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UNIDAD I. PARIDAD
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se agrupan en parejas y entonces el número...
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En un grupo de tres personas hay dos del m...
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EJERCICIOS
1. En un triángulo de área 4 s...
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13. En una caja hay 10 libros en francés,...
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Por ejemplo:
252 = 22
x 32
x 7
825 = 3 x ...
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Un número es divisible por 7 cuando separ...
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3.2 MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO
...
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3.3 CONGRUENCIAS
Con el fin de motivar el...
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múltiplo de 5
4
Los que exceden en tres u...
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Es de esperarse, en vista del teorema ant...
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cuántos dulces tenía, pero se acuerda que...
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15. La suma de todos los dígitos del núme...
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29.Una sala de cine tiene 26 filas con 24...
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que en lo sucesivo les convidaré a comer ...
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En los problemas de conteo, la palabra "o...
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1. ¿Cuántos grupos de 2 o más personas se...
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Ejemplo 3. Del problema inicial de los 10...
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Razonando de manera idéntica, cuando haya...
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escoger tres veces al mismo). Así mismo y...
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Ejemplo 3. ¿Cuántas palabras distintas de...
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CASO 1.- EL ORDEN NO IMPORTA PERO NO SE P...
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3) Resolvamos y sustituyamos en cualquier...
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3. Si x2
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UNIDAD VI. TRIÁNGULOS
6.1 DEFINICIÓN Y CL...
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5. Si una recta divide dos lados de un tr...
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de las mediatrices de los lados de un tri...
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Bisectriz I: Incentro
6.4 SEMEJANZA.
Figu...
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De lo anterior deducimos que sólo son sem...
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Si se conocen las longitudes de los tres ...
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3. En la siguiente figura AD = DC, AB = A...
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8. En la figura, AB = AD = DC. ¿Cuánto va...
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a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
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a) 2/2 b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 3
UNIDAD VII. ...
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Romboide: Es aquel que tiene sus lados
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Área de un cuadrado Área de un rectángulo...
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4. Altura del trapecio: Es la recta que v...
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Solución 1. El segmento MS es la diagonal...
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5. Dos piezas cuadradas y tres piezas rec...
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del cuadrilátero TUVX es 12, ¿cuánto vale...
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Circunferencia. Es el lugar geométrico de...
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_=__
: Ángulo central.
: Arco subtendido ...
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: Arco subtendido por las prolongaciones ...
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3. Las tangentes trazadas desde un punto ...
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A
B
C
D
E
AB CD AC = DB
5. Sea una rect...
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Polígono regular. Es aquel en el cual tod...
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Elementos de un polígono regular.
...
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2
Pa
A =
3. El perímetro de un polígono r...
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a) 6 b) - 3/2 c) 10 d) 21 e) 83
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  1. 1. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 1 UNIDAD I. PARIDAD "Todo número natural es par o impar" Esta afirmación es una de las más simples y conocidas en matemáticas, pero también es una herramienta muy útil para resolver problemas que involucran números naturales. Propiedades: i. La suma de dos números pares es par. ii. En general la suma de números pares es par. iii. La suma de dos números impares es par. iv. La suma de una cantidad par de números impares es par. v. En general la suma de una cantidad impar de impares es impar. vi. La suma de un par y un impar es impar vii. En general la suma de pares e impares dependerá del número de impares que haya en la suma, es decir, si la cantidad es par la suma es par, si la cantidad es impar la suma es impar.Definición de paridad Se dice que dos números tienen la misma paridad si ambos son pares o ambos impares. La suma de dos números con la misma paridad es par. La suma y la cantidad de impares en la suma tienen la misma paridad. Ejemplo 1 María y sus amigos están sentados formando un círculo, de forma que los dos vecinos de cada amigo son del mismo sexo. Si de los amigos de María 5 son hombres. ¿Cuántas mujeres hay? Solución: Hay 5 mujeres. Para ver esto recordemos que los vecinos de cualquier persona son del mismo sexo, por lo que las mujeres y los hombres están alternados, entonces hay la misma cantidad de hombres que de mujeres. Ejemplo 2 ¿Es posible dibujar una línea quebrada de 11 segmentos, cada uno de los cuales se intersecta (internamente) exactamente con uno de los otros dos segmentos? Solución: No es posible. Si fuera posible, podemos partir los segmentos en parejas de segmentos que se intersecan, como cada segmento se corta con otro segmento y solamente con uno, tendremos que los segmentos
  2. 2. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 2 se agrupan en parejas y entonces el número de segmentos debe ser par, lo que es una contradicción. Ejemplo 3 Un nadador para entrenar realiza sesiones de entrenamiento de 3, 5 y 7 Km. Su entrenador le recomienda entrenar un total de 35 km. ¿Podrá realizarlos en 10 sesiones? Solución: No es posible. En cada sesión debe nadar un número impar de kilómetros y la suma de un número par de impares es par, por lo que nunca podrá ser 35. Ejemplo 4 A una cuadrícula de 8X8 cuadritos se le retiran dos cuadritos de esquinas opuestas, ¿Puede ser cubierta con 31 dominós (fichas de 2x1 cuadritos)? Solución: La respuesta es no. Un artificio para resolverlo es pensar en la cuadrícula coloreada como un tablero de ajedrez, esto es, los cuadritos coloreados en forma alternada con dos colores: blanco y negro. En el tablero completo, con 64 cuadritos, quedan coloreados 32 cuadritos de color blanco y 32 de negro. Al retirar dos esquinas opuestas, se están retirando dos cuadritos de un mismo color. Quedando 32 negros y 30 blancos. Por otro lado, un dominó cubre dos cuadritos: uno de cada color. Las 31 fichas de dominó que se tienen, solamente pueden cubrir un número impar de cuadritos de color negro (exactamente 31 cuadritos de color negro), y debemos cubrir una cantidad par de cuadritos
  3. 3. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 3 negros: 32, por lo que es imposible cubrir la cuadrícula como se pide, de hecho, siempre faltará por cubrir un cuadrito negro. Ejemplo 5 En un salón de clase están sentados los alumnos formando un arreglo rectangular de 5 x 7. La maestra que quiere hacer una dinámica las pide a todos los alumnos que cambien de lugar, moviéndose un lugar ya sea a la izquierda, a la derecha, adelante o hacia atrás. Pepito que sabe de matemáticas le dice que esto es imposible. ¿Por qué tiene razón Pepito? Solución: Tomemos una cuadrícula de 5 x 7 (cada casilla es un lugar), y coloreada a la manera del tablero de ajedrez, entonces observemos que si te encuentras en casilla coloreada y te mueves un lugar de la manera antes descrita, pasarás a una casilla que no está coloreada y viceversa. Pero sucede que el arreglo tiene 18 casillas de color blanco y 17 de color negro, por lo que los que están en casilla blancas no podrán ocupar las 17 negras. Nota: Si los objetos se pueden agrupar en parejas, entonces el número de objetos es par. O bien, si se han agrupado varias parejas de objetos de un número impar de objetos, entonces al menos un objeto quedará sin pareja. Ejemplo 6 Un polígono con un número par de lados se circunscribe a una circunferencia. Los lados se colorean alternadamente de negro y rojo. ¿Es la suma de las longitudes de lados rojos igual a la de las longitudes de los lados negros? Solución: Sí, son iguales. Primero observemos que al ser un número par de lados y al ser coloreados alternadamente, siempre un lado tiene por vecinos a dos de distinto color. También vemos que a cada vértice convergen dos lados de distinto color.
  4. 4. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 4 Si A es uno de los vértices y P y Q son los puntos de tangencia de tales lados, se conoce de geometría que AP = AQ; como uno de los segmentos es rojo y el otro es negro, tenemos después de recorrer los vértices del polígono y sumar las longitudes de las tangentes, que la suma de los las longitudes de los lados rojos es igual a la suma de las longitudes de los lados negros. Ejemplo 7 Un polígono cerrado que no se intersecta a si mismo y cuyos lados son verticales u horizontales, tiene un número par de lados. Solución: Demos a los lados del polígono una letra de la siguiente manera: H a los horizontales y V a los verticales, las letras H y V también se alternan, y como la figura es cerrada al recorrer los lados si iniciamos en H , debemos de terminar en V, así el recorrido lo podemos realizar por pares de lados HV, por lo que tendrá un número par de lados. Nota: si los objetos se pueden ir alternando, siendo estos de dos tipos, tenemos que: a) si iniciamos y terminamos con objetos del mismo tipo, el número total de objetos es impar y si b) iniciamos con un objeto de un tipo y terminamos con un objeto del otro tipo, el número de objetos es par. Ejemplo 8 Un gusano se desplaza verticalmente sobre un árbol. Cada día puede solamente subir o bajar. Si el primer día recorre 1 cm, y el segundo 2 cm, y así sucesivamente, ¿Será posible que después de 17 días el gusano se encuentre en el lugar de donde partió? Solución: No es posible. Si fuera posible, tenemos que: al conjunto {1,2, ... ,17}, lo podemos dividir en dos conjuntos {a1, . . ., an} y{b1, . . ., bm}
  5. 5. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 5 denotando las distancias que el gusano va hacia arriba y las cantidades que baja respectivamente. Estas cumplen las siguientes dos cosas: 1) a1+ . . .+ an=b1+ . . .+bm 2) a1+ . . .+ an+b1+ . . .+ bm =1+2+3+ . . . +17=153 pero la suma de dos números iguales nunca es impar. En estos problemas se puede observar que los argumentos utilizados permite concluir que las repuestas van en la dirección de "no es posible hacer tal cosa". En la mayoría de las veces, un argumento de paridad sirve exactamente para eso: mostrar que un determinado hecho no puede ocurrir. Esto no debe desanimar, por el contrario, sirve para convencerse y no gastar tiempo en tentativas inútiles. Las experiencia son valiosas en el sentido de abrirnos los ojos para no insistir en caminos donde no hay soluciones y buscar a partir de ahí argumentos que resuelvan definitivamente el problema. Otras propiedades importantes. Al igual que tenemos las reglas de paridad para la suma de números naturales, tenemos las reglas de la paridad para la multiplicación. El producto de dos números pares es par. El producto de dos números impares es impar. El producto de un número par con un impar es par. En general, es par si y sólo si alguno de sus factores es par. EJERCICIOS 1. Trini invitó a M amigos y N amigas a una fiesta. Todos se sentaron en una mesa redonda y entonces cada muchacho le da un regalo a cada muchacha que se encuentra a su lado (si sólo se tiene una muchacha a su lado solo da un regalo, y si se encuentra entre dos muchachos no da ninguno). Prueba que el número total de regalos repartidos es par. 2. Un grupo de n ecologistas y n políticos están sentados alrededor de una mesa. Algunos de ellos siempre dicen la verdad y los otros dos siempre mienten. Se sabe que el número de ecologistas mentirosos es el mismo que de políticos mentirosos. Cuando se les hace la pregunta: ¿Qué es tu vecino de la derecha?" todos responden "político". Muestra que n es par. 3. El conjunto {1, 2, 3,.., n} se colorea de rojo y negro y de manera que 1 y n quedan de diferente color. Muestre que el número parejas de enteros consecutivos con diferente color es impar. 4. Los números 1, 2, 3,... 2002. se escriben en un pizarrón. Un alumno escoge dos de estos números, los retira, y coloca en el
  6. 6. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 6 pizarrón la diferencia (no negativa) de ellos. Después de varias de estás operaciones queda escrito un solo número, ¿Es posible que éste sea el cero? 5. El producto de 22 enteros es igual a 1. Muestre que la suma de estos números no puede ser cero. 6. En las casillas de un tablero de 3x3 hay 9 focos que cambia de estado (encendido y apagado). Apretando un foco de la orilla del tablero, el foco cambia de estado junto con sus vecinos (a los lados y en diagonal) y si apretamos el foco del centro, cambian de estado los 8 restantes. Inicialmente todos lo focos están apagados, ¿Es posible que todos los focos queden encendidos? 7. Un tablero de 8 x 8 está pintado de negro y blanco como tablero de ajedrez. Una tirada consta de intercambiar dos renglones o dos columnas del tablero. ¿Se puede llegar, después de una sucesión de tiradas, a que el borde izquierdo del tablero sea blanco y el borde derecho sea negro? 8. En un tablero de ajedrez un caballo parte de una casilla y regresa a esa casilla después de varios saltos (de caballo). Muestre que el caballo realizó un número par de movimientos. 9. ¿Puede un caballo en un tablero de ajedrez partir de la esquina inferior izquierda y llegar a la esquina superior derecha, visitando cada una de las casillas del tablero una y solamente una vez? 10. En un tablero de 25 25 se colocan 25 monedas de manera que las posiciones son simétricas con respecto a una de las diagonales. Muestre que alguna moneda esta sobre tal diagonal. Si las posiciones son simétricas con respecto a las diagonales, una de las monedas está en el centro del tablero. 11. Un polígono convexo de 11 lados tiene un eje de simetría, muestre que el eje pasa por una de los vértices. 12. Un ratón se quiere comer un queso en forma de cubo de la siguiente manera: Lo parte en 27 cubitos iguales de lados paralelos al cubo original y quiere ir comiendo cada cubito iniciando por un cubito de la orilla y terminando en el cubito central, además cada que come un cubito el siguiente cubito que se come es uno de los adyacentes (no en diagonal). ¿Podrá el ratón comerse el queso de esta manera? 13. En una urna se colocan 2001 canicas marcadas con los números 1, 2, ..., 2001. Se sacan al azar 2 canicas de la urna, y se calcula la
  7. 7. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 7 suma de los números en ellas. ¿Qué es más probable que la suma sea par o que sea impar? 14. Hay 2001 puntos en el plano. Dos jugadores A y B juegan a trazar líneas entre los puntos, por turnos. Empieza A. Gana el primero que complete un ciclo. ¿Cuál de los jugadores tiene estrategia ganadora? 15. En un salón de baile 7 caballeros A, B, C, D, E, F y G. Están sentados frente a siete damas a, b, c, d, e, f y g en algún orden. Cuando los caballeros cruzan la pista para sacar a bailar a sus damas correspondientes se observa que al menos dos caballeros caminan la misma distancia. ¿Sucede esto siempre? 16. Prueba que no es posible cubrir una cuadrícula de 6 6 con 18 rectángulos de 2 1de manera que cada uno de los segmentos de longitud 6 que forman la cuadrícula y que están en el interior de la misma pase por el centro de al menos uno de los rectángulos. 17. Sobre una mesa se tienen 1999 fichas que son rojas de un lado y negras del otro (no se especifica cuántas con el lado rojo hacia arriba y cuántas con el color negro hacia arriba). Dos personas juegan alternadamente. Cada persona en su turno hace una de la siguientes dos cosas: 1.-Retirar cualquier cantidad de fichas, con la condición de que todas tienen que ser del mismo color hacia arriba. 2.-Voltear cualquier cantidad de fichas, con la condición de que todas las volteadas tengan el mismo color hacia arriba. Gana el que toma la última ficha. ¿Cuál de los jugadores se puede asegurar que ganará el primero o el segundo. 18. Un polígono se dice que es ortogonal si todos sus lados tienen una longitud entera y cada dos lados consecutivos son perpendiculares. Demuestra que si un polígono ortogonal puede cubrirse con rectángulos de 2 1 (sin que estos se traslapen) entonces al menos uno de sus lados tiene longitud par. 19. Consideremos los números del 1 al 1000000 inclusive. Se calculan dos sumas. La suma de los números que tienen todos sus dígitos pares y la suma de los números que tienen todos sus dígitos impares. ¿Cuál suma es mayor? 20. En el pizarrón se tienen escrito once números 1. Se permite tomar dos números y sumarle uno a ambos, restarle uno a ambos, o sumarle uno a uno y restarle uno al otro. ¿Es posible mediante estas operaciones tener escrito en el pizarrón once números 10?
  8. 8. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 8 21. En una fiesta con n personas ocurre que cada quien era amigo de tres personas exactamente (las amistades son mutuas) ¿Cuáles son los posibles valores de n? 22. En una cuadrícula de 5_5 se escribe en cada cuadrito un 1 o un –1. Se calcula el producto de los números en cada renglón y en cada columna. Demuestra que la suma de esos diez productos no puede ser cero. UNIDAD ll. PRINCIPIO DE LAS CASILLAS El principio de conteo más útil es desde luego el más sencillo. Aquí lo presentamos y se basa en la siguiente idea, si hay tres canicas que se reparten entre dos niños, a un niño le tocan dos (quizás las tres, pues se admite que un niño puede quedar con cero canicas). Una primera versión de éste principio se puede enunciar de la siguiente manera: "Si (n + 1) objetos se deben de acomodar en n casillas, en alguna de las casillas hay más de un objeto". Este resultado se conoce como el Principio de las casillas, también es llamado el Principio de Dirichlet, o Principio de las palomas. Peter Dirichlet fue el primero en utilizarlo en teoría de números en el siglo XIX. Su validez es evidente, pero si desea uno convencerse, piense qué pasaría si en cada casilla hay lo más un objeto, entonces tendríamos que en las casillas hay acomodados a lo más n objetos, lo que es una contradicción si consideramos que se han repartido los n + 1 objetos. La mayoría de las veces, este resultado ayuda a resolver problemas de existencia; de garantizar si dentro de una serie de hechos (finitos o infinitos) hay la certeza de que sucede alguna situación especial. Así el principio es una afirmación puramente existencial; sin embargo, no da indicaciones de cómo llegar a la situación especial que se garantiza la existencia. Reconocer cómo y cuándo deberá usarse el principio requiere de cierta práctica que intentaremos dirigir en esta serie de ejercicios y problemas. Detectar quiénes serán los objetos y quiénes serán las casillas, es la parte central para utilizar el principio. Desde luego hay situaciones claras de quiénes son los objetos y quiénes las casillas, veamos algunos ejemplos.
  9. 9. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 9 En un grupo de tres personas hay dos del mismo sexo. En un grupo de 13 personas hay dos que nacieron el mismo mes. En un grupo de 366 personas hay dos que tienen el mismo día de cumpleaños. En los tres casos los objetos son las personas y las casillas, evidentemente son, los dos sexos, los doce meses del año, y los 365 días del año respectivamente. Ejemplo 1. 5 palomas vuelan hacia un palomar de 4 agujeros, entonces en uno de los agujeros hay dos o más palomas. En general, si (n+1) palomas están en n agujeros, por lo menos uno de los agujeros contiene dos o mas palomas. Ejemplo 2. Una línea no puede cortar internamente a los tres lados de un triángulo. Solución: Este ejemplo es el primero donde hay una primera dificultad: debemos decir quiénes son los objetos y quiénes son las casillas. Las casillas son los dos semi- planos que determina la línea, los objetos serán los vértices del triángulo. Observemos que si dos vértices del triángulo se encuentran en uno de los semiplanos, el segmento (lado del triángulo) que ellos determinan no será cortado por la línea. Pidamos primero que la línea no pase por alguno de los vértices del triángulo. Por el Principio de las casillas hay dos puntos en alguno de los semiplanos (quizás los tres), luego alguno de los lados no será cortado por la línea. Si la línea pasa por alguno de los vértices, esta podrá cortar a lo más a uno de los lados. Ejemplo 3. De cinco puntos dentro o sobre los lados de un triangulo equilátero de lado 2 hay dos cuya distancia entre ellos es menor o igual a 1.
  10. 10. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 10 Solución: Aquí la situación es un poco más delicada. Aquí hay que crear las casillas; los objetos son los cinco puntos y buscamos dos de ellos a una distancia menor o igual que uno. Si dividimos en casillas de manera que: dos en una casilla garanticen que su distancia es menor o igual que uno, terminamos. Se sugiere entonces crear cuatro casillas, al dividir los lados del triángulo con sus puntos medios y al unir estos con segmentos de línea se forman cuatro triángulos congruentes de lado 1. Por el Principio de las casillas, de los cinco puntos dados, hay dos puntos en alguno de los triángulos pequeños, estos dos puntos son los buscados. Ejemplo 4. De entre cinco puntos del plano con coordenadas enteras hay dos cuyo punto medio también tiene coordenadas enteros. Primero observemos que el punto medio ( 2 ca + , 2 db + ), de dos puntos de coordenadas enteras (a,b) y (c,d), tendrá también coordenadas enteras, si a y c son ambos pares o ambos impares, esto es si tienen la misma paridad, también b y d deben tener la misma paridad. Dividamos a los puntos de coordenadas enteras de acuerdo a la paridad de sus coordenadas, esto generará cuatro clases que representaremos así: (P, P), (P, I), (I, P), (I, I), y que son las clases de puntos de coordenadas enteras donde sus coordenadas son las dos pares, la primera par y la segunda impar, la primera impar y la segunda par, y las dos coordenadas impares, respectivamente. Estas clases serán las casillas. Desde luego todo punto de coordenadas enteras pertenece a una de las casillas. Por el Principio de las casillas hay dos puntos de los cinco en la misma casilla, por lo que dos de los puntos tienen la primera coordenada de la misma paridad y tiene la segunda coordenada de la misma paridad, por tanto su punto medio será de coordenadas enteras. Hemos señalado que el usar y explotar el Principio de las casillas, requiere cierta habilidad que la práctica va dando. Los problemas que presentamos aquí buscan eso, practicar.
  11. 11. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 11 EJERCICIOS 1. En un triángulo de área 4 se colocan 9 puntos. Muestre que hay tres de ellos que forman un triángulo de área menor o igual que 1. 2. Demuestre que un triángulo equilátero de lado 1 no puede ser cubierto totalmente con dos triángulos equiláteros de lados menores que 1. 3. Con los vértices de una cuadrícula de 6 x 9 se forman 24 triángulos. Muestre que hay dos triángulos que tienen un vértice común. 4. En un triángulo equilátero de lado 3 se colocan 4 puntos. Muestre que hay dos de ellos a una distancia menor o igual a 3 . 5. En un cubo de lado 10 se colocan 999 puntos. ¿Es posible encontrar un cubo de lado 1 dentro del cubo de lado 10 que no contenga alguno de los puntos? 6. ¿Pueden las casillas de un tablero de 3 x 3 llenarse con números del conjunto { -1, O, 1}, de manera que la suma de los números en cada renglón, en cada columna y en cada diagonal sean diferentes? 7. Cumpleaños en el estadio. A un estadio de fútbol han asistido 3700 espectadores. ¿Cuántos de ellos, como mínimo, cumplen años el mismo día? 8. El once. Si del subconjunto de números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 extraemos 6 números, con seguridad habrá dos que suman 11. 9. En un grupo de 8 personas, demostrar que hay al menos 2 cuyos cumpleaños caen el mismo día de la semana. 10. Se sortean 11 números telefónicos para un premio. Mostrar que hay al menos 2 números que coinciden con el último dígito. 11. Pongo más de 100 monedas en 2 bolsas. Demostrar que al menos una de las bolsas tiene más de 50 monedas. 12. Se seleccionan 3 números enteros positivos que suman 19. Demostrar que al menos uno de ellos es mayor o igual que 7.
  12. 12. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 12 13. En una caja hay 10 libros en francés, 20 en castellano, 8 en alemán, 15 en ruso y 25 en italiano. ¿Cuantos debo sacar para estar seguro de que tengo 12 en un mismo idioma? 14. En un bar hay 95 mesas y un total de 465 sillas. ¿Podemos asegurar que hay una mesa con 6 sillas? 15. ¿Cuantas veces hay que tirar un dado para asegurarse de sacar por lo menos 2 veces el mismo número? UNIDAD III. TEORÍA DE NÚMEROS NUMEROS PRIMOS Un número entero P es primo si es un número mayor que 1 y los únicos enteros que lo dividen son 1, -1, P y –P. A los números de la forma –P donde es un primo les llamaremos primos negativos Por ejemplo: 5, es divisible por (1, -1, 5, -5), primo positivo. -5, es divisible por (1, -1, 5, -5), primo negativo. La sucesión de los números primos, (positivos), comienza con: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,... Hay infinitos números primos, es decir, existen números primos tan grandes como se quiera. La distribución de los números primos es muy irregular. Hay algunos que son números impares consecutivos, como 3 y 5; estos se llaman primos gemelos. El MCD de dos enteros a y b es el mayor entero positivo que divide a a y b con resto cero. Si el MCD de dos enteros es 1, se dice que los dos números son primos relativos o primos entre sí. A los números que son el producto de dos o más primos les llamaremos compuestos. Teorema Fundamental De La Aritmética Todo entero n > 1 puede descomponerse de manera única como un producto de potencias de números primos de la siguiente manera: na n aa pppn ....21 21= donde las nppp ,...,, 21 son primos tal que: nppp <<< ...21 y naaa ,...,, 21 son enteros positivos.
  13. 13. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 13 Por ejemplo: 252 = 22 x 32 x 7 825 = 3 x 52 x 11 46137 =3 x 7 x 133 3.1 DIVISIBILIDAD Un número es divisible entre otro cuando lo contiene exactamente un número entero de veces. En otras palabras si un número divide a otro número, el cociente debe ser exacto. Definición. Sean a y b dos números enteros. Decimos que a divide a b (lo que simbolizamos con a | b) si existe un entero c tal que b = (a)(c) Esto equivale a decir, que b es múltiplo de a. O que la división b ÷ a no deja residuo. Si a no divide a b, escribimos a b. Esto es lo mismo que decir que la división b ÷ a deja residuo. Ejemplos: 3|12 pues 12 = 4 3 4 10 ya que no existe un entero c tal que 10 = 4c. 4 | 20 ya que si c = 5, 20 = 4c. 3|0 dado que 0 = 3c cuando c = 0. 1| 5 puesto que 5 = 1 5 5 1 dado que 1 5c para cualquier entero c. Para cualquier entero a, a+ l | a2 - l. Ya que a2 - 1 = (a+ l) k , con k = a - l. Criterios de divisibilidad A continuación damos algunos criterios de divisibilidad que facilitan la búsqueda de los factores primos. Divisibilidad por 2 Un número es divisible por 2 cuando termina en cero o cifra par. Divisibilidad por 3 Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Por ejemplo: 168351 es divisible por 3 pues 1 + 6 + 8+ 3 + 5 + 1 = 24, el cuál es múltiplo de 3. Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 cuando termina en cero o en cinco. Divisibilidad por 7
  14. 14. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 14 Un número es divisible por 7 cuando separando la primera cifra de la derecha, multiplicándola por 2, restando este producto de lo que queda a la izquierda y así sucesivamente, da cero o múltiplo de 7. Veamos un ejemplo: ¿2401 es divisible por 7? 240_1 x 2 = 2, 240 - 2 = 238, 23_8 x 2 = 16, 23 - 16 = 7. Entonces, 2041 sí es divisible por 7. Verifiquemos: 2401 / 7 = 343. Divisibilidad por 11 Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de los dígitos que ocupan un lugar impar, y la suma de los dígitos de lugar par, (puede ser de derecha izquierda ó inversamente es decir, que la diferencia pudiera dar negativa), es cero o múltiplo de 11. Por ejemplo. Veamos si 94378 es divisible por 11: 9437, de derecha a izquierda: Pares (subrayados): 4 y 7, 4 + 7 = 11 Impares: 9, 3 y 8, 9 + 3 = 12 Impares - Pares = 12 - 11 = 1, luego 9437 no es divisible por 11. (Verifíquelo) Divisibilidad por 13, 17 y 19 El método para investigar la divisibilidad por 13, 17 y 19 es similar al de la divisibilidad por 7, sólo que al separar la primera cifra de la derecha, ésta se multiplica por 9, 5 y 17 respectivamente; siendo un número divisible por 13, 17 y 19 si al final del proceso sobra un cero o un múltiplo de 13, cero o un múltiplo de 17, cero o un múltiplo de 19. Ejemplo. Investigar la divisibilidad de 1501. Con 13: 150_1 x 9 = 9, 150 - 9 = 141, 14_1 x 9 = 9, 14 - 9 = 5. No es divisible por 13. Con 17: 150_1 x 5 = 5, 150 - 5 = 145, 14_5 x 5 = 25, 14 - 25 = -11. No es divisible por 17. 150_1 x 17 = 17, 150 - 17 = 133, 13_3 x 17 = 51, 13 - 51 = -38. Si es divisible por 19. Verifiquemos: 1501 / 19 = 79.
  15. 15. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 15 3.2 MINIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) En ocasiones es conveniente conocer el menor de los múltiplos comunes (MCM), y el mayor de los divisores comunes (MCD) de varios números enteros. La regla de obtener dichos números es: • Para encontrar el MCM de varios números enteros se multiplican los factores primos comunes y no comunes de los números tomados con sus mayores exponentes. • Para encontrar el MCD de varios números enteros se multiplican los factores primos comunes de los números tomados con sus menores exponentes. Si m es el MCD de a y b esto se denotará por m = (a, b); otra manera de calcular el MCD es usando el algoritmo de Euclides, el cual se basa en la siguiente propiedad: Si m = (a, b) y a = bq + r con 0 r < b, entonces m = (b, r). y consiste en lo siguiente: Dividimos a ÷ b obteniendo un residuo r1, después dividimos b ÷ r1 y obtenemos un residuo r2, a continuación dividimos r1 ÷ r2 obteniendo un residuo r3, y así sucesivamente hasta llegar a un residuo cero, el MCD de a y b será el último residuo diferente de cero. El algoritmo de Euclides se incluye aquí debido a su utilidad en la demostración de algunos teoremas importantes de la divisibilidad entre enteros. Ejemplos. Usando el algoritmo de Euclides, encontrar el MCD de: a) 328 y 1804; b) 105 y 385 a) 1804 / 328 = 5 y resto = 164 328 / 164 = 2 y resto = 0 Por lo tanto (1804, 328) = 164 b) 385 / 105 = 3 y resto = 70 105 / 70 = 1 y resto = 35 70 / 35 = 2 y resto = 0 Por lo tanto (385, 105) = 35 Otra propiedad importante del MCD es que: Si a > b (a, b) = (b, a – b). Ejemplo. Calcular (1001,1000) Solución: (1001,1000) = (1000,1001 –1000) = (1000,1) = 1.
  16. 16. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 16 3.3 CONGRUENCIAS Con el fin de motivar el concepto de congruencia, analizaremos los siguientes dos problemas. Ejemplo 1. Se tiene un edificio de dos pisos con los cuartos numerados como en la siguiente figura: Piso 2 2 4 6 8 . . . . . . . . Piso 1 1 3 5 7 . . . . . . . . ¿En que piso localizamos el cuarto No. 98? Solución: Localizamos el cuarto 98 en el piso 2, pues claramente observamos que en el primer piso están los cuartos con números impares y en el segundo piso los de números pares. Ejemplo 2. Se tiene un edificio de cinco pisos con los cuartos numerados como en la siguiente figura: Piso 5 4 9 14 19 2 4 … . . . . . . Piso 4 3 8 13 18 2 3 … . . . . . . Piso 3 2 7 12 17 2 2 … . . . . . . Piso 2 1 6 11 16 2 1 … . . . . . . Piso 1 0 5 10 15 2 0 … . . . . . . ¿En qué piso localizamos el cuarto No. 98? Solución: En el problema anterior, por su sencillez, pudimos mentalmente dividir al conjunto de los enteros (positivos) en dos clases ajenas: pares e impares. En este segundo problema tenemos que dividirlos en 5 clases ajenas y ser capaces de ubicar a cualquier entero en alguna de ellas. Si observamos detenidamente la figura, podemos ubicar a los cuartos de la siguiente manera: Piso Núm.. Característica Forma 5 Los que exceden en cuatro unidades a un 5k+4
  17. 17. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 17 múltiplo de 5 4 Los que exceden en tres unidades a un múltiplo de 5 5k+3 3 Los que exceden en dos unidades a un múltiplo de 5 5k+2 2 Los que exceden en una unidad a un múltiplo de 5 5k+1 1 Múltiplos de 5 5k Nota: k = 0, 1, 2,3,... Después de este pequeño análisis, podemos decir que el cuarto No. 98 se encuentra en el cuarto piso, puesto que 98 = 5(19) + 3. Obsérvese que los del primer piso son aquellos que al dividirse entre 5 dejan residuo cero, los del segundo piso son aquellos que al dividirse entre 5 dejan residuo 1 y así sucesivamente. Si consideramos el conjunto de los enteros, con este criterio podemos dividirlos en 5 clases: C0 = {…,-15, -10, -5, 0, 5, 10, 15,…} C1 = {…, -14, -9, -4, 1, 6, 11, 16,…} C2 = {…, -13, -8, -3, 2, 7, 12, 17,…} C3 = {…, -12, -7, -2, 3, 8, 13, 18,…} C4 = {…, -11, -6, -1, 4, 9, 14, 119,…}. La característica de la clase rC es que al dividirse cualquiera de sus elementos entre cinco, deja residuo r. Si dos enteros pertenecen a la misma clase, diremos que ellos son congruentes módulo 5 en este ejemplo. Definición. Decimos que los enteros a y b son congruentes módulo m, m >0 si al dividirse entre m dejan el mismo residuo, y lo denotaremos como a b (mod m). Teorema 1. a b (mod m) si y sólo si m|b-a. Teorema 2. La relación congruencia módulo m tiene las siguientes propiedades: 1. a a (mod m). 2. Si a b (mod m) entonces b a (mod m). 3. Si a b (mod m) y b c (mod m) entonces a c (mod m).
  18. 18. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 18 Es de esperarse, en vista del teorema anterior, que las congruencias se comporten en muchos aspectos como igualdades. Esta semejanza queda ilustrada en el siguiente teorema: Teorema 3. Sean a, b, c enteros y m entero positivo. 1. Si a b (mod m) entonces: a) a + x b + x (mod m) para todo entero x. b) ax bx (mod m) para todo entero x. 2. Si a b (mod m) y c d (mod m), entonces: a) a + c b + d (mod m). b) a-c b-d (mod m). c) ac bd (mod m). d) an bn (mod m) para todo entero positivo n. Ejemplo. Al dividir los números 3, 13, 23, 33 entre 10, sobra 3 por lo que decimos que ellos son congruentes modulo 10. Para ilustrar una parte del teorema 3 utilizamos 3 13 (mod 10) y 23 33 (mod 10). Entonces podemos sumar las congruencias como lo indica el teorema y resulta otra congruencia. Sumando obtenemos 3 +23 13+33 (mod 10). Esto es lo mismo que 26 46 (mod 10) . Podemos ver que 26 y 46 son congruentes módulo 10, ya que al dividirlos entre 10 dejan residuo 6. EJERCICIOS 1. Alicia va al club cada día, Beatriz va cada 2 días, Carlos va cada 3, Daniel cada 4, Enrique cada 5, Francisco cada 6 y Gabriela cada 7. Si hoy están todos en el club, ¿Dentro de cuántos días volverán a reunirse? 2. En un concurso de baile los jueces califican a los competidores con números enteros. El promedio de las calificaciones de un competidor es 5.625. ¿Cuál es el número mínimo de jueces para que eso sea posible? 3. La maestra distribuyó la misma cantidad de dulces entre cada uno de 5 niños y se quedó tres para ella misma. No se acuerda
  19. 19. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 19 cuántos dulces tenía, pero se acuerda que era un múltiplo de 6 entre 65 y 100. ¿Cuántos dulces tenía? 4. 96 niños en un campamento de verano van a separarse en grupos de forma que cada grupo tenga el mismo número de niños. ¿De cuántas maneras puede hacerse la separación si cada grupo debe de tener más de 5 pero menos de 20 niños? 5. Al hacer la división de 1 entre 52000 , ¿cuál será el último dígito que aparezca antes de llegar a puros ceros? 6. Un número entero positivo es múltiplo de exactamente 8 enteros positivos (incluyendo a él mismo y a la unidad). Si es múltiplo de 21 y de 35, ¿cuál es el número? 7. A Julio le dieron el número secreto de su nueva tarjeta de crédito, y observó que la suma de los cuatro dígitos del número es 9 y ninguno de ellos es 0; además el número es múltiplo de 5 y mayor que 1995. ¿Cuál es la tercera cifra de su número secreto? 8. ¿Cuántos números múltiplos de 6 menores que 1000 tienen la propiedad de que la suma de sus cifras es 21? 9. Un niño corta un cuadrado de tres días por tres días de la página de un calendario. Si la suma de las nueve fechas es divisible entre 10 y sabemos que la fecha de la esquina superior izquierda es múltiplo de 4, ¿cuál es la fecha de la esquina inferior derecha? 10. ¿Cuántas parejas de enteros positivos a y b satisfacen que a2 – b2 = 15? 11. Una sucesión se forma de la manera siguiente: el primer término es 2 y cada uno de los términos siguientes se obtiene del anterior elevándolo al cuadrado y restándole 1 (los primeros términos son 2, 22 – 1 = 3, 32 – 1 = 8, 82 – 1 = 63, ... ). La cantidad de números primos que hay en la sucesión es: 12. ¿Cuál de los siguientes números es más grande? (a) 212 (b) 415 (c) 811 (d) 128 (e) 326 13. ¿Cuántas cifras tiene el número 21998 x 52002 ? 14. Andrés cuenta los números del 1 al 100 y aplaude si el número que dice es múltiplo de 3 o termina en 3. ¿Cuántas veces aplaudirá Andrés en total?
  20. 20. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 20 15. La suma de todos los dígitos del número 1099 – 99 es: 16. Una “operación” consiste en multiplicar el número por 3 y sumarle 5, comenzando por el número 1. ¿Cuál es el dígito de las unidades después de aplicar la operación 1999 veces? 17. ¿Para qué valores enteros positivos de n la expresión 4 18 +n es un entero? 18. Si m y n son enteros tales que 2 m – n = 3. Pruebe que m – 2 n es múltiplo de 3. 19. ¿Cuántas veces aparece el factor 2 en la descomposición en números primos de 1 + 2 + 3 +. . . + 1011 ? 20. Si (a, b) denota al MCD de a y b, ¿cuánto vale (a4 –b4 , a2 –b2 )? 21. Un sistema de engranes consta de tres ruedas dentadas, el engrane A tiene 4 dientes, el B tiene 6 dientes y el C tiene 8 dientes. En el engrane A se encuentra un motor que mueve todo el sistema. a. ¿Cuántas vueltas debe dar el engrane A para que los engranes vuelvan a su posición original? b. Cada engrane está conectado a una máquina que lleva el registro de cuántas vueltas completas ha dado su engrane; al momento en que la suma de los registros de las tres máquinas es 1997, ¿cuánto marca el registro de A? 22. Encuentre todas las parejas de números enteros a y b, tales que a2 – 10 b2 = 2. 23. Encuentre dos números sin ceros y cuyo producto sea 1 000 000 000. 24. Sea a = bq + r. Si c|a y c|b, pruebe que c |r. 25. Pruebe que n es par si y sólo si n2 es par. Nótese que los números pares son precisamente los múltiplos de 2 y por lo tanto que n sea par significa que n = 2k para algún k número entero. 26. Pruebe que n2 – n es par para todo entero n. 27. Pruebe que todo número primo de la forma 3 k + 1 también es de la forma 6 k + 1. 28. Demuestre que si n es impar entonces 8 | n2 – 1.
  21. 21. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 21 29.Una sala de cine tiene 26 filas con 24 asientos cada una. El total de los asientos se numera de izquierda a derecha, comenzando por la primera fila y hacia atrás. ¿En qué número de fila está el asiento número 375? 30. ¿Cuáles son los dos últimos dígitos de 1998 7 ? a) 01 b) 07 c) 43 d) 49 31. Una escalera tiene numerados los escalones como 0, 1, 2, 3, 4,.... Una rana está en el escalón 0, salta 5 hacia arriba al escalón 5 y luego dos para abajo hasta el escalón 3, después sigue saltando alternando 5 para arriba y dos para abajo. La sucesión de escalones que pisa la rana es 0, 5, 3, 8, 6,... ¿Cuál de los siguientes escalones no pisa la rana? a) 1997 b) 1998 c) 1999 d) 2000 UNIDAD IV. COMBINATORIA INTRODUCCIÓN UNA COMIDA GRATIS Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras: - Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó: - Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente,
  22. 22. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 22 que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos. La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con el objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas. Sin embargo, no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Éstas son exactamente 3’628,800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10,000 años. 4.1. PRINCIPIOS BÁSICOS DE CONTEO A menudo nos encontramos con preguntas del tipo ¿Qué proporción de...? ¿Cuál es la probabilidad de...? ¿De cuántas maneras se puede...? Muchas veces, para responder, se necesita un pensamiento sistemático y un poco de información adicional; por ejemplo, ¿Cuántas rutas diferentes puedo usar para ir de Mérida a México? o ¿De cuántas maneras pueden quedar los 3 primeros puestos en una carrera de 6 caballos? Hay técnicas y principios matemáticos útiles en situaciones variadas, pero muchas preguntas se pueden responder directamente, contando en forma sistemática, es decir, listando todos los posibles resultados en un orden sistemático, para luego contar cuántos son, o desarrollando reglas de conteo. Algunas soluciones parecen ingeniosas cuando se ven por primera vez (y muchas veces lo son) pero, como decía Juerguee Polya, cuando podemos aplicar nuevamente estos métodos ingeniosos en problemas similares y en situaciones relacionadas entre sí, hemos desarrollado una técnica. Enunciaremos algunos principios que nos ayudarán a resolver muchísimos problemas de conteo, daremos ejemplos de cómo usar estos principios y finalmente veremos algunos métodos menos rutinarios y más ingeniosos. 4.1.1 Principio de Adición. Ejemplo 1: Cinco empresas de transporte terrestre tienen servicio diario entre Mérida y México. Tres empresas de aviación tienen vuelo diario entre Mérida y México. En consecuencia, hay 5+3 maneras de ir de Mérida a México en avión o en autobús.
  23. 23. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 23 En los problemas de conteo, la palabra "o" se traduce en suma. El principio general es: “Si dos operaciones son mutuamente excluyentes (es decir, si solo una de ellas puede ocurrir) y si la primera se puede hacer de n maneras diferentes y la segunda operación se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay n + m maneras de realizar la primera o la segunda operación.” Ejemplo 2: Si tengo una moneda de $50, una de $100, una de $200 y una moneda de $1000, ¿Cuál es el número total de precios que puedo pagar usando alguna o todas mis monedas? Este es un buen ejemplo de una situación en la que se necesita un listado sistemático. Como tenemos 4 monedas, debemos considerar 4 casos. Éstos son, los precios que podemos cubrir con 1 moneda, con 2 monedas, con 3 monedas y con 4 monedas. Debemos examinar cada uno de estos casos y luego aplicar el principio de adición. • Con 1 moneda podemos tener 4 precios: $50, $100, $200 y $1000. • Con 2 monedas, podemos listar sistemáticamente las combinaciones: Las que tienen $50 son: $50 + $100 = $150, $50+$200 = $250, $50 + $1000 = $1050 Las que tienen $100 y no hemos listado aún: $100 + $200 = $300, $100+$1000 = 1100 Y las que tienen $200 y tampoco hemos listado: $200 + $100 = $1200 • Con 3 monedas, listamos todas las combinaciones (una para cada moneda que falta): $50 + $100 + $200 = $350 (falta la de $1000) $100 + $200 + $1000 = $1300 (falta la de $50) $50 + $200 + $1000 = $1250 (falta la de $100) $50 + $100 + $1000 = $1150 (falta la de $200) • Con las cuatro monedas $ 50 + $100 + $200 + $1000 = $1350 Todos los precios obtenidos son diferentes, luego la respuesta es 4+6+4+1=15 precios posibles. EJERCICIOS
  24. 24. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 24 1. ¿Cuántos grupos de 2 o más personas se pueden formar con 4 personas? 2. ¿Cuántos son los números enteros positivos de dos o tres dígitos? 4.1.2 Principio de Multiplicación. “Si una operación se puede hacer de n maneras diferentes y si en cada caso, una segunda operación se puede hacer de m maneras diferentes, entonces hay mn (m por n) maneras de realizar las dos operaciones” Ejemplo 1. El menú de un restaurante ofrece 3 platos calientes y 4 postres. ¿De cuántas maneras se puede elegir un almuerzo de 1 plato caliente y 1 postre? Podríamos hacer una lista de todas las posibilidades, pero será mucho más cómodo aplicar el principio de la multiplicación: Hay 3 maneras de elegir el plato caliente y para cada una de ellas hay 4 maneras de elegir el postre. Por lo tanto, hay 1243 = comidas posibles. Ejemplo 2. ¿Cuántos códigos de una letra y un número de un dígito se pueden formar con las 26 letras del alfabeto y los números 0, 1, 2,...,9? Podríamos listar todas las posibilidades: A0 A1 .... A9 B0 B1 .... B9 MM Z0 Z1 .... Z9 hasta obtener 26 filas de 10 códigos en cada una: .2601026 = Es más simple utilizar el principio de multiplicación: hay 26 maneras de elegir la letra y para cada una de ellas hay 10 maneras de elegir el número, de modo que son 2601026 = códigos. Observemos que en los 2 ejemplos hay total libertad de elegir el segundo elemento, no importa cómo se eligió el primero. Es decir, el segundo elemento es independiente del primero. Elegido el plato caliente, podemos elegir cualquiera de los 4 postres. Elegida la letra podemos agregarle cualquiera de los 10 números. Este principio es útil cuando se puede descomponer el proceso de recuento en pasos independientes.
  25. 25. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 25 Ejemplo 3. Del problema inicial de los 10 comensales, posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Comprobemos el cálculo. Ante todo, hay que aprender a determinar el número de combinaciones distintas, posibles. Para mayor sencillez empecemos calculando un número pequeño de objetos, por ejemplo, tres. Llamémosles A, B y C. Deseamos saber de cuántos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente su posición. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dos restantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas. Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operación tres veces: 1. Colocar C detrás de la pareja, 2. Colocar C delante de la pareja, 3. Colocar C entre los dos objetos de la pareja. Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepción de las tres mencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el número total de formas posibles de colocación de los tres objetos será: 632 = Ahora hagamos el cálculo para 4 objetos, llamémosles A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posición. Ya sabemos que para tres, el número de cambios posibles es 6. ¿En cuántas formas diferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente, serán cuatro. Podemos: 1. Colocar D detrás del trío, 2. Colocar D delante del trío, 3. Colocar D entre el 1º y de 2º objetos, 4. Colocar D entre el 2º y 3º. Obtenemos en total: 2446 = posiciones, pero teniendo en cuenta que 326 = y que 212 = , entonces podemos calcular el número de cambios posibles de posición haciendo la siguiente multiplicación: 244321 =
  26. 26. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 26 Razonando de manera idéntica, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el número de formas distintas de colocación será igual a: 12054321 = Para 6 objetos será: 720654321 = y así sucesivamente. Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el número de posiciones que pueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular el producto siguiente: 10987654321 Resultará el número indicado anteriormente: 3’628,800. El cálculo sería más complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearan sentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el número posible de combinaciones se reduciría en este caso considerablemente, el cálculo sería más complejo. Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 244321 = formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles para los muchachos es de 2402410 = . ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, situadas entre los jóvenes las 5 muchachas? Evidentemente serán: 12054321 = Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea 240 x 120 = 28,800. Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitaría un total de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien años, podrían asistir a una comida, servida gratis, sino por el propio camarero, al menos por uno de sus descendientes. EJERCICIOS
  27. 27. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 27 1. ¿De cuántas maneras se pueden formar en fila 5 estudiantes? 2. ¿De cuántas maneras puede resultar un sorteo que consta de un primer premio y un segundo premio en una clase de 25 alumnos? 3. ¿Cuántos enteros entre 100 y 999 tienen todos sus dígitos distintos? 4. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar usando sólo los dígitos 3, 7 y 8? (Incluir todos los números con dígitos repetidos). 4.2 SELECCIONES Con frecuencia cada uno de los pasos en que se divide un proceso de recuento puede interpretarse como una elección o selección de k objetos elegidos entre los elementos de un conjunto de n objetos. Dado un conjunto de “n” elementos puede ocurrir: 1. Que los elementos sean distintos; en este caso, a los grupos se les denomina agrupaciones simples. 2. Que algunos elementos sean iguales; en este caso, a los grupos se les denomina agrupaciones con repetición. Considerando la naturaleza de los elementos (que sean iguales o distintos), las agrupaciones recibirán el nombre de permutaciones o combinaciones simples cuando no se repite ningún elemento y permutaciones o combinaciones con repetición cuando algún elemento se repite. Antes de continuar debemos explicar un concepto muy útil al trabajar con estas agrupaciones o conjuntos: el concepto de factorial. Definición de factorial. Para un entero n 1, n factorial, expresado n!, se define por: ( ) ( ) ( ) 123...21!= nnnn ¿Y cual es el factorial de cero? El factorial de cero se define así: 0! = 1 Gran parte de los problemas de combinatoria pueden plantearse como una serie de pasos cada uno de los cuales consiste en elegir unos cuantos de entre ciertos elementos dados. Es conveniente remarcar que, al hacer dicha selección, hay ocasiones en las que podremos repetir dos veces el mismo objeto (por ejemplo, queremos escribir una palabra de 4 letras, entonces debemos elegir cuatro de entre las 28 letras posibles, pero obviamente podemos repetir dos veces la misma letra, como ocurre con la palabra "CASA") y otras ocasiones en las que esto no será posible (si quiero elegir tres amigos para ir a cenar, no puedo
  28. 28. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 28 escoger tres veces al mismo). Así mismo y dependiendo de la situación, el orden en que escojo los elementos a veces es importante y a veces no. Por ejemplo, si quiero escribir una palabra de 4 letras, el orden de las mismas influye (no es lo mismo CASA que SACA), mientras que si quiero ir a cenar con tres amigos, da igual el orden en que se los diga. En general, siempre es más fácil resolver problemas en los que el orden es importante. Veamos a continuación cómo se puede calcular el número de elecciones en cada caso. 4.2.1 PERMUTACIONES CASO 1.- NO PODEMOS REPETIR (PERMUTACIÓN SIMPLE U ORDINARIA) Se llama permutación simple de n elementos tomados de k en k (k < n) a los distintos grupos formados por k elementos de forma que: • Los k elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten) • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que están colocados (influye el orden). • Aquí, no se utilizan todos los elementos. Si elegimos un primer elemento, lo podemos hacer de n formas. Quitamos el elemento elegido y elegimos otro de entre los n-1 que quedan. Esto podrá hacerse de n-1 formas. Quitamos también este elemento y nos quedamos con n-2, de entre los que elegimos el tercero. Esto lo podremos hacer de n-2 formas... Según la regla del producto, las maneras de escoger k elementos de entre un total de n según un determinado orden, será igual al producto de: ( ) ( ) ( )1...21 +knnnn Notación. Pn,k denota el número de permutaciones de n elementos distintos tomados de k en k. Para llegar a una versión simplificada se opera así: ( ) ( )( ) ( )( )() ( ) ( )( ) ( )( )() ( ) k,nP !k-n n! 123...1k-nk-n 123...1k-nk-n ))1k(n)...(3n)(2n)(1n(n == + + • Ejemplo 1. 4,10P son las permutaciones de 10 elementos agrupándolos en subgrupos de 4 elementos:
  29. 29. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 29 040,5 123456 12345678910 )!410( !10 4,10 ===P Entonces podemos formar 5,040 subgrupos diferentes de 4 elementos a partir de los 10 elementos. Ejemplo 2. ¿Cuántas banderas diferentes, de tres franjas horizontales de igual ancho y de colores distintos, pueden confeccionarse a partir de siete colores diferentes? Solución: 210 !4 !7 3,7 ==P Ejemplo 3. ¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse: 5047893,9 ==P Por tanto, se pueden formar 504 números. En el caso especial en que n = k, se llama permutaciones de n. Se llaman permutaciones de n elementos a las diferentes agrupaciones de esos n elementos de forma que: • En cada grupo intervienen los n elementos sin repetirse ninguno (intervienen todos los elementos). • Dos grupos son diferentes si el orden de colocación de alguno de esos n elementos es distinto (influye el orden). Notación: Pn denota el número de permutaciones de n elementos distintos. ( ) ! !0 ! n n !nn n! Pn === Ejemplo 4. P10 son las permutaciones de 10 elementos: 800,628'312345678910!1010 ===P Es decir, tendríamos 3’628,800 formas diferentes de agrupar 10 elementos. Ejemplo 5. Una madre tiene 3 hijos ¿de cuántas maneras distintas, nombrándolos uno por uno, puede llamarlos a cenar? Solución: P3 = 3! = 6 Ejemplo 6. Calcular las maneras posibles de colocar las letras a, b, c.
  30. 30. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 30 k kn nPR =, P = 3! = 6 abc acb bac bca cab cba Ejemplo 7. Con las letras de la palabra DISCO ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar? Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos. 12012345!55 ===P Por tanto, se pueden formar 120 palabras. CASO 2.- PODEMOS REPETIR Este caso es análogo al Caso 1, sin más modificación que no quitar en cada paso los elementos ya escogidos. Razonando igual se llega a que el número de posibles elecciones es: k nnnnn =... Se llaman Permutaciones con repetición de n elementos tomados de k en k a los distintos grupos formados por k elementos de manera que: • Los elementos que forman los grupos pueden estar repetidos. • Dos grupos son distintos si se diferencian en algún elemento o en el orden en que éstos están colocados (influye el orden) Notación. PRn, k denota el número de permutaciones con repetición de n elementos distintos tomados de k en k Ejemplo 1. ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse con los dígitos 1 y 2? Solución: 2 3 = 8 Ejemplo 2. ¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal? Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas", luego sí pueden repetirse. Por tanto, se pueden formar 729 números: 72993 3,9 ==PR
  31. 31. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 31 Ejemplo 3. ¿Cuántas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b? Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse. 1024210 2,10 ==PR Por tanto, se pueden formar 1024 palabras. CASO 3.- PODEMOS REPETIR Y EXISTEN ELEMENTOS REPETIDOS Son permutaciones con repetición de n elementos, no todos distintos. Todas las agrupaciones de n elementos, formadas por aquellos, están dispuestas linealmente y sin que ninguno haga falta. El número de permutaciones con repetición que pueden realizarse con n elementos, donde existen _1, _2, _3,... _m elementos iguales entre sí (de una misma clase) y el resto distintos entre sí y distintos también a los anteriores es: !...!! !n P m21 n m,...,3,2,1 = Ejemplo 1. Calcular las permutaciones de 10 elementos, en los que uno de ellos se repite en 2 ocasiones y otro se repite en 3 ocasiones: 400,302 !3!2 !1010 3,2 ==P Es decir, tendríamos 302,400 formas diferentes de agrupar estos 10 elementos. Ejemplo 2. ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 1, 1, 2, 2, 3? Solución: 60 !2!3 !6 = Ejemplo 3. ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = k, es decir colocamos 9 bolas en línea y tenemos 9 bolas para colocar: 1260 !2!3!4 !9 = Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas. 4.2.2 COMBINACIONES
  32. 32. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 32 CASO 1.- EL ORDEN NO IMPORTA PERO NO SE PUEDEN REPETIR ELEMENTOS. Vamos a deducir la fórmula basándonos en el Caso 1. Tomamos las ( ) ( ) ( )1...21 +knnnn posibilidades y las partimos en clases, de forma que en cada clase estén aquellas elecciones que sean la misma salvo el orden. Como he escogido k elementos, la forma de ordenarlos será k! y, así, en cada clase tendré exactamente k! casos. Por tanto, el número de clases, es decir, el número de posibilidades de escoger k elementos sin importar el orden y sin repetir será )!(! !)1(....)1(· knk n k! knnn = + Este número suele conocerse como el número de combinaciones de n elementos tomadas de k en k y se denota por: )!kn(!k !n k n C k.n == Se llama combinaciones de n elementos tomados de k en k (k n) a todas las clases posibles que pueden hacerse con los n elementos de forma que: • Cada agrupación está formada por n elementos distintos entre sí • Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden. Ejemplo 1. Un alumno decide rendir tres de los cinco exámenes finales ¿De cuántas maneras distintas puede elegir esas tres pruebas? Solución: 10 !2!3 !5 3,5 ==C Ejemplo 2. ¿Cuántas combinaciones de 6 aciertos existen en la lotería primitiva? ( ) 816,983,13 !649!6 !49 6 49 6,49 ===C Es decir, que tendríamos que echar 13’983,816 apuestas de 6 números para tener la seguridad al 100% de que íbamos a acertar.
  33. 33. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 33 Ejemplo 3. ¿Cuántos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase? (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno) No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición. ( ) 506,142 !25!5 !252627282930 !530!5 !30 5 30 5,30 ====C Por tanto, se pueden formar 142,506 grupos distintos. En general, calcular k n por la fórmula anterior implica calcular varios factoriales, lo que hace que no sea muy útil en la práctica. Un método alternativo viene dado por las siguientes propiedades: Proposición. 1) 1 0 == n nn 2) += k n k n k n 1 1 1 CASO 2.- EL ORDEN NO IMPORTA Y SÍ SE PUEDE REPETIR (COMBINACIONES CON REPETICIÓN). Una combinación con repetición de tamaño k es una selección no ordenada de k objetos elegidos entre n tipos diferentes de objetos, habiendo una cantidad ilimitada de cada tipo. Una combinación con repetición puede describirse diciendo que elegimos x1 objetos de tipo 1, x2 objetos de tipo 2,..., xn objetos de tipo n para alguna n-pla (x1, x2,..., xn). Cada uno de los enteros x1, x2,..., xn es no negativo y kxxx n =+++ ...21 . Así pues, las combinaciones con repetición de tamaño k se corresponden con las soluciones enteras no negativas de la ecuación: kxxx n =+++ ...21 El número de combinaciones de tamaño k con repetición ilimitada elegidas entre n tipos diferentes de objetos es: + = k 1 , kn C R kn Cada combinación con repetición se representa por una palabra en el alfabeto {0,1} del siguiente modo: Los 0’s son las marcas que separan los objetos de cada tipo y los 1’s indican los objetos que hay de cada uno de los tipos entre dos marcas consecutivas. Si hay n tipos de objetos se necesitan n - 1 marcas para separar los tipos y,
  34. 34. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 34 por tanto, las palabras de 0’s y 1’s tienen longitud n - 1 + k. Así se convierte cada combinación con repetición de tamaño k en una combinación de k objetos (las posiciones de los 1’s) elegidos entre un conjunto de n - 1 + k elementos (las posiciones). Se llama combinaciones con repetición de n elementos tomados de k en k, a los distintos grupos formados por k elementos de manera que: • Los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos. • Dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden. • Ejemplo 1. R C 4,10 son las combinaciones de 10 elementos con repetición, agrupándolos en subgrupos de 4, en los que 2, 3 o los 4 elementos podrían estar repetidos: ( ) ( ) 715 1234567891234 12345678910111213 !9!4 !13 4,10 ===R C Es decir, podríamos formar 715 subgrupos diferentes de 4 elementos. Ejemplo 2. Las combinaciones con repetición de los elementos {a, b, c, d} tomados de dos en dos son: aa, ab, ac, ad, bb, bc, bd, cc, cd, dd Ejemplo 3. En una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra y 12 de anís. Un cliente compró 8 botellas en total. ¿Cuántas posibilidades hay? 1208,3 =R C Ejemplo 4: En una confitería hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles? No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles del mismo tipo en un grupo, luego con repetición. ( ) 70 !4!4 !45678 !15!4 !8 4 145 4,5 === + =R C Por tanto, se pueden elegir 4 pasteles de 70 formas distintas. SELECCIONES (de k elementos entre n) ORDENADAS NO ORDENADAS SIN REPETICIÓN ( ) ( ) (...21 +knnnn k n
  35. 35. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 35 CON REPETICIÓN k n + k kn 1 PAUTAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS • Si en cada agrupación figuran todos o algunos de los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones. • Si en cada agrupación figuran todos o algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones. EJERCICIOS 1. ¿Cuántas parejas diferentes compuestas por una mujer y un hombre se podrían formar a partir de 6 hombres y 5 mujeres? 2. ¿Cuántos tríos diferentes compuestos por un hombre, una mujer y un niño se pueden formar a partir de 4 hombres, 5 mujeres y 3 niños? 3. En una canasta hay 5 frutas diferentes y en otra canasta hay 3 verduras distintas. ¿De cuántas maneras se puede elegir una fruta y una verdura? 4. ¿Cuántas palabras diferentes, con o sin significado, se pueden formar con las letras: A, L, E y C, sin que ninguna letra se repita ni falte? 5. ¿Cuántas permutaciones simples (sin repetición) pueden hacerse con las letras de la palabra LEGAR? a. ¿Cuántas de esas permutaciones comenzarán con una consonante? b. ¿Cuántas comenzarán con una vocal? c. ¿Cuántas comenzarán con la letra A? 6. Se tienen 10 bolitas de igual tamaño, 3 son de color rojo, 2 de color azul y 5 de color verde. ¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en fila esas 10 bolitas? a. ¿Cuántas de esas permutaciones comenzará con una bolita verde? b. ¿Cuántas terminarán con una bolita roja?
  36. 36. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 36 c. ¿Cuántas comenzarán con una bolita azul y terminarán con una bolita verde? 7. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos: 1, 2, 3, 4 y 5? 8. ¿Cuántas palabras de 3 letras diferentes, con o sin significado, pueden formarse con las letras de la palabra COMA? 9. Una empresa ferroviaria tiene 6 estaciones. ¿Cuántos tipos diferentes de boletos, donde se indique la estación de salida y de llegada, deben imprimirse? 10. ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos: 5, 6, 7, 8 y 9 (con repetición)? 11. ¿Cuántos números de 2 cifras pueden formarse con los diez dígitos, sin repetición? 12. ¿De cuántas maneras diferentes se puede elegir una comisión de 5 miembros a partir de 8 de personas? a. Si una persona determinada debe estar siempre incluida b. Si una persona determinada debe estar siempre excluida c. Si una persona determinada debe estar siempre incluida y otra siempre excluida d. Si dos personas determinadas nunca deben estar juntas en esa comisión 13. ¿Cuántas diagonales pueden trazarse en un polígono convexo de n lados? 14. ¿Cuántas comisiones diferentes, compuestas por 2 hombres y 3 mujeres, pueden formarse, a partir de 10 hombres y 12 mujeres? 15. ¿Cuántas palabras de 7 letras distintas ( 4 consonantes y 3 vocales ), con o sin significado, pueden formarse a partir de 6 consonantes y 5 vocales, todas diferentes? 16. Calcular la probabilidad de, en una carrera de 12 caballos, acertar los 3 que quedan primeros (sin importar cual de ellos queda primero, cual segundo y cual tercero). 17. Y si hubiera que acertar, no sólo los 3 caballos que ganan, sino el orden de su entrada en meta.
  37. 37. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 37 18. Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante. 19. Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno. 20. ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD? 21. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS? 22. Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar? 23. ¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas? UNIDAD V. ÁLGEBRA 5.1 POLINOMIOS. Polinomio. Es una expresión de la forma: f(x) = a0 + a1x + .... + anxn donde a0, a1,..., an son números reales. A estos números se les llama coeficientes del polinomio. Al símbolo x se le llama indeterminada. A a0, a1x,..., anxn , se les llama términos del polinomio. Se puede obtener un valor para f(x), poniendo un número, digamos a en lugar de la indeterminada x: f(a) = a0 + a1a + .... + anan . Ejemplo: Sea f(x) = 1 + x + x2 => 1)1()1(1)1( 2 =++=f 5.2 FACTORIZACIÓN. Factorizar una expresión algebraica es hallar dos o más factores, cuyo producto sea igual a la expresión propuesta.
  38. 38. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 38 Existen varias maneras de factorizar, algunas de ellas se presentan a continuación. Factor común: y4 +5y2 +4y = y (y3 + 5y + 4) Trinomio cuadrado perfecto: y2 + 2y + 1 = (y + 1)2 Trinomio de la forma ax 2 + bx + c: 3y2 – 14y – 5 = (3y+1) (y – 5) Diferencia de cuadrados: x2 – y2 = (x – y) (x + y) 5.3 ECUACIONES. Solución de una ecuación de primer grado con una incógnita. 6a + 3a + a = 2a + 32 8a = 32 a = 4 Solución de una ecuación de segundo grado con una incógnita. Para encontrar la solución de la ecuación de la forma ax2 + bx + c podemos utilizar la fórmula general: a acbb x 2 42 1 + = , a acbb x 2 42 2 = También se puede obtener factorizando, si es posible. Solución de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Existen varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Consideremos el siguiente sistema, a manera de ejemplo: II)865 I)1223 =+ = yx yx Método de suma y resta: 1) Multipliquemos cada ecuación por constantes de modo que los coeficientes de la variable a eliminar resulten iguales en valor absoluto pero con signos opuestos. 2) Sumemos ambas ecuaciones para obtener una nueva ecuación en términos solamente de la otra variable.
  39. 39. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 39 3) Resolvamos y sustituyamos en cualquiera de las ecuaciones originales para obtener el valor de la otra variable. En nuestro ejemplo, eliminemos la variable x: Multiplicando por 5 la ecuación (I) obtenemos 15x – 10y = 60 III) Multiplicando por -3 la ecuación (II) obtenemos: –15x – 18y = 24 IV) Sumando las ecuaciones III) y IV) obtenemos: – 28y = 84, de donde vemos que y = –3. Sustituyendo el valor de y en I) obtenemos: 3x – 2(–3) = 12 3x + 6 = 12 3x = 6 y así llegamos a que x = 2. Método de sustitución: 1) Despejamos alguna de las variables en cualquiera de las ecuaciones. 2) Sustituimos en la otra. 3) Resolvemos la ecuación resultante de una sola variable. 4) Sustituimos el valor obtenido en la ecuación de despeje. En el ejemplo, despejemos x de I) 3 212 y x + = III) Sustituimos x en II) 86 3 212 5 =+ + y y . Resolviendo esta ecuación tenemos que y = –3. Sustituimos el valor de y en la ecuación III). 3 )3(212 + =x de aquí obtenemos que x = 2. Así la solución del sistema de ecuaciones es (2, –3). Método de igualación: 1) Se despeja alguna de las variables en las dos ecuaciones. 2) Se igualan y resolvemos la ecuación resultante. 3) Elegimos alguna de las dos ecuaciones de despeje y sustituimos el valor obtenido. En el ejemplo: Despejando x en las dos ecuaciones obtenemos:
  40. 40. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 4084)5)(12()8(3 85 123 56)8)(2()6(12 68 212 28)5)(2()6(3 65 23 === === === y x 3 212 y x + = III) 5 68 y x = IV) Igualando las x tenemos la siguiente ecuación de depende solamente de la variable y. 5 68 3 212 yy = + . Resolviendo obtenemos y = –3. Sustituyendo el valor de y en III) obtenemos x = 2. Método gráfico 1) Graficamos ambas ecuaciones en el plano cartesiano. 2) Hallamos el punto de intersección de las rectas. 3) La abscisa de dicho punto será la solución de la variable x, y la ordenada será la de la variable y. Método de determinantes Consideremos el ejemplo: II)865 I)1223 =+ = yx yx Los valores de x y y están dados por == yx yx donde 3x–2y=12 5x+6y=–8 (2,-3)
  41. 41. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 41 por lo tanto 3 28 84 y2 28 56 ==== yx . 5.4. RAZONES Y PROPORCIONES. Razón o relación. Llámese razón o relación de dos cantidades al cociente de dividir una cantidad por la otra, expresadas en las mismas unidades. La razón de a a b se escribe a:b, o bien ab ; a y b son llamados los términos de la razón. Proporción. Llámese proporción a la igualdad de dos razones. Llámense términos de una proporción las cuatro cantidades que entran en ella. El primer y tercer términos se llaman antecedentes; el segundo y el cuarto, consecuentes. El primero y el cuarto se llaman extremos; el segundo y el tercero, medios. d:cb:a,d:c::b:a, d c b a == Términos: a, b, c, d. Antecedentes: a, c. Consecuentes: b, d. Extremos: a, d. Medios: b, c. Cuarta proporcional.- Se llama cuarta proporcional de tres cantidades dadas a la cantidad que forma el cuarto término en una proporción, cuyos otros términos son las tres cantidades dadas tomadas en orden. Proporción continua.- Se llama proporción continua aquella en que los medios son iguales. Media proporcional.- Son los términos iguales de una proporción continua, también son conocidos como la media geométrica. Teoremas relativos a proporciones:
  42. 42. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 42 1. “En toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios.” d c b a = de donde bcad = . 2. Si el producto de dos números es igual al producto de otros dos, uno de los pares puede hacer las veces de medios y el otro par, de extremos de una proporción. d c b a bcbcad == entoncesmedios,comoatomemosSea . Métodos de transformación de una proporción en otra: 1. Método de inversión: En toda proporción se pueden invertir las dos razones, de lo cual resulta otra proporción. d c b a = de donde bdac . 2. Método de alternación: Si se cambian entre si los medios, o entre si los extremos de una proporción, se obtiene una nueva proporción. d c b a = de donde d b c a = . 3. Método de adición: En toda proporción pueden agregarse a los dos antecedentes sus respectivos consecuentes de lo cual resulta otra proporción. d c b a = de donde d dc b ba + = + . 4. Método de sustracción: En toda proporción pueden restarse los antecedentes de sus respectivos consecuentes, de lo cual resulta otra proporción. d c b a = de donde d dc b ba = . 5.5 PROPIEDADES DE LOS EXPONENTES.()() y EJERCICIOS 1. ¿Cuál es la mitad de 298 ? 2. Dado que p(x) = x3 + ax + 1 y que p( l ) = 1, ¿Cuánto vale p(2)?
  43. 43. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 43 3. Si x2 + y2 = 6 xy, con x y, ¿A qué es igual yx yx + ? 4. Si 2a = 5b = 10, ¿cuánto vale b 1 a 1 + ? 5. Encontrar y (en términos de x) de tal manera que 2y = 16x+1 + 24x+4 . 6. Betty escribió una fracción irreducible. Mario escribió otra fracción. Para elegir el numerador, le sumó 11 al numerador de Betty y para elegir el denominador, multiplicó el denominador de Betty por 2 y al resultado le sumo 3. Sabiendo que la fracción de Betty es igual al doble de la de Mario, ¿Qué fracción pensó Betty? 7. Si x2 + 8x – 2 = 0, ¿Cuánto vale x4 + 8x3 + 16x + 10? 8. En cierto planeta hay tantos días en una semana como semanas en un mes como meses en un año. Si un año tiene 1331 días, ¿Cuántos días tiene cada semana? 9. Un librero tiene para la venta cierto número de libros. La semana pasada vendió 4 1 del total. Esta semana le hicieron un pedido por 4 3 de lo que le quedaba, pero antes de entregar el pedido el local se inundó y le quedaron 240 libros inutilizados. Si envía todos los libros que le quedaron sanos, sólo cubre 5 4 del pedido. ¿Cuántos libros tenía para la venta inicialmente? ¿Cuántos vendió? 10. Eduardo y Gabriel viven en la calle del colegio, pero uno hacia el norte y el otro hacia el sur. Un día los dos salieron del colegio a la misma hora y cada uno caminó a su casa, Eduardo a 7 km/h y Gabriel a 5 km/h. En el instante en que Eduardo llegó a su casa, una moto salió de la casa de Eduardo hacia la casa de Gabriel, a 55 km/h. La moto llegó a la casa de Gabriel justo en el momento en el que Gabriel llegó a su casa. Determinar cuál de los dos chicos vive más cerca del colegio. 11. Una gallina pone dos huevos en tres días. ¿Cuántos días se necesitan para que cuatro gallinas pongan dos docenas de huevos? 12. Si 6 gatos cazan 6 ratones en 6 minutos, ¿Cuántos son los ratones que 30 gatos pueden cazar en 30 minutos?
  44. 44. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 44 13. El promedio de las primeras 5 calificaciones de Juan durante el semestre es de 5.4. ¿Cuál debe ser su promedio de las siguientes 4 calificaciones para que su promedio global sea de 6? 14. Una sandía pesó 10 Kg., de los cuales el 99 % es agua. Después de cierto tiempo al sol, se evaporó parte del agua, siendo ahora el p o r c e n t a j e d e a g u a d e l 9 8 % . ¿Cuánto pesa ahora la sandía? 15. Rafa escribe el número 2.ab (es un número con punto decimal) donde a y b son dígitos. Sabiendo que este número es igual a: 5 a + 4 b , hallar los dígitos a y b. 16. Encontrar un entero positivo a tal que la suma a + 2a + 3a + 4a +5a + 6a + 7a + 8a + 9a resulte ser un número con todas sus cifras iguales. 17. Si m y n son enteros positivos que satisfacen mn + mn+1 + mn+2 = 39, entonces, ¿Cuánto vale nm ? 18. Después de una epidemia muy grave, la población de una comunidad de animales disminuyó el año pasado en 20%; ¿Qué porcentaje debe de aumentar este año para volver a quedar como estaba? 19. En dos años el precio de un producto se ha duplicado. ¿Qué porcentaje ha aumentado por año si cada año ha sido el mismo? 20. Ayer en clase el 12.5% de los alumnos faltó. Hoy hay un alumno ausente más, y el número de presentes es 5 veces el de ausentes. ¿Cuál es el número total de alumnos de la clase? 21. Un barril lleno de leche pesa 34 Kg. y cuando está lleno a la mitad pesa 17.5 Kg. ¿Cuál es el peso del barril? 22. ¿Cuántos enteros positivos n satisfacen la desigualdad 13 11 17 n 5 2 << ? 23. Tres trabajadores necesitan 36 días para pintar un edificio. ¿Cuántos trabajadores pueden hacerlo en 9 días? 24. Una manguera llena un estanque de agua en 12 horas. Otra manguera lo llena en 10 horas y un tubo de desagüe lo vacía en 6 horas. ¿En cuánto tiempo se llena el estanque si las dos mangueras y el desagüe están todos abiertos?
  45. 45. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 45 UNIDAD VI. TRIÁNGULOS 6.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. Triángulo. Espacio limitado por tres rectas que se cortan. Clasificación de los triángulos atendiendo a la medida de sus lados. V Equilátero Isósceles Escaleno Triángulo equilátero. Tres lados iguales. Triángulo isósceles. Dos lados iguales. Triángulo escaleno. Tres lados desiguales Clasificación de los triángulos atendiendo a la medida de sus ángulos. Rectángulo Obtusángulo Acutángulo Triángulo rectángulo. Cuando tiene un ángulo recto. Triángulo obtusángulo. Cuando tiene un ángulo obtuso. Triángulo acutángulo. Cuando sus tres ángulos son agudos. Triángulo equiángulo. Cuando sus tres ángulos son iguales. El triángulo equilátero es a la vez equiángulo 6.2 PROPIEDADES. 1. La suma de los ángulos internos de todo triángulo es 180°. 2. La suma de los ángulos externos de todo triángulo es igual a 360°. 3. Un ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los ángulos internos no adyacentes. 4. Toda recta paralela a uno de los lados de un triángulo divide los otros dos en partes proporcionales. A B C S T A B C P R O S V T
  46. 46. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 46 5. Si una recta divide dos lados de un triángulo en partes proporcionales, es paralela al tercer lado. AB||DE EB CE AD CD = 6. La línea que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralela al tercer lado e igual a su mitad. 2 AB DEyAB||DEECBEyDCAD === 7. La bisectriz de un ángulo cualquiera de un triángulo divide el lado opuesto en partes proporcionales a los otros dos lados. < 1 = < 2 CB CA MB AM = 8. En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (teorema de Pitágoras) a b 6.3 LÍNEAS Y PUNTOS NOTABLES. Mediatriz. Es la perpendicular a un segmento en su punto medio, también se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento. A la intersección c2 = a2 + b2 c
  47. 47. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 47 de las mediatrices de los lados de un triángulo se le conoce como Circuncentro. P C A B P A B Mediana. Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un punto llamado Baricentro o Centroide. C P P: Baricentro A B Altura. Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El segmento perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Las tres alturas de un triángulo o sus prolongaciones se cortan en un punto llamado Ortocentro. Si el triángulo es acutángulo el ortocentro es interior al triángulo, si es obtusángulo el ortocentro es exterior al triángulo y se obtiene prolongando las alturas fuera del triángulo. O: Ortocentro Bisectriz. Bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales, también se puede definir como el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo. Las bisectrices en un triángulo se cortan en un punto llamado Incentro. P: Circuncentro
  48. 48. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 48 Bisectriz I: Incentro 6.4 SEMEJANZA. Figuras semejantes. Tenemos que dos figuras son semejantes, cuando tienen sus ángulos respectivamente congruentes comprendidos entre lados proporcionales. <A = < A', <B = <B', <C = <C,' <D = <D', <E = <E' '' '' CB BA BC AB = Existen algunas figuras que teniendo sus ángulos congruentes sus lados pueden no ser proporcionales. Otras figuras a pesar de tener sus lados proporcionales no tienen sus ángulos congruentes. PCAP = A B C D E A’ B’ C’ D’ E’
  49. 49. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 49 De lo anterior deducimos que sólo son semejantes aquellas figuras que cumplen con las dos condiciones ya establecidas. Teorema 1. Si dos triángulos son mutuamente equiángulos, son semejantes. Si < A = < A’, < B = < B’ y < C = <C’ _ ABC _ A’B’C’ Teorema 2. Si dos triángulos tienen un ángulo igual comprendido entre lados proporcionales, los dos triángulos son semejantes. Si < C = <C’ y = '''' CB BC CA AC _ ABC _ A’B’C’ Teorema 3. Si los tres lados de un triángulo son respectivamente proporcionales a los de otro, los dos triángulos son semejantes. == '''''' BA AB CB BC CA AC _ ABC _ A’B’C’ 6.5 ÁREA DE UN TRIÁNGULO. El área de un triángulo en general es: a h c 2 bh A = A C B A’ C’ B’ b BA C C’ A’ B’
  50. 50. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 50 Si se conocen las longitudes de los tres lados a, b, c, el área se puede calcular mediante la siguiente expresión llamada fórmula de Herón: ))()(( csbsassA = donde 2 )( cba s ++ = es el semiperímetro. EJERCICIOS 1. Cada lado de un rectángulo se divide en tres segmentos de la misma longitud; los puntos resultantes se unen de forma que obtenemos un punto en el centro, como se indica en la figura. ¿Cuánto es el cociente del área de la parte blanca entre el área de la parte gris? a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) _ e) 2/3 Solución 1. Trazando las diagonales del rectángulo encontramos 12 triángulos. Cada lado del rectángulo contiene la base de 3 triángulos, uno blanco y dos de color gris, de la misma área, pues sus bases y sus alturas son iguales. Así, la razón de las áreas es de 1 a 2. La respuesta es b). 2. En la siguiente figura ABC es un triángulo con AB = AC y D un punto sobre CA con BC = BD = DA. El valor del ángulo ABD es: a) 30o b) 36o c) 40o d) 45o e) 60o
  51. 51. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 51 3. En la siguiente figura AD = DC, AB = AC, el ángulo < ABC mide 75° y el ángulo <ADC mide 50°. ¿Cuánto mide el ángulo < BAD? a) 30° b) 85° c) 95° d) 125° e) 140° 4. Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 6 y perímetro 14, ¿cuál es su área? a) 3 b) 7 c) 10 d) 14 e) 28 5. En el rectángulo de la figura, M y N son los puntos medios de AD y BC, respectivamente, y P y Q son las respectivas intersecciones de AC con BM y con ND. Suponiendo que AD mide 5cm y que AB mide 3cm, ¿cuántos centímetros tiene de superficie el cuadrilátero MPQD? a) 2.75 b) 3 c) 3.25 d) 3.75 e) 4 6. ¿Cuál de las siguientes áreas sombreadas es la más grande? 7. En la figura, CD = BC = 3, CD es perpendicular a BC, AB = AC y el área de ABC es 5. ¿Cuál es el área del triángulo ACD?
  52. 52. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 52 8. En la figura, AB = AD = DC. ¿Cuánto vale el ángulo <_? a) 24º b) 29º cm c) 33º cm d) 40º e) 42º 9. En la siguiente figura, el valor de x es: a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12 10. Se construye una figura formada por triángulos isósceles empezando con AB = BC, luego BC = CD, y así sucesivamente, como se ilustra abajo. Si el ángulo <BAC = 17º, ¿cuántos triángulos isósceles puedes dibujar? a) 4 5 b) 2 3 c) 2 d) 4 9 (e) 2 5
  53. 53. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 53 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. En la siguiente figura, ¿cuál es la longitud de AC? a) 2 53 b) 5 c) 3 d) 4 35 + e) 3 12. Si la figura representa un cuadrado con vértices en A, B, C y D, y el ángulo OND mide 60°, ¿Cuánto mide el ángulo COM? a)10° b) 15° c) 20° d) 30° e) 35° 13. En la figura, ABC es un triángulo equilátero, sus lados tienen longitud 3 y PA es paralela a BC. Si PQ = QR = RS, ¿cuál es la longitud de CS? AP CB Q R S A B CD M N O
  54. 54. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 54 a) 2/2 b) 3/2 c) 1 d) 2 e) 3 UNIDAD VII. CUADRILÁTEROS 7.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN. Cuadrilátero. Es una figura plana limitada por cuatro segmentos de recta, llamados lados del cuadrilátero. Propiedad. La suma de los ángulos internos de todo cuadrilátero es 360°. Clasificación de los cuadriláteros. Los cuadriláteros se clasifican atendiendo al paralelismo de sus lados opuestos en: • Paralelogramo • Trapecio • Trapezoide 7.2 PARALELOGRAMO. Paralelogramo. Es el cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos. Clasificación de los paralelogramos. Rombo: Paralelogramo que tiene sus cuatro lados iguales. Rectángulo: Paralelogramo que tiene sus cuatro ángulos iguales y rectos. Cuadrado: Paralelogramo que es rombo y rectángulo a la vez.
  55. 55. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 55 Romboide: Es aquel que tiene sus lados y sus ángulos continuos desiguales. Características de los paralelogramos. 1. Altura de un paralelogramo: Es la recta que va desde el vértice del paralelogramo al lado opuesto en forma perpendicular. 2. Diagonal de un paralelogramo: Es la recta que une dos vértices no consecutivos. Cada paralelogramo consta de dos diagonales. 3. Base de un paralelogramo: Lado sobre el cual descansa o se supone que descansa el paralelogramo. Propiedades de los paralelogramos. 1. Todos los paralelogramos tienen iguales sus lados opuestos. 2. Todos los paralelogramos tienen iguales sus ángulos opuestos. 3. Los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios. 4. Las diagonales de los paralelogramos se bisecan mutuamente. 5. Cada diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos congruentes. Propiedades de las diagonales del rombo, cuadrado y rectángulo. 1. Las diagonales en el rectángulo y en el cuadrado son iguales. 2. Las diagonales en el rombo y en el cuadrado son perpendiculares entre sí. 3. Las diagonales en el rombo y en el cuadrado son bisectrices de los ángulos. 4. Las diagonales en el rombo y en el cuadrado forman cuatro triángulos congruentes. Área de un paralelogramo. El área de un paralelogramo en general es: A = b x h b= base h=altura A E B C D BE es la altura BD es la diagonal AD es la base
  56. 56. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 56 Área de un cuadrado Área de un rectángulo Área de un rombo 7.3 TRAPECIO. Trapecio. Es aquel cuadrilátero que tienen dos y sólo dos lados paralelos y opuestos. Clasificación de los trapecios. Trapecio isósceles: Es el trapecio que tiene iguales los lados no paralelos Trapecio rectángulo: Es el que tiene dos ángulos rectos. Trapecio escaleno: Es aquel que no es ni rectángulo, ni isósceles. Características de los trapecios: 1. Bases del trapecio: Se les llama así a los lados paralelos. 2. Piernas del trapecio: Se les llama así a los lados no paralelos. 3. Paralela media o base media: Se le llama así al segmento que une a los puntos medios de los lados no paralelos. Tiene la propiedad de que es igual a la semisuma de las bases. A = l2 l = lado del cuadrado A = b x h b = base h = altura A = d1 d2 Donde d1 y d2 son diagonales
  57. 57. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 57 4. Altura del trapecio: Es la recta que va desde el vértice del trapecio al lado opuesto en forma perpendicular. Área de un trapecio ( ) 2 hbB A + = 7.4 TRAPEZOIDE. Trapezoide. Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún lado opuesto paralelo. EJERCICIOS 1. PQRS es un rectángulo, y M es un punto de su diagonal. ¿Qué proporción guardan las dos superficies grises? a) La de arriba es más grande. b) La de abajo es más grande. c) Son iguales. d) Sólo son iguales si M es el punto medio. e) No hay suficientes datos. A B CD M N E AB y DC son las bases. BC y AD son las piernas MN es paralela media BE es la altura B = base mayor b = base menor h = altura
  58. 58. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 58 Solución 1. El segmento MS es la diagonal de un rectángulo, por lo cual los 2 triángulos que lo tienen como lado son de la misma área. Lo mismo pasa con MQ y con QS, lo cual implica que las áreas de los rectángulos grises siempre son iguales. La respuesta es c). 2. A un cuadrado de papel se le cortan todas las esquinas ¿Cuál es el máximo número de esquinas que pueden quedar? a) 0 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 Solución 2. Si cortamos una esquina del triángulo de forma que el corte NO se haga por la diagonal del cuadrado, tendremos cinco esquinas en lugar de cuatro en la región más grande. Esto quiere decir que al cortar una esquina del cuadrado, lo más que podemos hacer es agregar otra. Así pues, el máximo de esquinas que podemos tener es 8. La respuesta es e). 3. Cada lado del cuadrado ABCD mide 1 m. ¿Cuál es el área del cuadrado AKPC? a) 1 m2 b) 1.5 m2 c) 2 m2 d) 2.5 m2 e) 3 m2 4. En la figura, el área del cuadrado de mayor tamaño es igual a 1 m2 . Una de sus diagonales se divide en tres segmentos de la misma longitud. El segmento de en medio es la diagonal del pequeño cuadrado gris. ¿Cuál es el área del cuadrado pequeño? a) 1 /10 m2 b) 1 /9 m2 c) 1 /6 m2 d) 1 /4 m2 e) 1 /3 m2
  59. 59. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 59 5. Dos piezas cuadradas y tres piezas rectangulares se acomodan para formar un rompecabezas cuadrado como muestra la figura. Si cada una de las dos piezas cuadradas tiene 72 cm de perímetro y las otras tres piezas son iguales entre sí, ¿cuál es el perímetro de cada una de estas tres piezas? a) 60 cm b) 56 cm c) 44 cm d) 36 cm e) 30 cm 6. En un triángulo ABC, siete segmentos paralelos al lado BC dividen en 8 partes iguales al lado AC. Si BC = 10, ¿cuál es la suma de las longitudes de los 7 segmentos? a) Faltan datos b) 50 c) 70 d) 35 e) 45 7. Considera el paralelogramo ABCD con los puntos P, Q y R indicados. Si <ARQ =150º, <QPC = 35º, y <PCB = 45º, ¿cuánto vale <PQR? a) 50º b) 60º c) 65º d) 70º e) 75º 8. En la figura, los lados del cuadrado pequeño son paralelos a los del grande. El área del cuadrado más grande es 16 y el área del cuadrado más chico es 4. ¿Cuál es el área del cuadrado mediano? a) 8 b) 8.5 c) 10 d) 10.5 e) 12 9. En la figura WXYZ es un rectángulo, TV es paralela a ZY y U es un punto sobre YZ de forma que UY mide el doble que UZ. Si el área
  60. 60. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 60 del cuadrilátero TUVX es 12, ¿cuánto vale el área del rectángulo WXYZ? a) 16 b) 19 c) 21 d) 24 e) 26 10. Rafa dividió un rectángulo en 4 rectangulitos mediante dos rectas paralelas a sus lados. Se sabe que el rectángulo A representa un 10% del área total y el rectángulo B representa un 45% del área total. ¿Qué porcentaje del área total representan cada uno de los otros dos rectángulos? (La figura es sólo para orientarse, no vale medir). 11. En la figura BC AE, y BD CE. Sea x el área del cuadrilátero ABCD y sea y el área del triángulo ACE. ¿Cómo se comparan x e y? a) x = y b) x > y c) x < y c) Depende de cuál es mayor entre AD y BC d ) i m p o s i b l e determinarlo UNIDAD VIII. POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA 8.1 DEFINICIÓN Y ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA. C D E A B
  61. 61. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 61 Circunferencia. Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano equidistantes de un punto fijo del mismo. A este punto fijo se le llama centro. Círculo. Es el área delimitada por una circunferencia. Radio. Es un segmento de recta que une el centro de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. Todos los radios de una circunferencia son congruentes entre sí. Arco. Es una porción continua de una circunferencia. Cuerda. Es un segmento de recta que une dos puntos de una circunferencia. Diámetro. Es toda cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos (distintos). Tangente. Es una recta que tiene solamente un punto común con la circunferencia. Ángulo central. Es todo ángulo cuyo vértice está en el centro de la circunferencia. Su medida es igual a la del arco subtendido por sus lados. · · Circunferencia Círculo Centro
  62. 62. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 62 _=__ : Ángulo central. : Arco subtendido por los lados del ángulo central. Ángulo inscrito. Es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y cuyos lados son secantes. Su medida es igual a la mitad de la del arco comprendido entre sus lados. 2 = Ángulo semi-inscrito. Es aquel cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son una secante y una tangente. Tiene por medida la mitad del arco comprendido entre sus lados. 2 = Ángulo interno. Es aquel cuyo vértice se encuentra en el interior de la circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados y por sus prolongaciones. 2 + =
  63. 63. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 63 : Arco subtendido por las prolongaciones de los lados del ángulo. Ángulo externo. Es aquel cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia, su medida es la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos por sus lados. : Arco menor subtendido por los lados del ángulo externo. 8.2 TEOREMAS RELATIVOS A LA CIRCUNFERENCIA. 1. El diámetro es la cuerda de mayor longitud en la circunferencia. Su medida es igual a la de la suma de dos radios. AB > CD AB = AO + OB = 2·AO = 2·OB 2. Toda tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia. ·A B C D O 2 =
  64. 64. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 64 3. Las tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son iguales y el segmento que une dicho punto con el centro de la circunferencia es bisectriz del ángulo formado por las tangentes. AP = AQ < 1 = < 2 4. Todo ángulo inscrito en una semicircunferencia es recto. < C = 90° En una circunferencia rectas paralelas determinan arcos iguales. A O D C r L A P Q O 1 2 r L
  65. 65. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 65 o A B C D E AB CD AC = DB 5. Sea una recta que biseca una cuerda de una circunferencia. La recta es perpendicular a dicha cuerda si y sólo si la recta pasa por el centro de la circunferencia. AE = EB AB CD CD es diámetro 8.3 POLÍGONOS Polígono. Es una región del plano limitada por tres o más segmentos de recta. Los segmentos forman los lados del polígono y sus intersecciones los vértices. Los ángulos internos de un polígono están definidos por cada dos de sus lados consecutivos. Polígono convexo. Si se prolongan los lados de un polígono y toda la figura queda siempre del mismo lado, se dice que el polígono es convexo. Polígono cóncavo. Polígono que no es convexo. Polígono inscribible en una circunferencia. Es aquel en el cual todos sus vértices pertenecen a una misma circunferencia. A B C D
  66. 66. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 66 Polígono regular. Es aquel en el cual todos sus lados y sus ángulos internos son iguales entre sí; de lo contrario, el polígono se llamará irregular. Polígono inscrito Convexo Cóncavo Polígono irregular Polígono regular Todo polígono regular puede inscribirse en una circunferencia: A todo polígono regular se le puede inscribir una circunferencia: POLÍGONOS Convexos Cóncavos Inscribible en una Circunferencia No inscribible en una Circunferencia Cóncavos Regular No Regular
  67. 67. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 67 2 rA = Elementos de un polígono regular. 1. Radio. Es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono. 2. Apotema. Es el radio de la circunferencia inscrita al polígono. a : Apótema : Ángulo central : Ángulo interno r: Radio n ° = 360 n ° °= 360 180 donde n es el número de lados del polígono regular. 8.4 ÁREAS Y PERÍMETROS. 1. El perímetro (longitud) de una circunferencia es igual al doble de multiplicado por el radio. rP 2= 2. El área de un círculo es igual al producto de por el cuadrado del radio. a Circunferencia inscrita al polígono Circunferencia circunscrita al polígono r · r · r P: perímetro r: radio A: área r: radio
  68. 68. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 68 2 Pa A = 3. El perímetro de un polígono regular de n lados es igual al producto de n por la medida de uno de sus lados. nLP = 4. El área de un polígono regular de n lados es igual a la mitad del producto de su perímetro por su apotema. EJERCICIOS 1. Me comí una rebanada de un pastel redondo que representaba el 15% del pastel, como indica la figura. ¿Cuál es el ángulo que abarca la rebanada del pastel? a) 15° b) 36° c) 45° d) 54° e) 60° 2. Se tienen dos círculos con centro en el mismo punto, pero cuyos perímetros difieren en 1 cm. ¿Cuál es la diferencia entre sus radios? a) 2 1 b) 41 c) cm d)2 cm e)4 cm 3. En el triángulo ABC, AB = 1, BC = 2 y el ángulo < ABC es de 72o . Se rota el triángulo ABC en el sentido de las manecillas del reloj fijando el vértice B, obteniéndose el triángulo A'BC'. Si A,B,C' son colineales y el arco AA' es el descrito por A durante la rotación, ¿cuánto vale el área sombreada? . L . a P P: perímetro n: número de lados L: medida de un lado A: área P: perímetro a: apotema
  69. 69. Comité Estatal de Olimpiadas, Colima ONMAS Guía para Entrenadores de la ONMAS 69 a) 6 b) - 3/2 c) 10 d) 21 e) 83 4. Una flor se ha dibujado dentro de un círculo manteniendo la misma apertura del compás, como se muestra en la figura. Si el perímetro de la flor es 2, ¿cuál es el radio del círculo? a) 2 1 b) 4 1 c)1/6 d) 3 2 e) 8 5. En la figura, cada lado del cuadrado mide 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada? a) / 2 b) / 4 c) 1/2 d) 1 – / 4 e) 1 – / 2 6. En la figura, los círculos pequeños tienen radio 1 y los círculos grandes tienen radio 2. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

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