Slides Lição 1, CPAD, O Início da Caminhada, 2Tr24, Pr Henrique.pptx
Fisica1 apostila
1. F´
ısica para o Ensino M´dio Integrado
e
com T´cnico em Mecˆnica ou
e a
Eletroeletrˆnica
o
1o M´dulo — Resumo e Exerc´
o ıcios
Fernando C. Guesser
fernando.guesser@ifsc.edu.br
21 de setembro de 2012
vers˜o atualizada dispon´ em www.joinville.ifsc.edu.br/∼fernando.guesser
a ıvel
2. Sum´rio
a
1 Onde est´ a F´
a ısica? 1
2 Grandezas F´
ısicas e Unidades de Medida 3
3 Movimento Unidimensional 6
4 Vetores 9
5 Movimento Tridimensional 12
i
3. Por que estudar F´
ısica no Ensino
M´dio T´cnico?
e e
Muita gente diz que n˜o gosta de f´
a ısica, mas vocˆ j´ parou para pensar o quanto esta ciˆncia colabora para
e a e
o desenvolvimento tecnol´gico e cientifico, al´m ´ claro, de tornar muitas tecnologias poss´
o e e ıveis de serem usadas.
A f´ısica est´ presente em todo lugar, pois todos os princ´
a ıpios de funcionamento das coisas s˜o regidos por
a
fenˆmenos f´
o ısicos apresentados em experiˆncias laboratoriais ou observadas na natureza.
e
´
E de extrema importˆncia o conhecimento de muitos conceitos f´
a ısicos para que os t´cnicos das ´reas de
e a
tecnologia possam entender como funcionam os diversos recursos e projetar novos dispositivos.
A f´ısica pode ser considerada como o bastidor da mecˆnica e eletroeletrˆnica e das diversas ´reas da enge-
a o a
nharia, pois muitas tecnologias e componentes empregados no ch˜o de f´brica tais como, motores, solen´ides,
a a o
sensores, resistores, prensas e etc, utilizam princ´ ıpios f´
ısicos.
- Por que quando desligamos um motor ele ainda continua o seu movimento?
- O que ´ corrente el´trica?
e e
- Como funciona o termˆmetro?
o
- Como funciona um sensor?
- Como ´ formado um campo magn´tico?
e e
...
-Como as coisas funcionam?
Vire a p´gina e comece a desvendar as respostas ao longo do primeiro volume deste livro.
a
Nesse volume iniciamos o estudo da Mecˆnica que analisa o movimento, as varia¸˜es de energia e as for¸as
a co c
que atuam sobre um corpo e subdivide-se em:
• Cinem´tica
a
• Dinˆmica
a
• Trabalho e energia mecˆnica
a
• Sistema de part´
ıculas
• Colis˜es
o
• Movimento rotacional
• Gravita¸˜o
ca
Os seguintes volumes tratar˜o de termodinˆmica e ondas, eletromagnetismo, ´tica e f´
a a o ısica moderna.
Figura 1: M˜os ` obra!
a a
ii
4. Cap´
ıtulo 1
Onde est´ a F´
a ısica?
A F´ısica est´ a´ perto de vocˆ, ` sua volta. Nessa primeira leitura, iremos “enxerg´-la”.
a ı e a a
Desde que vocˆ nasceu come¸ou a aprender uma infinidade de coisas: segurar a mamadeira, derrubar os
e c
brinquedos do ber¸o, destruir os enfeites da casa ... Pode parecer que n˜o, mas essas atividades t˜o edificantes
c a a
eram o in´ do seu aprendizado de f´
ıcio ısica.
Com o tempo, vocˆ passou a executar tarefas mais complicadas, tais como atravessar uma rua movimentada,
e
tomar sopa, enfiar linha na agulha e quem sabe at´ andar na corda bamba ...
e
E assim sua mente teve que construir uma verdadeira “f´ ısica pr´tica”. Vocˆ faz uso dessa “f´
a e ısica” quando
joga bola, anda de bicicleta, aperta um parafuso: s˜o coisas ligadas a uma parte da f´
a ısica chamada Mecˆnica.
a
a a ´
Da mesma maneira, coisas ligadas ` sua vis˜o fazem parte de um ramo chamado Optica, enquanto a sensa¸˜o de ca
frio e calor faz parte da F´ısica T´rmica. O Eletromagnetismo ´ uma outra parte da f´
e e ısica que est´ relacionada
a
ao uso de aparelhos el´tricos em geral. Vamos discutir um pouco mais cada uma delas:
e
1
5. 2 CAP´
ITULO 1. ONDE ESTA A F´
´ ISICA?
Este livro ser´ dedicado ao estudo da Mecˆnica. Para uma primeira compreens˜o do significado desse ramo
a a a
da f´
ısica, um dicion´rio pode nos ajudar.
a
Se vocˆ procurar no dicion´rio a palavra Mecˆnica encontrar´ a seguinte defini¸˜o:
e a a a ca
Mecˆnica: 1. Ciˆncia que investiga os movimentos e as for¸as que os provocam.
a e c
2. Obra, atividade ou teoria que trata de tal ciˆncia: a mecˆnica de Laplace.
e a
3. O conjunto das leis do movimento.
Pela defini¸˜o do dicion´rio, percebemos que Mecˆnica pode ser muita coisa. E realmente ´. Da mesma
ca a a e
forma, se pensarmos nas coisas que vocˆ usa, faz ou conhece tamb´m encontraremos muitas outras liga¸˜es com
e e co
a Mecˆnica.
a
Tente lembrar de coisas ou situa¸˜es que vocˆ conhece e que est˜o relacionadas ` Mecˆnica:
co e a a a
Vamos agrup´-las de acordo com a forma como a F´
a ısica lida com elas. No dicion´rio, vocˆ viu que a Mecˆnica,
a e a
se preocupa sobretudo com as id´ias de MOVIMENTOS, FORCAS e EQUIL´
e ¸ IBRIO.
• Movimentos:
– Coisas que se deslocam (transla¸˜o).
ca
– Coisas que giram (rota¸˜o).
ca
• For¸as
c
– Coisas que produzem movimentos.
– Coisas que controlam movimentos.
– Coisas que ampliam a nossa for¸a.
c
• Equil´
ıbrio
– Coisas que permanecem em equil´
ıbrio.
6. Cap´
ıtulo 2
Grandezas F´
ısicas e Unidades de
Medida
A Medi¸˜o na F´
ca ısica: A f´
ısica se baseia na medi¸˜o de grandezas f´
ca ısicas. Algumas grandezas f´
ısicas, como
comprimento, tempo e massa, foram escolhidas como grandezas fundamentais; cada uma foi definida atrav´s e
de um padr˜o e recebeu uma unidade de medida (como metro, segundo e quilograma). Outras grandezas
a
f´
ısicas s˜o definidas em termos das grandezas fundamentais e de seus padr˜es e unidades.
a o
Unidades do SI: O sistema de unidades adotado neste livro ´ o Sistema Internacional de Unidades (SI).
e
As trˆs grandezas f´
e ısicas mostradas na tabela abaixo s˜o usadas nos primeiros cap´
a ıtulos.
Trˆs Grandezas Fundamentais do SI
e
Grandeza Nome da Unidade S´
ımbolo da Unidade
Comprimento metro m
Tempo segundo s
Massa quilograma kg
Os padr˜es, que tˆm que ser acess´
o e ıveis e invari´veis, foram estabelecidos para essas grandezas fundamentais
a
por um acordo internacional. Esses padr˜es s˜o usados em todas as medi¸˜es f´
o a co ısicas, tanto das grandezas
fundamentais quanto das grandezas secund´rias. A nota¸ao cient´
a c˜ ıfica e os prefixos da tabela abaixo s˜o usados
a
para simplificar a nota¸˜o das medic˜es.
ca o
Prefixos das Unidades do SI
Fator Prefixo S´ımbolo Fator Prefixo S´
ımbolo
109 giga- G 10−3 mili- m
106 mega- M 10−6 micro- µ
103 quilo- k 10−9 nano- n
Mudan¸a de Unidades: A convers˜o de unidades pode ser feita usando o m´todo de convers˜o em cadeia,
c a e a
no qual os dados originais s˜o multiplicados sucessivamente por fatores de convers˜o unit´rios e as unidades s˜o
a a a a
manipuladas como quantidades alg´bricas at´ que apenas as unidades desejadas permane¸am.
e e c
Comprimento: O metro ´ definido como a distˆncia percorrida pela luz durante um intervalo de tempo
e a
especificado.
Tempo: O segundo ´ definido em termos das oscila¸˜es da luz emitida por um is´topo de um certo ele-
e co o
mento qu´ ımico (c´sio-133). Sinais de tempo precisos s˜o enviados a todo o mundo atrav´s de sinais de r´dio
e a e a
sincronizados por rel´gios atˆmicos em laborat´rios de padroniza¸˜o.
o o o ca
Massa: O quilograma ´ definido em termos de um padr˜o de massa de platina-ir´
e a ıdio mantido em um
laborat´rio nas vizinhan¸as de Paris.
o c
Figura 2.1: Prot´tipo internacional do quilograma
o
Para medi¸˜es em escala atˆmica ´ comumente usada a unidade de massa atˆmica, definida em termos do
co o e o
a
´tomo de carbono-12.
3
7. 4 CAP´
ITULO 2. GRANDEZAS F´
ISICAS E UNIDADES DE MEDIDA
Massa espec´
ıfica: A massa espec´
ıfica ρ de uma substˆncia ´ a massa por unidade de volume:
a e
m
ρ= (2.1)
V
N´ meros significativos: Quando vocˆ computa um resultado a partir de v´rias medidas, cada medida
u e a
tem uma certa acur´cia, e o resultado deve ser dado com os n´meros significativos da medida de menor acur´cia.
a u a
Exerc´
ıcios Aplicados
1. Na ´rea metalmecˆnica a unidade de medida mais utilizada ´ o mil´
a a e ımetro. Mas existem muitos dispositivos
que utilizam o sistema inglˆs. Por exemplo, muitas porcas e parafusos vem dimensionados em polegadas
e
ımbolo (′′ ). Quantos mil´
que denota-se pelo s´ ımetros medem:
1 ′′ 3 ′′ 3 ′′
(a) 2 (b) 4 (c) 8
2. Em mecˆnica de precis˜o usa-se muito o micrˆmetro (1 µm) tamb´m chamado de m´
a a o e ıcron.
(a) Quantos m´
ıcrons tem 1,0 m?
(b) Quantos m´
ıcrons tem uma jarda?
3. A edi¸˜o do jornal A Not´
ca ıcia de 19 de fevereiro anunciava:
H´ 52 milh˜es de metros quadrados de vazios urbanos em Joinville.
a o
`
A primeira vista a medida da ´rea assusta. Mas se a unidade de medida fosse o Km2 , como ficaria a
a
not´
ıcia? Ela n˜o causaria menos impacto apesar de se referir ` mesma ´rea?
a a a
4. A Terra tem a forma aproximada de uma esfera com 6,37 × 106 m de raio. Determine:
(a) A circunferˆncia da Terra em quilˆmetros.
e o
(b) A ´rea da superf´ da Terra em quilˆmetros quadrados.
a ıcie o
(c) O volume da Terra em quilˆmetros c´bicos.
o u
5. Uma certa marca de tinta de parede promete uma cobertura de 460 p´s quadrados por gal˜o.
e a
(a) Expresse este valor em metros quadrados por litro.
(b) Expresse este valor em unidades do SI.
(c) Qual ´ o inverso da grandeza original e qual o seu significado f´
e ısico?
6. Os engenheiros hidr´ulicos dos Estados Unidos usam frequentemente, como unidade de volume de ´gua,
a a
o acre-p´, definido como um volume de ´gua suficiente para cobrir 1 acre de terra at´ a profundidade de
e a e
1 p´. Uma forte tempestade despejou 2,0 polegadas de chuva em 30 min em uma cidade com uma ´rea
e a
de 26 km2 . Que volume de ´gua, em acres-p´s, caiu sobre a cidade?
a e
7. Uma unidade de ´rea frequentemente usada na medi¸˜o de ´reas de terrenos ´ o hectare, definido como
a ca a e
104 m2 . Uma mina de carv˜o a c´u aberto consome anualmente 75 hectares de terra at´ uma profundidade
a e e
de 26 m. Qual ´ o volume de terra removido por ano em quilˆmetros c´bicos?
e o u
8. Um tempo de aula (50 min) ´ aproximadamente igual a 1 micross´culo.
e e
8. 5
(a) Qual ´ a dura¸˜o de um micross´culo em minutos?
e ca e
(b) Usando a rela¸˜o
ca
real − aproximado
erro percentual = × 100 (2.2)
real
determine o erro percentual dessa aproxima¸˜o.
ca
9. At´ 1913, cada cidade do Brasil tinha sua hora local. Hoje em dia acertamos nossos rel´gios em viagens
e o
apenas quando a varia¸˜o de tempo ´ igual a 1,0 h (o que corresponde a um fuso hor´rio). Que distˆncia,
ca e a a
em m´dia, uma pessoa deve percorrer, em graus de longitude, para passar de um fuso hor´rio a outro e
e a
ter que acertar o rel´gio? (Sugest˜o: A Terra gira 360◦ em aproximadamente 24 h.)
o a
10. Como a velocidade de rota¸˜o da Terra est´ diminuindo gradualmente, a dura¸˜o dos dias est´ aumen-
ca a ca a
tando: o dia no final de 1,0 s´culo ´ 1,0 ms mais longo que o dia no in´ do s´culo. Qual ´ o aumento
e e ıcio e e
da dura¸˜o do dia ap´s 20 s´culos?
ca o e
11. A ´gua tem uma densidade ρ de 1,0 g/cm3 .
a
(a) Determine a massa de um metro c´bico de ´gua em quilogramas.
u a
(b) Suponha que s˜o necess´rias 10,0 h para drenar um recipiente com 5700 m3 de ´gua. Qual ´ a “vaz˜o
a a a e a
de massa” da ´gua do recipiente, em quilogramas por segundo?
a
12. O ouro, que tem uma massa espec´ ıfica de 19,32 g/cm3 , ´ um metal extremamente d´ctil e male´vel, isto
e u a
´, pode ser transformado em fios ou folhas muito finas.
e
(a) Se uma amostra de ouro, com uma massa de 27,63 g, ´ prensada at´ se tornar uma folha com 1,000
e e
µm de espessura, qual ´ a ´rea dessa folha?
e a
(b) Se, em vez disso, o ouro ´ transformado em um fio cil´
e ındrico com 2,500 µm de raio, qual ´ o
e
comprimento do fio?
13. A Terra tem uma massa de 5,98×1024 kg. A massa m´dia dos ´tomos que comp˜em a Terra ´ 40 u.
e a o e
Quantos ´tomos existem na Terra?
a
14. Uma mol´cula de ´gua (H2 O) cont´m dois ´tomos de hidrogˆnio e um ´tomo de oxigˆnio. Um ´tomo de
e a e a e a e a
hidrogˆnio tem uma massa de 1,0 u, e um ´tomo de oxigˆnio tem uma massa de 16 u, aproximadamente.
e a e
(a) Qual ´ a massa de uma mol´cula de ´gua em quilogramas?
e e a
(b) Quantas mol´culas de ´gua existem nos oceanos da Terra, cuja massa estimada ´ 1,4×1021 kg?
e a e
9. Cap´
ıtulo 3
Movimento Unidimensional
Posi¸˜o: A posi¸ao x de uma part´
ca c˜ ıcula em um eixo x localiza a part´
ıcula em rela¸˜o ` origem, ou ponto
ca a
zero, do eixo. A posi¸˜o ´ negativa ou positiva, dependendo do lado da origem em que se encontra a part´
ca e ıcula,
ou zero, se a part´
ıcula se encontra na origem. O sentido positivo de um eixo ´ o sentido em que os n´meros
e u
positivos aumentam; o sentido oposto ´ o sentido negativo.
e
Deslocamento: O deslocamento ∆x de uma part´ ıcula ´ a varia¸˜o de sua posi¸˜o:
e ca ca
∆x = x2 − x1 (3.1)
e ´
O deslocamento ´ uma grandeza vetorial. E positivo se a part´ ıcula se move no sentido positivo do eixo x, e
negativo se a part´
ıcula se move no sentido oposto.
Velocidade M´dia: Quando uma part´
e ıcula se desloca de uma posi¸˜o x1 para uma posi¸˜o x2 durante um
ca ca
intervalo de tempo ∆t = t2 − t1 , sua velocidade m´dia durante esse intervalo ´ dada por:
e e
∆x x2 − x1
vm´d =
e = . (3.2)
∆t t2 − t1
O sinal alg´brico de vm´d indica o sentido do movimento (vm´d ´ uma grandeza vetorial). A velocidade m´dia
e e e e e
n˜o depende da distˆncia que uma part´
a a ıcula percorre, mas apenas das posi¸˜es inicial e final.
co
Velocidade Escalar M´dia: A velocidade escalar m´dia sm´d de uma part´
e e e ıcula durante um intervalo de
tempo ∆t depende da distˆncia total percorrida pela part´
a ıcula nesse intervalo:
distˆncia total
a
sm´d =
e . (3.3)
∆t
Acelera¸˜o M´dia: A acelera¸ao m´dia ´ a raz˜o entre a varia¸˜o da velocidade ∆v e o intervalo de tempo
ca e c˜ e e a ca
∆t no qual essa varia¸˜o ocorre:
ca
∆v
am´d =
e . (3.4)
∆t
O sinal alg´brico indica o sinal de am´d .
e e
Acelera¸˜o Constante: As trˆs equa¸˜es a seguir descrevem o movimento de uma part´
ca e co ıcula com acelera¸˜o
ca
constante:
v = v0 + at (3.5)
1
∆x = v0 t + at2 (3.6)
2
v 2 = v0 + 2a∆x
2
(3.7)
Estas equa¸˜es n˜o s˜o v´lidas quando a acelera¸˜o n˜o ´ constante.
co a a a ca a e
Acelera¸˜o em Queda Livre: Um exemplo importante de movimento unidimensional com acelera¸˜o
ca ca
constante ´ o de um objeto subindo ou caindo livremente nas proximidades da superf´ da Terra. As equa¸˜es
e ıcie co
para acelera¸˜o constante podem ser usadas para descrever este movimento mas devemos fazer duas mudan¸as
ca c
na nota¸˜o:
ca
• O movimento ´ descrito em rela¸˜o a um eixo vertical y, com +y orientado verticalmente para cima, assim
e ca
nas equa¸˜es (3.6) e (3.7) substitu´
co ımos ∆x por ∆y;
• A acelera¸˜o a ´ substitu´ por −g nas equa¸˜es (3.5), (3.6) e (3.7), onde g ´ o m´dulo da acelera¸˜o em
ca e ıda co e o ca
queda livre. Perto da superf´ da Terra, g = 9,8 m/s2 .
ıcie
6
10. 7
Exerc´
ıcios Aplicados
1. A planta de crescimento mais r´pido de que se tem not´ ´ uma Hesperoyucca whipplei, que cresceu 3, 7m
a ıcia e
em 14 dias. Qual foi a velocidade de crescimento da planta em micrˆmetros por segundo?
o
2. Um cilindro pneum´tico executou um movimento com um curso de 44, 0cm em um tempo de 0, 70s. Qual
a
´ a sua velocidade m´dia em Km/h?
e e
3. Calcule a velocidade m´dia nos dois casos seguintes:
e
(a) Vocˆ caminha 73, 2m a uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre 73, 2m a 3, 05m/s em uma pista
e
reta.
(b) Vocˆ caminha 1, 00min com uma velocidade de 1, 22m/s e depois corre por 1min a 3, 05m/s em uma
e
linha reta.
(c) Fa¸a o gr´fico de x em fun¸˜o de t nos dois casos.
c a ca
x(m)
✻
✲ t(s)
0 20 40 60 80 100 120
4. A velocidade de corte para tornear um eixo de alum´ em um torno mecˆnico ´ de 500m/min. Determine
ınio a e
esta velocidade em:
(a) m/s (b) km/h
5. Um carro sobe uma ladeira com velocidade constante de 40Km/h e desce a ladeira com uma velocidade
constante de 70Km/h. Calcule a velocidade escalar m´dia da viagem de ida e de volta.
e
6. Uma plataforma executa um movimento com 6s de dura¸˜o com a seguinte fun¸˜o posi¸˜o:
ca ca ca
t3
x(t) = − + 4t2
3
com x em metros e t em segundos.
11. 8 CAP´
ITULO 3. MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
(a) Determine sua velocidade m´dia.
e
(b) Estime em que instante a velocidade ´ m´xima?
e a
(c) Determine sua acelera¸˜o m´dia.
ca e
(d) Em que instante a acelera¸˜o se anula?
ca
7. Gotas de chuva caem 2000m de uma nuvem at´ o ch˜o. Se elas n˜o estivessem sujeitas ` resistˆncia do
e a a a e
ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo? Seria seguro caminhar na chuva?
8. Para determinar a profundidade de um po¸o, solta-se uma pedra. Ap´s 3, 5s ouve-se o barulho do impacto
c o
da pedra no fundo do po¸o. Qual ´ a profundidade do po¸o?
c e c
9. Fa¸a os gr´ficos da posi¸˜o, velocidade e acelera¸˜o do movimento da quest˜o 6.
c a ca ca a
x(m)
✻
✲ t(s)
0 1 2 3 4 5 6
v(m/s)
✻
✲ t(s)
0 1 2 3 4 5 6
a(m/s2 )
✻
0 ✲ t(s)
0 1 2 3 4 5 6
12. Cap´
ıtulo 4
Vetores
Escalares e Vetores: Grandezas escalares, como a temperatura, possuem apenas um valor. S˜o especifi-
a
cadas por um n´mero com uma unidade (10◦ C, por exemplo) e obedecem as regras da aritm´tica e da ´lgebra
u e a
comum. As grandezas vetoriais, como o deslocamento, possuem um m´dulo e uma orienta¸˜o (5m para cima,
o ca
por exemplo), e obedecem `s regras da ´lgebra vetorial.
a a
Soma Geom´trica de Vetores: Dois vetores a e b podem ser somados geometricamente desenhando-os
e
na mesma escala e posicionando-os com a extremidade de um na origem do outro. O vetor que liga a origem
do primeiro ` extremidade do segundo ´ o vetor soma, s. Para subtrair b de a invertemos o sentido de b para
a e
obter −b e somamos −b a a. A soma vetorial ´ comutativa e associativa.
e
Componentes de um Vetor: As componentes (escalares) ax e ay de um vetor bidimensional a em rela¸˜o ca
aos eixos de um sistema de coordenadas xy s˜o obtidas tra¸ando retas perpendiculares aos eixos a partir da
a c
origem e da extremidade de a. As componentes s˜o dadas por
a
ax = a cos θ e ay = a sin θ, (4.1)
onde θ ´ o ˆngulo entre a e o semi-eixo x positivo. O sinal alg´brico de uma componente indica seu sentido
e a e
em rela¸˜o ao eixo correspondente. Dadas as componentes, podemos encontrar o m´dulo e a orienta¸˜o de um
ca o ca
vetor a atrav´s das equa¸˜es
e co
ay
a= a2 + a2
x y e tan θ = . (4.2)
ax
a a ı ˆ ˆ e
Nota¸˜o com Vetores Unit´rios: Os vetores unit´rios ˆ, e k tˆm m´dulo unit´rio e sentido igual
ca o a
ao sentido positivo dos eixos x, y e z, respectivamente, em um sistema de coordenadas dextr´giro. Podemos
o
expressar um vetor a em termos de vetores unit´rios como
a
ı ˆ ˆ
a = axˆ + ay + az k, (4.3)
ı ˆ ˆ a
onde axˆ, ay e az k s˜o as componentes vetoriais de a; e ax , ay e az s˜o as componentes escalares.
a
Soma de Vetores na Forma de Componentes: Para somar vetores na forma de componentes, usamos
as regras
rx = ax + bx ry = ay + by rz = az + bz (4.4)
onde a e b s˜o os vetores a serem somados e r ´ o vetor soma.
a e
Produto de um Escalar por um Vetor: O produto de um escalar s por um vetor v ´ um vetor dee
m´dulo sv com a mesma orienta¸˜o de v se s ´ positivo e com a orienta¸˜o oposta se s ´ negativo. Para dividir
o ca e ca e
v por s, multiplicamos v por 1/s.
Exerc´
ıcios Aplicados
1. Um robˆ de explora¸˜o percorre 1,0km do sul para o norte e depois 2,0km de oeste para leste em um
o ca
campo horizontal coberto de neve. A que distˆncia ele est´ do ponto de partida e em que dire¸˜o?
a a ca
9
13. 10 CAP´
ITULO 4. VETORES
2. Quais s˜o os componentes x e y do vetor D na figura? O seu m´dulo ´ D = 3,0m e o ˆngulo α = 45◦ .
a o e a
3. Depois da decolagem, um avi˜o viaja 10,4km do leste para oeste, 8,7km do sul para o norte e 2,1km de
a
baixo para cima. Qual ´ a sua distˆncia do ponto de partida?
e a
4. Dados os dois deslocamentos
ı ˆ ı ˆ
D = (6ˆ + 3ˆ − k)m e E = (4ˆ − 5ˆ + 8k)m (4.5)
encontre o m´dulo de deslocamento 2D − E.
o
5. Numa usinagem de 5s a fresa executa o movimento
t3
r(t) = −2 ˆ + −2t2 + 8t ˆ
ı em mm.
6
(a) Escreva a velocidade v(t) e a acelera¸˜o a(t).
ca
v(t) =
a(t) =
(b) Fa¸a o gr´fico da trajet´ria da fresa de 0 ` 5s,
c a o a
ou seja, o gr´fico (ry × rx ).
a
14. 11
6. Sendo de 10kg a massa da lumin´ria. Calcule as tra¸˜es nos cabos AB e BC:
a co
15. Cap´
ıtulo 5
Movimento Tridimensional
Vetor Posi¸˜o: A localiza¸˜o de uma part´
ca ca ıcula em rela¸˜o ` origem de um sistema de coordenadas ´ dada
ca a e
por um vetor posi¸ao r, que em termos dos vetores unit´rios assume a forma
c˜ a
ı ˆ
r = xˆ + yˆ + z k (5.1)
ˆ a
onde xˆ, yˆ e z k s˜o as componentes do vetor posi¸˜o r e x, y e z s˜o as componentes escalares (e tamb´m as
ı ca a e
coordenadas da part´ ıcula). Um vetor posi¸˜o pode ser descrito por um m´dulo e um ou dois ˆngulos, pelas
ca o a
componentes vetoriais ou pelas componentes escalares.
Deslocamento: Se uma part´ ıcula se move de tal forma que seu vetor posi¸˜o muda de r1 para r2 , o
ca
deslocamento ∆r da part´ ıcula ´ dado por
e
∆r = r2 − r1 . (5.2)
O deslocamento tamb´m pode ser escrito na forma
e
ı ˆ
∆r = (x2 − x1 )ˆ + (y2 − y1 )ˆ + (z2 − z1 )k (5.3)
= ∆xˆ + ∆yˆ + ∆z k
ı ˆ (5.4)
Velocidade M´dia: Se uma part´
e ıcula sofre um deslocamento ∆r em um intervalo de tempo ∆t, sua
velocidade m´dia vm´d nesse intervalo de tempo ´ dada por
e e e
∆r
vm´d =
e (5.5)
∆t
Acelera¸˜o M´dia: Se a velocidade de uma part´
ca e ıcula varia de v1 para v2 no intervalo de tempo ∆t, sua
acelera¸ao m´dia durante o intervalo ∆t ´
c˜ e e
∆v
am´d =
e (5.6)
∆t
Movimento de Proj´teis: Movimento bal´
e ıstico ´ o movimento de uma part´
e ıcula que ´ lan¸ada com uma
e c
velocidade inicial v0 . Durante o percurso a acelera¸˜o horizontal da part´
ca ıcula ´ zero e a acelera¸˜o vertical ´
e ca e
a acelera¸˜o de queda livre, −g. (A orienta¸˜o para cima ´ escolhida como sentido positivo.) Se v0 ´ expressa
ca ca e e
atrav´s de um m´dulo (a velocidade escalar v0 ) e um ˆngulo θ0 (medido em rela¸˜o ` horizontal), as equa¸˜es
e o a ca a co
de movimento da part´ ıcula ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y s˜o as mesmas vistas anteriormente
a
para movimentos sem acelera¸˜o (horizontal) e com acelera¸˜o constante (vertical), onde:
ca ca
v0x = v0 cos θ0 (5.7)
v0y = v0 sin θ0 (5.8)
E podemos obter a equa¸˜o da trajet´ria e do alcance horizontal.
ca o
Movimento Circular Uniforme: Se uma part´ ıcula descreve uma circunferˆncia ou arco de circunferˆncia
e e
de raio r com velocidade constante v, dizemos que est´ em movimento circular uniforme. Nesse caso, a part´
a ıcula
possui uma acelera¸˜o a cujo m´dulo ´ dado por
ca o e
v2
a= (5.9)
r
O vetor a aponta sempre para o centro da circunferˆncia ou arco de circunferˆncia, e ´ chamado de acelera¸ao
e e e c˜
ıpeta. O tempo que a part´
centr´ ıcula leva para descrever uma circunferˆncia completa ´ dado por
e e
2πr
T = (5.10)
v
O parˆmetro T ´ chamado de per´
a e ıodo de revolu¸ao ou, simplesmente, per´
c˜ ıodo.
12
16. 13
Exerc´
ıcios Aplicados
1. Um p´sitron sofre um deslocamento ∆r = 2, 0ˆ
o j ˆ ca j ˆ
i−3, 0ˆ +6, 0k e termina com o vetor posi¸˜o r = 3, 0ˆ −4, 0k,
em metros. Qual era o vetor posi¸˜o inicial do p´sitron?
ca o
ca e e i j ˆ
2. O vetor posi¸˜o de um el´tron ´ r = (5, 0m)ˆ − (3, 0m)ˆ + (2, 0m)k. Determine o m´dulo de r. Desenhe o
o
vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro.