1. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009
C HAPITRE 1 : RAPPELS D ’ ÉLASTICITÉ LINÉAIRE
À l’intérieur d’un solide, on considère quatre champs de grandeurs mécaniques pour décrire sa sollici-
tation interne :
2 champs vectoriels 2 champs tensoriels
décrivant l’état global décrivant l’état local
du solide chargé en un point du matériau
solliciations (résistance)
charges appliquées contraintes
mécaniques
(rigidité) (rigidité)
état géométrique déplacements déformations
Ì Calcul des structures = deux préoccupations : résistance, rigidité (on peut avoir une structure
très résistante mais souple et inversement une structure très rigide mais peu résistante).
Ì Champ scalaire : attribue un nombre réel à chaque point du domaine (ex. : champ de tempéra-
ture)
Ì Champ vectoriel : attribue un vecteur à chaque point (dont l’origine est le point considéré) (ex. :
champ des déplacements, champ des vitesses)
Ì Champ tensoriel : attribue un tenseur ou matrice à chaque point (ex. : champ des contraintes
ou des déformations)
1 Contraintes
Pour définir les forces intérieures (ou contraintes), on effectue une coupure fictive du milieu continu.
Soit un milieu de volume Ω, scindé en deux parties notées 1 et 2, notons Σ la surface de la coupure et
dS un petit élément de cette surface :
−
→
∂Ω
−
→ T (P, − )
→
n
T t(P, − )
→
n
Ω 1111
0000
P −→
Σ 1111
0000 dF
1111
0000 −
→ P
1 1111
0000
dS
n
2 −
→
T n(P, − )
→
n −
→
n
En un point du matériau constituant le solide on cherche à caractériser le flux d’effort surfacique
ou la force de cohésion par unité de surface (N/m2 ) qui sollicite le solide. Cette notion est di-
rectionnelle (dépend de la normale à la coupure). Afin d’éliminer cette dépendance, vis à vis de
− , il suffit de passer d’une infinité de champs vectoriels en un point à un champ tensoriel représen-
→n
−
→
tant la sollicitation mécanique du matériau : tenseur des contraintes σ(P ) : T (P, − ) = σ(P ) −
→
n →n
−→
et dF = σ(P ) − dS. Le vecteur contrainte se décompose en une contrainte normale qui corres-
→n
pond à une sollicitation de type traction-compression et une contrainte tangentielle (car tangentielle
à la surface de coupure) qui correspond à une sollicitation de glissement, scission ou cisaillement :
−
→ −
→ −
→
T (P, − ) = T n (P, − ) + T t (P, − ).
→
n →n →n
Ì Principe des actions mutuelles (actions-réaction) : σ(−− ) = −σ(− ).
→
n →n
 
σxx σxy σxz
Ì Tenseur (ou matrice) des contraintes : σ = [σ] =  σyx σyy σyz .
σzx σzy σzz
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Ì Symétrie du tenseur des contraintes : réciprocité des contraintes tangentielles (σij = σji ; i, j =
x, y, z, on le démontre en écrivant l’équilibre en rotation).
Ì Sous forme vectorielle (6 composantes) : < σ >=< σxx σyy σzz σxy σxz σyz >
Ì Contraintes principales : il existe un repère principal, noté (X1 , X2 , X3 ), dans lequel la matrice
du tenseur des contraintes est diagonale :
 
σ1 0 0
[σ] =  0 σ2 
0 0 σ3 X1 ,X2 ,X3
Les contraintes σ1 , σ2 et σ3 sont appelées contraintes normales principales. Ce sont les valeurs
propres du tenseur des contraintes σ au point P . Convention : σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 .
Ì Invariants du tenseur des contraintes :
• Invariant linéaire : I1 = trace(σ) = σkk = σxx + σyy + σzz = σ1 + σ2 + σ3 .
1
• Invariant quadratique : I2 = (trace(σ))2 − trace(σ 2 ) = σ1 σ2 + σ2 σ3 + σ3 σ1
2
2 2 2
= σxx σyy + σyy σzz + σzz σxx − σxy − σyz − σzx .
• Invariant cubique : I3 = det(σ) = σ1 σ2 σ3
2 2 2
= σxx σyy σzz + 2σxy σyz σzx − σzz σxy − σxx σyz − σyy σzx .
Ì Décomposition du tenseur des contraintes : σ s (sphérique) + σ d (déviateur) : σ = σ s + σ d
s
• tenseur sphérique : σij = σh δij avec σh contrainte hydrostatique et δij = 1 si i = j et
s
1 1
δij = 0 si i = j (symbole de Kronecker). Ou encore σij = σkk δij = trace(σ) δij .
3 3
• tenseur déviateur :
σ d = σ − 1 trace(σ) I ⇒ σij = σij − σij ou [σ d ] = [σ] − σh [I] avec trace([σ d ]) = 0.
3
d s
Ì Invariants du déviateur des contraintes : P (λd ) = det([σ d ] − λd [I]) = 0
où P (λd ) = −λ3 + J2 λd + J3 = 0
d
• J1 = trace([σ d ]) = 0.
1
• J2 = (σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2
6
1
= (σxx − σyy )2 + (σyy − σzz )2 + (σzz − σxx )2 + 6 σxy + σyz + σzx
2 2 2
.
6
• J3 = det([σ d ]) = det([σ] − σh [I]).
Ì Contrainte équivalente au sens de Tresca : τtr = max |σi − σj | .
i,j
Ì Contrainte équivalente au sens de von Mises : σeq = 3 J2 .
2 Déformations
On se place dans le cadre de l’hypothèse des petits déplacements. Les déplacements restent
petits vis à vis de la taille du solide étudié et donc les déformations seront également petites (on parle
alors d’hypothèse des petites pertubations d’où l’abréviation de HPP). La géométrie globale de
référence de la structure restera la géométrie initiale non chargée.
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Ì La rigidité du système provient d’une part du matériau et d’autre part de la géométrie du prob-
lème (solide et chargement). Ainsi, dans le cadre de l’hypothèse des petits déplacements
et en supposant un comportement linéaire pour le matériau (déformations proportionnelles aux
contraintes), la rigidité reste constante.
Ì Attention : l’hypothèse des petites déformations n’implique par forcément des petits déplace-
ments. En effet, on peut avoir des grands déplacements et des petites déformations : le matériau
reste linéaire dans son comportement mais le problème devient non-linéaire par sa géométrie
globale.
Ì Tenseur (ou matrice) linéarisé des déformations :  
1 1 ∂ui ∂uj εxx εxy εxz
−
→ −
→
ε= (grad U + (grad U )T ) ⇒ εij = ( + ) ⇒ [ε] =  εyx εyy εyz .
2 2 ∂xj ∂xi εzx εzy εzz
 
−
→  ux 
Si U = uy alors εxx = ux,x ; εyy = uy,y ; εzz = uz,z
 
uz
1 1 1
et εxy = (ux,y + uy,x ); εxz = (ux,z + uz,x ); εyz = (uy,z + uz,y ).
2 2 2
Ì Sous forme vectorielle (6 composantes) : < ε >=< εxx εyy εzz 2 εxy 2 εyz 2 εzx >,
ou < ε >=< εxx εyy εzz γxy γyz γzx > avec les cisaillements γij tels que γij = 2 εij .
3 Matériau
Ì Homogénéité : les propriétés mécaniques intrinsèques au matériau constituant le solide étudié
sont indépendantes du point P que l’on considère.
Ì Isotropie : les propriétés mécaniques intrinsèques au matériau en un point P sont indépen-
dantes de la direction selon laquelle on les observe.
Ì Élasticité : lorsque l’on décharge le matériau il revient à son état initial (notion thermodynamique
de réversibilité).
Ì Linéarité : les déformations sont proportionnelles aux contraintes : la rigidité du matériau est
constante.
déformation déformation déformation déformation
décharge décharge
décharge décharge
charge charge
charge charge
chargement chargement chargement chargement
élastique élastique non−élastique non−élastique
linéaire et non−linéaire et linéaire et non−linéaire
On dit qu’un milieu solide est linéaire, s’il existe un opérateur linéaire qui relie les contraintes et les
déformations σ = d : ε ou encore σij = dijkl εlk i, j, k, l = 1, 2, 3 où d est un tenseur du
quatrième ordre encore appelé opérateur d’élasticité, ":" représente le produit doublement contracté
entre les tenseurs. L’opérateur d’élasticité est symétrique (dijkl = dklij ) et défini positif, de plus la
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symétrie des tenseurs des contraintes et des déformations (dijkl = djikl et dijkl = djilk ) permet de
réduire le nombre des coefficients d’élasticité (on passe de 34 = 81 à 21 coefficients). En utilisant,
la notation vectorielle, la loi d’élasticité s’écrit {σ} = [D] {ε} où [D] est la matrice d’élasticité qui
dépend du matériau.
3.1 Matériau anisotrope
Le matériau est dit anisotrope si ses propriétés varient en fonction du point P dans Ω. Dans ce cas la
matrice d’élasticité possède 21 coefficients indépendants.
3.2 Matériau orthotrope
Le matériau est dit orthotrope s’il possède deux plans de symétrie perpendiculaires. Dans ce cas, la
matrice d’élasticité (écrire l’invariance des coefficients d’élasticité par rapport à ces plans) ne possède
que 9 coefficients indépendants et s’écrit :
 
d11 d12 d13 0 0 0
 d12 d22 d23 0 0 0 
 
 d13 d23 d33 0 0 0 
[D] =  0

 0 0 d44 0 0 
 0 0 0 0 d55 0 
0 0 0 0 0 d66
3.3 Matériau isotrope
Un matériau est dit isotrope si ses propriétés sont identiques dans les trois directions de l’espace. Dans
ce cas, par rapport au matériau orthotrope et en introduisant les coefficients de Lamé, il ne reste que
deux coefficients indépendants :
 
λ + 2µ λ λ 0 0 0
 λ λ + 2µ λ 0 0 0 
 
 λ λ λ + 2µ 0 0 0 
[D] =  

 0 0 0 µ 0 0  
 0 0 0 0 µ 0 
0 0 0 0 0 µ
Cette loi de comportement, dite loi de Hooke, peut se formuler comme suit :
σ = λ trace(ε) I + 2µ ε ou encore σij = λ εkk δij + 2µ εij
En inversant la loi de comportement, ce qui est possible car la loi d’élasticité est définie positive, on
obtient les relations entre déformations et contraintes (loi de souplesse) :
1 λ trace(σ) 1 λ σkk
ε= σ− I ou encore εij = σij − δij
2µ 2µ(3λ + 2µ) 2µ 2µ(3λ + 2µ)
qui s’écrivent également en fonction du module de Young (E) et du coefficient de Poisson (ν) :
1+ν ν 1+ν ν
ε= σ− trace(σ) I ou encore εij = σij − σkk δij
E E E E
D’où les relations entre les couples de coefficients (λ, µ) et (E, ν) :
(3λ + 2µ) λ νE E
E=µ , ν= , λ= , µ= .
λ+µ 2 (λ + µ) (1 − 2ν)(1 + ν) 2 (1 + ν)
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On peut alors établir la loi d’élasticité en fonction du module de Young et du coefficient de Poisson :
νE E
σ= trace(ε) I + ε.
(1 − 2ν)(1 + ν) (1 + ν)
Comme l’opérateur d’élasticité est défini positif cela entraîne des conditions sur les coefficients :
1
3λ + 2µ > 0, µ > 0, E > 0, −1 < ν < .
2
On introduit aussi l’inverse de l’opérateur d’élasticité (opérateur de flexibilité) soit c = d−1 que l’on peut
aussi écrire sous forme matricielle C = D −1 , alors {ε} = C {σ}. Finalement, on a :
   
1 b b 0 0 0 1 −ν −ν 0 0 0
 b 1 b 0 0 0   −ν 1 −ν 0 0 0 
   
E(1 − ν)  b b 1 0 0 0  1  −ν −ν 1 0 0 0 
[D] =   , [C] =  
(1 + ν)(1 − 2ν)  0 0 0 c 0 0 
  E 0
 0 0 d 0 0  
 0 0 0 0 c 0   0 0 0 0 d 0 
0 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0 d
ν 1 − 2ν
avec b = ; c= ; d = 2(1 + ν) .
1−ν 2(1 − ν)
3.4 Interprétations des coefficients d’élasticité
3.4.1 État de contraintes et de déformations sphériques
   
 σxx = σ 
   εxx = ε 
 
     σyy = σ 
   εyy = ε 
 

 
 
 

σ 0 0 ε 0 0    
 0 σ 0  et ε =  0 ε 0  ou {σ} = σzz = σ εzz = ε
On a σ = , {ε} =
 σxy = 0 
   2 εxy = 0 
 
0 0 σ 0 0 ε  σyz = 0 
   2 εyz = 0 
 

 
 
 

   
σzx = 0 2 εzx = 0
    
 σ 
  λ + 2µ λ λ 0 0 0  ε 
 
 σ 
    

 
  λ λ + 2µ λ 0 0 0  ε 
 
 
    
σ  λ λ λ + 2µ 0 0 0   ε
En utilisant la loi d’élasticité : =  0 
 0 
   0 0 0 µ 0 0  
 0 
   

 

 0 0 0 0 µ 0  0 
 
 
   
0 0 0 0 0 0 µ 0
(3λ + 2µ)
on obtient une relation entre les deux scalaires σ et ε : σ = (3λ+2µ) ε = 3K ε, où K =
3
est le module de rigidité à la dilatation uniforme (cas de la dilatation d’une sphère sous pression).
3.4.2 État de cisaillement simple
   
 0 
   0 
 
    
 0   
 0  

 
 
 

0 σxy 0 0 εxy 0    
 σxy 0 0  et ε =  εxy 0  ou {σ} = 0 0
On a σ = 0 , {ε} =
 σxy 
   2 εxy 
 
0 0 0 0 0 0 
 0   
 0  

 
 
 

   
0 0
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En utilisant la loi d’élasticité, il vient : σxy = 2µ εxy = µ γxy où µ = G est appelé module de rigidité
au glissement (ou au cisaillement). Le glissement défini par γxy = 2εxy représente la variation d’angle
droit.
γxy
y y
x x
3.4.3 État de contrainte uniaxial (suivant x)
On considère un tenseur des contraintes uniaxial et l’on déduit alors le tenseur des déformations par
la loi de souplesse :
   
σxx 0 0 1+ν ν 1 σxx 0
σ =  0 0 0  ⇒ εij = σij − σkk δij ⇒ ε =  0 −ν σxx 0 
0 0 0 E E E 0 0 −ν σxx
loi de souplesse
σxx −ν σxx
soit : εxx = et εyy = εzz = . Le module de Young E est le module de rigidité à
E E
l’allongement en traction simple.
(1 − νεxx)
L(1 + εxx)
L
4 Thermomécanique : contraintes initiales et dilatations thermique
Les contraintes totales en chaque point peuvent résulter de différents effets :
{σ} = {σe } + {σ0 } + {σth } + . . .
où {σe } = [D]{εe } correspond aux contraintes élastiques, {σ0 } correspond aux contraintes résidu-
elles auto-équilibrées, dues à l’histoire du solide (procédé de fabrication) et {σth } = −[D]{εth }
correspond aux contraintes d’origines thermiques.
Ì Matériau isotrope : {εth } =< α∆t α∆t α∆t 0 0 0 >T où α est le coefficient de dilation et
∆ = T − T0 avec T température imposée et T0 température ambiante.
Eα∆T
Ainsi {σth }3d = − < 1 1 1 0 0 0 >T .
1 − 2ν
Eα∆T
En 2D : {σth }2d = − < 1 1 0 >T , où b = 1 en CP, b = 2 en DP.
1 − bν
Ì Matériau orthotrope : {εth } =< αx ∆t αy ∆t αz ∆t 0 0 0 >T
Ì Loi de Hooke généralisée : {σ} = [D]{εe } + {σ0 } + {σth } = [D]({εe } − {εth }) + {σ0 },
et {εe } = [C]({σ} − {σ0 }) + {εth }.
1
Ì Énergie de déformation : U = < ε > [D]{ε}+ < ε > ({σ0 } + {σth }) dV
V 2
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5 Déformations planes
Soit un solide de longueur importante suivant z et supposé bloqué dans cette direction. Les com-
posantes des déformations suivant l’axe z sont nulles : εxz = εyz = εzz = 0 , alors en utilisant la loi
de comportement, on peut déterminer les composantes du tenseur des contraintes :
   
εxx εxy 0 σxx σxy 0
ε =  εyx εyy 0  ⇒ σij = λ εkk δij + 2µ εij ⇒  σxy σyy 0  avec σzz = ν (σxx + σyy )
0 0 0 0 0 σzz
loi d’élasticité
Sous forme vectorielle, on ne conserve que trois termes puisque le quatrième σzz n’intervient pas dans
le calcul des efforts intérieurs, soit :
    
1−ν ν 0
 σxx  E  εxx 
 ν 1−ν 0 
{σ} = D{ε} ⇔ σyy =  ε
  (1 + ν)(1 − 2ν) 1 − 2ν   yy 
σxy 0 0 2 εxy
2
6 Contraintes planes
Soit une plaque mince d’épaisseur t dont la surface moyenne est situé dans le plan x, y et qui n’admet
de charges que dans son plan (les plans normaux à l’axe z ne sont pas chargés). La formule de
Cauchy implique : σxz = σyz = σzz = 0 , alors en utilisant la loi de comportement, écrite en terme
de souplesse :
   
σxx σxy 0 1+ν ν εxx εxy 0 −ν (σxx + σyy )
σ =  σxy σyy 0  ⇒ εij = σij − σkk δij ⇒  εyx εyy 0  avec εzz =
0 0 0 E E 0 0 εzz E
loi de souplesse
Sous forme vectorielle, on ne conserve que trois termes puisque le quatrième εzz n’intervient pas dans
le calcul des efforts intérieurs, soit :
    
1 ν 0
 σxx  E  ν 1  εxx 
0 
{σ} = D{ε} ⇔ σyy =  ε
  1 − ν2 1 − ν   yy 
σxy 0 0 2 εxy
2
7 Équations d’équilibre
- Problème posé sur Ω,
- ∂Ω = ∂ΩF ∂ΩU et ∂ΩF ∂ΩU = ∅, ∂ΩF
- Conditions aux limites sur ∂Ω : déplacements et
efforts donnés :
Relations sur ∂ΩF : P (X, ρ, fv , σ(P ))
−
→ −.
→
force surfacique : t = σ(P ) n
−
→
Relations sur ∂ΩU : − = U d .
→
u ∂ΩU Ω
- Relations déformations-déplacements.
- Loi de comportement (contraintes-déformations).
Plusieurs méthodes permettent d’écrire les équations d’équilibre (locale) d’un milieu, on choisit la plus
"physique". On isole un petit cube de matière de dimensions dx, dy, dz autour de P , et on fait le bilan
des actions extérieures. Pour plus de clarté, on représente les actions sur les 6 faces du cube sur deux
figures qui représentent le même cube :
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∂σyy
σyy + dy
∂y
∂σzy ∂σxy
dz σzy + dy σxy + dy
∂y ∂y
∂σyx
σyx +
dx
σxz ∂x
σzz ∂σyz ∂σxx
σxx σyz + dz ∂σxz σxx + dx
σzx σyz σxz + dz ∂x
dy ∂z ∂z ∂σzx
σyx
σzx + dx
∂σzz ∂x
σxy σzz + dz
σzy ∂z
y σyy
x
z dx
On commence par écrire l’équilibre du cube en projection sur x, la figure ci-après recense l’ensemble
des actions agissant dans cette direction :
∂σxy
σxy + dy
σxz ∂y
∂σxx
σxx σxx + dx
∂x
∂σxz
σxz + dz
∂z
fx
σxy
L’équation du mouvement (avec fx force volumique, ρ masse volumique du matériau et ux l’accélération
¨
selon la direction x) s’écrit alors :
∂σxx ∂σxy
(σxx + dx − σxx )dydz + (σxy + dy − σxy )dxdz
∂x ∂y
∂σxz
+ (σxz + dz − σxz )dxdy + fx dxdydz = ρ¨x dxdydz
u
∂z
d’où après simplification :
∂σxx ∂σxy ∂σxz
+ + + fx = ρ ux ⇒ σxx,x + σxy,y + σxz,z + fx = ρ ux
¨ ¨
∂x ∂y ∂z
De manière analogue, on obtient les équations du mouvement suivant les autres directions :

 ∂σxx
 ∂σxy ∂σxz

 ∂x + + + fx = ρ ux ⇒ σxx,x + σxy,y + σxz,z + fx = ρ ux
¨ ¨

 ∂y ∂z
 ∂σ ∂σyy ∂σyz
yx
+ + + fy = ρ uy ⇒ σyx,x + σyy,y + σyz,z + fx = ρ uy
¨ ¨
 ∂x
 ∂y ∂z
 ∂σ
 ∂σzy ∂σzz

 zx
 + + + fz = ρ uz ⇒ σzx,x + σzy,y + σzz,z + fz = ρ uz
¨ ¨
∂x ∂y ∂z
que l’on peut écrire sous forme vectorielle (avec − = u − + u − + u − ) et indicielle :
→
γ ¨ → ¨ → ¨ →
x y z
x y z
−→ −
→
div σ + f = ρ − ,
→
γ σij,j + fi = ρ ui
¨
Finalement, un problème comprend 15 inconnues (6 contraintes, 6 déformations et 3 déplacements)
que l’on obtient via 15 équations (3 équations d’équilibre, 6 relations déformations-déplacements et 6
relations contraintes-déformations).
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C HAPITRE 2 : MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS
Objectif : dimensionner une structure (avion, pont, pièce d’un assemblage).
Deux approches complémentaires (recalage - corrélation) et/ou indépendantes (maquette numérique
- certification) : essais - calculs.
Ì Essais :
Conditions de l’essai ? Que mesure-t-on ? Interprétation des résultats ? Échelle de la structure
(maquette réduite ou à l’échelle) ? ...
Ì Calculs :
solution analytique, numérique ? précision ? erreur d’arrondi ? erreurs de discrétisation ? ...
Problématique commune : MODÉLISATION (art de l’ingénieur) ⇒ Hypothèses :
Ì Quel est ou quels sont les phénomènes prépondérants ?
• mécanique, thermique, électro-magnétisme, couplage fluide-structure, ... ?
• statique, dynamique, ... ?
• linéaire, non-linéaire, ... ?
• chargement (pesanteur, ...) ?
• frottement ?
Ì Peut-on simplifier ? Si oui comment (3d, 2d, 1d, ...) ?
Mise en équations :
⇒ RdM (géométries particulières, solution analytique)
⇒ Mécanique des Milieux Continus,... ⇒ équations différentielles : solution analytique pour les
géométries simples sinon solution numérique (discrétisation spatiale et éventuellement temporelle)
Méthodes d’approximation :
Pour discrétiser des modèles physiques complexes, on dispose de plusieurs méthodes d’approximation.
Ces méthodes remplace le modèle mathématique défini sur un milieu continu (équations différentielles
ou intégrales) par un problème mathématique discret (équations matricielles) que l’on sait résoudre
numériquement.
1 Principe de la Méthode des résidus pondérés
Soit un problème physique dont l’inconnue est le champ scalaire u(P ) défini sur un domaine d’étude
Ω. On cherche la solution du modèle mathématique défini par des équations locales sur Ω et des
conditions sur ∂Ω la frontière du domaine Ω. Ces équations forment le système d’équations différen-
tielles :
L(u) = f ∀P ∈ Ω (équation locale)
C(u) = e ∀P ∈ ∂Ω (conditions aux limites)
Le résidu (noté R) est l’erreur commise lorsque l’on utilise une approximation (notée u) pour le champ
˜
u.
R(˜) = L(˜) − f
u u ∀P ∈ Ω
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10. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009
La méthode des résidus pondérés consiste à annuler l’erreur commise sur le résidu, en la pondérant
sur le domaine par un nombre fini de fonctions de pondération ou fonctions tests φi , soit :
Wf = φi R(˜) dΩ =
u φi L(˜) − f
u dΩ = 0 ∀φi
Ω Ω
Remarque : au lieu de résoudre R(u) = 0, on considère le problème équivalent Ω φ R(u) dΩ = 0.
Comme on ne sait pas résoudre analytiquement ce problème, on en cherche une approximation en
restreignant le nombre de fonctions de pondération φ.
Si on construit une approximation u à n paramètres, cela signifie qu’il faut choisir n fonctions de
˜
pondération afin d’obtenir autant d’équations intégrales que de paramètres, c’est-à-dire un système
matriciel d’ordre n. L’approximation de u est construite de la façon suivante :
˜
n
u=
˜ Ni qi = [N ]{q},
i=1
où Ni sont les fonctions de forme ou d’interpolation et les qi les paramètres (inconnues que l’on
cherche) de l’approximation. Ainsi, les n équations s’écrivent :
φi R [N ]{q} dΩ = 0 ∀i ∈ [1, n]
Ω
En ce qui concerne le choix des fonctions de pondération, on se limite à la méthode de Galerkin. Cette
méthode consiste à prendre comme fonction de pondération les fonctions de forme. L’inconvénient
de la méthode réside dans le calcul de l’intégrale sur le domaine, par contre si les opérateurs sont
symétriques, les matrices le sont également.
C HAPITRE 2 B : NOTIONS FONDAMENTALES ( INGRÉDIENTS )
1 Méthode des résidus pondérés
La méthode des résidus pondérés consiste à approcher partiellement l’annulation du résidu d’une
équation différentielle pour trouver une solution discrète approximative. Illustrons le concept par l’exem-
ple qui suit. Soit l’équation différentielle :
du(x)
= −u(x), dans l’intervalle : 0 ≤ x ≤ 1 (domaine d’étude), (1)
dx
avec la condition aux limites suivante : u(x = 0) = 1.
La solution exacte s’écrit : uex = e−x .
On cherche maintenant une solution approchée, sous la forme d’un polynôme de la forme :
u = C1 + C2 x + C3 x2
Cette solution approchée doit satisfaire la condition aux limites : u(x = 0) = 1, on en déduit que
C1 = 1. Il reste à trouver C2 et C3 . Pour cela, on propose un critère que permettra d’ajuster ces
coefficients à la solution exacte. On considère alors le résidu (noté R) que l’on obtient à partir de (1) :
du
R= +u=0
dx
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11. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009
du
Si u est la solution exacte alors R = 0. Remplaçons u par la solution approchée (comme =
dx
C2 + 2 C3 x) :
du
R= + u = C2 + 2 C3 x + 1 + C2 x + C3 x2 = 1 + C2 (1 + x) + C3 (2 x + x2 ) = 0
dx
L’objectif de d’essayer de rendre ce résidu nul par un moyen quelconque. Les moyens les plus utilisés
sont : méthode des moindres carrés, méthode de Galerkin, méthode de collocation par points,...
1.1 Méthode de Galerkin
Principe : on considère que les moyennes pondérées du résidu sur l’ensemble du domaine
s’annulent. Les pondérations sont choisies parmi les fonctions qui ont servi à construire la solu-
tion approchée.
Pour notre exemple, cela revient à calculer les quantités suivantes :
1
x R dx = 0 (pondération : x, domaine : [0; 1], moyenne : intégrale),
0
1
x2 R dx = 0 (pondération : x2 , domaine : [0; 1], moyenne : intégrale).
0
1 1
soit x R dx = x 1 + C2 (1 + x) + C3 (2 x + x2 ) dx
0 0
1
1 5 11
= x + C2 (x + x2 ) + C3 (2 x2 + x3 ) dx = + C2 + C3 =0
0 2 6 12
1 1
2
et x R dx = x2 1 + C2 (1 + x) + C3 (2 x + x2 ) dx
0 0
1
1 7 14
= x2 + C2 (x2 + x3 ) + C3 (2 x3 + x4 ) dx = + C2 + C3 =0
0 3 12 20
On obtient un système linéaire de deux équations à deux inconnues C2 et C3 .

 1 + C 5 + C 11 = 0


 2 2 3
6 12
 1

 + C 7 + C 14 = 0
 2 3
3 12 20
32 2
La résolution de ce système permet d’obtenir les coefficients : C2 = − et C3 = . Finalement, la
35 7
32 2
solution approchée s’écrit : u = 1 − x+ x2 .
35 7
2 Approximation nodale
Dans l’exemple précédent, les coefficients indéterminés Ci n’ont pas de signification physique,
il serait intéressant d’exprimer ces coefficients en fonction de valeurs discrètes de la fonction solution.
Prenons une solution approchée :
u = C1 + C2 x + C3 x2
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et exprimons les solutions discrètes (notées u1 , u2 et u3 ) aux points x = 0, 1/2 et 1, afin d’obtenir
une relation entre les Ci et les ui :

 u1 = u(0) = C1 + C2 × 0 + C3 × 0
u2 = u(1/2) = C1 + C2 × 1/2 + C3 × 1/4

u3 = u(1) = C1 + C2 × 1 + C3 × 1
que l’on peut mettre sous forme matricielle :
     
 u1  1 0 0  C1   { } vecteur colonne n × 1,
u2 =  1 1/2 1/4  C2 notations : [ ] matrice n × n, (2)
    
u3 1 1 1 C3 < > vecteur ligne 1 × n.
{un } [X] {Cn }
On peut alors écrire les coefficients Ci en fonction des ui , en effet :
 
−1 −1 1 t 1 0 0
Cn = X un avec X = co-facteur X =  −3 4 −1 
detX 2 −4 2
Comme la solution approchée peut également s’écrire sous la forme suivante :
 
 C1 
u(x) = C1 + C2 x + C3 x2 = < 1 x x2 > C2
 
P (x) C3
  
−1 1 0 0  u1 
= < P (x) > Cn = < P (x) > X un = < 1 x x2 > −3 4 −1  u2
 
2 −4 2 u3
 
 u1 
u(x) = < 1 − 3 x + 2 x2 4 x − 4 x2 − x + 2 x2 > u2 = < N (x) > un
 
N (x) u3
= (1 − 3 x + 2 x ) u1 + (4 x − 4 x2 ) u2 + (−x + 2 x2 ) u3 .
2
On peut vérifier au passage que : u(x = 0) = u1 , u(x = 1/2) = u2 et u(x = 1) = u3 .
Les coefficients (u1 , u2 et u3 pour l’instant inconnus) intervenants dans la solution approchée ont,
maintenant, une signification physique.
3 Approximation d’une fonction par morceaux
La technique développée précédemment n’est pas
très pratique. Si le domaine d’étude est complexe u
(surface, volume, ...), la solution approchée étant
cherchée sous la forme d’un polynôme son de-
gré deviendra très élevé. En effet, la solution ap-
prochée est définie sur l’ensemble du domaine.
Pour contourner cette difficulté, on peut chercher
à approximer la solution exacte (notée uex ) par
sous-domaines de telle sorte que l’erreur entre
la fonction exacte et la fonction approchée (ou
x
d’approximation) soit suffisamment petite. xi xi+1
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En généralisant, nous pouvons concevoir qu’une surface peut être approximée par des facettes par
exemple. Le choix de la fonction approchée ne se limite pas nécessairement à des fonctions linéaires.
Cependant, nous nous limiterons ici à des fonctions polynomiales de degré n. Comme le montre la
figure, une fonction quelconque peut être approchée par une série de fonctions linéaires sur un certain
nombre de sous intervalles. Afin de réduire l’erreur e(x), il convient de choisir un critère quelconque,
ce qui nous permettra de déterminer les coefficients C1 , C2 , . . . ,Cn . En se référant à la figure, nous
pouvons choisir le critère qui consiste à spécifier que l’erreur e(x) s’annule pour les abscisses
xi . La fonction exacte, uex , est approximée par des fonctions linéaires (par exemple) de la forme :
u(x) = C1 + C2 x
pour xi < x < xi+1 avec i = 1, n
et vérifient uex (xi ) = u(xi ), uex (xi+1 ) = u(xi+1 ), soit uex (xi ) = C1 + C2 xi et uex (xi+1 ) =
C1 + C2 xi+1 que l’on peut mettre sous forme matricielle :
−1
uex (xi ) 1 xi C1 C1 1 xi uex (xi )
= alors = (3)
uex (xi+1 ) 1 xi+1 C2 C2 1 xi+1 uex (xi+1 )
Les limites xi et xi+1 du sous intervalle ainsi que les valeurs de la fonction exacte correspondant à ces
limites étant connues, il est aisé d’obtenir les valeurs des paramètres indéterminés Cn . Ce concept se
généralise pour toutes fonctions polynomiales de degré n−1. Sous forme matricielle à une dimension,
ces fonctions peuvent avoir la forme suivante :
 
 C1 
 
 C2 
 

 

2
u(x) = < 1 x x . . . x n−1
> C3 =< P (x) > Cn (4)
 . 
 . 
P (x)  . 
 
 C 
 
n
Le vecteur ligne < P (x) > est appelé la base polynomiale et le vecteur colonne {Cn } constitue
l’ensemble des paramètres indéterminés. Ainsi, d’une manière générale, le système matriciel (3) s’écrit
comme suit :
    

 uex (xi ) 
 < 1 x . . . xn−1 >i  C1 
 
 uex (xi+1 ) 
   < 1 x . . . xn−1 >i+1   C2    −1
 
.
. = .
.  . ⇒ Cn = X un (5)

 . 
  .  . 
 . 

 u (x 
  
ex i+n−1 ) < 1 x . . . xn−1 >i+n−1  Cn 
[X]
Les coefficients Ci n’ayant pas de signification physique, on utilise les résultats du paragraphe précé-
dent. En combinant (4) et (5), on obtient :
−1
u(x) =< P (x) > Cn =< P (x) > X un =< N (x) > un (6)
qui est une forme approchée de uex en fonction de valeurs discrètes de cette dernière. Ce résultat
est fondamental car, que la fonction uex (x) soit connue ou non, il est toujours possible de l’approximer
par une fonction de valeurs discrètes connues ou non. Si la fonction uex est inconnue nous avons
ici un outil qui nous permet de la remplacer en approximant par une forme où seules des valeurs
discrètes de la fonction sont inconnues. Il s’agit là d’un processus de discrétisation largement
utilisé dans la méthode des éléments finis. La fonction (6) est appelée fonction d’approximation
ou d’interpolation définissant une approximation nodale.
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3.1 Exemple
Appliquons l’approximation nodale au système (3) :
−1
uex (x1 ) 1 x1 C1 C1 1 x1 u1
= ⇒ =
uex (x2 ) 1 x2 C2 C2 1 x2 u2
L’inversion de la matrice donne :
−1
1 x1 1 x2 −x1
=
1 x2 x2 − x1 −1 1
En utilisant la relation (6), il vient alors :
−1 1 x2 −x1 u1
u(x)= < P (x) > X un =< 1 x > (7)
x2 − x1 −1 1 u2
x2 − x x − x1 u1 u1
=< > =< N1 (x) N2 (x) > =< N (x) > un (8)
x2 − x1 x2 − x1 u2 u2
4 Définitions et propriétés
On définit alors comme noeuds les positions xi et comme élément le sous intervalle auquel elles
appartiennent. Les valeurs de u associées à un noeud sont les valeurs nodales, on parle aussi de
degrés de liberté : en 3d, par exemple, on peut avoir pour chaque nœud, trois degrés de liberté : ux ,
uy et uz ou pour un élément de poutre en chaque nœud 6 degrés de liberté : 3 déplacements ux , uy ,
uz et 3 rotations rx , ry et rz .
4.1 Propriétés de l’approximation nodale
À la lumière de l’exemple proposé ici, nous constatons que :
0 si i = j
Nj (xi ) = (9)
1 si i = j
En effet, par définition du critère nous permettant d’évaluer les paramètres indéterminés, nous avons
imposé que la valeur de la fonction exacte et de la fonction approchée devait coïncider aux noeuds. En
effet, si nous reprenons l’expression (8), évaluons uex (x) en x = x1 :
u1
uex (x1 ) =< N1 (x1 ) N2 (x1 ) > = N1 (x1 ) u1 + N2 (x1 ) u2 = u1
u2
Pour vérifier cette relation, on doit avoir N2 (x1 ) = 0 et N1 (x1 ) = 1, c’est-à-dire :
x2 − x1 x1 − x1 u1 u1
u(x1 ) =< > =< 1 0 > = u1
x2 − x1 x2 − x1 u2 u2
Les conditions (9) permet d’avoir des conditions pour déterminer les coefficients des polynômes d’in-
terpolations. Exemple d’un polynôme du second degré (interpolation quadratique) de la forme N (x) =
a x2 + b x + c, l’élément est composé de trois nœuds (abscisses : x1 , x2 et x3 ) alors pour déterminer
les coefficients du polynôme N2 (x), on a les conditions suivantes :
N2 (x1 ) = a x2 + b x1 + c = 0, N2 (x2 ) = a x2 + b x2 + c = 1, N2 (x3 ) = a x2 + b x3 + c = 0,
1 2 3
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soit un système de trois équations à trois inconnues (a, b et c).
On peut également utiliser les polynômes de Lagrange pour déterminer les polynômes d’interpolation
Ni (x) :
n
x − xj
Ni (x) =
j=1
xi − xj
j=i
Appliquons cette définition pour un élément à deux nœuds (interpolation linéaire) :
x − x2 x − x1
N1 (x) = et N2 (x) = , on retrouve les expressions (8).
x1 − x2 x2 − x1
4.2 Dérivées de la fonction d’interpolation
Dans le cas que nous considérons ici, c’est-à-dire l’emploi de fonctions d’interpolation polynomiales de
degré n − 1, il est évident que seules les dérivées jusqu’à l’ordre n − 1 existent. Ceci est extrêmement
important en ce qui concerne le choix du degré d’une fonction d’interpolation en fonction de l’ordre de
l’équation différentielle. Par exemple, une fonction d’interpolation linéaire (de degré 1) ne pourra pas
être directement utilisée pour approximer une dérivée de seconde puisque sa dérivée d’ordre 2 est
nulle. Si u(x) =< N (x) > un alors :
du(x) d dN (x)
= < N (x) > un =< > un
dx dx dx
car seule la fonction d’interpolation dépend de x.
C HAPITRE 2 C : MISE EN ŒUVRE DE LA MÉTHODE DES ÉLÉMENTS FINIS
1 Exemple d’application en mécanique
Soit une barre de section constante A et de longueur P
sollicitée par un flux de traction P (N/m). La barre a un x
comportement élastique linéaire (module d’Young E).
On cherche le champ de déplacement u, de déformation
ε et de contraintes σ en tous points de la barre.
A(x) A(x + dx)
La mise en équation s’obtient
en écrivant l’équilibre des dN (x)
forces d’un segment élémen- N (x) P (x) dx N (x + dx) = N (x) + dx
dx
taire de barre de longueur dx, u(0) u( )
situé à une distance x du bord ou ou
0: N (0) N( )
dN dx
N+ dx − N + P dx = 0
dx
du
L’effort intérieur axial N peut, par application de la loi de Hooke (σx = E εx = E ), être ex-
dx
du
primé en fonction du déplacement u par : N (x) = A σx = EAεx = EA . L’équation d’équilibre de
dx
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la barre (une dimension) et conditions aux limites (formulées en déplacement, c’est-à-dire en fonction
de u) s’écrit finalement :

 d2 u

 EA 2 + P = 0, 0<x< ,
 dx
du (10)
 N (x = ) =
 =0 en x = ,

 dx x=
u = 0, en x = 0.
1.1 Solution analytique
P
En intégrant deux fois, on obtient l’expression du déplacement : u = − x2 + Cx + D.
2EA
Les constantes d’intégration sont déterminées par
les conditions aux limites :
1
Contrainte (P=A=L=1)
u(x = 0) = 0, alors D = 0, Déplacement (P=A=E=L=1)
N (x = ) = 0, soit encore εx (x = ) = 0, 0.8
du P
d’où (x = ) = 0 donc C = . 0.6
dx EA
0.4
P P
u(x) = − x2 + x,
2EA EA 0.2
du P P
εx (x) = =− x+ ,
dx EA EA
P P 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
σx (x) = E εx (x) = − x + .
A A
1.2 Solution approchée par la méthode des éléments finis
1. Formulation intégrale globale :
On forme le résidu R à partir de l’équation d’équilibre (10), on multiplie par la fonction de pondéra-
tion φ, qui satisfait les conditions aux limites en déplacement et on intègre sur le domaine d’étude
(intervale [0; ]), la section de la barre est constante :
d2 u
˜
φ (EA + P ) dx = 0 ∀φ. (11)
0 dx2
2. Formulation intégrale faible :
Intégration par parties du premier membre de l’intégrale figurant dans l’équation (11) soit :
d2 u
˜ d˜
u dφ d˜
u
(φ ) dx = φ − ( ) dx (rappel : (uv) = u v + uv ).
0 dx2 dx 0 0 dx dx
d˜
u
En utilisant les conditions aux limites ( = 0 et u(x = 0) = 0) il reste :
˜
dx (x= )
d2 u
˜ dφ d˜
u
(φ 2
) dx = − ( ) dx.
0 dx 0 dx dx
En remplaçant dans (11), il vient :
dφ d˜
u
− (EA ) dx + P φ dx = 0 ∀φ. (12)
0 dx dx 0
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3. Discrétisation : Méthode de Galerkin (la fonction test est prise comme égale à la variation du
déplacement : φ = δu).
Le domaine d’étude est discrétisé à l’aide d’un élément de barre à deux nœuds de longueur .
C’est-à-dire que le déplacement dans l’élément est interpolé à l’aide du déplacement des deux
extrémités de la barre. L’interpolation est linéaire, de sorte que l’on peut écrire pour un élément
de barre (nœuds 1 et 2) :
u1 N1 (x)
u(x) =< N (x) > {un } =< N1 (x) N2 (x) >
˜ =< un > {N (x)} =< u1 u2 >
u2 N2 (x)
un représente la valeur de u en chaque nœud de l’élément.
˜
Ces fonctions N1 (x) et N2 (x)
sont construites pour vérifier 1
N1(x)
u(x = 0) = u1 et u(x = ) = u2 . N2(x)
Explicitons (polynôme de Lagrange) 0.8
les fonctions d’interpolation linéaire
d’un élément de barre (longueur 0.6
= x2 − x1 ) à deux nœuds (1 et 2) :
0.4
x − x2 x
N1 (x) = =1− , (13) 0.2
x1 − x2
x − x1 x
N2 (x) = =. (14) 0
x2 − x1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Avec ces fonctions et à l’aide de la relation u(x) =< N (x) > {un }, on peut calculer le déplace-
˜
ment en n’importe quel point de l’élément.
d˜
u
On souhaite remplacer u(x) dans l’équation (12), il faut donc évaluer
˜ :
dx
d˜
u d(< N (x) > {un }) dN (x) dN (x)
= =< > {un } =< un > { }
dx dx dx dx
dN1 (x) 1 dN2 (x) 1
soit à partir des expressions (13) et (14) : =− et = .
dx dx
Ainsi pour cet élément fini, la discrétisation de l’équation (12) s’écrit :
dN (x) dN (x)
− EA < φn > { }< > {un } dx + P < φn > {N (x)} dx = 0.
0 dx dx 0
Comme φn et un ne dépendent pas de la variable d’intégration x, on peut écrire :
dN (x) dN (x)
< φn > − EA{ }< > dx {un } + P {N (x)} dx = 0.
0 dx dx 0
Cette relation est vérifiée quelque soit la fonction test < φn >, on peut simplifier comme suit :
dN (x) dN (x)
− EA{ }< > dx {un } + P {N (x)} dx = 0. (15)
0 dx dx 0
Il reste à évaluer les différentes intégrales en utilisant les fonctions d’interpolation :
 
 dN1 (x) 
  dN (x) dN (x)
dN (x) dN (x) dx 1 2 1 1 −1
{ }< >= < >= 2 (16)
dx dx  dN2 (x) 
  dx dx −1 1
dx
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alors :
dN (x) dN (x) EA 1 −1 EA 1 −1
EA{ }< > dx = dx = (17)
0 dx dx 0
2 −1 1 −1 1
De même :
  
x  x2
 1− 
 x −
2  1
{N (x)} dx = x dx =  0 0
= (18)
0 0   x2 2 1
2 0
Il ne reste plus qu’a remplacer dans (15) pour obtenir l’équation discrétisée qui prend alors la
forme d’un système linéaire ([K] {un } = {fn }) :
EA 1 −1 u1 P 1 Rx1
= + ,
−1 1 u2 2 1 0
EA 1 −1 P 1 Rx1
ici [K] = et {fn } = + .
−1 1 2 1 0
Système de deux équations à deux inconnues : u2 et Rx1 (qui représente la réaction à l’encas-
trement), rappelons que u1 est connu car imposé par une condition aux limites.
4. Résolution :
Avant de résoudre, il faut prendre en compte les conditions aux limites en déplacement (ici en-
P 2
castrement au niveau du nœud 1, soit u1 = 0), d’où les solutions : u1 = 0, u2 = .
2EA
5. Post-traitement :
• Le champ de déplacement u(x) est alors obtenue par interpolation via la relation :
˜
 
x x  0  P
u1
u(x) =< N (x) > {un } =< N1 (x) N2 (x) >
˜ =< (1 − ) > P 2 = x.
u2   2EA
2EA
• La déformation ε(x) :
˜
 
dN1 (x) dN2 (x) 1 1  0  P
u1
ε(x) =<
˜ > =< − > P 2 = constante.
dx dx u2   2EA
2EA
P
• Et enfin la contrainte σ (x) = E ε(x) =
˜ ˜ qui est constante dans la barre.
2A
• On peut également calculer la réaction (notée Rx1 ) au niveau de l’encastrement, pour cela
il faut calculer le produit [K]{u} ({u} étant maintenant connu) soit :
   
 0   −P 
 
EA 1 −1 2 2
P dont le résultat est , (19)
−1 1    P
 

2EA 2
par ailleurs, les forces extérieures agissant sur les nœuds s’écrivent :
 
 R +P 
 x1 
2 . (20)
 P 
 
2
J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 18

19. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009
En égalisant les deux quantités (19) et (20) on trouve la réaction (Rx1 = −P ) qui est
bien égale à l’opposé de la résultante des efforts agissant sur la barre. On vient de vérifier
l’équilibre statique de la barre. En divisant Rx1 par la section A, on obtient la contrainte à
l’encastrement qui est égale à la contrainte théorique.
En conclusion la discrétisation avec un seul élément fini, pour ce cas très particulier, permet
d’atteindre les principales informations pour la conception de la structure. À savoir, le déplace-
ment maximun et la valeur de la réaction à l’encastrement.
0.5 1
ANALYTIQUE ANALYTIQUE
EF EF
0.4 0.8
0.3 0.6
0.2 0.4
0.1 0.2
0 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Figure 1: Déplacement (E = P = A = = 1) Figure 2: Contrainte (P = A = = 1)
Pour améliorer le résultat, on peut procéder de plusieurs façons :
(a) discrétiser avec un nombre plus important d’éléments.
(b) discrétiser avec un élément fini dont l’interpolation est plus riche.
Toutefois, pour s’assurer de la résistance de la structure, il est important d’approcher au mieux
la contrainte maximale, qui dans notre exemple se trouve au niveau de l’encastrement, afin de
vérifier que l’on reste dans le domaine élastique du matériau.
1.3 Solution approchée par la méthode des éléments finis: discrétisation par
deux éléments finis
Le calcul précédent permet de caractériser le comportement de l’élément fini de barre à deux nœuds :
• le déplacement est linéaire, en raison de l’interpolation choisie.
• la contrainte est constante dans l’élément
Pour obtenir une bonne approximation de la con-
trainte maximale, la structure est maintenant dis- 1 2 3 x
crétisée par deux éléments finis. L’élément fini près
EF 1 EF 2
de l’encastrement ayant une longueur très petite
(par exemple /100). Figure 3: Discrétisation à l’aide de deux EF
1. Fonctions d’interpolation :
élément fini 1 élément fini 2
x − x2 100x x − x3 100 100 x
N1 (x) = =1− , (21) N1 (x) = = − , (23)
x1 − x2 x2 − x3 99 99
x − x1 100x x − x2 100 x 1
N2 (x) = = . (22) N2 (x) = = − . (24)
x1 − x2 x3 − x2 99 99
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20. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009
2. Calcul des matrices de rigidité élémentaires : Il faut au préalable recalculer (16) puis calculer
l’intégrale (17), les bornes allant de 0 à /100 pour l’élément 1 et de /100 à pour l’élément 2.
En fait, pour cet élément ce n’est pas nécessaire car la matrice de raideur est proportionnelle à
l’inverse de la longueur de l’élément, ainsi à partir de l’expression (17) valable pour un élément
de longueur , on obtient :
100 × EA 1 −1 100 × EA 1 −1
K1 = et K2 =
−1 1 99 × −1 1
u1 u2 u2 u3
3. Calcul du chargement nodal :
Dans la méthode des éléments finis, les conditions aux limites (déplacements ou forces) s’appli-
que au niveau des nœuds, d’où le terme chargement nodal. Ces forces nodales sont obtenues
en calculant l’intégrale (18). Mais, comme pour les matrices de rigidité, on peut obtenir directe-
ment le résultat, puisque pour ce cas, les forces nodales sont proportionnelles à la longueur de
l’élément, ainsi à partir de l’expression (18) valable pour un élément de longueur , on obtient :
1
f1 P 1 2
f2 99 × P 1
f1 = 1 = , f2 = 2 = .
f2 100 × 2 1 f3 100 × 2 1
1 1 2 2
Notons au passage que la somme des composantes des forces nodales (f1 + f2 + f2 + f3 ) est
égale à P qui n’est autre que la résultante du chargement appliqué sur la barre.
4. Assemblage des quantités élémentaires :
 
    1 −1 0    
 u 1   f1  100 × EA  −1 1 + 1 − 1  u1  P  1 
 
K u 2 = f2 soit  99 99  u2 = 1 + 99
     1 1  u3  100 × 2  99 
u3 f3
0 −
99 99
5. Résolution :
Avant de résoudre, il faut prendre en compte les conditions aux limites en déplacement (ici en-
castrement au niveau du nœud 1, soit u1 = 0), d’où le système linéaire à résoudre :
 
1 1
100 × EA  1 + 99 − 99  u2 P 1 + 99
 1 1  =
u3 100 × 2 99
−
99 99
2 2
P × (100 + 99) P
Dont les solutions sont : u2 = et u3 = .
2EA × 100 × 100 2EA
6. Post-traitement :
La contrainte (constante) dans l’élément 1 est obtenue par la relation : σ (x) = E ε(x). Soit :
˜ ˜
 
dN1 (x) dN2 (x) u1 100 100  2 0  P (100 + 99)
ε(x)=<
˜ > =< − > P (100 + 99) = .
dx dx u2   2EA × 100
2EA × 100 2
P (100 + 99)
d’où l’expression de la contrainte dans la barre 1 : σ (x ∈ [0, /100]) =
˜ .
2A × 100
Ainsi, avec deux éléments finis, on approxime très bien la contrainte à l’encastrement, en effet :
P P 199
σanalytique (x = 0) = et σélément fini (x = 0) =
˜ × .
A A 200
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21. Université d’Évry-Val d’Essonne CS71 - notes de cours, septembre 2009
C HAPITRE 3 : P RINCIPE DES T RAVAUX V IRTUELS (PTV)
Système physique continu
Mise en équations
(PFD) Méthodes variationelles
(PTV)
Formes différentielles
méthodes des résidus pondérés
formes intégrales
Méthodes d’approximation
discrétisation
formes matricielles
1 Introduction
Dans certains domaine de la physique, des considérations énergétiques permettent la formulation du
problème en tant que principe variationnel, aboutissant ainsi à une formulation intégrale. L’intérêt de
ces principes est de fournir directement la forme intégrale sans avoir à passer par les équations aux
dérivées partielles. La formulation mathématique du principe est basée sur les mêmes hypothèses
de modélisation du problème physique. En mécanique des structures le principe le plus couramment
utilisé est le principe des travaux virtuels (PTV). Le PTV est une traduction sous forme intégrale de
l’équilibre du solide.
2 Quelques relations utiles pour la suite
Ì Opérateurs différentiels : gradient, divergence :
- Relations entre champs scalaires et champs vectoriels :
Le gradient d’une fonction scalaire (x, y, z) définie au point P de composantes x, y, z s’écrit (no-
f 
 f = ∂f 
 ,x 

 

 ∂x 
−→
− ∂f 
tation indicielle f,i ) : grad f = f,y = ,

 ∂y 

 ∂f 

 f,y = 

∂z −→− −→
−
et il est tel que : df = f,x dx + f,y dy + f,z dz = grad f . dM .
Soit − un vecteur de composantes (vx , vy , vz ); la divergence du vecteur − est le scalaire défini
→
v →
v
∂vx ∂vy ∂vz
par : div − = vx,x + vy,y + vz,z =
→
v + + .
∂x ∂y ∂z
- Relations entre champs vectoriels et champs tensoriels :
Soit − un vecteur de composantes (vx , vy , vz ); l’opérateur tenseur gradient de ce vecteur −
→
v →
v
J.-M. CROS, Z.-Q. FENG 21