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F´
 ısica para o Ensino M´dio Integrado
                        e
    com T´cnico em Mecˆnica ou
           e              a
           Eletroeletrˆnica
                      o




              1o M´dulo — Resumo e Exerc´
                  o                     ıcios

                          Fernando C. Guesser
                     fernando.guesser@ifsc.edu.br

                           21 de setembro de 2012
    vers˜o atualizada dispon´ em www.joinville.ifsc.edu.br/∼fernando.guesser
        a                   ıvel
Sum´rio
   a

1 Onde est´ a F´
          a    ısica?                          1

2 Grandezas F´
             ısicas e Unidades de Medida       3

3 Movimento Unidimensional                     6

4 Vetores                                      9

5 Movimento Tridimensional                     12




                                           i
Por que estudar F´
                 ısica no Ensino
M´dio T´cnico?
  e     e

   Muita gente diz que n˜o gosta de f´
                            a             ısica, mas vocˆ j´ parou para pensar o quanto esta ciˆncia colabora para
                                                         e a                                        e
o desenvolvimento tecnol´gico e cientifico, al´m ´ claro, de tornar muitas tecnologias poss´
                           o                     e e                                             ıveis de serem usadas.
   A f´ısica est´ presente em todo lugar, pois todos os princ´
                 a                                                  ıpios de funcionamento das coisas s˜o regidos por
                                                                                                         a
fenˆmenos f´
   o         ısicos apresentados em experiˆncias laboratoriais ou observadas na natureza.
                                              e
    ´
   E de extrema importˆncia o conhecimento de muitos conceitos f´
                            a                                                 ısicos para que os t´cnicos das ´reas de
                                                                                                  e            a
tecnologia possam entender como funcionam os diversos recursos e projetar novos dispositivos.
   A f´ısica pode ser considerada como o bastidor da mecˆnica e eletroeletrˆnica e das diversas ´reas da enge-
                                                                a                    o                   a
nharia, pois muitas tecnologias e componentes empregados no ch˜o de f´brica tais como, motores, solen´ides,
                                                                          a       a                              o
sensores, resistores, prensas e etc, utilizam princ´ ıpios f´
                                                            ısicos.
   - Por que quando desligamos um motor ele ainda continua o seu movimento?
   - O que ´ corrente el´trica?
             e            e
   - Como funciona o termˆmetro?
                              o
   - Como funciona um sensor?
   - Como ´ formado um campo magn´tico?
             e                             e
   ...
   -Como as coisas funcionam?
   Vire a p´gina e comece a desvendar as respostas ao longo do primeiro volume deste livro.
             a

   Nesse volume iniciamos o estudo da Mecˆnica que analisa o movimento, as varia¸˜es de energia e as for¸as
                                          a                                     co                      c
que atuam sobre um corpo e subdivide-se em:
   • Cinem´tica
          a
   • Dinˆmica
        a
   • Trabalho e energia mecˆnica
                           a
   • Sistema de part´
                    ıculas
   • Colis˜es
          o
   • Movimento rotacional
   • Gravita¸˜o
            ca
   Os seguintes volumes tratar˜o de termodinˆmica e ondas, eletromagnetismo, ´tica e f´
                              a             a                                o        ısica moderna.




                                               Figura 1: M˜os ` obra!
                                                          a a




                                                          ii
Cap´
   ıtulo 1

Onde est´ a F´
        a    ısica?

    A F´ısica est´ a´ perto de vocˆ, ` sua volta. Nessa primeira leitura, iremos “enxerg´-la”.
                 a ı               e a                                                   a
    Desde que vocˆ nasceu come¸ou a aprender uma infinidade de coisas: segurar a mamadeira, derrubar os
                    e               c
brinquedos do ber¸o, destruir os enfeites da casa ... Pode parecer que n˜o, mas essas atividades t˜o edificantes
                    c                                                      a                         a
eram o in´ do seu aprendizado de f´
           ıcio                         ısica.
    Com o tempo, vocˆ passou a executar tarefas mais complicadas, tais como atravessar uma rua movimentada,
                       e
tomar sopa, enfiar linha na agulha e quem sabe at´ andar na corda bamba ...
                                                    e
    E assim sua mente teve que construir uma verdadeira “f´   ısica pr´tica”. Vocˆ faz uso dessa “f´
                                                                       a          e                  ısica” quando
joga bola, anda de bicicleta, aperta um parafuso: s˜o coisas ligadas a uma parte da f´
                                                      a                                  ısica chamada Mecˆnica.
                                                                                                             a
                                      a        a                                   ´
Da mesma maneira, coisas ligadas ` sua vis˜o fazem parte de um ramo chamado Optica, enquanto a sensa¸˜o de   ca
frio e calor faz parte da F´ısica T´rmica. O Eletromagnetismo ´ uma outra parte da f´
                                   e                             e                      ısica que est´ relacionada
                                                                                                      a
ao uso de aparelhos el´tricos em geral. Vamos discutir um pouco mais cada uma delas:
                        e




                                                        1
2                                                                     CAP´
                                                                         ITULO 1. ONDE ESTA A F´
                                                                                          ´    ISICA?

    Este livro ser´ dedicado ao estudo da Mecˆnica. Para uma primeira compreens˜o do significado desse ramo
                  a                          a                                 a
da f´
    ısica, um dicion´rio pode nos ajudar.
                     a




    Se vocˆ procurar no dicion´rio a palavra Mecˆnica encontrar´ a seguinte defini¸˜o:
          e                   a                 a              a                 ca

                   Mecˆnica: 1. Ciˆncia que investiga os movimentos e as for¸as que os provocam.
                       a           e                                        c
                   2. Obra, atividade ou teoria que trata de tal ciˆncia: a mecˆnica de Laplace.
                                                                   e           a
                   3. O conjunto das leis do movimento.

   Pela defini¸˜o do dicion´rio, percebemos que Mecˆnica pode ser muita coisa. E realmente ´. Da mesma
              ca           a                          a                                       e
forma, se pensarmos nas coisas que vocˆ usa, faz ou conhece tamb´m encontraremos muitas outras liga¸˜es com
                                      e                         e                                  co
a Mecˆnica.
     a
   Tente lembrar de coisas ou situa¸˜es que vocˆ conhece e que est˜o relacionadas ` Mecˆnica:
                                   co           e                 a               a    a




    Vamos agrup´-las de acordo com a forma como a F´
                a                                  ısica lida com elas. No dicion´rio, vocˆ viu que a Mecˆnica,
                                                                                 a        e              a
se preocupa sobretudo com as id´ias de MOVIMENTOS, FORCAS e EQUIL´
                                e                                ¸                IBRIO.

    • Movimentos:

        – Coisas que se deslocam (transla¸˜o).
                                         ca
        – Coisas que giram (rota¸˜o).
                                ca

    • For¸as
         c

        – Coisas que produzem movimentos.
        – Coisas que controlam movimentos.
        – Coisas que ampliam a nossa for¸a.
                                        c

    • Equil´
           ıbrio

        – Coisas que permanecem em equil´
                                        ıbrio.
Cap´
   ıtulo 2

Grandezas F´
           ısicas e Unidades de
Medida

     A Medi¸˜o na F´
             ca        ısica: A f´
                                 ısica se baseia na medi¸˜o de grandezas f´
                                                        ca                ısicas. Algumas grandezas f´
                                                                                                     ısicas, como
comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais; cada uma foi definida atrav´s          e
de um padr˜o e recebeu uma unidade de medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas
              a
f´
 ısicas s˜o definidas em termos das grandezas fundamentais e de seus padr˜es e unidades.
         a                                                                    o
     Unidades do SI: O sistema de unidades adotado neste livro ´ o Sistema Internacional de Unidades (SI).
                                                                    e
As trˆs grandezas f´
      e             ısicas mostradas na tabela abaixo s˜o usadas nos primeiros cap´
                                                         a                           ıtulos.

                                 Trˆs Grandezas Fundamentais do SI
                                    e
                           Grandeza     Nome da Unidade S´
                                                         ımbolo da Unidade
                           Comprimento      metro               m
                           Tempo           segundo               s
                           Massa          quilograma            kg

Os padr˜es, que tˆm que ser acess´
        o         e               ıveis e invari´veis, foram estabelecidos para essas grandezas fundamentais
                                                a
por um acordo internacional. Esses padr˜es s˜o usados em todas as medi¸˜es f´
                                          o    a                              co   ısicas, tanto das grandezas
fundamentais quanto das grandezas secund´rias. A nota¸ao cient´
                                           a             c˜      ıfica e os prefixos da tabela abaixo s˜o usados
                                                                                                     a
para simplificar a nota¸˜o das medic˜es.
                      ca            o

                                       Prefixos das Unidades do SI
                            Fator   Prefixo S´ımbolo Fator Prefixo            S´
                                                                             ımbolo
                            109     giga-      G     10−3  mili-               m
                            106     mega-     M      10−6  micro-              µ
                            103     quilo-     k     10−9  nano-               n

    Mudan¸a de Unidades: A convers˜o de unidades pode ser feita usando o m´todo de convers˜o em cadeia,
            c                            a                                       e                 a
no qual os dados originais s˜o multiplicados sucessivamente por fatores de convers˜o unit´rios e as unidades s˜o
                            a                                                     a      a                    a
manipuladas como quantidades alg´bricas at´ que apenas as unidades desejadas permane¸am.
                                    e         e                                           c
    Comprimento: O metro ´ definido como a distˆncia percorrida pela luz durante um intervalo de tempo
                                e                     a
especificado.
    Tempo: O segundo ´ definido em termos das oscila¸˜es da luz emitida por um is´topo de um certo ele-
                          e                               co                            o
mento qu´ ımico (c´sio-133). Sinais de tempo precisos s˜o enviados a todo o mundo atrav´s de sinais de r´dio
                  e                                     a                                   e               a
sincronizados por rel´gios atˆmicos em laborat´rios de padroniza¸˜o.
                     o        o                 o                 ca
    Massa: O quilograma ´ definido em termos de um padr˜o de massa de platina-ir´
                             e                                 a                           ıdio mantido em um
laborat´rio nas vizinhan¸as de Paris.
       o                 c




                              Figura 2.1: Prot´tipo internacional do quilograma
                                              o

   Para medi¸˜es em escala atˆmica ´ comumente usada a unidade de massa atˆmica, definida em termos do
            co               o     e                                      o
a
´tomo de carbono-12.

                                                       3
4                                       CAP´
                                           ITULO 2. GRANDEZAS F´
                                                               ISICAS E UNIDADES DE MEDIDA

    Massa espec´
               ıfica: A massa espec´
                                  ıfica ρ de uma substˆncia ´ a massa por unidade de volume:
                                                     a     e
                                                             m
                                                        ρ=                                               (2.1)
                                                             V
   N´ meros significativos: Quando vocˆ computa um resultado a partir de v´rias medidas, cada medida
     u                                      e                                     a
tem uma certa acur´cia, e o resultado deve ser dado com os n´meros significativos da medida de menor acur´cia.
                  a                                         u                                           a


Exerc´
     ıcios Aplicados
    1. Na ´rea metalmecˆnica a unidade de medida mais utilizada ´ o mil´
          a              a                                      e      ımetro. Mas existem muitos dispositivos
       que utilizam o sistema inglˆs. Por exemplo, muitas porcas e parafusos vem dimensionados em polegadas
                                  e
                           ımbolo (′′ ). Quantos mil´
       que denota-se pelo s´                        ımetros medem:

             1 ′′                                3 ′′                                3 ′′
       (a)   2                             (b)   4                             (c)   8


    2. Em mecˆnica de precis˜o usa-se muito o micrˆmetro (1 µm) tamb´m chamado de m´
             a              a                     o                 e              ıcron.

       (a) Quantos m´
                    ıcrons tem 1,0 m?
       (b) Quantos m´
                    ıcrons tem uma jarda?

    3. A edi¸˜o do jornal A Not´
            ca                 ıcia de 19 de fevereiro anunciava:

      H´ 52 milh˜es de metros quadrados de vazios urbanos em Joinville.
       a        o
      `
      A primeira vista a medida da ´rea assusta. Mas se a unidade de medida fosse o Km2 , como ficaria a
                                    a
      not´
         ıcia? Ela n˜o causaria menos impacto apesar de se referir ` mesma ´rea?
                    a                                              a       a




    4. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine:

       (a) A circunferˆncia da Terra em quilˆmetros.
                      e                     o
       (b) A ´rea da superf´ da Terra em quilˆmetros quadrados.
             a             ıcie              o
       (c) O volume da Terra em quilˆmetros c´bicos.
                                    o        u

    5. Uma certa marca de tinta de parede promete uma cobertura de 460 p´s quadrados por gal˜o.
                                                                        e                   a

       (a) Expresse este valor em metros quadrados por litro.
       (b) Expresse este valor em unidades do SI.
       (c) Qual ´ o inverso da grandeza original e qual o seu significado f´
                e                                                         ısico?

    6. Os engenheiros hidr´ulicos dos Estados Unidos usam frequentemente, como unidade de volume de ´gua,
                           a                                                                           a
       o acre-p´, definido como um volume de ´gua suficiente para cobrir 1 acre de terra at´ a profundidade de
               e                              a                                          e
       1 p´. Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas de chuva em 30 min em uma cidade com uma ´rea
          e                                                                                             a
       de 26 km2 . Que volume de ´gua, em acres-p´s, caiu sobre a cidade?
                                  a               e

    7. Uma unidade de ´rea frequentemente usada na medi¸˜o de ´reas de terrenos ´ o hectare, definido como
                       a                                  ca    a                  e
       104 m2 . Uma mina de carv˜o a c´u aberto consome anualmente 75 hectares de terra at´ uma profundidade
                                a     e                                                   e
       de 26 m. Qual ´ o volume de terra removido por ano em quilˆmetros c´bicos?
                     e                                           o         u

    8. Um tempo de aula (50 min) ´ aproximadamente igual a 1 micross´culo.
                                 e                                  e
5

    (a) Qual ´ a dura¸˜o de um micross´culo em minutos?
             e       ca               e
    (b) Usando a rela¸˜o
                     ca
                                                            real − aproximado
                                        erro percentual =                       × 100                  (2.2)
                                                                  real


         determine o erro percentual dessa aproxima¸˜o.
                                                   ca

 9. At´ 1913, cada cidade do Brasil tinha sua hora local. Hoje em dia acertamos nossos rel´gios em viagens
       e                                                                                  o
    apenas quando a varia¸˜o de tempo ´ igual a 1,0 h (o que corresponde a um fuso hor´rio). Que distˆncia,
                           ca            e                                            a              a
    em m´dia, uma pessoa deve percorrer, em graus de longitude, para passar de um fuso hor´rio a outro e
          e                                                                                  a
    ter que acertar o rel´gio? (Sugest˜o: A Terra gira 360◦ em aproximadamente 24 h.)
                         o            a

10. Como a velocidade de rota¸˜o da Terra est´ diminuindo gradualmente, a dura¸˜o dos dias est´ aumen-
                               ca              a                                ca             a
    tando: o dia no final de 1,0 s´culo ´ 1,0 ms mais longo que o dia no in´ do s´culo. Qual ´ o aumento
                                  e    e                                  ıcio  e           e
    da dura¸˜o do dia ap´s 20 s´culos?
           ca           o       e

11. A ´gua tem uma densidade ρ de 1,0 g/cm3 .
      a

    (a) Determine a massa de um metro c´bico de ´gua em quilogramas.
                                       u        a
    (b) Suponha que s˜o necess´rias 10,0 h para drenar um recipiente com 5700 m3 de ´gua. Qual ´ a “vaz˜o
                     a        a                                                     a          e       a
        de massa” da ´gua do recipiente, em quilogramas por segundo?
                     a

12. O ouro, que tem uma massa espec´ ıfica de 19,32 g/cm3 , ´ um metal extremamente d´ctil e male´vel, isto
                                                           e                        u           a
    ´, pode ser transformado em fios ou folhas muito finas.
    e

    (a) Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 g, ´ prensada at´ se tornar uma folha com 1,000
                                                          e            e
        µm de espessura, qual ´ a ´rea dessa folha?
                              e a
    (b) Se, em vez disso, o ouro ´ transformado em um fio cil´
                                 e                          ındrico com 2,500 µm de raio, qual ´ o
                                                                                               e
        comprimento do fio?

13. A Terra tem uma massa de 5,98×1024 kg. A massa m´dia dos ´tomos que comp˜em a Terra ´ 40 u.
                                                    e        a              o           e
    Quantos ´tomos existem na Terra?
            a

14. Uma mol´cula de ´gua (H2 O) cont´m dois ´tomos de hidrogˆnio e um ´tomo de oxigˆnio. Um ´tomo de
             e       a               e       a               e        a             e        a
    hidrogˆnio tem uma massa de 1,0 u, e um ´tomo de oxigˆnio tem uma massa de 16 u, aproximadamente.
          e                                 a            e

    (a) Qual ´ a massa de uma mol´cula de ´gua em quilogramas?
             e                   e        a
    (b) Quantas mol´culas de ´gua existem nos oceanos da Terra, cuja massa estimada ´ 1,4×1021 kg?
                   e         a                                                      e
Cap´
   ıtulo 3

Movimento Unidimensional

   Posi¸˜o: A posi¸ao x de uma part´
        ca           c˜                 ıcula em um eixo x localiza a part´
                                                                          ıcula em rela¸˜o ` origem, ou ponto
                                                                                       ca a
zero, do eixo. A posi¸˜o ´ negativa ou positiva, dependendo do lado da origem em que se encontra a part´
                      ca e                                                                               ıcula,
ou zero, se a part´
                  ıcula se encontra na origem. O sentido positivo de um eixo ´ o sentido em que os n´meros
                                                                                 e                     u
positivos aumentam; o sentido oposto ´ o sentido negativo.
                                       e
   Deslocamento: O deslocamento ∆x de uma part´       ıcula ´ a varia¸˜o de sua posi¸˜o:
                                                            e        ca             ca
                                                ∆x = x2 − x1                                              (3.1)

                 e                           ´
O deslocamento ´ uma grandeza vetorial. E positivo se a part´    ıcula se move no sentido positivo do eixo x, e
negativo se a part´
                  ıcula se move no sentido oposto.
    Velocidade M´dia: Quando uma part´
                    e                       ıcula se desloca de uma posi¸˜o x1 para uma posi¸˜o x2 durante um
                                                                         ca                 ca
intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 , sua velocidade m´dia durante esse intervalo ´ dada por:
                                                    e                         e
                                                    ∆x   x2 − x1
                                           vm´d =
                                             e         =         .                                        (3.2)
                                                    ∆t   t2 − t1
O sinal alg´brico de vm´d indica o sentido do movimento (vm´d ´ uma grandeza vetorial). A velocidade m´dia
           e           e                                      e e                                     e
n˜o depende da distˆncia que uma part´
 a                  a                   ıcula percorre, mas apenas das posi¸˜es inicial e final.
                                                                           co

   Velocidade Escalar M´dia: A velocidade escalar m´dia sm´d de uma part´
                          e                             e       e              ıcula durante um intervalo de
tempo ∆t depende da distˆncia total percorrida pela part´
                        a                               ıcula nesse intervalo:
                                                    distˆncia total
                                                        a
                                           sm´d =
                                             e                      .                                     (3.3)
                                                          ∆t
   Acelera¸˜o M´dia: A acelera¸ao m´dia ´ a raz˜o entre a varia¸˜o da velocidade ∆v e o intervalo de tempo
           ca     e              c˜ e   e      a               ca
∆t no qual essa varia¸˜o ocorre:
                     ca
                                                           ∆v
                                                 am´d =
                                                   e          .                                           (3.4)
                                                           ∆t
O sinal alg´brico indica o sinal de am´d .
           e                          e
   Acelera¸˜o Constante: As trˆs equa¸˜es a seguir descrevem o movimento de uma part´
             ca                     e      co                                       ıcula com acelera¸˜o
                                                                                                     ca
constante:
                                                 v = v0 + at                                              (3.5)
                                                            1
                                               ∆x = v0 t + at2                                            (3.6)
                                                            2
                                                v 2 = v0 + 2a∆x
                                                       2
                                                                                                          (3.7)
Estas equa¸˜es n˜o s˜o v´lidas quando a acelera¸˜o n˜o ´ constante.
           co    a a a                          ca a e
   Acelera¸˜o em Queda Livre: Um exemplo importante de movimento unidimensional com acelera¸˜o
            ca                                                                                        ca
constante ´ o de um objeto subindo ou caindo livremente nas proximidades da superf´ da Terra. As equa¸˜es
          e                                                                       ıcie               co
para acelera¸˜o constante podem ser usadas para descrever este movimento mas devemos fazer duas mudan¸as
            ca                                                                                        c
na nota¸˜o:
       ca
   • O movimento ´ descrito em rela¸˜o a um eixo vertical y, com +y orientado verticalmente para cima, assim
                   e                 ca
     nas equa¸˜es (3.6) e (3.7) substitu´
             co                         ımos ∆x por ∆y;
   • A acelera¸˜o a ´ substitu´ por −g nas equa¸˜es (3.5), (3.6) e (3.7), onde g ´ o m´dulo da acelera¸˜o em
              ca    e         ıda               co                               e    o               ca
     queda livre. Perto da superf´ da Terra, g = 9,8 m/s2 .
                                  ıcie

                                                       6
7

Exerc´
     ıcios Aplicados
 1. A planta de crescimento mais r´pido de que se tem not´ ´ uma Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7m
                                  a                      ıcia e
    em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em micrˆmetros por segundo?
                                                                      o




 2. Um cilindro pneum´tico executou um movimento com um curso de 44, 0cm em um tempo de 0, 70s. Qual
                       a
    ´ a sua velocidade m´dia em Km/h?
    e                    e




 3. Calcule a velocidade m´dia nos dois casos seguintes:
                          e

    (a) Vocˆ caminha 73, 2m a uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre 73, 2m a 3, 05m/s em uma pista
            e
        reta.
    (b) Vocˆ caminha 1, 00min com uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre por 1min a 3, 05m/s em uma
            e
        linha reta.
     (c) Fa¸a o gr´fico de x em fun¸˜o de t nos dois casos.
           c      a               ca

                                    x(m)
                                    ✻




                                                                              ✲ t(s)
                                0          20   40   60       80       100   120
 4. A velocidade de corte para tornear um eixo de alum´ em um torno mecˆnico ´ de 500m/min. Determine
                                                      ınio             a     e
    esta velocidade em:

    (a) m/s                                                  (b) km/h




 5. Um carro sobe uma ladeira com velocidade constante de 40Km/h e desce a ladeira com uma velocidade
    constante de 70Km/h. Calcule a velocidade escalar m´dia da viagem de ida e de volta.
                                                       e

 6. Uma plataforma executa um movimento com 6s de dura¸˜o com a seguinte fun¸˜o posi¸˜o:
                                                      ca                    ca      ca

                                                            t3
                                                 x(t) = −      + 4t2
                                                            3
   com x em metros e t em segundos.
8                                                         CAP´
                                                             ITULO 3. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL




       (a)   Determine sua velocidade m´dia.
                                         e
       (b)   Estime em que instante a velocidade ´ m´xima?
                                                 e a
       (c)   Determine sua acelera¸˜o m´dia.
                                  ca    e
       (d)   Em que instante a acelera¸˜o se anula?
                                      ca
    7. Gotas de chuva caem 2000m de uma nuvem at´ o ch˜o. Se elas n˜o estivessem sujeitas ` resistˆncia do
                                                        e      a          a               a       e
       ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? Seria seguro caminhar na chuva?
    8. Para determinar a profundidade de um po¸o, solta-se uma pedra. Ap´s 3, 5s ouve-se o barulho do impacto
                                               c                        o
       da pedra no fundo do po¸o. Qual ´ a profundidade do po¸o?
                               c        e                     c




    9. Fa¸a os gr´ficos da posi¸˜o, velocidade e acelera¸˜o do movimento da quest˜o 6.
         c       a            ca                       ca                       a
                                    x(m)
                                      ✻




                                                                             ✲ t(s)
                                  0        1     2    3      4    5      6
                                      v(m/s)
                                      ✻




                                                                             ✲ t(s)
                                  0        1     2    3      4    5      6
                                      a(m/s2 )
                                      ✻




                                  0                                          ✲ t(s)




                                      0    1     2    3      4    5      6
Cap´
   ıtulo 4

Vetores

   Escalares e Vetores: Grandezas escalares, como a temperatura, possuem apenas um valor. S˜o especifi-
                                                                                             a
cadas por um n´mero com uma unidade (10◦ C, por exemplo) e obedecem as regras da aritm´tica e da ´lgebra
               u                                                                       e         a
comum. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um m´dulo e uma orienta¸˜o (5m para cima,
                                                                 o                   ca
por exemplo), e obedecem `s regras da ´lgebra vetorial.
                         a            a
    Soma Geom´trica de Vetores: Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente desenhando-os
                 e
na mesma escala e posicionando-os com a extremidade de um na origem do outro. O vetor que liga a origem
do primeiro ` extremidade do segundo ´ o vetor soma, s. Para subtrair b de a invertemos o sentido de b para
            a                        e
obter −b e somamos −b a a. A soma vetorial ´ comutativa e associativa.
                                            e
    Componentes de um Vetor: As componentes (escalares) ax e ay de um vetor bidimensional a em rela¸˜o  ca
aos eixos de um sistema de coordenadas xy s˜o obtidas tra¸ando retas perpendiculares aos eixos a partir da
                                            a            c
origem e da extremidade de a. As componentes s˜o dadas por
                                               a

                                     ax = a cos θ     e       ay = a sin θ,                             (4.1)

onde θ ´ o ˆngulo entre a e o semi-eixo x positivo. O sinal alg´brico de uma componente indica seu sentido
        e a                                                    e
em rela¸˜o ao eixo correspondente. Dadas as componentes, podemos encontrar o m´dulo e a orienta¸˜o de um
       ca                                                                       o               ca
vetor a atrav´s das equa¸˜es
             e          co

                                                                         ay
                                    a=    a2 + a2
                                           x    y         e    tan θ =      .                           (4.2)
                                                                         ax

                                   a                      a    ı ˆ ˆ e
   Nota¸˜o com Vetores Unit´rios: Os vetores unit´rios ˆ,  e k tˆm m´dulo unit´rio e sentido igual
         ca                                                                   o        a
ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, em um sistema de coordenadas dextr´giro. Podemos
                                                                                           o
expressar um vetor a em termos de vetores unit´rios como
                                                 a

                                                  ı      ˆ      ˆ
                                            a = axˆ + ay  + az k,                                      (4.3)

        ı    ˆ      ˆ a
onde axˆ, ay  e az k s˜o as componentes vetoriais de a; e ax , ay e az s˜o as componentes escalares.
                                                                         a
    Soma de Vetores na Forma de Componentes: Para somar vetores na forma de componentes, usamos
as regras

                                 rx = ax + bx   ry = ay + by      rz = az + bz                          (4.4)

onde a e b s˜o os vetores a serem somados e r ´ o vetor soma.
            a                                  e
    Produto de um Escalar por um Vetor: O produto de um escalar s por um vetor v ´ um vetor dee
m´dulo sv com a mesma orienta¸˜o de v se s ´ positivo e com a orienta¸˜o oposta se s ´ negativo. Para dividir
  o                              ca          e                       ca              e
v por s, multiplicamos v por 1/s.



Exerc´
     ıcios Aplicados
  1. Um robˆ de explora¸˜o percorre 1,0km do sul para o norte e depois 2,0km de oeste para leste em um
           o            ca
     campo horizontal coberto de neve. A que distˆncia ele est´ do ponto de partida e em que dire¸˜o?
                                                 a            a                                  ca

                                                      9
10                                                                                  CAP´
                                                                                       ITULO 4. VETORES




     2. Quais s˜o os componentes x e y do vetor D na figura? O seu m´dulo ´ D = 3,0m e o ˆngulo α = 45◦ .
               a                                                   o     e              a




     3. Depois da decolagem, um avi˜o viaja 10,4km do leste para oeste, 8,7km do sul para o norte e 2,1km de
                                    a
        baixo para cima. Qual ´ a sua distˆncia do ponto de partida?
                              e           a

     4. Dados os dois deslocamentos

                                            ı     ˆ             ı        ˆ
                                      D = (6ˆ + 3ˆ − k)m e E = (4ˆ − 5ˆ + 8k)m                         (4.5)

       encontre o m´dulo de deslocamento 2D − E.
                   o

     5. Numa usinagem de 5s a fresa executa o movimento

                                               t3
                                    r(t) =        −2   ˆ + −2t2 + 8t ˆ
                                                       ı                em   mm.
                                               6

        (a) Escreva a velocidade v(t) e a acelera¸˜o a(t).
                                                 ca

                                             v(t) =

                                             a(t) =
        (b) Fa¸a o gr´fico da trajet´ria da fresa de 0 ` 5s,
              c       a             o                 a
            ou seja, o gr´fico (ry × rx ).
                         a
11

6. Sendo de 10kg a massa da lumin´ria. Calcule as tra¸˜es nos cabos AB e BC:
                                 a                   co
Cap´
   ıtulo 5

Movimento Tridimensional

   Vetor Posi¸˜o: A localiza¸˜o de uma part´
              ca              ca             ıcula em rela¸˜o ` origem de um sistema de coordenadas ´ dada
                                                          ca a                                      e
por um vetor posi¸ao r, que em termos dos vetores unit´rios assume a forma
                 c˜                                   a
                                                      ı         ˆ
                                                 r = xˆ + yˆ + z k                                             (5.1)
                ˆ a
onde xˆ, yˆ e z k s˜o as componentes do vetor posi¸˜o r e x, y e z s˜o as componentes escalares (e tamb´m as
       ı                                           ca              a                                  e
coordenadas da part´  ıcula). Um vetor posi¸˜o pode ser descrito por um m´dulo e um ou dois ˆngulos, pelas
                                              ca                            o                  a
componentes vetoriais ou pelas componentes escalares.
   Deslocamento: Se uma part´        ıcula se move de tal forma que seu vetor posi¸˜o muda de r1 para r2 , o
                                                                                  ca
deslocamento ∆r da part´   ıcula ´ dado por
                                 e
                                                   ∆r = r2 − r1 .                                              (5.2)
O deslocamento tamb´m pode ser escrito na forma
                   e
                                                   ı                          ˆ
                                    ∆r = (x2 − x1 )ˆ + (y2 − y1 )ˆ + (z2 − z1 )k                               (5.3)
                                       = ∆xˆ + ∆yˆ + ∆z k
                                            ı             ˆ                                                   (5.4)
    Velocidade M´dia: Se uma part´
                  e                    ıcula sofre um deslocamento ∆r em um intervalo de tempo ∆t, sua
velocidade m´dia vm´d nesse intervalo de tempo ´ dada por
            e      e                             e
                                                   ∆r
                                                    vm´d =
                                                      e                                           (5.5)
                                                   ∆t
   Acelera¸˜o M´dia: Se a velocidade de uma part´
            ca    e                             ıcula varia de v1 para v2 no intervalo de tempo ∆t, sua
acelera¸ao m´dia durante o intervalo ∆t ´
       c˜    e                          e
                                                              ∆v
                                                    am´d =
                                                      e                                                         (5.6)
                                                              ∆t
    Movimento de Proj´teis: Movimento bal´
                             e                     ıstico ´ o movimento de uma part´
                                                          e                             ıcula que ´ lan¸ada com uma
                                                                                                  e    c
velocidade inicial v0 . Durante o percurso a acelera¸˜o horizontal da part´
                                                        ca                     ıcula ´ zero e a acelera¸˜o vertical ´
                                                                                     e                   ca         e
a acelera¸˜o de queda livre, −g. (A orienta¸˜o para cima ´ escolhida como sentido positivo.) Se v0 ´ expressa
         ca                                    ca              e                                            e
atrav´s de um m´dulo (a velocidade escalar v0 ) e um ˆngulo θ0 (medido em rela¸˜o ` horizontal), as equa¸˜es
     e           o                                         a                           ca a                      co
de movimento da part´   ıcula ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y s˜o as mesmas vistas anteriormente
                                                                                  a
para movimentos sem acelera¸˜o (horizontal) e com acelera¸˜o constante (vertical), onde:
                                ca                              ca
                                                  v0x = v0 cos θ0                                              (5.7)
                                                  v0y = v0 sin θ0                                              (5.8)
E podemos obter a equa¸˜o da trajet´ria e do alcance horizontal.
                         ca           o
    Movimento Circular Uniforme: Se uma part´       ıcula descreve uma circunferˆncia ou arco de circunferˆncia
                                                                                e                         e
de raio r com velocidade constante v, dizemos que est´ em movimento circular uniforme. Nesse caso, a part´
                                                     a                                                    ıcula
possui uma acelera¸˜o a cujo m´dulo ´ dado por
                   ca           o      e
                                                        v2
                                                      a=                                                (5.9)
                                                        r
O vetor a aponta sempre para o centro da circunferˆncia ou arco de circunferˆncia, e ´ chamado de acelera¸ao
                                                   e                        e        e                   c˜
     ıpeta. O tempo que a part´
centr´                        ıcula leva para descrever uma circunferˆncia completa ´ dado por
                                                                     e               e
                                                     2πr
                                                     T =                                                      (5.10)
                                                      v
O parˆmetro T ´ chamado de per´
     a        e               ıodo de revolu¸ao ou, simplesmente, per´
                                            c˜                       ıodo.

                                                         12
13

Exerc´
     ıcios Aplicados
 1. Um p´sitron sofre um deslocamento ∆r = 2, 0ˆ
        o                                              j      ˆ                           ca          j      ˆ
                                                 i−3, 0ˆ +6, 0k e termina com o vetor posi¸˜o r = 3, 0ˆ −4, 0k,
    em metros. Qual era o vetor posi¸˜o inicial do p´sitron?
                                    ca              o

                ca          e     e            i          j          ˆ
 2. O vetor posi¸˜o de um el´tron ´ r = (5, 0m)ˆ − (3, 0m)ˆ + (2, 0m)k. Determine o m´dulo de r. Desenhe o
                                                                                     o
    vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.

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  • 1. F´ ısica para o Ensino M´dio Integrado e com T´cnico em Mecˆnica ou e a Eletroeletrˆnica o 1o M´dulo — Resumo e Exerc´ o ıcios Fernando C. Guesser fernando.guesser@ifsc.edu.br 21 de setembro de 2012 vers˜o atualizada dispon´ em www.joinville.ifsc.edu.br/∼fernando.guesser a ıvel
  • 2. Sum´rio a 1 Onde est´ a F´ a ısica? 1 2 Grandezas F´ ısicas e Unidades de Medida 3 3 Movimento Unidimensional 6 4 Vetores 9 5 Movimento Tridimensional 12 i
  • 3. Por que estudar F´ ısica no Ensino M´dio T´cnico? e e Muita gente diz que n˜o gosta de f´ a ısica, mas vocˆ j´ parou para pensar o quanto esta ciˆncia colabora para e a e o desenvolvimento tecnol´gico e cientifico, al´m ´ claro, de tornar muitas tecnologias poss´ o e e ıveis de serem usadas. A f´ısica est´ presente em todo lugar, pois todos os princ´ a ıpios de funcionamento das coisas s˜o regidos por a fenˆmenos f´ o ısicos apresentados em experiˆncias laboratoriais ou observadas na natureza. e ´ E de extrema importˆncia o conhecimento de muitos conceitos f´ a ısicos para que os t´cnicos das ´reas de e a tecnologia possam entender como funcionam os diversos recursos e projetar novos dispositivos. A f´ısica pode ser considerada como o bastidor da mecˆnica e eletroeletrˆnica e das diversas ´reas da enge- a o a nharia, pois muitas tecnologias e componentes empregados no ch˜o de f´brica tais como, motores, solen´ides, a a o sensores, resistores, prensas e etc, utilizam princ´ ıpios f´ ısicos. - Por que quando desligamos um motor ele ainda continua o seu movimento? - O que ´ corrente el´trica? e e - Como funciona o termˆmetro? o - Como funciona um sensor? - Como ´ formado um campo magn´tico? e e ... -Como as coisas funcionam? Vire a p´gina e comece a desvendar as respostas ao longo do primeiro volume deste livro. a Nesse volume iniciamos o estudo da Mecˆnica que analisa o movimento, as varia¸˜es de energia e as for¸as a co c que atuam sobre um corpo e subdivide-se em: • Cinem´tica a • Dinˆmica a • Trabalho e energia mecˆnica a • Sistema de part´ ıculas • Colis˜es o • Movimento rotacional • Gravita¸˜o ca Os seguintes volumes tratar˜o de termodinˆmica e ondas, eletromagnetismo, ´tica e f´ a a o ısica moderna. Figura 1: M˜os ` obra! a a ii
  • 4. Cap´ ıtulo 1 Onde est´ a F´ a ısica? A F´ısica est´ a´ perto de vocˆ, ` sua volta. Nessa primeira leitura, iremos “enxerg´-la”. a ı e a a Desde que vocˆ nasceu come¸ou a aprender uma infinidade de coisas: segurar a mamadeira, derrubar os e c brinquedos do ber¸o, destruir os enfeites da casa ... Pode parecer que n˜o, mas essas atividades t˜o edificantes c a a eram o in´ do seu aprendizado de f´ ıcio ısica. Com o tempo, vocˆ passou a executar tarefas mais complicadas, tais como atravessar uma rua movimentada, e tomar sopa, enfiar linha na agulha e quem sabe at´ andar na corda bamba ... e E assim sua mente teve que construir uma verdadeira “f´ ısica pr´tica”. Vocˆ faz uso dessa “f´ a e ısica” quando joga bola, anda de bicicleta, aperta um parafuso: s˜o coisas ligadas a uma parte da f´ a ısica chamada Mecˆnica. a a a ´ Da mesma maneira, coisas ligadas ` sua vis˜o fazem parte de um ramo chamado Optica, enquanto a sensa¸˜o de ca frio e calor faz parte da F´ısica T´rmica. O Eletromagnetismo ´ uma outra parte da f´ e e ısica que est´ relacionada a ao uso de aparelhos el´tricos em geral. Vamos discutir um pouco mais cada uma delas: e 1
  • 5. 2 CAP´ ITULO 1. ONDE ESTA A F´ ´ ISICA? Este livro ser´ dedicado ao estudo da Mecˆnica. Para uma primeira compreens˜o do significado desse ramo a a a da f´ ısica, um dicion´rio pode nos ajudar. a Se vocˆ procurar no dicion´rio a palavra Mecˆnica encontrar´ a seguinte defini¸˜o: e a a a ca Mecˆnica: 1. Ciˆncia que investiga os movimentos e as for¸as que os provocam. a e c 2. Obra, atividade ou teoria que trata de tal ciˆncia: a mecˆnica de Laplace. e a 3. O conjunto das leis do movimento. Pela defini¸˜o do dicion´rio, percebemos que Mecˆnica pode ser muita coisa. E realmente ´. Da mesma ca a a e forma, se pensarmos nas coisas que vocˆ usa, faz ou conhece tamb´m encontraremos muitas outras liga¸˜es com e e co a Mecˆnica. a Tente lembrar de coisas ou situa¸˜es que vocˆ conhece e que est˜o relacionadas ` Mecˆnica: co e a a a Vamos agrup´-las de acordo com a forma como a F´ a ısica lida com elas. No dicion´rio, vocˆ viu que a Mecˆnica, a e a se preocupa sobretudo com as id´ias de MOVIMENTOS, FORCAS e EQUIL´ e ¸ IBRIO. • Movimentos: – Coisas que se deslocam (transla¸˜o). ca – Coisas que giram (rota¸˜o). ca • For¸as c – Coisas que produzem movimentos. – Coisas que controlam movimentos. – Coisas que ampliam a nossa for¸a. c • Equil´ ıbrio – Coisas que permanecem em equil´ ıbrio.
  • 6. Cap´ ıtulo 2 Grandezas F´ ısicas e Unidades de Medida A Medi¸˜o na F´ ca ısica: A f´ ısica se baseia na medi¸˜o de grandezas f´ ca ısicas. Algumas grandezas f´ ısicas, como comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais; cada uma foi definida atrav´s e de um padr˜o e recebeu uma unidade de medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas a f´ ısicas s˜o definidas em termos das grandezas fundamentais e de seus padr˜es e unidades. a o Unidades do SI: O sistema de unidades adotado neste livro ´ o Sistema Internacional de Unidades (SI). e As trˆs grandezas f´ e ısicas mostradas na tabela abaixo s˜o usadas nos primeiros cap´ a ıtulos. Trˆs Grandezas Fundamentais do SI e Grandeza Nome da Unidade S´ ımbolo da Unidade Comprimento metro m Tempo segundo s Massa quilograma kg Os padr˜es, que tˆm que ser acess´ o e ıveis e invari´veis, foram estabelecidos para essas grandezas fundamentais a por um acordo internacional. Esses padr˜es s˜o usados em todas as medi¸˜es f´ o a co ısicas, tanto das grandezas fundamentais quanto das grandezas secund´rias. A nota¸ao cient´ a c˜ ıfica e os prefixos da tabela abaixo s˜o usados a para simplificar a nota¸˜o das medic˜es. ca o Prefixos das Unidades do SI Fator Prefixo S´ımbolo Fator Prefixo S´ ımbolo 109 giga- G 10−3 mili- m 106 mega- M 10−6 micro- µ 103 quilo- k 10−9 nano- n Mudan¸a de Unidades: A convers˜o de unidades pode ser feita usando o m´todo de convers˜o em cadeia, c a e a no qual os dados originais s˜o multiplicados sucessivamente por fatores de convers˜o unit´rios e as unidades s˜o a a a a manipuladas como quantidades alg´bricas at´ que apenas as unidades desejadas permane¸am. e e c Comprimento: O metro ´ definido como a distˆncia percorrida pela luz durante um intervalo de tempo e a especificado. Tempo: O segundo ´ definido em termos das oscila¸˜es da luz emitida por um is´topo de um certo ele- e co o mento qu´ ımico (c´sio-133). Sinais de tempo precisos s˜o enviados a todo o mundo atrav´s de sinais de r´dio e a e a sincronizados por rel´gios atˆmicos em laborat´rios de padroniza¸˜o. o o o ca Massa: O quilograma ´ definido em termos de um padr˜o de massa de platina-ir´ e a ıdio mantido em um laborat´rio nas vizinhan¸as de Paris. o c Figura 2.1: Prot´tipo internacional do quilograma o Para medi¸˜es em escala atˆmica ´ comumente usada a unidade de massa atˆmica, definida em termos do co o e o a ´tomo de carbono-12. 3
  • 7. 4 CAP´ ITULO 2. GRANDEZAS F´ ISICAS E UNIDADES DE MEDIDA Massa espec´ ıfica: A massa espec´ ıfica ρ de uma substˆncia ´ a massa por unidade de volume: a e m ρ= (2.1) V N´ meros significativos: Quando vocˆ computa um resultado a partir de v´rias medidas, cada medida u e a tem uma certa acur´cia, e o resultado deve ser dado com os n´meros significativos da medida de menor acur´cia. a u a Exerc´ ıcios Aplicados 1. Na ´rea metalmecˆnica a unidade de medida mais utilizada ´ o mil´ a a e ımetro. Mas existem muitos dispositivos que utilizam o sistema inglˆs. Por exemplo, muitas porcas e parafusos vem dimensionados em polegadas e ımbolo (′′ ). Quantos mil´ que denota-se pelo s´ ımetros medem: 1 ′′ 3 ′′ 3 ′′ (a) 2 (b) 4 (c) 8 2. Em mecˆnica de precis˜o usa-se muito o micrˆmetro (1 µm) tamb´m chamado de m´ a a o e ıcron. (a) Quantos m´ ıcrons tem 1,0 m? (b) Quantos m´ ıcrons tem uma jarda? 3. A edi¸˜o do jornal A Not´ ca ıcia de 19 de fevereiro anunciava: H´ 52 milh˜es de metros quadrados de vazios urbanos em Joinville. a o ` A primeira vista a medida da ´rea assusta. Mas se a unidade de medida fosse o Km2 , como ficaria a a not´ ıcia? Ela n˜o causaria menos impacto apesar de se referir ` mesma ´rea? a a a 4. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine: (a) A circunferˆncia da Terra em quilˆmetros. e o (b) A ´rea da superf´ da Terra em quilˆmetros quadrados. a ıcie o (c) O volume da Terra em quilˆmetros c´bicos. o u 5. Uma certa marca de tinta de parede promete uma cobertura de 460 p´s quadrados por gal˜o. e a (a) Expresse este valor em metros quadrados por litro. (b) Expresse este valor em unidades do SI. (c) Qual ´ o inverso da grandeza original e qual o seu significado f´ e ısico? 6. Os engenheiros hidr´ulicos dos Estados Unidos usam frequentemente, como unidade de volume de ´gua, a a o acre-p´, definido como um volume de ´gua suficiente para cobrir 1 acre de terra at´ a profundidade de e a e 1 p´. Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas de chuva em 30 min em uma cidade com uma ´rea e a de 26 km2 . Que volume de ´gua, em acres-p´s, caiu sobre a cidade? a e 7. Uma unidade de ´rea frequentemente usada na medi¸˜o de ´reas de terrenos ´ o hectare, definido como a ca a e 104 m2 . Uma mina de carv˜o a c´u aberto consome anualmente 75 hectares de terra at´ uma profundidade a e e de 26 m. Qual ´ o volume de terra removido por ano em quilˆmetros c´bicos? e o u 8. Um tempo de aula (50 min) ´ aproximadamente igual a 1 micross´culo. e e
  • 8. 5 (a) Qual ´ a dura¸˜o de um micross´culo em minutos? e ca e (b) Usando a rela¸˜o ca real − aproximado erro percentual = × 100 (2.2) real determine o erro percentual dessa aproxima¸˜o. ca 9. At´ 1913, cada cidade do Brasil tinha sua hora local. Hoje em dia acertamos nossos rel´gios em viagens e o apenas quando a varia¸˜o de tempo ´ igual a 1,0 h (o que corresponde a um fuso hor´rio). Que distˆncia, ca e a a em m´dia, uma pessoa deve percorrer, em graus de longitude, para passar de um fuso hor´rio a outro e e a ter que acertar o rel´gio? (Sugest˜o: A Terra gira 360◦ em aproximadamente 24 h.) o a 10. Como a velocidade de rota¸˜o da Terra est´ diminuindo gradualmente, a dura¸˜o dos dias est´ aumen- ca a ca a tando: o dia no final de 1,0 s´culo ´ 1,0 ms mais longo que o dia no in´ do s´culo. Qual ´ o aumento e e ıcio e e da dura¸˜o do dia ap´s 20 s´culos? ca o e 11. A ´gua tem uma densidade ρ de 1,0 g/cm3 . a (a) Determine a massa de um metro c´bico de ´gua em quilogramas. u a (b) Suponha que s˜o necess´rias 10,0 h para drenar um recipiente com 5700 m3 de ´gua. Qual ´ a “vaz˜o a a a e a de massa” da ´gua do recipiente, em quilogramas por segundo? a 12. O ouro, que tem uma massa espec´ ıfica de 19,32 g/cm3 , ´ um metal extremamente d´ctil e male´vel, isto e u a ´, pode ser transformado em fios ou folhas muito finas. e (a) Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 g, ´ prensada at´ se tornar uma folha com 1,000 e e µm de espessura, qual ´ a ´rea dessa folha? e a (b) Se, em vez disso, o ouro ´ transformado em um fio cil´ e ındrico com 2,500 µm de raio, qual ´ o e comprimento do fio? 13. A Terra tem uma massa de 5,98×1024 kg. A massa m´dia dos ´tomos que comp˜em a Terra ´ 40 u. e a o e Quantos ´tomos existem na Terra? a 14. Uma mol´cula de ´gua (H2 O) cont´m dois ´tomos de hidrogˆnio e um ´tomo de oxigˆnio. Um ´tomo de e a e a e a e a hidrogˆnio tem uma massa de 1,0 u, e um ´tomo de oxigˆnio tem uma massa de 16 u, aproximadamente. e a e (a) Qual ´ a massa de uma mol´cula de ´gua em quilogramas? e e a (b) Quantas mol´culas de ´gua existem nos oceanos da Terra, cuja massa estimada ´ 1,4×1021 kg? e a e
  • 9. Cap´ ıtulo 3 Movimento Unidimensional Posi¸˜o: A posi¸ao x de uma part´ ca c˜ ıcula em um eixo x localiza a part´ ıcula em rela¸˜o ` origem, ou ponto ca a zero, do eixo. A posi¸˜o ´ negativa ou positiva, dependendo do lado da origem em que se encontra a part´ ca e ıcula, ou zero, se a part´ ıcula se encontra na origem. O sentido positivo de um eixo ´ o sentido em que os n´meros e u positivos aumentam; o sentido oposto ´ o sentido negativo. e Deslocamento: O deslocamento ∆x de uma part´ ıcula ´ a varia¸˜o de sua posi¸˜o: e ca ca ∆x = x2 − x1 (3.1) e ´ O deslocamento ´ uma grandeza vetorial. E positivo se a part´ ıcula se move no sentido positivo do eixo x, e negativo se a part´ ıcula se move no sentido oposto. Velocidade M´dia: Quando uma part´ e ıcula se desloca de uma posi¸˜o x1 para uma posi¸˜o x2 durante um ca ca intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 , sua velocidade m´dia durante esse intervalo ´ dada por: e e ∆x x2 − x1 vm´d = e = . (3.2) ∆t t2 − t1 O sinal alg´brico de vm´d indica o sentido do movimento (vm´d ´ uma grandeza vetorial). A velocidade m´dia e e e e e n˜o depende da distˆncia que uma part´ a a ıcula percorre, mas apenas das posi¸˜es inicial e final. co Velocidade Escalar M´dia: A velocidade escalar m´dia sm´d de uma part´ e e e ıcula durante um intervalo de tempo ∆t depende da distˆncia total percorrida pela part´ a ıcula nesse intervalo: distˆncia total a sm´d = e . (3.3) ∆t Acelera¸˜o M´dia: A acelera¸ao m´dia ´ a raz˜o entre a varia¸˜o da velocidade ∆v e o intervalo de tempo ca e c˜ e e a ca ∆t no qual essa varia¸˜o ocorre: ca ∆v am´d = e . (3.4) ∆t O sinal alg´brico indica o sinal de am´d . e e Acelera¸˜o Constante: As trˆs equa¸˜es a seguir descrevem o movimento de uma part´ ca e co ıcula com acelera¸˜o ca constante: v = v0 + at (3.5) 1 ∆x = v0 t + at2 (3.6) 2 v 2 = v0 + 2a∆x 2 (3.7) Estas equa¸˜es n˜o s˜o v´lidas quando a acelera¸˜o n˜o ´ constante. co a a a ca a e Acelera¸˜o em Queda Livre: Um exemplo importante de movimento unidimensional com acelera¸˜o ca ca constante ´ o de um objeto subindo ou caindo livremente nas proximidades da superf´ da Terra. As equa¸˜es e ıcie co para acelera¸˜o constante podem ser usadas para descrever este movimento mas devemos fazer duas mudan¸as ca c na nota¸˜o: ca • O movimento ´ descrito em rela¸˜o a um eixo vertical y, com +y orientado verticalmente para cima, assim e ca nas equa¸˜es (3.6) e (3.7) substitu´ co ımos ∆x por ∆y; • A acelera¸˜o a ´ substitu´ por −g nas equa¸˜es (3.5), (3.6) e (3.7), onde g ´ o m´dulo da acelera¸˜o em ca e ıda co e o ca queda livre. Perto da superf´ da Terra, g = 9,8 m/s2 . ıcie 6
  • 10. 7 Exerc´ ıcios Aplicados 1. A planta de crescimento mais r´pido de que se tem not´ ´ uma Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7m a ıcia e em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em micrˆmetros por segundo? o 2. Um cilindro pneum´tico executou um movimento com um curso de 44, 0cm em um tempo de 0, 70s. Qual a ´ a sua velocidade m´dia em Km/h? e e 3. Calcule a velocidade m´dia nos dois casos seguintes: e (a) Vocˆ caminha 73, 2m a uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre 73, 2m a 3, 05m/s em uma pista e reta. (b) Vocˆ caminha 1, 00min com uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre por 1min a 3, 05m/s em uma e linha reta. (c) Fa¸a o gr´fico de x em fun¸˜o de t nos dois casos. c a ca x(m) ✻ ✲ t(s) 0 20 40 60 80 100 120 4. A velocidade de corte para tornear um eixo de alum´ em um torno mecˆnico ´ de 500m/min. Determine ınio a e esta velocidade em: (a) m/s (b) km/h 5. Um carro sobe uma ladeira com velocidade constante de 40Km/h e desce a ladeira com uma velocidade constante de 70Km/h. Calcule a velocidade escalar m´dia da viagem de ida e de volta. e 6. Uma plataforma executa um movimento com 6s de dura¸˜o com a seguinte fun¸˜o posi¸˜o: ca ca ca t3 x(t) = − + 4t2 3 com x em metros e t em segundos.
  • 11. 8 CAP´ ITULO 3. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL (a) Determine sua velocidade m´dia. e (b) Estime em que instante a velocidade ´ m´xima? e a (c) Determine sua acelera¸˜o m´dia. ca e (d) Em que instante a acelera¸˜o se anula? ca 7. Gotas de chuva caem 2000m de uma nuvem at´ o ch˜o. Se elas n˜o estivessem sujeitas ` resistˆncia do e a a a e ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? Seria seguro caminhar na chuva? 8. Para determinar a profundidade de um po¸o, solta-se uma pedra. Ap´s 3, 5s ouve-se o barulho do impacto c o da pedra no fundo do po¸o. Qual ´ a profundidade do po¸o? c e c 9. Fa¸a os gr´ficos da posi¸˜o, velocidade e acelera¸˜o do movimento da quest˜o 6. c a ca ca a x(m) ✻ ✲ t(s) 0 1 2 3 4 5 6 v(m/s) ✻ ✲ t(s) 0 1 2 3 4 5 6 a(m/s2 ) ✻ 0 ✲ t(s) 0 1 2 3 4 5 6
  • 12. Cap´ ıtulo 4 Vetores Escalares e Vetores: Grandezas escalares, como a temperatura, possuem apenas um valor. S˜o especifi- a cadas por um n´mero com uma unidade (10◦ C, por exemplo) e obedecem as regras da aritm´tica e da ´lgebra u e a comum. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um m´dulo e uma orienta¸˜o (5m para cima, o ca por exemplo), e obedecem `s regras da ´lgebra vetorial. a a Soma Geom´trica de Vetores: Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente desenhando-os e na mesma escala e posicionando-os com a extremidade de um na origem do outro. O vetor que liga a origem do primeiro ` extremidade do segundo ´ o vetor soma, s. Para subtrair b de a invertemos o sentido de b para a e obter −b e somamos −b a a. A soma vetorial ´ comutativa e associativa. e Componentes de um Vetor: As componentes (escalares) ax e ay de um vetor bidimensional a em rela¸˜o ca aos eixos de um sistema de coordenadas xy s˜o obtidas tra¸ando retas perpendiculares aos eixos a partir da a c origem e da extremidade de a. As componentes s˜o dadas por a ax = a cos θ e ay = a sin θ, (4.1) onde θ ´ o ˆngulo entre a e o semi-eixo x positivo. O sinal alg´brico de uma componente indica seu sentido e a e em rela¸˜o ao eixo correspondente. Dadas as componentes, podemos encontrar o m´dulo e a orienta¸˜o de um ca o ca vetor a atrav´s das equa¸˜es e co ay a= a2 + a2 x y e tan θ = . (4.2) ax a a ı ˆ ˆ e Nota¸˜o com Vetores Unit´rios: Os vetores unit´rios ˆ,  e k tˆm m´dulo unit´rio e sentido igual ca o a ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, em um sistema de coordenadas dextr´giro. Podemos o expressar um vetor a em termos de vetores unit´rios como a ı ˆ ˆ a = axˆ + ay  + az k, (4.3) ı ˆ ˆ a onde axˆ, ay  e az k s˜o as componentes vetoriais de a; e ax , ay e az s˜o as componentes escalares. a Soma de Vetores na Forma de Componentes: Para somar vetores na forma de componentes, usamos as regras rx = ax + bx ry = ay + by rz = az + bz (4.4) onde a e b s˜o os vetores a serem somados e r ´ o vetor soma. a e Produto de um Escalar por um Vetor: O produto de um escalar s por um vetor v ´ um vetor dee m´dulo sv com a mesma orienta¸˜o de v se s ´ positivo e com a orienta¸˜o oposta se s ´ negativo. Para dividir o ca e ca e v por s, multiplicamos v por 1/s. Exerc´ ıcios Aplicados 1. Um robˆ de explora¸˜o percorre 1,0km do sul para o norte e depois 2,0km de oeste para leste em um o ca campo horizontal coberto de neve. A que distˆncia ele est´ do ponto de partida e em que dire¸˜o? a a ca 9
  • 13. 10 CAP´ ITULO 4. VETORES 2. Quais s˜o os componentes x e y do vetor D na figura? O seu m´dulo ´ D = 3,0m e o ˆngulo α = 45◦ . a o e a 3. Depois da decolagem, um avi˜o viaja 10,4km do leste para oeste, 8,7km do sul para o norte e 2,1km de a baixo para cima. Qual ´ a sua distˆncia do ponto de partida? e a 4. Dados os dois deslocamentos ı  ˆ ı  ˆ D = (6ˆ + 3ˆ − k)m e E = (4ˆ − 5ˆ + 8k)m (4.5) encontre o m´dulo de deslocamento 2D − E. o 5. Numa usinagem de 5s a fresa executa o movimento t3 r(t) = −2 ˆ + −2t2 + 8t ˆ ı  em mm. 6 (a) Escreva a velocidade v(t) e a acelera¸˜o a(t). ca v(t) = a(t) = (b) Fa¸a o gr´fico da trajet´ria da fresa de 0 ` 5s, c a o a ou seja, o gr´fico (ry × rx ). a
  • 14. 11 6. Sendo de 10kg a massa da lumin´ria. Calcule as tra¸˜es nos cabos AB e BC: a co
  • 15. Cap´ ıtulo 5 Movimento Tridimensional Vetor Posi¸˜o: A localiza¸˜o de uma part´ ca ca ıcula em rela¸˜o ` origem de um sistema de coordenadas ´ dada ca a e por um vetor posi¸ao r, que em termos dos vetores unit´rios assume a forma c˜ a ı  ˆ r = xˆ + yˆ + z k (5.1) ˆ a onde xˆ, yˆ e z k s˜o as componentes do vetor posi¸˜o r e x, y e z s˜o as componentes escalares (e tamb´m as ı  ca a e coordenadas da part´ ıcula). Um vetor posi¸˜o pode ser descrito por um m´dulo e um ou dois ˆngulos, pelas ca o a componentes vetoriais ou pelas componentes escalares. Deslocamento: Se uma part´ ıcula se move de tal forma que seu vetor posi¸˜o muda de r1 para r2 , o ca deslocamento ∆r da part´ ıcula ´ dado por e ∆r = r2 − r1 . (5.2) O deslocamento tamb´m pode ser escrito na forma e ı  ˆ ∆r = (x2 − x1 )ˆ + (y2 − y1 )ˆ + (z2 − z1 )k (5.3) = ∆xˆ + ∆yˆ + ∆z k ı  ˆ (5.4) Velocidade M´dia: Se uma part´ e ıcula sofre um deslocamento ∆r em um intervalo de tempo ∆t, sua velocidade m´dia vm´d nesse intervalo de tempo ´ dada por e e e ∆r vm´d = e (5.5) ∆t Acelera¸˜o M´dia: Se a velocidade de uma part´ ca e ıcula varia de v1 para v2 no intervalo de tempo ∆t, sua acelera¸ao m´dia durante o intervalo ∆t ´ c˜ e e ∆v am´d = e (5.6) ∆t Movimento de Proj´teis: Movimento bal´ e ıstico ´ o movimento de uma part´ e ıcula que ´ lan¸ada com uma e c velocidade inicial v0 . Durante o percurso a acelera¸˜o horizontal da part´ ca ıcula ´ zero e a acelera¸˜o vertical ´ e ca e a acelera¸˜o de queda livre, −g. (A orienta¸˜o para cima ´ escolhida como sentido positivo.) Se v0 ´ expressa ca ca e e atrav´s de um m´dulo (a velocidade escalar v0 ) e um ˆngulo θ0 (medido em rela¸˜o ` horizontal), as equa¸˜es e o a ca a co de movimento da part´ ıcula ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y s˜o as mesmas vistas anteriormente a para movimentos sem acelera¸˜o (horizontal) e com acelera¸˜o constante (vertical), onde: ca ca v0x = v0 cos θ0 (5.7) v0y = v0 sin θ0 (5.8) E podemos obter a equa¸˜o da trajet´ria e do alcance horizontal. ca o Movimento Circular Uniforme: Se uma part´ ıcula descreve uma circunferˆncia ou arco de circunferˆncia e e de raio r com velocidade constante v, dizemos que est´ em movimento circular uniforme. Nesse caso, a part´ a ıcula possui uma acelera¸˜o a cujo m´dulo ´ dado por ca o e v2 a= (5.9) r O vetor a aponta sempre para o centro da circunferˆncia ou arco de circunferˆncia, e ´ chamado de acelera¸ao e e e c˜ ıpeta. O tempo que a part´ centr´ ıcula leva para descrever uma circunferˆncia completa ´ dado por e e 2πr T = (5.10) v O parˆmetro T ´ chamado de per´ a e ıodo de revolu¸ao ou, simplesmente, per´ c˜ ıodo. 12
  • 16. 13 Exerc´ ıcios Aplicados 1. Um p´sitron sofre um deslocamento ∆r = 2, 0ˆ o j ˆ ca j ˆ i−3, 0ˆ +6, 0k e termina com o vetor posi¸˜o r = 3, 0ˆ −4, 0k, em metros. Qual era o vetor posi¸˜o inicial do p´sitron? ca o ca e e i j ˆ 2. O vetor posi¸˜o de um el´tron ´ r = (5, 0m)ˆ − (3, 0m)ˆ + (2, 0m)k. Determine o m´dulo de r. Desenhe o o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.