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DIAGRAMA DE ARBOl
El diagrama de árbol es una representacióngráfica de los posibles resultados delexperimento, el cual consta una serie de p...
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No fue difícil de listar y contar todos los posiblesarreglos de modelos de autos y rines en esteejemplo. Suponga, sin emba...
Problemas resueltos:  1- Se extrae aleatoriamente una carta de un mazo    de 52 piezas determina las siguientes    probabi...
f) Un 10 o una pica         Casos favorables = 16         P (10 ó ♠) = 16/52 = 0.3076 ó 30.76%      g) Ni un 4 ni un ♣    ...
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P (30 impar) = 30/36 = 0.8333 ó 83.33%c) Probabilidad de que sea primo=  Casos favorables =15  P (15 primo)= 15/36 = 0.416...
Bibliografía:Murray y Spiegel, probabilidad y estadística, edición Mc Graw Hill
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Método de conteo . diagrama de arbol , combinaciones y permutuaciones

  1. 1. Berenice Rodríguez Vázquez2 ´´A´´Universidad tecnológica de torreónMétodos de conteo, diagrama de árbol,Combinaciones y permutacionesLic. Édgar mata
  2. 2. DIAGRAMA DE ARBOl
  3. 3. El diagrama de árbol es una representacióngráfica de los posibles resultados delexperimento, el cual consta una serie de pasos,donde cada uno de los pasos tiene un númerofinito de maneras de ser llevado a cabo. Seutiliza en los problemas de conteo y probabilidad.CONBINACIONESComo ya se mencionó anteriormente, unacombinación, es un arreglo de elementos en dondeno nos interesa el lugar o posición que ocupan losmismos dentro del arreglo. En una combinaciónnos interesa formar grupos y el contenido de losmismos.
  4. 4. La fórmula para determinar el número decombinaciones es: Si se cuenta con 14 alumnos que desean colaborar en una campaña pro limpieza del Tec, cuantos grupos de limpieza podrán formarse si se desea que consten de 5 alumnos cada uno de ellos, b. si entre los 14 alumnos hay 8 mujeres, ¿cuántos de los grupos de limpieza tendrán a 3 mujeres?, c .cuántos de los grupos de limpieza contarán con 4 hombres por lo menos? Solución: a. n = 14, r = 5 14C5 = 14! / (14 – 5 )!5! = 14! / 9!5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9!/9!5! = 2002 gruposEntre los 2002 grupos de limpieza hay grupos quecontienen solo hombres, grupos que contienensolo mujeres y grupos mixtos, con hombres ymujeres.
  5. 5. b. n = 14 (8 mujeres y 6 hombres), r=5En este caso nos interesan aquellos grupos quecontengan 3 mujeres y 2 hombres 8C3*6C2 = (8! / (8 –3)!3!)*(6! / (6 –2)!2!) = (8! / 5!3!)*(6! / 4!2!) = 8 x7 x 6 x 5 /2! = 840 grupos con 3mujeres y 2 hombres, puesto que cada grupo debeconstar de 5 personasc. En este caso nos interesan grupos en dondehaya 4 hombres o másLos grupos de interés son = grupos con 4 hombres+ grupos con 5 hombres = 6C4*8C1 + 6C5*8C0 = 15 x 8 + 6 x 1 = 120 + 6 = 126PERMUTACIÓN:Es todo arreglo de elementos en donde nosinteresa el lugar o posición que ocupa cada uno delos elementos que constituyen dicho arreglo.
  6. 6. Por tanto, la fórmula de permutaciones de r objetos tomados de entre n objetos es:Esta fórmula nos permitirá obtener todos aquellosarreglos en donde el orden es importante y solo seusen parte (r) de los n objetos con que se cuenta,además hay que hacer notar que no se puedenrepetir objetos dentro del arreglo, esto es, los nobjetos son todos diferentes. ¿Cuantas representaciones diferentes serán posibles formar, si se desea que consten de Presidente, Secretario, Tesorero, Primer Vocal y Segundo Vocal?, sí esta representación puede ser formada de entre 25 miembros del sindicato de una pequeña empresa.Solución:Por principio multiplicativo:
  7. 7. 25 x 24 x 23 x 22 x 21 = 6,375,600 maneras deformar una representación de ese sindicato queconste de presidente, secretario, etc., etc.Por Fórmula:n = 25, r=525P5= 25!/ (25 –5)! = 25! / 20! = (25 x 24 x 23 x22 x 21 x....x 1) / (20 x 19 x 18 x ... x 1)= = 6, 375,600 maneras de formar larepresentaciónMÉTODOS DE CONTEOSi el número de posibles resultados de unexperimento es pequeño, es relativamente fácillistar y contar todos los posibles resultados. Altirar un dado, por ejemplo, hay seis posiblesresultados.LA TÉCNICA DE LA MULTIPLICACIÓN
  8. 8. La técnica de la multiplicación: Si hay m formasde hacer una cosa y hay n formas de hacer otracosa, hay m x n formas da hacer ambas cosasEn términos de fórmulaNúmero total de arreglos = m x nEsto puede ser extendido a más de dos eventos.Para tres eventos, m, n, y o:Número total de arreglos = m x n x oEjemplo:Un vendedor de autos quiere presentar a susclientes todas las diferentes opciones con quecuenta: auto convertible, auto de 2 puertas yauto de 4 puertas, cualquiera de ellos con rinesdeportivos o estándar. ¿Cuántos diferentesarreglos de autos y rines puede ofrecer elvendedor?Para solucionar el problema podemos emplear latécnica de la multiplicación, (donde m es númerode modelos y n es el número de tipos de rin).Número total de arreglos = 3 x 2
  9. 9. No fue difícil de listar y contar todos los posiblesarreglos de modelos de autos y rines en esteejemplo. Suponga, sin embargo, que el vendedortiene para ofrecer ocho modelos de auto y seistipos de rines. Sería tedioso hacer un dibujo contodas las posibilidades. Aplicando la técnica de lamultiplicación fácilmente realizamos el cálculo:Número total de arreglos = m x n = 8 x 6 = 48Problemas resueltos:1-probabilidad de un mazo de cartas de 52piezas.Se extrae aleatoriamente, una cartaEl espacio muestra es: los números de 2 al 10 ylas letras J, Q, K, A.En notación de conjuntos {2, 3,4…, 10, J, K, Q,A.}Agregar diagrama
  10. 10. Problemas resueltos: 1- Se extrae aleatoriamente una carta de un mazo de 52 piezas determina las siguientes probabilidades a) Extraer un as: P(as) =? Casos favorables =4 P(as)= 4/52= 0.07692 ó 7.69% b) Extraer una jota de ♥ P (J♥)=? P (J♥)= 1/52 =0.01923 ó 1.923% c) Extraer un 3 de ♣ o un 6 de ♦ = Casos favorables: 2 P (3♣ ó 6 de ♦)= 2/52= 0.03846 ó 3.846% d) Obtener una carta de corazones Casos favorables = 13 P (♥) 13/52= 0.25 ó 25% e) Extraer cualquier figura excepto corazones (♣ ,♠,♦) Casos favorables =39 P (♣, ♠, ♦) = 39/52=0.75 ó 75%
  11. 11. f) Un 10 o una pica Casos favorables = 16 P (10 ó ♠) = 16/52 = 0.3076 ó 30.76% g) Ni un 4 ni un ♣ Casos favorables = 36 P (ni 4, ni ♣) = 36/52 =0.6923 ó 69.23%2-Se lanzo 3 monedas distintas y se observo si seobtuvo águila o sello en cada uno de ellas.3 monedas distintas con valor de $1, $5 y de $10En conjunto son 3.Determina las siguientes probabilidades a) Probabilidad de obtener 3 águilas P (3 águilas) = 0.125 ó 12.50% b) Probabilidad de obtener 2 águilas y 1 sello P (2 águilas y 1 sello) = 0.375 ó 37.50%Espacio muestra $10 $5 $11 Águila Águila Águila2 Águila Águila sello3 Águila sello Águila4 Águila sello sello
  12. 12. 5 sello Águila Águila6 sello Águila sello7 sello sello Águila8 sello sello sello 3- Lanzamiento de dos dados El dado tiene 6 caras y en cada cara hay un numero del (1,2,3… 6) En conjunto es del 1 al 6 a) Probabilidad de que sea par Casos favorables=6 P (6 pares) = 6/36 = 0.166 ó 16.66% b) Probabilidad de que sea impar Casos favorables= 30
  13. 13. P (30 impar) = 30/36 = 0.8333 ó 83.33%c) Probabilidad de que sea primo= Casos favorables =15 P (15 primo)= 15/36 = 0.4166 ó 41.66%d) Probabilidad de que sea compuesto (no primo) Casos favorables_ 21 P (21 compuesto) = 21/36 = 0.5833 ó 58.33%e) Mayor a 6 Casos favorables =21 P (21 mayor a 6) = 21/36 = 0.5833 ó 58.33%f) Que sea compuesto y menor que 10 Casos favorables= 17 P (compuesto y menor que 6) =17/36 = 0.4722 ó 47.22%
  14. 14. Bibliografía:Murray y Spiegel, probabilidad y estadística, edición Mc Graw Hill

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