Matemática 2009

1. UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA-UNEB
DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO CAMPUS VII
SENHOR DO BONFIM
O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DA
METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
POR:
ROBERTO DE ALMEIDA RIBEIRO
SENHOR DO BONFIM
2010

2. ROBERTO DE ALMEIDA RIBEIRO
O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DA
METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Monografia apresentada ao
Departamento de Educação –
UNEB, CAMPUS VII, como parte
dos requisitos para obtenção do grau
de Licenciatura em Matemática, sob
orientação da profª. Alayde Ferreira
dos Santos.
SENHOR DO BONFIM
2010

3. ROBERTO DE ALMEIDA RIBEIRO
O ENSINO-APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA ATRAVÉS DA
METODOLOGIA DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Monografia apresentada ao
Departamento de Educação –
UNEB, CAMPUS VII, como parte
dos requisitos para obtenção do grau
de Licenciatura em Matemática, sob
orientação da profª. Alayde Ferreira
dos Santos.
Aprovada em 24 de março de 2010.
____________________________ ______________________________
Profº. Mestre Ivan Sousa Costa Profª. Esp. Tânia Cardoso de Araújo
(Avaliador) (Avaliadora)
_______________________________________________________________
Profª. Mestre Alayde Ferreira dos Santos
(Orientadora)

4. “O constante movimento de
reestruturação é inerente à condição
humana. Nele se alteram a harmonia e o
conflito, a dinâmica e a estatística, a
convivência e o isolamento, a ação e a
inércia. Assumir uma atitude frente à
mudança é ter consciência de que esse
processo se inicia com a busca do eu
interior para, a partir dele, compreender o
mundo exterior. É estar aberto frente ao
desconhecido, ao inesperado e
imprevisível.”
(RAMOS, 2000).

5. AGRADECIMENTOS
Pra chegar até aqui, com certeza são os resultados de uma soma de
esforços e ajudas que chegaram de diferentes maneiras, e não poderia deixar
de agradecer neste momento.
A Deus, pela vida.
A minha família, esposa Telma e filhos, Roberta, Mateus e Lara Vitória,
pela compreensão em minhas ausências.
À professora Alayde Ferreira dos Santos, por ter me acolhido e ter
aceitado o desafio de ser minha orientadora, contribuindo com sua inestimável
paciência e conhecimento.
Ao professor Ricardo Amorim, pelas orientações científicas e sugestões
pertinentes na construção desta pesquisa.
A todos os demais, que de alguma forma contribuíram para este
momento de conclusão.
Muito Obrigado!

6. RESUMO
Este trabalho tem como objetivo identificar se através da metodologia de
resolução de problemas, os educandos terão um melhor desenvolvimento no
ensino-aprendizagem da matemática. Analisando a partir dos resultados
obtidos, as contribuições produtivas que essa metodologia venha a trazer para
o ensino-aprendizagem da matemática escolar. Pois é imprescindível que os
alunos aprendam o valor fundamental do conhecimento matemático no mundo
atual, procurando aprender este conhecimento inserido no contexto escolar e,
muito mais que aprender, é necessário interferir através de uma visão crítica,
desenvolvendo habilidades para enfrentar e resolver situações que se
complexifica a cada dia. A pesquisa foi desenvolvida junto a discentes da 5ª
série do Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho, da Rede Pública Estadual, na
cidade de Campo Formoso e, fundamentada metodologicamente a partir de
pressupostos da análise qualitativa, que segundo Forquin (1993), permite uma
maior interação entre pesquisadores e pesquisados, tendo como instrumentos
de pesquisa questionário, atividades desenvolvidas e consequentemente
relatórios dos resultados gerados no processo. Os principais teóricos que
deram base a esta pesquisa foram Polya (1978), D’Ambrosio (1997), Smole e
Diniz (2006), Bicudo (1999), Baraldi (1999), Carvalho (2005), Dante (2007);
dentre outros, que abordam esta temática. A análise dos dados nos permitiu
concluir que a metodologia de resolução de problemas é um método de
bastante eficiência para o ensino-aprendizagem da matemática.
Palavras-chave: Ensino da Matemática, Resolução de Problemas e a
Aprendizagem.

7. SUMÁRIO
INTRODUÇÃO__________________________________________________8
CAPÍTULO I - PROBLEMATIZAÇÃO_______________________________ 10
CAPÍTULO II - FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA________________________16
2.1 - O Ensino da Matemática e a Resolução de Problemas: Contexto
histórico______________________________________________________16
2.2 - A Resolução de Problemas na prática educativa da matemática___ 20
2.3 - Resolução de problemas para uma aprendizagem significativa:
Perspectivas em Educação Matemática____________________________26
CAPÍTULO III - METODOLOGIA___________________________________36
3.1 - Pesquisa qualitativa como método____________________________36
3.2 - Local da Pesquisa_________________________________________ 38
3.3 - Sujeitos da Pesquisa_______________________________________ 39
3.4 - Instrumentos e procedimentos utilizados______________________ 39
CAPÍTULO IV – ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS________________41
4.1 - Procedimentos da Pesquisa_________________________________ 41
4.2 - Perfil e opinião dos discentes pesquisados – apêndice A_________42
4.3 - Analisando e discutindo a 1ª. etapa das atividades desenvolvidas –
apêndice B____________________________________________________42
4.4 - Analisando e discutindo a 2ª. etapa das atividades desenvolvidas –
apêndice C____________________________________________________45
4.5 - Comparando os apêndices B e C_____________________________ 52
4.6 - Analisando e discutindo as atividades do apêndice D____________53
4.7 - Analisando e discutindo as atividades do apêndice E____________54
CONSIDERAÇÕES FINAIS_______________________________________57
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS________________________________ 60
APÊNDICES___________________________________________________65
Apêndice A - Questionário aplicado aos educandos_________________ 66
Apêndice B - 1ª. Etapa de atividades aplicadas aos educandos________67
Apêndice C - 2ª. Etapa de atividades aplicadas aos educandos________68
Apêndice D - Resolvendo problemas com o auxílio de imagens________70
Apêndice E - Produção de texto ou criação de situações-problema a partir
da observação de desenhos_____________________________________ 71
ANEXOS_____________________________________________________ 72
Algumas respostas das atividades realizadas na 1ª e 2ª etapa_________73

8. INTRODUÇÃO
O tema “O ensino-aprendizagem da matemática através da
metodologia de resolução de problemas”, surgiu da observação em sala de
aula enquanto professor de Matemática. Durante a administração das aulas
podia-se observar que muitos educandos não conseguiam compreender muitos
conceitos estudados, faltavam-lhes interesse e concentração. Além do pouco
envolvimento, havia a rejeição de enfrentar situações-problema colocadas
através de exercícios repetitivos e sem conexão com sua realidade.
Diante disso notou-se a necessidade de se repensar uma nova
metodologia que procurasse modificar a ação pedagógica, buscando uma
educação centrada no sujeito, comprometida com a formação de cidadãos
conscientes e críticos.
Esse pensamento nos levou a desenvolver uma pesquisa com os alunos
da 5ª. série do Colégio Estadual denominado Grupo Escolar Dr. Luiz Viana
Filho, na cidade de Campo Formoso Bahia, com o objetivo de identificar se
através da metodologia de resolução de problemas, os educandos terão um
melhor desenvolvimento no ensino-aprendizagem da matemática. Analisando a
partir dos resultados obtidos, as contribuições produtivas que essa metodologia
venha a trazer, para o ensino-aprendizagem da matemática escolar.
Neste contexto, estruturamos nosso trabalho em quatro capítulos:
No primeiro capítulo – apresentamos os aspectos que motivaram a
investigação do tema, a problemática, as questões norteadoras, os objetivos e
sua relevância no campo sócio-educacional.
No segundo capítulo – abordamos as concepções referentes à
matemática e os métodos insatisfatórios, bem como propostas pedagógicas
que possibilitam transformar o ensino atual numa aprendizagem prazerosa e
significativa. Para fundamentar este estudo contou-se com a contribuição de
grandes teóricos como, Polya (1978), D’Ambrosio (1997), Smole e Diniz (2006),

9. Bicudo (1999), Baraldi (1999), Carvalho (2005), Dante (2007), e outros que em
suas pesquisas contribuíram para a construção do verdadeiro conhecimento.
No terceiro capítulo – apresentamos a metodologia utilizada na
investigação do tema. Para a coleta dos dados optamos pela metodologia
qualitativa com enfoque na pesquisa-ação e foram utilizadas atividades
desenvolvidas pelos sujeitos envolvidos na pesquisa.
No quarto capítulo – realizamos a análise e interpretação dos dados
obtidos, buscando responder as questões apresentadas na problemática. Para
fundamentar nos baseamos em alguns teóricos contidos nos capítulos
anteriores. Primeiramente destacamos os dados coletados na observação e na
pesquisa-ação, logo após fizemos a análise e o confronto das informações
coletadas através das atividades desenvolvidas pelos educandos.
Por último, nas considerações finais, é ressaltada a importância da
mudança na postura docente, para possíveis soluções dos problemas
encontrados no ensino da matemática. Pois diante de todas as questões
analisadas neste trabalho, percebemos que a metodologia de resolução de
problemas pode fazer a diferença no ensino-aprendizagem da matemática.
Obviamente, não é um trabalho definitivo, porém cada sugestão aqui
apresentada é de certa forma, uma tentativa de despertar no leitor ao menos a
certeza de que há algo que pode ser feito, pois, acreditamos que o objetivo
maior do professor de matemática, é levar seus alunos a entender Matemática
e motivá-los a acreditar que provavelmente estes continuarão a utilizar os
conhecimentos matemáticos no decorrer da sua vida. Desta forma,
reconhecemos que deve haver uma preocupação em fazer com que os alunos
percebam a matemática como sendo algo natural e agradável em seu dia-a-
dia.

10. CAPÍTULO I
PROBLEMATIZAÇÃO
Na sociedade atual, as necessidades sociais, culturais e profissionais
ganham novos contornos, exigindo que tenhamos competência em
matemática, isto porque, o conteúdo matemático está presente em todas as
áreas, e compreender procedimentos matemáticos torna-se necessário tanto
para tirar conclusões como para fazer argumentação.
Conforme nos apresenta os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), o
ensino da matemática causa duas sensações contraditórias: de um lado a
certeza de que é uma área extremamente importante; por outro lado a
frustração gerada pelos resultados negativos quanto à sua aprendizagem.
Nesta perspectiva, os Parâmetros Curriculares Nacionais também
acrescentam:
A constatação da sua importância apóia-se no fato de que a
Matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver
problemas da vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do
trabalho e funciona como instrumento essencial para a construção de
conhecimento em outras áreas curriculares. Do mesmo modo,
interfere fortemente na formação de capacidades intelectuais, na
estruturação do pensamento e na agilização do raciocínio dedutivo do
aluno. (PCN’s, 1998, p. 15).
No âmbito escolar, tal como se dá na compreensão da língua escrita e
oral, o aluno precisa praticar matemática. Saber sobre os seus usos, para que
serve, como organizar, onde pode ser encontrada e principalmente de que
maneira aplicá-la. Apesar de todo esse conhecimento sobre a importância da
matemática, ainda é alto o índice de reprovação e exclusão por conta do baixo
nível de aprendizagem, causando uma situação “traumatizante” para a maioria
dos alunos, é o que afirma D’Ambrosio (1986, apud VITTI, 1999):
O ensino da Matemática tem sido traumatizante: Disciplina básica nos
currículos de todos os graus em todo o mundo, por várias razões a
Matemática é considerada difícil por muitos, desinteressante por
outros, até inacessível para alguns. (p. 43).

11. A matemática ensinada na Escola é geralmente muito distante da
realidade, ainda continuamos mostrando exemplos no quadro, esperando que
os alunos sejam capazes de resolver uma lista de exercícios praticamente
igual. Continuamos ensinando conteúdos pouco utilizados na vida cotidiana
dos mesmos. Dessa forma, reduz-se a prática pedagógica a um mero
treinamento, baseado na repetição e memorização, deixando de lado a
experimentação, o questionamento, a inquietação e a criatividade. Podemos
constatar isso nas afirmações que Bicudo (1999) faz:
A educação passa atualmente por um momento crucial. Nosso ensino
é criticado, sobretudo pelo baixo desempenho dos alunos. Para isso
contribuem as conseqüências do histórico descaso para com a
educação e problemas sociais. A interação desses e outros fatores
com os conflitos entre as idéias pedagógicas de ensino, exigem de
professores e pesquisadores opções e ações (p.153).
Outro fator que contribui para que a Matemática na escola seja vista de
forma negativa, é a postura do próprio professor em relação à disciplina. Muitos
têm demonstrado problemas relacionados ao seu ensino, encontrando também
dificuldades para adaptação em determinados conteúdos. Neste sentido as
palavras de D’Ambrósio (2005), são pertinentes:
Não há dúvida quanto à importância do professor no processo
educativo. Ultimamente vemos com bastante freqüência a proposta
de educação à distância e outras utilizações de tecnologias na
educação, mas nada substituirá o professor. Todos esses serão
meios auxiliares para o professor. Mas o professor, incapaz de se
utilizar desses meios, não terá espaço na educação. O professor que
insiste em ser apenas um transmissor de conhecimentos está sujeito
a ser dispensado pelos alunos, pela escola e conseqüentemente pela
sociedade em geral. (p. 26).
A Secretaria de Ensino Fundamental do Ministério da Educação (MEC),
por meio dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s, 1998), aponta a
necessidade de uma visão dos modelos de formação de professores para a
efetiva implantação de novas alternativas que complementam tais diagnósticos
e provocam discussões a respeito de que, como e quando ensinar determinado
conteúdo. De acordo com Pavanello (2003), há muito tempo à comunidade da
Educação Matemática vem insistindo que a aprendizagem da matemática “não
deve e não pode” ficar limitada ao manejo de fórmulas, ao saber fazer contas

12. ou ao assimilar a resposta correta de uma questão, seu ensino deve estar sob
nova ótica quando diz:
...Mais do que tudo o ensino da Matemática deve conduzir a
interpretação de enunciados, à criação de significados, à construção
de instrumentos para a resolução de problemas. Sua meta deve ser o
desenvolvimento do raciocínio lógico, da capacidade de abstrair,
generalizar, projetar, transcender o que é imediatamente sensível. (p.
16).
Rabelo (2004), afirma que ao observar a postura de alguns alunos diante
de um problema, percebeu que eles não conseguiam interpretá-lo e analisá-lo.
Observando mais ainda, o autor deduziu que isso ocorria em virtude das
dificuldades sentidas pelos alunos com relação á leitura e na visão do autor,
“quem não sabe ler sente dificuldade em analisar”. (RABELO, 2004, p. 26). E
Carvalho (2005) reforça dizendo:
Não é raro ouvimos dos professores que os alunos não sabem
Interpretar problemas. Mas gostaria de propor uma reflexão: Como é
que o aluno vai interpretar os enunciados dos problemas se ele não
constrói enunciados? Como vai resolver problemas se exigem dele
sempre como resolução correta a aplicação da operação
matemática? (p. 14).
Diante das dificuldades sentidas pelos alunos em entender o que está
sendo pedido durante a resolução de situações-problemas é que buscamos
caminhos para identificar o erro e propor meios à superação. Em nossa
investigação queremos inserir o saber significativo através de um estudo em
que a realidade do aluno seja o ponto de partida e em que a metodologia de
resolução de problemas, seja identificada como um possível caminho que
busque uma melhor compreensão dos enunciados das situações-problemas.
Especificamente no que se refere à matemática, os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN), que servem de referência para o trabalho das
Escolas da Rede Pública em geral, indicam a Resolução de Problemas como
ponto de partida das atividades matemáticas e discutem caminhos para se
fazer Matemática na sala de aula.
Em contrapartida à simples reprodução de procedimentos e ao
acúmulo de informações, educadores matemáticos apontam a
Resolução de Problemas como ponto de partida da atividade

13. matemática. Essa opção traz implícita a convicção de que o
conhecimento matemático ganha significado quando os alunos têm
situações desafiadoras para resolver e trabalham para desenvolver
estratégias de resolução (BRASIL, 1998, p. 39).
A resolução de problemas coloca para o professor desafios, porque esta
é uma atividade extremamente complexa que necessita de atenção, onde a
prática é necessária, mas não suficiente para garantir o alto nível de resolução
de cada desafio. Além da prática é necessário também que haja motivação e
autoconfiança para sua jornada de sucesso; estas devem ser as características
que um educador pode trazer para uma situação envolvendo resolução de
problemas; como também a capacidade de se formar uma imagem mental de
um problema escrito e a habilidade de inventar uma história.
É uma mudança conceitual e procedimental. Conceitual porque “resolver
problemas” não é a mesma coisa que situações-problema, e procedimental,
porque exige uma mudança no fazer pedagógico e na forma de compreender a
matemática (Carvalho, 1991, p. 81). Pois as dificuldades enfrentadas pela
maioria dos alunos, na resolução de problemas, passa por grandes desafios. O
primeiro deles, certamente, é a compreensão exata do que seja um problema.
Segundo Carvalho (1991, p. 82), “um problema é uma situação onde
ocorre um desequilíbrio”, ou seja, que exige uma solução não imediata, mas
para a qual dispomos de meios intelectuais de resolução. Para Chi e Glaser
(1983) “um problema é uma situação na qual um indivíduo atua com o
propósito de alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em
particular” (apud FIORENTINI, 2006, p. 68).
A partir das afirmações desses autores, podemos entender como
problema, qualquer situação para a qual os conhecimentos imediatos que o
aluno possui não são suficientes e que os coloca diante de um desafio, que
exigirá busca de procedimentos e a construção de novos saberes.
As considerações dos autores citados nos encaminham ao tema e à
proposta de conduzir atividades de forma a que todos participem, discutindo as

14. questões formuladas, onde o raciocínio e a interpretação façam parte do
processo para criação de um conhecimento matemático.
Diante da nossa prática matemática e das considerações acima, a nossa
inquietação fez nortear a questão da pesquisa: Será que através da
metodologia de resolução de problemas os educandos obterão melhores
resultados no desenvolvimento do ensino-aprendizagem da matemática?
“A resolução de problemas” é o tema do nosso trabalho, que se insere
na linha de pesquisa da Educação Matemática. Pretende-se contribuir para a
reflexão sobre como ensinar matemática aos discentes, procurando um melhor
caminho para superar os entraves envolvidos no ensino-aprendizagem da
mesma.
Com essa visão de mudança e quebra de paradigma é que
direcionamos nosso estudo para um contexto presente em nossa realidade na
5ª. série do Colégio Estadual denominado Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho,
na cidade de Campo Formoso-Ba. Esse Colégio será o ambiente de pesquisa
por sabermos que os educandos dessa Instituição enfrentam dificuldades no
ensino-aprendizagem da matemática.
Baseando-se neste contexto, definimos como objetivos:
- Identificar se através da metodologia de resolução de problemas, os
educandos terão um melhor desenvolvimento no ensino-aprendizagem da
matemática.
- Analisar a partir dos resultados obtidos, as contribuições produtivas
que essa metodologia venha a trazer, para o ensino-aprendizagem da
matemática escolar.
Pois segundo Dante (2007, p. 11):
Um dos principais objetivos do ensino da matemática é fazer o aluno
pensar produtivamente e, para isso, nada melhor que apresentar-lhe

15. situações-problema que o envolvam, o desafiem e o motivem a
querer resolvê-las. Esta é uma das razões pela qual a Resolução de
Problemas tem sido reconhecida no mundo todo como uma das
metas fundamentais da matemática.
A trajetória dessas reflexões inicia-se no processo de interação
professor-aluno e vivencia em sala de aula, que nos leva a observar o
desempenho dos alunos em relação ao ensino-aprendizagem da matemática
através da resolução de problemas. Com a prática dessa metodologia acredita-
se que o rendimento dos alunos possa melhorar, tornando a atividade
matemática em sala de aula mais dinâmica e prazerosa. Pois segundo
(ONUCHIC, 1999, p. 210), na abordagem de Resolução de Problemas como
uma metodologia de ensino, “o aluno tanto aprende matemática resolvendo
problemas como aprende matemática para resolver problemas”.
Assim, os alunos do Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho, terão a
oportunidade de ampliar seus conhecimentos matemáticos, bem como de
ampliar a visão que têm dos problemas da matemática, desenvolvendo sua
autoconfiança e mostrando se esta abordagem contribui para a sua
aprendizagem.
Acreditamos que esse trabalho será de grande importância social e
científica, pois estaremos buscando possibilidades de mudança no ensino da
matemática, colaborando com novas concepções, apresentando proposta de
mudança na realidade da prática pedagógica, oportunizando a melhoria do
ensino-aprendizagem.

16. CAPÍTULO II
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 – O Ensino da Matemática e a Resolução de Problemas: Contexto
histórico
O conhecimento matemático é resultante da própria evolução da
humanidade, e se manifestou perante a necessidade de elaboração de
conhecimentos capazes de resolver situações cotidianas dos povos antigos.
As pesquisas arqueológicas sempre mostram o homem vivendo em
grupos, inicialmente nômades, alimentando-se da caça, da pesca, do
pastoreio ou da pilhagem de outros grupos. Nos tempos primitivos
não havia posses individuais e assim, não era necessário contabilizá-
las. Estudos de línguas confirmam essa idéia, mostrando
diferenciações apenas para os termos um, dois e muitos. (...) Com o
fim da glaciação e o recuo do gelo para os pólos, as plantas
começaram a nascer. Há cerca de dez mil anos, nossos
antepassados descobriram que podiam alimentar-se delas e, assim,
aos poucos foram se estabelecendo nos vales às margens de
grandes rios, como Nilo, no Egito, o Ganges, na Índia, o Yang-tsé e o
Amarelo, na China (TOLEDO, 1997, p.19).
A partir daí, segundo Toledo (1997), teve início um novo modo de vida,
com terras cultivadas, aldeias e a necessidade cada vez maior de organização.
O planejamento apesar de muito rudimentar da produção das terras, dos
rebanhos, da divisão das terras cultiváveis, das colheitas, a quantificação,
gerou questionamentos relacionadas à quantidade de animais, de sementes
para plantio, quantidades de luas para a próxima colheita. Dessas primeiras
necessidades de contagem até o conceito de número, muitas gerações
transcorreram deixando-nos sua contribuição.
Em função da necessidade do homem de se organizar, surgiram os
números e conseqüentemente a partir daí, o nascimento da matemática.
A matemática surgida na Antiguidade por necessidades da vida
cotidiana, converteu-se em um imenso sistema de variadas e
extensas disciplinas, como a álgebra, a aritmética e a geometria. (...)
Assim a matemática, como as demais ciências, reflete as leis sociais
e serve de poderoso instrumento para o conhecimento do mundo e
domínio da natureza (BRASIL, 1998, p. 26).

17. De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998, p.
32), a matemática comporta um amplo campo de relações, regularidades e
coerências que despertam a curiosidade e instigam a “capacidade de
generalizar, projetar, prever e abstrair, favorecendo a estruturação do
pensamento e o desenvolvimento do raciocínio lógico”. Faz parte da vida de
todas as pessoas nas experiências mais simples como contar, comparar e
operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a salários, pagamentos e
consumo, na organização de atividades como agricultura e pesca a matemática
se apresenta como um conhecimento de muita aplicabilidade. Também é um
instrumento importante para diferentes áreas do conhecimento, por ser
utilizada em estudos tanto ligados às ciências da natureza como às ciências
sociais e por estar presente “na composição musical, na coreografia, na arte e
nos esportes”. Da mesma forma, a sobrevivência numa sociedade que, a cada
dia, torna-se mais complexa, exigindo novos padrões de produtividade,
depende cada vez mais do conhecimento matemático.
A preocupação com o ensino da matemática cresceu a partir do século
XX, quando surgiram várias iniciativas para organizar mudanças necessárias
na prática do professor, ligadas à percepção de como os conteúdos são
ministrados. Segundo Toledo (1999), no início do século XX, o ensino da
Matemática foi caracterizado por um trabalho apoiado na repetição, no qual o
recurso à memorização de fatos básicos era considerado importante. O
professor falava, o aluno recebia a informação, escrevia, memorizava e repetia.
Repetia exercícios feitos em sala de aula e treinava em casa. Media-se o
conhecimento do educando, recebido através de repetição, com a aplicação de
testes em que, se ele repetisse bem o que o professor havia feito, concluía-se
que sabia. Alguns educandos chegavam a compreender o que faziam, contudo,
se esquecia do que havia memorizado em pouco tempo. Nessa época, o
currículo não estava bem definido, embora houvesse um caminho de trabalho
na área aritmética, algébrica e geométrica.
Algumas destas características permanecem no ensino da matemática
até hoje. Em nosso país o ensino da Matemática ainda é marcado pelos autos
índices de retenção, pela formalização precoce de conceitos, pela excessiva

18. preocupação com o treino de habilidades e mecanização de processos sem
compreensão (PCN’s, 1998).
Com o passar dos anos, o ensino da matemática deixou de ser
trabalhado com o apoio na repetição para ser trabalhado numa orientação que
primava à aprendizagem dos alunos pela compreensão, porém usavam de
técnicas operatórias na resolução de problemas, para essa nova forma de
aprendizagem. Informação baseada nas afirmações de (ONUCHIC, 1999),
onde cita:
Anos depois, dentro de uma outra orientação, os alunos deviam
aprender com compreensão. Esta reforma descartava a anterior. As
tabuadas e seus treinos eram condenados. O aluno devia entender o
que fazia. Mas o professor falava, o aluno escutava e repetia, não
participava da construção de seu conhecimento. O trabalho se
resumia a um treinamento de técnicas operatórias que seriam
utilizadas na resolução de problemas – padrão ou para aprender
algum conteúdo novo (p. 201).
As duas reformas tiveram desempenhos não satisfatórios. Segundo
Onuchic (1999), essas duas formas de ensino, repetição e compreensão, não
lograram sucesso quanto à aprendizagem dos educandos.
Nas décadas de 60 e 70, o ensino da matemática no Brasil e em outros
países do mundo foi influenciado por um movimento de renovação conhecido
como Matemática Moderna. Esta reforma também deixava de lado as reformas
anteriores.
A matemática moderna nasceu como um movimento educacional
inscrito numa política de modernização econômica e foi posta na linha
de frente do ensino por se considerar que, juntamente com a área de
ciências naturais, ela se constituía via de acesso privilegiada para o
pensamento científico e tecnológico (BRASIL 1998, p. 21).
Nesta época, procurou-se aproximar a matemática desenvolvida na
escola da matemática como é vista pelos estudiosos e pesquisadores.
Segundo Bicudo (1999), esse movimento apresentava uma matemática
estruturada, apoiada em estrutura lógica, algébrica, topológica e enfatizava a
teoria dos conjuntos. Realçava muitas propriedades, tinha preocupações
excessivas com abstrações matemáticas e apresentavam uma linguagem

19. matemática universal, concisa e precisa. Entretanto, acentuava o ensino de
símbolos e uma terminologia complexa que comprometia o aprendizado.
Ainda segundo Bicudo (1999), nessa reforma o aluno não percebia a
ligação que todas aquelas propriedades enunciadas tinham a ver com a
matemática dos problemas e, principalmente, com a matemática usada fora da
escola. Embora procurasse usá-las em exercícios de aplicação, repetindo o
que havia sido feito em classe e dizendo o nome daqueles novos símbolos
matemáticos que lhes eram apresentados. Na maioria das vezes, não
conseguia lhes dar significado. Esse ensino passou a ter preocupações
excessivas com a formalização, distanciando-se das questões práticas.
Todas essas reformas não tiveram o sucesso esperado. Pois de acordo
com Onuchic (1999), os questionamentos continuavam: “Estariam essas
reformas para formação de um indivíduo consciente, útil à sociedade em que
ele vivia? Buscavam elas ensinarem Matemática de modo a preparar os
educandos para um mundo de trabalho que exigia mais conhecimento
matemático”? (p. 203).
Surge então à necessidade de uma reforma pedagógica, proposta pelos
responsáveis pela elaboração do currículo, da época. Desencadeia a partir daí,
a idéia de pesquisas de materiais novos e métodos de ensino renovados;
incluindo também a preocupação e a intensificação de estudos e pesquisas na
área da didática da matemática.
No início dos anos 70, a preocupação com habilidades matemáticas
básicas ficou evidente, sendo a resolução de problemas na área de
matemática, uma alternativa metodológica a ser desenvolvida.
Já final desta década, a “Resolução de Problemas” ganhou espaço no
mundo inteiro. Começou o movimento a favor do ensino da matemática através
da resolução de problemas.
De acordo com (Onuchic, 1999, p. 204), uma das primeiras
recomendações dizia que, “resolver problemas devia ser o foco da Matemática
escolar para os anos 80”. E destacava que o desenvolvimento de habilidades

20. em resolução de problemas, deveria dirigir os esforços dos educadores
matemáticos por toda essa década e que o desempenho em saber resolver
problemas mediria a eficiência de um domínio pessoal e nacional, da
competência matemática.
Podemos perceber que a resolução de problemas, como abordagem
metodológica, não era um modismo de ensino e sim uma abordagem da
matemática que iria contribuir para uma matemática ampla, voltada para a
cidadania.
2.2 – A Resolução de Problemas na prática educativa da matemática
Como foi afirmado anteriormente, em nível mundial, as investigações
sistemáticas sobre a Resolução de Problemas e suas implicações curriculares,
tiveram início na década de 70, época em que os educadores matemáticos
passaram a aceitar a idéia de que o desenvolvimento da capacidade de
resolver problemas merecia mais atenção. Porém, o ensino da resolução de
problemas, enquanto campo de pesquisa em educação matemática começou a
ser investigado de forma sistemática sob a influência de Polya, nos Estados
Unidos, a partir dos anos 60, conforme lemos:
Embora grande parte da literatura hoje conhecida em Resolução de
Problemas tenha sido desenvolvida a partir dos anos 70, os trabalhos
de George Polya datam de 1944. A partir do final da década de 1960,
a metodologia de investigação, utilizando sessões de resolução de
problemas em grupo e com os alunos se manifestando em voz alta,
se tornou prática comum. O período de 1962 a 1972 marcou a
transição de uma natureza quantitativa para uma qualitativa (Andrade
1998, apud ONUCHIC, 1999, p. 203).
Segundo Deguire (1997, p. 99), Polya ensinava através do exemplo. Ao
ensinar a resolver problemas, era um companheiro. “Ele não apresentava
problemas resolvidos, mas a serem resolvidos”. Polya levava uma classe à
solução de um problema com perguntas que apontavam caminhos e com
sugestões de estratégias produtivas. Como comentarista, ele na maioria das
vezes, discutia o que estava acontecendo. Seus comentários “ilustravam a
diferença de resolver um problema com uma classe e ensinar a resolver

21. problemas”. Ou seja, seus comentários enfatizavam mais os métodos que
seriam usados do que uma solução particular de um problema.
Ainda segundo Deguire (1997, p. 99), Polya não dava uma série de
problemas que exigiam do educando usar o mesmo método. Ao contrário, ele
começava com um, assim que os educandos os assimilavam, gradualmente
introduzia outros. “Ele assumia o papel de comentarista, não só durante os
episódios de resolução de problemas, mas também no seu final”.
Constantemente fazia com que seus alunos mergulhassem na resolução
reflexiva de problemas; “refletia sobre o problema e sua solução”, procurando
outros métodos de solução, generalizando os resultados e as estratégias,
criando assim, novos problemas.
Para que o aluno resolva problemas matemáticos é importante que ele
saiba quais são os componentes desse problema, ou seja, o que está sendo
pedido e não busque apenas a resolução mecânica. Ele deve ler e interpretar
as informações contidas no enunciado, criando uma estratégia de solução e
confrontar a solução por ele encontrada.
Há várias sugestões de se analisar o processo de pensamento para a
resolução de um problema matemático. Todas elas procuram determinar fases
ou estágios. Polya (1985, apud Dante 2007, p. 22) propõe quatro estágios
principais para a Resolução de Problemas:
1. Compreender o problema – Analisar detalhadamente o enunciado até
encontrar, com precisão, quais são os dados e sua condição. Nessa fase,
tenta-se perceber claramente o que é necessário, isto é trabalhar para o fim
que se deseja.
2. Construir uma estratégia de resolução – Tentar usando a experiência
passada, encontrar um plano de ação, um método de solução. Isso pode
acontecer gradualmente, ou então, após várias tentativas.

22. 3. Executar as estratégias – Experimentar o plano de solução passo a passo. O
plano proporciona apenas um roteiro geral. É preciso examinar e executar os
detalhes, um a um, até que tudo fique perfeitamente claro e resolvido.
4. Examinar a solução encontrada – Checar o resultado por outros caminhos.
Efetuar uma revisão crítica do trabalho realizado, checando o resultado e o
raciocínio utilizado.
As quatro etapas acima citadas não são rígidas, fixas e infalíveis, mas
direciona a prática resolutiva. Pois segundo Dante, (2007, p. 22 e 23), “o
processo de resolução de problemas é algo mais rico, que não se limita a
seguir instruções passo a passo que levarão à solução, como se fosse um
algoritmo”. Entretanto, Segundo Dante, o esquema de Polya, de um modo geral
ajuda o solucionador a se orientar durante o processo.
A compreensão da resolução de um problema só se efetiva se o aluno,
ao final, for capaz de comprovar os resultados, avaliar hipóteses e
compreender diferentes algoritmos. O processo de escolha das estratégias de
resolução é mais importante do que o produto final, pois, fornece valiosas
informações sobre o acúmulo de conhecimento dos educandos. (DEGUIRE,
1997).
Para Carvalho (2005) o importante na resolução de problemas
matemáticos é incentivar os alunos a decifrarem o seu enunciado, levando-os a
refletirem sobre o que realmente está sendo pedido.
Alguns professores são muito rigorosos e exigem demais de seus alunos
em demonstrações, avaliação e correção de exercícios. Esse comportamento
não valoriza o raciocínio do educando e pode desestimulá-lo. Para que isso
não aconteça “é fundamental orientar a aprendizagem para uma introdução
mais intuitiva das idéias matemáticas, deixando para depois (...) o tratamento
mais formal” (VITTI, 1999, p. 37).

23. O professor de matemática deve sempre incentivar seus alunos,
levando-os a questionar constantemente, aguçando a sua curiosidade, dando-
lhes condições de chegar com exatidão às respostas, o que contribuirá para
que eles se saiam bem quando precisarem aplicar esses conhecimentos à sua
vida prática. A esse respeito Freire (1979, p. 27) afirma que “o conhecimento
exige uma posição curiosa do sujeito frente ao mundo, requer sua ação
transformadora sobre a realidade e exige uma busca constante”.
A escola jamais deve inibir a curiosidade natural do aluno, ao contrário,
deve estimular essa curiosidade. Segundo Vitti (1999) a matemática apresenta
diversas regras e fórmulas e alguns professores acham que a matemática é
apenas isso: fórmulas e regras. No entanto, essas fórmulas deveriam ser
conseqüências naturais do desenvolvimento de uma idéia matemática, de um
problema, porque ela é apenas o resumo de uma idéia.
No momento em que os problemas matemáticos forem colocados diante
do educando, o mais importante é que eles procurem os caminhos que possam
levar a uma solução. Ao investigar diferentes soluções, o aluno estará se
motivando e sentindo prazer por estar aprendendo a descobrir os caminhos
que lhe trará resultados satisfatórios. A solução do problema matemático tem
que ser encontrada por ele e para ele.
Para que os educandos aprendam a resolver problemas é necessário
que assimilem os conceitos referentes a esses problemas. Os conceitos, ao
serem adquiridos, sofrem, gradativamente, mudanças; o indivíduo se concentra
cada vez mais em seus atributos essenciais evidentes. O conteúdo conceitual
genérico tende a ser preenchido por atributos particularizados, tornando-se
mais amplo e abstrato. Não necessariamente, o indivíduo deixa de lado as
experiências empírico-concretas, porém utiliza-se desses conceitos
anteriormente adquiridos como ancoragem, “para que os novos conceitos
possam ser pertinentemente relacionados na estrutura cognitiva. Dessa forma,
os significados posteriores não são apenas construídos, mas absorvem os
primeiros e os mais simples” (BARALDI, 1999, p. 49).

24. È muito comum em sala de aula ser aplicado problemas que são
resolvidos sempre da mesma forma, a partir de técnicas e conceitos
aprendidos de maneira monótona. Esta forma de aprendizagem está
totalmente defasada. Quando se trabalhar com resolução de problemas deve-
se conduzir o aluno a um processo de investigação para se obter a resposta
desse problema. Na resolução de problemas o professor deve estar atento ao
desenvolvimento de competências e habilidades que envolvam criar, perguntar,
deduzir e validar soluções. “Os alunos devem ter espaço para solucionar
problemas com técnicas e abordagens imprevisíveis”, afirma Sampaio (2004, p.
5).
Os professores de matemática, para serem realmente eficientes, devem
envolver quatro componentes básicos em suas atividades: gostar da disciplina
matemática, o que significa fazer matemática com prazer; compreender como
os alunos aprendem e constroem suas idéias; ter habilidade em planejar e
selecionar tarefas e, assim, fazer com que os alunos aprendam matemática
num ambiente de resolução de problemas; ter habilidade em integrar
diariamente a avaliação com o processo de ensino afim de melhorar esse
processo e aumentar a aprendizagem (BICUDO e BORBA, 2005).
Segundo Sampaio (2004) para acabar com as dificuldades sentidas
pelos alunos na resolução de problemas, o professor deve iniciar apresentando
problemas mais simples e que tenham algum significado para os educandos,
que se refiram a situações familiares. Devem ser apresentados também
problemas com enunciados divertidos e desafiadores, que possibilitem uma
ampla gama de soluções e que desperte motivação nos alunos.
Bicudo e Borba (2005) afirmam que ensinar matemática através da
resolução de problemas não é apenas apresentar o problema e esperar que o
aluno o resolva. O professor deve criar um ambiente motivador e estimulante,
antes, durante e depois da aula. Inicialmente, o professor deve verificar se os
alunos estão mentalmente prontos para receber o problema, se estão
entendendo o seu enunciado. Em seguida, na fase “durante”, o professor deve
observar como os alunos estão trabalhando, resolvendo o problema. Por

25. último, o professor deve aceitar o resultado encontrado pelos alunos e conduzir
a discussão sobre as possíveis soluções encontradas.
Sem dúvida, ensinar matemática através da resolução de problemas é
uma “abordagem consistente com as recomendações da NCTM e dos PCN,
pois conceitos e habilidades matemáticas são aprendidos no contexto da
resolução de problemas” (BICUDO e BORBA, 2005, p. 222).
O professor de matemática, ao “ensinar” a resolução de problemas,
enfrenta um certo despreparo porque durante a sua formação como educador,
vivenciou um ensino sob pressão, sendo sobrecarregado com informações e
sem nenhuma possibilidade de tomar suas próprias decisões, afirma Rabelo
(2004). Foi-lhe proibido resolver problemas, ele somente teve o dever de
decorar soluções, não teve o direito de opinar, de raciocinar. Como é que uma
formação acadêmica realizada dessa forma pode estimular mudanças nos
alunos?
Os estudos na área de Educação Matemática propõem que para
construir novos referenciais de ensino é necessário refletir conjuntamente e
propor novas ações. Como nos afirma Smole e Diniz (2001, p. 149), ”é preciso
que os alunos sejam encorajados a se engajarem efetivamente em situações
novas, buscando desenvolver o interesse pelo problema”. Segundo a autora,
agindo dessa forma estamos contribuindo para que os educandos sejam muito
mais autônomos e capazes de enfrentar os problemas propostos sem medo ou
receios.
Neste contexto, entra o papel do educador como principal condutor para
a elaboração de um trabalho pedagógico, com a apropriação da capacidade de
planejar, selecionar atividades significativas, interessantes e variadas,
teoricamente fundamentadas para atingir objetivos claramente específicos,
proporcionando o conhecimento do educando.

26. 2.3 – Resolução de problemas para uma aprendizagem significativa:
Perspectivas em Educação Matemática
Pensadores e pesquisadores, de acordo com Bicudo (1999) estudaram
ou têm estudado a respeito da atividade de resolver problemas. Pois segundo
ela, a atividade de resolver problemas recai na questão filosófica de pensar
sobre o pensamento; neste sentido, os filósofos gregos como Sócrates e Platão
trazem algumas contribuições. Para Sócrates, o indivíduo já detém o
conhecimento a ser usado para resolver o problema e, portanto, a atividade de
resolver problemas não passa de mera recordação. Para exemplificar seu
método, certa vez Sócrates fez um escravo demonstrar o Teorema de
Pitágoras apenas lhe fazendo algumas perguntas. Podemos notar, portanto,
que o fato de Sócrates fazer perguntas já era um encaminhamento na solução
do problema.
As primeiras idéias um pouco mais positivas e razoáveis no sentido da
validade na resolução de problemas vem com o filósofo e matemático francês
Descartes (1596 - 1650). A propósito, o importante em Descartes são suas
idéias sobre pensamento produtivo que tinham um papel importante no seu
ambicioso projeto de construção de um método geral de resolução de
problemas. Procurava expor em detalhes como, seu método, seria possível
resolver qualquer problema. Em resumo, Descartes vê o processo de resolução
de problemas em três fases:
- Reduzir todo problema algébrico a um problema contendo apenas
equação;
- Reduzir todo problema matemático a um problema algébrico;
- Reduzir qualquer problema a um problema matemático.
Podemos notar que Descartes objetivava reduzir todo problema que
existe no mundo a um problema matemático; mais que isso, a idéia de
Descartes era completar o projeto de resolver problemas citado acima e ainda
usufruir de seus benefícios. É importante citar Descartes em detalhes, pois
algumas de suas sugestões para o ensino e a resolução de problemas

27. antecipam idéias de George Polya, que definiu o que caracteriza este conteúdo
quando mencionou:
Problemas é uma habilidade prática, como nadar, esquiar ou tocar
piano: Você pode aprendê-lo por meio de imitação e prática. (...) se
você quer aprender a nadar você tem de ir à água e se você quer se
tornar um bom ‘resolvedor de problemas’ tem que resolver
problemas. (apud DEGUIRE, 1997, p. 113).
A partir daí, pesquisas que precederam mostraram que a idéia de
problema matemático consiste em que, o que para alguns é um problema para
outros é um exercício e para alguns outros uma distração. Um matemático, ao
descrever o seu trabalho, certamente não deixará de pronunciar duas palavras
presentes no seu dia a dia: problema e prova. O problema é o meio pelo qual a
Matemática se desenvolve, ou seja, o “alimento” da evolução matemática. Um
problema tem seu grau de importância relacionado à quantidade de idéias
novas que ele traz à matemática e o quão ele é capaz de impulsionar os
diversos ramos da Matemática – sobretudo aqueles em que ele não está
diretamente relacionado. A prova está indissoluvelmente ligada ao problema e
é a única maneira de atestar ou não a solução matemática do mesmo. A prova
representa o rigor, a solidez e a consistência da teoria matemática e nada mais
é do que uma seqüência de raciocínios dedutivos que parte de fatos de
veracidade já conhecida – como teoremas e axiomas – e chega até o resultado
em demonstração, resolvendo o problema (FIORENTINI, 2006, p. 60).
No contexto de educação matemática, um problema, ainda que simples,
pode suscitar o gosto pelo trabalho mental se desafiar à curiosidade e
proporcionar ao aluno o gosto pela descoberta da resolução. Neste sentido, os
problemas podem estimular a curiosidade do aluno e fazê-lo a se interessar
pela Matemática, de modo que ao tentar resolvê-los o aluno adquire
criatividade e aprimora o raciocínio, além de utilizar e ampliar o seu
conhecimento matemático. (FIORENTINI, 2006, p. 64)
Diante do exposto, precisamos entender o que é de fato um problema
em matemática. Podemos dar uma definição intuitiva de problema: “um
problema matemático é toda situação requerendo a descoberta de informações

28. matemáticas desconhecidas para a pessoa que tenta resolvê-lo e/ou a
invenção de uma demonstração de um resultado matemático dado. Ainda,
segundo Newell & Simon (1972)”, um problema é uma situação na qual um
indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das ações
necessárias para concretizar a sua ação”, ou segundo Chi e Glaser (1983) “um
problema é uma situação na qual um indivíduo atua com o propósito de
alcançar uma meta utilizando para tal alguma estratégia em particular” (apud
FIORENTINI, 2006, p. 68).
A partir dos conceitos de problemas acima, entendemos que existe um
problema quando há um objetivo a ser alcançado e não sabemos como atingir
esse objetivo. “Em matemática, existe um problema quando há um resultado –
conhecido ou não – a ser demonstrado utilizando a teoria matemática. Um
problema é mais valioso à medida que o resolvedor – ou seja, quem está se
propondo a encontrar uma solução ao problema - tenha de inventar estratégias
e criar idéias”. Quem resolve pode até saber o objetivo a ser atingido, mas
ainda estará enfrentando um problema se ele ainda não dispõe dos meios para
atingir tal objetivo. (DANTE, 2002, p. 47)
Dentre as características que definem os problemas de acordo com
Dante (2002) podemos observar que o caminho da resolução é desconhecido,
ao menos em boa parte também são complexos, precisam de vários pontos de
vista; a solução só é atingida após intenso trabalho mental; embora o caminho
possa ser curto, ele tende a ser difícil; necessitam de lucidez e paciência, um
problema começa com uma aparente desordem de idéias e é preciso adotar
padrões que permitirão construir o caminho até a solução. Nem sempre todas
as informações necessárias estão aparentes; por outro lado, pode existir
conflito entre as condições estabelecidas pelo problema. Não há resposta
única: normalmente ocorre de existirem várias maneiras de se resolver um
dado problema; no entanto, pode acontecer de não existir uma melhor solução
ou até de não haver solução – ou seja, resolver um problema não é o mesmo
que achar a resposta. (p. 53).

29. É importante ressaltar que problemas e exercícios são diferentes na
prática pedagógica. Por muitas vezes o professor de Matemática da Educação
Básica costuma pedir para o aluno resolver exercícios ou problemas - até os
livros didáticos induzem a utilizar esta palavra - para aprender um determinado
tópico da matéria. Ou seja, é preciso diferenciar problema de exercício,
palavras estas muitas vezes utilizadas como equivalentes pelos professores de
Matemática. O exercício é uma atividade de adestramento no uso de alguma
habilidade ou conhecimento matemático já conhecido pelo resolvedor, como a
aplicação de algum algoritmo ou fórmula já conhecida. Ou seja, o exercício
envolve mera aplicação de resultados teóricos, enquanto o problema
necessariamente envolve invenção e/ou criação significativa. "É bom trabalhar
em qualquer problema com tanto que ele gere Matemática interessante durante
o caminho mesmo se o não resolvermos no final" (MALONE apud KRULIK e
REIS, 1997, p. 289).
Assim, a resolução de problemas constitui uma metodologia eficiente e
significativa para a comunidade da educação matemática em todo o mundo,
que, não obstante, o esforço visível em muitas publicações de definir o que é
um problema e de criar categorias, ainda subsiste, por vezes, alguma
indefinição quanto à relação existente entre o processo de resolução de
problemas e o processo investigativo. Polya procurou ajudar a descortinar o
significado de problema, num sentido amplo, fazendo distinção entre o
problema em si e o processo de resolução. Em seus fundamentos afirma que
uma pessoa tem um problema quando procura "conscientemente uma certa
ação apropriada para obter um objetivo claramente concebido mas não
atingível de maneira imediata." ( Polya apud KRULIK e REIS, 1997, p. 270).
Trazendo para os nossos dias, hoje talvez mais do que em qualquer
outra época, a educação é universalmente reconhecida como essencial ao
desenvolvimento integral das pessoas e da própria sociedade. Uma sociedade
como a atual, cada vez mais permeada por novas descobertas nos campos das
ciências e das tecnologias, logo disponibilizadas a praticamente todas as
pessoas, exige uma nova dinâmica relativa aos modos de transmissão e
aquisição de conhecimentos. A adequação de novas concepções do ensino do

30. professor em seus diversos níveis a essa nova sociedade é uma necessidade
urgente e permanente.
Com base nos PCN‘s (1998), foram propostas mudanças significativas
para o ensino Fundamental no Brasil. A nova Lei de Diretrizes e Bases da
Educação Nacional (LDB) alterou o caráter proeminentemente propedêutico e
profissionalizante desse nível de ensino, atribuindo-lhe o papel de etapa básica
de um processo educativo de caráter geral, permitindo a inserção no mercado
de trabalho, mas ao mesmo tempo viabilizando a continuidade dos estudos a
quem o desejasse. De acordo com essa perspectiva, faz parte das funções do
Ensino Fundamental desenvolver no indivíduo o pensamento crítico e a
autonomia intelectual, de forma que ele se sinta não só apto a adquirir novos
conhecimentos, como também preparado a assumir plenamente seu papel na
construção de uma sociedade mais justa e democrática.
Através dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN’s, 1998) para o
Ensino Fundamental, o MEC buscou dar um novo sentido ao conhecimento
escolar acentuando a importância da contextualização dos diversos conteúdos,
sugerindo que se evitasse a fragmentação dos saberes. No que se refere ao
ensino e à aprendizagem significativa de matemática no Ensino Fundamental,
os parâmetros recomendam explicitamente que, além de considerá-la como
ciência autônoma, com uma linguagem própria e métodos de investigação
específicos, não se deve esquecer do seu aspecto instrumental, com
importante função integradora junto às demais ciências humanas e da
natureza. Nesse sentido, os conteúdos matemáticos devem ser desenvolvidos
de modo a permitir que os alunos usufruam tanto do valor intrínseco da
matemática quanto de seu aspecto formativo, instrumental e tecnológico.
Conciliar e desenvolver cada um desses aspectos não é tarefa fácil.
Para dar conta de tais exigências, é necessário que ocorram mudanças
significativas no espaço da sala de aula de matemática no Ensino
Fundamental. Mas como realizar as mudanças necessárias? Como reverter o
quadro de imobilismo que vemos imperar a tanto tempo? Como a matemática
pode contribuir para instrumentalizar e estruturar o pensamento dos alunos,
capacitando-os a, resolver situações de problemas cotidianos, estabelecerem

31. argumentações, analisar e avaliar, tomar decisões, generalizar, abstrair e
tantas outras ações que deles se espera ao final dessa etapa? O que deve
conceber o professor de matemática para tornar seu ensino mais eficiente?
A matemática é uma área naturalmente propicia ao desenvolvimento e à
manutenção de um diálogo permanente com a vida cotidiana e com outras
áreas do conhecimento. Segundo os PCN’s (2001), a matemática, por ser
universal ocupa uma posição de destaque, no contexto das ciências, assim
como no desenvolvimento da sociedade e da educação. (p. 211).
Desta forma, a educação atua sobre a vida e o crescimento de uma
sociedade, tanto no desenvolvimento de suas forças produtivas quanto de seus
valores culturais. Numa sociedade, a educação envolve situações de
aprendizagens informais e formais. Quanto ao ensino, deve-se destacar a
maneira bastante precisa pela qual Hirst & Peters (apud Baraldi, 1999) o
descrevem:
Existem muitas formas de aprendizado que continuam sem ensino, e
o aprendizado educativo não subentende o critério adicional de que o
aprendizado deva ocorrer numa situação de ensino. Pode ser um fato
empírico geral que a maioria das coisas seja aprendida com mais
rapidez e segurança se a situação é explicitamente estruturada por
um professor. Mas por certo não é uma verdade conceitual que o
aprendizado ou a educação implique ensino (p. 34).
É importante frisarmos segundo Baraldi (1999), que a educação é
diferente de ensino, podendo ser adquirida pelo ensino, mas não se reduzindo
a este, ou seja, é um processo mais amplo, englobando-o.
Para Brandão (1994), a escola é a instituição social responsável pela
educação através do ensino. É seu dever, então, planejar intencionalmente as
atividades objetivas para atingir a aprendizagem, ou seja, sob orientação de
seu corpo docente, criar situações educacionais ou de ensino. O ensino escolar
não é um fato isolado, descontextualizando socialmente, pois também não
existe um ensino universal. “O que existe de fato são exigências sociais de
formação de tipos concretos de pessoas na e para a sociedade” (p. 35).

32. Atualmente, as exigências feitas à educação, em específico ao ensino
escolar, são as de proporcionar aos indivíduos uma formação que os possibilite
construir seu próprio conhecimento, frente às inovações tecnológicas, a fim de
que sejam criativos e autônomos moral e intelectualmente. Porém, na
sociedade brasileira, é evidente o descaso social para com as gerações de
crianças e adolescentes que, em sua maioria, acabam na marginalidade, “seja
pelo processo mais amplo de exclusão da própria escola, ou do
empobrecimento da população” (BARALDI, 1999, p. 36).
Boavida (1993), apud Baraldi (1999), ressalta que todo cidadão, para ter
acesso ao mundo do conhecimento científico e tecnológico, precisa possuir
uma cultura matemática básica que lhe permita interpretar e compreender
criticamente a Matemática subjacente a inúmeras situações do dia-a-dia, e
também lhe permita resolver problemas e tomar decisões diante dos mais
variados aspectos de sua vida, nos quais a Matemática esteja presente.
Levando-se em conta o exposto, a intenção neste trabalho é fazer com
que o ensino da matemática contribua para a inclusão desses sujeitos nesse
contexto contemporâneo, melhor ainda, fazer com que o educando adquira
uma aprendizagem significativa através da resolução de problemas.
Para David Ausubel (1968), a idéia de uma aprendizagem significativa
no geral “é estabelecer significados de idéias novas com as já existentes do
contexto do aluno, o material a ser apresentado precisa dinamizar essa
relação, afim de que o individuo possa traduzir verbalmente e de forma
adequada o que lhe foi ensinado.” A estrutura cognitiva é o fator que mais
influencia a aprendizagem, “se a estrutura cognitiva estiver bem organizada, o
aluno terá mais facilidade de aprendizagem e conseqüentemente, melhor
compreensão de um conteúdo”. (apud BARALDI, 1999, p. 38)
Com base nesta teoria acima citada, reportamo-nos novamente aos
Parâmetros Curriculares Nacionais quando mencionam:
Cabe ao educador por meio da intervenção pedagógica, promover a
realização de aprendizagens com o maior grau de significado
possível, uma vez que esta nunca é absoluta sempre é possível

33. estabelecer alguma relação entre o que se aprende conhecer e as
possibilidades de observação, reflexão e informação (...) (PCN’s,
1998 – Introdução – vol. I p. 53).
Segundo Gadotti (1999), o educador para pôr em prática o diálogo, não
deve colocar-se na posição de detentor do saber, deve antes, colocar-se na
posição de quem não sabe tudo, reconhecendo que mesmo um analfabeto é
portador do conhecimento mais importante: o da vida.
No que diz respeito ao conteúdo de Resolução de Problemas, o
aprender neste sentido se torna mais interessante quando o aluno se sente
competente pelas atitudes e métodos de motivação em sala de aula. O prazer
pelo aprender não é uma atividade que surge espontaneamente nos alunos,
pois, não é uma tarefa que estes cumprem com satisfação, sendo em alguns
casos encarada como obrigação. É preciso que o educador desperte a
curiosidade dos alunos, acompanhando suas ações no desenvolver das
atividades. Suas concepções não devem se limitar somente com o
conhecimento através da absorção de informações, mas também pela
construção da cidadania do aluno. Historicamente seu papel é de facilitador de
aprendizagem, aberto às novas experiências, procurando compreender numa
relação empática, também os sentimentos de seus alunos levando-os à auto-
realização.
Por mais que o educador trabalhe com clareza e objetividade, a
comunicação nunca alcançará a todos com a mesma eficácia. Em uma sala de
aula, cada estudante estará com a cabeça repleta de outros tempos e outros
espaços. A proximidade física e o propósito comum não fazem deles um bloco
de disposição pronto para assimilar e anotar o discurso do professor. O
entendimento proveitoso entre professor e seus alunos não se estabelece
porque aquela é a hora daquela disciplina. (SANTOS, 2003, p. 23).
D’Ambrósio (1997, p. 35 - 40) acredita que o professor de Matemática
deve ter em suas concepções quatro características: visão do que vem a ser a
matemática; visão do que constitui a atividade matemática; visão do que
constitui aprendizagem matemática; visão do que constitui um ambiente
propício à atividade matemática. Ainda segundo D’Ambrosio, há uma grande

34. necessidade de modificarmos nossos programas de formação de professores e
discutir os tipos de experiências necessárias, para que eles possam
reconceituar sua visão do que vem a ser a Matemática e do que caracteriza a
legítima matemática. São eles:
1. Experiências matemáticas através das quais o futuro professor de
Matemática deve aprender os conteúdos específicos por meio de metodologias
alternativas, visando a investigação, à resolução de problemas, às aplicações,
assim como uma análise histórica, socióloga e política do desenvolvimento da
disciplina.
2. Experiências com alunos, destacando-se necessidade de os
programas de formação de professores as incorporem desde o início.
D’Ambrósio entende que os futuros professores constroem seu conhecimento
sobre ensino da Matemática através desse contato com os alunos.
Consideramos o professor de Matemática o principal mediador entre os
conhecimentos matemáticos historicamente produzidos e os alunos, e um dos
grandes responsáveis por possíveis transformações tanto na escola, como na
sociedade. Entendemos, por isso, que a formação clássica desse profissional,
inicial e continuada, necessita ser transformada e concebida da perspectiva do
desenvolvimento profissional. Sobre isso, Garcia contribui, dizendo:
...mais do que os termos aperfeiçoamento, reciclagem, formação em
serviço, formação permanente, convém prestar uma atenção especial
ao conceito de desenvolvimento profissional dos professores, por ser
aquele que melhor se adapta à concepção atual do professor como
profissional do ensino. A noção de desenvolvimento tem uma
conotação de evolução e continuidade que nos parece superar a
tradicional justaposição entre a formação inicial e aperfeiçoamento
dos professores (1995, p. 55).
A importância de encarar a formação na perspectiva do desenvolvimento
profissional resulta da constatação de que uma sociedade em constante
mudança impõe ao professor responsabilidades cada vez maiores. Introduzir
essa concepção representa uma nova perspectiva de olhar os professores de
Matemática, pois, ao valorizar o seu entendimento profissional, eles passam a
ser considerados como profissionais autônomos e responsáveis, com múltiplas
facetas e potencialidades próprias (PONTE, 1996, p. 195).

35. A experiência pessoal e a prática pedagógica são importantes para a
aprendizagem profissional do professor de Matemática. O saber docente
oriundo do contato com os alunos nas aulas de Matemáticas deve ser
considerado e confrontado com a teoria. Certamente a união de pesquisas
geradas pelas Universidades e pelos professores do Ensino Fundamental e
Médio traria muitas contribuições para a educação, porque os professores
também têm teorias que podem contribuir para uma base codificada de
conhecimento de ensino. (Zeichner, 1993, apud Baraldi 1999).
Para Oliveira (1997), é fundamental que o professor de Matemática:
Acredite no seu potencial, acredite que sua prática é muito importante
e que possui momentos riquíssimos, os quais merecem uma
discussão/reflexão coletiva. O fato de o professor não crer em sua
capacidade faz com que ele se isole cada vez mais, acreditando que
sua prática tem pouco a oferecer, deixando de colaborar para que
mudanças efetivas se realizem. O que deve estar sempre presente é
que a soma de pequenas experiências pode transformar e gerar
práticas educativas mais significativas (p.108).
É imprescindível resgatar o valor do saber docente, de uma maneira
muito particular, suas concepções com base na experiência que emergem da
realidade escolar e que funcionam como referência para o professor de
Matemática, constituindo boa parte de sua cultura profissional.
Sendo assim, confiamos que por meio da resolução de problemas, o
aluno pode estar aprendendo significativamente os conceitos planejados, ou
seja, o ensino e a aprendizagem da Matemática se dão via resolução de
problemas. Dessa forma, acreditamos que a resolução de problemas implica
uma aprendizagem por descoberta orientada.
CAPÍTULO III

36. METODOLOGIA
3.1 - Pesquisa qualitativa como método
Para a construção de qualquer trabalho científico a pesquisa é de suma
importância, pois é através dela que se colhem informações e conhecimentos
científicos de uma determinada problemática e assim, encontrar possíveis
soluções.
De acordo com Forquim (1993), foi só a partir do século XX que a
educação se apropriou e adaptou ao seu contexto específico. Até a metade do
século XX, predominaram investigações que buscavam explicar os fatos
educacionais por meio da pesquisa quantitativa, que são eficientes como
subsídios para macro análises, projetos sociais, planejamento governamental,
pesquisas de pequeno porte, como recenseamento, por exemplo. Mas novos
rumos foram tomados nas pesquisas educacionais e na década de 60, quando
a Sociologia da Educação foi introduzida como disciplina, ganhou corpo à idéia
de que a vida social é produto de uma associação entre uns e outros; e a
interação social, o meio pelo qual se constrói simultaneamente e
simetricamente a personalidade individual e a ordem social. (p. 28).
Os pesquisadores passaram a importar-se muito mais pelas relações
interpessoais. Sociedade, conteúdos de ensino e currículo passaram a ser
objeto de estudos mais aprofundados. Isso exigiu o reconhecimento de que a
mesma importância que se dá aos fatos relevantes das ciências sociais deve
ser dada às práticas das atividades rotineiras e banais do cotidiano, pois é a
partir do dia-a-dia que emergem os sujeitos sociais, a existência humana em
sua essência e concretude. Nessa nova abordagem, a pesquisa quantitativa
não estava, de fato, capacitada a captar a complexidade das relações entre os
elementos analisados (LUDKE e ANDRÉ, 1986).
Ainda segundo Ludke e André (1986), houve certa resistência em opor-
se à pesquisa quantitativa, como se uma precisasse eliminar a outra. Na
realidade, as duas são instrumentos auxiliares ou complementares para
aquisição do conhecimento. Triviños (1987) ensina que todas as pesquisas

37. podem, ao mesmo tempo, ser qualitativas e quantitativas, porém os dados
numéricos devem ser instrumentos auxiliares, uma vez que “Toda investigação
baseada na estatística, que pretende obter resultados objetivos, fica
exclusivamente no lado estatístico” (p. 118).
Da mesma maneira a pesquisa qualitativa, não pode ser abraçada de
forma cega e sem conhecimento de causa. No inicio, ela foi considerada uma
mera especulação de observadores da realidade social. Entretanto, aos
poucos, pesquisadores, principalmente os antropólogos, perceberam que
muitas informações difíceis de quantificar sobre a vida dos povos, também
necessitavam ser absorvidas, entendidas e analisadas em função do próprio
contexto em que se originavam. Esses estudiosos consideravam relevantes
todas as informações abstraídas da pesquisa, desde que observados os
critérios metodológicos. (LUDKE e ANDRÉ, 1986).
Esse mesmo caminho foi seguido pelos pesquisadores da educação
que passaram a levar em conta o meio habitual, já que na Escola se
desenvolvem as atividades físicas e sociais, e somente a partir daí se torna
possível compreender a dimensão de seus significados. (LUDKE e ANDRÉ,
1986).
Nesse suposto, buscando encontrar a melhor maneira de alcançar
nossos objetivos é que este trabalho foi norteado pela abordagem qualitativa,
sabendo que esta abordagem de pesquisa procura reunir procedimentos
capazes de suprir os limites das análises quantitativas.
Essa opção metodológica é adequada para nossa coleta de dados
porque analisa a qualidade do processo ensino-aprendizagem, podendo
compreender o comportamento e o desenvolvimento das experiências desses
alunos em relação ao nosso tema.
Ludke e André (1986, p. 22) afirmaram que:
Para se realizar uma pesquisa é preciso promover o confronto entre
os dados, as evidências, as informações coletadas sobre

38. determinado assunto e o conhecimento teórico acumulado a respeito
dele. Em geral isso se faz a partir do estudo de um problema, que ao
mesmo tempo desperta o interesse do pesquisador e limita sua
atividade de pesquisa a uma determinada porção do saber, a qual ele
se compromete a construir naquele momento.
Bogdan e Biklem (apud, LUDKE E ANDRÉ, 1986, p. 70), afirmam que o
objetivo de uma investigação qualitativa é de: “melhor compreender o
comportamento e experimentos humanos, tentar compreender o processo
mediante o qual as pessoas constroem significados e descrever em que
consistem estes mesmos significados”. Baseando-se nesses objetivos é que
escolhemos esse tipo de pesquisa.
3.2 - Local da Pesquisa
A pesquisa foi realizada no Colégio denominado Grupo Escolar Dr. Luiz
Viana Filho, localizado à Rua Coronel Arsênio Alves, Nº. 155, na cidade de
Campo Formoso, Estado da Bahia, situada a 400 km da capital Salvador, com
uma população de aproximadamente 65.000 habitantes. A escolha por esse
Colégio partiu primeiramente por este ter uma realidade que serviria para
responder nossos objetivos. Ou seja, uma Instituição Pública que oferece o
Ensino Fundamental de 5ª a 8ª série, que atende alunos de camadas sociais
diferentes, além disso, segundo professores e direção, apresenta um
percentual elevado de alunos que tem dificuldades na aprendizagem da
matemática, tendo como conseqüência a repetência. O referido Colégio dispõe
de um espaço físico constituído por 4 (quatro) salas de aula. Tendo aula para
5ª, 6ª, 7ª e 8ª série, tanto no turno matutino quanto no vespertino. O turno da
noite funciona com a Educação de Jovens e Adultos (EJA). Este espaço
também acomoda (03) banheiros, sendo que (01) é exclusivo para a
administração e para os docentes e os outros (02) para os discentes; (01)
diretoria, que funciona também como secretaria e sala para os professores;
(01) cozinha e um espaço de recreação. Atualmente segundo a Direção do
Colégio, conta com um quadro de 218 (duzentos e dezoito) alunos, distribuídos
nos três turnos. Vale ressaltar que o Colégio conta hoje com (11) professores
que atuam também distribuídos nos três turnos. Sendo (02) atuantes na área
matemática. Neste quadro também é acrescido de direção, vice-direção, (02)

39. secretários e (06) agentes de serviços gerais. Esse corpo de funcionários
manifesta disposição para crescimento e apoio à instituição.
3.3 - Sujeitos da Pesquisa
Os sujeitos envolvidos nesta pesquisa foram 22 (vinte e dois) alunos da
5ª. série A, do referido Colégio. A faixa etária desses discentes varia entre 10 a
19 anos. A maioria são do sexo masculino.
3.4 – Instrumentos e procedimentos utilizados
Para a realização desta pesquisa foi utilizada inicialmente como
procedimento, uma observação do cotidiano dos alunos, obtida com a
colaboração da Direção da Escola. Em uma outra ocasião, pedimos
autorização da direção do referido Colégio, bem como da professora da série a
qual iríamos realizar o trabalho, para aplicarmos atividades com os educandos
durante dois dias.
No primeiro dia, com os discentes, depois de uma apresentação cordial,
aplicamos um pequeno questionário – apêndice A - elaborado com o objetivo
de perceber a afinidade dos mesmos, com o tema e conseqüentemente, saber
suas concepções e suas dificuldades diante de determinados problemas
matemáticos. Após esse pequeno questionário, aplicamos a primeira etapa de
atividades – apêndice B - de forma rotineira; isto é, os educandos procuraram
realizar as tarefas solicitadas sozinhos, sem a ajuda e a orientação do
professor/pesquisador. É importante salientar que estas atividades foram
realizadas em grupos, contendo três educandos em cada grupo. Totalizando 7
(sete) grupos; já que, neste dia, compareceram 21 (vinte e um) alunos.
Chamaremos esses grupos de G1, G2,... G7.
No segundo dia, aplicamos a segunda etapa de atividades – apêndice C
- com a participação dos alunos também em grupos, com três integrantes em
cada grupo, mantendo os mesmos educandos nos grupos da primeira etapa.
Com exceção do G 07 (Grupo sete), que passou a ter quatro alunos, pois neste
dia vieram 22 (vinte e dois) educandos. Nesta etapa, o professor/pesquisador

40. foi mais participativo, apontando caminhos quando os educandos solicitavam,
na busca de solucionar os problemas apresentados.
É importante salientar que o professor/pesquisador, não dava resposta
para o educando resolver o problema, e sim, quando solicitado e diante da
dificuldade dos alunos, apontava caminhos, assim como Polya, encaminhando
os educandos na resolução do problema. Após isso, foi apresentada aos
mesmos uma atividade para resolverem, através de desenhos/figuras –
apêndice D. E uma outra – apêndice E - também em forma de desenhos, para
elaborarem um texto ou criarem uma situação-problema.
A respeito das informações que foram coletadas, serão melhores
explanadas e argumentadas a seguir.
CAPÍTULO IV

41. ANÁLISE E DISCUSSÃO DOS DADOS
4.1 – Procedimentos da Pesquisa
Os esclarecimentos prévios sobre nossa pesquisa aos discentes neste
ambiente tornaram-se viáveis, por fazer parte do nosso contexto de trabalho.
Foi explanada a natureza da pesquisa aos educandos numa conversa informal
e prazerosa. Esse procedimento foi necessário para esclarecer sobre nosso
objetivo e a partir daí fundamentar nossos argumentos.
A análise dos dados coletados e a interpretação dos resultados foram
executadas a partir de atividades desenvolvidas pelos educandos. Inicialmente
aplicamos um questionário – apêndice A – para conhecermos melhor o nosso
público alvo, bem como investigar suas dificuldades na resolução dos
problemas matemáticos.
A primeira etapa das atividades desenvolvidas – apêndice B – foi
realizada de forma rotineira. Já a segunda etapa – apêndice C - aplicamos as
atividades, inserindo a metodologia de Resolução de Problemas como meta,
estratégia e desenvolvimento do que foi solicitado. Fazendo justamente um
comparativo entre essas duas etapas; verificando em qual das duas situações
os educandos se sairiam melhor. Nos apêndices D e E, inserimos figuras e
desenhos para a execução de interpretações, elaboração de textos e criação
de situações-problema. Estas duas últimas atividades apresentadas seguiram
de acordo com o conceito da metodologia de resolução de problemas, que
sugere esse tipo de atividade para melhor exploração de problemas
matemáticos.
Diante da dimensão e importância do nosso tema concluímos que era
interessante envolver todos os discentes da 5ª. série A do referido colégio, na
perspectiva de uma sondagem mais abrangente e que não houvesse exclusão.
Pois, Segundo Prestes (2005), esse tipo de pesquisa é voltado para a
intervenção na realidade social e é muito mais ampla. E acrescenta:
Caracteriza-se por uma interação efetiva e ampla entre
pesquisadores e pesquisados. Seu objetivo de estudo se constitui

42. pela situação social e pelos problemas de naturezas diversas
encontradas em tal situação. Ela busca resolver e/ou esclarecer a
problemática observada, não ficando em nível de simples ativismo,
mas objetivando aumentar o conhecimento dos pesquisadores e o
nível de consciência dos pesquisados (PRESTES, 2005, p. 25).
Os dados coletados, que verificaremos a seguir, indicam os resultados e
servem como suporte para dar maior credibilidade a esta pesquisa.
4.2 – Perfil e opinião dos discentes pesquisados – APÊNDICE A
Foram envolvidos nesta pesquisa 22 (vinte e dois) alunos da 5ª. série A,
do Grupo Escolar Dr. Luiz Viana Filho. A faixa etária desses discentes varia
entre 10 a 19 anos. Do total de (22) educandos, (15) eram do sexo masculino e
(07) do sexo feminino. Quase todos residentes em bairros periféricos da cidade
de Campo Formoso, ou em pequenos povoados do município, como Povoado
de Tombão e Canavieira e os bairros: Mutirão, Santa Luzia, Esplanada,
Populares e Vila dos Sonhos.
A grande maioria dos discentes pesquisados, quando perguntados –
apêndice A – qual suas maiores dificuldades em resolver problemas,
responderam (18) que era em resolver os cálculos para chegar ao resultado
final; apenas (4) disseram que era na leitura e interpretação dos problemas.
Veremos a seguir os resultados obtidos.
4.3 – Analisando e discutindo a 1ª. etapa das atividades desenvolvidas –
APÊNDICE B
A primeira etapa (apêndice B) trabalhada em sala de aula, constou da
apresentação de quatro questões matemáticas a serem respondidas pelos
educandos. No primeiro momento da entrega da atividade os alunos ficaram
apreensivos e preocupados como iriam fazer. Depois dos esclarecimentos,
houve um melhor entendimento, entre os grupos de alunos. Durante a
execução das atividades foi-se observado que alguns alunos estavam

43. distraídos, outros conversavam entre si, comprometendo a concentração da
equipe.
É importante frisarmos que no desenvolvimento desta etapa os
educandos procuraram desenvolver as atividades entre eles, ou seja, nas suas
equipes, sem qualquer participação e orientação do professor/pesquisador.
Na primeira questão, onde relatava que uma Escola servia merenda a
182 alunos diariamente e, sabendo que 1 litro de suco dava para 4 copos e
que, durante a merenda, cada aluno recebia 1 copo de suco, foi perguntado,
quantos litros de suco seriam necessários por dia. As respostas foram
diversificadas, e apenas (03) alunos responderam corretamente a questão,
dizendo que a resposta correta seria 45 litros e meio de suco. No entanto, não
apresentaram qualquer tipo de operação ou maneira que usaram para chegar
ao resultado. O restante não conseguiu responder corretamente a questão;
desses, (6) fizeram uma operação de multiplicação, chegando erradamente ao
resultado de 728 litros; os outros (12) a resultados totalmente diferentes do
esperado, como: 91; 188 e 584. Esses resultados nos revelaram que os
educandos não sentem dificuldades apenas em resolver os cálculos para
chegar ao resultado final, como também na leitura e interpretação do que é
solicitado. Contrariando um pouco o que eles afirmaram no questionário
(apêndice A), onde apenas 4 dos 22 alunos pesquisados, disseram que tinham
dificuldade na leitura e interpretação dos problemas matemáticos. Dante (2007,
p. 52) nos reforça dizendo que “uma das maiores dificuldades do aluno ao
resolver um problema é ler e compreender o texto”. Confirmamos isso, diante
do resultado aqui obtido.
Na segunda questão, cujo enunciado era: Numa reunião de grupo há 6
alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, perguntou –
se quantos apertos de mão teriam ao todo.
Todos os educandos erraram essa questão, pois (9) responderam 12
apertos de mão; (6) responderam 36 apertos; (3) responderam 6 apertos; e os
outros (3) responderam 30 apertos de mão.

44. Numa questão deste tipo, segundo Carvalho (2005, p. 15), “acaba-se
perdendo oportunidades de trabalhar com os alunos várias situações para as
quais se criaria uma estratégia para resolver”. Neste caso, como esta questão
foi trabalhada de forma rotineira, como muitos professores ainda fazem, os
educandos não tiveram a oportunidade de ampliar seus conhecimentos. Pois a
questão foi apresentada a eles e estes responderam da sua forma. Alguns até
convictos que tinham acertado. Veremos na segunda etapa, uma questão
similar a esta e a forma como ela foi resolvida.
Na terceira questão, que dizia: Mariana tinha apenas moedas de R$
1,00 e notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Mostre todas as maneiras que ela
poderia usar para pagar um livro que custava R$ 25,00. Somente (6)
educandos responderam esta questão e de forma bem incompleta, pois das 12
possibilidades possíveis para pagar o livro, eles apresentaram apenas uma. Os
demais, (6) somaram 1+5+10+25, dizendo que o resultado seria 41; (03)
somaram 1+5+10+25, e para eles o resultado seria 85; (3) multiplicaram 16x25
dando como resultado 51 e os outros (3) simplesmente deixaram em branco.
Nesta questão foi comprovado que os educandos desta turma sentem
realmente muitas dificuldades na leitura e interpretação dos problemas
matemáticos. Pois alguns educandos estavam preocupados em dar apenas
uma única resposta a este problema. E outros até sem saber o que o problema
pedia.
Professor o que é que vai fazer aqui? (G2. 02).
Eu num tou intendendo isso não (G5. 01).
O professor num poderia falar como a gente deve responder o nº. 3
não? (G2. 03).
Como o objetivo nesta etapa era justamente observar como os alunos
se sairiam sozinhos na resolução dos problemas solicitados, sem a intervenção
do pesquisador e consequentimente sem adotar a metodologia de resolução de
problemas, foi-se novamente explicado aos mesmos o nosso objetivo.

45. Ressaltando que procurassem refletir sobre o que estava pedindo o problema e
fizessem da forma que entenderiam que era.
Já na quarta questão, cujo enunciado era: A classe de Jamile está
fazendo fichas para um jogo matemático. Em cada folha cabem 8 fichas. No
jogo serão necessárias 60 fichas. A pergunta foi: quantas folhas precisariam
comprar para fazer esse jogo. (3) alunos acertaram parcialmente, pois
responderam que seria 7 e sobrava 4. O restante erraram, já que (6)
multiplicaram 8x60, obtendo como resultado 480; (6) somaram 60+8, obtendo
como resultado 68; (3) subtraíram 60-8, obtendo segundo eles, como resultado
68 e os outros (3), somaram 60+80, dando como resultado 16,0.
Podemos observar diante dos resultados obtidos nesta primeira etapa,
que na maioria das vezes, os educandos sozinhos, sem a orientação do
professor, não conseguem desenvolver corretamente determinadas questões.
Isso porque segundo Polya (apud Dante 2007, p. 20) “o aluno precisa pensar,
elaborar um plano, tentar uma estratégia, testar essa estratégia e verificar se
chegou à solução correta”. Portanto a iniciativa deve partir do professor, tanto
para incentivar quanto para orientar os educandos no desenvolvimento de suas
atividades.
4.4 – Analisando e discutindo a 2ª. etapa das atividades desenvolvidas –
APÊNDICE C
A segunda etapa (apêndice C) trabalhada em sala de aula constou
também da apresentação de quatro questões matemáticas a serem
respondidas pelos educandos. Questões estas similares as da 1ª etapa,
justamente para fazermos uma comparação entre os apêndices B e C.
No desenvolvimento desta etapa os educandos também procuraram
desenvolver as questões solicitadas, em seus respectivos grupos. Porém,
tendo a participação do professor/pesquisador, para quando solicitado pelos
educandos, apontar caminhos para solucionarem o que lhes era pedido. É

46. importante novamente salientar que o professor/pesquisador, não dava
resposta para o educando resolver o problema, e sim, quando solicitado e
diante das dificuldades dos alunos, apontava caminhos que iriam ajudá-los no
processo resolutivo. Pois segundo Dante (2007, p. 53), enquanto os alunos
fazem uma atividade, “o professor, deve percorrer as carteiras ajudando,
encorajando, dando idéias, pequenas dicas, sem dizer como se chega ao
resultado”, deixando claro quais são os objetivos, as condições e os dados do
problema.
Durante a execução dessas atividades verificamos que a maioria dos
educandos se mostrou mais participativos, tendo maior envolvimento com o
que foi solicitado.
Na primeira questão letra a, onde relatava que uma Escola servia
merenda a 162 alunos diariamente e, sabendo que 1 litro de refrigerante dava
para 6 copos e que, durante a merenda, cada aluno recebia 1 copo de
refrigerante, foi perguntado quantos litros de refrigerantes seriam necessários
por dia. As respostas foram unânimes, ou seja, incrivelmente todos os alunos
(22) responderam corretamente a questão, dizendo que seriam necessários 27
litros de refrigerante por dia.
Mas para chegarmos a este resultado satisfatório, os alunos
precisaram de orientação do pesquisador. Pois pela forma que iam fazendo,
continuariam cometendo os mesmos erros do nº. 01 da etapa anterior. Desta
vez foi-se sugerido pelo pesquisador que os educandos lessem e procurassem
entender o que estava pedindo o problema. Depois de um tempo foi
perguntado aos mesmos se tinham alguma idéia de como resolver esse
problema. As idéias dos educandos foram surgindo e através de uma
orientação continuada e de sucessivas perguntas feitas pelo pesquisador, os
educandos foram desenvolvendo o problema solicitado.
Durante a resolução do problema percebemos entre um grupo e outro,
as diferentes maneiras de resolução, pois (09) alunos aplicaram a operação de
divisão; (10) foram subtraindo o número 162 de 6 em 6 até chegar a zero,

47. depois contaram quantas vezes o número 6 apareceu, totalizando 27; os outros
(03), foram somando de 6 em 6 até chegarem ao número 162. Estes três
últimos, para chegarem ao resultado correto, também contaram quantas vezes
tinham adicionado o número 6, concluindo também que chegariam a 27 litros
de refrigerante.
Após a resolução deste problema, os educandos, através da orientação
do pesquisador, fizeram à verificação. Os que resolveram através da divisão,
multiplicaram 6x27 e concluíram que o resultado seria o nº. 162, já os que
subtraíram de 6 em 6, somaram as 27 vezes que o 6 apareceu e concluíram
também que o resultado seria o nº. 162, da mesma forma fizeram os
educandos que tinham somado de 6 em 6.
É importante de acordo com a metodologia de resolução de
problemas, que o professor incentive os educandos a buscarem diferentes
formas de resolver problemas, permitindo com isso uma reflexão mais
elaborada sobre o processo de resolução.
Smole e Diniz (2001) acrescentam:
Em nossa experiência com resolução de problemas nas séries
iniciais, temos visto que tão importante quanto o tipo de problema a
ser trabalhado e a compreensão do texto é a atenção que devemos
dar aos diferentes modos pelos quais as crianças podem resolver
problemas. Acreditamos que este é um caminho que contribui muito
para que tal ato seja um processo de investigação, no qual o aluno se
posicione com autonomia e confiança e possa combinar seus
conhecimentos para resolver a situação apresentada. (p. 121).
Segundo Smole e Diniz (2001), aceitar e analisar as diversas
estratégias de resolução como válidas, permite a aprendizagem pela reflexão e
auxilia o educando a ter autonomia e confiança em sua capacidade de pensar
matematicamente.
Já na letra b, que perguntava quanto a escola gastaria por dia, se cada
refrigerante custava R$ 2,00. Apenas (3) alunos não responderam esta
questão, deixando-a em branco, provavelmente por esquecimento, pois era

48. uma questão do seu dia-a-dia e aparentemente fácil de resolver, os demais
(19), resolveram corretamente a questão, dizendo que a escola gastaria R$
54,00.
Observe-se que neste número 01, tivemos duas questões a serem
analisadas e desenvolvidas pelos educandos, pois de acordo com Dante
(2007), problemas desse tipo (nº. 01, letra a) antes de ser encerrado, o
professor pode explorá-lo um pouco mais, fazendo com que os educandos
tenham dimensão de quantidade, ao saber a quantidade de refrigerantes
consumidos na escola por dia; e tendo conhecimento financeiro, ao saber
quanto a escola gasta por dia na compra de refrigerantes. A partir daí de
acordo com Dante, o professor poderia perguntar aos educandos quanto a
escola gastaria por mês no consumo de refrigerantes e assim sucessivamente.
Na metodologia de resolução de problemas, um dos principais
objetivos do ensino da matemática “é fazer o aluno pensar produtivamente”
(DANTE 2007, p. 11). E, para isso, nada melhor que apresentar-lhe e
acrescentar-lhe situações-problema que está presente no seu dia-a-dia. Onde
futuramente poderá beneficiá-lo.
Na segunda questão, cujo enunciado era: Numa reunião de grupo há 7
alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, foi-se
perguntado quantos apertos de mão teríamos ao todo. Observe-se que esta
questão diferencia-se da segunda questão da primeira etapa apenas em
números, que passa de 6 para 7. Ficando, de certa forma, até mais difícil de
resolver. Ressaltando que na etapa anterior nenhum educando conseguiu
resolver esta questão.
Desta vez, todos os educandos acertaram essa questão. Pois,
inicialmente foi-se observado que eles iriam continuar errando, colocando
respostas como: 49; 42; 14 etc. Então foi-se sugerido pelo
professor/pesquisador que viesse à frente 01 (um) integrante de cada grupo, já
que eram 07 (sete) grupos, totalizaram 07 alunos, que satisfazia o que pedia o

49. problema. Os outros componentes do grupo sentados foram anotando o
resultado.
Com os sete alunos perfilados à frente da sala, o primeiro
imediatamente do lado esquerdo da fila, (G1. 01), cumprimentou todos os
outros 6 da fila e saiu, (G2. 01) cumprimentou todos os outros 5 e saiu, (G3.
01) cumprimentou todos os outros 4 e saiu, (G4. 01) cumprimentou todos os
outros 3 e saiu, (G5. 01) cumprimentou todos os outros 2 e saiu, (G6. 01)
cumprimentou o único que sobrou e saiu. Esse que sobrou (G7. 01), não tinha
mais ninguém a quem cumprimentar, pois já cumprimentara a todos. Os grupos
anotaram os resultados: 6+5+4+3+2+1, e verificaram que houve 21 apertos de
mão.
Observamos após o desenvolvimento deste problema, que os alunos
ficaram eufóricos, com mais ânimo para resolver os demais problemas
solicitados. E até mesmo percebendo que tinham errado a questão da atividade
anterior. Eis alguns relatos:
Mais era tão fácil de fazer e ontem nós fez errado (G2. 03).
Professor naquele nº. 02 do exercício de ontem a resposta então era
15 aperto de mão. (G3. 01).
Segundo Dante (2007, p. 17 e 18) esse tipo de problema não pode ser
traduzido diretamente para a linguagem matemática, “nem resolvido pela
aplicação automática de algoritmos”, pois exigem do aluno um tempo para
pensar e arquitetar um plano de ação, “uma estratégia que poderá levá-lo à
solução”. Por isso, torna-se mais interessante do que os problemas-padrão.
Na terceira questão, que dizia: Mariana tinha apenas moedas de R$
1,00 e notas de R$ 5,00 e de R$ 10,00. Mostre todas as maneiras que ela
poderia usar para pagar um livro que custava R$ 25,00. Questão
propositalmente repetida como na etapa anterior, já que praticamente ninguém
acertou. Novamente alguns educandos, ao resolver esta questão,
apresentaram apenas uma possibilidade de pagar o livro, outros, a grande

50. maioria, não conseguia apontar se quer uma única possibilidade. Mas,
observando o que faziam foi-se sugerido pelo pesquisador que eles lessem e
relessem o problema. A partir daí, dando-se certo tempo para que eles
pensassem, foi-se perguntado o que o problema pedia. G5. 02, respondeu:
“mostrar todas as formas que Mariana pode usar para pagar um livro de R$
25,00”. Continuamos perguntando: “Quais os valores de notas em dinheiro que
Mariana tem”? G7. 04, disse: “notas de 1,00, de 5,00 e de 10,00”.
Perguntamos, de que maneira Mariana poderia pagar o livro. G3. 01
respondeu: “dando três notas de 5,00 e uma de 10,00”. G5. 02, disse: “dando 5
notas de 5,00”. G6. 03, reforçou: “pensei aqui e tem muitas outras maneiras”.
Foi-se pedido então, que encontrassem todas as maneiras de pagar o livro,
procurando deixar as respostas organizadas. Ao perguntar a sala de que
maneira poderíamos organizar melhor as respostas, G6. 03, respondeu: “pode
ser botando numa tabela”. A maioria resolveu seguir a sugestão do colega e
organizar as respostas numa tabela. Desta vez (19) educandos responderam
esta questão de forma correta, apresentando as 12 possibilidades que haviam
para pagar o livro; os outros (03) responderam corretamente, porém de forma
incompleta, pois das 12 possibilidades aqui apresentadas para pagar o livro,
eles descreveram apenas cinco. E muitos relataram como foi fácil de resolver
essa questão:
Professor, mais ontem fizemos aquela resposta e só achamos uma
maneira de pagar o livro. E agora achamos mais 11 maneiras. (G3.
01).
O professor é esperto, sabe muito de matemática. (G4. 03).
Hoje tá bom de resolver essas perguntas porque o professor tá
ajudando a gente (G6. 02).
Segundo Carvalho (2005, p. 18), na resolução de problemas, “o aluno
deve ler e interpretar as informações nele contidas”, criando uma estratégia de
solução, aplicando e confrontando a solução encontrada. Segundo a autora, é
muito importante que o aluno aprenda quais são os componentes do problema.
Ou seja, o que está sendo pedido, procurando não buscar uma forma mecânica
de resolução.