2. Fonctions à valeurs complexes Chapitre 4 : Équations différentielles
Par exemple, pour la fonction f définie sur par f (t) = e i t , on a Re( f ) = cos et Im( f ) = sin.
Rappels :
– Une fonction u : I → est continue en t 0 ∈ I, lorsque lim f (t) = f (t 0 ).
t→t 0
u(t)−u(t 0 )
– Une fonction u : I → est dérivable en t 0 ∈ I, lorsque le taux d’accroissement t−t 0
admet une
limite finie en t 0 . Si c’est le cas, cette limite est notée u (t 0 ).
– Les fonctions t → |t| et t → t α avec α ∈]0; 1[ ne sont pas dérivables en 0.
2) Dérivée
DÉFINITION 4.2
Soit f : I → une fonction, soit u sa partie réelle et v sa partie imaginaire, on dit que :
– f est continue en t 0 ∈ I lorsque les fonctions u et v sont continues en t 0 .
– f est dérivable en t 0 lorsque les fonctions u et v sont dérivables en t 0 . Si c’est le cas, alors
on pose f (t 0 ) = u (t 0 ) + i v (t 0 ). On remarquera que si f est dérivable sur I, alors Re( f ) =
Re( f ) et Im( f ) = Im( f ) .
On peut vérifier que l’on a les mêmes règles de calcul de dérivation que pour les fonctions à valeurs réelles :
f f g−fg
( f + g) = f + g , ( f × g) = f g + f g , = et (avec g réelle) f ◦g = g × f ◦ g.
g g2
THÉORÈME 4.1
Soit f : I → une fonction dérivable, alors la fonction t → e f (t) est dérivable sur I et
e f (t) = f (t)e f (t)
Preuve: On pose f (t) = a(t) + i b(t) sous forme algèbrique. e f (t) = e a(t) × [cos(b(t)) + i sin(b(t))], la partie réelle
est donc g(t) = e a(t) cos(b(t)) et sa partie imaginaire est h(t) = e a(t) sin(b(t)). Ces fonctions sont dérivables sur I,
donc e f est dérivable sur I et sa dérivée est g (t) + ih (t), il suffit alors de comparer g (t) + ih (t) avec f (t)e f (t)
pour constater l’égalité.
3) Primitives
DÉFINITION 4.3
Soit F, f : I → deux fonctions, on dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable
sur I et F = f .
1
Exemple: Calculer une primitive de f (t) = 1+i t
et de g(t) = e t cos(t).
THÉORÈME 4.2
Si F et G sont deux primitives de la fonction f sur l’intervalle I, alors il existe une constante α ∈
telle que : ∀ t ∈ I, F (t) = G(t) + α.
Preuve: On a F = G = f , d’où (F − G) = 0 la fonction nulle, donc Re(F − G) = Im(F − G) = 0 sur I, ce qui entraîne
que les fonctions Re(F − G) et Im(F − G) sont constantes sur l’intervalle I. Il existe donc a et b deux réels tels que
∀ t ∈ I, Re(F (t) − G(t)) = a et Im(F (t) − G(t)) = b, on en déduit que ∀ t ∈ I, F (t) = G(t) + α avec α = a + i b.
Dans le chapitre sur l’intégration nous établirons que toute fonction continue sur un intervalle admet
des primitives sur cet intervalle. Si U désigne une primitive sur I de la fonction u : I → et V une primitive
de v : I → , avec u et v continues, alors la fonction U + iV est une primitve de la fonction complexe u + i v.
Dans la suite, le corps désigne ou .
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3. Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 4 : Équations différentielles
II) Équations différentielles linéaires du premier ordre
Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction y : I → intervenant
sous forme dérivée (première ou supérieure). On rencontre ce genre d’équations en mécanique (lois de
Newton), en électricité (circuits RLC), ... etc.
1) Définitions
DÉFINITION 4.4
Une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre 1 est une équation différentielle de la forme :
(E) : a(t) y (t) + b(t) y(t) = c(t) (notée plus simplement : a(t) y + b(t) y = c)
où a, b, c : I → sont trois fonctions définies continues sur un intervalle I de et y : I → une
fonction dérivable inconnue. On suppose de plus que la fonction a n’est pas la fonction nulle. On
appelle équation homogène associée à (E) l’équation différentielle :
(H) : a(t) y + b(t) y = 0.
La fonction c est souvent appelée second membre de l’équation (E).
Dans la pratique on a souvent en plus une condition sur la fonction inconnue y du type : y(t 0 ) = α
où t 0 et α sont des données. Cette condition est appelée condition initiale, et on appelle problème de
Cauchy 1 le système :
a(t) y + b(t) y = c(t)
.
y(t 0 ) = α
Exemple: L’équation différentielle : y − y = 0 avec y(0) = 1 est utilisée en terminale pour introduire l’exponentielle.
2) Étude de l’équation homogène
THÉORÈME 4.3
Soit S I (H) l’ensemble des solutions sur I de l’équation homogène (H), alors on a les propriétés :
– 0 ∈ S I (H) (fonction nulle).
– ∀ f , g ∈ S I (H), f + g ∈ S I (H).
– ∀ α ∈ , ∀ f ∈ S I (H), α f ∈ S I (H).
Preuve: Celle - ci est simple et laissée en exercice.
Résolution de (H) : on se place sur un intervalle I où la fonction a ne s’annule pas, on a alors ∀ t ∈
b b
I, y = − a y. Soit F une primitive de la fonction − a sur I, on a alors :
d
y ∈ S I (H) ⇐⇒ y = F y ⇐⇒ y e−F = 0 ⇐⇒ ∃ λ ∈ , ∀ t ∈ I, y(t) = λe F (t) .
dt
On peut donc énoncer :
THÉORÈME 4.4
Lorsque la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I alors les solutions de (H) sont les fonctions :
y : t → λe F (t) ,
b
où F désigne une primitive de la fonction − a sur I, et λ un élément quelconque de .
1. CAUCHY Augustin-Louis (1789 – 1857) : un des plus grands mathématiciens français.
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4. Équations différentielles linéaires du premier ordre Chapitre 4 : Équations différentielles
Conséquences : si la fonction a ne s’annule pas sur I :
– Le problème de Cauchy pour l’équation (H) a une unique solution. Car la condition initiale détermine
complètement la constante λ.
– L’unique solution sur I qui s’annule en un point donné est la fonction nulle. Par conséquent toutes les
autres solutions ne s’annulent jamais sur I, lorsque = elles ont toutes un signe constant (car elles
sont continues).
Exemples:
– y + ω y = 0 où ω ∈ est une constante : les solutions sont les fonctions définies sur par y(t) = λe−ωt avec
λ ∈ quelconque.
– t y = y sur : on se place d’abord sur I =]0; +∞[, sur cet intervalle on a y = 1 y d’où y(t) = αt (α ∈
t
quelconque). Puis on se place sur J =] − ∞; 0[, sur cet intervalle on a encore y = 1 y d’où y(t) = λ|t| = β t
t
(β = −λ ∈ quelconque). Soit maintenant y une solution sur , alors y est en particulier solution sur I donc
il existe α tel que ∀ t > 0, y(t) = αt, de même y est solution sur J, donc il existe β tel que ∀t < 0, y(t) = β t,
mais y doit être dérivable en 0, ce qui entraîne α = β, finalement ∀ ∈ , y(t) = αt. On vérifie pour terminer
que cette fonction est bien solution.
3) Étude de l’équation avec second membre
On revient au cas général : (E) : a(t) y + b(t) y = c(t).
THÉORÈME 4.5
Si l’ensemble des solutions de (E) n’est pas vide, et si y1 est une solution de (E), alors les solutions
de (E) sont les fonctions s’écrivant comme somme de y1 avec une solution de (H), c’est à dire les
fonctions de la forme : y : t → y1 (t) + yH (t) avec yH solution quelconque de (H).
Preuve: Soit y une solution de (E), posons f = y − y1 , alors a f + b f = a y − a y1 + b y − b y1 = c − c = 0 donc
f ∈ S I (H). Réciproquement, soit f ∈ S I (H) et soit y = y1 + f , alors a y + b y = a y1 + a f + b y1 + b f = 0 + c = c,
donc y ∈ S I (E).
Pour déterminer toutes les solutions de (E) on est donc ramené à résoudre l’équation homogène puis à
trouver une solution particulière de (E).
Recherche d’une solution particulière : on se place de nouveau sur un intervalle I où la fonction a ne
s’annule pas et on applique la méthode de la variation des constantes :
b
Soit F une primitive de − a sur I, on cherche une solution particulière sous la forme y = λe F où λ est
une fonction dérivable sur I. La fonction y est solution de (E) ssi a[λ e F + λF e F ] + bλe F = c, ce qui
c
équivaut à aλ e F + λ[aF e F + be F ] = c ou encore λ = a e−F , car e F est solution de (H). Comme la fonction
c −F
a
e est continue sur I, elle admet des primitives sur cet intervalle, ce qui prouve l’existence de λ. Une
solution de (E) est donc :
t t
c(s) −F (s)
b(s)
F
y1 = λe avec λ(t) = e ds et F (t) = − ds,
t0
a(s) t0
a(s)
et les solutions de (E) sont les fonctions :
y = y1 + αe F avec α ∈ quelconque [et y(t 0 ) = α].
Lorsque la fonction a ne s’annule pas sur l’intervalle I le problème de Cauchy a une unique solution.
Exemples:
λ
– t y + y = sin(t) sur : sur l’intervalle I =]0; +∞[ les solutions de (H) sont les fonctions y = t
avec λ ∈
λ
quelconque. On cherche une solution particulière de la forme y = t
avec λ dérivable sur I ce qui donne
cos(t)
λ = sin(t), une solution particulière est donc y1 = − t
, et les solutions de (E) sur I sont les fonctions
λ−cos(t)
y= avec λ ∈ quelconque. On se place ensuite sur l’intervalle J =] − ∞; 0[ où le raisonnement est le
t
même. On vérifie ensuite que la seule solution sur est la fonction :
1 − cos(t) 1
y:t→ avec y(0) = 0 et y (0) = .
t 2
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5. Équations différentielles linéaires du second ordre Chapitre 4 : Équations différentielles
– cos(t) y − sin(t) y = t 2 sur I =] − π ; π [ : les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y =
2 2
λ
cos(t)
λ
avec λ ∈ quelconque. On cherche une solution particulière sous la forme y = cos(t)
avec λ dérivable sur I, ce
3
t
qui donne λ = t 2 . On peut donc prendre comme solution particulière y1 = 3 cos(t)
, et les solutions de (E) sont
les fonctions :
λ + t3
y:t→ avec λ ∈ .
3 cos(t)
Résoudre de telles équations différentielles revient donc à calculer des intégrales, d’où les expressions
que l’on rencontre parfois comme : « intégrer une équation différentielle », ou « solution intégrale d’une
équation différentielle ».
III) Équations différentielles linéaires du second ordre
On s’intéressera uniquement au cas où les coefficients sont des constantes, c’est à dire aux équations
différentielles de la forme : y + a y + b y = f où a, b ∈ et : I → une fonction continue (second
f
y + ay + by = f
membre). Pour de telles équations, le problème de Cauchy est : y(t 0 ) = α , où t 0 , α et β sont
y (t 0 ) = β
des données.
1) Étude de l’équation homogène
THÉORÈME 4.6
Soit S(H) l’ensemble des solutions de l’équation homogène sur : y + a y + b y = 0, il existe deux
fonctions φ1 , φ2 solutions de (H) telles que : S(H) = {αφ1 + βφ2 /α, β ∈ }.
Preuve: On cherche les solutions de la forme y = eλt avec λ ∈ , on obtient alors y ∈ S(H) ⇐⇒ λ2 + aλ + b = 0, λ
doit donc être solution de l’équation x 2 + a x + b = 0, que l’on appelle équation caractéristique de (H). Il faut donc
distinguer plusieurs cas :
– = :
– Si ∆ = a2 − 4b = 0 : il y a deux solutions distinctes à l’équation caractéristique : λ1 et λ2 . On pose
φ1 (t) = eλ1 t et φ2 (t) = eλ2 t . Pour α, β ∈ , il est facile de vérifier que αφ1 + βφ2 est solution de (H).
y
Réciproquement, soit y ∈ S(H), posons z = φ , on a alors y = zφ1 , en remplaçant dans l’équation on obtient
1
z + (2λ1 + a)z = 0, d’où z (t) = γe−(2λ1 +a)t = γe(λ2 −λ1 )t , on en déduit que z(t) = β e(λ2 −λ1 )t + α, et donc
y(t) = αeλ1 t + β eλ2 t , soit y = αφ1 + βφ2 avec α, β ∈ .
– Si ∆ = a2 − 4b = 0 : alors il y a une solution double à l’équation caractéristique : λ. Posons φ1 (t) = eλt et
y
z = φ i.e. y = zφ1 . Le calcul précédent montre que y ∈ S(H) ⇐⇒ z = 0 c’est à dire il existe α, β ∈ tels
1
que z(t) = β t + α, ce qui donne y(t) = αφ1 (t) + βφ2 (t) en posant φ2 (t) = tφ1 (t) = t eλt .
– = (a, b ∈ ) : la démarche est la même, on cherche les solutions de l’équation caractéristique, d’où la
discussion :
– Si ∆ > 0 : deux racines distinctes λ1 et λ2 , comme dans le cas complexe, on montre que S(H) = {αφ1 +
βφ2 /α, β ∈ } avec φ1 (t) = eλ1 t et φ2 (t) = eλ2 t .
– Si ∆ = 0 : une racine double λ, comme dans le cas complexe, on montre que S(H) = {αφ1 + βφ2 /α, β ∈ }
avec φ1 (t) = eλt et φ2 (t) = t eλt .
– Si ∆ < 0 : deux racines complexes non réelles conjuguées λ = r + iω et λ. Les solutions complexes de (H)
sont les fonctions y(t) = αeλt +β eλt avec α, β ∈ , une telle solution est réelle ssi y(t) = y(t) = αeλt +β eλt ,
ce qui équivaut à α = β. Les solutions réelles sont donc les fonctions y(t) = αeλt + αeλt = 2Re(αeλt ) =
e r t [u cos(ωt) + v sin(ωt)], avec u = Re(α)/2 et v = −Im(α)/2 réels quelconques (car α est un complexe
quelconque). On a encore que les solutions de (H) sont les fonctions y = uφ1 + vφ2 avec u, v ∈ et
φ1 (t) = e r t cos(ωt) et φ2 (t) = e r t sin(ωt).
À retenir : solutions de l’équation homogène : soit x 2 + a x + b = 0 l’équation caractéristique et ∆ = a2 − 4b
son discriminant :
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6. Équations différentielles linéaires du second ordre Chapitre 4 : Équations différentielles
– Si = :
– Si ∆ = 0, l’équation caractéristique à deux solutions distinctes : λ1 et λ2 , on peut prendre alors
φ1 : t → eλ1 t et φ2 : t → eλ2 t . Les solutions sont les fonctions :
t → αeλ1 t + β eλ2 t avec α, β ∈
– Si ∆ = 0, l’équation caractéristique à une solution double : λ1 = λ2 , on peut prendre alors
φ1 : t → eλ1 t et φ2 : t → t eλ1 t . Les solutions sont les fonctions :
t → (α + β t)eλ1 t avec α, β ∈
– Si = :
– Si ∆ > 0, l’équation caractéristique à deux solutions distinctes : λ1 et λ2 , on peut prendre alors
φ1 : t → eλ1 t et φ2 : t → eλ2 t . Les solutions sont les fonctions :
t → αeλ1 t + β eλ2 t avec α, β ∈
– Si ∆ = 0, l’équation caractéristique à une solution double : λ1 = λ2 , on peut prendre alors
φ1 : t → eλ1 t et φ2 : t → t eλ1 t . Les solutions sont les fonctions
t → (α + β t)eλ1 t avec α, β ∈
– Si ∆ < 0, l’équation caractéristique possède deux solutions complexes non réelles et conjuguées : λ
et λ, en posant λ = r + iω (forme algébrique), on peut prendre alors φ1 : t → cos(ωt)e r t et φ2 :
t → sin(ωt)e r t . Les solutions sont les fonctions :
t → (α cos(ωt) + β sin(ωt))e r t avec α, β ∈
THÉORÈME 4.7
Soient a, b ∈ , les solutions réelles de l’équation y + a y + b y = 0 sont les parties réelles des
solutions complexes.
Preuve: Celle-ci est simple et laissée en exercice.
2) Étude de l’équation avec second membre
THÉORÈME 4.8
Si f : I → est une fonction continue, alors l’équation (E) : y + a y + b y = f admet des solutions
sur I. Si y1 est une solution de (E), alors S I (E) = y1 + S I (H). De plus, le problème de Cauchy a une
unique solution.
Preuve: L’existence dans le cas général d’une solution particulière est admise. Soit y1 une solution de (E), soit
g ∈ S I (H), il est facile de vérifier que y1 + g est solution de (E), réciproquement, si g est solution de (E), il est
facile de vérifier que g − y1 est solution de (H). Les solutions au problème de Cauchy sont les fonctions de la forme
y = y1 + αφ1 + βφ2 vérifiant y(t 0 ) = c1 et y (t 0 ) = c2 . Ce qui donne le système :
αφ1 (t 0 ) + βφ2 (t 0 ) = c1 − y1 (t 0 )
.
αφ1 (t 0 ) + βφ2 (t 0 ) = c2 − y1 (t 0 )
Lorsque φ1 (t) = eλ1 t et φ2 (t) = eλ2 t avec λ1 et λ2 les racines distinctes de l’équation caractéristique, le déterminant du
système est D = (λ2 −λ1 )e(λ1 +λ2 )t 0 = 0. Lorsque les deux racines sont confondues, alors φ1 (t) = eλt et φ2 (t) = tφ1 (t),
dans ce cas, le déterminant du système est D = e2λt 0 = 0, dans les deux cas, le système a une unique solution.
Dans le cas réel avec ∆ < 0, l’unique solution complexe au problème de Cauchy est une solution réelle.
Dans la suite on s’intéressera seulement au cas où le second membre est de la forme f (t) = P(t)eλt où
P est une fonction polynomiale à coefficients dans , et λ ∈ .
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7. Compléments Chapitre 4 : Équations différentielles
THÉORÈME 4.9
L’équation y + a y + b y = P(t)eλt admet une solution particulière de la forme y(t) = Q(t)eλt où
Q est une fonction polynomiale.
Preuve: On pose y(t) = Q(t)eλt , y est solution de l’équation ssi Q (t) + (2λ + a)Q (t) + (λ2 + aλ + b)Q(t) = P(t),
d’où la discussion :
– Si λ n’est pas racine de l’équation caractéristique : les théorèmes de l’algèbre linéaire permettent d’affirmer que
l’application φ : [X ] → [X ] définie par φ(Q) = Q + (2λ + a)Q + (λ2 + aλ + b)Q est un automorphisme,
et donc il existe un unique polynôme Q (de même degré que P) tel que φ(Q) = P.
– Si λ est solution de l’équation caractéristique : l’application φ : [X ] → [X ] définie par φ(Q) = Q + (2λ +
a)Q est surjective (mais non injective), il existe donc au moins un polynôme Q tel que φ(Q) = P (avec
deg(Q) = deg(P) + 1 si 2λ + a = 0, et deg(Q) = deg(P) + 2 sinon).
Exemples:
– y + ω2 y = t 2 + 1 avec ω ∈ ∗ , ici λ = 0, cherchons une solution particulière de la forme y1 = Q (polynôme),
on obtient en remplaçant : Q + ω2Q = t 2 + 1, on cherche donc Q sous la forme Q(t) = at 2 + bt + c, ce qui
donne par identification : a = ω2 , b = 0, et c = ωω−2 . Les solutions réelles de l’équation homogène sont les
2
1
4
fonctions y(t) = α cos(ωt) + β sin(ωt), (α, β ∈ ), et les solutions de l’équation sont donc les fonctions :
t2 ω2 − 2
y(t) = + + α cos(ωt) + β sin(ωt).
ω2 ω4
– Lorsque le second membre est de la forme :
n
f (t) = Pi (t)eλi t ,
i=1
on cherche une solution particulière yi à l’équation y + a y + b y = Pi (t)eλi t pour i allant de 1 à n, la fonction
y = y1 + · · · + yn est une solution particulière de y + b y + c y = f , c’est le principe de superposition.
– y − 4 y + 4 y = 3(1 + sin(t) + e2t ) sur : l’équation caractéristique est x 2 − 4x + 4 = 0 = (x − 2)2 , il y a une
solution double 2, les solutions de l’équation homogène sont les fonctions y(t) = (α + β t)e2t . Cherchons une
solution particulière en prenant comme second membre :
3
– f1 (t) = 3 : il y a une solution particulière constante y1 (t) = 4 .
– f2 (t) = 3e : on chercher une solution particulière de la forme y = Q(t)e2t , ce qui donne Q (t) = 3 et donc
2t
3
on peut prendre y2 (t) = 2 t 2 e2t .
– f3 (t) = 3 sin(t) : on prend en fait f3 (t) = 3e i t puis on prendra la partie imaginaire d’une solution particulière.
On cherche y sous la forme y(t) = Q(t)e i t ce qui donne Q (t) + (2i − 4)Q (t) + (3 − 4i)Q(t) = 3, d’où
Q(t) = 3−4i = 3 3+4i . Une solution particulière est donc y3 (t) = Im(3 3+4i e i t ) = 25 sin(t) + 12 cos(t). Les
3
25 25
9
25
solutions sont donc les fonctions :
3 9 12 3
y(t) = + sin(t) + cos(t) + (α + β t + t 2 )e2t .
4 25 25 2
IV) Compléments
1) Équations à variables séparées
DÉFINITION 4.5
Une équation différentielle à variables séparées est une équation de la forme : y b( y) = a(t) où a, b
sont deux fonctions continues données.
Méthode de résolution : Si a est continue sur un intervalle I et b sur un intervalle J, on peut considérer
d
une primitive A de a sur I et une primitive B de b sur J, dans ce cas l’équation équivaut à : d t [B( y)] = A (t),
et donc B( y) = A(t) + λ où λ désigne une constante. On regarde ensuite si la fonction B est localement ou
globalement bijective, auquel cas on pourra écrire y(t) = B −1 (A(t) + λ).
Exemple: t 3 y + y 3 = 0 avec y(1) = −1, y ne doit pas être constamment nulle, si une telle solution existe, il doit
exister un intervalle I sur lequel y ne s’annule pas, un tel intervalle ne peut pas contenir 0 et sur I l’équation est
y
équivalente à : y 3 = −1 , c’est une équation à variable séparée. Elle est équivalente à : − y 2 = t12 + λ, ce qui donne
t3
1
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8. Compléments Chapitre 4 : Équations différentielles
2
t
y 2 = − 1+λt 2 , on voit que la condition initiale donne la constante λ = −2. Comme y ne s’annule pas sur I, y garde un
t2 1
signe constant et donc ∀ t ∈ I, y(t) = − 2t 2 −1
. Cette solution est définie sur l’intervalle ] 2
; +∞[.
2) Équation de Bernoulli
DÉFINITION 4.6
Une équation de Bernoulli 2 est une équation différentielle de la forme y = a(t) y λ + b(t) y où a et b
sont deux fonctions continues sur un intervalle I, et λ ∈ ∗ {1}.
Méthode de résolution : La fonction nulle est solution. S’il existe une solution y non constamment nulle,
alors il doit exister un intervalle J sur lequel y ne s’annule pas, sur un tel intervalle y est de signe constant,
on peut donc faire le changement de fonction y = z α avec = ±1 suivant le signe de y, l’équation devient
alors : αz = b(t)z + a(t)z α(λ−1)+1 , en prenant α = 1−λ , on a une équation différentielle linéaire du premier
1
ordre, on sait donc la résoudre.
1
Exemple: t 2 y + y + y 2 = 0 avec y(1) = 1 : y est une solution non constamment nulle, on pose z = y
ce qui donne :
1 1 −1
z = t2
z + t2
. Les solutions de l’équation homogène sont les fonctions z(t) = λe t et une solution particulière est
−1
z1 (t) = −1, les solutions générales sont donc les fonctions z(t) = −1 + λe t , la condition initiale donne λ = 2e d’où
y(t) = 1−11 . Cette solution est définie sur l’intervalle ] 1+ln(2) ; +∞[.
1
2e t −1
3) Méthode d’Euler
On ne dispose pas de méthode générale pour résoudre n’importe quelle équation différentielle.
Même pour des équations différentielles linéaires il se peut que les solutions ne s’expriment pas à l’aide
2 2
des fonctions usuelles, par exemple : y = e−t y ⇐⇒ y : t → λe F (t) avec F une primitive de t → e−t , on
sait qu’une telle primitive existe sur mais on peut démontrer qu’il est impossible de l’exprimer avec les
fonctions usuelles.
Pour des applications numériques (par exemple dans les sciences appliquées), la formule qui donne les
solutions n’est donc pas toujours satisfaisante. On a alors imaginé des méthodes de calculs approchés des
solutions d’équations différentielles, la plus simple d’entre elles étant la méthode d’Euler :
Considérons l’équation différentielle y (t) = f (t, y(t)) où f est une fonction de deux variables. On
cherche une solution approchée vérifiant la condition initiale y(t 0 ) = α. On considère un nombre h assez
proche de 0 (par exemple h = 10−6 ), ce nombre est appelé le pas de la méthode, puis on construit deux
suites (t n ) et ( yn ) où yn est censé être une valeur approchée de y(t n ), dans la méthode d’Euler on pose :
t n+1 = tn + h
y0 = α, et ∀n ∈ ,
yn+1 = yn + h × f (t n , yn )
On peut ensuite représenter dans un repère les points de coordonnées (t n , yn ) ce qui donnera une
approximation de la courbe représentative de la solution y.
Cette méthode repose sur le principe suivant : lorsque h est proche de 0, on peut approcher la fonction y
sur l’intervalle [t n , t n +h] par la tangente à C y au point d’abscisse t n , c’est à dire y(t) ≈ y (t n )[t−t n ]+ y(t n ).
Par conséquent y(t n + h) ≈ y(t n ) + h × y (t n ), or y(t n ) est approché par yn et y (t n ) = f (t n , y(t n ))
donc y (t n ) peut être approché par f (t n , yn ) et finalement y(t n+1 ) ≈ yn + h × f (t n , yn ) on pose donc
yn+1 = yn + h × f (t n , yn ) et c’est une valeur approchée de y(t n+1 ).
La théorie montre que sous certaines hypothèses il existe une constante K telle que :
| yn − y(t n )| K × |h|
2. BERNOULLI Jakob (1654 – 1705) : c’est le plus illustre d’une grande famille de mathématiciens suisses.
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9. Primitives Chapitre 4 : Équations différentielles
pas h = 0.4 x n+1 = x n + 0.4
10 y = f (x, y) = y
ecart max =2.012 y n+1 = y n + 0.4 f (x n , y n ) x0 = 0 y 0 = 1
xn yn
9
0 1
0.4 1.4
0.8 1.96 8
1.2 2.744 y6
1.6 3.842
7
2 5.378
2.4 7.53
2.8 10.541 6
3.2 14.758 y5
5
y4 4
3
y3
y2 2
y1
y0 1
0
x x1 x2 x3 x4 x5 x6
−1 00 1 2
FIGURE 4.1: Méthode d’Euler
V) Primitives
Le théorème clé que nous établirons dans le chapitre sur l’intégration dit la chose suivante : toute
fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle.
1) Intégrale
Si f : I → est une fonction continue sur l’intervalle I, si a et b sont deux éléments de I et si F désigne
b
b
une primitive de f sur I alors l’intégrale de f de a à b est : f (t) d t = [F (t)]a = F (b) − F (a).
a
On rappelle les propriétés :
a b a
a) f (t) d t = − f (t) d t et f (t) d t = 0.
b a a
a b b
b) [α f (t) + β g(t)] d t = α f (t) d t + β g(t) d t, c’est la linéarité de l’intégrale.
b a a
b
c) Si 0 f sur [a; b] (avec a b), alors 0 f (t) d t, c’est la positivité de l’intégrale. On en déduit
a
b b
que si f g sur [a; b] (avec a b) alors f (t) d t g(t) d t.
a a
b c b
d) Si a, b, c sont dans I, alors f (t) d t = f (t) d t + f (t) d t, c’est la relation de Chasles pour
a a c
l’intégrale.
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10. Primitives Chapitre 4 : Équations différentielles
b b
e) Si a b: f (t) d t | f (t)| d t, c’est la majoration en valeur absolue de l’intégrale.
a a
f) Si f et g sont dérivables sur I avec leur dérivée continue, alors on a la formule d’intégration par
b b
b
parties (IPP) : f (t)g(t) d t = f (t)g(t) a − f (t)g (t) d t.
a a
2) Primitives usuelles
Fonction Primitive
α+1
u uα u
α+1
si α = −1, ln(|u|) sinon
u eu eu
u cos(u) sin(u)
u sin(u) − cos(u)
u
u (1 + t an2 (u)) = cos2 (u)
tan(u)
u ch(u) sh(u)
u sh(u) ch(u)
u
u (1 − th2 (u)) = ch2 (u)
th(u)
u tan(u) − ln(| cos(u)|)
u tan(u)2 tan(u) − u
u
1+u2
arctan(u)
u
arcsin(u)
1−u2
u
argsh(u)
1+u2
u
argch(u)
u2 −1
u 1+u
1−u2
ln( 1−u
) [= argth(u) si |u| < 1]
3) Calculs de primitives
Il découle de ce qui précède que si F est une primitive de f sur l’intervalle I, alors pour tous réels x et
a de I, on a :
x
F (x) = F (a) + f (t) d t
a
x
En particulier la fonction x → f (t) d t est l’unique primitive de f sur I qui s’annule pour x = a.
a
Ainsi, calculer une intégrale peut permettre de trouver des primitives.
Les deux outils fondamentaux pour le calcul d’intégrales, sont : le théorème de l’intégration par parties
(rappelé plus haut), et le théorème du changement de variable dont voici l’énoncé :
Soit f : I → une fonction continue, u : [a; b] → I une fonction dérivable à dérivée continue, on a :
b u(b)
f (u(t))u (t) d t = f (x)d x
a u(a)
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11. Annexe : espaces vectoriels Chapitre 4 : Équations différentielles
Dans la pratique on rédige ainsi :
posons x = u(t) alors d x = u (t) d’où d x = u (t)d t et f (u(t)) = f (x). Pour les bornes : lorsque
dt
t = a on a x = u(a) et pour t = b on a x = u(b), puis on remplace dans l’intégrale, ce qui donne :
b u(b)
f (u(t))u (t) d t = f (x)d x
a u(a)
1
Exemple : calculer 1 − x 2 d x. On pose x = sin(t) avec t ∈ [0; π ], alors d x = cos(t)d t, pour t = 0
2
0
π
on a x = 0 et pour t = 2
on a x = 1, d’où :
1 π/2
1 − x2 d x = 1 − sin2 (t) cos(t) d t
0 0
π/2
= cos2 (t) d t
0
π/2
1 + cos(2t)
= dt
0
2
π/2
t sin(2t)
= +
2 4 0
π
=
4
Exemple : calculer une primitive de la fonction ln sur ]0; +∞[. Une primitive est (par exemple)
x
x→ ln(t) d t pour x > 0, cette intégrale se calcule par parties en posant f (t) = 1 et g(t) = ln(t) :
1
x x
x
ln(t) d t = [t ln(t)]1 − 1dt
1 1
= x ln(x) − (x − 1) = x ln(x) − x − 1
donc une primitive de la fonction ln sur ]0; +∞[ est la fonction x → x ln(x) − x (on peut évidemment
ajouter n’importe quelle constante).
VI) Annexe : espaces vectoriels
Soit un corps (dans la pratique = , ou ), et soit E un ensemble. On dit que E est un - espace
vectoriel (ou -e.v.) lorsque E possède une addition et un produit par les scalaires (loi de composition
×E → E
externe, notée « . », c’est une application : ), avec les propriétés suivantes :
(λ, x) → λ.x
−→
– (E, +) est un groupe abélien (l’élément neutre est noté 0 E ou 0 E et appelé vecteur nul de E).
– La loi . (ou produit par les scalaires) doit vérifier : ∀ λ, µ ∈ , ∀ x, y ∈ E :
– 1.x = x
– λ.(x + y) = λ.x + λ. y
– (λ + µ).x = λ.x + µ.x
– λ.(µ.x) = (λµ).x
Si ces propriétés sont vérifiées, on dit que (E, +, .) est un - e.v., les éléments de sont appelés les
scalaires, et les éléments de E sont appelés vecteurs (parfois notés avec une flèche).
Exemples:
– Un corps est un -e.v..
– est un -e.v., est un -e.v., est un -e.v. Plus généralement si est corps inclus dans un autre corps ,
alors est un -e.v..
– L’ensemble n muni des opérations suivantes :
(x 1 , . . . , x n ) + ( y1 , . . . , yn ) = (x 1 + y1 , . . . , x n + yn ) et λ.(x 1 , . . . , x n ) = (λx 1 , . . . , λx n ),
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12. Exercices Chapitre 4 : Équations différentielles
est un -e.v., le vecteur nul est le n-uplet : (0, . . . , 0).
– Si I est un ensemble non vide et E un -e.v., alors l’ensemble des applications de I vers E : (I, E), pour les
opérations usuelles (addition de deux fonctions et produit par un scalaire) est un -e.v., le vecteur nul étant
l’application nulle.
– D’après le cours sur les équations différentielles, l’ensemble des solutions d’une équation différentielle linéaire
d’ordre 1 ou 2 eest un -espace vectoriel.
THÉORÈME 4.10 (Règles de calculs)
Soient E un -e.v.
→
x → −
x
→ −→ − →
– ∀ − ∈ E, 0.− = 0 , et ∀ λ ∈ , λ. 0 = 0 .
– ∀ − ∈ E, ∀ λ ∈ , −(λ.− ) = (−λ).− = λ.(−− ).
→
x →
x →
x →
x
− ∈ E, ∀ λ ∈ , λ.− = 0 =⇒ λ = 0 ou − = − .
– ∀ x→ →
x
−→ → →
x 0
x x x →
x → −
x
→ → −
x
→
Preuve: Pour le premier point : 1.− = (1 + 0).− = 1.− + 0.− , donc 0.− = 0 . De même, λ.(− + 0 ) = λ.− =
→ → → →
x
−
→ −→ −
− + λ. 0 , donc λ. 0 = 0 .
→ →
λ. x
x → −
x
→
Pour le second point : (λ+(−λ)).− = 0.− = 0 , or (λ+(−λ)).− = λ.− +(−λ).− et donc (−λ).− = −(λ.− ).
→ →
x →x →
x →
x →
x
→ → −→
− + (−− )) = 0 , ce qui entraîne λ.(−− ) = −(λ.− ).
→ →
De même λ.( x x x x
→ − → −
→ → − →
Pour le troisième point : si λ.− = 0 , supposons λ = 0, λ−1 (λ.− ) = 0 = 1.− et donc − = 0 .
x →
x →
x x
VII) Exercices
Exercice 4.1
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) |x| y + (x − 1) y = x 2
b) y sin(x) − 2 y cos(x) = 1 + cos(x)2
c) x 3 y − (3x 2 + 2) y = x 3
d) x(x − 1) y + 2 y = x
e) x y − (x + 1) y + e x (1 + x 2 ) = 0
f) (1 − x 2 ) y − 2x y = x 2
Exercice 4.2
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) y − y − 6 y = e−x
b) y − y − 6 y = 10e3x + x e−2x
c) y + y = 2(cos(x) − sin(x))
d) y + 4 y + 4 y = sin(x)e−2x
e) y − 2 y + 2 y = 2(cos(x) − sin(x))e x
f) y − 2 y + y = sh(x) + e x cos(x)
Exercice 4.3
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a) 2x y y = x 2 + y 2 avec y(1) = −2
2
b) y = y +1
c) y = x e− y
1
d) y = x(1 − y 2 ) avec y(0) = 2
e) y = x y 2 + y avec y(0) = 1
f) 2x 2 y + y 2 = 1 avec y(1) = 2 (z = y − 1)
g) x 2 y + x y + y = ln(x), poser g(x) = y(e x ).
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13. Exercices Chapitre 4 : Équations différentielles
Exercice 4.4
1
Soit f :]0; +∞[→ une fonction dérivable telle que ∀ x > 0, f ( 4x ) = f (x).
a) Montrer que f est deux fois dérivable.
b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle d’ordre 2.
c) On pose pour t ∈ , g(t) = f (e t ), montrer que g est solution d’une équation différentielle.
Résoudre cette équation et en déduire f .
Exercice 4.5
On considère l’équation différentielle (E) : 4x y + 2 y − y = 0.
a) En posant pour t ∈ , g(t) = y(t 2 ), résoudre l’équation (E) sur ]0; +∞[.
b) En faisant une démarche analogue, résoudre (E) sur ] − ∞; 0[.
Exercice 4.6
Soit f : → une fonction dérivable telle que ∀x ∈ , f (1 − x) = f (x).
a) Montrer que f est deux fois dérivable.
b) Montrer que f est solution d’une équation différentielle d’ordre 2.
c) En déduire f . Quelles sont les solutions réelles ?
Exercice 4.7
Une masse ponctuelle de 1kg est lancée le long d’un axe vertical (O, − ) avec une vitesse initiale
→
ı
−
→ − , et en partant de l’origine O à l’instant t = 0. Écrire l’équation différentielle qui régit le
→
V 0 = v0 ı
−→
−
mouvement et la résoudre dans les cas suivants (on posera OM = x(t)− ) : →
ı
a) On néglige la résistance de l’air, seule la gravitation agit.
−
→ −
→
b) La résistance de l’air oppose une force R = −k V où k est une constante strictement positive,
−
→
et V le vecteur vitesse.
−
→
c) La résistance de l’air oppose une force R = −kV 2 − où k est une constante strictement
→
ı
positive, et V 2 la norme au carré du vecteur vitesse.
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![Fonctions à valeurs complexes Chapitre 4 : Équations différentielles
Par exemple, pour la fonction f définie sur par f (t) = e i t , on a Re( f ) = cos et Im( f ) = sin.
Rappels :
– Une fonction u : I → est continue en t 0 ∈ I, lorsque lim f (t) = f (t 0 ).
t→t 0
u(t)−u(t 0 )
– Une fonction u : I → est dérivable en t 0 ∈ I, lorsque le taux d’accroissement t−t 0
admet une
limite finie en t 0 . Si c’est le cas, cette limite est notée u (t 0 ).
– Les fonctions t → |t| et t → t α avec α ∈]0; 1[ ne sont pas dérivables en 0.
2) Dérivée
DÉFINITION 4.2
Soit f : I → une fonction, soit u sa partie réelle et v sa partie imaginaire, on dit que :
– f est continue en t 0 ∈ I lorsque les fonctions u et v sont continues en t 0 .
– f est dérivable en t 0 lorsque les fonctions u et v sont dérivables en t 0 . Si c’est le cas, alors
on pose f (t 0 ) = u (t 0 ) + i v (t 0 ). On remarquera que si f est dérivable sur I, alors Re( f ) =
Re( f ) et Im( f ) = Im( f ) .
On peut vérifier que l’on a les mêmes règles de calcul de dérivation que pour les fonctions à valeurs réelles :
f f g−fg
( f + g) = f + g , ( f × g) = f g + f g , = et (avec g réelle) f ◦g = g × f ◦ g.
g g2
THÉORÈME 4.1
Soit f : I → une fonction dérivable, alors la fonction t → e f (t) est dérivable sur I et
e f (t) = f (t)e f (t)
Preuve: On pose f (t) = a(t) + i b(t) sous forme algèbrique. e f (t) = e a(t) × [cos(b(t)) + i sin(b(t))], la partie réelle
est donc g(t) = e a(t) cos(b(t)) et sa partie imaginaire est h(t) = e a(t) sin(b(t)). Ces fonctions sont dérivables sur I,
donc e f est dérivable sur I et sa dérivée est g (t) + ih (t), il suffit alors de comparer g (t) + ih (t) avec f (t)e f (t)
pour constater l’égalité.
3) Primitives
DÉFINITION 4.3
Soit F, f : I → deux fonctions, on dit que F est une primitive de f sur I lorsque F est dérivable
sur I et F = f .
1
Exemple: Calculer une primitive de f (t) = 1+i t
et de g(t) = e t cos(t).
THÉORÈME 4.2
Si F et G sont deux primitives de la fonction f sur l’intervalle I, alors il existe une constante α ∈
telle que : ∀ t ∈ I, F (t) = G(t) + α.
Preuve: On a F = G = f , d’où (F − G) = 0 la fonction nulle, donc Re(F − G) = Im(F − G) = 0 sur I, ce qui entraîne
que les fonctions Re(F − G) et Im(F − G) sont constantes sur l’intervalle I. Il existe donc a et b deux réels tels que
∀ t ∈ I, Re(F (t) − G(t)) = a et Im(F (t) − G(t)) = b, on en déduit que ∀ t ∈ I, F (t) = G(t) + α avec α = a + i b.
Dans le chapitre sur l’intégration nous établirons que toute fonction continue sur un intervalle admet
des primitives sur cet intervalle. Si U désigne une primitive sur I de la fonction u : I → et V une primitive
de v : I → , avec u et v continues, alors la fonction U + iV est une primitve de la fonction complexe u + i v.
Dans la suite, le corps désigne ou .
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