1. Cantidad deMovimiento
OBJETIVOS
1.- Establecer un nuevo modo de enfocar los
problemas dinámicos en donde participan
dos o más cuerpos que interactúan entre
sí.
2.- Conocer y aplicar el Principio de Conser-
vación de la Cantidad de Movimiento.
3.- Reformular las leyes de Newton de la
Mecánica, en términos de Cantidad de
Movimiento e Impulso.
uando estudiamos los movimientos mecánicos, su genera-
ción, su transmisión, su conservación o variación, vemos
que las leyes de la Mecánica estudiadas hasta aquí se ven
muy limitadas si el número de cuerpos que participan e interactúan es
grande, pues el estudio se vuelve complejo, de manera que predecir
resultados de velocidad o aceleración finales es toda una «proeza». En
esta parte del curso incluiremos nuevas herramientas que harán más
sencillos y directos el análisis de tales casos; para lo cual recurriremos
a los conceptos de Cantidad de Movimiento, Impulso y Centro de Masa.
Asimismo, veremos como las tres leyes de Newton para la Mecánica
se vuelven a reformular con tales conceptos.
lID MEDIDAS DEL MOVIMIENTO
Luego de un tremendo debate iniciado por los filósofos del siglo
XVII, se concluyó que el Universo se regía por dos grandes leyes de
conservación: El de la Energía y el de la Cantidad de Movimiento,
siendo ambos las dos medidas del movimiento.
a) Energía Cinética (mV2/2).- Magnitud escalar cuya transmisión es tem-
poral y se hace por vía del trabajo. La energía resulta ser la medición
más genérica del movimiento, y el trabajo es la medida de su variación.
b) Cantidad de Movimiento (m v). - Magnitud vectorial cuya transmisión
es instantánea, y se hace por vía del impulso. La cantidad de movi-
miento resulta ser la medida directa del movimiento mecánico, yel
impulso es la medida de su variación.
11II CANTIDAD DE MOVIMIENTO (¡;)
Esta magnitud es conocida también como Momentum Lineal, y
a lo largo del tiempo se la relacionó con el movimiento de un cuerpo.
En un inicio se le midió multiplicando el peso por la velocidad (Galileo),
RENE DESCARTES
(1596 - 1650)
Este notable filósofo y mate-
mátIco francés nació el 31
de Marzo de 1596 en La Ha-
ya (Touroine). Se formó en el
colegio de JesuItas de la
Fleche. Debido a sudelicado
estado de salud, sele permi-
tió de Joven permanecer en
cama todo el tiempo que
deseaba antes de Ir a la es-
cuela. A los treinta años fué
ofIcIal de campo con T11ly;
vMó después de largos viajes
en los Paises Bajos. En 1649
marchó a Estocolmo por
Invitación de la reIna Cristina
de Suecia. Esel prIncipal fun-
dador de la Nueva FIlosofía.
Lossistemas de coordenadas
que él Introdujo se cortan en
angulos rectos, y sedesignan
con las letras; x Y-z: llevan su
nombre. Tuvouna prolija vida
en el campo de las matemá-
tIcas. Se le atribuye la Idea Ii-
neal/zada de la inercia, deno-
mInada Momenfum Lineal;
- Todo cuerpo que se mueve
tiende a continuar su movi-
miento en línea tecr». /o que
aporecló en sus-Principios de
Filosofía- (1644). Su obra
cumbre fué -Discours de la
Methode-.

2. 234 Física-Primer Nivel
DILEMA
-Escomún observar cómo
determinados cuerpos en
movimiento finalmente pier-
den su velocidad y se detie-
nen. SI hacemos uno exten-
sión o todo el Universo,
concluiremos que éste de-
be estor muriendo, lo cual
resulto Inaceptable, pues si
el Universoes obro de Dios,
él debe ser eteav».
Este fué el dilema que
surgió o mediados del siglo
XVII entre los filósofos
europeos, lo que losempujó
o aceptar lo existencia de
uno magnitud, que relacio-
nado con el movimiento
debía serconstante(eterna).
El problema para ellos era
ponerse de acuerdo en
¿Qué se conservo: lo ener-
gía clnétlco o lo cantidad de
molimiento?
Esteasunto quedó resuelto
01descubrirse que lo ener-
gía (entre ellos lo cinétlca)
podía cambiar de formo
pero en esencia seguía sien-
do constante.
OJO!
Tontoen el Trabajo como
en el Impulso, lo fuerzo resul-
to ser el agente motriz, y su
presencio solo se explico
por lo Interacclón existente
entre los cuerpos.
MUY INTERESANTE
SI analizamos los unidades
del Impulso, descubriremos
que ellos son equivalentes o
los unidades de lo Cantidad
de Movimiento. Veamos:
newton.segundo = (kg. '; ]s
~ N.s = kg.
m
s
Félíx Aucallanchi V.
el volumen de materia (masa) por su rapidez (Descartes), y finalmente
la masa del cuerpo por su velocidad (Newton). Así quedó establecido
que la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial que mide el
grado de oposición (inercia) v = O 01 mis
que presenta un cuerpo para ~
cambiar 'u movimiento. Su ~::
valor resulta ser directa-
mente proporcional con la
masa y la velocidad de un
cuerpo:
I p = m. v 1 (12.1)
Unidad (S.I.): (P) = kg.m/s
Observacián.« Con la cantidad
de movimiento, el concepto de
inercia (masa) adopta una
naturaleza vectorial debido a
la inclusión de la velocidad.
I!IIIMPULSO (J)
"La bala y el tren tienen la
misma cantidad de movimiento"
Fig 12.1
Es conocida también como impulsión, y viene a ser una magnitud
de tipo vectorial que aplicado a un cuerpo hace que éstos experimenten
algún cambio en su movimiento. El impulso nos indica el grado de
efectividad que posee una fuerza para poner en movimiento a un cuerpo
o para detenerlo, en un intervalo de tiempo definido. Así pues, su valor
es directamente proporcional
con la fuerza F aplicada y con
el tiempo (M) que duró su ~
aplicación:
IJ = F. Át 1 (12.2)
Unidad (S.I.): (1) = N.s.
Observaciones.« En relación al
ejemplo de la Fig 12.2. se puede
decir que:
1) Los impulsos pueden trans-
mitir movimientos en intervalos
de tiempo muy cortos.
2) Al graficar una Fuerza ver-
sus el Tiempo podemos com-
probar que el área bajo la curva
nos proporciona el impulso que
recibe un cuerpo en un intervalo
de tiempo dado.
rATea = Impulso I Fig 12.2

3. Cantidad de Movimiento 235
•
TEOREMADELIMPULSOYLACANTIDAD
DE MOVIMIENTO
_ Según el ejemplo de la Fig 12.2, el lanzador aplica un impulso
(J) ~ la bola de masa m, y debido a ello le cambia su velocidad de
v¡ = O a vr; esto significa que el impulso provocó un cambio en la
cantidad de movimiento de la bola. En base_al ejemplo de la Fig. 12.3a
podemos apreciar que la fuerza resultante R es aplicada en un tiempo
Il.t, luego, utilizando la 2da Ley de Newton tendremos:
~v -má e R; m. ~t =.R => m(vr-v¡)=R .~t
=> mVr -mv¡ =J => Pr -p¡ =} ; ó; I~=J I (12.3)
«Si sobre un cuerpo o sistema de partículas actúa un impulso
externo éste tendrá un valor igual al cambio producido en la cantidad
de movimiento del cuerpo o sistema».
(b)
:--~tr
: ~ p¡
p,
p¡-rriV¡
¡--c=¡ J
: ~
, 1:>'
pr=mvr
Fig 12.3
11II SISTEMA DE PARTICULAS
Cuando un sistema físico está compuesto de varios cuerpos o
partículas, el estudio de su movimiento se simplifica si encontramos la
Cantidad de Movimiento Total del Sistema (PT) Yel de su Centro de
Masa. Resulta que el movimiento del Centro de Masa es equivalente
al que realiza todo el sistema. Luego, a partir de ésto se definen:
a)Cantidad de Movimiento del Sistema.- Por ser la cantidad de movi-
miento una magnitud vectorial, se establece la siguiente suma:
(12.4) IPT=p.+P1+: •.+PDI ; ó ; [PT=mil+mi"l+ ...+mnvnl
b)Velocidad del Centro de Masa.- Se demuestra que la cantidad de
movimiento del Centro de Masa coincide con la Cantidad de Movi-
miento del Sistema. Luego:
(12.5) IM T·VCM =PT I donde MT = Lm¡
1
_ Ln¡v. 1
(12.6) )'CM=~
ATENCION!!
1) Por razones pedagógi-
cas, la relacIón (12.3) se
ha demostrado conside-
rando un movImiento
rectilíneo (Flg. 12.30).
2) En la Fig 12.3b se pueqe
notar que el Impulso ( J )
señala hacIa el Interior de
la curva (concavIdad). Su
valor puede encontrarse
mediante la relacIón (3.2)
para un vector diferencIa:
CENmo DE MASA (C.M.]
Esel lugar del espacIo en
donde se consIdera con-
centrada toda la masa de
un sistema de partículas. La
ubicacIón del C.M. se
determIna por medIo de las
relacIones vIstas en el item
8.13.
_ Lm¡x¡
x=--
Lfl1¡
- I.m¡y¡
y=--
Lm¡

4. 236 Física-Primer Nivel
FUERZAS INTERNAS
Se considera que una
fuerza es interna sies la que
aplica una partícula del sis-
tema sobre otra que tam-
bién pertenece al mismo
sistema. Lasfuerzas Internas
se caracterizan además
porque:
1)La resultante de todas
ellas es nula dentro de un
sistema.
2)Pueden producir variacio-
nes en la cantidad de
movimiento de las partí-
culas que componen un
sistema, pero no alteran
la cantidad de movimien-
to del mismo.
FUERZAS EXTERNAS
Son aquellas que ejercen
los agentes externos al
sistema sobre una partícula
del mismo. Las fuerzas
externas pueden variar la
cantidad de movimiento to-
tal de un sistema.
SISTEMA AISLADO
Se dice que un sistema de 211)
partículas es aislado si la
resultante de las fuerzas
externas a él es nula. Si un
sistemaes aislado, entonces
desde unmarco de referen-
cia inerclal se observará
que su Centro de Masa se
encuentro en reposo
(v = OJ, o moviéndose con
velocidad constante.
Loscasos mostrados en la
Fig. 12.4 están libres de fric-
ción, y por tanto correspon-
den a sistemas aislados, de
manera que en ellosse cum-
ple que la cantidad de
movimiento total se con-
serva.
En el caso (c) de la Flg.
12.4, los componentes del
sistema aislado parten del
reposo, y por ello la coor-
denada x del Centro de
Masa se mantiene Inaltera-
ble en todo momento.
FéJixAucallanchi V.
c)Aceleración del Centro de Masa.- La velocidad del Centro de Masa
varía a través del tiempo solo con la presencia de una aceleración, y
ésta se relaciona con la masa de todo el sistema y con la resultante de
todas las fuerzas externas del siguiente modo:
(12.7) IMT.iiT =R 1,donde: R = "LF = "Lm¡ii¡
~
!miil
(12.8) QT =l'.ñt
I
•PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA
CANTIDAD DE MOVIMIENTO
De acuerdo con lo establecido en el Teorema del Impulso y la
Cantidad de Movimiento, se tiene que:
R .!1t= Pf - p¡, y si: R = O (Resultante de las fuerzas externas)
~ 0= Pf - p¡ ~ !i¡'=ir I (12.9)
Lo que equivale a decir que: «Si la resultante de las fuerzas externas
que actúan sobre un cuerpo o sistema de partículas es nula, entonces
la cantidad de movimiento total se conserva».
Observaciones> Dado que la cantidad de movimiento (p ) es una cantidad
vectorial, entonces el principio establecido por la relación (12.9) puede expre-
sarse de distintos modos:
111) !"L(mv)antes ="L(mv)dapuis~ (12.10)
(12.11)
Al trabajar en el plano, se tiene que: v= vx +v y' Luego:
!"L(mvx)antes ="L(mvx)~ 1
I"L(mvy)antes ="L(mvy)despu& I(12.12)
a)
vA=4m1s "8=3m1s vA=3m1.r l'¡¡=4mIs
--<=>- -.....c::::- ---c:::---....c::-
,B (B) ~;f-!32 }!¿
Antes
b)
Fig 12.4

5. Cantidad de Movimiento 2 7
nlOflLEMAS RESUELTOS (ptA NRTE)
Probo 1.- Una raqueta logra golpear una pelota de tenis
de 200 g desviando su dirección según como
se Indica. Si v1 = 35 mis y v2 = 75 mis. ¿Qué
fuerza media experimentó la pelota, si la
duración del contacto fué M = 0,04 s?
A) 300 N O) 100 N
B)500 N E)600 N
C)200N
Resolución.-
En base a los datos podemos reconocer las cantidades de mo-
vimiento inicial y final:
Ipll = m,vI
= (0,2 kg) (35 mis) = 7 kg.mls
IP21= mV
2
= (0,2 kg) (75 mis) = 15 kg.mls
Luego, utilizando el Teorema del Impulso y la Cantidad de
Movimiento dado por la relación (12.3) tendremos que el
impulso (1) que experimenta la pelota se calcula como un
vector diferencia:
::) 111 = 20 N.s
A continuación calculamos la fuerza (F) que aplicó la raqueta y que propició el impulso (J ) obtenido.
Luego, empleando la relación (12.2) que define a este último, tendremos que:
IFI=!.{!= 20N.s
/1t 0,04 s
- J
F=-
/1t
::) IF' = 500 N RPTA. B
Probo 2.- UnacrnetrcikXJorads¡xro txias de 40 gCXX'llJ)(] vekx:;icJocJ de 5aJ mis. ElsoIdcx::Jo q.Je mCTJ-
tienesujetala crnetrcikXJoraCXX'l1asmeros p.,I€iCk3 ejerceruna fuerzamáxima de 200 N sxxe
la crnetrdkXJora.DetermrYJelrroaro rirneIO de txxs q.Je puede cisxra en lTI minuto.
A) 400 B)500 C) 600 O) 300 E)200
Resolución.-
Se sabe que las balas inicialmente están en reposo (v¡ = O),
Y luego de recibir el impulso de la ametralladora
adquieren la velocidad de ve = 500 mis. Luego, las
cantidades de movimiento inicial y final de cada bala
es: p¡ = O, y:
Pr -= mv = (0,04 kg) (500 mis) ::) Pr = 20 kg.mls
Asimismo, reconocemos que el intervalo I:!.t que existe
entre disparo y disparo es: I1t = 1 minln = 60 s/n,
siendo "n" el número de balas percutadas en un minu-
to. Luego, por condición del problema se tendrá que
si "n" es máximo, la fuerza (F) que puede sujetar a la
ametralladora produce el impulso (1), que estará dado
por la relación (12.2):
J = F.1:!.t ::) J = (600 N). 60 s
n
.Ifl·;t(.o,,:iún

6. 238 Física-Primer Nivel FélixAucallanchl V.
Seguidamente aplicaremos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento dado por la relación (12.3):
- 60s m m
J = Pf - p¡ ~ (200 N) - = 20 kg . - - Okg . - ~ n = 600 RPTA. C
n s s
En el item 12.3 se explicó que el área bajo la curva Fuerza-
vs- Tiempo nos dá el impulso (l); luego, por el esquema adjunto
podemos decir que:
(
6+10) (lO) (4)
J = Area trapecio + Area triángulo = -2- 4 + --2-
~ J = + 52 N.s ~ J = 52 1 (Eje "x" positivo)
Luego, por condición del problema, este impulso dá lugar a
un cambio en la velocidad, y por consiguiente en la cantidad
de movimiento del cuerpo, siendo vf su velocidad final.
Ahora, si utilizamos el Teorema del Impulso y la Cantidad de Movimiento, tendremos:
J = Pf - p¡ ~ J =m (Vf-V¡) ~ 521 =2 [Vf-(-41)] ~ vr =22 ¡(mis)
Probo 4.- Uncuerpo, según la figura, reposa sobre una
superficie perfectamente lisa (sin fricción) y
horizontal. Su centro de gravedad está en G
como indica la figura. Siel cuerpo se inclina
ligeramente, cae al piso. ¿Dónde quedará
su centro de gravedad G .
A)EnP
B)Dependiendo de hacia qué lado se haya
producido el impulso, en Q o S
C) En T D) EnR E)Muy lejos de dichos puntos, pues no hay fricción.
Resolución.-
Probo 3.- Si un cuerpo de 2 kg en el IQstantet = O s ,
tiene una velocidad v = - 4i (mis); se pide
encontrar su velocidad en el Instantet = 8 s, si
durante ese tiempo experimentó una fuerza
variableparalela al eje xy que viene dada por
el gráfic.?adjunto Fuerza- vs -Tiem~.
A) - 10 I (mis) D) + 22 ¡(mis)
- -
B) + 12 I (mis) E)- 52 i (mis)
C) - 14 I (mis)
Resolución.-
Despreciando el impulso inicial que permitió la
inclinación de la barra, diremos que ésta no expe-rimenta
fuerzas externas en el eje horizontal (x); por tanto, el
Centro de Masa (C.M) de la barra inicialmente estaba en
reposo en dicho eje: v =0, y conservará dicho estado en
virtud al Principio d; Conservación de la Cantidad de
Movimiento establecido para un sistema de partículas.
Así:
Si: Rx = LF" = O ~ Px = constante = M,vCM
Pero: vCM = Vx ~ vCM = O ~ XCM =constante' RPTA. D
F(N)
10 -------------
t(s)
6
O 4 8
F(N)
¡
,,
10!
:
6
t(s)
4o (8)
RPTA.D
. G
p Q R Ts
UNI88
T
Uso
p

7. Cantidad de Movimiento 239
Observación.- En el eje vertical (y) la barra experimenta fuerzas externas: Peso y Normal, que por no estar
equilibradas producen una resultante Ry que impulsa la barra hacia abajo. Luego, en dicho eje el Centro
de Masa experimenta un movimiento acelerado.
Probo 5.- Unhombre y un muchacho que pesan 800 N Y400 N respectivamente, están sobre un
piso sinrozamiento. Sidespués de que se empujan uno al otro, el hombre se a/~a con
una velocidad de 0,5 mis respecto al piso, ¿Qué cñstcmctoto: separa despues de 5
segundos?
A) 7,5 m B) 9 m C) 6 m D) 10,5 m E) N.A.
Resolución.-
El sistema formado por el hombre y el muchacho constituyen un sistema aislado, dado que sobre ellos no
hay fuerzas externas que produzcan impulso neto, pues solo están sujetos a fuerzas internas. Luego, aplicando
el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tendremos:
(Phombre + Pmuchacho)antes = ( Pbornbre + Prnuchacho)dcSPUéS ~1M (O) + m (O) = M (- vH
) + mVrn
=> vm = (M/m) vH
H - ~ 111
.r: ANTES
donde: M = 80 kg, m = 40 kg Y vH = 0,5 mis. Luego: I'h .• '.' .........•..... ....." ~ v
vrn = (!~)0,5 => vrn = 1 mis =:}--~:;;_''';~'''':''~+~iSÓ''::¡~
- i -- ..
A continuación calcularemos la distancia que los separa " "~- : - = DES/'U ES
al cabo det = 5 s, utilizando para ello el esquema adjunto ,'!l'_.,t.c, ..~.', :~'.• ' .. f.-, ... ~.• ,"". ri:..,T.J",,",.. '''.. =~~'"""'"",..,.."*~~~
y la relación (4.1) para los espacios recorridos: t-- el! •.•-===__ ---"
d = eH + ern = (vH + vm) t = (0,5 + 1) 5 => d = 7,5 m RPTA.A
Probo 6.- Un hombre de 60 kg que vtojo de pie sobre una plataforma de 240 kg avanzan en
línea recta y horizontal a rozan de 20 mis. Siel hombre empieza a correr respecto de
la plataforma y en el mismo sentido de su movimIento a razón de 5 mis, ¿Cuál será la
velocidad de la plataforma durante el evento? Despreciar el rozamiento de la
plataforma con el piso.
A) 19 mis B) 18 mis C) 15 mis D) 12 mis E)10 mis
Resolución.-
Dado que el sistema conserva su cantidad de
movimiento, diremos que la velocidad que tiene
la plataforma durante el evento es vp' Luego, el
hombre respecto del piso tendrá una velocidad
vp+u. Ahora, utilizando la relación (12.9) ten-
dremos:
Pantes = Pdespué s => (M +m)v = M vp +m (vp +u)
y reemplazando datos:
(240 + 60) 20 = 240 vp + 60 (vp + 5)
vp= 15m!s RPTAC

8. 240 Física-Primer Nivel Fé/lxAucallanchi V.
Probo 7.- Marlon y Rocío se lanzan al agua simultáneamente desde una balsa. Losmódulos de
susvelocidades respectivas son iguales a 6 mis y 5 mis. y sus masas son 75 kg Y 52 kg
respectivamente. ¿Con qué velocidad se moverá la balsa, sila joven lo hace hacia el
Norte y el joven hacia el Sur? Masa de la balsa = 95 kg.
A) 2 mis: hacia el Sur B) 1 mis: hacia el Norte C] Omis: no se mueve
O) 1 mis: hacia el Sur E)2 mis: hacia el Norte
Resolución.-
Considerando despreciable la fuerza de rozamiento de la balsa con el agua, diremos que el sistema compuesto
por la balsa y los jóvenes experimentan una fuerza resultante nula (el peso del sistema se equilibra con el
empuje del agua). Luego, podemos decir que éste es un sistema aislado, y por consiguiente conserva su can-
tidad de movimiento. Asimismo, podemos reco-
nocer que antes del lanzamiento de los jóvenes el
sistema estaba en reposo (v = O); luego, aplicando
el Principio de Conservación de la Cantidad de
Movimiento dado por la relación (12.9), tendre-
mos:
M I!R
SUR
~-_. -
NOHTE
=:) O=mM
vM
+m
B
vB
+m
R
vR
y escribiendo escalarmente la ecuación obtenida
tendríamos:
75 (6) - 52 (5)
95 RPTA.E
Probo 8.- Unapartícula de masa m es lanzada verticalmente hacia abajo desde una altura h
con una velocidad Inicial v. Sico/lslona elásticamente con una mesa de altura c < h
puesta sobre el piso. ¿Cuál es el módulo de su velocidad, justo después que rebota?
A)vclh B)v C] J2g(h-C) O) J2ghc E) J2g(h-c)+v2
UNI94-2
Resolución.-
RPTA.E
-----l-r.
(h-c) :
h t~;~'=te
-+-
~g
La partícula llega a la mesa luego de caer libremente la
altura (h - e); luego, la velocidad con que incide sobre la
mesa estará dada por la relación (5.2):
vi = v2 + 2 g (h - e) =:) Vi = Jr
v-2-+-2-g-(-h-:"'-c-)
y por tratarse de un choque elástico (e = 1) Yfrontal, se
verificará que la velocidad de rebote (vr) será:

9. Cantidad de Movimiento 241
lfB COLISIONES
Llamamos así a aquellos fenómenos de corta duración, y que se
producen cada vez que dos cuerpos con movimiento relativo interactúan
por contacto, generándose entre ellos fuerzas impulsivas variables y
muy intensas, las mismas que originan deformaciones y aceleraciones
muy grandes, lo cual produce variaciones considerables en la veloci-
dad de los cuerpos. A pesar de ello, y por lo visto hasta aquí, las fuerzas
impulsivas son fuerzas internas, y por consiguiente la cantidad de movi-
miento total de los cuerpos es la misma antes y después de la colisión.
Según la dirección de los movimientos, las colisiones pueden ser:
A) Colisiones directas.- Se les conoce también como choques frontales
o en una dimensión, y son aquellos en donde los cuerpos se mueven
sobre una misma recta antes y después del choque (Fig. 12.5a).
B) Colisiones oblicuas» También se les conoce como choques oblicuos
. o en dos dimensiones, y se caracterizan porque los cuerpos se mueven
en direcciones o rectas distintas antes y después del choque (Fig.
12.5b).
Ant~* !~.
~
Pv
IPn= Pn I
b
Des~~ ~
a)
11II COEFICIENTE DE RESTITUCION (e)
Se le denomina también coeficiente de percusión, y viene a ser
un número adimensional propuesto por Isaac Newton para poder rela-
cionar las velocidades relativas de dos cuerpos antes y después de cho-
car. Así, el coeficiente de restitución es la razón entre estas velocidades,
de manera que: v-=- {0i/21
~ --c;-
e Velocidad relativa de alejamiento W ~ Antes
Velocidad relativa de acercamiento crEv
1 (2
V2f -vu Dura,·te
e= (12.13)v1i
-v2I
VII
Después WEn general se verifica que:
O:S;e:S;l Fig 12.6
DEBES SABER QUE:
Cuando un bate golpee
una pelota de beisbol, cade
uno recibe del otro une
fuerza variable, de corto
duración, y que puede
tomar valores considerable·
mente grandes.
FUERZA MEDIA
La fuerza media que se
produce durante una coli-
sión se define como la fuer-
za constante que actuando
durante el mismo tiempo
que empleó el contacto,
produciría el mismo Im-
pulso.
Fuerza
-- ImpulsivoF
F -- -- -:---+--+---,
o
(*) Lasáreas bajo las dos cur-
vas deben ser iguales.
FUERZAS IMPULSIVAS
Se les denomina también
fuerzas impulsaras, y son las
que se producen durante
una colisión o explosión. Su
duración es muy breve, y sus
valores son relativamente
grandes.

10. 242 Física-Primer Nivel
¿COMO MEDIR e?
Un procedimiento experi-
mental y sencillopara medir
el coeficiente de restitución
(e) entre dos cuerpos de
materiales A y 8 consiste en
aplicar /0 siguiente re/ación.
Félix Aucallanchi V.
11&1TIPOS DE COLISIONES
El valor de e está íntimamente vinculado con la pérdida de energía
cinética Así entonces, las colisiones según el valor deepueden clasificarse en:
a) Colisiones elásticas.- Son aquellas en donde los cuerpos luego de la
colisión conservan la misma energía cinética. Asimismo, la deforma-
ción experimentada por los cuerpos durante el choque solo es tempo-
ral, observándose que cada uno recupera su forma original terminada
la colisión. Además se verifica que:
le=1}
b)Colisiones inelásticas.- En estos choques los cuerpos presentan de-
formaciones luego de su separación. Esto es una consecuencia del
trabajo realizado por las fuerzas impulsivas, lo que conduce a una
disminución de la energía cinética total de los cuerpos. Además se
observará que:
10<e<11
c)Colisiones completamente inelásticas.- Se les llama también choques
plásticos, y se caracterizan porque los cuerpos durante la colisión
reciben un trabajo por parte de las fuerzas internas que los obliga a
mantenerse unidos y continuar su movimiento en esa forma. Esto
nos sugiere que la energía cinética total de los cuerpos es menor des-
pués del choque, y ello debido a una fuga de energía bajo la forma
de calor. Asimismo, se comprueba que:
I e=O 1
1111!1 LEY DE REFLEXION EN LAS COLISIONES
Durante una colisión oblicua de un cuerpo con la superficie de
otro de mayor masa, como por ejemplo una pared o el piso de una
habitación, se verifica que las direcciones del movimiento cambian
dependiendo de dos factores:
1) Del coeficiente de rozamien-
to entre las superficies en
contacto (1-1).
2) Del coeficiente de restitución
existente entre los cuerpos
(e).
Así pues, puede probarse que
los ángulos de incidencia (Li)
y de reflexión (Lr) están rela-
cionados así:
Le
v, - Velocidad InIciIJI
v, - Yelocldad de Rebote
(*) Esta relación es válida: 'V i> O°. Si i = 0° => r = 0°
Fig 12.7

11. Cantidad de Movimiento 243
IllllVELOCIDAD DE REBOTE
Utilizando el ejemplo general mostrado en la Fig. 12.7, podemos
determinar el módulo de la velocidad con que rebota la pelota a partir
de datos específicos, por 10 cual se presentan los siguientes casos:
a) Dados los valores de 11y e, los ángulos de incidencia (l) y de reflexión
(r), y la velocidad de incidencia (vi)' se tendrá que la velocidad de
rebote (vr) es:
b) Si el piso es liso (11 = O)Yson conocidos el ángulo i, y el coeficiente
e, se tiene que:
e) Si las superficies son lisas (11 = O) Y el choque es elástico (e=I), la
velocidad de rebote no depende del ángulo i :
l"r=V¡
d) Si el ángulo de incidencia es i=00
, la pelota choca frontalmente con
el piso, entonces, independientemente de la aspereza relativa (11) de
los cuerpos se cumplirá que:
•
REFORMUlACION DE LAS LEYESDE
NEWfON
Sir Isaac Newton, en su obra cumbre: «Principios Matemáticos
de la Filosofía Natural», postuló entre otras cosas, sus tres leyes de la
Mecánica, las cuales se han presentado en los capítulos 7 y 9. Sin em-
bargo, la esencia de los mismos en su forma original estuvieron susten-
tadas en los conceptos de Impulso y Cantidad de Movimiento vistos
recién aquí; de este modo estas leyes se enunciarían así:
llí1) Ley de la Inercia.- «Si sobre un cuerpo no actúa ningún impulso
externo, dicho cuerpo conservará su cantidad de movimiento».
Si J= O => P = constante
2¡!¡¡)Ley de la Fuerza.- «El ritmo de cambio de la cantidad de movi-
miento de un cuerpo es igual a la fuerza neta aplicada, y tiene
lugar en la mi-sma dirección».
·li = !!.p ; ó : li = Mmv)
Al Al
3m)Ley de la Acción y la Reacción- «Los impulsos que experimentan dos
cuerpos que interactúan entre sí producen en ellos la misma variación
en su cantidad de movimiento, pero en direcciones opuestas».
- -
J acción = - J reacción
ATENCiÓN
Durante un choque como el
mostrado en la Flg. 12.7, se
verificará que la Normal, la
Recta de incIdencIa y la
Recta de reflexión, se
encuentran ubIcados en un
mIsmo plano el cual será a
su vez perpendicular a la
superficIe de reflexIón.

12. 244 Física-Primer Nivel Féllx Aucal/anchi V.
PROBLEMAS RESUELTOS(ZN PARTE)
Probo 9.- Una pelota cae vertIcalmente al piso, y al rebotar en él se observa que solo se eleva
hasta la mitad de la altura inicial. SIla velocidad justo antes del choque es de 20 rnts.
¿Cuál es la velocidad después del Impacto?
_ A] 12,1 rnls 8] 13,1 mts C] 14,1 rtüs O] 15,1 mts E] N.A. UNFV 91
Resolución.-
De acuerdo con los datos se tiene que las alturas inicial (h.) y final (hf
) logradas por la pelota son tales que:
h, = h(2. Luego, el coeficiente de restitución entre la pelota y el piso estará dada por la relación experimental:
e = {h; = Jh¡12
V-';; h¡
J2e=-
2
Seguidamente calcularemos la velocidad del rebote (v
r
), reconociendo que la velocidad de incidencia es v. =
20 mis y que el choque es frontal, luego por la relacion dada en el item 12.11 para estos casos, tendremos:
=> vr - 14,1 mis RPTA.C
Probo 10.- La figura muestra la colisión de los
bloques 1 y 2. Entonces, el coefi-
ciente de restitución entre los
bloques es:
20mls
---<:>- FO
12m/s 16m1s
---<:>- ---{:::>
A] 0,1
0]0.4
8]0,2
E] 0,5
C]O,3
UNI94-2
1 2 1
Resolución.-
Aplicando directamente la relación (12.13) para el cálculo del coeficiente de restitución (e) tendremos:
V2! - vlf (16m/s) - (12m/s)
e= =
(20m/s) - (Om/s)
e =0,2 RPTA.B
Probo 11.- Dosmasas m y 2m sedesplazan con movimiento uniforme sobre una misma recta, coll-
. '.~ .sIonando elásticamente. SIpara la masa 2m la velocidad final esel doble de la inicial, la
relación (velocidad finaljl{ve/ocidad inic/alj para la masa m en valor absoluto es:
A] 1/5 8] 112 C] 1 O]2 E]4 UNI94-1
Resolución.-
Sean mi =.m y m2 = 2 m las masas de los bloques; asimismo, sean Vii' vIP v i = V Yv2f = 2v sus velocidades
inicial y final respecti vamente para cada bloque. Ahora, utilizando primero ¡a relación (12.13) para el coefi-
ciente de restitución (e = 1), y luego el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento, tenemos:

13. Cantidad de Movimiento 245
=> v¡i+V¡f=3v ..... (I)
b) m¡vli + m2v2i = m¡vlf + m2v2f
=> mV¡i + 2 m.v = m,vlf + 2 m.2 v
=> v¡i-vlf=2v (2)
y resolviendo (1) y (2) obtenemos: vii = % v y v¡! = ~ RPTA.A
Probo 12.- Dos cuerpos Inelástlcos tienen uno masa total de 12 kg, moviéndose en sentidos
opuestos con velocidades de 4 mIs y -6 rtüs. Colislonon y adquieren uno velocidad
común de + 114rrüs. ¿Enqué relación están los masas de los cuerpos?
A) 614 B)513 C) 813 O) 615 E)514 UNI 83 - 1
Resolución>
Utilizando directamente la relación (12.10) para el Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento,
y siendo el choque completamente inelástico (los cuerpos quedan unidos), tendremos que:
m¡lI¡ +~v2 = (m¡ +~) v => m¡ (+4)+~(- 6)= (m¡ +~) (+¡)
mI _.!
mz - 3
15m¡ = 25~ RPTA.B
Prob. 13.- Uno bolo de masa m se disparo contra un bloque de masa Mcomo se muestro en
lo figuro. Despuésde lo colisión el centro de masas del conjunto (m + M) se desplazo
hasta uno altura h. Encuentro lo velocidad de lo bolo en función de m, My h.
A) m+M J2 gh
m
O) m+M JQii
m
E) M J2 gh
m
C) J2~gh UNI89
IIResolucién>
Averigüemos primero la velocidad v· que adquieren el bloque y la bala juntos inmediatamente después del
im-pacto de ésta sobre aquella, para lo cual utilizaremos la Conservación de la Energía Mecánica, dado que
el sistema no experimenta trabajo por parte de las fuerzas externas no conservati vas (por ejemplo, la tensión
en las cuerdas). Luego:
E~ = E;' => t(m+ M) v; = (m+ M) gh

14. 246 Física-Primer Nivel
~ Vi = Jz gh ..... (1)
y ahora, emplearemos el Principio de Conservación de la
Cantidad de Movimiento para el momento del impacto de la
bala contra el bloque:
(Pbala + Pbloque )antes = (Pbala + Pbloque) despué s
~ mv+M(O)=(m+M)v¡ (2)
Reemplazando (1) en (2) y depejando la velocidad de la bala
(v), tendremos:
RPTA.A
Probo 14.- Sabiendo que el sistemaporte del reposo
¿Conqué velocidad abandona elbloque
a la rampa que es curva? No hay
rozamiento y además: h= 5 metros,
M = 9m y g = 10mfs2.
A) 8 mis D) 9 mis
B) 18 mis E)4 mis
C) 16 mis
FélixAucallanchi V.
(M+ m)
r m
h
Resolución.-
En primer lugar debemos reconocer que por la ausencia de una fuerza resultante externa, el sistema constituído
por el bloque y la rampa conserva la cantidad de movimiento, tal que su velocidad vr
estará dada así:
M (?) + m (O) = M ( - vr) + mv
m
~ vr = M v ..... (1)
Asimismo. notamos que el sistema no experimenta
trabajo por parte de fuerzas no conservati vas, por con-
siguiente la energía potencial gravitatoria se convierte
en energía cinética de la rampa y del bloque mismo.
Así pues:
l 2 l 2
mgh = -mv +- Mv (2)
2 2 r
Reemplazando (1) en (2) y despejando v, tendremos:
v=(~)J2ihM+m
~ V = 9 mis RPTA.D

15. Cantidad de Movimiento 247
1.- Se tienen tres cuerpos moviéndose en línea
recta, de manera que:
A: mA
= 6 kg, vA = 5 mis
B: mB
= 3 kg, vB
= 9 mis
C: me = 12 kg; ve = 2,5 mis
Entonces, el cuerpo que menos se resiste a cambiar
la dirección de su movimiento es:
A) A C)C D)AyB E) AyCB)B
2.- Usted debe recibir entre sus manos una biblia
de 1 kg soltada desde 2 m de altura. Entonces, para
que el impacto le produzca el menor dolor, el contac-
to con ella.deberá ser: (elija un valor)
A)lO-ls B)lO-4s C)2.1O-2s D) 10-2 s E) 10-3 S
3.- Una persona está parada sobre una balanza y
ésta da una lectura L. Luego la persona toma un im-
pulso hacia arriba y salta. Entonces:
( ) L no cambia de valor.
) L primero aumenta y luego se anula.
) L disminuye de valor durante el impulso.
Señalar verdadero (V) o falso (F):
A) FyV B) VFV C) FVF D) FFV E) FFF
4.- Un hombre aplica con sus manos una fuerza
neta de 200 N sobre una pared durante 0,45 s. Luego,
el impulso recibido por la pared es en N.s:
A)9 B)90 C) 900 E) OD)45
5.- ¿Por qué un buen futbolista obtiene la máxima
velocidad y recorrido con un tiro suave?
A) Por una menor fuerza.
B) Por una mayor fuerza.
C) Por un mayor tiempo de contacto.
D) Por un menor tiempo de contacto.
E) Por un menor impulso.
6.- Suponga que usted está en el centro de un lago
helado. Entonces, para salir de él:
1. Camina hacia afuera.
n. Se dá volantines en el piso.
III. Se saca el abrigo y lo lanza hacia adelante.
Indique lo incorrecto:
A) I Y III B) n y III C) 11I D) 1 Y n E) Todas
7.- Complete correctamente la siguiente oración:
«Un cuerpo puede poseer y no necesa-
riamente »,
A~ Velocidad; energía.
B) Energía; cantidad de movimiento.
C) Aceleración; impulso.
D) Cantidad de movimiento; energía.
E) Masa; energía.
8.- Si las esferas mostradas son idénticas y elás-
ticas, después del choque las bolas que se moverán
son:
A) D,E
B) C, D, E
C) B,C,D,E
D) E
E) Faltan datos
9.- En la figura se muestran dos bolas de billar. Si
"B" está en reposo, ¿qué gráfico indica mejor las
trayectorias antes y después del choque elástico?
D)
~ E~

16. 248 Física-Primer Nivel Félix Auco/lonchi V.
PROBLEMAS PRO'UESTOS
NIVEL!
01.- Una fuerza de 20N actúa sobre un cuerpo durante
0,5 segundos. Luego, el cambio (en kg.mls) que
produce en la cantidad de movimiento de aquel
será .
B)9 C) 10A) II O) 12 E)20
02.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad IV 11 = 4 mis. Si luego su velocidad
se convierte en 1v,l = 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibiÓ si : VI tt v 2
A)-6 B)12 C)6 0)18 E)-20
03.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad Iv 11 = 4 mis. Si luego su velocidad
se convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibió si : V 1 .1 v 2
A) 15 B) 30 C) 24 O) 18 E) 36
04.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad Iv 11 = 4//1ls. Si luego su velocidad
se convierte en Iv 21 = 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibió si : VI t.L v 2
A) 40 B) -36 C) -18 0)36 E)-42
05.- Un cuerpo de 6 kg se desplaza rectilíneamente
con una velocidad Iv 11 = 4//115. Si luego su velocidad
se convierte en Iv ,1= 3 mis, ¿Cuál es el impulso
(en Ns) que recibió si : V 1 Y v 2 forman 60°
A) 2 m B) 6 C) Ji O) 6Ji3 E) 4
06.- Si un sistema físico experimenta una fuerza
externa F que varía con el tiempo según como se
muestra en la figura, hallar el impulso (en Ns) que
recibe el sistema entre I = Os y I = 105.
A)6
B) 1811:
C) 611:
0)36
E) 36 rt
F~N)
6 -------
t (s)
O 12 ~
07.- Dado el siguiente sistema de partículas de masas
iguales (m = 2 kg), se pide encontrar para el instante
mostrado:
A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis)
B) La velocidad del centro de masa. (en mis)
8 mis 5 mis'
(r------- ··15
A) 1;3 B)2;3 C) 3;2 O) 6; l,5 E) 26; 1
08.- Dado el siguiente sistema de partículas de ma-
sas iguales (m = 2 kg), se pide encontrar para el
instante mostrado:
A) La cantidad de movimiento total. (en kg. mis)
B) La velocidad del centro de masa. (en mis)
A) 5;10
B) 14;4
C) 12;3
O) 3;7
E) 4;17
...~
. 10m/s
/~ 37°~ ......• ,e .
8m1s
09.- Calcular el coeficiente de restitución (e) en la
siguiente colisión:
6 mis 2 mis 3 mis 5 mis
"'--C:> -<J.---J"< -<:--'" "'--C:>
(i) (2) (i) (2)
Antes Después
A)0,5 B) I C)O,4 O) 0,2 E) 0,8
10.- Si el piso es liso, hallare en el choque mostrado.
A) 1/2
B) 6/11
C)4/9
O) 5/8
E) 9/16
11.- Si el rebote es elástico, hallar el coeficiente de
rozamiento (J-1) en el siguiente choque.
A) 1/2 ~"cbB) /3/2 1i¡11
C) /3/4 -, i, ., I
O) 1/4 30° ;,,6
E) 2/3

17. NIVEL 2
12.- Para detener a un cuerpo es necesario aplicarle
un impuso de 300 N.s. Si solo se dispone de una
fuerza de 1,5 N, ¿Durante qué tiempo será necesario
aplicar la fuerza para conseguir dicho propósito?
A) 200 s B) 250 s C) 100 s O) 150 s E) 300s
13.- Un balón de futbol de 0,5 kg se lanza con una
velocidad de 20 II1ls. Un guardavallas desea retenerlo
pero sin sentir mucho dolor, para lo cual lo "embolsa"
retrocediendo un par de pasos. Si el proceso duraü.c s,
¿Qué fuerza media recibió el guardavallas?
A) 20 N B) 25 N C) ION O) 35 N E) 30 N
14.- Un cuerpo de 6 kg es afectado por una fuerza
constante durante 10 s, tal que al final de la apli-
cación adquiere una velocidad de 20 mis. ¿Qué valor
posee dicha fuerza?
A) II N B) 13N C) ION O) 12N E)N.A
15.- Una bola atada a una cuerda gira con M.C.U.,
siendo su velocidad tanaencial de 4TlIls. Si su masa es
de 2 kg, ¿Qué impulso ~'ecibe por parte de la cuerda
al pasar de A hasta B?
A) 2.16 N.s
B) 3 2 N.s
C)2J3N.s
O) 5 2 N.s
E) 8J2 N.s
B
16.- Sabiendo que el choque es inelásticos con e = 0,6
Y las bolas son idénticas, ¿Qué velocidad presenta la
bola 2 después del choque? No hay rozamiento.
A) 5,2mls (-7)
B) 6,2mls (~)
C) 6,41111s(-7)
O) 7,4l11ls (~)
oReposo
E) N.A
17.- Sabiendo que las masas de la pluma y el bloque
son iguales y que ellos quedan adheridos después
de la colisión, ¿Cuál es la velocidad finaldel sistema?
A) 8 mis
B) 12 mls
C) 41111s
O) 14 II1ls
E) 6 mis
Cantidad de Movimiento 249
18.- Dos bolas chocan de modo que luego del impacto
v = 4 mis y v., = 6 mis, siendo r», = 5 kg YmJ = 4 kg.
J:uál es la medida del ángulo 8, si las trayectorias
son las indicadas?
A) 35°
B) 36°
C) 37°
O) 38°
E) 39°
19.- Una bola golpea a otra que se encontraba
inicialmente en reposo, de modo que cada una se
separa con velocidades de 3m!~ y 5 mis y de manera
que sus direcciones forman 60°. ¿Cuál es el valor de
vo? Las masas de las bolas son iguales.
1
1
A) 51/11s
B) 4mls
C) 6mls
O) 71111s
20.- Dos coches' de igual masa se desplazan con
velocidades VI = 12mls y VJ = 16mls por rectas que
se cortan perpendicularmen-te. Si ellos colisionan de
modo que quedan unidos. ¿Qué ángulo El forma la
dirección de su movimiento con el eje y después del
choque?
E) N.A
A) 35°
B) 37°
C)36°
0)38°
E) 39°
Yl "
VI le /L-...c> ~/
,/
-- -----.i-'-----------
: x
v,jé

18. 250
NNEL3
Fisica-Primer nivel
21.- La figura muestra tres partículas de masas iguales
(1 kg) sobre las que actúan las fuerzas indicadas:
I~I= 15 N, I~I= 3 N, I~I= 6 N. Lucgo,la acele-
ración del centro de masa es: (en m/s2)
A)(3; J2)
B)(2;1)
C) (1 ; 2)
0)(2; 2)
E) (6; 3)
y
x
22.- Una granada se desplaza horizontalmente a razón
de 10 II//s, y explota según como se indica. Si el
fragmento central se mueve a razón de 18/11/s, ¿Qué
velocidad en /II/s posee el fragmento inferior?
y: ¿I m
:3
~ : /
_~: ~~~1!°__~2_
~ :'~600 ~
mI',
i '0.:::/3
~ '
23.- Una granada estalla en el aire dividiéndose en
dos fragmentos de masasm, y 1/1
2
(1/1, = 31/1,). Ambos
son disparados verticalmente con velocidades vI y
v, el primero hacia arriba y el segundo hacia abajo.
La aceleración del centro de masa luego de la explosión
será:
A) 10
B) 8
C) 12
O) 16
E) N.A.
A) g/3 B) g/S C) 4g/5 O) 2g/5 E)g
24.- Un proyectíl es disparado y tiene una trayectoria
parabólica. Al llegar al punto más alto B de su
trayectoria, el proyectil se parte en dos fragmentos
idénticos. Uno de ellos, "el primero", por efecto de
la explosión retorna a la posición inicial cuya trayec-
toria coincide con la de ida. Entonces, el "segundo"
cae en C cuya abscisa es: .
Félix Aucallanchí V.
25.- Un carro de masa M = 500 kg va con una
velocidad v = 15 I/I/S. ¿Con qué velocidad v· en m/s
debe dispararse en el mismo sentido a una masa
m = 50 kg para que el carro retroceda en la misma
recta y con la misma rapidez inicial? (No hay fricción y
todas las velocidades se miden respecto de la Tierra).
A)150 ~
B) 205
C) 580
0)250
E) 315
M
26.- Si e = 0,5, determinar el número de impactos y
la velocidad al cabo de 5 segundos (El tiempo se
toma a partir del primer impacto) J.l = O.
B) 2 ; 4 m/s
16m/s
C) 3 ; 2/11/s
~
el0)4;1/11/5
t +-8m
E) 5 ; 0,5 m/s
27.- En la figura, las masas están en reposo y el
choque es elástico. Si no hay rozamiento, ¿Cuál es la
altura h que alcanza el bloque M? (M = 3 m).
t 1
t ~·__M~--~----l
28.- Si en el problema anterior el choque fuera
completamente inelástico, ¿Qué alturah alcanzarán
los bloques juntos?
A) 2 a y
!gB) 4a B A)H/2 O) 4H/5
.... ,
B) HII6 E) 2 H/3C) 3 a .- ,<,
/ -,/ -,-,
D) 5 a
I -, C) H/4I , x,.,
E) N.A. A Q---4 C
A) 1 ; 8 /II/S
A)H
B) 3 H/8
C) 3 H/4
0)H/4
E) H/3