Este documento discute la naturaleza de las matemáticas y la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Explora temas como la resolución de problemas, la modelización matemática, las características de las matemáticas y el significado de aprender y enseñar matemáticas a través de la resolución de problemas. También analiza el uso de problemas como modelo de enseñanza y las características de los problemas que se utilizan en el aula.

1. Lic. Prof. Augusto Burgos
augustoburgos@gmail.com
Enseñar y Aprender
MATEMÁTICA

2. CASO DE ANÁLISIS:
Fracciones: ¿te pusiste a pensar por qué le
enseñamos a dividir fracciones “multiplicando
cruzado” y no “dividiendo derecho”?
¿Se lo darías por válido al ejercicio? ¿qué ha ocurrido? No lo ha
hecho como esperábamos ¿verdad? Pero, ¿es un error del
alumno?

3. Probamos con otro ejemplo:
¿Te sorprendió? ¿qué opinás? ¿es válido este procedimiento que
se está usando? ¿es un error del alumno o uno nuestro en pensar
que sólo hay una forma de dividir números racionales? ¿te pusiste
a pensar por qué le enseñamos a dividir fracciones “multiplicando
cruzado” y no “dividiendo derecho”? ¡Esto es conocimiento en el
horizonte matemático!

4. ¿Qué es la Matemática?
Reflexión:
-Qué es la matemática para nosotros?
-Qué es la matemática para nuestros
alumnos?
-¿Qué es enseñar y aprender
matemática en el aula?

5. Siguiendo a Chevallard, Bosch y Gascón se pueden describir tres
grandes tipos de actividades que podrían considerarse como
matemáticas:
 Utilizar matemáticas conocidas: el primer gran tipo de actividad
matemática consiste en resolver problemas a partir de las
herramientas matemáticas que uno ya conoce y sabe cómo utilizar,
como el plomero que a partir de sus conocimientos arregla una
canilla que pierde.
 Aprender y enseñar matemática: frente a un problema que no se
sabe resolver se puede recurrir a un matemático que lo resuelva o
bien aprender la matemática necesaria para hacerlo.
 Crear matemáticas nuevas: en principio, se podría decir que sólo
los matemáticos producen matemáticas nuevas, pero en realidad, a
nivel de los alumnos se puede afirmar que todo aquel que aprende
matemática participa de alguna manera en un trabajo creador. Con
frecuencia, para resolver un problema tendrá que modificar sus
conocimientos anteriores ligera o profundamente para adaptarlos a
las peculiaridades de su problema. Los alumnos no crean
matemática nuevas para la humanidad, pero sí nuevas para ellos.
La actividad matemática no puede reducirse a aprenderlas y
enseñarlas, no son un fin en sí mismo, sino un medio para
responder a ciertas cuestiones.

6. ¿Qué significa hacer matemática?
Justamente es hacerlas, en el sentido propio del
término, construirlas, fabricarlas, producirlas. Por
supuesto no se trata de hacer reinventar a los
alumnos la matemática que ya existe, sino de
involucrarlos en un proceso de producción
matemática donde su actividad tenga el mismo
sentido que tiene para los matemáticos que
crean conceptos matemáticos nuevos.

7. ¿Qué es la Matemática?
Es un conjunto de conocimientos en
continua evolución, no es un
conocimiento acabado, ni estático.

8. EVOLUCIÓN
Problemas
Cotidianos
y prácticos
Problemas
propios de
la
matemática
Problemas
de otras
ciencias

9. No es posible trazar una frontera
clara y precisa que separe de una
vez por todas las actividades
matemáticas de los no-matemáticas.
Cada cual aporta y se enriquecen
mutuamente.

10. Problema:
Veamos un ejemplo simple, en un contexto intra-
matemático que permite entender, en parte, la
construcción de modelos en matemática.
Todos conocen el algoritmo de la división, es decir,
una serie de pasos que permiten encontrar el
resultado de dividir un número por otro. Y
también se conocen ciertas propiedades que
cumple esta operación.
Se puede pensar en este problema:
“Inventar una división cuyo resto sea 200 y
que se pueda calcular mentalmente”.

11. ¿Para qué podría servir un
problema como este?
 Para determinar para qué puede servir es importante pensar cuáles
conocimientos tienen que poner en juego los alumnos para resolverlo.
Una primera constatación es que el resto tiene que ser efectivamente
menor que el divisor. No es solamente una definición aprendida de
memoria sino que hay que usarla efectivamente para resolver el
problema planteado.
 Por otra parte, este problema pone en juego las relaciones entre
dividendo, divisor, cociente y resto y les hace jugar un verdadero papel
de herramientas para resolver problemas y no solamente para realizar
la prueba de la división.
Una enseñanza planteada de esta manera nos acerca a una matemática
con sentido, donde el alumno se puede involucrar en la búsqueda de
respuestas, donde lo que hace o aprende tiene una significación
aportada por las situaciones que los nuevos conocimientos le permiten
resolver.
En este ejemplo, se ve cómo el dominio del algoritmo puede ser trabajado
de una manera conceptualmente diferente a la habitual para resolver
una gran cantidad de divisiones del mismo tipo.

12. Características de la Matemática
I- Cohesión Interna:
La matemática es un cuerpo
cohesionado donde todas las partes
se relacionan en un todo armónico,
sin contradicciones.
Los conceptos se relacionan entre sí
de distintas maneras.

13. Un problema se puede resolver de
diferentes formas.
P.ej: desde el marco geométrico o
algebraico, llegamos a la misma solución.
“¿A qué es igual el cuadrado de la suma de
dos números?”

14. Resolución 1:
Se puede representar el problema en el marco de la geometría: se parte de
la construcción de un cuadrado de lado (a + b), marcando en cada lado las
medidas a y b que lo componen, señalando un punto sobre cada uno de ellos.
Luego se trazan por estos puntos paralelas a los lados.

15. Resolución 2:
A través de ambas resoluciones hemos llegado al mismo resultado.
A esto denominamos cohesión interna.

16. Problema:
“Piense un número cualquiera, súmele
5, multiplíquelo por 2, luego réstele 4,
divídalo por dos y reste el número que
pensó.” ¿cuál será el resultado?

17. Piense un número cualquiera, súmele 5, multiplíquelo por 2,
luego réstele 4, divídalo por dos y reste el número que
pensó. ¿cuál será el resultado?
 El resultado siempre será 3

18. Características de la Matemática
II- Modelización:
La modelización matemática de situaciones y
fenómenos de la realidad permiten comprender y
poder actuar sobre ellos.

20. Síntesis sobre modelización
 Una solución que resuelve varios problemas.
(caso 1)
Un problema que admite varias soluciones.
(caso 2)
Reflexión: Qué valor le damos a estas características
en el aula? Admitimos la diversidad de situaciones,
soluciones, procedimientos y estrategias? Las
propiciamos?

21. ¿Qué es “hacer matemática” en el
aula?
ES RESOLVER PROBLEMAS
Responder preguntas
Plantear preguntas
Un saber o conocimiento matemático, debe ser una solución
a un problema dado.
Así se construyen SENTIDOS y se aprende
matemática.

22. “Se puede
hacer de otro
modo?”
“Es válida esta
forma de
hacerlo”
“Se podría
también hacer
así?”
“Por qué no da
lo mismo si la
hacemos así?”
“Esta otra
forma da así
por
casualidad?”
“Esta estrategia
sirve con otros
números?....dará
siempre ?”
“Hay algún
caso en el que
no dé?”“ Por qué
funciona?....por
qué no?”

23. Condiciones a tener en cuenta!
 Conocer el estado inicial de los alumnos.
 Tener una idea de sus concepciones, sobre los
conocimientos puestos en juego, los procedimientos
que podrán desplegar y aún…
 Anticipar el estado final (lo que se quiere producir o
evitar)
Así al abordar una noción “por actividades” es
necesario tener precisiones sobre los problemas
elegidos y sobre la gestión de la clase que se
prevé.

24. ¿Qué es APRENDER matemática?
 Es construir SENTIDO de los conocimientos
 Es resolver problemas y reflexionar sobre los
mismos

25. Cómo se construye Sentido?
Es reconocer en qué situaciones es útil ese
conocimiento.
Charnay: El sentido de un conocimiento mát se define:
-por la colección de situaciones en las que ese
conocimiento es realizado como teoría mát.
-por la colección de situaciones en las que el sujeto lo
ha encontrado como medio de solución.
-por el conjunto de concepciones que rechaza, de
errores que evita, de economía que procura, de
formulaciones que retoma.

26. Agreguemos que la construcción de la significación
de un conocimiento debe ser considerada en dos
niveles:
 un nivel “externo”: ¿cuál es el campo de
utilización de este conocimiento y cuáles son los
límites de este campo?
 un nivel “interno”: ¿cómo y por qué funciona tal
herramienta? (por ejemplo, ¿cómo funciona un
algoritmo o estrategia y por qué conduce al
resultado buscado?).

27. Uso de los problemas: modelos de
enseñanza
1) El problema como criterio del aprendizaje
(modelo llamado “normativo”)

30. Actividades ligadas al trabajo matemático:
Explorar para representar, representar para explorar: Probar,
ensayar, abandonar lo hecho y volver a empezar por otro camino,
representar para imaginar una solución o entender una situación, analizar
las distintas formas de representar.
Elaborar conjeturas: Promover que los niños expliciten las ideas que
van elaborando, las respuestas que van encontrando, las relaciones que
van estableciendo… aún cuando no sean del todo claras para ellos. Las
conjeturas que elaboran los alumnos frente a un problema, requerirán
cierto trabajo en el aula para determinar si son verdaderas o son falsas.
Validar las conjeturas y los resultados: Recurrir a los conocimientos
matemáticos para decidir si una afirmación, una relación, un resultado son
o no válidos y bajo qué condiciones.
Generalizar o determinar un dominio de validez: ¿pasará siempre?,
¿servirá para todos los casos?, ¿habrá algún caso donde no se cumpla?
Se trata de analizar el carácter más general de ciertas ideas, llegando en
algunas ocasiones a establecer relaciones válidas para cualquier caso, y
en otras, a establecer los límites en la posibilidad de generalizar dichas
relaciones.

31. Qué es resolver y reflexionar sobre
los problemas?
 Es resolver una situación con diferentes
estrategias.
 Es reflexionar con los alumnos sobre esas
diferentes estrategias: detectar errores,
determinar las estrategias mas eficaces,
analizar representaciones, debatir
argumentaciones….para producir
nuevos conocimientos.

32. ¿Qué es ENSEÑAR matemática?
 Es crear condiciones de apropiación del
conocimiento por parte de los alumnos.
 El alumno aprende, al disponer de un conocimiento
como Objeto-Instrumento.
 El docente y el alumno debe centrar en el
conocimiento a enseñar/aprender.
Dialéctica Instrumento/Objeto

33. ¿Qué se entiende por problema?
Un problema es toda situación que lleve
al alumno a poner en juego los
conocimientos de los que dispone, pero
que a la vez, ofrece algún tipo de
dificultad, que torna insuficientes, dichos
conocimientos y fuerza a la búsqueda
de soluciones, en la que se producen
nuevos conocimientos modificando
(enriqueciendo o rechazando) los
conocimientos anteriores.

34. Características de los problemas.
 El enunciado tiene que tener sentido para el alumno.
 El alumno debe poder considerar lo que puede ser
una respuesta al problema dado.
 El alumno puede iniciar un procedimiento de
resolución de acuerdo con sus conocimientos.
 El problema es rico, involucrando una red de
conceptos.
 El problema es abierto por la diversidad de preguntas
o por la diversidad de estrategias de resolución
posible.
 El conocimiento a enseñar es el recurso para
responder eficazmente al problema planteado.

35. Reflexión:
Algunos comentarios de Nadine Milhaud:
“Se hacen ejercicios y problemas, pero no se conduce
ninguna actividad reflexiva que permitiría a los alumnos
identificar familias de problemas y situar los problemas
encontrados en relación con esas familias. Esto supone que,
sobre un cuerpo de ejemplares bien elegidos por el profesor,
se haga un trabajo de clasificación que podría ser realizado
a partir del cuestionamiento siguiente:
 1. ¿Son diferentes los ejercicios y los problemas?
 2. ¿En qué se parecen?
 3. ¿En qué se diferencian?
 4. ¿Se los puede agrupar en familias?
 5. ¿Existen técnicas de resolución ligadas a esas familias?

36. De esta ausencia se desprende que numerosos alumnos
imaginen que los problemas son siempre nuevos y que cada
vez hay que inventar soluciones nuevas. Si por azar un
problema evoca otro, tratan de recordar la manera en que lo
habían resuelto, pero ese recuerdo es vago y mezclado con
otros.
Se debe, sin dudas, a que el trabajo sobre las técnicas de
resolución de problemas de una familia de problemas no
está organizado de forma sistemática.[…]
Además, frecuentemente, cuando se introduce en un año dado
una nueva técnica para resolver un tipo de problema, las
técnicas antiguas son dejadas de lado y no se trabaja con
ellas, y terminan por desaparecer. Sin embargo, esto es una
parte integrante del trabajo de la técnica.”

37.  -El tamaño de los números y su “redondez”
 -Los tipos de magnitudes: continuas-discretas
 -El orden de presentación de las informaciones, y su
pertinencia para responder a la pregunta
 -Las formas de representación: tablas, gráficos, dibujos,
etc.
 -Contextos: extramatemáticos-
intramatemáticos
*Cuentas vs Problemas*

38. Gestión de la Clase
Modelo tradicional:
Se enseña un contenido, concepto o definición, se
resuelve un “problema tipo”, y se dan más
problemas o cuentas para afianzar o aplicar
Concepto Ejercicios
Alumno
que
aprende .
“pasivo”

39. Modelo Didáctico alternativo
 Presentar un problema, que busque llegar a una
solución original en base al conocimiento que se
quiere enseñar (sin haberlo enseñado antes).
 Surgimiento de diferentes estrategias de
resolución y reflexión sobre las mismas.
 Formalización del proceso, al culminar el proceso
(y no al inicio)

40. Cómo?
 Proponer un problema para ser resuelto solo o en
parejas.
 Comparar las estrategias con la de otros
compañeros.
 El docente selecciona aquellos procedimientos mas o
menos eficaces y realiza una puesta en común
 Los alumnos argumentan y debaten sobre las
ventajas o desventajas de cada uno de ellos.
 El docente puede proponer otros problemas y reducir
las estrategias de resolución a algunas únicamente.
 El docente puede llegar a formalizar (institucionalizar)
algún procedimiento o estrategia en particular, pero
sin descuidar, todos los saberes que aun circulan en
el aula.

41.  Generar un clima de trabajo intelectual propicio para
la producción de estrategias, para que los alumnos
tengan confianza en que podrán encontrar formas
diversas y personales para enfrentar la situación.
 Mostrar a los alumnos que un mismo problema
puede abordarse por diferentes caminos y con
variados recursos.
 Organizar la comunicación de procedimientos.
Seleccionar sólo producciones de cuatro o cinco
alumnos contemplando que haya variedad de
formas de resolución. Los alumnos comunican las
respuestas y procedimientos usados.
 Proponer la comparación de resultados y de
procedimientos explicitando la posibilidad de
apropiarse de una estrategia producida por otros.

42.  Gestionar el análisis colectivo de los errores, de
modo tal, que todos los alumnos - y no solo quienes
los han producido- analicen por qué dicho cálculo o
dicha estrategia no era viable en esta situación.
 Promover la comparación y análisis de las ventajas
de cada procedimiento.
 Plantear situaciones hipotéticas válidas o erróneas
(“otro alumno me dijo que ...¿ustedes qué piensan?)
promoviendo el debate entre los alumnos.
 Registrar en una cartelera las diferentes estrategias
para que los niños puedan reutilizarlas.
 Registrar las conclusiones a las que se ha arribado
para que los niños puedan avanzar en las formas de
resolver siguientes problemas.

43.  Mostrar la dirección y la evolución del trabajo
permite a los alumnos tomar conciencia de sus
aprendizajes. (Por ejemplo: “ya resolvimos dos o
tres problemas parecidos y muchos chicos ahora ya
no se confunden para contar los puntitos”, o bien
“qué interesante, ahora mucho de ustedes resuelven
los problemas con números y ya no precisan dibujar
como hacían antes”).
 Evocar las conclusiones y avances en clases
siguientes (por ejemplo: “ahora vamos a resolver
otro problema, pero antes vamos a recordar lo que
hicimos ayer y qué dificultades tuvimos”) con el fin
de ofrecer una nueva oportunidad para entender o
reconocer una estrategia producida por otros o el
sentido del debate ya producido.

44. ROL DEL DOCENTE
 Posee intencionalidad didáctica, en el sentido que sabe qué –cómo y para
qué enseña.
 Selecciona las actividades/problemas.
 Anticipa estrategias y elige cuáles difundir…propone otras.
 Pone nombre a los nuevos conocimientos.
 Escribe lo que los alumnos deben retener.
 Organiza la reutilización o reinversión de estrategias de resolución.
 Vuelve a enseñar si algo no se aprendió, utiliza diferentes marcos, otros
números, en diversos contextos y sentidos de un concepto.
 Exige qué se debe memorizar.
 Muestra los avances y los cambios.
 Decide en qué momentos de la clase se usa la calculadora.
 Decide cuando la tarea es individual, en parejas o colectiva.
 Gestiona el trabajo colectivo o puesta en común.

45. “Vamos a mostrar las
formas que
encontraron de
resolverlo”
“ A algunos no les dio
igual, vamos a
analizar en qué se
equivocaron”
“Anotemos esta
conclusión para que
nos sirva otro día”
“Esta propiedad se
llama así….y la vamos
a seguir estudiando”
“Probar con números
más pequeños puede
ser útil para establecer si
sirve o no”
“ A veces
conviene
hacerlo con la
calculadora”

46. Elaboración de secuencias
didácticas –Intencionalidad docente.
La intencionalidad supone que el docente prepara
un conjunto de clases alrededor de un
conocimiento que pretende que los alumnos
adquieran. Las clases se organizan en torno a la
difusión de los descubrimientos de los alumnos.
Pero la mayoría de estos descubrimientos no es
azarosa ni imprevista. Las actividades se
seleccionan con la intención de provocar la
aparición, el uso y la explicitación ulterior de las
herramientas nuevas.