1. 1
EST 105 - Exerc´
ıcios de Vari´veis Aleat´rias
a o
1 (I/2001). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria discreta bidimensional com a seguinte
a o
fun¸ao de probabilidade conjunta:
c˜
3 1

, para x = 0, 1, 2, 3 e y = 10, 20




x 16
P (x, y) = 


0 , para outros valores (x, y)

Pede-se:
a. Calcule P(Y=10).
b. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta
a a o
c. Apresente a tabela da distribui¸ao conjunta das probabilidades.
c˜
2 (II/2001). Uma vari´vel aleat´ria continua X possui a seguinte fun¸ao densidade
a o c˜
de probabilidade:
2
 K(1 − x ) , se − 1 ≤ x ≤ 0






4


f (x) =  K , se 0 ≤ x ≤



3



0 , para outros valores de x

Pede-se:
a. O valor de K.
b. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X.
c˜ c˜
c. Calcule P (X ≤ 2/3)
3 (II/2001). Considere um jogo de azar no qual o jogador paga determinado valor
para jogar e depois retira aleatoriamente duas bolas de uma urna que cont´m 10
e
bolas, sendo sete brancas, duas vermelhas e uma preta. O jogador recebe um prˆmio
e
para cada bola obtida, de acordo com a cor, conforme a tabela abaixo,
1
Exerc´ ıcios das avalia¸˜es dos semestres indicados. Cont´m 33 exerc´
co e ıcios em p´ginas numeradas
a
de 1 a 14.
1

2. COR branca vermelha preta
ˆ
PREMIO 1 5 10
Pede-se: Qual deve ser o valor pago para jogar, de modo que o jogo seja justo? Isto
´, de modo que a probabilidade do jogador perder ou ganhar algum valor sejam
e
iguais? Explique seu racioc´
ınio.
4 (II/2001). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta
c˜



 4xy,

se 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1
f (x, y) =



0, outros valores

Pede-se:
a. Calcule V (X − Y ).
b. Justifique porquˆ X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes.
e a a o
5 (II/2001). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir. Seja
c˜
W = X + Y , calcule V(W).
Y
X 2 4
0 0,3 0,1
1 0,5 0,1
6 (II/2001). Se um dado perfeitamente sim´trico ´ lan¸ado at´ sair a face com o
e e c e
n´mero 6 ou at´ serem realizados no m´ximo 3 lan¸amentos, calcule o n´mero m´dio
u e a c u e
de lan¸amentos.
c
7 (I/2002). O n´mero de anos de servi¸o dos funcion´rios de uma grande empresa
u c a
´ uma vari´vel aleat´ria discreta X, cuja fun¸ao de probabilidade f(x)=P(X=x)
e a o c˜
2

3. ´ dada na tabela a seguir,
e

 0, 08
 , x = 1, . . . , 5






 0, 09

 , x = 6, . . . , 10

f (x) =
 0, 01 , x = 11, . . . , 25









 0

, outros valores x
a. Obtenha a fun¸ao de distribui¸ao acumulada F (x) = P (X ≤ x).
c˜ c˜
b. Qual ´ o percentual de funcion´rios com no m´ximo 10 anos de servi¸o.
e a a c
c. Dentre os funcion´rios com no m´
a ınimo 10 anos de servi¸o, calcule o percentual
c
com no m´ ınimo 20 anos (probabilidade condicional).
8 (I/2002, modificado). Considere a vari´vel aleat´ria discreta bidimensional, (X, Y ),
a o
com a seguinte distribui¸ao de probabilidades,
c˜
y
x 1 2 3 4
0 0,06 0,24 0,12 0,18
1 0,04 0,16 0,08 0,12
a. Calcule P (1 ≤ Y < 3).
b. Calcule P (1 ≤ Y < 3 / X = 1).
c. Explique os resultados encontrados nos itens a. e b.
9 (I/2002). A produ¸ao di´ria de uma pe¸a resulta em Y itens defeituosos, cuja
c˜ a c
distribui¸ao possui parˆmetros m´dia e variˆncia, ambos iguais a 2. O lucro di´rio
c˜ a e a a
com a venda das pe¸as ´ uma vari´vel X dada por X = 50 − 2Y − Y 2 . Calcule o
c e a
valor esperado do lucro di´rio.
a
10 (I/2002). Sejam X e E vari´veis aleat´rias com V (X) = 5, V (E) = 4 e
a o
COV (X, E) = −4, 5. Seja Y uma vari´vel dada por Y = b0 + b1 X + E. Para
a
b0 = 20 e b1 = 2 calcule V (Y ), a variˆncia de Y .
a
3

4. 11 (II/2002). Considere a seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta,
c˜

 x+y
 , 0≤x≤1 e 0≤y≤1
f (x, y) = 

0 , outros valores
a. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 0, 5 , Y > 0, 25).
1
b. Calcule E(2X − ).
6
c. Calcule a probabilidade condicional: P (X ≥ 0, 8 / Y = 0, 5).
12 (II/2002). Considere a seguinte distribui¸ao conjunta,
c˜
X2
X1 2 4
0 0,10 0,30
2 0,27 0,33
X1 + X2
a. Calcule P ≥2 .
2
b. X1 e X2 s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta.
a a o
c. Calcule V (2X1 − X2 ).
13 (I/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada por,
c˜
6
(x2 + y 2 x) , 0 ≤ x ≤ 1 e 0 ≤ y ≤ 3

33


f (x, y) = 

0 , outros valores
a. Calcule a probabilidade conjunta: P (X < 1/2 , Y > 2).
b. Calcule a probabilidade marginal: P (X > 3/4).
c. Calcule o valor m´dio de Y .
e
14 (I/2003). Pain´is de madeira s˜o oferecidos com duas op¸oes de comprimento e
e a c˜
trˆs op¸oes de largura, em metros, conforme a distribui¸ao conjunta ´ apresentada
e c˜ c˜ e
na tabela a seguir,
4

5. Largura (Y )
Comprimento (X) 1 2 3
2,5 0,05 0,05 0,10
5 0,10 0,50 0,20
Os pain´is s˜o comercializados com as bordas envolvidas em uma fita protetora de
e a
modo que T = 2(X + Y ) ´ a vari´vel aleat´ria que representa o total de fita gasto
e a o
para proteger um painel. Calcule a m´dia e a variˆncia de T por propriedades de
e a
E(T ) e V (T ) com base na distribui¸ao de (X, Y ) e tamb´m com base na distribui¸ao
c˜ e c˜
de T .
15 (II/2003). Este ´ um problema com nomes e fatos reais. Vou a um churrasco
e
e encontro o meu amigo Luiz Abrantes com as suas trˆs filhas: Luiza, Paula e
e
Bruna. Eu sei os nomes das filhas dele mas n˜o tenho a menor id´ia de quem ´
a e e
quem e portanto de forma completamente aleat´ria falarei os nomes. Considere
o
que a vari´vel aleat´ria X represente o n´mero de nomes que eu acerto. Pede-se:
a o u
Construa a tabela com a distribui¸ao das probabilidades de X.
c˜
16 (II/2003). Considere a seguinte distribui¸ao de probabilidades conjuntas:
c˜
P (x, y) = P (X = x, Y = y) : P (−2, 2) = P (−1, 1) = P (0, 0) = P (1, 1) = P (2, 2) = 0, 2
a. Calcule a probabilidade condicional: P (X = −2 / Y = 2).
b. Calcule a m´dia ou esperan¸a matem´tica de W , sendo W = X − 5Y + 6.
e c a
17 (II/2003). Seja f (x, y) uma fun¸ao densidade de probabilidade conjunta dada
c˜
2
x
por, f (x, y) = (y + 2) se 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 2 e f (x, y) = 0 para outros
14
valores (x, y). Pede-se: X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique
a a o
sua resposta.
18 (II/2003). Uma m´quina que produz componentes para discos r´
a ıgidos de com-
putadores pode operar a duas velocidades, lenta ou r´pida. Na velocidade lenta o
a
custo por pe¸a ´ igual a 20,75 e na r´pida ´ igual a 20,45. Na velocidade r´pida mais
c e a e a
pe¸as s˜o produzidas (menor custo), entretanto 5,48% das pe¸as s˜o defeituosas. Na
c a c a
velocidade lenta s˜o produzidas menos pe¸as por´m somente 0,86% s˜o defeituosas.
a c e a
Para cada pe¸a defeituosa produzida na velocidade lenta ou na r´pida, h´ um custo
c a a
adicional igual a 10,40 para reparar a pe¸a. Considere que as vari´veis aleat´rias
c a o
5

6. X e Y representem respectivamente o custo de uma pe¸a nas velocidades lenta e
c
r´pida. Calcule os custos esperados, ou seja, E(X) e E(Y ).
a
19 (II/2003). Considere a fun¸ao de distribui¸ao acumulada da vari´vel aleat´ria
c˜ c˜ a o
discreta X dada a seguir,
0se x<0



 2/6

se 0≤x<1
F (x) = 
 5/6
 se 1≤x<3
1 se 3≤x

Construa a tabela com a distribui¸ao das probabilidades e calcule E(10X − 5).
c˜
20 (I/2004). Sejam X e Y duas vari´veis aleat´ris tais que:
a o
E(X) = 0 V (X) = 1 e Y = 5 − 2X
Calcule:
a. E (2X − 3Y − 4).
Y
b. V 3X − 2
+2 .
c. ρXY , o coeficiente de correla¸ao linear entre X e Y .
c˜
21 (I/2004). Considere a distribui¸ao conjunta de probabilidades a seguir:
c˜
Y
X 1 2 3
0 0,03 0,05 0,02
2 0,27 0,45 0,18
a. X e Y s˜o vari´veis aleat´rias independentes? Justifique sua resposta.
a a o
b. Se W = XY , calcule E(W ).
c. Se W = XY , calcule V (W ).
22 (I/2004). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua bidimensional tal que as
duas f.d.p. marginais s˜o dadas por,
a
x 3y 2
g(x) = , 0 ≤ x ≤ 2 e h(y) = , 1≤y≤3
2 26
6

7. Se poss´
ıvel, calcule P (X ≤ 1, Y ≤ 2) e explique qual pressuposi¸ao ´ necess´ria
c˜ e a
para validar o c´lculo.
a
23 (II/2004). O fabricante de um equipamento eletromecˆnico de cozinha conduziu
a
um estudo com um grande n´mero de consumidores, que utilizaram a assistˆncia
u e
t´cnica autorizada, e verificou que todas as reclama¸oes quanto ao produto podem
e c˜
ser classificadas em 6 categorias, conforme a distribui¸ao das probabilidades apre-
c˜
sentada na tabela a seguir.
Natureza do Defeito (Y )
Prazo (X) El´trico Mecˆnico Est´tico
e a e
dentro da garantia 15% 13% 44%
fora da garantia 5% 6% 17%
a. A natureza do defeito e o Prazo s˜o vari´veis aleat´rias independentes? justifique
a a o
sua resposta.
b. Calcule a distribui¸ao das probabilidades condicionais da natureza do defeito,
c˜
quando o produto est´ dentro do prazo de garantia.
a
24 (II/2004). Um sistema eletrˆnico opera com dois componentes que funcionam
o
simultaneamente. Sejam X e Y as duas vari´veis aleat´rias que denotam as vidas
a o
uteis destes componentes (em centenas de horas). Se f (x, y) dada a seguir ´ a fun¸ao
´ e c˜
densidade de probabilidade conjunta de (X, Y ) calcule a seguinte probabilidade con-
junta: P (X > 1, Y > 1).
 1

xe−(x + y)/2 , 0<x<∞ e 0<y<∞
f (x, y) =  8
0 , para outros valores x, y
DICA: Os resultados a seguir podem ser uteis:
´
(Kx − 1) Kx 1 Kx
lim xe−x = 0, xeKx dx = e e eKx dx = e
x→ ∞ K2 K
25 (em aula). Seja X a vida util de um componente eletrˆnico, que representa o
´ o
tempo de funcionamento em horas at´ ele apresentar a primeira falha. A fun¸ao
e c˜
densidade de probabilidade de X ´ dada por,
e
Ke−x/200 , 0 ≤ x < ∞
f (x) =
0 , para outros valores x
Pede-se:
7

8. a. O valor de K
b. A probabilidade de um componente durar pelo menos 300 horas.
c. A probabilidade condicional de um componente durar pelo menos 700 horas
sabendo-se que durar 300 horas ´ certo.
e
d. A fun¸ao de distribui¸ao acumulada de X.
c˜ c˜
e. Qual deve ser a garantia dada pelo fabricante de modo que no m´ximo 10% dos
a
components tenham vida util inferior ` garantia?
´ a
26 (I/2006). Seja X uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua com a seguinte fun¸ao densi-
c˜
dade de probabilidade,
k , −2 ≤ x < 0







3x


f (x) =  k + , 0≤x≤5



125



0 , para outros valores x

a. Calcule o valor k e obtenha a F (x).
b. Calcule P (X ≥ 0/ − 1 < X < 3).
27 (I/2006). Seja Y uma vari´vel aleat´ria discreta com fun¸ao de probabilidade
a o c˜
dada por,  y
 i , para i = 1, 2, 3, 4
N


P (Y = yi ) =



0 , para outros valores i
em que,
4 i+2
N= yi com yi = k
i=1 k=i+1
Pede-se: Calcule E(Y ), o valor m´dio de Y .
e
28 (II/2006). Seja X a vari´vel aleat´ria discreta que represente o n´mero de artigos
a o u
8

9. defeituosos por caixa, com fun¸ao de distribui¸ao acumulada dada por,
c˜ c˜
0 , x<0








 0, 68

 , 0≤x<1






F (x) =  0, 95 , 1≤x<2




 0, 98

 , 2≤x<3







1 , 3≤x

Pede-se: Calcule o n´mero m´dio de artigos defeituosos por caixa.
u e
29 (II/2006). Calcule o valor de K na seguinte fun¸ao densidade de probabilidade
c˜
conjunta, 
 kx
 , 0≤y≤x≤2
f (x, y) = 

0 , para outros valores x e y
30 (I/2007). Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua bidimensional com a
seguinte fun¸ao densidade de probabilidade conjunta,
c˜
y (1 − x2 ) , −1 ≤ x < 0 e 0 ≤ y < 1







1 8


4
f (x, y) =  y−3 , 0≤x≤ 3
e 1≤y≤2
 2 3





0 , para outros valores x, y

a. Obtenha h(y), a f.d.p. marginal de Y .
b. Obtenha f (x|y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y.
1
c. Calcule P X ≥ 2
|Y =1 .
9

10. 31 (I/2007). Considere a distribui¸ao de probabilidades da v.a.d. tridimensional
c˜
(X, Y, Z) dada na tabela a seguir,
X=1 X=4
Z Y =0 Y =1 Y =0 Y =1
1 0,10 0,34 0,06 0,10
2 0,06 0,27 0,02 0,05
Pede-se:
a. Calcule a seguinte probabilidade condicional, P (Y = 0 / X = 4, Z = 2).
X +Y
b. Seja W = , calcule E(W ) e V (W ) diretamente pela distribui¸ao de W
c˜
2
(tente tamb´m pela distribui¸ao conjunta de X e Y ).
e c˜
32 (II/2007). Seja X a vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua que represente o tempo (em
segundos) que um rato de laborat´rio demora para executar uma tarefa e alcan¸ar
o c
a comida, como recompensa pela tarefa. Quanto menor o tempo considera-se que
maior ´ a inteligˆncia do rato. Seja f (x) uma fun¸ao associada a X dada por,
e e c˜
 t


2
, t≤x<∞
f (x) =  x


0 , outros valores x

em que t ´ o menor valor poss´ do tempo para execu¸ao da tarefa. Pede-se:
e ıvel c˜
a. Mostre que f (x) ´ uma fun¸ao densidade de probabilidade.
e c˜
b. Calcule P (X ≥ t + h) para uma constante positiva h.
c. Para t = 5, calcule P (X ≥ 7 / 5 < X < 10).
33 . Seja (X, Y ) uma vari´vel aleat´ria cont´
a o ınua bidimensional com a seguinte
fun¸ao densidade de probabilidade conjunta,
c˜

 6 (1 − y)
 , 0≤x≤y≤1
f (x, y) = 

0 , para outros valores x, y
a. Obtenha as f.d.p.´s marginais de X e Y .
1 3
b. Calcule P (Y ≤ 2 /X ≤ 4 ).
10

11. c. Obtenha f (x/y), a f.d.p. condicional de X dado Y = y.
d. Obtenha f (y/x), a f.d.p. condicional de Y dado X = x.
3 1
e. Calcule P Y ≥ 4
/X= 2
.
RESPOSTAS
X
Y 0 1 2 3 P(y)
1. a. 0,5 b. sim c. 10 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16
20 1/16 3/16 3/16 1/16 8/16
P(x) 2/16 6/16 6/16 2/16 1,00


 0 , x < −1
1 3
(−x + 3x + 2) , −1 ≤ x < 0





 6

2. a. 0,5 b. F (x) =  1 c. 2/3

 6
(2 + 3x) , 0 ≤ x < 4/3





1 , 4/3 ≤ x

11

12. 3. 5,4
4. a. 1/9 b. porque f (x, y) = g(x)h(y)
5. 0,80
6. 546/216≈ 2, 52




0 , x<1
0, 08x , 1 ≤ ⌊x⌋ < 6




7. a. F (x) =  0, 40 + (x − 5)0, 09 , 6 ≤ ⌊x⌋ < 11
 0, 85 + (x − 10)0, 01 , 11 ≤ ⌊x⌋ ≤ 25



1 , 25 < x


em que ⌊x⌋ = max{m ∈ Z|m ≤ x}, isto ´, o maior n´mero inteiro que seja
e u
menor ou igual a x, b. F (10) = 0, 85 c. P (X ≥ 20|X ≥ 10) =
[1 − F (20) + P (20)] / [1 − F (10) + P (10)] = 0, 06/0, 24 = 0, 25, portanto 25%.
8. a. 0.50 b. 0.50 c. s˜o iguais porque as vari´veis s˜o independentes, isto ´,
a a a e
P (x, y) = P (x)P (y) ou P (x/y) = P (x) e P (y/x) = P (y).
9. E(X) = 40.
10. V (Y ) = 6.
21 1 7
11. a. 64
≈ 0, 33 b. 2E(X) − 6
=1 c. 25
= 0, 28
12. a. 0, 9 b. N˜o, P (x1 , x2 ) = P (x1 )P (x2 ) c. 4V (X1 ) + V (X2 ) − 4COV (X1 , X2 ) ≈ 5, 5
a
5 163 279
13. a. 33
≈ 0, 152 b. 352
≈ 0, 463 c. E(Y ) = 132
≈ 2, 11
t 7 9 11 12 14 16 total
14.
P (t) 0,05 0,05 0,10 0,10 0,50 0,20 1,00
E(X) = 4, 5, V (X) = 1, E(Y ) = 2, 15, V (Y ) = 0, 4275, COV (X, Y ) =
−0, 05, portanto E(T ) = 13, 3m e V (T ) = 5, 31m2 .
12

13. 15. Seja {LPB} a ordem correta dos nomes, ent˜o o espa¸o amostral S pode ser
a c
indicado da seguinte forma, S = {LPB, LBP, PLB, PBL, BLP, BPL} o que
resulta em SX enumer´vel dado por, SX = {3, 1, 1, 0, 0, 1} e X uma v.a.d.
a
x 0 1 2 3 total
com a seguinte distribui¸ao:
c˜
P(x) 2/6 3/6 0 1/6 1,00
16. a. 0,5 b. 0.
3 2
17. S˜o independentes pois f (x, y) = g(x) h(y), em que g(x) =
a 7
x e h(y) =
1
6
(y + 2).
18. E(X) ≈ 20, 84 e E(Y ) ≈ 21, 02.
x 0 1 2 3 total
19. E(X) = 1 e E(10X − 5) = 5.
P (x) 2/6 3/6 0 1/6 1,00
20. a. -19 b. 16 c. -1
21. a. sim, P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y) b. = E(X)E(Y ) = 3, 42 c. 3,0636
22. P (X ≤ 1, Y ≤ 2) = 01 12 f (x, y)dy dx = P (X ≤ 1) P (Y ≤ 2) = 1
0 g(x) dx 2
1 h(y) dy =
1/4 × 7/26 ≈ 0, 07 se X e Y s˜o v.a.c. independentes.
a
23. a. N˜o s˜o v.a. independentes pois P (x, y) = P (x)P (y) ∀ par (x, y)
a a
defeito el´trico
e mecˆnico
a est´tico
e total
b.
P ( defeito / dentro ) 0,2083 0,1806 0,6111 1,00
1 ∞ −y/2
24. P (X > 1, Y > 1) = 8 1
e ∞
1 xe−x/2 dx dy = 3 e−1 ≈ 0, 552
2
25. a. 1/200 b. e−300/200 ≈ 0, 22 ou 22% c. e−400/200 ≈ 0, 135 ou 13, 5% d.
F (x) = 1 − e−x/200 , 0 ≤ x < ∞ F (x) = 0, x < 0, F (x) = 1, x → ∞ e.
≤ −200ln0, 9 ≈ 21 horas
DICA: Inicialmente obtenha a f´rmula geral para P (X ≥ x).
o
13

14. 0 , x < −2



1
+ 2) (x , −2 ≤ x < 0


26. a. k = 1/10, F (x) = 10
 1 ( 3 x2 + x + 2)
 10 25 , 0≤x<5

1 , 5≤x

b. [F (3) − F (0)] / [F (3) − F (−1)] = 0, 408/0, 508 ≈ 0, 803, ou pode ser cal-
3
culado da forma usual, integrando a f (x), 03 f (x)dx / −1 f (x)dx .
27. y 5 7 9 11 total , E(Y ) = 69/8 = 8, 625.
P (y) 5/32 7/32 9/32 11/32 1,00
28. E(X) = 0 + 0, 27 + 0, 06 + 0, 06 = 0, 30.
2 x
29. k = 3/8 atende a f (x, y) dy dx = 1.
0 0
2 1 32
30. a. h(y) = 3 y, se 0 ≤ y < 1 e h(y) = 2 9
y − 4 se 1 ≤ y ≤ 2 b. f (x/y) =
3 2 8 32
2
(1
− x ), se −1 ≤ x < 0, 0 ≤ y < 1 e f (x/y) = 3
y −3 / 9
y − 4 , se 0 ≤
x ≤ 4/3, 1 ≤ y ≤ 2 c. 15/24 = 0, 625.
31. a. 0, 02/0, 07 ≈ 0, 286 b. E(W ) = 1, 225 ≈ 1, 23 e V (W ) = 0, 406875 ≈ 0, 41.
32. a. t > 0 =⇒ f (x) ≥ 0 ∀ x e t
∞ 1
f (x)dx = −t( ∞ − 1 ) = 1 b.
t
t
t+h
c. 3/7.
33. a. g(x) = 3(1 − x)2 , se 0 ≤ x ≤ 1 e h(y) = 6y (1 − y) se 0 ≤ y ≤ 1 b. 32/63
1 2(1−y)
c.f (x/y) = y , para 0 ≤ x ≤ y d. f (y/x) = (1−x)2 , se x ≤ y ≤ 1 e. 1/4.
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