Este documento apresenta os passos para deduzir as fórmulas das áreas de figuras planas a partir da fórmula da área do retângulo. Primeiro, explica como calcular a área de um retângulo usando geometria plana e cálculo integral. Em seguida, aplica esse raciocínio para deduzir as fórmulas de área de outros polígonos como quadrado, triângulo e trapézio. Por fim, apresenta exemplos numéricos de aplicação dessas fórmulas.

1. UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
LINCENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Professora: Isolda Giani de Lima
PRÁTICA PEDAGÓGICA 1
Calculando Áreas
BRUNA TIZATTO
ELAINE TONIETTO
LUCILENE DAHMER
MARIANE PASTORE
Caxias do Sul
2008
1

2. ÍNDICE
Introdução 03
Calculando Áreas 04
Como chegar na fórmula da área de um retângulo? 04
Definição 04
Área Calcula da Pela Geometria Plana 04
Área Calculada Pela Integral 05
Problema de Aplicação 06
Como chegar na fórmula da área de um quadrado? 07
Definição 07
Área Calcula da Pela Geometria Plana 07
Área Calculada Pela Integral 08
Problema de Aplicação 08
Como chegar na fórmula da área de um triângulo? 09
Definição 09
Área Calcula da Pela Geometria Plana 09
Área Calculada Pela Integral 10
Problema de Aplicação 11
Como chegar na fórmula da área de um trapézio? 12
Definição 12
Área Calcula da Pela Geometria Plana 13
Área Calculada Pela Integral 14
Problema de Aplicação 15
Como chegar na fórmula da área de um losango? 16
Definição 16
Área Calcula da Pela Geometria Plana 16
Área Calculada Pela Integral 17
Problema de Aplicação 18
Como chegar na fórmula da área de um círculo? 20
Definição 20
Área Calcula da Pela Geometria Plana 20
Área Calculada Pela Integral 22
Problema de Aplicação 23
Conclusão 25
Bibliografia 26
2

3. INTRODUÇÃO
Com certeza a maioria de nós aprendeu a calcular a área das figuras planas apenas decorando
fórmulas. E utilizávamos essas fórmulas de forma direta em exercícios bem simples, que não nos
faziam pensar muito, e sim, apenas reproduzir a lista de fórmulas que tínhamos anotadas em uma
”tabelinha”.
Agora, em nível universitário, nos deparamos novamente com essas fórmulas. Mas agora,
não basta apenas sabermos quais são, devemos saber como surgiram, e como aplicá-las nos mais
variados problemas.
Compreenderemos o cálculo das integrais apenas quando soubermos o real sentido do que
significa a área de uma figura, que agora não mais poderá ser calculada diretamente pelas
fórmulas de geometria plana.
Compreendendo o porquê de cada cálculo, de cada fórmula, ficará mais fácil de se aplicar o
trabalho desenvolvido durante toda a vida acadêmica.
3

4. CALCULANDO ÁREAS
A partir da fórmula da área de um retângulo podemos entender as fórmulas da área de
outras figuras planas.
Para deduzir as conhecidas fórmulas de áreas adotamos como unidade de área um
quadrado que, por definição tem área igual a 1 u.a.
Como chegar na fórmula da área de um retângulo?
Definição:
Retângulo é o paralelogramo em que os quatro ângulos retos são congruentes.
Área calculada pela Geometria Plana
Como chegar na fórmula: A retângulo b h?
Começamos com um retângulo de lados de medidas inteiras m e n que pode ser dividido
em quadrados unitários.
Se contarmos a quantidade de quadrados no interior do retângulo teremos 15 quadrados,
ou , 15 u.a.
Agora utilizando outra maneira de contar, vamos generalizar um procedimento para o
cálculo da área, ou seja, encontrar a fórmula.
O retângulo de lados inteiros m e n tem m 5 e n 3, de forma que existem 5
quadrados jutapostos na horizontal em cada linha, num total de 3 linhas. Então:
4

5. Assim, temos um retângulo formado por m quadrados jutapostos na horizontal,
distribuídos em n linhas:
Observe:
m base do retângulo
n altura do retângulo
Assim a fórmula da área do retângulo será igual a :
Ou simplesmente A retângulo b h.
Área calculada pela Integral Definida
LEI DA FUNÇÃO:
yh
CÁLCULO DA ÁREA:
b
A Þ hdx hx| b
0
0
AFb F0
A hb h0
A hb
Entendido como calcular a fórmula da área de um retângulo, através da Geometria
Plana, podemos deduzir as fórmulas de área de outros polígonos: recortamos sempre os
5

6. polígonos que queremos deduzir a fórmula da área, de modo a ”montar” um retângulo, e assim,
conseguiremos suas fórmulas de áreas através da fórmula da área desse retângulo.
Problema de Aplicação
A parede frontal da casa mostrada na figura tem 6,4 m de comprimento por 3 m de
altura. Nela há 4 janelas ( incluem-se aí as molduras e os vidros): uma quadrada e três
retangulares.
Sabendo que:
A área da janela quadrada é igual a 1,875 % da área da parede e
O lado da janela quadrada é igual à largura da retangular.
Responda:
Qual deve ser a altura das janelas maiores para que a superfície das três, juntas, ocupe uma
área igual a 9,375 % da área da parede?
Resolução:
Como temos que o comprimento é de 6,4 m e a altura é 3 m, aplicando na fórmula da
área de um retângulo, encontramos a área da parede frontal da casa.
Assim:
A bh
A 6, 4 3
A 19, 2m 2
Sendo que a área da janela quadrada é igual a 1,875 % da área da parede, podemos
através da regra de três encontrar qual é a sua área; sabendo que 19,2 m 2 corresponde a 100% ,
ou seja, a toda parede .
19, 2 100%
x 1, 875%
100x 36
36
x 100
x 0, 36m 2
A área da janela quadrada é 0,36 m 2 , sendo assim cada lado do quadrado mede 0,6 m,
que também é a largura da retangular.
A altura das três janelas maiores juntas ocupa uma área de 9,375 % em relação a área
da parede, assim:
6

7. 19, 2 100%
x 9, 375%
100x 180
180
x 100
x 1, 8m 2
A área das três janelas é 1,8m 2 . Calculamos agora a altura das janelas retangulares,
sabendo que a área é 1,8 m 2 e que sua base mede 0,6 m.
A bh
1, 8 0, 6 h
1,8
h 0,6
h 3m
Logo a altura das três janelas mede 3 m, dividindo por três encontramos a altura de
cada janela.
h3 3
h 1m
Assim a altura de cada janela maior é de 1m.
Como chegar na fórmula da área de um quadrado?
Definição:
Quadrado é o paralelogramo em que os quatro lados e os quatro ângulos são
congruentes.
Área calculada pela Geometria Plana
Sendo a base igual a altura: b h l.
Logo,
A quadrado b h
A quadrado l l
A quadrado l 2
Então:
7

8. A quadrado l 2
Área calculada pela Integral Definida
LEI DA FUNÇÃO:
yl
CÁLCULO DA ÁREA:
l
A Þ ldx lx| l0
0
AFl F0
A ll l0
2
Al
Problema de Aplicação
Dona Zilá está fazendo uma colcha de retalhos. A colcha é composta de quadrados
congruentes, cada um com a diagonal medindo 16 cm. Supondo que ela já tenha feito 14 desses
quadrados, vamos calcular a área da superfície da parte que dona Zilá já fez.
Resolução:
Para isso, consideremos o esquema a cima, que representa cada quadrado da colcha, e
calculemos sua área A 1 .
Aplicando-se o teorema de pitágoras no triângulo retângulo ADC, temos:
8

9. l 2 l 2 16 2
2l 2 256
l 2 128
Como a área de um quadrado é A 1 l 2 , temos que a A 1 128cm 2 .
A área A da superfície que dona Zilá já fez é A 14 A 1 , ou seja, A 1792cm 2
Como chegar na fórmula da área de um Triângulo?
Definição:
Dados três pontos A, B, C não colineares, à reunião dos segmentos AB , AC e BC
chama-se triângulo.
Área calculada pela Geometria Plana
Intuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o triângulo se
encaixam perfeitamente na composição do retângulo.
No triângulo temos a reta HE passando pelos pontos médios dos lados AB e AC, e o
segmento AG perpendicular a esta reta. Conforme indicam as cores, construímos um retângulo
com a mesma área do triângulo.
9

10. Porém, devemos mostrar que os triângulos AGH e BDH ; AGE e CFE são congruentes.
1.Os triângulos AGH e BDH congruentes pois:
*os lados AH e BH são congruentes já que H é ponto médio de AB
*os ângulos AGH e BDH são retos
*os ângulos AHG e BHD são congruentes porque são opostos pelo vértice.
2.Com isso mostra-se também que os triângulos AGE e CFE são congruentes.
Assim podemos concluir que as peças que compõem o triângulo ABC se encaixam
perfeitamente no retângulo construído.
Agora que já está comprovado que podemos transformar um triângulo em um retângulo
conservando a área, para deduzir a fórmula da área do triângulo a partir da fórmula da área do
retângulo, só precisamos comparar os elementos relacionados.
Visto que:
A ret A tri
A ret b ret h ret
b ret b tri
h ret h tri
2
A ret b tri h tri
2
A triângulo b h
2
Então:
A triângulo b h
2
Área calculada pela Integral Definida
LEI DA FUNÇÃO:
No intervalo 0, a No intervalo a, b
10

11. y y y y
m x x00
m x x00
m h 0 m 0 h
a 0 b a
m ha m h
b a
y y0 m x x0 y y0 m x x0
y 0 h x 0
a y 0 h x b
b a
y hx
a y h x bh
b a b a
h x 0 x a
a
y
h x bh ax b
b a b a
CÁLCULO DA ÁREA:
2 a b
A 1 Þ h xdx h x
a
A2 Þ
bh x bh dx h x 2 bh x
0 a a 2 0 a b a b a b a 2 b a a
A1 F a F 0 A2 F b F a
2
A1 h a2 h 02 A2 h b bh b h a 2 bh a
a 2 a 2 b a 2 b a b a 2 b a
A 1 ha A2 hb 2 2b 2 h ha 2 2bha
2 2 b a 2b a
2 2
A2 b h ha 2bha
2b a 2b a
A total A 1 A 2
2 2
A total ha b h ha 2bha
2 2b a 2b a
ha b a b h a 2 h 2bha
2
A total
2b a
2 2 2
A total hab ha b h a h 2bha
2b a
2
A total hab b h
2b a
bh a b
A total
2b a
A total b h
2
Problema de Aplicação
Sabe-se que foram usadas 15 telhas por metro quadrado no revestimento da cobertura de
um galpão. Vamos determinar o número de telhas colocadas na parede frontal desse galpão
(detalhada na figura), que tem a forma de um triângulo isósceles, cujos lados iguais medem 12 m
e têm o ângulo compreendido entre eles medindo 120 o .
11

12. Resolução:
Para isso devemos determinar a área da cobertura frontal, representada pelo esquema
seguinte, no qual AB AC 12m e BAC 120 o . Calculemos a altura AH h, relativa à base
BC b.
cat.oposto
sin 60 o sin 60 o HC sin 60 o 12 HC HC 6 3 m
hip. AC.
AHC é retângulo
cat.adj.
cos 60 o cos 60 o AH cos 60 o 12 AH AH 6m
hip. AC
Logo, h AH 6m e b BC 2 HC 12 3 m.
A bh
2
12 3 6
Então: A
2
2A 72 3
A 36 3 m
Logo, foram usadas 15 telhas por metro quadrado, então nessa parte da cobertura
foram usadas 15 36 3 935 telhas.
Como chegar na fórmula da área de um Trapézio?
Definição:
Trapézio é o quadrilátero que apresenta somente dois lados paralelos chamados bases.
Área calculada pela Geometria Plana
12

13. Intuitivamente podemos observar que as peças que compõem o trapézio se encaixam
perfeitamente na composição do retângulo.
No trapézio temos a reta EF passando pelos pontos médios dos lados AD e BC, e os
segmentos DG e CH perpendiculares a esta reta. Conforme indicam as cores construímos um
retângulo com a mesma área do trapézio.
Porém, devemos mostrar que os triângulos DEG e CFH são congruentes aos triângulos
AEG e BFH , respectivamente; e que o quadrilátero CDGH é congruente a C D BH’.
1.Os triângulos DEG e AEG são congruentes pois:
*os lados DE e AE são congruentes já queE é ponto médio de AD
*os ângulos EGD e EG A são retos
*os ângulos DEG e AEG são congruentes já que opostos pelo vértice
2.Com isso mostra-se que também são congruentes os triângulos CFH e BFH .
3.Os quadriláteros CDGH e C D BH’ são congruentes pois:
*visto que ambos são retângulos , têm os lados opostos congruentes
*o lado BH foi construído congruente a CD, de forma que C D GH CD BH
*os lados DG e D B são congruentes já que são paralelas entre si.
Assim podemos concluir que as peças que compõem o triângulo ABC se encaixam
perfeitamente no retângulo construído.
Agora que já está comprovado que podemos transformar um trapézio em um retângulo
conservando a área, para deduzir a fórmula da área do trapézio a partir da fórmula da área do
retângulo, só precisamos comparar os elementos relacionados.
A ret A tra
A ret b ret h ret
b ret B tra b tra
h ret h tra
2
A ret B tra b tra h tra
2
Bb h
A tra
2
Então,
Bb h
A tra
2
Área calculada pela Integral Definida
13

14. LEI DA FUNÇÃO:
No intervalo 0, a No intervalo a, a b No intervalo a b, B
y y y y
m x x0 0
yh m x x0 0
m h 0 m 0 h
a 0 B ab
m h a m h
B ab
y y0 m x x0 y y0 m x
x0
y 0 h x 0
a y h h x ab
B ab
y h
x yh h x h ab
a
B ab B ab
y hB hx
B ab
hx 0 x a
a
Y h ax ab
hB hx ab x B
B ab
CÁLCULO DA ÁREA:
2 a
A 1 Þ hx dx hx
a ab
a A2 Þ hdx hx| aab
0 2a 0 a
A1 F a F 0 A2 F a b Fa
2
A 1 ha h0 2 A2 h a b ha
2a 2a
A1 ha A 2 ha hb ha
2
A 2 hb
14

15. A3 Þ
B hB hx dx Þ B hB hx dx
ab B ab ab B ab B ab
B
A3 hBx hx 2
B ab 2 B ab ab
A3 F B
F ab
hBB hB 2 hb a b h ab 2
A3
B ab 2 B ab B ab 2 B ab
2hB 2 hB 2 2hB a b h a b 2
A3
2 B ab 2 B ab
hB 2hB a b h a b 2
2
A3
2 B ab
h B 2B a b a b 2
2
A3
2 B ab
h B ab 2
A3
2 B ab
h B ab
A3
2
A total A 1 A 2 A 3
h B ab
A total ha hb
2 2
ha 2hb h B a b
A total
2
h a 2b B a b
A total
2
h a 2b B a b
A total
2
h Bb
A total
2
Problema de Aplicação:
Para a realização de um espetáculo, foi montado um tablado cuja superfície tem a forma
de um trapézio isósceles, com as seguintes dimensões: a base menor tem 4 m de comprimento, a
maior tem 22 m e os lados não paralelos medem 15 m.
Qual a área da superfície desse tablado?
Resolução:
Observe na figura abaixo a representação desse tablado, com as construções auxiliares
que permitem a resolução do problema.
O triângulo AHB é retângulo. Logo, aplicando-se o teorema de Pitágoras, temos :
15

16. h 2 15 2 92
h 2 225 81
h 12m
Portanto a área do tablado é:
Bb 12
A 2
224 12
A 2
2
A 156m
Como chegar na fórmula da área de um Losango?
Definição:
Losango é o paralelogramo em que os quatro lados são congruentes.
Área calculada pela Geometria Plana
Intuitivamente podemos nos convencer que as peças que compõem o losango se
encaixam perfeitamente na composição do retângulo.
No losango, as diagonais o dividem em quatro triângulos congruentes que arranjados
novamente formam um retângulo, com a mesma área do losango.
Porém, devemos mostrar que as regiões triangulares que completam o retângulo obtido a
partir do losango são de fato congruentes aos triângulos menores que fazem parte do losango
dado.
16

17. 1.Os triângulosADO e BCO são congruentes pois:
*os ângulos OAD e O BC são congruentes já que são ângulos entre retas paralelas AD||BC e
AO||BO .
*os lados AD e BC são congruentes já que são lados do losango são congruentes.
*os ângulos ADO e BCO são congruentes já que são ângulos entre retas paralelas AD||BC e
DO||CO .
2.Com raciocínio análogo mostra-se que também são congruentes os triângulos CDO e
BAO .
Assim podemos concluir que as peças que compõem o losango ABCD se encaixam
perfeitamente no retângulo construído.
Agora que já está comprovado que podemos transformar um losango em um retângulo
conservando a área, para deduzir a fórmula da área do losango a partir da fórmula da área do
retângulo, só precisamos comparar os elementos relacionados:
Visto que:
A ret A los
A ret b ret h ret
b ret D los
h ret d los
2
A ret D los d los
2
Então:
A D d
2
Justificamos assim, a origem da fórmula da área de um losango partindo da área de um
retângulo.
Área calculada pela Integral Definida
LEI DA FUNÇÃO:
17

18. No intervalo D ,0 No intervalo 0, D
2 2
y y y y0
m x x0 0
m x x0
d
2
0 0 d
m D
m D 2
0 2 2
0
d d
2 2
m D
m D
2 2
m d m d
D D
y y0 m x x0 y y0 m x x0
y 0 d x D y 0 d x D
D 2 D 2
y d x d y d x d
D 2 D 2
d x d D x 0
y D 2 2
d x d 0 x D
D 2 2
CÁLCULO DA ÁREA:
0 D D
A1 Þ
0 d x d dx dx 2 dx A2 Þ 2 d x d dx dx 2 dx 2
D
2 D 2 2D 2 D
2
0 D 2 2D 2 0
A1 F 0 F D A2 F D F0
2 2
D 2 D D 2 D
d0 2 d0 d d d d d0 2 d0
A1 2D
2
2
2D
2
2
A2 2D
2
2
2 2D
2
2 2
A1 d D 1 d D 1 A2 d D 1 d D 1
4 2D 2 2 4 2D 2 2
A1 dD dD A2 dD dD
8 4 8 4
A Total 2 A 1 A 2
A Total 2 dD dD dD dD
8 4 8 4
A Total 2 dD 2dD dD 2dD
8
A Total 2 2dD
8
A Total Dd
2
Problema de Aplicação:
Um professor pediu a seus alunos que desenhassem a bandeira do Brasil e para isso deu
as seguintes instruções:
o retângulo deve ter 10cm de largura por 14cm de comprimento.
o losango deve ter o lado de 7cm de comprimento e um dos ângulos internos deverá medir
18

19. 60 o .
o círculo deve ter raio medindo 3cm.
Qual é arazão (quociente) entre a área A 1 do losango e a área A 2 do retângulo que deverão
compor essa bandeira?
A área A 2 do retângulo é :
A bh
A 14 10
A 140cm 2
Calculemos a área A 1 , do losango.
No triângulo retângulo AMB, temos:
D
cat.adj.
o
cos 30 cos 30 2
o
cos 30 o 7 D D 7 3 cm
hipot. 7 2
d
cat.opost.
o
sin 30 sin 30 2
o
sin 30 o 7 d d 7cm
hipot. 7. 2
Logo:
A1 D d
2
7 3 7
A1
2
49 3
A1 2
cm 2
Assim:
19

20. 49 3
A1 2 7 3
A2 140 40
Como chegar na fórmula da área de Círculo?
Definição:
Círculo é o conjunto dos pontos internos de uma circunferência. Por vezes, também se
chama círculo ao conjunto de pontos cuja distância ao centro é menor ou igual a um dado valor
(a que chamamos raio).
Área calculada pela Geometria Plana
Vamos dividir a circunferência em 24 partes iguais.
Assim, como o comprimento, ou perímetro, da circunferência é C 2r, então o
comprimento de uma dessas partes é:
C 2r
C 2r
24
C r
12
A área de uma dessas partes é, aproximadamente, a área de um triângulo. Logo:
20

21. A Tri b h , onde b C e h raio
2
A Cír Cr
2
r r
A 24 12
2
Então:
A cír r 2
Assim, a origem da fórmula da área de um círculo é obtido partindo do comprimento de uma
circunferência e da área de um triângulo.
Outra forma de calcular a área de um círculo pela Geometria Plana
Vamos enrolar uma corda sobre si própria, de forma a fazermos um círculo
1 ,marcamos o raio do círculo 2 e cortamos com uma tesoura esse raio 3 .
1 2 3
Em seguida estendemos os fios cortados 4 e 5 .
4 5
Podemos observar que:
* A base do triângulo é o comprimento da circunferência.
* A altura do triânguloéo raio da circunferência.
Assim, conclui-se que:
A Tri A cír
21

22. A Tri b s h A cír P r
2
Comprimento da circunferência C 2r
Raio r
Substituindo:
A cír P r
2
A cír 2r r
2
2
A cír r
Então:
A cír r 2
Área calculada pela Integral Definida
LEI DA FUNÇÃO:
2 2
y yc x xc r2
2 2
y 0 x 0 r2
y2 x2 r2
y2 r2 x2
y r2 x2
y r2 x2 (como metade da circunferência está acima do eixo dos x)
y y r2 x2 r x r
CÁLCULO DA ÁREA:
Segundo a propriedade número 74 do livro do Anton, temos que :
22

23. 2
Þ a 2 u 2 du u a 2 u 2 a sin 1 u C
a
2 2
Onde: u x e a r, assim:
r r 1
2Þ r2 x 2 dx 2 Þ r2 x2 2 dx
r r
2 r
2 x r 2 y 2 r sin 1 xr
2 2 r
2Fr F r
2
2 r r 2 r 2 r sin 1 r r r2 r 2 r 2 sin 1 r
2 2 r 2 2 r
2 2
2 r sin 1 1 r sin 1
1
2 2
2r 2 2r 2
2 2 2 2
2 2
2r 2r
4 4
2r 2 2r 2
4
2
4r
4
r 2
O arco onde o seno é igual a 1 é sin 1 e sin 1.
2 2
sin 1 arcotangente.
Problema de Aplicação:
Um tapete circular ocupa uma sala quadrada, conforme mostra a figura ao lado. Se o
2
perímetro da sala é 32m e a razão entre as medidas da sala e do diâmetro do tapete é ,
1
determinemos a área da superfície do tapete.
Sejam l a medida do lado da sala e r a medida do raio do tapete.
O perímetro da sala é 32m, isto é :
23

24. 4l 32
l 8m
2
A razão entre l e 2r ( medida do diâmetro do tapete) é , isto é,
1
l 2 8 2
r 2 2 m.
2r 1 2r 1
Logo
A r 2
2
: A2 2
A 42
A 8m 2
24

25. CONCLUSÃO
Agora o cálculo de áreas com o uso fórmulas de geometria plana ou através de Integrais
Defininidas, fazendo-se uso do Teorema Fundamental do Cálculo, ficou mais claro para todos.
Compreendemos então o real significado de áreas, estando prontos para reconstruí-lo em várias
outras figuras geométricas, e assim, tendo uma boa base de conhecimento para aplicar esse
assunto aos nosso alunos.
25

26. BIBLIOGRAFIA
Disponível em:
1 http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/tri.htm
Acesso em: abril.2008
Disponível em:
2 http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/los.htm
Acesso em: abril.2008
Disponível em:
3 http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/tra.htm
Acesso em: abril.2008
Disponível em:
4 http : //www2.mat.ufrgs.br/edumatec/atividades_diversas/ativ25/CabriJava/ativ25.htm
Acesso em: abril.2008
Disponível em:
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