Distribuciones de
Probabilidad
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José Luis Cadmen Rivera
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¿Que es distribución de probabilidades?

DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

SON DISTRIBUCIONES TEORICAS
Y SE USAN PARA REPRE...
Tipos de distribución de probabilidades
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DISCRETAS

DISTRIBUCIONES CONTINUAS
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Variables Aleatorias
VARIABLE ALEATORIA
Es la variable que asume un valor numérico
único para cada uno de los resultados d...
Variables Aleatorias
Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un criterio o regla para darle un valor
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Variables Aleatorias
Una variable aleatoria discreta es aquella que
puede asumir una cantidad numerables de valores.-

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Variables Aleatorias
Una variable aleatoria continua es aquella
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aleatorias discretas
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de Probabilidad Acumulada, que simbolizamos...
Uso del valor esperado en la toma de decisiones
El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la te...
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decisiones
Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como aproximación ini...
Ejemplo del valor esperado en la toma de
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El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable, parece me...
Ejemplo del valor esperado en la toma de
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Para el proyecto Y, será:
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Conclusiones del problema
El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado menor
que el rendimiento esperado de Y.Obs...
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Distribucion de Probabilidades

  1. 1. Distribuciones de Probabilidad Jimmy Sánchez Ochoa José Luis Cadmen Rivera Berny Andrade Arturo
  2. 2. ¿Que es distribución de probabilidades? DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD SON DISTRIBUCIONES TEORICAS Y SE USAN PARA REPRESENTAR POBLACIONES
  3. 3. Tipos de distribución de probabilidades DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS BINOMIAL UNIFORME BINOMIAL ACUMULADA EXPONENCIAL HIPERGEOMETRICA NORMAL DE POISSON APROXIMACION A BINOMIAL Y POISSON DETERMINACION DEL VALOR X NORMAL ESTANDARIZADA
  4. 4. Variables Aleatorias VARIABLE ALEATORIA Es la variable que asume un valor numérico único para cada uno de los resultados de un experimento aleatorio.- Es importante distinguir entre una variable aleatoria y los valores posibles que puede tomar La simbolizamos con letra mayúscula y los valores que toma, con minúscula.Por ejemplo X, (x1, x2…….xn))
  5. 5. Variables Aleatorias Cuando la variable aleatoria no es un número, debemos fijar un criterio o regla para darle un valor numérico.Por ejemplo, si el experimento consiste en observar el nivel de instrucción de la población, podemos dar los valores siguientes: 1.- Nivel primario 2.- Nivel secundario 3.- Nivel técnico 4.- Nivel Universitario 5.- Otros estudios 0.- Sin estudios.- Esos números son los valores posible que toma la variable aleatoria en estudio. DISCRETAS LAS VARIABLES ALEATORIAS, PUEDEN SER CONTINUAS
  6. 6. Variables Aleatorias Una variable aleatoria discreta es aquella que puede asumir una cantidad numerables de valores.- EJEMPLOS: 1.- Infracciones diarias cometidas por los vehículos.2.- Nº de inasistencia de los obreros de la empresa.3.- Cantidad de hijos de familias de un barrio.4.- Cantidad de alumnos de una escuela.5.- El número de errores detectados en las cuentas de un comercio.6.- Número de clientes que llegan a la caja de un banco.7.- Número de reclamaciones en una póliza de seguro médico.8.- Número de artículos defectuosos en un gran envío.9.- Números de autos vendidos por una agencia en el mes.10.- Etc.-
  7. 7. Variables Aleatorias Una variable aleatoria continua es aquella que puede asumir una cantidad innumerable de valores dentro de ciertos límites.EJEMPLOS: 1.- Peso de las personas.2.- Velocidad de un auto.3.- Horas de demora en cumplir una tarea.4.- Puntajes de un test.5.- Sueldo de los empleados.6.- Variación de precio de las acciones ordinarias de IBM en un mes.7.- Cantidad de petróleo importado en un mes.8.- Etc.-
  8. 8. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Una distribución de probabilidad para una variable aleatoria discreta es una lista mutuamente excluyente de todos los posibles resultados numéricos de un experimento aleatorio con las probabilidades asociadas de cada resultado.Esta representación puede ser algebraica, gráfica o tabular.- Supongamos que X es una variable aleatoria discreta y que x es uno de sus posibles valores.- La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x se representa como P (X =x).- Para las variables aleatorias discretas, un procedimiento sencillo consiste en confeccionar una lista con la probabilidad de cada uno de los posibles resultados.Definición: La función de probabilidad P (X = x), de una variable aleatoria discreta X representa la probabilidad de que X tome el valor x, como función de x: p (xi) = P (X = x) todos los posibles valores de x.- donde la función se evalúa en
  9. 9. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Cuando la variable aleatoria es discreta esta función de probabilidad también se la conoce como función de cuantía.- Veamos un ejemplo: Supongamos que una empresa que se dedica a las ventas de autos, durante los últimos 300 días de ventas, las ventas muestran que en 54 días no se vendieron autos, en 117 se vendió 1 auto, en 72 días se vendieron 2 autos, en 42 se vendieron 3 autos, en 12 días se vendieron 4 autos y en 3 días se vendieron 5 automóviles.Supongamos además, que el experimento consiste en seleccionar un día de operaciones de ventas y definimos la variable aleatoria de interés como X = número de automóviles vendidos en un día.Si presentamos la distribución de probabilidad de esta variable aleatoria será:
  10. 10. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas X fi P (X = x) 0 54 0,18 1 117 0,39 2 72 0,24 3 42 0,14 4 12 0,04 5 3 0,01 300 Una ventaja importante de definir una variable aleatoria y su distribución de probabilidad es que una vez conocida esa distribución es fácil determinar la probabilidad de varios eventos que pueden interesar a quien toma decisiones.Por ejemplo, si consultamos la tabla observamos que la cantidad más probable de autos que se venden en 1 día es del 39 %.- 1,000 También observamos que hay una probabilidad del 18 % de que se vendan 3 o 4 automóviles en un día y así sucesivamente, esta información es muy útil para quien toma decisiones sobre las ventas de automóviles.-
  11. 11. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas Al asignar una función de probabilidad para cualquier variable discreta, se deben satisfacer las dos condiciones siguientes: p (xi) ≥ 0 ∑ p (xi) = 1 Si queremos mostrar gráficamente la distribución de probabilidad de ventas de autos será: P (x) 0,20 0,10 Ventas de auto por día 0 1 2 3 4 5
  12. 12. Distribuciones de probabilidad para variables aleatorias discretas La Función de Probabilidad Acumulada, que simbolizamos con F una variable aleatoria X representa la probabilidad de que decir: F(x) P (X x) X tome un valor inferior a (x), de x, es p (x ) i X x Donde la notación indica que la suma es sobre todos los valores posibles de X que son menores o iguales a x.En nuestro ejemplo, de la empresa que vende automóviles, ¿Cuál es la probabilidad de vender menos de 2 automóviles?.- P (X < 2) = P (X ≤ 1) = P (x=0) + P (x=1) = = 0,18 + 0,39 = 0,57  57%
  13. 13. Uso del valor esperado en la toma de decisiones El valor esperado o media de una variable aleatoria es una medida de la tendencia central de esa variable.- La ecuación matemática del valor esperado de una variable aleatoria discreta x es: E (x) = µ = ∑ xi * p (xi) X fi P (X = x) 0 54 0,18 0 1 117 0,39 0,39 2 72 0,24 0,48 3 42 0,14 0,42 4 12 0,04 0,16 5 3 0,01 0,05 1,000 1,50 300 x * p (x) Es un promedio ponderado de todos los resultados posibles, donde las ponderaciones, son las probabilidades asociadas con cada uno de los resultados.- E (X) = µ = 1,5 automóviles La empresa puede esperar, a la larga, la venta de un promedio de 1,5 automóviles por día.-
  14. 14. Ejemplo del valor esperado en la toma de decisiones Una empresa considera dos inversiones posibles.- Como aproximación inicial asigna probabilidades subjetivas a cada uno de los siguientes eventos: perder un 20% por cada dólar invertido, perder un 10% , ni ganar ni perder, ganar un 10% y ganar un 20%.Sea X el rendimiento por cada dólar invertido en el primer proyecto e Y el rendimiento por cada dólar invertido en el segundo proyecto.Las probabilidades asignadas son: X -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20 p (x) 0,10 0,20 0,40 0,20 0,10 Y -0,20 -0,10 0,0 +0,10 +0,20 p (y) 0,01 0,04 0,10 0,50 0,35 Calcule los rendimientos esperados por cada dólar invertido en cada proyecto.- Cuales son los valores de dispersión.- ¿Cuál proyecto le parece a usted que representa la mejor inversión?.-
  15. 15. Ejemplo del valor esperado en la toma de decisiones El proyecto X, de acuerdo con cualquier estándar razonable, parece menos atractivo.Resulta igualmente posible perder un 20% que ganarlo, o ganar un 10% que perderlo.- El proyecto Y ofrece mayores posibilidades de ganar un 10 o un 20% y relativamente pocas de perder.- Los cálculos serán: X p (x) x * P (x) x² * p (x) -0,20 0,10 - 0,02 0,004 -0,10 0,20 - 0,02 0,002 0,00 0,40 0,00 0,000 +0,10 0,20 0.02 0,002 +0,20 0,10 0,02 0,004 0,00 E (X) = 0,0 σ² =0,012 0,012 σ = 0,11
  16. 16. Ejemplo del valor esperado en la toma de decisiones Para el proyecto Y, será: Y p (y) y * P (y) y² * p (y) - 0,20 0,01 - 0,002 0,0004 - 0,10 0,04 - 0,004 0.0004 0,00 0,10 0,0 0,0 + 0,10 0,50 0,050 0,005 + 0,20 0,35 0,070 0,014 0,114 E (X) = 0,114 σ² = 0,0068 0,0198 σ = 0,082
  17. 17. Conclusiones del problema El rendimiento esperado de X es como hemos anticipado menor que el rendimiento esperado de Y.Observando las desviaciones estándar, la distribución de X tiene una mayor variabilidad.- El grueso de la distribución de Y se concentra en los valores 0,10 y 0,20, mientras que las probabilidades de X están de alguna manera dispersas entre todos los valores posibles.- Con frecuencia se toma a la variancia del rendimiento como una medida del riesgo, siendo este mayor cuanto mayor es la variancia.En este ejemplo, la inversión Y tiene un rendimiento más alto y un riego menor.-
  18. 18. Tipos de distribución de probabilidades DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISTRIBUCIONES DISCRETAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS BINOMIAL UNIFORME BINOMIAL ACUMULADA EXPONENCIAL HIPERGEOMETRICA NORMAL DE POISSON APROXIMACION A BINOMIAL Y POISSON DETERMINACION DEL VALOR X NORMAL ESTANDARIZADA
  19. 19. Gracias
  20. 20. Jimmy Sánchez Ochoa

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