Metode iterasi Jacobi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghitung nilai variabel secara berulang hingga mencapai toleransi kesalahan yang diinginkan. Algoritma Jacobi menghitung nilai baru variabel berdasarkan nilai lama variabel lainnya. Analisis galat dilakukan dengan membandingkan nilai baru dan lama setiap variabel. Kasus sistem persamaan linear 3 variabel ditunjukkan dapat dise

1. Seminar matematika
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN
METODE ITERASI JACOBI
Nama : Baidilah
Nim : 09221008
Angkatan : 2009
PROGRAM STUDI TADRIS MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG
TAHUN 2012

2. PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN METODE ITERASI
JACOBI
A. PENDAHULUAN
1. Latar Belakang Masalah
Sistem persamaan linear yang terdiri dari n persamaan dengan n variabel
x1, x2, ..., xn (Anton, 2007: 24), dinyatakan dengan
a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2
.......... + .............+....................+........... = .....
an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn
Suatu persamaan linear tidak melibatkan hasil kali atau akar peubah, semua peubah
hanya muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak muncul sebagai peubah bebas dari sebuah
fungsi trigonometri, logaritma, atau eksponensial (Anton, 2007:22). Berikut ini bukan persamaan
linear:
Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian (Anton, 2007:23), misalnya:

3. Jika kita mengalikan persamaan kedua dari sistem dengan ½ akan terbukti bahwa tidak
ada penyelasaian karena sistem ekuivalen yang di hasilkan, mempunyai persamaan yang
kontradisi
Sebuah sistem persaman yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai tak
konsisten, jika paling sedikit terdapat satu penyelesaian maka sistem itu di sebut konsisten.
Sistem persamaan linear dapat diselesaikan dengan metode langsung atau dengan metode
iterasi. Dengan menggunakan metode langsung misalnya Gauss dan Variasi-variasinya. Dalam
metode eliminasi Gauss melibatkan banyak pembulatan galat, pembulatan yang terjadi pada
elimainasi gauss (maupun gauss-Jordan) dapat menyebabkan solusi yang diperoleh “jauh” dari
solusi sebenarnya. Dengan metode iterasi, galat pembulatan dapat diperkecil, karena kita dapat
meneruskan iterasi sampai solusi seteliti mungkin, sesuai denga batas galat yang kita
perbolehkan, dengan kata lain besar galat dapat dikendalikan sampai batas yang bisa
diterima(Munir,2010:173). Ada dua metode iterasi yang sering digunakan, yaitu metode Jacobi
dan metode Gauss-Seidel. Metode Jacobi dikenalkan oleh Carl Jacobi (1804-1851). Metode
iterasi Jacobi merupakan proses rekursi berulang untuk mendekati bilangan yang tidak di
ketahui. Sebagai titik awal pada rekursi tersebut di perlukan nilai awal dan biasanya adalah X0,
pada proses selanjutnya nilai yang sudah di ketahui tahapan sebelumnya X1 di pergunakan untuk
mencari nilai X pada tahapan selanjutnya X2. Proses tersebut terus berulang hingga di peroleh
nilai X yang sesungguhnya atau berhenti jika toleransi kesalahan tertentu telah di
capai.(Rumita,2009:302).
2. Perumusan Masalah
Berdasarkan uraian di atas, permasalahan yang dibahas yaitu
bagaimana penurunan algoritma metode Jacobi?
bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi?
bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode jacobi pada suatu
kasus?

4. 3. Tujuan
Tujuan makalah ini adalah
menjelaskan tentang penurunan algoritma metode Jacobi
menjelaskan bagaimana menganalisis galat secara numerik metode Jacobi
menjelaskan bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan
metode jacobi
B. PEMBAHASAN
1. Penurunan Algoritma Jacobi
Kita bahas sistem persamaan linear(Anton, 2007:24):
a11x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +......................+ a2nxn = b2
.......... + .............+....................+........... = .....
an1x1 + an2x2 +......................+ annxn = bn
persamaan ke-i dari persamaan di atas adalah ai1x1 + ai2x2 + aiixi +......................+ ainxn =
bi
dimana i = 1, 2, 3, ..., n.
dapat diekspresikan sebagai
Dengan i = 1,2,3,....................n
Sehingga dapat diperoleh penyelesaian persamaan ke-i
Sehingga algaritma metode jacobi dapat di apresiasikan sebagai(Rumita, 2009:303):
, k=1,2,3..........n

5. Untuk menyelesikan sistem persamaan linear dengan metode Jacobi diperlukan suatu
nilai pendekatan awal yaitu x0. Nilai x0 biasanya tidak diketahui dan dipilih x0=0.(Luknanto,
2001:50)
2. Analisis Error Pada Metode Jacobi
Menurut May(dalam Nugroho, 2003:3)Untuk menyelesaikan persamaan linear dengan
metode iterasi, koefisien matrik A dipecahkan manjadi dua bagian , N dan P, sedemikian
hingga A=N-1P.perhatika bahwa :
Sehingga di peroleh:
N = diag(a11,a22,............ann)=
P=
Karena A=N-1P maka:
A= x
A= x
A=

6. Dengan demikian, dapat di peroleh
Oleh karena itu, syarat cukup agar motode jocobi konvergen adalah:
Dengan demikian matode jacobi akan konvergen jika koefisien matrik dominan secara
diagonal, Artinya elemen pada diagonal utama merupakan nilai yang paling besar dari
jumlah setiap barisnya(Rumita, 2009:302). Dalam hal ini perlu dicatat bahwa menyusun
ulang persamaan akam membuat koefisien matrik dominan secara diagonal. Mengubah
bentuk persaman linear simultan menjadi bentuk eksplisit dari x1,x2,........xn. sebagai
berikut:
(a11 )x1 + a12x2 +......................+ a1nxn = b1
a21x1 +( a22 )x2 +......................+ a2nxn = b2
.......... + .............+....................+........... = .....
an1x1 + an2x2 +......................+ (ann )xn = bn menjadi :
Iterasi jacoby dapat dihentikan jika toleransi kesalahan tertentu talah tercapai
artinya : absolut nilai yang baru di kurang nilai sebelumnya di
bagi nilai yang baru dan di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan.

7. Di mana adalah toleransi kesalahan yang di kehendaki.
3. Penerapan metode jacobi dalam kasus
Di berikan sistem persamaan linear :
-b + 2a =3 (a)
4b + 2a + y = 11 (b)
2b + a + 4y = 16 (c)
Tentukan nilai a,b, dan y pada persamaan di atas dengan galat <0.01!....
dengan menggunakan metode jacobi, dapat diketahui bahwa sistem persamaan linear di atas
tidak konvergen. Hal ini dikarenakan sistem tersebut tidak dominan secara diagonal, oleh karena
itu untuk memperoleh penyelasaian yang konvergan sistem tersebut perlu diatur kembali agar
persamaan tersebut dominan secara diagonal, menjadi:
4b + 2a + y = 11
-b + 2a =3
2b + a + 4y = 16
Sehingga menurut algoritma jacobi sistem persaman di atas dapat di bentuk menjadi
dengan mensubtitusikan nilai xo=1 maka di dapat
K B Galat b A Galat a y Galat y
0 1 - 1 - 1 -

8. 1 2 50 2 50 3.25 69.2307
2 0.9375 113.333 2.5 20 2.5 30
3 0.875 7.1428 1.9687 26.987 2.90625 13.9784
4 1.0390 15.779 1.9375 1.5587 3.0703 5.343
... .... .... ......
11 1.0001 0.034 1.9999 0.005 3.0001 0.01
12 1.00002 0.008 2.0000 0.005 2.9999 0.006
Sehingga himpunan penyelasaian persamaan tersebut adalah a=1, b=2, y=3.
Dalam menyeselaikan sistem persamaan linear dengan metode iterasi, perhitungan
manual sangat tidak efisien(Nugroho, 2003:5). Oleh karena itu perlu di buat program-
program diantaranya dengan menggunakan delphi , seperti:
procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);
var
a11,a12,a13,a21,a22,a23,a31,a32,a33,c1,c2,c3:real;
galatx3,x3lama,x3baru,x2baru,x1baru,galatx1,galatx2,x1lama,x2lama : real;
i:integer;
begin
a11:=4;a12:=2;a13:=1;c1:=11;
a21:=-1;a22:=2;a23:=0;c2:=3;
a31:=2;a32:=1;a33:=4; c3:=16;
galatx1:=1;galatx2:=1;galatx3:=1;
x3baru:=0;x2baru:=0;x1baru:=0;
x1lama:=1;
x2lama:=1;
x3lama:=1;
i:=1;
while (galatx1>0.01) or (galatx2>0.01) or (galatx3>0.01) do

9. begin
x1baru:=(c1-(a12*x2lama)-(a13*x3lama))/a11;
x2baru:=(c2-(a21*x1lama)-(a23*x3lama))/a22;
x3baru:=(c3-(a31*x1lama)-(a32*x2lama))/a33;
galatx1:=abs((x1baru-x1lama)/x1baru)*100;
galatx2:=abs((x2baru-x2lama)/x2baru)*100;
galatx3:=abs((x3baru-x3lama)/x3baru)*100;
x1lama:=x1baru;
x2lama:=x2baru;
x3lama:=x3baru;
listbox1.Items.add(inttostr(i));
listbox2.Items.Add(format('%8.5f',[x1baru]));
listbox3.Items.Add(format('%8.5f',[galatx1]));
listbox4.Items.Add(format('%8.5f',[x2baru]));
listbox5.Items.Add(format('%8.5f',[galatx2]));
listbox6.Items.Add(format('%8.5f',[x3baru]));
listbox7.Items.Add(format('%8.5f',[galatx3]));
i:=i+1;
end;
edit1.Text:=format('%8.4f',[x1baru]);
edit2.Text:=format('%8.4f',[x2baru]);
edit3.Text:=format('%8.4f',[x3baru]);
end;
diatas merupakan algoritma untuk metode jacobi dalam aplikasi delphi.
adapun tampilannya adalah sebagai berikut :

11. C. KESIMPULAN
1. Algoritma metode Jacobi adalah
, k=1,2,3..........n
Dengan niai pendekatan awal x0 biasanya dipilih nol
2. Untuk menganalisis galat metode jakobi kita kita bisa menggunakan
Di mana adalah toleransi kesalahan yang di kehendaki.
artinya : absolut nilai x yang baru di kurang nilai x sebelumnya di bagi nilai x yang baru dan
di kali 100% harus kurang dari toleransi kesalahan.
3. Dari persoalan sistem persaman linear 4b + 2a + y =11, -b + 2a + 3, 2b + a + 4Y = 11,
dengan galat <0,01% penyelesaian dengan menggunakan metode iterasi Jacoby hasil
untuk mendapatkan hasil ,b=1 galat b=0.008%, a= 2 galat a=0.005%, y=3 galat
y=0.006%. memerlukan 12 iterasi.

12. DAFTAR PUSTAKA
Rumita.2009.matrik persamaan linier dan pemrograman linier. Bandung: Rekayasa Sains
Munir, Renaldi.2008.metode numerik.bandung:informatika
Anton, Howard.2003.dasar-dasar aljabar linear. Tanggerang: Binarup aksara publisher
Luknanto, djoko.2001.metoda numerik. Yokyakarta : UGM
Nugroho, susilo.2003.penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode iteras.jurnal
matematika.

13. PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAR TARBIYAH
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) RADEN FATAH PALEMBANG
KARTU BIMBINGAN SEMINAR MATEMATIKA
Nama : Baidilah
Nim : 09221008
Program study : Tadris Matematika
Judul Seminar : penyelesaian sistem persamaan linear dengan Metode iterasi
jacobi
Pembimbing : Hartatiana M.Pd
no Tanggal Saran Paraf