) Explicación (1) El consumidor elige la trayectoria de ct , la variable de control, para maximizar su utilidad a través el periodo 0-T, V(0). (2) La función instantánea de utilidad es u(). (3) Las restricciones. (a) k es la variable de estado y la evolución de k es función de k, c, y tiempo t. Se denomina esta restricción la ecuación de transición o ecuación de movimiento de k. (b) La segunda restricción muestra el valor inicial de k. k está dada (c) La última restricción indica que el valor de capital en el último momento no es negativo. rT es la tasa de descuento en el último momento (i) Si T es finito implica que k T ≥ 0 . Prohíbe los juegos de Ponzi. (ii) Si T es infinito la restricción −r T lim kT e T ≥ 0 implica que T →∞ e − rT T → 0 así kT puede ser positivo, negativo, o cero.
  3. 3. 34. Solucionar el problema-cinco pasos. Caso deuna variable de estado, una variable de control a) Identifica las variables de estado y de control (1) Variable de control, c. (2) Variable de estado, k. (siempre con un puntito) b) Escribe el Hamiltoniano (1) H (ct , k t , t ,ν t ) ≡ u (ct , k t , t ) + ν t g (k t , ct , t ) (2) νt (nu) es un multiplicador de Lagrange por cada momento t. Hay uno por cada momento. (3) En este caso tenemos una variable de control y una variable de estado c) Toma la derivada del Hamiltoniano con respecto de la variable de control y pone igual a ∂H ∂u ∂g cero. ≡ +ν = 0 . Eliminamos el subíndice ∂c ∂c ∂c para simplificar la notación. d) Toma la derivada del Hamiltoniano con respecto a la variable de estado y pone igual al negativo del derivado del multiplicador con ∂H ∂u ∂g respecto a tiempo. ≡ +ν = −ν& ∂k ∂k ∂k e) La condición de transversalidad-multiplica la variable de estado por el precio implícito de capital (multiplicador de Lagrange) en el momento terminal y pone igual a cero (1) T finito ν T k T = 0 (2) T infinito limν t k t = 0 t →∞ (3) Nótense en estos dos casos, uno de dos resultados debe pasar.
  4. 4. 4 (a) El precio implícito de capital en el periodo final (o limite, si T es infinito), νT, es cero o (b) La cantidad de capital en el periodo final (o limite, si T es infinito) es cero (4) Caso especial. Si la función objetivo no tiene tasa de descuento lim H t = 0 es la t →∞ condición de transversalidad.5. Ejemplo específico-decisión de una persona, sellama Bonnie. a) Bonnie produce un bien. (1) El bien tiene dos usos posibles. (a) Puede consumir, c, el bien o ahorrar (invertir) el bien. (b) Si ahorra, el bien es capital. (2) No se puede consumir capital, es decir la decisión de invertir es irreversible. (3) Supongamos que la tasa de depreciación es positivo, pero no hay crecimiento de la población ni tecnología..
  5. 5. 5b) Función instantánea de utilidad con tasa de 1 −θ − ρt c t −1descuento, ρ u (⋅) = e 1−θ ∞ 1 −θ − ρt ct −1⇒ Max V (0) = ∫ e dt Nótense en este caso, u ct 0 1−θno es función de k. 0 < θc) Ecuación de movimiento k t = f (k ) − ct − δk t & ko = kd) Otras restricciones k T e − rT T ≥ 0e) Condiciones de primer orden y transversalidad (1) Variable de control es c, variable de estado es k (2) El Hamiltoniano ct1−θ − 1 H (ct , k t , t ,ν t ) = e − ρt 1−θ [ + ν t k tα − ct − δk t ] ∂H (3) = e − ρt c −θ − ν = 0 ∂c ∂H ∂u ∂g (4) = +ν = 0 + ν [ f (k ) − δ ] = −ν& ∂k ∂k ∂k (5) limν t k t = 0 t →∞f) Usamos las CPO para determinar la tasa decrecimiento de consumo. (1) Escribimos la primera CPO en logaritmos − ρt − θ ln c = lnν (2) Diferenciamos la expresión de logaritmos c ν ν respecto a tiempo − ρ − θ & = & ⇒ ρ + θ & = − & . c c ν c ν Recuérdense que c y ν son funciones de t, pero eliminamos el subíndice para simplificar la notación.
  6. 6. 6(3) Usamos la expresión de la tasa decrecimiento de ν para eliminarla de lasegunda CPO. Entonces f (k ) − δ = ρ + θ & c c(4) Así, la tasa de crecimiento de consumo esf (k ) − (δ + ρ ) & c = θ c(5) Tres ecuaciones determina elcomportamiento dinámica de la economía.Las dos de las tasas de crecimiento deconsumo y capital y la condición detransversalidad. f (k t ) − (δ + ρ ) (a) ct = & ct θ (b) k t = f (k t ) − ct − δk t & (c) limν t k t = 0 t →∞(6) Es posible mostrar que f’(kt)-δ = rt, la tasade interés en momento t.(7) Supongamos que la tasa de interés esconstante y examinamos las trayectoriasóptimas de consumo de Bonnie. 3 casos & ct f (k t ) − (δ + ρ ) r − ρ (a) = = > 0 ⇒ r > ρ En ct θ θ este caso la tasa de crecimiento de consumo es positiva, entonces consumo aumenta cada momento del nivel inicial de c0. ct r − ρ & (b) = = 0 ⇒ r = ρ . La tasa de ct θ crecimiento de consumo es cero, entonces consumo es constante, igual a su nivel inicial para siempre. ct r − ρ & (c) = < 0 ⇒ r < ρ En este caso, la ct θ tasa de interés no es suficiente por
  7. 7. 7 compensar Bonnie por su preferencia de consumir ahora, es decir r < ρ.Trayectorias Posibles de Consumo ln c r>ρ ln c0 r=ρ r<ρ 0 tiempo
  8. 8. 8B. El modelo de Ramsey-Cass-Koopmans 1. Introducción a) Ramsey (1928) preguntó ¿cuánto debe ahorrar un país? El modelo que el usó para responder es el prototipo por estudiar problemas de la distribución intertemporal de recursos. b) Cass (1965) y Koopmans (1965) presentaron extensiones del modelo de Ramsey. c) La gran diferencia entre el modelo de Solow y el modelo de Ramsey es que la tasa de ahorro no es exógena ni tiene por qué ser constante en el modelo de Ramsey 2. Los básicos del modelo a) La economía está cerrado sin gobierno entonces el ahorro agregado es igual a la inversión agregada. b) Las economías domésticas (familias) (1) Muchas familias idénticas. El número de familias (hogares) es H, fijo. Cada familia vive para siempre. (2) El numero de personas/trabajadores, L, crece a la tasa exógena, n dL (a) Es decir Lt = & = nLt Esta ecuación es dt una ecuación diferencial. (b) Solución & Lt (i) ∫ dt = ∫ ndt + Z Z es una Lt constante (ii) ln Lt = nt + Z ⇒ L(t ) = e nt + Z = e Z e nt = λe nt donde λ es la constante eZ.
  9. 9. 9 (iii) Normalmente en estos problemas tenemos un valor inicial de las variables. Supongamos que el valor inicial de trabajo es L0. Periodo 0 es el periodo inicial. Entonces en periodo cero L0 = λe n0 = λ ⇒ L0 = L0 e nt(3) Cada miembro de la familia oferta unaunidad de trabajo en cada momento.(4) Las familias son las dueñas de capital. (a) Los hogares alquilan todo de su capital a las empresas. (b) La dotación inicial de capital de la K0 familia es donde K0 es el stock inicial H en la economía. (c) No hay depreciación de capital.(5) Fuentes de ingreso de la familia (a) Salarios de trabajo (b) Renta de capital (c) Ganancias de la empresa (si hay)(6) Usos de ingreso (a) Consumo (b) Ahorro(7) Función de utilidad ∞ LMax V (0) = ∫ e − ρt u (ct ) t dt ct 0 H (a) Objetivo-maximizar la utilidad a lo largo el ciclo vital de la familia (max U)
  10. 10. 10(b) u(ct)es la función de utilidadinstantánea, ct es el consumo de cadamiembro de la familia en el momento t. Lt(c) es el numero de miembros de cada H Lfamilia. Así u (ct ) t es la utilidad Hinstantánea de la familia en momento t.(d) ρ es la tasa de descuento. Cuanto mayores ρ, menor es el valor que la familia da alconsumo futuro en relación al consumopresente. Ejemplo extremo: si ρ = 0 nosería ninguna diferencia en la utilidad entre1 unidad (total) de consumo hoy y unaunidad (total) de consumo en el futuro.(e) Típicamente se usa una formaespecífica para la función de utilidadinstantánea. La forma en este caso sedenomina utilidad con aversión relativa alriesgo constante (ARRC). c1−θ − 1 (a) u (⋅) = t La restricción 1−θ θ>0 implica que la función tiene utilidad marginal positiva pero decreciente. (b) u = ct −θ > 0, θ > 0 (c) u = −θct −θ −1 < 0, θ > 0 (ii) Caso especial-Cuando θ tiende a 1 la función de utilidad es ln ct (iii) La restricción ρ − n − (1 − θ ) g > 0 garantiza que la utilidad a lo largo el ciclo vital no sea divergente. Sin esta restricción la utilidad pudiera ser infinita y el problema de maximización no tendría una solución.
  11. 11. 11 (iv) Inicialmente en nuestra primera versión del modelo de Ramsey g=0 entonces la restricción será ρ-n>0 (v) Se denomina ARRC porque la coeficiente de aversión relativa al riesgo es θ (constante), por lo tanto es independiente de C. − ct u (ct ) − ct (−θct−θ −1 ) = =θ u (ct ) ct −θ (vi) No hay incertidumbre entonces el riesgo no tiene relevancia. (a) Pero también θ determina la disposición de los hogares a la sustitución intertemporal del consumo. d (c s ct ) [c s ct ] d (c s ct ) [u (c s ) u (ct )] 1σ (c ) = = = d [u (c s ) u (ct )] [c s ct ] d [u (c s ) u (ct )] θ [u (c s ) u (ct )] (b) es la elasticidad intertemporal de sustitución. Obsérvense que en el caso de la función de utilidad de ARRC la elasticidad intertemporal de sustitución es constante y equivalente al inverso de θ. Cuando menor es θ (mayor es σ), mayor es la disposición de la familia a aceptar variaciones temporales en su nivel de consumo. (f) Incluimos nuestro supuesto sobre la tasa de crecimiento de la población∞ ∞ L e nt ∞ L e nt dt = ∫ e (n − ρ )t u (ct ) 0 − ρt L∫e u (ct ) t dt = ∫ e − ρt u (ct ) 0 dt0 H 0 H 0 H (i) ρ-n > 0 o n-ρ < 0
  12. 12. 12c) Empresas (1) Son idénticas. (2) Cada empresa tiene una función de producción F [K t , Lt ] = Yt (a) La función tiene las mismas propiedades como la función de producción en el modelo de Solow. (b) Cada empresa contrata trabajadores en un mercado laboral competitivo. Entonces el salario real es el producto marginal de trabajo. (c) Cada empresa alquila capital en un mercado competitivo entonces el rendimiento de capital es la tasa de interés menos la tasa de depreciación. Las familias son los dueños de capital. (d) Vende su producción en un mercado competitivo. (3) Las características de la función de producción (a) Los productos marginales son positivos y decrecientes (i) FK ( K , L) > 0 (ii) FL ( K , L) > 0 (iii) FKK ( K , L) < 0 (iv) FLL ( K , L) < 0 (b) Satisface las condiciones de Inada (i) lim FK ( K , L) = ∞ K →0 (ii) lim FL ( K , L) = ∞ L →0
  13. 13. 13 (iii) lim FK ( K , L) = 0 K →∞ (iv) lim FL ( K , L) = 0 L →∞(c) Rendimientos constantes de escala.Dado este supuesto podemos trabajar conla función de producción intensiva, es decirpor unidad de trabajo efectivo. Y 1 ⎛K ⎞(d) = F (K , L ) = F ⎜ ,1⎟ = y = f (k ) La L L ⎝L ⎠función indica que la producción agregadapor unidad de trabajo efectivo depende dela cantidad de capital por unidad de trabajoefectivo.(e) Características de la forma intensiva dela función (i) f (0) = 0 (ii) f (k ) > 0 La primera derivada es positiva (igual al producto marginal de capital, FK) (iii) f (k ) < 0 La segunda derivada es negativa (iv) Las condiciones de Inada (a) lim f (k ) = ∞ k →0 (b) lim f (k ) = 0 k →∞
  14. 14. 14 La forma intensiva-Función deproducción por unidad de trabajo y f(k) 0 k (4) Supongamos que los mercados son competitivos y la función de producción es homogéneo del grado 1, es decir tiene rendimientos constantes de escala. (a) Una empresa paga Rt para alquiler una unidad de capital en momento t. (i) Es posible mostrar que este precio es igual a la tasa de interés más la tasa de depreciación. R= r + δ. (ii) El precio (real) del factor es igual a su producto marginal. Entonces ∂F r +δ = ∂K (iii) Pero por el momento supongamos que la tasa de depreciación es cero. (b) Entonces el teorema de Euler indica que la suma de las cantidades pagadas a los
  15. 15. 15 factores (trabajo, capital) es igual a la producción total. wt Lt + rt K t = Yt (i) Los beneficios son cero. (ii) wt Lt + rt K t = Yt ⇒ wt + rt kt = yt = f (k t ) Es decir, un agente recibe su parte de producción como los pagos por su trabajo y su capital. (iii) En modelo con familia representativa (todas son iguales), cada familia recibe lo que produce.(5) La acumulación de capital total esK t = F (K t , Lt ) − Ct − δK t&(6) Derivación de la ecuación de transiciónde capital por persona (a) Dividimos por L K F (K , L ) C δK & = − − = f (k ) − c − δk porque L L L L la función de producción tiene rendimientos constantes de escala K (b) k = ⇒ ln k = ln K − ln L L & & & k K L K& (c) Tomamos la derivada = − = −n k K L K & K & K K & K (d) k = & k − nk = − nk = − nk K K L L & K & K & (e) Entonces k = & − nk ⇒ = k + nk L L & = k + nk = f (k ) − c − δk ⇒ k = f (k ) − c − (n + δ )k K & (f) & L
  16. 16. 163. El problema de la familia representativa ∞ ⎛ c1−θ − 1 ⎞ L(0 ) ∞ ⎛ c1−θ − 1 ⎞Max V (0) = ∫ e ( n − ρ )t ⎜ ⎟ dt = B ∫ e ( n − ρ )t ⎜ ⎟dt ⎜ 1−θ ⎟ H ⎜ 1−θ ⎟ c 0 ⎝ ⎠ 0 ⎝ ⎠s.a.k t = f (k ) − ct − (δ + n )k t &k0 > 0 L(0) a) B = constante. Es conveniente normalizar a H fin de que B = 1. No afecta nada importante. b) Para tener una solución es necesario que el término de integral tiende a cero cuando t tiende a infinidad. Entonces, también tenemos la restricción que ρ > n. c) El Hamiltoniano c1−θ − 1 H (ct , k t , t ,ν t ) = e (n− ρ )t t + ν [ f (k t ) − ct − (n + δ )k t ] 1−θ (1) ν es el multiplicador de Lagrange (2) ν es el precio implícito del capital, es decir el valor a la familia de una unidad adicional de capital. d) Las condiciones de primer orden ∂H (1) = e (n − ρ )t c −θ − ν = 0 ∂c ∂H (2) = ν [ f (k ) − (δ + n )] = −ν& ∂k (3) limν t k t = 0 t →∞ (4) Escribimos la primera condición en logaritmos (n − ρ )t − θ ln c = lnν y diferenciamos esta expresión con respecto a tiempo y ponemos el resultado igual a la segunda condición de primer orden
  17. 17. 17 f (k ) − (ρ + δ )(n − ρ ) − θ c = ν& = δ + n − f (k ) ⇒ c = & & c ν c θ (5) A veces esta ecuación se denomina la ecuación de Euler.4. El diagrama de fases a) El comportamiento de c. (1) En el estado estacionario c es constante f (k ) − (δ + ρ ) entonces, c = & c=0 θ (2) Dado que f(k) es una función neoclásico hay solo un valor de k que satisface este relación por todos los valores positivos de c. Llamemos k* a este nivel de k. c(t ) (3) Cuando f (k ) > δ + ρ ⇒ & > 0 c(t ) c(t ) (4) Cuando f (k ) < δ + ρ ⇒ & < 0 c(t ) (5) Podemos dibujar una gráfica que muestra estas relaciones.
  18. 18. 18 Comportamiento de cc c(t ) = 0 & f (k ) > ρ + δ f (k ) < ρ + δ c>0 & c<0 & k k* b) El comportamiento de k (1) El cambio de k es la diferencia entre la inversión (ahorro) y la inversión de reposición. k = f (k ) − c − (n + δ )k . & (2) El comportamiento de c cuando k = 0 . En & este caso c = f (k ) − (n + δ )k (3) Queremos saber sobre las combinaciones & de c y k que satisfacen k = 0 . Entonces diferenciamos la expresión de c para determinar la pendiente de la función. dc = f (k )dk − (n + δ )dk ⇒ = f (k ) − (δ + n ) dc dk dc (a) Cuando f (k ) > n + δ ⇒ >0 dk dc (b) Cuando f (k ) < n + δ ⇒ <0 dk
  19. 19. 19 dc (c) Cuando f (k ) = n + δ ⇒ = 0 el dk máximo de c. (i) Piensan de la diferenciación por arriba como la condición de primer orden donde escogemos k para maximizar c. (ii) La condición de segundo orden ∂ 2c sería = f (k ) < 0 entonces este ∂k 2 valor de c es el máximo. (iii) Observación: el valor de k que dc produce f (k ) = n + δ ⇒ = 0 es la dk cantidad de capital de la regla de oro.(4) La gráfica. (a) Nótense que cuando k = 0, c = 0 entonces la función empieza al origen. (b) También, hay un nivel grande de k donde c = 0 así k = f (k ) − (n + δ )k = 0 . En & este caso usan todo la producción para mantener constante el nivel de k.(5) Escribimos c como el valor de c que hace ˆk = 0 , dado k. Nótense que c varía con k. & ˆAsí k = f (k ) − c − (n + δ )k &(6) ¿Qué pasa con valores de c diferente deellos que producen k = 0 ? & (a) Consideremos c > c ⇒ k = f ( k ) − c − (δ + n )k < 0 Así, arriba ~ ˆ & ~ de la función k = 0, k < 0 , es decir el capital & & disminuye (b) Consideremos c < c ⇒ k = f ( k ) − c − (δ + n )k > 0 Así, abajo ~ ˆ & ~ de la función k = 0, k > 0 el capital crece & &
  20. 20. 20 Comportamiento de kc k <0 &cmax k =0 & k >0 & k 0 koro c) Las dos gráficas juntas-El diagrama de fases El Diagrama de Fases c c=0 &cmax k =0 & E k k* k*oro k** (1) Las flechas hacia la izquierda y hacia la derecha muestran la dirección de cambio de k. Por ejemplo, abajo k = 0 k aumenta & entonces la flecha señala eso.
  21. 21. 21(2) Las flechas hacia arriba y hacia abajomuestran la dirección de cambio de c. Porejemplo, en la izquierda de c = 0 c aumenta &entonces la flecha señala eso.(3) Estado estacionario (a) Caso de tecnología constante-Punto E donde todos los valores por persona del modelo son constantes, es decir punto donde c = k = 0 & & (b) Hay tres estados estacionarios pero solamente uno es óptimo. (i) El origen-consumo y capital por persona son cero. No es interesante (ii) Punto k**, donde k = 0 toca el eje & horizontal. La tasa de ahorro es una en este punto, es decir el consumo es cero. k = 0 ⇒ f (k ) = (n + δ )k & (a) Usan toda la producción para mantener constante k. No es interesante. (b) En el caso de la función de Cobb-Douglas es el punto donde 1 ⎛ A ⎞ 1−α f (k ) = Ak α = (n + δ )k ⇒ ⎜ ⎟ =k ⎝n +δ ⎠ (iii) Punto E(4) Obsérvense que k* < k*RO en el diagrama (a) El valor de k donde c = 0 es k*. La & condición de c & = 0 ocurre cuando f (k ) = ρ + δ (b) El valor de k en la regla de oro ocurre cuando f (k ) = n + δ
  22. 22. 22 (c) Pero para ser convergente tenemos la condición que n-ρ < 0 ρ + δ > n + δ ⇒ f (k * ) > f (k RO ) ⇒ k * < k RO * * porque f (k ) < 0(5) Análisis de la estabilidad de cada estadoestacionario (a) Un estado estacionario es estable si la economía tiende al estado estacionario cuando empezamos de puntos cerca del estado estacionario. (b) Origen-inestable. Las flechas muestran que la economía mueve en dirección contraria al estado estacionario (c) k**-estable (d) E-estabilidad de ‘punto de silla’ (i) De puntos en la parte noreste (arriba de k = 0 y a la derecha de & c = 0 ) de la gráfica, hay movimiento & en la dirección de E (ii) De puntos en la parte suroeste (abajo de k = 0 y a la izquierda de & c = 0 ) de la gráfica, hay movimiento & en la dirección de E (iii) De puntos en la parte noroeste (arriba de k = 0 y a la izquierda de & c = 0 ) y de puntos en la parte sureste & (abajo de k = 0 y a la derecha de & c = 0 ) de la gráfica, hay movimiento & en la dirección contraria de E.(6) Trayectoria al estado estacionario E. ElSENDERO DE SILLA (a) Sin más información sobre los parámetros del modelo es imposible decir exactamente la ubicación del sendero de silla. Pero es posible decir que el sendero
  23. 23. 23 de silla está en las partes suroeste y noreste de la gráfica y pasa por E. El Diagrama de Fases Sendero de Sillac c=0 & k =0 &c* E k k* k*oro k** (b) La parte más interesante está en el suroeste porque a través este parte de la trayectoria, la economía crece, es decir c y k (y también) aumentan. (7) Otras trayectorias, son explosivas (a) Mostramos que el sendero de silla es la única que satisfacen las condiciones de primer orden incluyendo la condición de transversalidad. (b) Consideremos una economía con capital de k0 < k*. (i) Sea c0 el valor de consumo que corresponde a k0 en el sendero de silla. (ii) Sea c’0 > c0 es el valor inicial de consumo cuando k = k0.
  24. 24. 24 El Diagrama de Fases valor inicial de capital es k<k* c c=0 & Acmax k =0 & E Bc’0c0c’’0 k k0 k* k*oro k** (iii) Dado que el punto k0, c’0 está en la parte suroeste de la gráfica, c aumenta y k aumenta. (a) Pero dado que hay demasiado consumo, c’0 > c0, el capital no crece bastante. (b) La economía gana un punto en la función k = 0 antes que & llegue al estado estacionario. (iv) Por el momento que la economía está en k = 0 , el capital es & constante pero el consumo crece. (v) Dado el crecimiento del consumo, la trayectoria cruce k = 0 . & En este momento, capital empieza decrecer porque está en la parte noroeste de la gráfica. (vi) Pero consumo continua crecer y el capital decrecer hasta kT = 0, T < ∞. En este momento el consumo salta a cero porque no hay capital así no hay producción.
  25. 25. 25 (a) Antes que kT = 0, la tasa de crecimiento de consumo aumenta cada momento porque el PMK aumenta c f ( k ) − (ρ + δ ) & = c θ (b) Supongamos que el momento antes periodo T, el consumo es c > 0 . (c) ¿Cuál es la tasa de crecimiento al momento final, T, cuando consumo salta a cero? Es la tasa z que satisface cT = c e z = 0 (d) Es decir, el valor de z que satisface la expresión es z= - ∞. Entonces la tasa de crecimiento de c en el momento final es - ∞. (e) Pero & c f (k ) − ρ − δ = −∞ ⇒ = −∞ ⇒ f (k ) = −∞ c θ cuando k = 0 (f) Un PMK = -∞ viola la condición de Inada que lim f (k ) = ∞ Entonces, k0, c’0 k →0 no puede ser un óptimo.(c) Otra vez, consideremos una economíacon capital de k0 < k*. (i) Sea c’’0 < c0 es el valor inicial de consumo cuando k = k0. (ii) Dado que el punto k0, c’’0 está en la parte suroeste de la gráfica, c aumenta y k aumenta. (a) Pero dado que hay demasiado poco consumo, c’’0 <
  26. 26. 26 c0, el consumo no crece bastante. (b) La economía gana un punto en la función c = 0 antes que & llegue al estado estacionario. (iii) Por el momento que la economía está en c = 0 , el consumo & es constante pero el capital crece. (iv) Dado el crecimiento del capital, la trayectoria cruce c = 0 . En & este momento, consumo empieza decrecer porque está en la parte sureste de la gráfica. (v) Ahora la economía converge a k**. (vi) El máximo de consumo a través la función k = 0 ocurre donde & f (k RO ) = (n + δ ) Así en punto k**, el PMK de k** es menos que su valor de kRO f (k * *) < f (k RO ) = (n + δ ) (vii) Entonces, podemos decir que la tasa de interés al valor constante de capital k** es r * * = f (k * *) − δ < f (k RO ) − δ = n Este condición conlleva una violación de la condición de transversalidad. (a) Para ver la violación regresamos a una de las CPO (cualquier óptimo tiene que satisfacer esta condición). Así supongamos que k** es un óptimo ∂H ∂u ∂g(d) = +ν = 0 + ν [ f (k * *) − (δ + n )] = −ν& ∂k ∂k ∂k
  27. 27. 27 (a) Sustituimos con r * * = f (k * *) − δ ∂H = ν (r * * − n ) = −ν& ∂k (b) Integramos la expresión ν&∫ ν dt = lnν t − ln v0 = − ∫ (r * * − n )dt = (n − r * *)t (c) Incluimos las constantes de cada integración en lnν0 y ν0 es el valor inicial de ν. (d) Tomamos antilogaritmos ν t = v0 e ( n − r**)t (e) Sustituimos en la condición de transversalidad limν 0 e ( n − r**)t k * * = 0 es una t →∞ contradicción. ¿Por qué? (f) Mostramos antes que r** < n entonces la ponencia es positiva y e ( n − r **)t > 0, k * * > 0 . (g) De la CPO ∂H (e) = e − ρt c −θ − ν = 0 ⇒ c0 θ = ν 0 > 0 − ∂c (a) Entonces, cada parte del límite es positiva. (b) Así el límite tiende a infinito positivo, no a cero. Entonces k0, c’’0 no puede ser óptimo.d) El caso de horizonte finito (1) Dos razones por examinar este caso (a) Caso interesante porque, obviamente, una persona no vive para siempre. (b) Muestra la importancia de la condición de transversalidad en la decisión del consumidor/familia.
  28. 28. 28(2) Problema-horizonte es de periodo 0 aperiodo T T ⎛ c 1−θ − 1 ⎞ Max V (0) = ∫ e ( n − ρ )t ⎜ ⎜ 1 − θ ⎟dt ⎟ c 0 ⎝ ⎠ & = f (k ) − c − (n + δ )k(3) s.a.k k (0) > 0, dada(4) El Hamiltoniano ct1−θ − 1H (ct , k t , t ,ν t ) = e (n − ρ )t + ν t [ f (k ) − ct − (δ + n )k t ] 1−θ (a) Variable de control, c. (b) Variable de estado, k.(5) Condiciones de primer orden y condiciónde transversalidad. ∂H (a) = e (n − ρ )t c −θ − ν = 0 La misma como ∂c anteriormente ∂H ∂u ∂g (b) = +ν = 0 + ν [ f (k ) − (δ + n )] = −ν& ∂k ∂k ∂k La misma como anteriormente (c) ν T k T = 0 Diferente del caso de horizonte infinito.(6) Como antes, las primeras doscondiciones de primer orden implican f (k ) − ρ − δ (a) c = & c θ (b) k = f (k ) − c − (n + δ )k & (c) Así las funciones del diagrama de fase son iguales.(7) La trayectoria óptima (a) Obsérvense lo que indica la condición de transversalidad. El precio implícito de capital en momento T, νT, es positivo (vale
  29. 29. 29capital) así la cantidad de capital enmomento T debe ser cero.(b) Sendero de silla, la óptima en el caso detiempo infinito, no es óptima ahora porquetiene k > 0 en el estado estacionario E.(c) k0, c’0 es el punto inicial (dado k0) en latrayectoria óptima porque en momento Tllega a k = 0. (i) Dado k0 cualquier valor de c > c’0 implica que consume demasiado, y toca el eje vertical antes de periodo T. Quiere terminar al punto B pero no se puede. (ii) Dado k0 cualquier valor de c < c’0 implica que consume demasiado poco, y no gana el eje vertical en periodo T. Es decir, el consumidor/la familia muere con capital y este no es óptima. Termina en punto A.
  30. 30. 30 El Diagrama de Fases Horizonte Finito c A c=0 &B k =0 & Ec’0c0 k k(0) k* k*RO k** e) La tasa de ahorro a lo largo el sendero de silla (1) Vamos a ver si existe una configuración de parámetros en el modelo de Ramsey para los cuales una tasa de ahorro constante es óptima. (2) Usaremos la función de producción de Cobb-Douglas y = Ak α ⇒ ln y = ln A + α ln k y−c c (3) Tasa de ahorro es = 1 − La y y importancia de eso es que podemos determinar el comportamiento de la tasa de ahorro por examinar el comportamiento de la fracción de ingreso que consume c (a) Si crece, la tasa de ahorro disminuye y c (b) Si decrece, la tasa de ahorro crece y c (c) Si es constante, la tasa de ahorro es y constante
  31. 31. 31 (d) Dado la relación entre la tasa de ahorro y la tasa de consumo (c/y) vamos a estudiar el diagrama de fase del modelo de Ramsey en una gráfica con k en el eje horizontal y c/y en el eje vertical. (e) En este discusión, como van a ver, es necesario suponer que θ > 1 (4) La función d (c y ) / dt = 0 & y & k (a) Producción, y =α y k (b) Consumo c d (c y ) / dt c y c & & & & k ⇒ ln c − ln y ⇒ = − = −α y c y c y c k Así, podemos sustituir las dos expresiones de las condiciones de primer orden.& k αAk α −1 − ρ − δ & ⎡ α −1 ⎤ αAk − ρ − δ ⎡ ⎤ − α ⎢ Ak α −1 − − (δ + n )⎥ = − (δ + n )⎥ =c c c y −α = − α ⎢ Ak α −1 −c k θ ⎣ k ⎦ θ ⎣ k y ⎦ α −1 α −1 ααAk − ρ − δ ⎡ ⎤ αAk − ρ − δ ⎡ ⎤ − (δ + n )⎥ = − (δ + n )⎥ = c y c Ak − α ⎢ Ak α −1 − − α ⎢ Ak α −1 − θ ⎣ yk ⎦ θ ⎣ y k ⎦αAk α −1 − ρ − δ ⎡ ⎤ ⎛1 − α ⎢ Ak α −1 − Ak α −1 − (δ + n )⎥ = αAk α −1 ⎜ − 1 + c c⎞ ⎡ ⎟ + ⎢α (δ + n ) − (ρ + δ )⎤ = θ ⎜θ ⎟ y⎠ ⎣ θ ⎥ ⎣ y ⎦ ⎝ ⎦ ⎛1−θαAk α −1 ⎜ + c⎞ ⎡ ⎟ + ⎢α (δ + n ) − (ρ + δ )⎤ ⎜ ⎟ θ ⎥ ⎝ θ y⎠ ⎣ ⎦ (c) Una tasa de ahorro constante significa d (c y ) / dt c y c & & & & k que = − = − α = 0 Ahora c y c y c k c solucionamos por y
  32. 32. 32& & ⎛1 − θ c ⎞ ⎡ (ρ + δ )⎤ ⎜ θ + y ⎟ + ⎢α (δ + n ) − θ ⎥ = 0 ⇒c k − α = αAk α −1 ⎜ ⎟c k ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ θ − 1 ⎞ ⎡ (ρ + δ ) ⎤ c ⎛ θ − 1 ⎞ k 1−α ⎡ (ρ + δ ) ⎤ − α (δ + n )⎥ ⇒ = ⎜ − α (δ + n )⎥ cαAk α −1 = αAk α −1 ⎜ ⎟+⎢ ⎟+ ⎢ θ y ⎝ θ ⎠ ⎣ θ ⎦ y ⎝ θ ⎠ αA ⎣ ⎦ (i) La idea con estas manipulaciones de las condiciones de primer orden es producir un diagrama de fase en el espacio de k, c/y. Del comportamiento de c/y podemos determinar el c comportamiento de s = 1 − y (ii) Diferenciamos la expresión de c/y respecto de k para determinar el comportamiento de c/y a lo largo la d (c y ) / dt c y & & función = − = 0 , es c y c y decir para determinar el signo de la pendiente.c θ − 1 k 1−α ⎡ ρ + δ ⎤ d (c y ) k −α ⎡ ρ + δ ⎤ = + ⎢ θ − α (δ + n )⎥ ⇒ = (1 − α ) ⎢ θ − α (δ + n )⎥y θ αA ⎣ ⎦ dk αA ⎣ ⎦ (a) El signo de la expresión depende del signo de la parte en los corchetes porque −α (1 − α ) k >0 αA (b) ⎡ ρ + δ − α (δ + n )⎤ > 0 ⇒ d (c y ) > 0 ⎢ θ ⎥ ⎣ ⎦ dk
  33. 33. 33 Comportamiento de c/y ⎡ ρ +δ ⎤ ⎢ θ − α (δ + n )⎥ > 0 ⎣ ⎦c/y d (c y ) / dt =0 c y k (c) ⎡ ρ + δ − α (δ + n )⎤ < 0 ⇒ d (c y ) < 0 ⎢ θ ⎥ ⎣ ⎦ dk Comportamiento de c/y ⎡ ρ +δ ⎤ ⎢ θ − α (δ + n )⎥ < 0 ⎣ ⎦c/y d (c y ) / dt =0 c y k (d) ⎡ ρ + δ − α (δ + n )⎤ = 0 ⇒ d (c y ) = 0 ⎢ θ ⎥ ⎣ ⎦ dk
  34. 34. 34 Comportamiento de c/y ⎡ ρ +δ ⎤ ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0 ⎣ ⎦c/y d (c y ) / dt =0 c y k (d) Comportamiento de c/y en el diagrama de fase. Usamos el caso de ⎡ρ +δ ⎤ d (c y ) ⎢ − α (δ + n )⎥ = 0 ⇒ =0 ⎣ θ ⎦ dk & & ⎛1 − θ c ⎞ ⎡ (ρ + δ )⎤ ⎜ θ + y ⎟ + ⎢α (δ + n ) − θ ⎥ (i) c k − α = αAk α −1 ⎜ ⎟ c k ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ pero podemos eliminar la última parte porque es cero en esta & c & k ⎛1 −θ c ⎞ situación. − α = αAk α −1 ⎜ ⎜ θ + y⎟⎟ c k ⎝ ⎠ & c & k (ii) Obsérvense que −α = 0 cuando c k c θ −1 = y θ (iii) Consideremos un valor de consumo, (c/y)1, menor que θ − 1 . θ (a) En este caso & c & k ⎛1 − θ c ⎞ − α = αAk α −1 ⎜ ⎜ θ + y⎟<0 ⎟ c k ⎝ ⎠ porque la parte en parentesis es negativo (recuérdense que θ > 1)
  35. 35. 35 (b) Entonces, c/y disminuye (iv) Consideremos un valor de consumo, (c/y)2, mayor que θ − 1 . θ (a) En este caso & c & k ⎛1 − θ c ⎞ − α = αAk α −1 ⎜ ⎜ θ + y⎟>0 ⎟ c k ⎝ ⎠ porque la parte en parentesis es positivo (recuérdense que θ > 1) (b) Entonces, c/y aumenta Comportamiento de c/y ⎡ ρ +δ ⎤ ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0 ⎣ ⎦ c/y(c/y)2 d (c y ) / dt =0θ −1 c y θ(c/y)1 kˆ k (v) Estes resultados aplica a los otros casos (a) Valores de c/y por debajo de & & la función c − α k = 0 implica c k que c/y disminuye (b) Valores de c/y por encima & & de la función c − α k = 0 implica c k que c/y aumenta (5) La función k = 0 &
  36. 36. 36 (a) Otra vez el diagrama de fase en este caso está en el espacio de k, c/y. Entonces tenemos que reescribir la función en términos de c/y. & k c (i) k = Ak α − c − (n + δ )k ⇒ = Ak α −1 − − (n + δ ) & k k c c y c Ak α c (ii) = = = Ak α −1 k yk y k y (iii) Podemos escribir&k c ⎛ c⎞ = Ak α −1 − Ak α −1 − (n + δ ) = Ak α −1 ⎜1 − ⎟ − (n + δ ) ⎜k y ⎝ y⎟ ⎠ (iv) Ahora determinamos el valor de c/y que implica k = 0 & c c c k 1−αAk α −1 − Ak α −1 − (n + δ ) = 0 ⇒ Ak α −1 = Ak α −1 − (n + δ ) ⇒ = 1 − (n + δ ) y y y A (v) La pendiente de la función k = 0 & d (c y ) k −α = −(1 − α ) (n + δ ) < 0 dk A
  37. 37. 37 Comportamiento de kc/y(c/y)2(c/y)’(c/y)1 k =0 & k k’ (b) ¿Cómo comporta k por encima de la función y por debajo de la función? (i) k’, (c/y)’ es un punto en la función. (ii) k’, (c/y)1 es un punto por debajo. Entonces & k ⎡ ⎛c⎞ ⎤ = Ak α −1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ − (n + δ ) > 0 ⎜ ⎟ k ⎢ ⎝ y ⎠1 ⎥ ⎣ ⎦ porque el término en los corchetes es más grande. Así por debajo de la función, k aumenta. (iii) k’, (c/y)2 es un punto por encima de la función. Entonces & k ⎡ ⎛c⎞ ⎤ = Ak α −1 ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ − (n + δ ) < 0 ⎜ ⎟ k ⎢ ⎝ y ⎠2 ⎥ ⎣ ⎦ porque el término en los corchetes es más pequeño. Así por encima de la función, k disminuye. (6) Las dos ecuaciones, el diagrama de fase, y el comportamiento de la tasa de ahorro.
  38. 38. 38 (a) d (c y ) = ⎧αAk α −1 ⎛ 1 − θ ⎨ ⎜ ⎜ + c⎞ ⎡ ⎟ + ⎢α (δ + n ) − ⎟ (ρ + δ )⎤ ⎫ c = 0 ⎬ dt ⎩ ⎝ θ y⎠ ⎣ θ ⎥⎭ y ⎦ ⎡ρ +δ 1−α c θ −1 k ⎤ o = + − α (δ + n )⎥ y θ αA ⎢ θ ⎣ ⎦ ⎧ ⎛ c⎞ ⎫ (b) k = ⎨ Ak α −1 ⎜1 − ⎟ − (n + δ )⎬k = 0 o & ⎜ ⎟ ⎩ ⎝ y⎠ ⎭ 1−α c k = 1− (n + δ ) y A (c) Los tres casos (i) Nótense que existe un sendero de silla, es decir la trayectoria óptima de punto de silla en cada caso. (ii) Caso I ⎡ρ +δ ⎤ d (c y ) ⎢ θ − α (δ + n )⎥ > 0 ⇒ dk > 0 ⎣ ⎦ Caso I ⎡ρ +δ ⎤ c/y ⎢ θ − α (δ + n )⎥ > 0 ⎣ ⎦ d (c y ) / dt =0 c y(c/y)*(c/y)0 k =0 & k k0 k* (a) Del punto inicial k0, (c/y)0, la tasa de consumo aumenta y la cantidad de capital crece hasta que gana el estado estacionario.
  39. 39. 39 (b) Del punto inicial k0, (c/y)0, la tasa de ahorro disminuye monotónicamente hasta que gana el estado estacionario (iii) Caso II-también mira la discusión de abajo. ⎡ρ +δ d (c y ) ⎢ θ ( )⎤ −α δ + n ⎥ < 0 ⇒ <0 ⎣ ⎦ dk Caso II ⎡ ρ +δ ⎤ ⎢ θ − α (δ + n )⎥ < 0 ⎣ ⎦ c/y(c/y)0(c/y)* d (c y ) / dt =0 c y k =0 & k k0 k* (a) Del punto inicial k0, (c/y)0, la tasa de consumo disminuye montónicamente y la cantidad de capital crece hasta que gana el estado estacionario. (b) Del punto inicial k0, (c/y)0, la tasa de ahorro aumenta monotónicamente hasta que gana el estado estacionario. (iv) Caso III ⎡ρ +δ ⎤ d (c y ) ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0 ⇒ dk = 0 ⎣ ⎦
  40. 40. 40 Caso III ⎡ ρ +δ ⎤ c/y ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0 ⎣ ⎦ d (c y ) / dt =0θ −1 c y θ k =0 & k k0 k* (a) Del punto inicial k0, c θ −1 = la tasa de consumo es y θ constante y la cantidad de capital crece hasta que gana el estado estacionario. (b) Del punto inicial k0, c θ −1 = la tasa de ahorro es y θ constante a lo largo el sendero de silla. (c) La tasa de ahorro (constante) es c θ −1 1 1− = 1− = y θ θ (d) Así, solo en el caso de ⎡ρ +δ ⎤ ⎢ θ − α (δ + n )⎥ = 0 obtenemos ⎣ ⎦ una tasa de ahorro constante en el modelo de Ramsey.
  41. 41. 41C. Dos conclusiones sobre las funciones del diagrama defase. Elaboración de caso II Diagrama de Fase-Caso II ⎡ρ +δ ⎤ ⎢ θ − α (δ + n )⎥ < 0 ⎣ ⎦c/y d (c y ) / dt =0 c y k =0 & k 1. Comparamos las pendientes: d (c y ) / dt a) La pendiente de = 0 es c y d (c y ) k −α ⎡ ρ + δ ⎤ = (1 − α ) ⎢ θ − α (δ + n )⎥ dk αA ⎣ ⎦ b) La pendiente de k = 0 es & d (c y ) k −α = −(1 − α ) (n + δ ) < 0 dk A 2. Reescribimos la primera ecuación como. (Nótense que α cancela en la primera parte de la ecuación) d (c y ) = −(1 − α ) k (δ + n ) + (1 − α ) k ⎛ ρ + δ ⎞ −α −α ⎜ ⎟ dk A αA ⎝ θ ⎠ Puesto que la primera parte de la ecuación es la misma como la función de k = 0 y la segunda parte & de la ecuación es positiva tenemos dos conclusiones.
  42. 42. 42a) Las dos funciones no pueden ser paralelosporque las pendientes son diferentes. d (c y ) / dtb) La pendiente de la función = 0 es c ymayor (menos negativa) que la pendiente de la d (c y ) / dtfunción k = 0 . Entonces la función & =0 c ydebe cruzar la función k = 0 de abajo (moviendo de &la izquierda a la derecha) como mostrado en lagráfica.

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