1. ‫על־יסודיים‬ ‫ספר‬ ‫לבתי‬ ‫בגרות‬ .‫א‬ :‫הבחינה‬ ‫סוג‬ ‫ישראל‬ ‫מדינת‬
‫אקסטרניים‬ ‫לנבחנים‬ ‫בגרות‬ .‫ב‬ ‫החינוך‬ ‫משרד‬
‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ :‫הבחינה‬ ‫מועד‬
316 ,035806 :‫השאלון‬ ‫מספר‬
‫הבגרות‬ ‫בחינת‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫הצעת‬
‫ה‬‫ק‬‫י‬‫ט‬‫מ‬‫ת‬‫מ‬
‫ראשון‬ ‫שאלון‬ — ‫לימוד‬ ‫יחידות‬ 5
‫לנבחן‬ ‫הוראות‬
.‫וחצי‬ ‫שעות‬ ‫שלוש‬ :‫הבחינה‬ ‫משך‬ .‫א‬
.‫פרקים‬ ‫שלושה‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ :‫ההערכה‬ ‫ומפתח‬ ‫השאלון‬ ‫מבנה‬ .‫ב‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫ת‬‫והסתברו‬ ‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫ר‬‫במישו‬
‫נקודות‬ 33 3
1
— 16 3
2
#2 — ‫י‬‫ואינטגרל‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 100 — ‫כ‬"‫סה‬
:‫בשימוש‬ ‫מותר‬ ‫עזר‬ ‫חומר‬ .‫ג‬
.‫לתכנות‬ ‫הניתן‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫גרפי‬ ‫לא‬ ‫מחשבון‬ )1(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫או‬ ‫גרפי‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
.)‫(מצורפים‬ ‫נוסחאות‬ ‫דפי‬ )2(
:‫מיוחדות‬ ‫הוראות‬ .‫ד‬
.‫בלבד‬ ‫מספרה‬ ‫את‬ ‫סמן‬ ;‫השאלה‬ ‫את‬ ‫תעתיק‬ ‫אל‬ )1(
‫כאשר‬ ‫גם‬ ,‫הפתרון‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫במחברת‬ ‫רשום‬ .‫חדש‬ ‫בעמוד‬ ‫שאלה‬ ‫כל‬ ‫התחל‬ )2(
.‫מחשבון‬ ‫בעזרת‬ ‫מתבצעים‬ ‫החישובים‬
.‫ומסודרת‬ ‫ברורה‬ ‫ובצורה‬ ‫בפירוט‬ ,‫חישובים‬ ‫כולל‬ ,‫פעולותיך‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הסבר‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
.‫מהמשגיחים‬ ‫שקיבלת‬ ‫בדפים‬ ‫או‬ ‫הבחינה‬ ‫במחברת‬ ‫להשתמש‬ ‫יש‬ ‫לטיוטה‬ )3(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫אחרת‬ ‫בטיוטה‬ ‫שימוש‬
.‫כאחד‬ ‫ולנבחנים‬ ‫לנבחנות‬ ‫ומכוונות‬ ‫זכר‬ ‫בלשון‬ ‫מנוסחות‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ ‫ההנחיות‬
! ‫ה‬ ‫ח‬ ‫ל‬ ‫צ‬ ‫ה‬ ‫ב‬
/‫לדף‬ ‫מעבר‬ ‫/המשך‬

2. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 2 -
1 ‫שאלה‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫והסתברות‬ ‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 3-1 ‫מהשאלות‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
.‫שעות‬ 12 ‫ב־‬ ‫אחת‬ ‫תעלה‬ ‫יחד‬ ‫חופרים‬ ‫ושמעון‬ ‫ראובן‬ .1
‫יתר‬ ‫את‬ ‫לבד‬ ‫חופר‬ ‫שמעון‬ ‫חלקו‬ ‫את‬ ‫מסיים‬ ‫שהוא‬ ‫ולאחר‬ ,‫מהתעלה‬ 3
1
‫לבד‬ ‫חופר‬ ‫ראובן‬ ‫אם‬
.‫שעות‬ 23 3
1
‫כעבור‬ ‫מסתיימת‬ ‫החפירה‬ ,‫התעלה‬
‫זהות‬ ‫התעלות‬ ?‫שעות‬ 100 ‫מ־‬ ‫בפחות‬ ‫לבד‬ ‫ראובן‬ ‫יחפור‬ ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫שלמות‬ ‫תעלות‬ ‫כמה‬
.‫הנתונה‬ ‫לתעלה‬
.‫משתנים‬ ‫אינם‬ ‫ראובן‬ ‫ושל‬ ‫שמעון‬ ‫של‬ ‫העבודה‬ ‫הספקי‬
, , , ... , , ...a a a an1 2 3 :an ‫סדרה‬ ‫נתונה‬ .2
, , , ... , , ...S S S Sn1 2 3 :Sn ‫הסכומים‬ ‫סדרת‬ ‫ונתונה‬
. an ‫בסדרה‬ ‫הראשונים‬ ‫האיברים‬ n ‫סכום‬ ‫הוא‬ Sn
b 0! , S 31= , S b S 3n n1 := ++ :‫טבעי‬ n ‫לכל‬ ‫מקיימת‬ Sn ‫הסכומים‬ ‫סדרת‬
. b ‫היא‬ ‫שלה‬ ‫שהמנה‬ ‫הנדסית‬ ‫סדרה‬ ‫היא‬ an ‫הסדרה‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. b 11 ‫כי‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
. , , , , ...I a a a a3 7 11 15 : II ‫ו־‬ I ,‫הנדסיות‬ ‫סדרות‬ ‫שתי‬ an ‫מהסדרה‬ ‫בונים‬
. , , , , ...II a a a a1 3 5 7- -
, I ‫הסדרה‬ ‫איברי‬ ‫אין־סוף‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ ‫הוא‬ T
. II ‫הסדרה‬ ‫איברי‬ ‫אין־סוף‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ ‫הוא‬ M
.‫האפשר‬ ‫ככל‬ ‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫פשט‬ . T
M
‫היחס‬ ‫את‬ b ‫באמצעות‬ ‫הבע‬
3‫בעמוד‬‫המשך‬
1 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
.‫א‬
‫העבודה‬ ‫זמן‬
)‫(שעות‬
‫העבודה‬ ‫קצב‬
) 1
‫שעה‬ (
‫עבודה‬ ‫סה"כ‬
‫ראובן‬x
3x
1
3
1
‫שמעון‬y
3
2
y
1
3
2
x y 1
12 12
+ = & I. y x xy12 12+ =
x y
3 3 23 3
12
+ = & II. x y70 2= -
:‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬ y y41 420 02 - + =
0
:‫אחת‬ ‫תעלה‬ ‫לבד‬ ‫חופר‬ ‫ששמעון‬ ‫הזמן‬ y = ‫שעות‬ 21 ‫או‬ y = ‫שעות‬ 20
0 0
:‫אחת‬ ‫תעלה‬ ‫לבד‬ ‫חופר‬ ‫שראובן‬ ‫הזמן‬ x = ‫שעות‬ 28 ‫או‬ x = ‫שעות‬ 30
0 0
‫מספר‬ ‫שעות‬ 100 ‫מ־‬ ‫בפחות‬
:‫מ‬ ‫קטן‬ ‫יחפור‬ ‫שראובן‬ ‫התעלות‬ .28
100
3 57= ‫או‬ .30
100
3 33=
‫יחפור‬ ‫שראובן‬ ‫השלמות‬ ‫התעלות‬ ‫מספר‬ 0
:‫שעות‬ 100 ‫מ־‬ ‫בפחות‬ ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫תעלות‬ 3
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

3. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 3 -
2 ‫שאלה‬
3
.‫שעות‬ 23 3
1
‫כעבור‬ ‫מסתיימת‬ ‫החפירה‬ ,‫התעלה‬
‫זהות‬ ‫התעלות‬ ?‫שעות‬ 100 ‫מ־‬ ‫בפחות‬ ‫לבד‬ ‫ראובן‬ ‫יחפור‬ ‫היותר‬ ‫לכל‬ ‫שלמות‬ ‫תעלות‬ ‫כמה‬
.‫הנתונה‬ ‫לתעלה‬
.‫משתנים‬ ‫אינם‬ ‫ראובן‬ ‫ושל‬ ‫שמעון‬ ‫של‬ ‫העבודה‬ ‫הספקי‬
, , , ... , , ...a a a an1 2 3 :an ‫סדרה‬ ‫נתונה‬ .2
, , , ... , , ...S S S Sn1 2 3 :Sn ‫הסכומים‬ ‫סדרת‬ ‫ונתונה‬
. an ‫בסדרה‬ ‫הראשונים‬ ‫האיברים‬ n ‫סכום‬ ‫הוא‬ Sn
b 0! , S 31= , S b S 3n n1 := ++ :‫טבעי‬ n ‫לכל‬ ‫מקיימת‬ Sn ‫הסכומים‬ ‫סדרת‬
. b ‫היא‬ ‫שלה‬ ‫שהמנה‬ ‫הנדסית‬ ‫סדרה‬ ‫היא‬ an ‫הסדרה‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. b 11 ‫כי‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
. , , , , ...I a a a a3 7 11 15 : II ‫ו־‬ I ,‫הנדסיות‬ ‫סדרות‬ ‫שתי‬ an ‫מהסדרה‬ ‫בונים‬
. , , , , ...II a a a a1 3 5 7- -
, I ‫הסדרה‬ ‫איברי‬ ‫אין־סוף‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ ‫הוא‬ T
. II ‫הסדרה‬ ‫איברי‬ ‫אין־סוף‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ ‫הוא‬ M
.‫האפשר‬ ‫ככל‬ ‫הביטוי‬ ‫את‬ ‫פשט‬ . T
M
‫היחס‬ ‫את‬ b ‫באמצעות‬ ‫הבע‬
3‫בעמוד‬‫המשך‬2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
:n 12 ‫עבור‬ .‫א‬ a S Sn n n1 1= -+ +
0
( )a b S b S3 3n n n1 1$ $= + - ++ -
0
( )a b S S b an n n n1 1 $= - =+ -
0
:‫היא‬ n 12 ‫עבור‬ ‫המנה‬ a
a
b
n
n 1
=+
:b ‫היא‬ ‫המנה‬ n = 1 ‫עבור‬ ‫גם‬ ‫אם‬ ‫נבדוק‬ a
a
S
S S
S
bS S b
b
3
3
3 3 3
1
2
1
2 1
1
1 1 $
=
-
=
+ -
=
+ -
=
.‫הנדסית‬ ‫היא‬ an ‫הסדרה‬ ‫לכן‬ , b ‫קבוע‬ ‫מספר‬ ‫היא‬ ‫המנה‬
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

4. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 4 -
.2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
:‫היא‬ I ‫הסדרה‬ ‫מנת‬ .‫ב‬ a
a
a b
a b
b
3
7
1
2
1
6
4
$
$
= =
:‫היא‬ II ‫הסדרה‬ ‫מנת‬ a
a
a
a b
b
1
3
1
1
2
2
-
=
-
=-
‫לכן‬ , b0 141 1
:‫הוא‬ I ‫הסדרה‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ T
b
a
b
a b
1 14
3
4
1
2$
=
-
=
-
‫לכן‬ , b1 021 1- -
:‫הוא‬ II ‫הסדרה‬ ‫של‬ ‫הסכום‬ M
b
a
1 2
1
=
+
:‫מכאן‬ T
M
b
a
a b
b
1
1
2
1
1
2
4
$
$
=
+
-
0
:‫מקבלים‬ b1 2+ ‫וב־‬ a1 ‫ב־‬ ‫צמצום‬ ‫לאחר‬ T
M
b
b1
2
2
=
-
/5 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

5. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 5 -
3 ‫שאלה‬‫נספח‬ + 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ,‫מתמטיקה‬ -3-
.‫ייחודי‬ ‫לקורס‬ ‫שיתאימו‬ ‫תלמידים‬ ‫מאתרים‬ ‫מסוימת‬ ‫בעיר‬ ‫י"ב‬ ‫תלמידי‬ ‫כל‬ ‫מבין‬ .3
.‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫להם‬ ‫שיש‬ ‫לתלמידים‬ ‫מתאים‬ ‫הקורס‬
,‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫כבעלי‬ ‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫להם‬ ‫יש‬ ‫שאכן‬ ‫התלמידים‬ ‫מבין‬ 80% ‫מאבחנות‬ ‫הבוחנות‬
.‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫כבעלי‬ ‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫להם‬ ‫שאין‬ ‫התלמידים‬ ‫מבין‬ 10% ‫ומאבחנות‬
‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫להם‬ ‫יש‬ ‫שאכן‬ ‫התלמידים‬ ‫אחוז‬ ,‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫כבעלי‬ ‫שאובחנו‬ ‫התלמידים‬ ‫מבין‬
.‫זו‬ ‫יכולת‬ ‫להם‬ ‫שאין‬ )‫זו‬ ‫(בקבוצה‬ ‫התלמידים‬ ‫מאחוז‬ 4 ‫פי‬ ‫גדול‬
?‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫יש‬ ‫אכן‬ ‫זו‬ ‫בעיר‬ ‫י"ב‬ ‫שלתלמיד‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬ .‫א‬
.‫הם‬ ‫ורק‬ ,‫בקורס‬ ‫השתתפו‬ ‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫כבעלי‬ ‫שאובחנו‬ ‫אלה‬ ‫כל‬ ‫עיר‬ ‫באותה‬ .‫ב‬
.‫י"ב‬ ‫תלמידי‬ 600 ‫יש‬ ‫בעיר‬
?‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫אין‬ ‫תלמידים‬ ‫לכמה‬ ‫בקורס‬ ‫המשתתפים‬ ‫מבין‬
4‫בעמוד‬‫המשך‬
3 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫בעלי‬ ‫התלמידים‬ ‫קבוצת‬ — A :‫נסמן‬ .‫א‬
‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫כבעלי‬ ‫שאובחנו‬ ‫התלמידים‬ ‫קבוצת‬ — B
:‫הנתון‬ ‫לפי‬ ( / ) .P B A 0 1= , ( / ) .P B A 0 8=
0 0
II. ( ) . ( ) . ( ( ))P B A P A P A0 1 0 1 1+ $= = - , I. ( ) . ( )P B A P A0 8+ =
:‫הנתון‬ ‫לפי‬ ( / ) ( / )P A B P A B4=
0
III. ( )
( )
( )
( )
P B
P A B
P B
P A B4+ +
=
:‫מקבלים‬ III ‫ו־‬ II , I ‫מ־‬ . ( ) . ( ( ))P A P A0 8 4 0 1 1$= -
0
( )P A 3
1
=
/6 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

6. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 6 -
.3 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
.‫ב‬ ( ) ( ) ( ) . ( ) . ( ( ))P B P A B P A B P A P A0 8 0 1 1+ += + = + -
0
( )P B 10
8
3
1
10
1
3
2
3
1
$ $= + =
‫בקורס‬ ‫המשתתפים‬ ‫מבין‬ ‫לכן‬
‫יכולת‬ ‫אין‬ ‫שלתלמיד‬ ‫ההסתברות‬
:‫היא‬ ‫טכנית‬ ( / ) ( )
( )
P A B P B
P A B
3
1
15
1
5
1+
= = =
:‫הוא‬ ‫בקורס‬ ‫התלמידים‬ ‫מספר‬ ( )P B600#
‫בקורס‬ ‫התלמידים‬ ‫מספר‬
:‫הוא‬ ‫טכנית‬ ‫יכולת‬ ‫להם‬ ‫שאין‬ ( ) ( / )P B P A B600 600 3
1
5
1
40$ $ $ $= =
/7 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

7. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 7 -
4 ‫שאלה‬
‫נספח‬ + 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ,‫מתמטיקה‬ -4-
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫במישור‬ ‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 6-4 ‫מהשאלות‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. ABCD ‫מקבילית‬ ‫נתונה‬ .4
. F ‫בנקודה‬ O ‫שמרכזו‬ ‫למעגל‬ ‫משיקה‬ AB ‫הצלע‬
G ‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬ CB ‫הצלע‬ ‫המשך‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬
. AF = AD :‫נתון‬
. DG ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ F ‫הנקודה‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫א‬
. FC DC= , BO = BC :‫גם‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
. OF FC= ‫כי‬ ‫הוכח‬ )1(
. FB BO2
1
= ‫כי‬ ‫הוכח‬ )2(
.‫במעגל‬ ‫חסום‬ ABCD ‫מרובע‬ .5
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ABC ‫הזווית‬ ‫את‬ ‫חוצה‬ BD ‫המיתר‬
, BC 3 3= , AB 3= :‫נתון‬
. ADC 120oB =
. ABD ‫הזווית‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
. BD ‫המיתר‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
BD ‫המיתר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ K ‫נקודה‬ .‫ב‬
.‫בהתאמה‬ ABK DBAT T+ ‫ש־‬ ‫כך‬
. ABK ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬
5‫בעמוד‬‫המשך‬
A
B
C
D
A B
G
O
F
CD
4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
‫מקבילית‬ — ABCD :‫נתון‬ .‫א‬
‫למעגל‬ ‫משיקים‬ BG ‫ו־‬ BF
AF = AD
AFD AFG 180oB B+ = :‫צ"ל‬
:‫הוכחה‬ FB = BG ‫היוצאים‬ ,‫למעגל‬ ‫משיקים‬ ‫שני‬
.‫לזה‬ ‫זה‬ ‫שווים‬ ‫נקודה‬ ‫מאותה‬ 0
FGB GFBB B a= = ‫שוות‬ ‫צלעות‬ ‫מול‬ ‫במשולש‬
.‫שוות‬ ‫זוויות‬ ‫יש‬ 0
:‫מתקיים‬ FBG ‫במשולש‬ FBG 180 2oB a= - . 180o ‫הוא‬ ‫במשולש‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬
FBG AB B= .‫מקבילים‬ ‫בין‬ ‫מתחלפות‬ ‫זוויות‬ ‫זוג‬ ‫הן‬ ‫כי‬
AFD ADFB B=.‫שוות‬ ‫זוויות‬ ‫יש‬ ‫שוות‬ ‫צלעות‬ ‫מול‬ ‫במשולש‬
0
AFD
A
2
1800
B
B
=
-
180o ‫הוא‬ ‫במשולש‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬
0
( )
AFD 2
180 180 2o o
B
a
a=
- -
=
, GFBB a= ‫מצאנו‬
:‫לכן‬ AFG GFB180 180o oB B a= - = -. AB ‫הצלע‬ ‫על‬ F
AFD AFG 180 180o0B B a a+ = + - =
/8 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

8. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 8 -
.4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
)1( .‫ב‬ OFB 90oB =‫לרדיוס‬ ‫מאונך‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬
:‫הנתון‬ ‫לפי‬ DCF 90oB =
0
90BFC DCF oB B= =‫לזו‬ ‫זו‬ ‫שוות‬ ‫מקבילים‬ ‫בין‬ ‫מתחלפות‬ ‫זוויות‬
0
FC OFB B 90 90 180o o oB B+ = + =
0
OC ‫הישר‬ ‫על‬ F
0
OF = FC, OBC ‫שווה־שוקיים‬ ‫במשולש‬ ‫גובה‬ BF
. OC ‫לצלע‬ ‫תיכון‬ ‫גם‬ BF ‫לכן‬
)2( ( )FBC FBG180 180 180 2 2o o oB B a a= - = - - =180o ‫ל־‬ ‫משלימות‬ ‫צמודות‬ ‫זוויות‬
0
I. FBO FBC 2B B a= =, OBC ‫שווה־שוקיים‬ ‫במשולש‬ ‫גובה‬ BF
OBCB ‫חוצה־זווית‬ ‫גם‬ BF ‫לכן‬
II. FBO GBO FBG2
1
90o] B B a= = = - ‫לנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫את‬ ‫המחבר‬ ‫קטע‬
‫חוצה‬ ,‫למעגל‬ ‫משיקים‬ ‫שני‬ ‫יוצאים‬ ‫שממנה‬
.‫המשיקים‬ ‫שבין‬ ‫הזווית‬ ‫את‬
:‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬ 90 2o a a- =
0
30oa =
( )FOB FBO90 90 90o o oB B a a= - = - - =180o ‫הוא‬ ‫במשולש‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬
0
FB BO2
1
=,30o ‫של‬ ‫חדה‬ ‫זווית‬ ‫יש‬ ‫זווית‬ ‫ישר‬ ‫במשולש‬ ‫אם‬
.‫היתר‬ ‫לחצי‬ ‫שווה‬ ‫זו‬ ‫זווית‬ ‫מול‬ ‫הניצב‬
/9 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

9. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 9 -
5 ‫שאלה‬
. FC DC= , BO = BC :‫גם‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
. OF FC= ‫כי‬ ‫הוכח‬ )1(
. FB BO2
1
= ‫כי‬ ‫הוכח‬ )2(
.‫במעגל‬ ‫חסום‬ ABCD ‫מרובע‬ .5
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ABC ‫הזווית‬ ‫את‬ ‫חוצה‬ BD ‫המיתר‬
, BC 3 3= , AB 3= :‫נתון‬
. ADC 120oB =
. ABD ‫הזווית‬ ‫גודל‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
. BD ‫המיתר‬ ‫אורך‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
BD ‫המיתר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ K ‫נקודה‬ .‫ב‬
.‫בהתאמה‬ ABK DBAT T+ ‫ש־‬ ‫כך‬
. ABK ‫המשולש‬ ‫שטח‬ ‫את‬ ‫מצא‬
5‫בעמוד‬‫המשך‬
A
B
C
D
CD
5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
)1( .‫א‬ ABC ADC 180oB B+ =180o ‫הוא‬ ‫נגדיות‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬ ‫במעגל‬ ‫חסום‬ ‫במרובע‬
0
ABC 180 120 60o o oB = - =
0
ABC ABD2
1
30oB B= =ABCB ‫חוצה‬ BD ‫הנתון‬ ‫לפי‬
)2( AD DC a= =‫שווים‬ ‫מיתרים‬ ‫יש‬ ‫שוות‬ ‫היקפיות‬ ‫לזוויות‬ ‫במעגל‬
: ABD ‫במשולש‬ ‫הקוסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ cosa AB BD BD ABDAB22 2 2 $ B= + -
0
I. cosa BD BD3 2 3 30o2 2 $= + -
:CBD ‫במשולש‬ ‫הקוסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ cosa BC BD BC BD DBC22 2 2 $ B= + -
0
II. cosa BD BD9 3 2 3 3 30o2 2$ $ $= + -
:‫מקבלים‬ II ‫מ־‬ I ‫מהחסרת‬ BD0 24 6$= -
0
BD = 4
/10 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

10. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 10 -
.5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
.‫ב‬ S
S
AB
BD
3
4
ABK
DBA
2
2 2
= =
T
T
‫שווה‬ ‫השטחים‬ ‫יחס‬ ‫דומים‬ ‫במשולשים‬
‫הדמיון‬ ‫יחס‬ ‫לריבוע‬
sinS AB BD ABD2
1
2
1
3 4 2
1
3DBA $ $ $ $ $B= = =T
S S
4
3
16
3 3
ABK DBA2 $= =T T
/11 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

11. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 11 -
6 ‫שאלה‬‫נספח‬ + 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ,‫מתמטיקה‬ -5-
. )AD = BC( ABCD ‫שווה־שוקיים‬ ‫טרפז‬ ‫נתון‬ .6
. O ‫שמרכזו‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫היא‬ AD ‫השוק‬
. F ‫בנקודה‬ ‫למעגל‬ ‫משיקה‬ BC ‫השוק‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ E ‫בנקודה‬ DC ‫הבסיס‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המעגל‬
. BCDB a= :‫נתון‬
. FOD ‫הזווית‬ ‫גודל‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫א‬
. ODF ‫הזווית‬ ‫גודל‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ )1( .‫ב‬
. DC
DE
‫היחס‬ ‫את‬ a ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ )2(
,‫פולינומים‬ ‫של‬ ‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
‫רציונליות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ,‫שורש‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬ ‫ושל‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 9-7 ‫מהשאלות‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. x2 5# #r r ‫בתחום‬ ( ) cosf x x
x
2
2= - ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .7
.‫הנתון‬ ‫בתחום‬ )‫כאלה‬ ‫יש‬ ‫(אם‬ '( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫וירידה‬ ‫עלייה‬ ‫תחומי‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
.‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ‫חיובית‬ '( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫כי‬ ‫הראה‬ )2(
‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ ,)2( ‫ו־‬ )1( ‫לתת־סעיפים‬ ‫התשובות‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫רק‬ )3(
.‫הנתון‬ ‫בתחום‬ '( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬
.‫נמק‬ ?‫הנתון‬ ‫בתחום‬ '( )f x 40= ‫למשוואה‬ ‫יש‬ ‫פתרונות‬ ‫כמה‬ )4(
. ‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ''( )f x ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫רשום‬ )1( .‫ב‬
'( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ,‫השטח‬ ‫האם‬ )2(
‫של‬ ‫לערך‬ ‫שווה‬ ,‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ''( )f x ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
.‫נמק‬ ? '''( ) ( )( )f x f x dx
2
5
-
π
π
# ‫המסוים‬ ‫האינטגרל‬
6‫בעמוד‬‫המשך‬
A B
C
O
F
D E
6 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
.‫א‬ OFC 90oB = ‫לרדיוס‬ ‫מאונך‬ ‫משיק‬
ODC FCDB B a= =‫שווה־שוקיים‬ ‫בטרפז‬
‫שוות‬ ‫הבסיס‬ ‫זוויות‬
( )FOD 360 90 2o oB a= - +‫במרובע‬ ‫זוויות‬ ‫סכום‬
360o ‫הוא‬ 0
FOD 270 2oB a= -
/12 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
A B
C
O
F
D E
a
45o
a-
45o

12. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 12 -
.6 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
)1( .‫ב‬ OD = OF ‫במעגל‬ ‫רדיוסים‬
0
ODF OFDB B=‫שוות‬ ‫זוויות‬ ‫שוות‬ ‫צלעות‬ ‫מול‬ ‫במשולש‬
0
ODF
FOD
2
180
45
o
oB
B
a=
-
= -
)2( AED 90oB =‫קוטר‬ ‫על‬ ‫הנשענת‬ ‫היקפית‬ ‫זווית‬
0
:‫מתקיים‬ ADE ‫במשולש‬ I. cos cosDE AD R2a a= =
( )FDC ODC ODF 45 45o oB B B a a= - = - - =
‫הסינוסים‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
:DFC ‫במשולש‬
( ( ))sin sin
DC DF
180 45o o a a- +
=
0
II.
( )
sin
sin
DC
DF 45o
a
a
=
+
DOF ‫שווה־שוקיים‬ ‫במשולש‬
:‫מתקיים‬ ( )cosR
DF2
1
45oa= -
0
III. ( )cosDF R2 45oa= -
II ‫ב־‬ III ‫מהצבת‬
:‫מקבלים‬ IV.
( ) ( )
sin
cos sin
DC
R2 45 45o o
a
a a
=
- +
:‫מקבלים‬ IV ‫ו־‬ I ‫מ־‬
( ) ( )cos sin
cos sin
DC
DE
45 45o o
$
a a
a a
=
- +
/13 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

13. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 13 -
7 ‫שאלה‬
‫רציונליות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ,‫שורש‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬
)‫נקודות‬ 333
1
( ‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬ ‫ושל‬
.)‫נקודות‬ 16 3
2
— ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 9-7 ‫מהשאלות‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. x2 5# #r r ‫בתחום‬ ( ) cosf x x
x
2
2= - ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .7
.‫הנתון‬ ‫בתחום‬ )‫כאלה‬ ‫יש‬ ‫(אם‬ '( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫וירידה‬ ‫עלייה‬ ‫תחומי‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
.‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ‫חיובית‬ '( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫כי‬ ‫הראה‬ )2(
‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ ,)2( ‫ו־‬ )1( ‫לתת־סעיפים‬ ‫התשובות‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫רק‬ )3(
.‫הנתון‬ ‫בתחום‬ '( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬
.‫נמק‬ ?‫הנתון‬ ‫בתחום‬ '( )f x 40= ‫למשוואה‬ ‫יש‬ ‫פתרונות‬ ‫כמה‬ )4(
. ‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ''( )f x ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫רשום‬ )1( .‫ב‬
'( )f x ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ,‫השטח‬ ‫האם‬ )2(
‫של‬ ‫לערך‬ ‫שווה‬ ,‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ''( )f x ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫של‬ ‫הגרף‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
.‫נמק‬ ? '''( ) ( )( )f x f x dx
2
5
-
π
π
# ‫המסוים‬ ‫האינטגרל‬
6‫בעמוד‬‫המשך‬7 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
I ‫דרך‬ )1( .‫א‬ ( ) 2' sinf x x
x
2
1
2= +
0
( ) 2'' cosf x
x
4
1
2= +
0
( ) 0''f x !cos
x
2 8!- ‫כי‬
0
( )'f x ‫ל־‬ ‫פנימיות‬ ‫קיצון‬ ‫נקודות‬ ‫אין‬
:‫ונקבל‬ x 4r= ‫למשל‬ ‫נציב‬ (4 ) 1 0''f 4
3
2r =
0
‫הנתון‬ ‫בתחום‬ x ‫לכל‬ ( ) 0''f x 2
0
‫הנתון‬ ‫בתחום‬ x ‫לכל‬ ‫עולה‬ ( )'f x
II ‫דרך‬ ( )'' cosf x
x
2 4
1
2= +
0
cos
x
4
1
4
1
2 4
1
# #- ‫ש־‬ ‫מאחר‬
‫הנתון‬ ‫בתחום‬ x ‫לכל‬ ( )''f x 02 :‫נקבל‬
/14 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

14. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 14 -
.7 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
‫הנתון‬ ‫בתחום‬ x ‫לכל‬ ‫עולה‬ ( )'f x )2(
0
: ( )'f x ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫הערך‬ ( )' sinf 2 4 2
1
4r r r r= + =
0
‫הנתון‬ ‫בתחום‬ x ‫לכל‬ ( )'f x 02
:)‫פיתול‬ ‫נקודות‬ ‫לבדוק‬ ‫נדרש‬ ‫(לא‬ ‫ועולה‬ ‫חיובית‬ ( )'f x )2(‫ו־א‬ )1(‫א‬ ‫תת־סעיפים‬ ‫לפי‬ )3(
2r 5r
y
x
( )'f x
‫הנתון‬ ‫בתחום‬ x ‫לכל‬ ‫עולה‬ ( )'f x )4(
0
: ( )'f x ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הערך‬ ( ) . .' sinf 5 10 2
1
2 5 31 9r r r= + =
0
( )'f x ‫את‬ ‫חותך‬ ‫אינו‬ y = 40 ‫הישר‬
0
( )'f x 40= ‫למשוואה‬ ‫פתרון‬ ‫אין‬
/15 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

15. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 15 -
.7 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
:‫מצאנו‬ )1( .‫ב‬ ( ) 2'' cosf x
x
4
1
2= +
, 1 ‫הוא‬ cos
x
2 ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הערך‬
:‫הוא‬ ( )''f x ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הערך‬ ‫לכן‬ 2 4
1
‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ‫כי‬ )2(‫א‬ ‫בתת־סעיף‬ ‫מצאנו‬ )2(
:‫הוא‬ ( )'f x ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫הערך‬ 4r
( )''f x ‫של‬ ‫המקסימלי‬ ‫הערך‬ ‫הנתון‬ ‫בתחום‬
( )'f x ‫של‬ ‫המינימלי‬ ‫מהערך‬ ‫קטן‬
:‫הנתון‬ ‫בתחום‬ ‫לכן‬ ( ) ( )' ''f x f x2
0
( )''f x ‫של‬ ‫לגרף‬ ‫מעל‬ ( )'f x ‫של‬ ‫הגרף‬
0
‫האינטגרל‬ ‫של‬ ‫לערך‬ ‫שווה‬ ‫השטח‬
/16 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

16. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 16 -
8 ‫שאלה‬
‫נספח‬ + 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ,‫מתמטיקה‬ -6-
!‫בהצלחה‬
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
. g(x) ‫הפונקציה‬ ‫ונתונה‬ , x ‫לכל‬ ‫המוגדרת‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .8
.‫פרמטר‬ ‫הוא‬ k . ( )g x dx 0
0
1
=# , ( )g x xk 2= + :‫נתון‬
.‫הצירים‬ ‫עם‬ g(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
. ( )f k0 = , ''( ) 0f x 2 , ( ) ( )f x g x$ :‫מתקיים‬ x 0$ ‫בתחום‬ ‫כי‬ ‫גם‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫וסקיצה‬ g(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫צירים‬ ‫מערכת‬ ‫באותה‬ ‫סרטט‬
.‫נמק‬ . x 0$ ‫בתחום‬
‫והצירים‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ :‫יותר‬ ‫גדול‬ ‫שטח‬ ‫איזה‬ x 0$ ‫בתחום‬ .‫ג‬
? x = 1 ‫הישר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , g(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫או‬
.‫נמק‬
,‫פרמטר‬ ‫הוא‬ a , ( ) ( )f x x x ax f3 03 2= + + + :‫גם‬ ‫נתון‬ .‫ד‬
. x 0$ ‫בתחום‬ ‫הנמצאת‬ ‫בנקודה‬ f(x) ‫של‬ ‫לגרף‬ ‫משיק‬ g(x) ‫של‬ ‫הגרף‬
. f(x) ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫בשדה‬ ‫הנמצאת‬ , A ‫מנקודה‬ ‫יצא‬ ‫דני‬ .9
. BC ‫מהכביש‬ ‫ק"מ‬ 1 ‫במרחק‬
‫אלכסוני‬ ‫בקו‬ ‫בשדה‬ ‫הלך‬ ‫הוא‬
, v ‫קבועה‬ ‫במהירות‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ N ‫כלשהי‬ ‫בנקודה‬ BC ‫לכביש‬ ‫והגיע‬
‫והגיע‬ ,‫בשדה‬ ‫הלך‬ ‫שבה‬ ‫מהמהירות‬ 12
13
‫פי‬ ‫הגדולה‬ ‫במהירות‬ ‫בכביש‬ ‫הלך‬ ‫דני‬
.‫בכביש‬ C ‫לנקודה‬
.‫ק"מ‬ 6 ‫הוא‬ C ‫ל־‬ B ‫בין‬ ‫המרחק‬
?‫המינימלי‬ ‫בזמן‬ ‫אותו‬ ‫עבר‬ ‫שדני‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬ ANC ‫המסלול‬ ‫אורך‬ ‫מהו‬
A
B N C
‫ק”מ‬ 1
8 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
.‫א‬
1
( ) ( ) ( ) [ ]g x d x x dx x xk k k2 1 12
0
1
0
1
$ $= + = + = +
0
##
0
k 1 0+ = & k 1=-
0
( ) xg x 1 2=- +
( )g x 0= & x 2
1
=
x = 0 & ( )g 0 1=-
‫חיתוך‬ ‫נקודות‬
:‫הצירים‬ ‫עם‬ ( , )0 1- , ( , )2
1
0
/17 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

17. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 17 -
.8 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
‫ישר‬ ‫קו‬ ‫היא‬ g(x) , ( ) 0''f x 2 : x 0$ ‫בתחום‬ ‫נתון‬ .‫ב‬
0
,‫מעלה‬ ‫כלפי‬ ‫קעורה‬ f(x)
( ) ( )f g0 0 1= =- ‫ומצאנו‬ , ( ) ( )f x g x$ :‫גם‬ ‫נתון‬
0 ‫מ־‬ ‫שונה‬ x ‫לכל‬ g(x) ‫של‬ ‫לגרף‬ ‫מעל‬ ‫ממש‬ f(x) ‫של‬ ‫הגרף‬ :‫לכן‬
: x 0$ ‫בתחום‬ ‫מכאן‬
y
f(x) g(x)
x
x = 1 ‫ו־‬ g(x) ‫הישרים‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫הנוצר‬ ,‫המשולש‬ ‫שטח‬ .I .‫ג‬
‫ידי‬ ‫על‬ ‫הנוצר‬ ‫המשולש‬ ‫לשטח‬ ‫שווה‬ , x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫והצירים‬ g(x) ‫הישר‬
‫ידי‬ ‫על‬ ‫הנוצר‬ ‫המשולש‬ ‫משטח‬ ‫קטן‬ ‫בציור‬ ‫המנוקד‬ ‫השטח‬ .II
. x = 0 ‫ב־‬ ‫מלבד‬ g(x) ‫מעל‬ f(x) ‫כי‬ ,‫והצירים‬ g(x)
: x 0$ ‫בתחום‬ II ‫ו־‬ I ‫פי‬ ‫על‬ ‫לכן‬
‫קטן‬ )‫המנוקד‬ ‫(השטח‬ ‫והצירים‬ f(x) ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬
.)‫בציור‬ ‫המקווקו‬ ‫(השטח‬ x = 1 ‫ידי‬ ‫ועל‬ x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫על‬ , g(x) ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫משטח‬
/18 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬
y
f(x)
g(x)
x1
-1
2
1

18. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 18 -
.8 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
:‫נקבל‬ f(x) ‫מגזירת‬ .‫ד‬ III. ( ) 3 6'f x x x a2= + +
:‫לכן‬ , x = 0 ‫ב־‬ f(x) ‫ל־‬ ‫משיק‬ g(x) IV. (0) 2'f =
:‫מקבלים‬ IV ‫ו־‬ III ‫מ־‬ a = 2
:‫מקבלים‬ ‫לכן‬ ( )f x x x x3 2 13 2= + + -
/19 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

19. 316 ,035806 '‫מס‬ ‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ג‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 19 -
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
9 ‫שאלה‬
!‫בהצלחה‬
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
,‫פרמטר‬ ‫הוא‬ a , ( ) ( )f x x x ax f3 03 2= + + + :‫גם‬ ‫נתון‬ .‫ד‬
. x 0$ ‫בתחום‬ ‫הנמצאת‬ ‫בנקודה‬ f(x) ‫של‬ ‫לגרף‬ ‫משיק‬ g(x) ‫של‬ ‫הגרף‬
. f(x) ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫מצא‬
‫בשדה‬ ‫הנמצאת‬ , A ‫מנקודה‬ ‫יצא‬ ‫דני‬ .9
. BC ‫מהכביש‬ ‫ק"מ‬ 1 ‫במרחק‬
‫אלכסוני‬ ‫בקו‬ ‫בשדה‬ ‫הלך‬ ‫הוא‬
, v ‫קבועה‬ ‫במהירות‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ N ‫כלשהי‬ ‫בנקודה‬ BC ‫לכביש‬ ‫והגיע‬
‫והגיע‬ ,‫בשדה‬ ‫הלך‬ ‫שבה‬ ‫מהמהירות‬ 12
13
‫פי‬ ‫הגדולה‬ ‫במהירות‬ ‫בכביש‬ ‫הלך‬ ‫דני‬
.‫בכביש‬ C ‫לנקודה‬
.‫ק"מ‬ 6 ‫הוא‬ C ‫ל־‬ B ‫בין‬ ‫המרחק‬
?‫המינימלי‬ ‫בזמן‬ ‫אותו‬ ‫עבר‬ ‫שדני‬ ‫ידוע‬ ‫אם‬ ANC ‫המסלול‬ ‫אורך‬ ‫מהו‬
A
B N C
‫ק”מ‬ 1
9 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
:‫למשל‬ ‫נסמן‬ .‫א‬ BN = x
0
AN x1 2= + , NC x6= -
0
:ANC ‫המסלול‬ ‫את‬ ‫עובר‬ ‫שדני‬ ‫הזמן‬ ( )t x v
x
v
x1
12
13
62
$
=
+
+
-
0
( ) ( )'t x v
x
x1
2 1
2
13
12
2
=
+
-
( ) 0't x = & x x13 12 1 2= +
0
( )x x13 12 12 2 2 2= +
0
( )x 02 .x 5
12
2 4= =
:‫מינימום‬ ‫בדיקת‬ ( ) ( )' vt 1
1
2
1
13
12
01= -
( ) ( )' vt 3
1
10
3
13
12
02= -
:‫המינימלי‬ ANC ‫המסלול‬ ‫אורך‬ AN NC x x1 62+ = + + -
0
. .AN NC 1 2 4 6 2 42+ = + + - = ‫ק"מ‬ 6.2