Control Adaptativo

[CONTROL ADAPTATIVO] MITIT

Introducción al control adaptativo.
La técnica del Control Adaptativo surge a partir de 1950 con el fin de dar solución a
problemas de control en los que las características del sistema a controlar son variables o poco
conocidas.

El término control adaptativo posee diversos significados pero, en términos generales,
implica que un sistema mida las características dinámicas de una planta (función de
transferencia o ecuación de estado) en forma continua y automática, las compare con las
características dinámicas deseadas y utilice la diferencia entre ambas para variar los
parámetros ajustables del sistema (estos parámetros suelen ser las características del
controlador) o genera una señal actuante, de modo que se mantenga un desempeño óptimo;
por tanto es capaz de acomodarse a modificaciones no predecibles de un medio, sean esos
cambios internos o externos al sistema, un esquema general es mostrado en la figura
siguiente.

Ilustración 1. Esquema general de un control adaptativo.

Si la función de transferencia G(s) o la ecuación de estado de una planta está
identificada continuamente, las variaciones que puedan aparecer en la función de
transferencia o en la ecuación de estado de la planta son compensadas sólo con modificar los
parámetros ajustables del controlador. De este modo, se obtiene un diseño continuado del
sistema bajo diversas condiciones ambientales y de degeneración, cuyo comportamiento será
satisfactorio independientemente de la situación.

Jaime Martínez Verdú | Introducción al control adaptativo. 1


Tal método de adaptación es de gran utilidad para afrontar un problema en el cual la
planta se encuentre indefectiblemente expuesta a condiciones ambientales variables y de
envejecimiento, de manera que los parámetros de la planta variasen respecto al tiempo. Este
concepto es de gran interés para diseñadores de sistemas, ya que un sistema adaptativo,
además de aceptar modificaciones ambientales y por envejecimiento de los componentes,
admite errores de diseño de ingeniería o incertidumbre y es capaz de compensar las fallas de
componentes menores, incrementando así la confiabilidad del sistema.

A pesar de las utilidades del control adaptativo expuestas anteriormente, no son sólo
estas puesto que también se emplean para contrarrestar los aspectos negativos que induce el
carácter no lineal de los sistemas. Los problemas de control en los sistemas no lineales han
sido extensivamente estudiados en el pasado. No obstante, existe un gran interés en la
comprensión de la conducta de los sistemas no lineales en cuanto a la modelización e
identificación de la estructura y de los parámetros de tales sistemas cuando se diseña un
controlador adaptativo.

El Control adaptativo trata el problema de controlar la salida de la planta en presencia
de incertidumbres paramétricas o estructurales debidas a las no linealidades. En el control
adaptativo tradicional, para conseguir que un problema fuera tratable, la planta se suponía
lineal con parámetros desconocidos. Se escogía una estructura de controlador, y los
parámetros se ajustaban escogiendo una ley adaptativa, de modo que la salida de la planta
siguiera a la referencia asintóticamente.

En definitiva, las razones por las cuales se emplean técnicas de control donde el
controlador se adapta, es decir, los problemas a resolver empleando control adaptativo son:

Desconocimiento de cómo es exactamente la función de transferencia .
Somos incapaces de conocer los parámetros b o a, o éstas cambian con el tiempo.
Debido a:
o Cambio en las condiciones ambientales del sistema.
o Cambio en las propiedades de los componentes del sistema debido al
envejecimiento.
No linealidad de los sistemas físicos reales.

Clasificación de reguladores de Control Adaptativo
Desde el principio de la tecnología de control adaptativo, se han propuesto dos clases
distintas de controladores adaptativos. Desde el principio de la tecnología adaptativa, se han
propuesto dos clases distintas de controladores adaptativos, directo e indirecto:

En el directo, los parámetros del controlador se ajustan directamente en base
a los datos de entrada-salida.
En el indirecto, los parámetros de la planta se estiman y se ajustan en base a
los datos de entrada-salida.

Existen una gran variedad de esquemas adaptativos dentro de estas dos clases, tales
como el Model Reference Adaptive Control (MRAC), Self-Tuning Adaptive Control (STAC), Self-
Organizing Fuzzy Logic (SOFLIC), Neural Networks (NN), y Neurofuzzy Adaptive Control (NAC).



Para los procesos cuyos parámetros varían lentamente en el tiempo, los controladores
adaptativos con realimentación pueden ser divididos en dos grandes grupos:

MIAS: Sistemas adaptativos con identificación de modelo (Model Identification
Adaptive System).
MRAS: Sistemas adaptativos con modelo de referencia (Model Reference
Adaptive System)

Los sistemas adaptativos con identificación de modelo (MIAS) determinan un modelo
del proceso las medidas de entrada-salida y métodos de identificación. Aquí los parámetros
son calculados de acuerdo con un método de diseño del controlador programado con
anterioridad. Esta clase de reguladores adaptativos también se denomina “self-tuning
regulators”.

Los sistemas adaptativos con modelo de referencia (MRAS) intentan obtener una
respuesta en bucle cerrado próxima a la dada por el modelo de referencia para la señal de
entrada. Aquí una señal externa, por ejemplo la variable de referencia, es medida y la
diferencia entre las señales se forma usando las señales del bucle de control y del modelo de
referencia y cambiando los parámetros del controlador por medio de un método adaptativo.

(A)

(B)

(C)

Ilustración 2. Esquema de un MRAS (A) y de un MIAS (B y C).



Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia
Bajo este nombre se agrupan una serie de estrategias de control que tienen en común
como característica principal, el hacer uso explícito de un modelo del proceso, para obtener la
señal de control mediante la minimización de una cierta función de transferencia. En este
sentido forman parte de una familia más amplia, en la que se hace uso de un modelo del
proceso para diseñar el controlador: LQ, IMC, asignación de polos y ceros,...

Además de garantizar la operación estable de la planta, los controladores avanzados
de hoy en día han de satisfacer una serie de criterios adicionales u objetivos secundarios de
control: económicos, de seguridad, limitaciones físicas de los equipos, calidad del producto
final, regulaciones ambientales, preferencias humanas,... Muchos de estos modelos admiten
una representación matemática muy natural, bajo la forma de funciones objetivo dinámicas y
ligaduras dinámicas de tipo desigualdad.

Ventajas y características del Control Adaptativo MRAS
El control adaptativo basado en modelo de referencia tiene las siguientes
características:

Uso explícito de un modelo para predecir las salidas futuras.
Cálculo de cierta secuencia que minimice cierta función objetivo.
El horizonte se va desplazando hacia el futuro, lo que implica la aplicación de la
primera señal de control calculada en cada paso.

Ventajas del control adaptativo basado en modelos sobre otros métodos:

Se puede aplicar con pocos conocimientos de control, porque los conceptos
son intuitivos y el sintonizado es relativamente sencillo.
Se puede utilizar para controlar una gran cantidad de procesos, tanto sencillos
como complejos; incluyendo sistemas con tiempos de retardo grandes y
sistemas de fase no mínima.
Se puede aplicar al caso multivariable.
El controlador resultante es una sencilla ley de control lineal.
Su extensión para tratar el caso con restricciones es conceptualmente sencilla
y puede ser incluida durante el diseño.
Es muy útil cuando las referencias futuras son conocidas.
Es una metodología abierta.

Diseño de reguladores de Control Adaptativo MRAS
A partir de los cambios de pendiente del Bode podemos saber el número de polos y
ceros aproximadamente. Recordemos que el punto de funcionamiento o del sistema ya no es
válida la linearización del sistema por lo que hay que usar control adaptativo. Además, hemos
de recordar la necesidad de satisfacer las especificaciones técnicas: ts,Mp, ep. Supongamos un
ejemplo donde queremos que el sistema se comporte del siguiente modo:

Ecuación 1

Jaime Martínez Verdú | Control Adaptativo Basado en Modelo de Referencia 4


Por tanto, la función de transferencia Gm(s) representa el modelo deseado o Modelo
de referencia y cumple que:

- La salida del modelo será la salida que deseamos.
- El mecanismo de ajuste tendrá unos parámetros sin definir: es lo que se va a adaptar.

Ilustración 3. Esquema del control adaptativo MRAS.

Regla del MIT

Ilustración 4. Regla del MIT empleada en un control adaptativo MRAS.

o Funciona bien pero es “peligroso”.
o ABTE es para solucionarlo.
o Es más complicado de diseñar.



Ilustración 5. Comportamiento del error en un control adaptativo MRAS.

METODO DEL GRADIENTE
¿Cómo variar para min ?

Ecuación 2

Ecuación 3

Ecuación 4

nos marca la velocidad de la pelota.

Si es muy grande, puede saltar de un lado a otro.

Si es muy pequeño, puede no darle tiempo a adaptarse.

Ilustración 6. Comportamiento del error empleando el método del gradiente.

DESARROLLO (UN PARÁMETRO)
Supongamos un modelo tal que éste sea el resultado de una ganancia de la planta
y que donde K desconocido. Supongamos que conocemos K:

Definamos donde realmente el parámetro K es un valor desconocido. A
continuación, se determina la expresión del error, es decir, la diferencia entre la salida del
modelo y la del sistema:

donde, y .



Ecuación 5

Si aplicamos el operador derivada a la ecuación anterior tenemos que:

Ecuación 6

Si calculamos la derivada temporal del parámetro theta tenemos lo siguiente:

Ecuación 7

Redefinimos el parámetro gamma de modo que la ecuación obtenida, en realidad
debe quedar de este modo:

Ecuación 8

donde el valor de gamma prima es el siguiente:

Ecuación 9

Transformando las expresiones al dominio de Laplace tenemos que la Ley de
Adaptación en Laplace es:

Ecuación 10

Ilustración 7. Obtención de la Ley de Adaptación.



EJERCICIO
A continuación estudiaremos y analizaremos los reguladores MRAS empleando para
ello la siguiente función de transferencia:

Ecuación 11

Para estudiar en profundidad las características de estos reguladores empelaremos las
siguientes entradas:

- Entrada escalón (Step).
- Senoidal (Sine Wave).
- Pulsos (Pulse generator).
- Señal aleatoria (Random Number).

Deberemos verificar lo siguiente:

o Comprobar si el sistema se inestabiliza para algún
o Valor óptimo. Por ejemplo,
 Para en seno se inestabiliza la salida.
 Para no se consigue "cazar" el seno.
o Representar el parámetro
o Valor óptimo de
Cuando tengamos que el sistema se estabiliza desconectamos el mecanismo de
adaptación y ponemos una cota que será justamente el valor final de los parámetros. Para ello
se ha empleado el siguiente código donde tenemos :

K=1;sistema=tf(K*[1],[1 0.5]);Km=3;modelo=tf(Km*[1],[1 0.5]);
gamma=1; gamma=0.4; gamma=0.1;
Se ha llevado a cabo diferentes simulaciones buscando un parámetro gamma capaz de
dar un buen resultado para todas las señales. Se han obtenido diversas gráficas donde el color
azul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa la
señal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC.

Se ha observado que para valores pequeños de gamma (0,1) los mejores resultados se
obtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración
9. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de los
primeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un mal
comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es capaz de llegar a la salida deseada.

Por otro lado, para valores grandes de gamma (1) se obtienen los mejores resultados
del sistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 11). En este
caso, se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para
la entrada sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema.

Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados
aceptables para un parámetro gamma de 0.4, tal y como se muestra en la Ilustración 10,
donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salida
deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente del
parámetro theta de 3.


Km/K sistema

LTI System PLANTA S sistema
GANANCIA


modelo modelo

LTI System1 MODELO S modelo para un step LTI System2 MODELO S modelo para una senoidal

theta para un step
theta para una senoidal

Integrator Integrator1
1 1
-gamma -gamma
s s
Step Product11 Sine Wave Product21
Gain1 Comparación para un step Gain2 Comparación para una senoidal

Error para un step Error para una senoidal
Comp Theta-Error para un step Comp Theta-Error para una senoidal

sistema sistema

Product12 S sistema para un step Product22 S sistema para una senoidal
LTI System1 PLANTA LTI System2 PLANTA

modelo modelo

LTI System3 MODELO S modelo para un pulse LTI System4 MODELO S modelo para una random

theta para un pulse theta para una random

Integrator3 Integrator2
1 1
-gamma -gamma
s s
Pulse Product31 Uniform Random Product41
Generator Comparación para un pulse Number Comparación para una random
Gain4 Gain3

Error para un pulse Error para una random
Comp Theta-Error para un pulse Comp Theta-Error para una random

sistema sistema

Product32 S sistema para un pulse Product42 S sistema para una random
LTI System3 PLANTA LTI System4 PLANTA

Ilustración 8. Esquema simulink para la comparación de diferentes señales de entrada.



Ilustración 9. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 0,1.



Ilustración 11. Resultados obtenidos para la comparación para un gamma de 1.



EJERCICIO

Ecuación 12


- Entrada escalón (Step).
- Señal aleatoria (Random Number).


o Representar el parámetro
o Valor óptimo de
se ha empleado el siguiente código donde tenemos :
K=1; sistema=tf(K*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));
Km=3; modelo=tf(Km*[1 0.7],conv(conv([1 0.5],[1 1.5]),[1 2]));
gamma=0.75; gamma=0.5; gamma=0.3;
: Aparece una situación de inestabilidad.
: Para las señales pulse generator y random no hay buen comportamiento.
: Obtenemos un resultado aceptable para todas las señales.

azul representa la señal de salida y error procedente del modelo y el color verde representa la
señal de salida y error procedente del sistema regulado por un MRAC.

obtienen para la señal de entrada escalón y sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración
14. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada dentro de los
primeros 30 segundos para las entradas mencionadas, para las otras dos entradas tiene un mal
Por otro lado, para valores grandes de gamma (0,75) se obtienen los mejores resultados del
sistema para el escalón, la entrada de pulso y la señal aleatoria (Ilustración 12). En este caso,
se alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para las
entradas escalón y sinusoidal se obtiene que el regulador inestabiliza el sistema. Buscando un
valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados aceptables para un
parámetro gamma de 0,5, tal y como se muestra en la Ilustración 13, donde a partir del minuto
y medio de simulación ya se alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas las
gráficas el valor en régimen permanente del parámetro theta de 3.



DESARROLLO (DOS PARÁMETROS)
Supongamos un modelo y un sistema tal que éste sea las funciones de transferencia
del modelo y de la planta :

Ecuación 13

Ecuación 14

donde los parámetros a y b son desconocidos. Definamos los parámetros y
donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos. A
continuación, se determina la expresión del control, es decir, la diferencia entre la salida del
modelo y la señal de entrada, aplicando asignación de polos:

Ecuación 15

Aplicaremos la regla del MIT:

Ecuación 16

Y la definición de error:

Ecuación 17

De la función de transferencia en bucle cerrado del sistema con el controlador:

Ecuación 18

De la Ecuación de control , se tiene el siguiente resultado:

Ecuación 19

Remodelando la expresión se tiene que la salida en función de la señal de entrada
responde a la siguiente expresión:

Ecuación 20

A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto a los dos
parámetros para el error, sabiendo que y :

Ecuación 21

Ecuación 22



Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del primer parámetro theta
transformando la expresión del siguiente modo:

Ecuación 23

de donde  Suponiendo que estamos cerca de la
situación de adaptación.

A continuación, se procede con el cálculo de las derivadas respecto al parámetro que
restaba:

Ecuación 24

Ecuación 25

Por otro lado, podemos obtener el valor de la derivada del segundo parámetro theta
transformando la expresión del siguiente modo:

Ecuación 26

Recapitulando, tenemos que:

Ecuación 27

Ecuación 28

Esto es lo mismo que:

Ecuación 29

Ecuación 30



EJERCICIO

Ecuación 31

Ecuación 32


Frec=0’5 Rad/s
A=1
Amp=2

10 20
20 s
o Valor óptimo. Por ejemplo,
 Para en seno se inestabiliza la salida.
 Para no se consigue "cazar" el seno.
o Representar el parámetro y
o Valor óptimo de

Luego probamos con a muy distinto de o b muy distinto de .


se ha empleado el siguiente código donde tenemos y donde
realmente los parámetros a y b son valores desconocidos:

a=1;b=0.5;am=2;bm=2;
porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);
gamma=0.30;gamma=0.95;gamma=4.95;
gamma=9.95;gamma=19.95;gamma=99.95;
azul representa la señal de salida procedente del modelo y el verde aquella procedente del
sistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a los
parámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema regulado
por un MRAC.



obtienen para la señal sinusoidal tal y como se muestra en la Ilustración 16. Se puede observar
cómo, mientras que el sistema alcanza la salida deseada para la entrada mencionada, para las
otras dos entradas tiene un mal comportamiento puesto que ni durante 100 segundos es
capaz de llegar a la salida deseada.

Por otro lado, para valores grandes de gamma (19,95 y 99,95) se obtienen los mejores
resultados del sistema para el random, (Ilustración 20 e Ilustración 21). En este caso, se
alcanzan los valores deseados dentro de los primeros 30 segundos. Sin embargo, para la
entrada sinusoidal se obtiene que el regulador no consigue estabilizar los parámetros.

Buscando un valor óptimo para todas las entradas se han obtenido resultados
aceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y como se muestra en la Ilustración 19,
donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya se alcanza la señal de salida
deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en régimen permanente del
parámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y .

Ahora probamos con a muy distinto de o b muy distinto de .

Para ello se ha empleado el siguiente valor donde tenemos y
donde realmente los parámetros a y b son valores desconocidos: a = 10.

En definitiva, se obtiene que los resultados son peores puesto que el sistema necesita
más tiempo para ir a los valores del sistema puesto que ahora están más “lejos” y por lo tanto,
necesitamos más tiempo o mejor gamma.

sistema regulado. En las gráficas de la derecha el color azul y verde representan a los
parámetros y , respectivamente, y el color rojo al error procedente del sistema regulado
por un MRAC.

obtienen para la señal sinusoidal. Se puede observar cómo, mientras que el sistema alcanza la
salida deseada para la entrada mencionada, para las otras dos entradas tiene un mal

El MRAS se basa en la idea de llevar el error e = Y –Ym a cero. Esto no implica
necesariamente que los parámetros del regulador sean los valores correctos. El caso cuando la
señal de entrada es cero es un contra ejemplo típico. Buscando un valor óptimo para todas las
entradas se han obtenido resultados aceptables para un parámetro gamma de 9,95, tal y como
se muestra en la Ilustración 19, donde a partir del minuto de simulación aproximadamente ya
se alcanza la señal de salida deseada. Se puede observar en todas las gráficas el valor en
régimen permanente del parámetro theta 1 de 4 y theta 2 de 2: y
.



porasi g_model o porasi g_model o

LT I System8 S model o para un Pul se LT I System12 S model o para un Random

Error para un Pul se
Error para un Random

Comparaci ón para un Random
Pul se
Uni form Random
Generator Number
Comparaci ón para un Pul se

Product6 Product14

porasi g_si stema porasi g_si stema
Product8 Product16
1 1 LT I System9 S si stema para un Pul se 1 1 LT I System13 S si stema para un Random
-gamma -gamma
s+am s s+am s

T ransfer Fcn Integrator3 T ransfer Fcn4 Integrator7
Gai n4 Gai n8
Product7 Product15

Product9 theta11 Product17
theta31
1 1 theta12 1 1
gamma gamma
s+am s s+am s

T ransfer Fcn1 Integrator5 T ransfer Fcn5 Integrator8
Gai n5 Gai n9
theta32

Comparaci ón para theta-Error para un pul se Comparaci ón para theta-Error para un random

porasi g_model o

LT I System10 S model o para un seno

Error para un seno

Comparaci ón para un seno

Si ne Wave2

Product10

porasi g_si stema
Product12
1 1 LT I System11 S si stema para un seno
-gamma
s+am s

T ransfer Fcn2 Integrator4
Gai n6
Product11

Product13
theta21
Comparaci ón para theta-Error para un seno
1 1
gamma
s+am s

T ransfer Fcn3 Integrator6
Gai n7
theta22




Diseño de reguladores MRAS basados en Teoría de la Estabilidad
Una forma de lograr el ajuste de parámetros en un MRAS es intentar leyes de ajuste
tales que garanticen que el error vaya a cero.

El problema consiste en encontrar una ley de realimentación tal que e = y – ym tienda
a cero y que esta condición esté garantizada.

TEORÍA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV
En matemáticas, la noción de estabilidad de Lyapunov se da en el estudio de los
sistemas dinámicos.

De manera sencilla, si todas las soluciones de un sistema dinámico descrito por una
función X(t) que se encuentre cerca de un punto de equilibrio Xo en una vecindad acotada por
T, entonces las trayectorias de la función X(t) son estables según Lyapunov.

De manera fuerte, si la solución comienza en la vecindad de X(0) y converge a Xo,
entonces X(t) es asintóticamente estable en el sentido de Lyapunov.

2º TEOREMA DE LA ESTABILIDAD DE LYAPUNOV
Lyapunov introdujo un método directo para investigar la estabilidad de una solución
particular de ecuaciones diferenciales no lineales.

El equilibrio x = 0 es estable si se puede encontrar una función real en el espacio de
estado cuyas curvas de nivel encierran el equilibrio tal que las derivadas de los variables de
estado siempre apunten al interior de las curvas de nivel.

Ilustración 28. Representación de las curvas de nivel que encierran el equilibrio.

Dada la ecuación diferencial en variables de estado:

Ecuación 33

donde x es vector de estado de dimensión n, f es una función tal que la solución existe
para todo t ≥ to. El punto de equilibrio es el origen y, aunque esto parezca restrictivo, se puede
lograr siempre cualquier punto del espacio con una sencilla transformación de coordenadas.



Si existe una función V que cumple:

1) Ecuación 34

2) es diferenciable en y

3) es definida positiva: Ecuación 35

Ecuación 36

Ecuación 37

La condición suficiente de estabilidad del punto Esto viene a decir que el sistema va a
de equilibrio x=0 es que sea definida tender a x=0 si se cumplen las
negativa. condiciones del 2º Teorema.

Una condición suficiente para garantizar que el equilibrio x = 0 es asintóticamente
estable es que la función:

Ecuación 38

, es decir debe ser definida negativa. En el caso del control adoptable solo se
exige que sea semidefinida negativa. Esto implica que se impone una condición
adicional sobre el sistema:

Lema (convergencia).

Si g es una función real de una variable real t, definida y uniformemente continua para
t > 0, y si el límite de la integral:

Ecuación 39

Cuando t tiende a infinitivo existe y es un número finito, entonces:

Ecuación 40



DESARROLLO
Recordemos nuestro sistema:

SISTEMA

MODELO

Definamos los siguientes parámetros de modo que deseamos que el error tienda a
cero :

Ecuación 41

Ecuación 42

Ecuación 43

Asumiremos que la función definida antes como V es el error e. Calculamos:

Ecuación 44

Obtenemos el valor de la derivada del error del siguiente modo:

Ecuación 45

A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida:

Ecuación 46

A partir de la función de transferencia obtenemos la derivada de la salida:



Se intenta que aparezca e

Sumo y resto

Ecuación 47

El siguiente paso consiste en encontrar una función V (función candidata de Lyapunov)
adecuada para el problema:

Ecuación 48

Cumple las tres primeras condiciones: ES CANDIDATA.

1- Si e = 0

e2=0 .

2- Si y existe.

2
3- Si 0

¿ es definida negativa?

Ecuación 49



Con esto se anulan los dos factores:

Ecuación 50

Ecuación 51

Obtenemos los siguientes resultados:

Ecuación 52

Ecuación 53

Ecuación 54

Se tiene que:

(Definida negativa) Ecuación 55

La función V será decreciente si el error es diferente de cero; y el error irá a cero.
Notemos sin embargo, que esto no significa que los parámetros y converjan a los valores
de equilibrio a menos que se impongan otras condiciones. La regla obtenida es similar a la
regla MIT, pero las derivadas de sensibilidad son remplazadas por otras señales.



EJERCICIO

Ecuación 56

Ecuación 57


- Escalón.
- Random.
- Repeating sequence.
o Comprobar si el sistema tarda menos tiempo en alcanzar la señal.

a=1;b=0.5;am=2;bm=2;
porasig_sistema=tf([b],[1 a]);porasig_modelo=tf([bm],[1 am]);
gamma=2;gamma=10;gamma=20;
sistema regulado. En las gráficas inferiores aparecen los resultados para el nuevo método.

Se observa claramente que el nuevo método desarrollado es más rápido para todas las
entradas.



??? ??? ??? ??? ???

LTI System8 S modelo4 LTI System10 S modelo5 LTI System12 S modelo6 LTI System1 S modelo1 LTI System3 S modelo2

Error3 Error4 Error5 Error1 Error2
Comparación3 Comparación4 Comparación5 Comparación1 Comparación2

Step Pulse Sine Wave Repeating Uniform Random
Generator Sequence Number

Product6 Product10 Product14 Product1 Product5

??? ??? ??? ??? ???
1 1 LTI System9 S sistema4 1 1 LTI System11 S sistema5 1 1 LTI System13 S sistema6 1 1 LTI System2 S sistema1 1 1 LTI System4 S sistema2
-gamma -gamma -gamma -gamma -gamma
s+am s s+am s s+am s s+am s s+am s
Transfer Fcn Integrator3 Transfer Fcn2 Integrator4 Transfer Fcn4 Integrator7 Transfer Fcn6 Integrator1 Transfer Fcn8 Integrator11
Gain4 Gain6 Gain8 Gain1 Gain3

Product9 theta11 Product13 Product17 Product4 Product24
theta21 theta31 theta41 theta51
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
gamma gamma gamma gamma gamma
s+am s s+am s s+am s s+am s s+am s
Transfer Fcn1 Integrator5 Transfer Fcn3 Integrator6 Transfer Fcn5 Integrator8 Transfer Fcn7 Integrator2 Transfer Fcn9 Integrator12
Gain5 Gain7 Gain9 Gain2 Gain12
theta12 theta22 theta32 theta42 theta52

??? ???
??? ???
??? S modelo9 LTI System20 S modelo10
LTI System18
LTI System7 S modelo8

Error9 Error10
Error7 Error8 Comparación10
Error6 Comparación9
Comparación7 Comparación8
Comparación6
Sine Wave1
Step1

Product37
Product33
Product25 Product29
Product18 ???
??? Product39
??? Product35
??? ??? Product31 S sistema10
Product27 LTI System17 S sistema9 1 LTI System19
Product20 1 -gamma
S sistema3 1 LTI System16 S sistema8 -gamma s
LTI System15 S sistema7 1 LTI System6 -gamma s
1 -gamma s
-gamma s Integrator18 Integrator20
s
Integrator14 Integrator16 Gain19
Integrator9 Gain17
Gain13 Gain15 Product34 Product38
Gain10
Product26 Product30
Product19 thetaL41 Product40 thetaL51
Product36
thetaL21 Product32 thetaL31
Product21 thetaL11 Product28 1 1
gamma gamma
1 s s
1 1 gamma
gamma s Integrator19
gamma s Integrator17
s
Integrator15 Gain20
Integrator10 Integrator13 Gain18 thetaL52
Gain16 thetaL42
Gain11 Gain14 thetaL32
thetaL12 thetaL22



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