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Preparação para prova final do 2º ciclo
Luis Carrilho
www.obichinhodosaber.com

PREPARAÇÃO PARA PROVA FINAL 2º CICLO MATEMÁTICA
www.obichinhodosaber.com 1
ÍNDICE POR TEMAS
Números primos e números compostos 2
Critérios de divisibilidade 3
Decomposição em fatores primos 3
Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum 4
Potências 4
Conjuntos de números 5
Frações 6
Valores aproximados e arredondamentos 7
Operações com números racionais não negativos 8
Operações com números inteiros 9
Expressões numéricas 9
Sequências 10
Proporcionalidade direta 11
Reta, semirreta e segmento de reta 12
Ângulos 13
Polígonos 14
Perímetros e áreas 15
Sólidos geométricos 16
Volumes 17
Unidades de volume e capacidade 17
Recolha de dados 18
Representação de dados 19
Tratamento de dados 20

NÚMEROS
Números primos e números compostos
 Número primo: tem apenas dois divisores (o 1 e ele próprio)
 Número composto: tem mais do que dois divisores
Nota: O número 1 não é primo nem é composto.
Exemplos:
Divisores de 2:
2 : 1 = 2
2 : 2 = 1
- 2 tem dois divisores (1 e 2), logo é um número primo.
Divisores de 3:
3 : 1 = 3
3 : 3 = 1
- 3 tem apenas dois divisores (1 e 3), logo é um número primo.
Divisores de 4:
4 : 1 = 4
4 : 2 = 2
4 : 4 = 1
- 4 tem três divisores (1, 2 e 4), logo é um número composto.
Divisores de 5:
5 : 1 = 5
5 : 5 = 1
Divisores de 6:
6 : 1 = 6
6 : 2 = 3
6 : 3 = 2
6 : 6 = 1
- 6 tem quatro divisores (1, 2, 3 e 6), logo é um número composto.
Divisores de 7:
7 : 1 = 7
7 : 7 = 1

Critérios de divisibilidade
 Números divisíveis por 2: números pares
 Números divisíveis por 3: números cuja soma dos seus algarismos é
múltiplo de 3
 Números divisíveis por 4: números em que os dois últimos algarismos
formam um número múltiplo de 4
 Números divisíveis por 5: números que terminam em 0 ou 5
 Números divisíveis por 9: números cuja soma dos seus algarismos é
múltiplo de 9
 Números divisíveis por 10: números que terminam em 0
Exemplo:
2145:
- Não é divisível por 2 porque não é par
- É divisível por 3 porque a soma dos seus algarismos é múltiplo de 3 (2+1+4+5=12)
- Não é divisível por 4 porque os dois últimos algarismos (45) não formam um número
múltiplo de 4
- É divisível por 5 porque termina em 5
- Não é divisível por 9 porque a soma dos seus algarismos não é múltiplo de 9
(2+1+4+5=12)
- Não é divisível por 10 porque não termina em 0
Decomposição em fatores primos
Para decompor um número em fatores primos, começamos a dividi-lo pelo seu
divisor primo mais baixo. De seguida, divide-se o quociente obtido pelo seu
divisor primo mais baixo, e assim sucessivamente até chegar ao 1.
Exemplo:
630 = 2 × 32 × 5 × 7

Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum
 Máximo divisor comum: fatores comuns de menor expoente
 Mínimo múltiplo comum: fatores comuns de maior expoente e fatores
não comuns
Exemplo:
10500 = 22 × 3 × 53 × 7
504 = 23 × 32 × 7
- m.d.c. (10500,504) = 22 × 3 × 7 = 84
- m.m.c. (10500,504) = 23 × 32 × 7 × 53 = 63000
Potências
Numa multiplicação de potências:
 Com bases iguais: somam-se os expoentes e base mantém-se igual
 Com expoentes iguais: multiplicam-se as bases e o expoente mantém-
se igual
Numa divisão de potências:
 Com bases iguais: subtraem-se os expoentes e base mantém-se igual
 Com expoentes iguais: dividem-se as bases e o expoente mantém-se
igual
Potência de potência:
 Multiplicam-se os expoentes e a base mantém-se igual.
Exemplos:
45 × 43 = 48
45 × 25 = 85
45 : 43 = 42
45 : 25 = 25
(43)2 = 46

Conjuntos de números
 Naturais: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
 Inteiros: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
 Racionais: {números inteiros} U {números fracionários}
Nota: Um número fracionário é um número decimal que pode ser
representado por uma fração. Para saber se um número é fracionário
verificamos se é uma dízima finita ou dizíma infinita não periódica.
Exemplos:
2145
- É número natural (porque é superior a 0 e não tem parte decimal)
- É número inteiro (porque não tem parte decimal)
- É número racional (porque é número inteiro)
0
- Não é número natural (porque é inferior a 1)
- É número racional (porque é um número inteiro)
-45
- Não é número natural (porque é inferior a 1)
- É número racional (porque é um número inteiro)
2,145
- Não é número natural (porque tem parte decimal)
- Não é número inteiro (porque tem parte decimal)
- É número racional (porque é um número fracionário – dizíma finita)
-21,(45) = 21,4545454545...
- É número racional (porque é um número fracionário – dizíma infinita periódica)
-21,45135781548...
- Não é número racional (porque é um número irracional – dizíma infinita não
periódica)

Frações
As frações são números racionais representados sob a forma de quociente
entre dois números inteiros. Podem representar uma parte de um todo.
Fração como parte de um todo
Um terço de 1200:
Frações equivalentes
Para obter frações equivalentes:
 Multiplicam-se ou dividem-se os numeradores e denominadores pelo
mesmo número
Exemplo:
- neste caso multiplicaram-se o numerador e o denominador por 2
Forma irredutível
Para colocar uma fração na forma irredutível:
 Dividir o numerador e o denominador pelo maior divisor comum
Exemplo:
- neste caso o maior divisor comum entre numerador e denominador era o 5, logo
dividiram-se o numerador e o denominador por 5
1200
400

Comparação de frações
Comparar frações:
 Se tiverem o mesmo denominador, a fração maior é a que tem maior
numerador
 Se tiverem o mesmo numerador, a fração maior é a que tem menor
denominador
 Se tiverem numeradores e denominadores diferentes, obtêm-se frações
equivalentes de forma a ter numeradores ou denominadores iguais e
seguem-se as regras anteriormente descritas
Exemplos:
,porque e
Valores aproximados e arredondamentos
Valores aproximados:
 Por defeito: não se acrescenta nada ao último algarismo
 Por excesso: acrescenta-se 1 ao último algarismo
Arredondamentos:
 Se o algarismo seguinte ao último for inferior a 5: não se acrescenta
nada ao último algarismo
 Se o algarismo seguinte ao último for igual ou superior a 5: acrescenta-
se 1 ao último algarismo
Exemplos:
145,253789456448...
- valor aproximado por defeito às unidades: 145 (5+0)
- valor aproximado por excesso às unidades: 146 (5+1)
- arredondamento às unidades: 145 (5+0, porque o algarismo seguinte (2)é inferior a 5)

ÁLGEBRA
Operações com números racionais não negativos
 Na adição:
o Se as frações não tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-
se obter frações equivalentes igualando os denominadores
o De seguida, somam-se os numeradores
 Na subtração:
o Se as frações não tiverem o mesmo denominador, primeiro deve-
se obter frações equivalentes igualando os denominadores
o De seguida, subtraem-se os numeradores
 Na multiplicação:
o Multiplicam-se o numerador da primeira fração com o
numerador da segunda, e o mesmo se faz com os
denominadores (não é necessário denominadores iguais)
 Na divisão:
o Multiplica-se a primeira fração com o inverso da segunda
 Potência:
o Multiplica-se o numerador e o denominador o número de vezes
indicado pelo expoente
Exemplos:
( )

Operações com números inteiros
Quando aparecem dois sinais juntos (+ ou -), deve-se fazer a simplificação da
escrita:
 Se aparecerem sinais diferentes ( - + ou + -):
o Passam a –
 Se aparecerem sinais iguais (+ + ou - -):
o Passam a +
Exemplos:
4 + 2 = 6
-4 + 2 = -2
4 + (-2) = 4 – 2 = 2
-4 + (-2) = -4 – 2 = -6
4 - 2 = 2
-4 - 2 = -6
4 - (-2) = 4 + 2 = 2
-4 - (-2) = -4 + 2 = -6
4 × 2 = 8
-4 × 2 = -8
4 × (-2) = -8
-4 × (-2) = 8
4 ÷ 2 = 2
-4 ÷ 2 = -2
4 ÷ (-2) = -2
-4 ÷ (-2) = 2
Expressões numéricas
1. Resolvem-se as potências
2. Resolve-se o que está dentro de parenteses
3. Resolvem-se as multiplicações e divisões pela ordem em que aparecem
4. Resolvem-se as adições e subtrações pela ordem em que aparecem
Exemplo:
42 + (2 + 1 × 3) × 4 – 2 ÷ 2 =
= 16 + (2 + 1 × 3) × 4 – 2 ÷ 2 =
= 16 + (2 + 3) × 4 – 2 ÷ 2 =
= 16 + 5 × 4 – 2 ÷ 2 =
= 16 + 20 – 2 ÷ 2 =
= 16 + 20 – 1 =
= 36 – 1 =
= 35

Sequências
A cada número de uma sequência chama-se termo e a posição que ocupa
na sequência chama-se ordem (n).
É possível descobrir qualquer termo de uma sequência sabendo o seu termo
geral.
Exemplos de termos gerais de sequências:
2, 6, 8, 10, 12, ... 2n (de 2 em 2)
3, 6, 9, 12, 15, ... 3n (de 3 em 3)
4, 7, 10, 13, 16, ... 3n + 1 (de 3 em 3 e começa no 4)
1, 2, 3, 4, 5, ... n (de 1 em 1)
0, 1, 2, 3, 4, ... n - 1 (de 1 em 1 e começa no 0)
-10, -20, -30, -40, -50, ... -10n (de -10 em -10)
5, 0, -5, -10, -15, ... -5n + 10 (de -5 em -5 e começa no 5)
1, 4, 9, 16, 25, ... n2 (quadrados perfeitos)
1, 8, 27, 64, 125, ... n3 (cubos perfeitos)
Exemplo de como se descobre os termos de uma sequência através do seu termo
geral:
Termo geral:
2 × (n + 10)
1º termo (n = 1):
2 × (1 + 10)= 2 × 11 = 22
2º termo (n = 2):
2 × (2 + 10)= 2 × 12 = 24
3º termo (n = 3):
2 × (3 + 10)= 2 × 13 = 26
10º termo (n = 10):
2 × (10 + 10)= 2 × 20 = 40

Proporcionalidade direta
Razão
Uma razão é o quociente entre duas grandezas.
Exemplo:
Razão entre o número de bolas verdes e o número total de bolas:
- neste caso 2 é o antecedente e 5 é o consequente
Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre razões. Numa proporção, o produto
dos meios é igual ao produto dos extermos (lei fundamental das proporções).
Exemplo:
- neste caso 2 e 10 são os extremos,5 e 4 são os meios
Constante de proporcionalidade
Se duas grandezas são diretamente proporcionais, então existe uma constante
de proporcionalidade.
Exemplo:
x 1 2 3
y 5 10 15
5 ÷ 1 = 5 ; 10 ÷ 2 = 5 ; 15 ÷ 3 = 5
- neste caso a constante de proporcionalidade é 5, sendo assim
as grandezas x e y são diretamente proporcionais

GEOMETRIA
Reta, semirreta e segmento de reta
Reta
Uma reta não tem princípio nem fim
Exemplo:
Reta AB ou reta s
Semirreta
Uma semirreta tem princípio mas não tem fim
Exemplo:
Semirreta AB
Segmento de reta
Um segmento de reta tem princípio e fim
Exemplo:
Segmento de reta [AB]
A B
s
A B
A B

Ângulos
Classificação de ângulos
Pares de ângulos
90º > 90º < 90º
Ângulo reto Ângulo agudoÂngulo obtuso
360º
180º
Ângulo raso Ângulo giro
Ângulos alterno internos
a = b
Ângulos verticalmente opostos
a = b
Ângulos complementares
a + b = 180º
Ângulos complementares
a + b = 90º
b
a
a
a
a
b
b
b

Polígonos
Um polígono é um conjunto de segmentos de reta interligados entre si.
Classificação de polígonos
Os polígonos podem ser classificados quanto ao número de lados:
 Triângulos: 3 lados
 Quadriláteros: 4 lados
 Pentágonos: 5 lados
 Hexágonos: 6 lados
 Heptágonos: 7 lados
 Octógonos: 8 lados
 Eneágonos: 9 lados
 Decágonos: 10 lados
Polígonos regulares
Um polígono regular tem os lados e os ângulos todos iguais.
Classificação de triângulos
Os triângulos podem ser classificados de duas formas:
 Quanto aos lados:
o Equilátero (lados todos iguais)
o Isósceles (2 lados iguais)
o Escaleno lados todos diferentes)
 Quanto aos ângulos:
o Retângulo (um ângulo reto)
o Obtusângulo (um ângulo obtuso)
o Acutângulo (três angulos agudos)
A soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre 180º.

Perímetros e áreas
Quadrado
Retângulo
Triângulo
Círculo
l
c
l
b
l1 l2
a
d
r
A = c × l
P = c + l + c + l
A = l × l
P = l + l + l + l
A =
P = b + l1 + l2
A = π × r2
P = π × d

Sólidos geométricos
Poliedros
Os poliedros têm apenas faces planas:
 Prismas: têm 2 bases e faces laterais retangulares
o Prisma triangular (bases triangulares)
o Prisma quadrangular (bases quadrangulares)
o Prisma pentagonal (bases pentagonais)
o ...
 Pirâmides: têm 1 base e faces laterais triangulares
o Pirâmide triangular (base triangular)
o Pirâmide quadrangular (base quadrangular)
o Pirâmide pentagonal (base pentagonal)
o ...
Não poliedros
Os não poliedros têm pelo menos uma face curva:
 Cilindro: 2 bases e 1 superfície curva
 Cone: 1 base e 1 superfície curva
 Esfera: 1 superfície curva
Planificação do cilindro
π × d (perímetro da base)
d
altura do sólido

Volumes
Cubo
Paralelopípedo
Cilindro
Unidades de volume e capacidade
 Volume: Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
 Capacidade: Kl hl dal l dl cl ml
m3 = kl
dm3 = l
cm3 = ml
V = a × a × a
a
a
l
c
V = c × l × a
V = π × r2 × a
a
r

ORGANIZAÇÃO E TRATAMENTO DE DADOS
Recolha de dados
População/amostra e censo/sondagem
Quando se realiza um estudo, podemos retirar os dados de toda a população
(sobre o quê ou quem se faz o estudo), ou então retiramos os dados de uma
amostra (parte da população) para se tirarem conclusões sobre o geral.
Num estudo pode-se então realizar:
 Um censo: quando se retiram os dados de toda a população
 Uma sondagem: quando se retiram dados a partir de uma amostra
Exemplos:
Pretende-se saber o número de irmãos dos alunos de uma escola. Fez-se um inquérito
a 10 alunos de cada turma.
- neste caso a população são os alunos da escola e foi utilizada uma amostra para o
estudo (os 10 alunos de cada turma que responderam ao inquérito), sendo portanto
uma sondagem.
Natureza dos dados
A variável é sobre o que se estuda. Podemos classificá-la como:
 Qualitativa: se se refere a qualidades (os dados são expressos por
palavras)
 Quantitativa: se se refere a uma quantidade (os dados são expressos
por números)
o Discreta: quantidade através de contagem
o Contínua: quantidade através de medição
Exemplos:
Cor dos olhos – variável qualitativa
Número de irmãos – variável quantitativa discreta
Altura – variável quantitativa contínua

Representação de dados
Tabela de frequências
 Frequência absoluta: número de vezes que se repete um dado
 Frequêcia relativa: quociente entre frequência absoluta e o número
total de dados
Exemplo:
 População: alunos do 5ºB
 Variável: notas a matemática
 Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3
Notas fa fr Fr (%)
1 1 5 % (0,05 × 100)
2 6 30 % (0,3 × 100)
3 6 30 % (0,3 × 100)
4 6 30 % (0,3 × 100)
5 1 5 % (0,05 × 100)
Total 20 1 100 %
Gráficos
0
1
2
3
4
5
6
7
1 2 3 4 5
1
5%
2
30%
3
30%
4
30%
5
5%
Gráfico de barras Gráfico circular

Diagrama de caule-e-folhas
Quando os dados têm dois ou mais algarismos podem ser representados
através de um diagrama de caule-e-folhas
Exemplo:
 Variável: altura (cm)
 Dados: 148, 153, 149, 155, 158, 142, 168, 147, 152, 161, 148, 155, 168, 172, 165, 142,
146, 154, 163, 157
14 2 2 6 7 8 8 9
15 2 3 4 5 5 7 8
16 1 3 5 8 8
17 2
Tratamento de dados
 Moda: dado que aparece mais vezes
 Média: quociente entre a soma de todos os dados e o número total de
dados
 Extremos: valor mínimo e valor máximo
 Amplitude: Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo
Nota: a média, os extremos e a amplitude só se verificam quando temos uma
variável quantitativa.
Exemplo:
 Variável: notas a matemática
 Dados: 2, 3, 2, 4, 2, 2, 4, 5, 3, 4, 2, 3, 4, 1, 4, 4, 3, 2, 3, 3
Moda: 2, 3 e 4
Média:
Mínimo: 1
Máximo: 5
Amplitude: 5 – 1 = 4

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