Matemática 2007

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO – CAMPUS VII
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS CONCRETOS NO
ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
Por: Adriana Oliveira P. de Carvalho
Senhor do Bonfim – Bahia.
2007

2. Adriana Oliveira P. de Carvalho
A UTILIZAÇÃO DE MATERIAIS CONCRETOS NO
ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
Trabalho de conclusão de curso
apresentado ao Departamento de
Educação – Campus VII da
Universidade do Estado da
Bahia, como parte das
exigências da disciplina
Monografia.
CONCEITO: _____________________________________________________
BANCA AVALIADORA
Prof. (a) 1: ________________________________
Prof. (a) 2: ________________________________
Prof. (a) 3: ________________________________
Orientador: _________________________________
Profº. Geraldo Caetano de Souza Filho
Senhor do Bonfim – Bahia
2007

3. Aos meus Pais a quem amo muito, e sempre estiveram ao meu lado, pelo incentivo
constante na minha formação humana.
A minha madrinha Maria Ley, que não se encontra mais presente em nosso meio, pela
insistência para que eu fizesse o curso e que muito me ajudou na vida.
A minha filhinha Layla Daniele: minha fonte de inspiração.
Às minhas amigas Alcione Soares, Elisângela Soares, Fátima Soares e Sandra
Gonçalves, minha admiração e carinho.
Às minhas amigas Aloysia Unfried e Maria Aparecida pelo companheirismo durante
todo o curso.
Ao professor Geraldo Caetano o qual eu admiro muito.
À professora Fabíola que não faz mais parte do grupo de professores do Campus VII,
minha admiração e carinho.

4. A Deus, pelas oportunidades e forças que me deu, as quais me permitiram chegar até
aqui.
Ao professor Geraldo Caetano, pela paciência e palavras de incentivo durante todo o
tempo de realização deste trabalho.
Aos professores do curso de Matemática desta Universidade, pelo incentivo em minha
formação acadêmica.
À professora Márcia do Colégio Estadual e os alunos da turma do 3º ano A que muito
me ajudaram na realização desta pesquisa.
Aos professores Wagner Ferreira e Maria Celeste, que gentilmente aceitaram fazer
parte da banca examinadora.
Às colegas Valéria Ribeiro, Sayonara Vanessa, Adriana Miranda e Maria Lúcia pela
ajuda que me proporcionaram.
Enfim, a todos que contribuíram direta e indiretamente para a realização deste
trabalho.

5. “Não há ramo da matemática, por mais abstrato que seja, que
não possa um dia vir a ser aplicado aos fenômenos do mundo
real”.
Lobachevsky

6. RESUMO
A presente monografia intitulada: A Utilização de Materiais Concretos no
Estudo de Análise Combinatória aborda questões relacionadas à educação, o
professor e suas práticas pedagógicas, e o processo de ensino e aprendizagem em
matemática, enfatizando a importância da utilização de materiais concretos no
ensino da matemática e, em particular, no conteúdo de Análise Combinatória. A
mesma teve como objetivo principal identificar o significado que os educandos
atribuem à matemática quando esta é utilizada em situações que vivenciamos no
dia-a-dia. A fim de alcançar tal objetivo foi realizada uma pesquisa com estudantes
da 3ª série do Ensino Médio do Colégio Estadual de Andorinha, cujo resultado
mostra a necessidade de uma proposta de educação para com a disciplina de
matemática voltada para a compreensão de que o conhecimento é resultado de uma
construção sistemática, onde o aluno interage com o meio, transformando suas
ações e relações, e os mesmos são capazes de resolver com maior facilidade
situações-problema as quais requerem conhecimentos próprios, não sendo
necessária a aplicação direta de fórmulas.

7. SUMMARY
The present intitled monograph: The Use of Concrete Materials in the Study of
Combinatória Analysis approaches questions related to the education, the
pedagogical practical professor and its, and the process of education and learning in
mathematics, emphasizing the importance of the use of concrete materials in the
education of the mathematics and, in particular, the content of Combinatória
Analysis. The same one had as objective main to identify the meaning that the
educandos attribute to the mathematics when this it is used in situations that we live
deeply in day-by-day. In order to reach such objective was carried through research
with students of 3ª series of Ensino Average of College State of Swallow, whose
resulted it shows the necessity of a proposal of mathematical education come back
toward the understanding of that the knowledge of this disciplines is resulted of a
systematic construction, where the pupil interacts with the way, transforming its
action and relations, and the same ones are capable to decide with bigger easiness
situation-problem which require proper knowledge, not being necessary the direct
formula application.

8. SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 09
CAPÍTULO I – CONSTRUINDO CONCEITOS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA
A PARTIR DO CONCRETO
1.1 Educação: um meio de descobrir as habilidades dos educandos....................... 11
1.2 O Ensino – Aprendizagem de Matemática ......................................................... 13
1.3 O professor de matemática e sua prática pedagógica ....................................... 15
1.4 A importância do desenvolvimento de um trabalho a partir da utilização
de materiais concretos ............................................................................................. 17
CAPÍTULO II - A IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
RELACIONADO AO COTIDIANO
2.1 Componentes da Análise Combinatória ............................................................. 22
2.1.1 Princípio Fundamental da Contagem .............................................................. 22
2.1.2 Fatorial ............................................................................................................. 23
2.1.3 Permutação Simples ....................................................................................... 24
2.1.4 Arranjos Simples ..............................................................................................24
2.1.5 Combinação Simples ....................................................................................... 25
2.1.6 Arranjos com repetição .................................................................................... 26
CAPÍTULO III - A PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
3.1 Pesquisa Qualitativa ........................................................................................... 29
CAPÍTULO IV – METODOLOGIA ............................................................................ 31
CAPÍTULO V - ANÁLISE DE DADOS .....................................................................34
CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................... 39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................
APÊNDICE

9. INTRODUÇÃO
As necessidades cotidianas fazem com que os alunos desenvolvam
capacidades de natureza prática para lidar com a atividade matemática, o
que lhes permite reconhecer problemas, buscar e selecionar informações,
tomar decisões. Quando essa capacidade é potencializada pela escola, a
aprendizagem apresenta melhor resultado. (PCN’s, 1998, p.37).
A presente monografia é resultado de uma pesquisa fundamentada no tema:
A Utilização de Materiais Concretos no Estudo de Análise Combinatória. O referido
tema foi escolhido pela vontade e curiosidade em saber como os alunos enfrentam
os problemas matemáticos quando não é exigida pelo professor a técnica para
solucioná-los.
O objeto de estudo fora determinado ao perceber que a disciplina Matemática
ainda é considerada como uma ciência desligada da realidade, e ensinada
desvinculada dos conhecimentos dos educandos, o que faz aumentar ainda mais a
falta de interesse por parte dos mesmos com relação a essa disciplina, e os autos
índices de reprovação escolar. A escolha pelo conteúdo de Análise Combinatória
tem como fundamento a relação desse conteúdo com evento do cotidiano.
O objetivo principal deste trabalho é identificar o valor dado pelos educandos
com relação ao conhecimento adquirido na sala de aula através de atividades
construtivas, além de observar a postura dos sujeitos pesquisados frente ao
processo de ensino-aprendizagem quando o mesmo está voltado para a realidade
em que vivem, e analisar as conseqüências dessa metodologia na aquisição de
algoritmos matemáticos e resolução de situações-problemas.
O Capítulo I, intitulado Construindo conceitos sobre Análise Combinatória a
partir do concreto, problematiza e trata de aspectos relacionados à importância do
processo educativo, além de fazer uma breve análise sobre o professor e suas
práticas pedagógicas, oferecendo-lhes como opção para suas aulas, em especial as
de matemática, a utilização de materiais concretos, mostrando as vantagens de um
trabalho voltado para a realidade dos educandos.
O Capítulo II faz um aprofundamento teórico sobre o conteúdo de Análise
Combinatória, onde são explanadas as definições e algoritmos de alguns
componentes, tais como: permutação, arranjo e combinação. A análise da

10. importância do referido conteúdo nas atividades práticas habituais dos educandos é
outro aspecto relatado nesse capítulo.
O Capítulo III aborda a importância da pesquisa na educação matemática, em
caráter especial, à pesquisa qualitativa, por ser o método adotado na realização
deste trabalho.
O Capítulo IV apresenta os procedimentos metodológicos adotados durante
esta pesquisa para alcançar os objetivos propostos. Neste capítulo estão todas as
etapas promovidas para a construção do presente trabalho.
O Capítulo V relata os dados obtidos durante o desenvolvimento dos
procedimentos metodológicos, com uma análise detalhada de cada etapa
empregada, onde se menciona as falas de alguns sujeitos pesquisados.
As Considerações Finais contém a conclusão de todos os aspectos
observados e citados neste trabalho. Retrata-se a grande importância do papel dos
educadores no sentido de apresentar a seus educandos uma matemática
essencialmente criativa, ao proporcionar-lhes o interesse para a investigação do
conhecimento a ser adquirido.
Por fim, as Referências Bibliográficas e os Apêndices se fazem presente para
explicitar, respectivamente, as fontes de pesquisa consultadas e as partes
extensivas do texto usadas para comprovação, fundamentação ou ilustração, sendo
destacadas para impedir descontinuidade na seqüência lógica das idéias.

11. CAPÍTULO I
CONSTRUINDO CONCEITOS SOBRE ANÁLISE COMBINATÓRIA A PARTIR DO
CONCRETO
1.1 Educação: um meio de descobrir as habilidades dos educandos.
Conforme a Lei de Diretrizes e Bases (LDB) (1996), a educação é algo que o
indivíduo pode adquirir a todo e qualquer momento, seja no meio social ou familiar e
a escola deve relevar as experiências vividas por cada um, criando condições para a
sua qualificação profissional e exercício da cidadania.
As orientações advindas da nova LDB colocam as necessidades de
inovações no setor educacional, procurando dar maior ênfase e total liberdade no
desenvolvimento das atividades realizadas pelo ser humano no que diz respeito ao
trabalho e às suas práticas socais.
Ainda, segundo a LDB (1996, p.12): “o ensino será ministrado com base na
liberdade de aprender, ensinar, pesquisar e divulgar a cultura, o pensamento, a arte
e o saber”.
Uma orientação importante que se coloca em questão é o fato de que ensino
e conhecimentos não podem ser vistos como algo pronto e acabado, sem
referências aos conhecimentos dos alunos, pois a todo o momento estamos
aprendendo, seja dentro ou fora da escola.
Para ganhar a vida, as crianças das camadas mais pobres da população
devem, desde bem cedo, engajar-se nas atividades do setor informal da
economia. Esta participação das crianças ocorre de diversas formas –
vendendo doces, pirulitos, picolés, etc. na rua, (...) em suas atividades, as
crianças resolvem inúmeros problemas de aritmética e certamente
aprendem muito nessas situações (SCHLIEMANN, 2003, p. 45).
Notamos que em situações da vida real as crianças conseguem assimilar o
conhecimento de maneira mais rápida, sendo o maior desafio hoje a reestruturação
da educação para proporcionar a todos os educandos oportunidades de aprenderem
significativamente, sem medo de serem avaliados, podendo associar aquilo que é
vivenciado no dia-a-dia com os conteúdos escolares.

12. Ao se introduzir o sistema de massa em educação o aluno, é tratado como
um automóvel que deverá sair pronto no final da esteira de montagem, e
esse é o objetivo do processo; ele vai sendo conduzido e, em cada
“estação”, que em educação quer dizer em cada série, são montadas certas
“partes”, isto é, o motor, carroceria, rodas, que correspondem na educação
a conteúdos programados; para isso o montador foi treinado para fazer
aquilo no tempo determinado, isto é, seguindo métodos preestabelecidos
(D’AMBROSIO, 1996, p.67).
Dessa forma, a escola perde o seu papel de formadora de cidadãos críticos e
autônomos, passando apenas a transmitir conhecimentos já construídos, deixando
de ser o preparo para o exercício da cidadania e se transformando em um modelo
de produção.
Uma educação nesse modelo não merece ser chamada como tal. Nada
mais é que um treinamento de indivíduos para executar tarefas específicas.
Os objetivos são intelectualmente muito pobres. Indivíduos passando por
isso talvez sejam capacitados como mão-de-obra para a execução de
trabalhos de rotina. (D’AMBROSIO, 1996, p.67).
O ensino está sendo visto como algo exclusivamente baseado na
memorização e aplicação de conhecimentos. Os alunos não passam a refletir sobre
os processos pelos quais os conceitos educacionais foram elaborados e
desenvolvidos. “A educação é fator de suma importância na passagem das formas
mais primitivas de consciência para a consciência crítica, que por sua vez, não é um
produto acabado, mas um vir-a-ser contínuo” (MIZUKAMI, 1986, p. 95).
O sistema educacional deverá adquirir um caráter amplo, não apenas dentro
dos limites e padrões de educação convencional, mas ter como finalidade, a
promoção de mudanças desejáveis e relativamente permanentes nos indivíduos, e
que estas venham a favorecer o desenvolvimento integral do homem e da
sociedade. A escola deve ser um espaço de crescimento tanto de educadores como
de educandos, para tornar-se diferente dos modelos atuais.

13. 1.2 O Ensino – Aprendizagem de Matemática
Educar é a principal função da escola, mas as variações do modo de
ensinar determinam diferenças nos resultados obtidos. Até a pouco tempo,
ensinar era sinônimo de transmitir informações, mas as idéias pedagógicas
mudaram. Apesar disso, muitos profissionais da educação, ainda, vêem
com bons olhos o ensino tradicional. Eles elogiam o bom nível do trabalho
escolar feito no passado e rejeitam as mudanças; duvidam da validade da
atuação escolar e consideram os professores pouco exigentes. (BICUDO,
1999, p. 154).
O ensino tradicional é prevalecente até os dias atuais. Mesmo com as
constantes mudanças ocorridas, não tem havido uma preocupação para que o aluno
possa sentir e perceber o impacto dessas mudanças, através das interações entre o
que é produzido e o processo de discussão das vivências do cotidiano, permitindo
ao indivíduo ser agente dotado de sólidos referenciais para uma ação que seja
transformadora.
A Matemática da Escola Primária à Universidade, sempre foi ensinada sem
levar em consideração quem pretendia aprender: o aluno. Nunca houve um
contato entre Escola e estudantes visando obter uma aproximação, um
conhecimento de como eram os alunos, como viam ou estavam entendendo
o conhecimento matemático que lhes era ensinado e quais suas
necessidades. (BICUDO, s.d, p. 14).
Entende-se que a escola se preocupa apenas em transmitir os conceitos
matemáticos de forma tradicional, realizando-o sem nenhuma referência à história
de sua construção, sem associá-lo à sua importância na vida cotidiana.
Medeiros apud Bicudo (s.d, p. 20) ainda enfatiza que: “No ensino tradicional
da Matemática, não tem havido, em geral, um respeito pela criatividade do aluno.”
Os alunos são tratados como se fossem vazios, os professores apresentam-se como
os únicos a deter o conhecimento encontrando a resolução para todas as questões
matemáticas. A criatividade dos alunos é tratada como se não existisse.
Ter uma idéia, embora imprecisa e incompleta, sobre porque e quando se
resolveu levar o ensino da matemática à importância que tem hoje são
elementos fundamentais para se fazer qualquer proposta de inovação em
educação matemática e educação em geral. (D’AMBROSIO, 1996, p. 29).
Percebemos a necessidade de repensar a educação matemática, no sentido
de uma orientação pedagógica destinada a conduzir o aluno para uma assimilação
compreensiva dos conceitos fundamentais, e de uma contextualização da
aprendizagem da história daquilo que se está estudando.

14. A possibilidade de inovação no processo educativo poderá ganhar expressão
através da desmistificação da idéia de que passar conteúdo para o aluno é o único
papel da escola, e no caso da aprendizagem matemática, isso só o conduz a uma
ação mecânica e enfadonha, voltada inteiramente para a memorização.
Atacar diretamente a estrutura de todo o ensino, em particular a estrutura do
ensino de matemática, mudando completamente a ênfase do conteúdo e da
quantidade de conhecimentos que a criança adquira, para uma ênfase na
metodologia que desenvolva atitude, que desenvolva capacidade de
matemizar situações reais, que desenvolva capacidade de criar teorias
adequadas para as situações mais diversas, e na metodologia que permita
o recolhimento de informações onde ela esteja, metodologia que permita
identificar o tipo de informação adequada para uma certa situação e
condições para que sejam encontradas, em qualquer nível, os conteúdos e
métodos adequados. (D’AMBROSIO, 1986, p. 14 e 15).
Coloca-se em questão a forma como se vem trabalhando os conteúdos
escolares, e em particular os conteúdos matemáticos, não levando em consideração
o que é vivenciado pelos educandos. As metodologias utilizadas não proporcionam
ao aluno um desenvolvimento crítico e um raciocínio aplicável ao estudo de qualquer
assunto ou temática. A construção do conhecimento passa a ser apenas o acúmulo
de idéias não compreendidas.
Tradicionalmente, o ensino de matemática é feito pelo acúmulo de
conteúdo. O que se faz é acumular conteúdos e um jovem que entra num 1º
ano universitário faz disciplinas que não diferem essencialmente do que se
fazia há cem anos atrás. (D’AMBROSIO, 1986, p.22).
No ensino tradicional os alunos aprendem desde cedo a ficar calados e
somente prestar atenção naquilo que é transmitido pelo educador, e este, por sua
vez, passa a aplicar os conteúdos do mesmo modo que outros o fizeram, sem levar
em consideração que um ensino de fácil compreensão e menos formal permite ao
educando objetivos mais adequados à realidade na qual está inserido.
Na maioria das vezes, subestimam-se os conceitos desenvolvidos no
decorrer das vivências práticas dos alunos, de suas interações sociais
imediatas, e parte-se para um tratamento escolar, de forma esquemática,
privando os alunos da riqueza de conteúdos proveniente da experiência
pessoal. (PCN’s, 1998, p.23).
Conhecer outros conteúdos que não possuam uma ligação direta com a
prática também é importante. Mas muitas vezes eles são trabalhados de forma
totalmente isolada e num único momento, como se a sua utilização após a
realização de uma prova ou teste não tivesse mais nenhuma importância. Com isso
deixa-se de construir uma organização de idéias que evoluem e se complementam,

15. sendo estas pressupostos básicos para um processo de aquisição de novos
conhecimentos, pois não é possível construir aquilo que já está pronto. “A
matemática está presente na vida de todas as pessoas, em situações em que é
preciso, por exemplo, quantificar, calcular, localizar um objeto no espaço, ler gráficos
e mapas, fazer previsões” (PCN’s, 1998 p.59).
Percebemos a fundamental importância da escola em ensinar e organizar a
disciplina de matemática, estando ela relacionada ao mundo do trabalho, afim de
que os educadores e educandos possam entender a sociedade em que estão
inseridos como um processo permanente de reconstrução humana.
Concordamos que a aprendizagem deve sempre desenvolver competências e
habilidades. É preciso repensar a formação a qual recebemos e a que queremos
passar para nossos alunos:
Em nosso país o ensino de matemática ainda é marcado pelos altos índices
de retenção, pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva
preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos sem
compreensão. (PCN’s, 1998, p.19).
Notamos a necessidade de uma mudança na concepção de ensino e
aprendizagem, pois uma escola preocupada com a melhoria do ensino de seus
alunos estará sempre apresentando ações voltadas para a concretização da
transformação social.
1.3 O professor de matemática e sua prática pedagógica
A prática de ensino em geral é uma ação pedagógica que visa o
aprimoramento, mediante uma multiplicidade de enfoques, da ação
educativa exercida no sistema educacional de maneira mais direta e
característica, qual seja a forma por excelência dessa ação, isto é, o
trabalho na sala de aula. (D’AMBROSIO, 1986, p.37).
Entende-se que uma nova metodologia adotada para se trabalhar
determinados conteúdos curriculares certamente atingirá novos objetivos, podendo
levar a uma análise mais séria e profunda de conteúdos tradicionalistas. O professor
deverá aprimorar-se, visando um bom desempenho de seus alunos, e estes
passarão a compreender e descobrir uma relação da teoria com a prática. Assim o
ensino será profundamente modificado, dando uma elevada importância aos seus

16. resultados em sala de aula. “Naturalmente, o valor da teoria se revela no momento
em que é transformada em prática” (D’AMBROSIO, 1986, p.43).
Dificilmente poderá a prática pedagógica atingir a eficiência desejada se, ao
considerar ou ao iniciar uma aula e ao prepará-la, o professor não fizer um
exame do objetivo que pretende atingir, durante àquela hora em que os
alunos estão a ele confiados, e qual o método que será empregado para
conduzir a prática pedagógica nesses cinqüenta minutos de interação
professor-classe. (D’AMBROSIO, 1986, p.46).
O professor deve estar atento às reais necessidades de aprendizagem de
seus alunos, ouvindo-os e levando em consideração as suas expectativas, buscando
nos conteúdos relações que estejam interligados à sua realidade para que sejam
compreendidos e assimilados com maior facilidade.
Ser professor de matemática é, antes de tudo, ser professor. Ser professor
é preocupar-se com o ser do aluno, tentando auxiliá-lo a conhecer algo que
ele, professor, já conhece e que julga importante que o aluno venha
conhecer, também. (BICUDO, s.d, p. 48).
Observa-se a importância do papel do educador enquanto agente de
transformação social, levando em consideração que os educandos são antes de
tudo seres humanos dotados de sentimentos e anseios. Portanto é de suma
importância transformar a sala de aula em um espaço agradável de encontros entre
educador e educandos, para que haja uma troca de conhecimentos mútuos, a fim de
buscar uma relação da escola com a sociedade, visando um bom entendimento de
educação. ”Ensinar está ligado a aprender, a conhecer, na medida em que se
pretende que o que é ensinado seja aprendido. Mas ensinar e aprender são atos
diferentes, realizado para pessoas diferentes e um não é garantia do outro”
(BICUDO, s.d, pág. 50).
O conhecimento adquirido por uma pessoa, não é necessariamente o fruto do
ensino. Ensinar algo a alguém não é garantia que este venha conhecer,
compreender e aplicar o que lhe foi transmitido.
Um dos pressupostos para a realização do trabalho escolar é a expectativa
de que os seus resultados extrapolem a sala de aula: sejam aplicados vida
afora, em benefício do indivíduo em seus novos estudos ou atividades
práticas, e da sociedade, como base para o desenvolvimento científico e
tecnológico do país. (BICUDO, 1999, p. 154).

17. Entende-se que para a aplicação da aprendizagem adquirida em soluções de
problemas da vida real como em outros aprendizados, é necessário o
desenvolvimento e a compreensão da modalidade de ensino.
1.4 A importância do desenvolvimento de um trabalho a partir da utilização de
materiais concretos.
“Toda a teorização se dá em condições ideais e somente na prática serão
notados e colocados em evidência certos pressupostos que não podem ser
identificados apenas teoricamente” (D’AMBROSIO, 1996, p.79).
É de fundamental importância para o aluno que o professor venha em suas
aulas relacionar os conteúdos ao contexto cultural, preparando-os para o exercício
da cidadania, levando em consideração as experiências, expectativas e criatividade
dos aprendizes, para assim, o ensino tornar-se prazeroso e de fácil acesso e
compreensão.
Deve-se assumir um compromisso revolucionário no sentido de trabalhar
buscando a formação de cidadãos atuantes na sociedade, de uma forma crítica, não
deixando que a escola seja vista como somente um estabelecimento de regras e
limites, mas sim, como um espaço onde todos tenham oportunidades de
aprenderem juntos. D’Ambrosio (1996) diz ser fundamental na preparação para a
cidadania o domínio de um conteúdo interligado ao mundo atual.
Há a necessidade de relacionarmos as experiências de vida dos alunos, os
conhecimentos do senso comum com que chegam às escolas ao conhecimento
sistematizado, de modo que os mesmos possam perceber a relação do mundo com
conteúdos trabalhados, pois a teoria por si só não é compreendida, na maioria das
vezes. Se os professores, ao iniciarem suas aulas, partem de um fato real
vivenciado no decorrer de nossas vidas, certamente será bem mais fácil a
compreensão do conteúdo a ser trabalhado teoricamente, pois os alunos poderão
fazer um elo de ligação entre ambos. “A educação atua sobre a vida e o crescimento
de uma sociedade, tanto no desenvolvimento de suas forças produtivas quanto de
seus valores culturais” (BARALDI, 1999, p.33).

18. Não existe uma única forma de educação, e o aprendizado se dá de várias
maneiras: em casa, na rua e no convívio social, sem que seja necessário ir à escola.
A educação pode ser adquirida através do ensino, levando-se em consideração os
conhecimentos anteriores dos alunos, para que resultem numa aprendizagem
significativa. “Ainda que a transmissão do conhecimento seja um objetivo a ser
atingido, como professores, não devemos nos contentar em considerá-lo como único
resultado final do ensino” (BARALDI, 1999, p.50).
Ao aluno deve ser dado o direito de aprender. E os professores devem passar
para seus educandos não uma aprendizagem mecânica e repetitiva, de fazer sem
saber o que faz e por que o faz, muito menos um conhecimento o qual se esvazia
em brincadeiras, mas de forma a ser significativo, onde eles participem raciocinando,
compreendendo, reelaborando o saber historicamente produzido, superando sua
visão ingênua, fragmentada e parcial da realidade. “...na aprendizagem por
descoberta o conteúdo principal a ser aprendido é descoberto pelo aprendiz”
(MOREIRA, 2001, p. 19).
O ensino-aprendizagem de um tópico matemático deve sempre começar
com uma situação-problema que expressa aspectos-chave desse tópico e
técnicas Matemáticas devem ser desenvolvidas na busca de respostas
razoáveis à situação-problema dada. (BICUDO, 2005, p.222).
Fica bem mais interessante equipar as aulas de matemáticas com todo um
conjunto de materiais manipuláveis onde os educandos juntamente com o professor
possam confeccionar tais objetos de acordo com os conceitos matemáticos.
Muito frequentemente os professores ensinam as crianças a contar, ler e
escrever numerais. É bom para a criança aprender a contar, ler e escrever
numerais, mas é muito importante que ela construa a estrutura mental de
número. Se a criança tiver construído esta estrutura terá maior facilidade em
assimilar os signos a ela. Se não a construiu, toda a contagem, leitura e
escrita de numerais será feita apenas de memória (decorando). (KAMII,
1990, p.40).
O professor precisa esquecer a idéia de que seu único papel é apenas levar
ao conhecimento de seus educandos as respostas desejáveis, e deixar os
aprendizes encontrarem espontaneamente a melhor maneira de obter os resultados,
sem depender de alguém que lhe estabeleça a forma de como deverá fazer, a fim de
alcançar objetivos que os levem a compreender com maior facilidade o foco desse
ensino, sem precisar ficar decorando respostas.

19. Uma criança educada numa família autoritária tem muito menos
oportunidades de desenvolver suas habilidades de raciocinar logicamente.
Tal criança é forçada a obedecer em vez de ser encorajada a inventar
argumentos que façam sentido e sejam convincentes. (KAMII, 1990, p.47).
Nesta perspectiva, torna-se necessário que a escola venha proporcionar a
seus educandos oportunidades de aprendizagens visando o desenvolvimento de
capacidades que os habilitem a refletir criticamente e autonomamente, sem
imposições feitas pelos professores. Os alunos passarão a construir seus próprios
conhecimentos, facilitando o acesso à maneira de encarar os conteúdos
disciplinares, tornando-os mais conscientes da importância de sua formação
humana.
“É contrário ao que sabemos sobre a maneira de pensar da criança,
começarmos com cálculo sem conteúdo e só depois fazer aplicações daquele
conhecimento ao mundo real” (KAMII, 1988, p.168). Torna-se mais acessível à
compreensão dos educandos que antes de ser iniciado um conteúdo matemático
com suas definições e fórmulas de aplicações, este seja relacionado primeiramente
às situações do mundo real, pois à medida que as definições forem introduzidas
estes já possuirão um conhecimento próprio daquilo que se quer ensinar. “As
situações da vida diária apresentam oportunidades para as crianças estruturarem e
definirem problemas dentro das ambigüidades do mundo real” (KAMII, 1988, p. 169).
Oportunidades como estas, em que os educandos passam a buscar maneiras
de solucionar diversos problemas propostos por seus professores em suas aulas,
são perdidas no momento em que os educadores acreditam que a melhor forma de
ensinar é passando conteúdos e explicando as formas de como resolver as
questões.
A escola precisa mudar seu ponto de partida, oferecendo um novo modelo de
educação. Tornam-se cada vez mais necessárias motivações para os alunos, no
sentido de incentivá-los à pesquisa da matemática, podendo assim levar a
descoberta da criação de suas teorias e práticas.
Na disciplina de matemática como em qualquer outra disciplina escolar, o
envolvimento ativo do aluno é uma condição fundamental da aprendizagem.
O aluno aprende quando mobiliza os seus recursos cognitivos e afetivos
com vista a atingir um objetivo. (PONTE, 2005, p. 23).

20. Percebe-se a fundamental importância do desenvolvimento de um trabalho
com a participação dos alunos, para que os mesmos possam compreender com
maior facilidade aquilo que é transmitido pelo educador. “Ao requerer a participação
do aluno na formulação das questões a estudar, essa atividade tende a favorecer o
seu envolvimento na aprendizagem” (PONTE, 2005, p. 23).
“Saber matemática é uma necessidade imperativa numa sociedade cada vez
mais complexa e tecnológica, em que se torna difícil encontrar setores em que esta
disciplina não esteja presente” (TEBEROSKY, 2002, p. 257). A disciplina de
matemática é de fundamental importância na formação de indivíduos. Existe a partir
daí uma grande necessidade de unir o saber escolar ao saber construído
cotidianamente. Mesmo estando presente em diversas situações do nosso dia-a-dia,
a maioria das pessoas não consegue enxergar essa ligação. Baseando-se nas
novas propostas pedagógicas é necessário que os educadores produzam um saber
matemático que favoreça a compreensão de seus aprendizes.
Embora seja verdade que podem existir tendências ou estilos cognitivos
mais propícios ao raciocínio abstrato, assim como patologias especificas
que dificultam o raciocínio matemático, a maior parte das pessoas pode
aprender matemática sem nenhuma dificuldade, desde que tal
aprendizagem esteja vinculada a contextos e situações que sejam cultural e
socialmente significativos. (TEBEROSKY, 2002, p. 275).
Dar valor ao conhecimento construído ao longo de nossas vivências e passar
inserir nas aulas a utilização de materiais concretos, possibilita uma interação maior
dos estudantes com o professor bem como com os conteúdos aplicados.
Segundo SCHLIEMANN (2003) a aprendizagem matemática em sala de aula
é um momento interativo entre a matemática formal e a matemática humana,
devendo a matemática enquanto atividade humana ser uma forma de associarmos
os objetos com os acontecimentos do mundo.
De fato, não se deve apresentar a matemática como uma disciplina fechada,
abstrata ou desligada da realidade. O professor de matemática deve proporcionar ao
aluno o desenvolvimento de hábitos de investigações, para que ele possa descobrir
por si só o que lhe é ensinado.

21. CAPÍTULO II
A IMPORTÂNCIA DO ESTUDO DE ANÁLISE COMBINATÓRIA
RELACIONADO AO COTIDIANO
Particularmente em matemática, parece que há uma fixação na idéia de
haver necessidade de um conhecimento hierarquizado, em que cada
degrau é galgado numa certa fase da vida, com atenção exclusiva durante
horas de aula, como um canal de televisão que se sintoniza para as
disciplinas e se desliga acabada a aula. Como se fosse duas realidades
disjuntas, a da aula e a de fora da aula. (D’AMBROSIO, 1996. p. 83).
A matemática é uma disciplina utilizada praticamente em todas as áreas: na
Engenharia, na Economia, na Informática, entre outras. O conhecimento matemático
é muito além do que uma lista de idéias a serem memorizadas. Um processo
significativo de ensino de matemática deve conduzir aos aprendizes à exploração de
uma grande variedade de idéias e de relações entre fatos e conceitos de modo a
juntar-se com os contextos do mundo real para o desenvolvimento de suas noções,
ampliando a compreensão que delas se tem.
A matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no
mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da
construção humana na sua interação constante com o contexto natural,
social e cultural. (PCN’s, 1998, p. 24).
Sendo assim, a matemática é uma das mais importantes ferramentas da
sociedade moderna, que contribui para a formação do cidadão, através de uma
estratégia desenvolvida para entender e explicar que ela está presente em nossas
vidas.
A Análise Combinatória, “além de fazer parte do ensino formal de matemática,
é também utilizada fora da escola em diversas situações de jogos, brincadeiras ou
trabalhos”. (CARRAHER, 2003, p. 87). Tem como objetivo o desenvolvimento de
métodos que permite contar de uma forma indireta o número de elementos de um
determinado conjunto, estando esses agrupados em certas condições. A Análise
Combinatória é todo um conjunto de procedimentos que possibilita construções de
grupos diferentes, formados por um número finito de elementos de um conjunto
qualquer.
A compreensão das operações combinatórias como combinações,
permutações ou arranjos desenvolve-se através de estágios e, em torno de
12-13 anos de idade, a criança é capaz de encontrar, através de método

22. sistemático, todas as permutações existentes entre os elementos de um
conjunto. (SCHLIEMANN, 2003, p. 86).
De acordo com o pensamento de Barreto (2003) a análise combinatória tem
aplicação direta no cálculo das probabilidades, sendo instrumento de grande
importância para as ciências aplicadas, como a Medicina, a Engenharia e a
Estatística, além de outras.
Observações não sistemáticas de aulas sobre a análise combinatória
mostram que o ensino escolar limita-se quase sempre ao treinamento no
uso de fórmulas e algoritmos para encontrar o número de arranjos,
combinações ou permutações entre elementos, sem que os alunos derivem
essas fórmulas a partir de manipulações dos elementos. (SCHLIEMANN
2003, p. 87).
Ao solicitarmos do aluno que ele descubra de quantos modos diferentes ele
pode arrumar 04 livros na prateleira de uma estante, estamos incentivando-o a criar
mecanismos particulares de resolução de problemas, e quando ele dispõe de
material concreto para demonstrar sua técnica de resolução é evidente a certeza de
um bom resultado quanto ao aprendizado a ser adquirido.
2.1 Componentes da Análise Combinatória
2.1.1 Princípio Fundamental da Contagem
Segundo Barreto (2003), a Análise Combinatória é uma parte da matemática
cujo objetivo consiste na resolução de problemas. Basicamente, são escolhidos e
agrupados elementos conforme um determinado conjunto.
O Princípio Fundamental da Contagem é um acontecimento que ocorre em
duas etapas sucessivas e independentes, onde o número de possibilidades de
acontecimentos na 1ª situação ocorre de n maneiras e na 2ª situação ocorre de m
maneiras. Então, o número total de possibilidades de ocorrência é dado pelo produto
n x m.
Observe a situação dada:

23. Num restaurante há 2 tipos de saladas, 3 tipos de pratos quentes e 3 tipos de
sobremesa. Quais e quantas possibilidades temos para fazer uma refeição com 1
salada, 1 prato quente e 1 sobremesa?
Representando por S1 e S2 os dois tipos de saladas; por P1, P2 e P3 os três
tipos de pratos quentes; e s1, s2 e s3 os três tipos de sobremesa, temos:
2 possibilidades: S1 e S2
3 possibilidades: P1, P2 e P3
3 possibilidades: s1, s2 e s3
Portanto: 2 x 3 x 3 = 18 possibilidades.
2.1.2 Fatorial
Para Paiva (1999) fatorial de um número natural n, sendo n ≥ 2, (que é
indicado por n!), é o produto dos números naturais consecutivos: n, (n – 1), (n –
2), ..., 1, isto é:
n! = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 1
A leitura do símbolo n! é: “n fatorial”;
n! é o produto de todos os números naturais de 1 até n;
Obs: Casos Especiais: 0! = 1 e 1! = 1.
Observe os exemplos dados:
2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

24. 2.1.3 Permutação Simples
Dante (2002) define Permutação Simples como sendo o total de
agrupamentos de elementos ordenados que se diferem pela ordem, podendo ser
obtido através de um conjunto formado com n elementos distintos. Sua
representação é dada por:
Pn = n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 3 · 2 · 1
Vejamos um exemplo que retrata a permutação simples:
De quantas maneiras podem ser formados de forma horizontal três selos: 1
da Argentina, 1 do Brasil e 1 do Chile?
Temos três tipos de selos que indicaremos por A: Argentina; B: Brasil; C:
Chile. Para sabermos de quantas maneiras eles podem ser arrumados
horizontalmente, podemos obter o seguinte resultado, através do conhecimento de
Permutação Simples:
P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6 possibilidades
Os agrupamentos ordenados são: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
2.1.4 Arranjos Simples
Segundo Barreto (2003) Arranjos Simples são agrupamentos simples de p
elementos que são formados com n elementos distintos, sendo n ≤ p. A notação é
dada por:
n!
An, p =
(n − p)!
Se tomarmos os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de 3
algarismos distintos podemos formar?
Há 5 possibilidades para o 1º algarismo, 4 para o 2º e 3 para o 3º.
No total podemos formar então, 5 x 4 x 3 = 60 números.
Dizemos neste exemplo que fizemos arranjos de 5 elementos 3 a 3, e o
número desses arranjos é 60.

25. Usando a notação de arranjos simples, indicamos assim:
5!
A5,3 =
(5 − 3)!
5!
A5,3 =
2!
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
A5,3 =
2 ⋅1
120
A5,3 =
2
A5,3 = 60
2.1.5 Combinação Simples
Conforme Dante (2002) chama-se Combinação Simples de um conjunto de n
elementos distintos tomados p a p (p ≤ n), todo subconjunto que se pode formar
com os n elementos dados, não importando a ordem dos mesmos. Indica-se por Cn,p
o número total de n elementos tomados p a p e calcula-se por:
n!
C n, p =
p! (n − p)!
Observe a situação abaixo:
Imagine que a Confederação Brasileira de Futebol (CBF) organize a primeira
fase do Campeonato Brasileiro com 24 times separados em quatro grupos de seis,
de modo que cada time jogue uma única vez contra cada um dos demais de seu
grupo. Quantos serão os números de jogos realizados em cada grupo? E quantos
serão os números de jogos da primeira fase do campeonato?
Temos um total de 24 jogadores divididos em quatro grupos. O número de
jogadores por time é representado por n e o número total de grupos é representado
por p, isto é, n = 6 e p = 4; então através do assunto de combinação simples,
calcula-se que o número total de jogos realizados em cada grupo é de: C6,4 = 15,
pois:

26. 6!
C6,4 =
4! (6 − 4)!
6!
C6,4 =
4!⋅2!
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
C6,4 =
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 ⋅ 2 ⋅1
720
C6,4 =
48
C6,4 = 15
Tem-se um total de 04 times e o número de jogos realizados em cada grupo
são 15, a partir daí conclui-se que o número de jogos da primeira fase do
campeonato será 4 x 15 = 60.
2.1.6 Arranjos com repetição
Como já foi visto, Barreto (2003) define que Arranjos Simples são
agrupamentos simples de p elementos que são formados com n elementos distintos,
sendo n ≤ p. A notação é dada por:
n!
An, p =
(n − p)!
Arranjo com repetição é indicado por:
(AR) n,p = n p
Observe o problema a seguir que traz uma comparação entre arranjos simples e
o arranjo com repetição:
1. Usando os algarismos 1, 4, 7 e 9, quantos números naturais de 3 algarismos
distintos podemos formar? E quantos números naturais de 3 algarismos
podemos formar?
Na 1ª situação temos um exemplo de arranjo simples de 4 elementos 3 a 3:

27. 4!
A4,3 =
(4 − 3)!
4!
A4,3 =
1!
4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
A4,3 =
1
24
A5,3 =
1
A5,3 = 24
Já na 2ª situação, além dos 24 números do 1º caso, temos ainda os números
com algarismos repetidos, como por exemplo, 141, 999 e outros. Temos então, 4
possibilidades para o algarismo da centena, 4 para o algarismo da dezena e 4 para
o algarismo da unidade. Então, usando a fórmula de arranjos com repetição,
concluímos que:
(AR) 4,3 = 43 = 64

28. CAPÍTULO III
A PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
“Pesquisa é o conjunto de atividades que tem por finalidade a descoberta de
novos conhecimentos no domínio cientifico, literário, artístico, etc. é a investigação
ou indagação minuciosa, é o exame de laboratório” (BORBA, 2004, p. 11 – 12).
Segundo Aurélio (2001), o termo pesquisa é definido como uma investigação
e um estudo pequeno e sistematizado, tendo como objetivo principal a descoberta
de fatos relacionados a um determinado campo de conhecimento.
Sendo a pesquisa o elo entre teoria e prática, parte-se para a prática, e,
portanto se fará pesquisa, fundamentando-se em uma teoria que,
naturalmente, inclui princípios metodológicos que contemplam uma prática.
Mas um princípio básico das teorias de conhecimento nos diz que as teorias
são resultados das práticas. Portanto, a prática resultante da pesquisa
modificará ou aprimorará a teoria de partida. (D’AMBROSIO, 1996, p. 81).
A prática permite que sejam observados e colocados como indiscutíveis
certos pressupostos que teoricamente não poderiam ser identificados. A partir daí, a
pesquisa torna-se um meio de interação entre a teoria e a prática.
O novo papel do professor será o de gerenciar, de facilitar o processo de
aprendizagem e, naturalmente, de interagir com o aluno na produção e
crítica de novos conhecimentos, e isso é essencialmente o que justifica a
pesquisa. (D’AMBROSIO, 1996, p. 80).
O aluno descobrirá os resultados esperados, sem que seja imposta pelo
professor a maneira de como deverá fazer. Pode-se também expandir o estado de
criatividade e adquirir novas formas ainda não conhecidas.

29. 3.1 Pesquisa Qualitativa
“A pesquisa qualitativa não se preocupa com a quantificação dos dados – não
se exclui esta última, dependendo dos dados que possam interessar – mas como
eles colaboram para a compreensão do fenômeno” (BARALDI, 1999, p. 17)
De acordo com Aurélio (2001), qualitativa refere-se à qualidade. Sendo assim,
a pesquisa qualitativa é um ponto de partida para a descoberta de uma ação
realizada, de forma que se obtenham resultados a partir de um estudo, onde o
pesquisador possua a preocupação de não apenas obter a quantificação de dados
satisfatórios, mas sim, que esses sejam com propósitos fundamentais.
Cada vez mais se entende o fenômeno educacional como situado dentro de
um contexto social, por sua vez inserido em uma realidade histórica, que
sofre toda uma série de determinações. Um dos desafios atualmente
lançados à pesquisa educacional é exatamente o de tentar captar essa
realidade dinâmica e complexa do seu objeto de estudo, em sua realização
histórica. (LUDKE, 1986, p. 05).
Percebe-se que o maior desafio para a educação hoje é pôr em prática um
modelo de ensino diferenciado do que se tem atualmente, valorizar o saber trazido
pelo aluno, oferecendo através do processo de ensino-aprendizagem condições
para que os mesmos possam expressar seus sentimentos, seus conhecimentos,
podendo compará-los e compreendê-los.
A pesquisa qualitativa ou naturalística envolve a obtenção de dados
descritivos, obtidos no contato direto do pesquisador com a situação
estudada, enfatiza mais o processo do que o produto e se preocupa em
relatar a perspectiva dos participantes. (LUDKE, 1986, p. 13).
Nesta perspectiva, a pesquisa qualitativa deverá ter uma visão de
conhecimento em sintonia com os procedimentos que foram aplicados, priorizando
os descritivos, à medida que sua visão de conhecimento possa admitir intervenção
pessoal.
...verificamos recentemente a emergência de estudos metacognitivos, isto é,
aqueles que procuram investigar o modo como os alunos percebem e
relatam seu processo de resolução de problemas ou de aprendizagem de
algum conceito matemático. (FIORENTINI, 2006, p.43).
Há uma grande importância das observações do pesquisador no sentido de
analisar de forma detalhada a matemática desenvolvida pelos estudantes
pesquisados, permitindo assim a verificação dos métodos de resoluções utilizados

30. pelos mesmos em determinadas situações problemas em que não é permitida a
interferência do professor. “A pesquisa qualitativa supõe o contato direto e
prolongado do pesquisador com o ambiente e a situação que está sendo
investigada, via de regra através do trabalho intenso de campo” (BOGDAN E
BIKLEN apud LUDKE, 1986, p. 11).
A pesquisa qualitativa há além de ser um ato subjetivo de construção, é
também uma ciência que trabalha com materiais visuais a fim de chegar a uma
compreensão com construção de conhecimento.
O qualitativo engloba a idéia do subjetivo, passível de expor sensações e
opiniões. O significado atribuído a essa concepção de pesquisa também
engloba noções a respeito de percepções de diferenças e semelhanças de
aspectos comparáveis de experiência. (BORBA, 2004, p. 104).
A escolha da pesquisa qualitativa neste trabalho refere-se ao fato de a
mesma, buscar para a sua abordagem de estudo o processo de construção da
realidade, possuindo uma aceitação formal da influência de crenças e valores
pessoais sobre a interpretação dos resultados, e o fato de poder ser realizado em
seu contexto natural, havendo um envolvimento emocional e uma interação
dinâmica entre o pesquisador e o pesquisado, valorizando suas opiniões após a
realização da mesma.

31. CAPÍTULO IV
METODOLOGIA
O trabalho de pesquisa constitui-se de diversas etapas que compreendem a
escolha do tema a ser trabalhado, as pesquisas bibliográficas e a pesquisa de
campo, com a finalidade de elaborar uma reflexão sobre as práticas pedagógicas.
Após a escolha do tema, iniciou-se a leitura e seleção de diversos textos
objetivando a construção da fundamentação teórica, onde seria questionada a forma
como se tem trabalhado os conteúdos matemáticos em sala de aula, com ênfase à
Análise Combinatória.
A clientela atendida pela unidade de ensino onde foi realizada a pesquisa é
composta por adolescentes e adultos, alunos de 1ª a 3ª série do Ensino Médio, nos
turnos matutino, vespertino e noturno, com um total de 760 alunos. Os sujeitos
escolhidos como fonte a ser pesquisada foram 27 alunos matriculados na 3ª série do
Ensino Médio no Colégio Estadual de Andorinha, na micro-região de Senhor do
Bonfim, no turno matutino com faixa etária de 17 a 24 anos.
Depois de escolhida a turma onde seria realizada a pesquisa, fora iniciado o
desenvolvimento de atividades em sala de aula, havendo uma divisão do
procedimento das referidas atividades em 07 etapas.
A primeira constituiu-se de uma breve conversa informal com os educandos
objetivando verificar as principais dificuldades encontradas pelos mesmos diante dos
problemas matemáticos e a capacidade de percepção das relações entre a
matemática e o cotidiano.
Na segunda etapa fora realizada a construção de recursos manuais, fazendo-
se necessária a divisão dos alunos em cinco grupos, onde cada grupo ficou
responsável pela confecção de materiais manipuláveis, utilizando papel flip sharp,
lápis de cor, tesoura e hidrocor, matérias-primas necessárias para a realização da

32. atividade subseqüente (Apêndice 1) que envolve o conteúdo Análise Combinatória.
O primeiro grupo confeccionou três tipos de camisas diferentes (8 cópias de cada),
dois tipos de calças (12 copias de cada), dois pares de sapatos diferentes (12 cópias
de cada) e dois pares de meias distintas (12 cópias de cada); o segundo grupo ficou
responsável pela confecção das letras da palavra AMOR (24 letras de cada tipo); o
terceiro grupo representou os números 1, 2 e 4 (27 cópias para cada número); o
quarto grupo desenhou sete tipos de frutas diferentes (20 cópias de cada), e o
quinto, e último grupo, ficou responsável pela confecção de desenhos de uma
enfermeira, um médico, um advogado, um professore, um salva-vidas, uma
aeromoça (10 cópias de cada um).
Para o terceiro momento foi entregue uma lista de atividades (Apêndice 02)
aos educandos a ser desenvolvida através da utilização dos materiais por eles
confeccionados, não havendo consulta a qualquer outra espécie de material, ficando
a critério de cada grupo a técnica utilizada para a resolução. Esta etapa teve início
na própria sala de aula, mas devido ao curto tempo e inexperiência dos alunos para
esse tipo de procedimento, perdurou até o início da etapa posterior.
O quarto ciclo foi composto pela apresentação dos resultados encontrados
por cada grupo na resolução das questões propostas que lhes fora entregue, onde
toda a turma teve a oportunidade de conhecer e analisar detalhadamente os
métodos adotados pelos colegas. Não houve tempo determinado para as
apresentações, pois algumas soluções dispunham de mais explicações que outras,
sendo variável o período de explanação.
A explicação do assunto que fora trabalhado durante a pesquisa, e até então
desconhecido por toda a turma, constituiu a quinta etapa. O conteúdo Análise
Combinatória foi explanado através de aula expositiva, ocorrendo interações dos
conceitos com o cotidiano, definição de algoritmos e resolução de exemplos
propostos com a aplicação de fórmulas adequadas.

33. A sexta etapa correspondeu à entrega de uma nova lista de exercícios
(Apêndice 03) aos educandos, para que estes a resolvessem utilizando as fórmulas
matemáticas de permutação simples, arranjos simples e combinação simples, já
vistas em sala de aula, bem como os conhecimentos adquiridos durante a realização
das etapas anteriores. O tempo disponível para a resolução fora de 50 minutos,
sendo suficiente para analisar aprendizagem adquirida até este momento.
A correção das questões resolvidas pelos alunos completou a sétima etapa,
sendo feita uma análise das soluções de cada questão, objetivando verificar como
se deu o processo de ensino-aprendizagem e o nível de compreensão por parte da
clientela pesquisada. Vale a pena ressaltar que esta correção foi desenvolvida
através da utilização do quadro-negro e fórmulas correspondentes ao conteúdo
supracitado.

34. CAPÍTULO V
ANÁLISE DE DADOS
Buscando identificar como o conhecimento do cotidiano se faz presente no
processo de ensino – aprendizagem de matemática, e em particular no conteúdo de
Análise Combinatória será apresentada a análise dos dados coletados durante a
realização desta pesquisa.
Os sujeitos pesquisados são constituídos por estudantes do Colégio Estadual
de Andorinha e serão identificados durante o relato dessa análise como sendo A1,
A2, A3, A4, e assim sucessivamente.
Na primeira etapa da pesquisa, onde fora realizada uma conversa informal
acerca das dificuldades encontradas pelos educandos com relação à disciplina de
matemática, os mesmos afirmam ter o conhecimento sobre sua importância, mas
apesar saberem que essa disciplina se faz presente em diversas situações da vida
real, muitos não conseguem perceber sua relação com o cotidiano e as consideram
chata pelo fato de não compreenderem alguns dos conteúdos trabalhados em sala
de aula. “A minha maior dificuldade em relação à matemática é em decorar aquele
monte de fórmulas. Eu sempre confundo qual deve ser utilizada, e na hora de
resolver alguma questão acabo errando.” (A1). Observe os relatos dos alunos A2 e
A3:
Sempre falam que a matemática está presente em nossas vidas, isso pode
até ser verdade para algumas coisas, mas vamos considerar que é muito
chato ficar resolvendo aquelas questões com um monte de cálculo e na
verdade o único lugar que utilizamos é na hora de responder as provas.
(A2)
Eu sei que a matemática é uma matéria muito importante, pois precisamos
muito dela em nosso dia-a-dia, mas deveria existir uma forma diferente de
se aprender sem ter que ficar o tempo todo copiando e olhar para a cara do
professor e fingir que está aprendendo. (A3)
Estas falas retratam as grandes dificuldades encontradas pelos estudantes
quando o assunto é matemática. Eles não conseguem, na maioria das vezes,
perceber uma relação da mesma com o meio onde vivem, e acabam decorando
suas fórmulas a fim de alcançarem um bom resultado no final do ano, como se esse

35. fosse seu único objetivo. Sobre esta questão os Parâmetros Curriculares Nacionais
de Matemática (1997) colocam que um dos objetivos da matemática é fazer com que
o aluno sinta-se seguro quanto à sua capacidade na construção do conhecimento e
a partir daí poder desenvolver o espírito de investigação na resolução de problemas.
Durante a construção dos recursos manuais, fora percebido um grande
interesse e, ao mesmo tempo, uma enorme curiosidade por parte dos alunos em
saber onde iriam utilizar aquele material que estava sendo por eles construído e o
porquê de uma aula de matemática ter se transformado em algo totalmente diferente
do que eles estavam habituados a fazer. Veja a afirmação de A4: “O que será que
vai ser feito com esse material? Não acredito de verdade que é aula de matemática.
Cadê os cálculos? Como seria bom se toda aula fosse assim”.
Ainda sobre a construção de materiais, veja o que diz A5 e A6:
Seria muito interessante se às vezes houvesse algumas aulas de
matemática assim. É muito chato ficar o tempo todo sentado ouvindo o
professor fazer sempre as mesmas coisas: copiar o assunto, explicar e fazer
exercícios. (A5)
Quando a professora falou em desenhos imaginei que fosse alguma
brincadeira dela, mas agora estou bastante curioso para saber como esse
material vai ser usado numa aula de matemática. Não vejo a hora de
terminar logo esses desenhos para ver o que vai ser feito. (A6)
Um dos pontos que se pode observar diante dessas falas é que os alunos
associam a matemática apenas a quadro e giz. É notória a importância de
transformar as aulas de matemáticas em algo que desperte nos educandos o gosto
por aquilo que está sendo trabalhado, para que eles sintam-se responsáveis pelo
seu aprendizado.
Partindo para o momento de manipulação dos materiais confeccionados, um
dos pontos interessantes diz respeito aos alunos procurarem diferentes formas para
obter os resultados esperados nas questões propostas, sendo dessa maneira
construtores de seus conhecimentos, não havendo interrupções na forma de
utilização das técnicas por eles desempenhadas, mesmo sendo incorretas ou não,
como salienta os alunos A7, A8 e A9:
A gente não sabe se está indo no caminho certo, mas é muito bom resolver
as questões sem que o professor fique o tempo todo dizendo como se deve
fazer. A gente se sente mais útil, e compreende melhor o que está
estudando e o que o problema está pedindo. (A7)

36. Estou achando maneira essa aula. Estamos conseguindo encontrar as
respostas das questões propostas ao nosso grupo com facilidade, e o que é
melhor estamos conseguindo sozinhos sem nenhuma ajuda do professor.
(A8)
É muito bom estudar matemática usando esse tipo de material. A gente
consegue fazer uma relação do que a questão está pedindo com o que a
gente vê no dia-a-dia. Ta sendo muito bom fazer esse tipo de atividade com
esses materiais. (A9).
Percebemos que os professores têm um papel muito importante a
desempenhar, não se limitando apenas ao ato de ensinar, mas de buscar meios que
tornem suas aulas mais interessantes, e propondo aos estudantes oportunidades de
trocas de conhecimentos, tornando assim o ensino matemático mais prazeroso.
Durante a explanação dos resultados, os estudantes tiveram a oportunidade
de analisar e compreender através das explicações e das opiniões colocadas pelos
participantes dos grupos, quais foram as maneiras adotadas na hora de resolver as
questões, havendo uma troca de conhecimento entre os envolvidos. Veja:
Foi muito fácil encontrar os resultados das questões, pois fomos unindo os
algarismos e invertendo suas posições alcançando dessa forma os
resultados; e a partir daí concluímos rapidamente as outras questões
propostas. Foi uma forma diferente e fácil de aprender a resolver questões
matemáticas. (A10)
Foi muito interessante essa forma de resolver questões matemáticas.
Nunca me dei muito bem com essa disciplina, mas consegui compreender a
forma de chegar aos resultados para as questões da atividade. (A11)
É muito mais interessante trabalhar dessa forma do que ficar o tempo todo
copiando assuntos e decorando fórmulas. Muitas vezes não sabemos onde
usá-las. Esses materiais nos ajudaram muito a resolver as questões. (A12)
A utilização de materiais concretos no ensino de matemática é uma excelente
maneira de fazer com que o aluno descubra novas formas de aprendizagem e passe
a perceber sua capacidade de descoberta.
Durante a explanação do assunto de Análise Combinatória, à medida que iam sendo
aplicadas as fórmulas nos problemas propostos no segundo momento, percebia-se
que os estudantes se sentiam um pouco inseguros quanto à necessidade da
aplicação de algoritmos, pois não faziam idéia de que para se chegar aos resultados
propostos na atividade anterior poderiam ser utilizadas fórmulas específicas. Veja os
argumentos de A13 e A14: “Foi tão fácil resolver as questões sem ter que saber
essas fórmulas”. “É interessante notar que nós conseguimos resolver aquelas
questões sem conhecer nenhuma dessas fórmulas. Assim dá para perceber que
podemos resolver muitas coisas que nem sabemos ou vimos.”
Para complementar:

37. Foi muito bom conhecer esse outro lado da matemática. Até então eu só
conhecia o que era passado pelo professor que era resolver exercícios com
as fórmulas. É bom saber das duas maneiras para escolher como resolver
as questões. (A15)
Nesse sentido, percebemos a grande importância de fazer com que os
estudantes percebam as relações da matemática com o cotidiano, a fim de tornar o
ensino de maior compreensão.
O processo de resolução das atividades propostas na sexta etapa, onde se
faz necessário o uso dos conhecimentos adquiridos durante as atividades
anteriormente realizadas, promove a análise do desempenho dos estudantes
pesquisados. A maior parte não apresentou dificuldades em encontrar os resultados,
aplicando coerentemente as fórmulas necessárias. Os alunos A16, A17 e A18
afirmam não terem tido dificuldades na hora de resolver as questões:
Eu nunca fui bom em matemática. Sempre achei essa matéria muito chata,
pois eu me confundia todo. Mas eu gostei desse assunto. Eu consegui
entender qual fórmula eu devia usar em cada questão. Eu acho que
consegui um bom resultado. Tomara que eu não esteja enganado. (A16)
É mais rápido resolver as questões usando as fórmulas. Mas ficou mais fácil
entender qual fórmula devia ser usada depois da atividade que nós fizemos.
Não deu para confundir. Eu sabia exatamente qual deveria usar. (A17)
Eu achei mais fácil resolver as questões usando as fórmulas, pois é mais
rápido. Mas a forma que foi trabalhada durante esses dias também é
interessante. Faz agente raciocinar mais, e entender melhor o assunto por
que nós vemos o que acontece. (A18)
Percebemos que o maior desafio hoje é inovar o saber matemático, levando
ao conhecimento dos alunos novos métodos de aprendizagem a fim de
proporcionarmos a eles a oportunidade de aprenderem significativamente.
A última etapa compreende os resultados das questões propostas no ciclo
anterior. A maior parte das resoluções estava correta, e as aplicações das fórmulas
procederam coerentemente. Entretanto, os sujeitos pesquisados afirmam ser mais
interessante o processo de resolução por meio de materiais concretos, pois se
sentem mais motivados.
Foi muito interessante trabalhar dessa forma onde a gente pode encontrar
as respostas sem saber nem ao menos o assunto que estava sendo
estudado. Quando foi preciso usar as fórmulas ficou mais fácil entender e
saber como responder as questões. (A19)

38. Usar as fórmulas faz com que a resolução seja mais rápida, mas eu não
posso negar que foi muito bom botar a cabeça para funcionar e perceber
que existem outras formas de estudar determinados assuntos de
matemática. (A20)
Eu nunca fui boa em matemática, mas achei esse assunto muito bom.
Acredito que tenha sido por causa da maneira como foi trabalhado. Se
todos os assuntos fossem trabalhados assim talvez houvesse mais
compreensão na hora de resolver as questões. (A21)
Durante todos os relatos feitos pelos alunos, e o desenvolvimento de cada
uma das etapas realizadas na escola, ficou evidenciada a importância da aplicação
dos materiais concretos no processo de ensino e aprendizagem, em particular do
conteúdo de análise combinatória, sendo essa metodologia adequada para
promover a aquisição de conhecimentos essenciais ao processo educativo dos
educandos.

39. CONCLUSÃO
Os professores de matemática precisam desenvolver seus trabalhos com o
enfoque voltado para a realidade e as vivências dos alunos. É importante trabalhar
os conteúdos de forma aplicada, dando ênfase às questões ambientais, econômicas,
sociais e políticas. Deve-se ter o objetivo de formar cidadãos que possuam
consciência crítica, e saibam relacionar os conteúdos matemáticos com a realidade
na qual estão inseridos.
Sabe-se que aprender matemática não significa receber todos os conceitos
prontos. Na aprendizagem matemática, os conceitos devem ser construídos com
base nos anteriores. Nesta perspectiva, os educandos podem generalizar, estruturar
ou desestruturar o universo matemático, para que possam compreender e resolver
as situações-problemas propostas pelos professores e presentes no seu dia-a-dia.
É importante salientar que os professores precisam elaborar e organizar
situações de aprendizagens as quais impulsionem os alunos ao envolvimento com a
matemática, para que possam desafiá-la, compreendê-la, analisá-la e interpretá-la,
caracterizando-a como verdadeiro produto de criação humana.
“É fundamental na preparação para a cidadania o domínio de um conteúdo
relacionado com o mundo atual” (D´Ambrosio, 1996, p.86).
A utilização de materiais concretos pode ser adotada como um ótimo material
pedagógico, dando uma boa contribuição às aulas de matemáticas, onde os
educandos, juntamente com o professor, podem confeccionar os objetos pertinentes
à desenvoltura da aula.
Dessa maneira, ampliar a análise sobre a prática pedagógica torna-se
necessário, pois os alunos devem fazer uma relação do objeto transmitido na sala
de aula com o vivenciado no cotidiano. Nessa perspectiva, os professores poderão
mostrar a presença da matemática na prática habitual diária dos alunos, e no
processo de desenvolvimento da humanidade. Situações de ensino-aprendizagem
devem ser contextualizadas, colaborando para o surgimento da motivação
necessária para aquisição de novos saberes.

40. Espera-se que os professores busquem o conhecimento da realidade na qual
vivem os alunos, ampliando os recursos a serem utilizados na prática pedagógica de
ensino-aprendizagem da disciplina matemática, procurando valorizar o
conhecimento dos educandos, incitando o envolvimento dos alunos em situações de
investigações matemáticas, estimulando os mesmos a buscar um maior
conhecimento do assunto trabalhado pelo professor.
A utilização de uma metodologia adequada para a elaboração de atividades
desperta e favorece o interesse dos educandos, ao valorizar o desenvolvimento de
suas capacidades e habilidades, a interação sócio-educativa e a escolha do melhor
caminho de resolver situações-problemas sem a necessidade de memorização de
fórmulas.
Percebe-se que a partir do momento o qual fazemos uma relação dos
conteúdos trabalhados em sala de aula com o cotidiano, conseguimos alcançar bons
resultados na aprendizagem, e minimizar as dificuldades no processo de
compreensão dos conceitos matemáticos.

41. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARALDI, Ivete M. Matemática na escola: que ciência é esta? Bauru: EDUSC,
1999.
BICUDO, M. A. V.; BORBA, M. de C. Educação Matemática: pesquisa em
movimento. 2. ed. São Paulo: Cortez, 2005
BICUDO, Maria A. et al. PESQUISAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA:
Concepções e perspectivas. Organizadora: Maria Aparecida Bicudo. São Paulo:
UNESP, 1999. (Seminários & Debates).
BICUDO, Maria A. V. Educação Matemática. São Paulo: Moraes, s/d.
BORBA, Marcelo de C. Pesquisa qualitativa em educação matemática. Belo
Horizonte: Autêntica, 2004.
BRASIL. Lei nº. 9394. Diretrizes e Bases da Educação do Brasil. São Paulo:
Brasil, 1996.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: Matemática. Brasília: MEC / SEF, 1998.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares
Nacionais: terceiro e quarto ciclos do ensino fundamental. Brasília: MEC/SEF,
1998.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Da realidade à ação: reflexões sobre a educação
matemática. 2. ed. São Paulo: Sumus; Campinas: Ed. da Universidade Estadual de
Campinas, 1986.
D’AMBROSIO, Ubiratan. Educação Matemática: Da Teoria à Prática. 4. ed.
Campinas: Papirus, 1996. (Coleção Perspectivas em Educação Matemática).
DANTE, Luiz R. Matemática: Contexto e Aplicação. Vol. 02. São Paulo: Ática,
2002.
FERREIRA, Aurélio B. de H. Miniaurélio Século XXI Escolar: O minidicionário da
língua portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira, 2001.
FILHO, Benigno B. Matemática aula por aula. 1. ed. São Paulo: FTD, 2003.
FIORENTINI, Dário. Investigação em educação matemática: percursos teóricos
e metodológicos. Campinas: Autores Associados, 2006. Coleção formação de
professores.
KAMII, Constance. A criança e o número: Implicações educacionais da teoria de
Piaget para a atuação junto a escolares de 4 a 6 abis. 11. ed.Campinas: Papirus,
1990.

42. KAMII, Constance. Reinventando a aritmética: implicações da teoria de Piaget.
2. ed. Campinas: Papirus, 1988.
LUDKE, Menga. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. São Paulo:
EPU, 1986.
MIZUKAMI, Maria da G. N. Ensino: as abordagens do processo. São Paulo: EPU,
1986.
PAIVA, Manoel. Matemática. Vol. Único. 1. ed. São Paulo: Moderna, 1999.
PONTE, João P. da. Investigação matemática na sala de aula. 1. ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2005.
SCHLIEMANN, A. D.; CARRAHER, D. W.; CARRAHER, T. N. Na vida dez, na
escola zero. 13. ed. São Paulo, Cortez, 2003.
TEBEROSKY, Ana. Além da alfabetização: a aprendizagem fonológica,
ortográfica, textual e matemática. 4. ed. São Paulo: Ática, 2002.

43. APÊNDICE

44. APÊNDICE 1
Desenvolva cada uma das atividades listadas abaixo:
1. Desenhe e depois recorte 3 camisas diferentes (08 cópias de cada), 2 calças
diferentes (12 cópias de cada), 2 pares de meias diferentes (12 cópias de
cada) e 2 pares de sapatos distintos (12 cópias de cada). Utilize sua
criatividade.
2. Desenhe e, depois, recorte as letras A, M, O, R. Você deverá ter 24 letras de
cada tipo.
3. Desenhe os números 1, 2 e 4 e os recorte. Faça 27 cópias de cada um.
4. Desenhe 07 frutas diferentes. Você deverá ter 20 cópias de cada uma.
5. Desenhe uma enfermeira, um médico, um advogado, um salva-vidas, uma
aeromoça, um professor. Você deverá ter 10 cópias de cada um.

45. APÊNDICE 2
1. De quantas maneiras diferentes se pode vestir uma pessoa que tenha 3
camisas, 2 calças, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos?
2. De quantas maneiras diferentes se pode vestir uma pessoa variando apenas
a camisa e a calça?
3. Quantas palavras (com significado ou não) podemos formar com as letras A,
M, O, R sem repetir as letras?
4. Quantas palavras (com significado ou não) podemos formar com as letras A,
M, O, R sem repetição de letras, em que as letras A e M aparecem juntas?
5. Quantas palavras (com significado ou não) podem formar com as letras A, M,
O, R, em que R e M aparecem nos extremos?
6. Quantas palavras (com significado ou não) podem formar com as letras A, M,
O, R, terminando sempre com a letra O?
7. Quantos números de 3 algarismos podemos escrever com os algarismos 1, 2,
4?
8. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos escrever com os
algarismos 1, 2, 4 ?
9. Quantos números pares de 3 algarismos podemos escrever com os
algarismos 1, 2, 4?
10. Quantos tipos de salada de fruta poderão ser servidos usando 04 frutas
diferentes?
11. Quantos tipos de salada de fruta poderão ser servidos usando 05 frutas
diferentes?
12. Quantas comissões de 05 profissionais podem ser formadas?
13. Quantas comissões de 04 profissionais podem ser formadas?
14. Quantas comissões de 04 profissionais contendo sempre um médico e uma
enfermeira poderão ser formadas?

46. APÊNDICE 3
1. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3,
4, 5 e 6?
2. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os
algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
3. Quantas palavras com significados ou não podemos formar com a letras P, E,
R, D, Ã, O sem repetir as letras?
4. Quantas palavras (com significado ou não) podemos formar com as letras P,
E, R, D, Ã, O sem repetição de letras, em que as letras à e O aparecem
juntas?
5. Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que P e O aparecem
nos extremos?
6. Quantos times diferentes de basquete podemos formar com 12 atletas?
7. De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5
camisas, 3 calças, 2 pares de meia e 2 pares de sapato?
8. Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantas modos diferentes ela pode se
vestir com essas roupas?
9. Considerar a palavra DILEMA e determinar:
a) O número total de palavras com significado ou não;
b) O número total de palavras que iniciam com a letra D;
c) O número total de palavras que iniciam com a letra D e terminam com a letra
A;
d) O número total de palavras que começam com vogal.
10. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) Quantos números de 3 algarismos podemos formar?
b) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?

47. APÊNDICE 3 – CONTINUAÇÃO
11. (Fatec – SP) Dentre seis senadores e cinco deputados será escolhida uma
comissão de três senadores e dois deputados. De quantas maneiras
diferentes essa comissão pode ser formada?
a) 200
b) 100
c) 80
d) 50
e) 40
12. De quantas maneiras diferentes cinco pessoas podem formar uma fila
indiana?
13. De quantas maneiras diferentes podemos dispor, numa mesma prateleira de
uma estante, quatro livros de matemática e três livros de física, de modo que
livros de mesma matéria permaneçam juntos?
14. Uma comissão de três membros deve ser escolhida dentre sete pessoas. De
quantos modos diferentes se pode escolher a comissão, sabendo que as
pessoas que formarem a comissão terão funções idênticas?