2. Понятие уравнения поверхности
Уравнением поверхности P в трехмерном пространстве
называется уравнение вида F(x, y, z)=0, которому
удовлетворяют координаты x, y, z любой точки этой
поверхности и не удовлетворяют координаты всех точек,
которые не лежат на этой поверхности.
Поверхность P определяет геометрическое место точек
(ГМТ), координаты которых удовлетворяют уравнению
F(x, y, z)=0
3. Общее уравнение плоскости
z
N
α
M0
M
O
x
y
Положение плоскости однозначно определяется
некоторой точкой М0 (x0, y0, z0) и вектором N
(A, B, C), перпендикулярным к этой плоскости. Этот
вектор называется нормалью к плоскости.
Точка M (x, y, z) принадлежит плоскости α тогда и
только тогда, когда
M0M ┴ N
4. Общее уравнение плоскости
z
M0 (x0, y0, z0)
M (x, y, z)
N (A, B, C)
N
α
M0
M
O
x
y
a·b = ax bx +ay by +az bz
M0M ┴ N ⇒ M0M ∙ N = 0
M0M = (x - x0, y - y0, z - z0)
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
5. Общее уравнение плоскости
Ax-Ax0+By-By0+Cz-Cz0 = 0
Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0 = 0
D
Ax + By + Cz + D = 0
- общее уравнение плоскости
Замечание 1:
Всякое линейное уравнение задает плоскость, и наоборот, всякая плоскость задается
линейным уравнением.
Замечание 2:
Коэффициенты при неизвестных в общем уравнении плоскости – это координаты
нормали к этой плоскости.
6. Исследование общего уравнения плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
A=0 – плоскость By+Cz+D = 0 параллельна оси Ox
B=0 – плоскость Ax+Cz+D = 0 параллельна оси Оy
C=0 – плоскость Ax+By+D = 0 параллельна оси Оz
D=0 – плоскость Ax+By+Cz = 0 проходит через
начало координат
A=B=0 – плоскость Cz+D = 0 параллельна плоскости xOy
A=C=0 – плоскость By+D = 0 параллельна плоскости xOz
B=C=0 – плоскость Ax+D = 0 параллельна плоскости yOz
7. Угол между плоскостями
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
При любом положении двух плоскостей угол между ними равен углу φ
между их нормальными векторами N1 (A1, B1, C1) и N2 (A2, B2, C2).
N2
ϕ
P2
N1
ϕ
P1
8. Условие перпендикулярности плоскостей
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Если плоскости перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормали.
Из условия перпендикулярности векторов получаем условие перпендикулярности
плоскостей
A1A2+B1B2+C1C2=0
P2
P1
N2
N1
9. Условие параллельности плоскостей
A1x + B1y + C1z + D1 = 0
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Если плоскости параллельные, то их нормали параллельны. Из условия коллинеарности
векторов получаем условие параллельности плоскостей
N2
P2
P1
N1
10. Расстояние от точки до плоскости
Ax + By + Cz + D = 0
Расстояние от точки P (x1, y1, z1) до плоскости α вычисляется по формуле
P
d
α
N1
