APUNTES DE CLASE: TEOR´ Y ANALISIS DE SENALES                      IA    ´           ˜                              ´     ...
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Permitida su circulaci´n digital e impresa solo                       ocon fines acad´micos, no se permite su comer-       ...
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Contenido1. Muestreo de Se˜ ales y sistemas                     n                                                         ...
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Cap´   ıtulo 1Muestreo de Se˜ales y sistemas              n1.1.     FUNDAMENTOS    En un sistema de control digital son fu...
Figura 1.2: Se˜ ales de un procesamiento digital de se˜ al                                    n                           ...
Figura 1.4: Se˜ ales de el Muestreo de una se˜ al                         n                              n        Figura 1...
∞                                   xm (t) = x(t)P (t) =           x(tk )δ1 (t − tt k)                          (1.5)     ...
∆Ti      Ti = ni Tm + ∆Ti , con   ni ∈ Z,    0 ≤ ∆Ti < Tm ,     0≤       < 1,   para i = 1, 2, 3, . . .                   ...
Tomando la variable mi como:                                                  ni         si ∆Ti = 0                       ...
Figura 1.7: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejemplo                                                             ...
Figura 1.9: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2                                                         ...
Figura 1.10: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2                                                        ...
Figura 1.11: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2 Variaci´n de Tm                                        ...
un numero racional. al igual que el producto de se˜ ales peri´dicas, el periodo de repetici´n de xm (t) puede             ...
Figura 1.12: Ejercicio de Muestreo de se˜ ales peri´dicas, Variaci´n de Tm                                                ...
iii) Tm = 3Seg (Figura 1.13(d))                                          Z(KTm ) = 0       ∀K ∈ Z   iv) Tm = 3/2Seg (Figur...
Figura 1.14: Esquema del procesamiento digital de una se˜ al                                                              ...
∞                                       1                          Xm (jω) =             X(jν)P [j(ω − ν)]dν              ...
Su espectro en frecuencia esta dado por                                                             2Aα                   ...
Para reconstruir una se˜ al a partir de sus muestras debemos cumplir con el teorema del muestreo. El                      ...
∞         1X(jω) =              X1 (jν)X1 (j(ω − ν))dν        2π      −∞                 ∞         1           1          ...
Figura 1.19: Tratamiento en un sistema de reconstrucci´n con retenedor de orden cero (ZOH)                                ...
∞                   Xr (S) =Lt              x(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )]                                    k=−∞...
jTm ω          jTm ω                                                          1 − e−         2       e−     2             ...
1                          0.8          Magnitud GZOH                          0.6                          0.4           ...
20                                        15                                        10              Argumento de GZOH     ...
1                                                                                                            Xr(jω)       ...
∞                                     t                                       y(t) =               ur (τ )g(t − τ )dτ =   ...
J+1Tm                                      Tm                                       g(KTm − τ )dτ =                       ...
K                                            Γ −αK−JTm αTm                         y(KTm ) =            e      (e   − 1)1(...
Figura 1.25: Circuito para el Ejercicio 6 Capitulo de Muestreo y Reconstrucci´n                                           ...
Cap´   ıtulo 2Transformada Z [Z = eTmS ]   La transformada Z cumple para los sistemas discretos la misma funci´n que la tr...
X(S) = Lt [x(t)]   Ahora realizamos un muestreo de esta se˜ al continua para obtener:                                     ...
Figura 2.1: Region de Convergencia Transformada Z    La transformada Z bilateral exige que la sumatoria converga en una re...
∞                                 X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] =                  x(KTm )Z −K                                  ...
Figura 2.2: Region de convergencia ejemplo x(KTm ) = aKTm 1(KTm ) (El amarillo)Ejemplo 2.2. Calculo Transformada Z. De una...
Muestreo y reconstruccion UPTC 2011
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Muestreo y reconstruccion UPTC 2011

  1. 1. APUNTES DE CLASE: TEOR´ Y ANALISIS DE SENALES IA ´ ˜ ´ VERSION 1.02 Ms. Ing. OSCAR IVAN HIGUERA MARTINEZ Profesor Ingenier´ Electr´nica Uptc ıa o PhD. Ms. Ing. JUAN MAURICIO SALAMANCA Profesor Ingenier´ Electr´nica Uptc ıa o Grupo de Investigaci´n en o Procesamiento de Se˜ales DSP-UPTC n ´ ´ UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA FACULTAD SEDE SECCIONAL SOGAMOSO SOGAMOSO - BOYACA - COLOMBIA Noviembre de 2010 Derechos de Autor Reservados
  2. 2. ii
  3. 3. Permitida su circulaci´n digital e impresa solo ocon fines acad´micos, no se permite su comer- ecializacion o cobro alguno por copia.
  4. 4. iv
  5. 5. Contenido1. Muestreo de Se˜ ales y sistemas n 1 1.1. FUNDAMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Muestreo de Se˜ ales continuas a Trozos . . . . . . . . . . . . . . n . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Muestreo de se˜ ales peri´dicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n o . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4. Reconstrucci´n de Se˜ ales a Partir de sus muestras . . . . . . . . o n . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1. Reconstrucci´n mediante Filtros PasaBajos . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.2. Reconstrucci´n mediante Retenedor de Orden Cero . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5. Respuesta de un sistema Lineal a una entrada generada mediante retenedor de orden cero . . 24 1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272. Transformada Z [Z = eTm S ] 29 2.1. FUNDAMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2. Transformada Zeta de la se˜ ales B´sicas de tiempo discreto n a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3. Propiedades de la Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.1. Linealidad y superposici´n . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.2. Multiplicaci´n por aK . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3. Desplazamiento de una secuencia bilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.4. Desplazamiento de una secuencia Unilateral positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.5. Diferenciaci´n de X(Z, Tm ) . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.6. Conjunci´n de una secuencia compleja . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.7. Convolucion de secuencias y Transformada Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4. Transformada Z Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.4.1. Expansi´n en series . . . . . . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.2. Integral compleja de linea, Teorema de la Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4.3. Pares de transformadas (Tablas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473. Ap´ndice e 49 v
  6. 6. .
  7. 7. Cap´ ıtulo 1Muestreo de Se˜ales y sistemas n1.1. FUNDAMENTOS En un sistema de control digital son fundamentales los procesos de muestreo, retenci´n, conversi´n o oanal´gica - digital y digital - anal´gica, que permiten la comunicaci´n de los diversos componentes de un o o osistema de control digital. Una se˜ al de tiempo continuo puede ser procesada procesando sus muestras por medio de un sistema nde tiempo discreto. El esquema del procesamiento digital de una se˜ al es el presente en la figura 1.1 y las nse˜ ales las presentes en la figura 1.2. n Figura 1.1: Procesamiento digital de una se˜ al n Para ilustrar el muestreo de una se˜ al de tiempo continuo, consideramos el producto de dos se˜ ales tal n ncomo aparece en la figura 1.3, las se˜ ales se pueden apreciar en la figura 1.4. n Definimos P∆ (t) de la siguiente forma: ∞ P∆ (t) = δ∆ (t − KTm ) (1.1) k=−∞ con ∆ ∆ 1 si KTm − 2 ≤ t ≤ KTm + 2 δ∆ (t − KTm ) = 0 otro caso Por consiguiente: ∞ xm (t) = x(t)P∆ (t) = x(t)δ∆ (t − KTm ) (1.2) k=−∞ 1
  8. 8. Figura 1.2: Se˜ ales de un procesamiento digital de se˜ al n n Figura 1.3: Muestreo de una se˜ al nTomando el limite cuando ∆ → 0, tendremos: 1 si t = KTm δ1 (t − KTm ) = 0 otro casoEn este caso tendremos: ∞ xm (t) = x(t)δ1 (t − KTm ) k=−∞ ∞ xm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm ) (1.3) k=−∞En la siguiente figura 1.5 se ilustra como queda xm (t).A partir de xm (t) obtenemos el tren de muestras: ∞ xm (KTm ) = . . . , x(−Tm ), x(0), x(Tm ), x(2Tm ), . . . K=−∞De una forma mas general podemos definir una funci´n muestreadora P (t) como: o 2
  9. 9. Figura 1.4: Se˜ ales de el Muestreo de una se˜ al n n Figura 1.5: Se˜ ales Final de muestreo con δ1 (t − KTm ) n ∞ P (t) = δ1 (t − tk ) (1.4) k=−∞donde 1 si t = tk δ1 (t − tk ) = 0 otro caso 3
  10. 10. ∞ xm (t) = x(t)P (t) = x(tk )δ1 (t − tt k) (1.5) k=−∞ Cuando tk = KTm ; Tm fijo tenemos lo que se denomina muestreo peri´dico. Cuando tk sigue alg´ n o upatr´n, por ejemplo tk = KTmk donde Tmk puede cambiar en algunos instantes manteni´ndose fijo durante o eunos momentos determinados, se tiene lo que se denomina muestreo multiperiodo. Finalmente si tk es unavariable aleatoria, tenemos lo que se denomina un muestreo aleatorio. Al muestrear una se˜ al es importante tener en cuenta los retardos de transporte y la forma como se ntransforma la se˜ al de tiempo continuo en una se˜ al de tiempo discreto. n n1.2. Muestreo de Se˜ ales continuas a Trozos n Ahora veremos como se realiza el muestreo de se˜ ales continuas a trizos a traves de un par de ejemplos. nEjemplo 1.1. Muestreo de Se˜ales continuas a Trozos Realizar el muestreo de la se˜al presente en n nla figura 1.6 para un periodo de muestreo Tm Figura 1.6: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos n La definici´n de la se˜ al presente en la figura 1.6 es: o n f (t) =A1 u(−t + T1 ) + (m1 t + b1 )[u(t − T1 ) − u(t − T2 )] + A2 [u(t − T2 ) − u(t − T3 )] + (m3 t + b3 )[u(t − T3 ) − u(t − T4 )] + A4 u(t − T4 ) (1.6) donde: A2 − A1 T2 A1 − T1 A2 A4 − A3 T4 A2 − T3 A4 m1 = b1 = m3 = b1 = T2 − T1 T2 − T1 T4 − T3 T4 − T3 La se˜ al muestreada es: n f (KTm ) =A1 u(−KTm + T1 ) + (m1 KTm + b1 )[u(KTm − T1 ) − u(KTm − T2 )] + A2 [u(KTm − T2 ) − u(KTm − T3 )] + (m3 KTm + b3 )[u(KTm − T3 ) − u(KTm − T4 )] + A4 u(KTm − T4 ) (1.7) Se debe transformar los escalones u(−KTm +T1 ), u(KTm −T1 ), u(KTm −T2 ), u(KTm −T1 ) y u(KTm −T2 )a escalones de tiempo discreto de la forma u((K − mi )Tm ), donde mi son enteros. Para ello suponemos: 4
  11. 11. ∆Ti Ti = ni Tm + ∆Ti , con ni ∈ Z, 0 ≤ ∆Ti < Tm , 0≤ < 1, para i = 1, 2, 3, . . . TmDonde Ti Ti ni = ⇒ Es el Entero mas cercano a por abajo, para i = 1, 2, 3, . . . Tm TmEjemplos:Tomemos Ti = 3, 5 y Tm = 1, 5, para estos valores tenemos: 3, 5 ni = = 2, ∆Ti = 0, 5 1, 5Ahora tomemos Ti = −3, 5 y Tm = 1, 5, para estos valores tenemos: −3, 5 ni = = −3, ∆Ti = 1 1, 5En Resumen se tiene: 1 si − KTm + T1 ≥ 0 u(−KTm + T1 ) = 0 otro caso 1 si − KTm ≥ −T1 = 0 otro caso T1 1 si K ≤ Tm = 0 otro caso Teniendo en cuenta que: T1 = n1 Tm + ∆T1 ∆T1 1 si K ≤ n1 + Tm = 0 otro caso 1 si K ≤ n1 = 0 otro caso u(−KTm + T1 ) = u(−K − n1 Tm ) 1 si KTm − T1 ≥ 0 u(KTm − T1 ) = 0 otro caso 1 si KTm ≥ T1 = 0 otro caso T1 1 si K ≥ Tm = 0 otro caso Teniendo en cuenta que: T1 = n1 Tm + ∆T1 ∆T1 1 si K ≥ n1 + Tm = 0 otro caso 5
  12. 12. Tomando la variable mi como: ni si ∆Ti = 0 mi = ni + 1 si ∆Ti > 0 Obteniendo: u(KTm − T1 ) = u(K − m1 Tm ) En conclusi´n, los escalones discretos tienen la siguiente equivalencia: o u(−KTm + Ti ) = u(−K − ni Tm ) (1.8) u(KTm − Ti ) = u(K − mi Tm ) (1.9) Donde Ti = ni Tm + ∆Ti ni si ∆Ti = 0 mi = ni + 1 si ∆Ti > 0 De igual modo y como conclusi´n de los escalones, tenemos: o u(−KTm + T1 ) = u(−K − n1 Tm ) u(KTm − T1 ) = u(K − m1 Tm ) u(KTm − T2 ) = u(K − m2 Tm ) u(KTm − T3 ) = u(K − m3 Tm ) u(KTm − T4 ) = u(K − m4 Tm ) En consecuencia se tiene: f (KTm ) =A1 u(−K − n1 Tm ) + (m1 KTm + b1 )[u(K − m1 Tm ) − u(K − m2 Tm )] + A2 [u(K − m2 Tm ) − u(K − m3 Tm )] + (m3 KTm + b3 )[u(K − m3 Tm ) − u(K − m4 Tm )] + A4 u(K − m4 Tm ) (1.10) Tomemos por ejemplo los siguientes valores: A1 = 0, A2 = 2, A4 = −1, T1 = 0, T2 = 2, T3 = 3, T4 = 5 yTm = 0, 7. Gr´ficamente es la se˜ al presente en la figura 1.7, y anal´ a n ıticamente de la expresi´n (1.6), tenemos la osiguiente expresi´n: o −3 13 f (t) =t[u(t) − u(t − 2)] + 2[u(t − 2) − u(t − 3)] + t+ [u(t − 3) − u(t − 5)] − 1u(t − 5) 2 2 Discretizando con Tm = 0, 7, tenemos: f (KTm ) =KTm [u(KTm ) − u(KTm − 2)] + 2[u(KTm − 2) − u(KTm − 3)] −3 13 + t+ [u(KTm − 3) − u(KTm − 5)] − u(KTm − 5) 2 2 De los escalones Tenemos: 6
  13. 13. Figura 1.7: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejemplo n Escal´n Discreto o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final o u(KTm ) 0 0 0 0 u(KTm ) u(KTm − 2) 2 2 0,6 3 u(K − 3Tm ) u(KTm − 3) 3 4 0,2 5 u(K − 5Tm ) u(KTm − 5) 5 7 0,1 8 u(K − 8Tm ) Obteniendo finalmente: f (KTm ) =KTm [u(KTm ) − u(K − 3Tm )] + 2[u(K − 3Tm ) − u(K − 5Tm )] −3 13 + t+ [u(K − 5Tm ) − u(K − 8Tm )] − u(K − 8Tm ) 2 2 En la figura 1.8 podemos observar la se˜ al muestreada. n Figura 1.8: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejemplo nEjemplo 1.2. Muestreo de Se˜ales continuas a Trozos Considere la se˜al de tiempo continuo de la n nfigura 1.9. A x(t) = (t − T1 )[u(t − T1 ) − u(t − T2 )] + Au(t − T2 ) T2 − T1 7
  14. 14. Figura 1.9: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2 n Se procede a muestrear la se˜ al con muestreo peri´dico (Tm fijo) n o ∞ xm (t) = x(t)P (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm ) k=−∞ ∞ Obteniendo el tren de muestras xm (KTm ) K=−∞ A x(KTm ) = (KTm − T1 )[u(KTm − T1 ) − u(KTm − T2 )] + Au(KTm − T2 ) T2 − T1 Transformando los escalones de forma similar al ejemplo anterior, utilizando la ecuaci´n (1.9), se obtiene: o A x(KTm ) = (KTm − T1 )[u(K − m1 Tm ) − u(K − m2 Tm )] + Au(K − m2 Tm ) T2 − T1 Supongase por ejemplo que: T1 = 3, 5seg; T2 = 6, 0seg; A = 1, y tomemos Tm = 1seg, por consiguiente(Ver figura 1.10); Escal´n Discreto o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final o u(KTm − 3, 5 3,5 3 0,5 4 u(K − 4Tm ) u(KTm − 6) 6 6 0 6 u(K − 6Tm ) 1 x(KTm ) = (KTm − 3, 5)[u(K − 4Tm ) − u(K − 6Tm )] + u(K − 6Tm ) 2, 5 x(0) = 0 x(Tm ) = 0 x(2Tm ) = 0 x(3Tm ) = 0 x(4Tm ) = 0,5/2,5 = 0,2 x(5Tm ) = 1,5/2,5 = 0,6 x(6Tm ) = 1 x(7Tm ) = 1 Ahora Realicemos una variaci´n en el tiempo de muestreo para poder comparar su efecto. o Si ahora tomamos Tm = 2, 5seg (Figura 1.11(b)): 8
  15. 15. Figura 1.10: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2 n Escal´n Discreto o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final o u(KTm − 3, 5 3,5 1 1 2 u(K − 4Tm ) u(KTm − 6) 6 2 1 3 u(K − 6Tm ) x(KTm ) =0,4(KTm − 3, 5)[u(K − 2Tm ) − u(K − 3Tm )] + u(K − 3Tm ) x(KTm ) =0,8δ(K − 2Tm ) + u(K − 3Tm )Si ahora tomamos Tm = 4seg (Figura 1.11(c)): Escal´n Discreto o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final o u(KTm − 3, 5 3,5 0 3,5 1 u(K − 1Tm ) u(KTm − 6) 6 1 2 2 u(K − 2Tm ) x(KTm ) =0,4(KTm − 3, 5)[u(K − 1Tm ) − u(K − 2Tm )] + u(K − 2Tm ) x(KTm ) =0,02δ(K − 1Tm ) + u(K − 2Tm )Si ahora tomamos Tm = 7seg (Figura 1.11(d)): Escal´n Discreto o Ti ni ∆Ti mi Escal´n Final o u(KTm − 3, 5 3,5 0 3,5 1 u(K − 1Tm ) u(KTm − 6) 6 0 6 1 u(K − 1Tm ) x(KTm ) =0,4(KTm − 3, 5)[u(K − 1Tm ) − u(K − 1Tm )] + u(K − 1Tm ) x(KTm ) =u(K − 1Tm ) 9
  16. 16. Figura 1.11: Ejercicio de Muestreo de se˜ al a Trozos, Ejercicio 2 Variaci´n de Tm n o1.3. Muestreo de se˜ ales peri´dicas n o Al muestrear una se˜ al peri´dica se pueden presentar varios fen´menos: n o o Las muestras de la se˜ al pueden ser o no peri´dicas n o Las muestras pueden seguir o no la forma de la onda de la se˜ al original n Las muestras de la se˜ al pueden ser o no peri´dicas. Consideremos una se˜ al peri´dica de periodo T0 . n o n o x(t) = x(t + T0 ) = x(t + m0 T0 ); ∀t ∈ R; m0 ∈ Z Al muestrear la se˜ al con periodo Tm , tendremos: n ∞ xm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm ) k=−∞ Si las muestras son peri´dicas se debe cumplir que: o x(KTm ) = x((K + no )Tm ); ∀K ∈ Z; n0 ∈ N (f ijo) n0 Tm seria el nuevo periodo de repetici´n de la se˜ al muestreada. Por otro lado como x(t) es peri´dica o n ocon periodo T0 , la se˜ al muestreada debe cumplir con: n x(KTm ) = x(KTm + m0 T0 ); (porlotanto) x((K + n0 )Tm ) = x(KTm + m0 T0 ) ⇒ no Tm = mo T0 Por lo tanto Tm m0 = (Un numero racional) T0 no Este resultado tambi´n puede lograrse aduciendo que como xm (t) es el producto de dos se˜ ales peri´dicas: e n ox(t) de periodo T0 y P (t) de periodo Tm , el producto de las dos se˜ ales xm (t) es peri´dica si y solo si Tm es n o T0 10
  17. 17. un numero racional. al igual que el producto de se˜ ales peri´dicas, el periodo de repetici´n de xm (t) puede n o ohallarse como el m´ ınimo com´ n m´ ltiplo de Tm y T0 si las se˜ ales son relativamente primas. u u n La forma de las muestras pueden seguir a la forma de la se˜ al si Tm << T0 ; si Tm es comparable o nmayor que T0 la forma de las muestras puede que no siga la forma de la se˜ al original. nEjemplo 1.3. Considere la se˜al, x(t) = Asin(ω0 t + φ0 ) (Figura 1.12(a)), muestreemos la se˜al con periodo n nde muestra Tm . La se˜al muestreada queda: n ∞ xm (t) = Asin(ω0 KTm + φ0 )δ1 (t − KTm ) k=−∞ El tren de muestras queda x(KTm ) = Asin(ω0 KTm + φ0 ) El periodo de la se˜ al x(t) es T0 = 2π/ω0 n ♠ Si Tm = π/ω0 , tendremos: Tm π/ω0 1 = = ∈Q To 2π/ω0 2 Luego las muestras son peri´dicas con periodo de muestreo Tkm = mcm(T0 , Tm ) = T0 . Como Tm no oes muy peque˜ o comparado con T0 , las muestras no siguen muy bien la forma de la se˜ al original (Figura n n1.12(b)). ♠ Si Tm = π/10ω0 , tendremos: Tm π/10ω0 1 = = ∈Q To 2π/ω0 20 Luego las muestras son peri´dicas y n0 = T0 /Tm = 20, en este caso las muestras siguen a la forma de oonda de la se˜ al original (Figura 1.12(c)). n ♠ Si Tm = 4π/ω0 , tendremos: Tm 4π/ω0 = =2∈Q To 2π/ω0 Luego las muestras son peri´dicas con periodo Tm , pero como T0 < Tm las muestras no siguen a la forma ode onda de la se˜ al original (Figura 1.12(d)). nEjemplo 1.4. Sean las se˜ales de tiempo continuo n 2πt 16πt x(t) = cos + 2 sin 3 3 y(t) = sin(πt) → Ty = 2Seg x(t) = x1 (t) + x2 (t) 2πt x1 (t) = cos → Tx1 = 3Seg 3 16πt 3 x1 (t) = 2 sin → Tx2 = Seg 3 8 11
  18. 18. Figura 1.12: Ejercicio de Muestreo de se˜ ales peri´dicas, Variaci´n de Tm n o o T x1 3Seg = =8 T x2 3/8Seg Luego la se˜ al x(t) es peri´dica con periodo Tx = mcm(3Seg, 3/8Seg) = 3Seg. n o Definimos 2πt 16πt z(t) = x(t)y(t) = sin(πt) cos + 2 sin 3 3 Como Tx 3Seg 3 = = ∈ Q; Z(t) es peri´dica o Ty 2Seg 2 El periodo de la se˜ al z(t) (Figura 1.13(a)) es Tz = mcm(3Seg, 2Seg) = 6Seg. Muestreemos la se˜ al con n nvarios periodos de muestreo. ∞ Zm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm ) k=−∞ 2πKTm 16πKTm Z(KTm ) = sin(πKTm ) cos + 2 sin 3 3 i) Tm = 1Seg (Figura 1.13(b)) Z(KTm ) = 0 ∀K ∈ Z ii) Tm = 2Seg (Figura 1.13(c)) Z(KTm ) = 0 ∀K ∈ Z 12
  19. 19. iii) Tm = 3Seg (Figura 1.13(d)) Z(KTm ) = 0 ∀K ∈ Z iv) Tm = 3/2Seg (Figura 1.13(e)) 3Kπ 3Kπ Z(KTm ) = sin [cos(Kπ) + 2 sin(8Kπ)] = sin [cos(Kπ)] 2 2 Z(0) = 0 Z(Tm ) = 1 Z(2Tm ) = 0 Z(3Tm ) = −1 Z(4Tm ) = 0 Z(5Tm ) = 1 Z(6Tm ) = 0 Como Tm = 3/2 = 1/4 Q, Zm (t)esperiodica. El periodo de Zm (t) es Tkm = mcm(Tz , Tm = 6, como Tz 6 ∈Tk m = n0 Tm = 6; n0 = 6/Tm = 4, luego el tren de muestras es repetitivo y se repiten cada 4 muestras. Enla figura 1.13 se ilustra la se˜ al para varios periodos de muestreo. n Figura 1.13: Ejercicio de Muestreo de se˜ ales peri´dicas, Ejemplo 2, Variaci´n de Tm n o o1.4. Reconstrucci´n de Se˜ ales a Partir de sus muestras o n Los procesadores digitales reciben las muestras de una se˜ al an´loga en un formato digital, realizan alguna n aoperaci´n sobre las muestras para luego generar un tren de muestras que son el resultado de la operaci´n o odel procesamiento digital sobre las muestras de la entrada. El tren de muestras de la salida se presenta en formato binario. esta se˜ al se debe decodificar para obtener nlas muestras, las cuales se llevan a un circuito reconstructor de se˜ al para obtener una se˜ al an´loga. Para n n areconstruir una se˜ al a partir de sus muestras se puede utilizar dos m´todos. n e 13
  20. 20. Figura 1.14: Esquema del procesamiento digital de una se˜ al n Utilizando Filtros Pasa bajos Utilizando Circuitos Retenedores1.4.1. Reconstrucci´n mediante Filtros PasaBajos o Esta t´cnica es muy utilizada en los sistemas de comunicaci´n. Dada una se˜ al de tiempo continuo x(t) e o ncon espectro finito en frecuencia. Su versi´n muestreada es: o xm (t) =x(t)P (t) ∞ P (t) = δ1 (t − KTm ) k=−∞ Como P (t) es peri´dica con periodo Tm , se puede escribir en serie de fourier como: o ∞ 2π P (t) = Kn ejnωm t ; ωm = n=−∞ Tm Tm 1 1 Kn = δ1 e−jnωm t dt = Tm 0 Tm ∞ 1 jnωm t P (t) = e T n=−∞ m Dado que xm (t) = x(t)P (t), Tomando la transformada de fourier tenemos: 1 Xm (jω) = F [x(t)P (t)] = X(jω) ∗ P (jω) 2π Dado que P (t) es una se˜ al peri´dica de periodo Tm n o ∞ 2π P (jω) = δ(ω − Kωm ) Tm K=−∞ por lo tanto tenemos: 14
  21. 21. ∞ 1 Xm (jω) = X(jν)P [j(ω − ν)]dν 2π −∞ ∞ ∞ 1 2π Xm (jω) = X(jν) δ(ω − ν − Kωm )dν 2π −∞ Tm K=−∞ ∞ ∞ 1 Xm (jω) = X(jν)δ(ω − ν − Kωm )dν Tm −∞ K=−∞ ∞ 1 Xm (jω) = X(ω − Kωm ) Tm K=−∞ Esta ecuaci´n indica que el espectro de una se˜ al muestreada es la suma de los espectros desplazados de o nla se˜ al original. n (a) (b) (c) (d) Figura 1.15: Espectro en frecuencia de una se˜ al muestreada n De los espectros presentes en la figura 1.15 se puede resaltar lo siguiente: Cuando ωm −ωc < ωc , es decir ωm < 2ωc , tenemos que los espectros de Xm (jω) se traslapan y se presentadistorsi´n por cruce (alias) (Figura 1.15(d)). en este caso es imposible reconstruir la se˜ al a partir de sus o nmuestras. Cuando ωm − ωc > ωc , es decir ωm > 2ωc , vemos que los espectros se superponen de forma separada yen este caso, se puede reconstruir la se˜ al a partir de sus muestras (Figura 1.15(c)). El limite esta cuando nωm = 2ωc . En conclusi´n para poder reconstruir una se˜ al a partir de sus muestras, la se˜ al debe ser o n nmuestreada como m´ ınimo a 2 veces la componente mas alta de frecuencia de la se˜ al an´logan aoriginal fm ≥ 2fcmax , esta condici´n se conoce como el teorema de muestreo. Desde el punto de ovista del tiempo, podemos decir que el periodo de muestreo Tm debe ser mucho mas peque˜ o que la constante nde tiempo mas peque˜ a que conforma la se˜ al. n nEjemplo 1.5. Supongase la se˜al n x(t) = Ae−α|t| ; α>0 15
  22. 22. Su espectro en frecuencia esta dado por 2Aα X(jω) = α2 + ω2 La se˜ al se muestrea con periodo Tm , eso es con frecuencia ωm . en la figura 1.16 se ilustra el proceso. n Figura 1.16: Se˜ al y su Espectro, y Espectro de la se˜ al muestreada n n Como en este caso la se˜ al tiene componentes de fourier en todo el espectro de frecuencia podemos utilizar nla frecuencia de corte como componente de frecuencia m´xima de la se˜ al, esto es ωc . Luego, dela condici´n a n odel teorema del muestreo tenemos ωm ≥ 2ωc o fm ≥ 2fc . La potencia de la se˜ al x(t) esta dada por: n px (t) = x2 (t) = A2 e−2α|t| su espectro en frecuencia es: 4A2 α A2 Px (jω) = ; Pxmax = 4α2 + ω 2 α Tomando Pxmax A2 P x (jω) = = 2 2αPara determinar la frecuencia de corte tenemos: 4A2 α A2 2 + ω2 = ⇒ 4α2 + ωc = 8α2 2 4α c 2α ωc = 4α2 ; 2 ωc = ±2α π ωm ≥ 4α; Tm ≤ 2α 16
  23. 23. Para reconstruir una se˜ al a partir de sus muestras debemos cumplir con el teorema del muestreo. El nfiltro pasa-bajos para su reconstrucci´n esta dado por H(jω). o La se˜ al reconstruida esta dada por: n ∞ 1 Xr (jω) = H(jω)Xm (jω) = H(jω)X[j(ω − kωm )] (1.11) Tm k=−∞ Si H(jω) es un filtro pasa bajas ideal: H(jω) = rect(2ωF ) = 1(ω + ωF ) − 1(ω − ωF ) (1.12) ωc < ωF < ωm − ωc Figura 1.17 (1.13) Figura 1.17: Espectro de se˜ al reconstruida y el filtro ideal nEjemplo 1.6. Considere una se˜al x(t) = sinc2 (5t), calculemos su espectro en frecuencia. n Sea: 5πt x1 (t) =sinc(5t) = sinc π 1 5π 5πt 1 ω0 ω0 t x1 (t) = sinc = sinc 5 π π 5 π π 1 X1 (jω) = rect(2ω0 ); ω0 = 5π 5 x(t) =x1 (t)x1 (t) ⇒ X(jω) = F [x1 (t)x1 (t)] 1 X(jω) = X1 (jω) ∗ X1 (jω) 2π 17
  24. 24. ∞ 1X(jω) = X1 (jν)X1 (j(ω − ν))dν 2π −∞ ∞ 1 1 1X(jω) = [1(ν + ω0 ) − 1(ν − ω0 )] [1(ω − ν + ω0 ) − 1(ω − ν − ω0 )]dν 2π −∞ 5 5 ∞ 1X(jω) = 1(ν + ω0 )1(ω − ν + ω0 )dν − 1(ν + ω0 ) − 1(ω − ν − ω0 )dν 50π −∞ ∞ ∞ − −1(ν − ω0 )1(ω − ν + ω0 )dν + 1(ν − ω0 )1(ω − ν − ω0 )dν −∞ −∞ ω+ω0 ω−ω0 ω+ω0 ω−ω0 1X(jω) = dν − dν − dν + dν 50π −ω0 ω+ω0 ≥−ω0 −ω0 ω−ω0 ≥−ω0 ω0 ω+ω0 ≥+ω0 ω0 ω−ω0 ≥ω0 1X(jω) = (ω + 2ω0 )1(ω + 2ω0 ) − ω1(ω) − ω1(ω) + (ω − 2ω0 )1(ω − 2ω0 )big} 50π 1X(jω) = (ω + 2ω0 )1(ω + 2ω0 ) − 2ω1(ω) + (ω − 2ω0 )1(ω − 2ω0 ) 50π La se˜ al original y su espectro se pueden apreciar en la figura 1.18. All´ observamos al igual que en la n ıecuaci´n anterior que el ancho de banda BW = 2ω0 = 10π[rad/seg]. Si muestreamos la se˜ al con Tm = o n0,1seg, esto es ωm = 2π/Tm = 20π, obtenemos la se˜ al muestreada xm (t); donde; n ∞ xm (t) = x(kTm )δ1 (t − KTm ) k=−∞ 2 x(KTm ) =sinc (5KTm ) Figura 1.18: Espectro de se˜ al x(t) = sinc2 (5t) n1.4.2. Reconstrucci´n mediante Retenedor de Orden Cero o Esta t´cnica es muy utilizada en los sistemas de control y es la utilizada por los sistemas digitales conven- ecionales. Dada una se˜ al de tiempo continuo x(t) con espectro finito en frecuencia. Su versi´n muestreada n oes: 18
  25. 25. Figura 1.19: Tratamiento en un sistema de reconstrucci´n con retenedor de orden cero (ZOH) o xm (t) =x(t)P (t) ∞ P (t) = δ1 (t − KTm ) k=−∞ ∞ xm (t) = x(KTm )δ1 (t − KTm ) k=−∞ Entonces el retenedor como su nombre lo indica retiene la se˜ al por un periodo de muestreo, es decir se nobtiene la se˜ al xr (t): n ∞ xr (t) = x(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )] (1.14) k=−∞ Observemos algunos aspectos interesantes de esta reconstruccion, tomemos: ∞ 1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm ) xr (t) = Tm x(KTm ) Tm k=−∞ ∞ 1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm ) l´ xr (t) = l´ ım ım Tm x(KTm ) Tm →0 Tm →0 Tm k=−∞ ∞ = l´ ım Tm x(KTm )δ(t − KTm ) Tm →0 k=−∞ ∞ = x(KTm )δ(t − KTm )dKTm k=−∞ ∞ = x(tK )δ(t − tK )dtK k=−∞ Conclusi´n: o l´ xr (t) =x(t) ım (1.15) Tm →0 Veamos el comportamiento con respecto a S: ∞ xr (t) = x(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )] k=−∞ Xr (S) = Lt xr (t) 19
  26. 26. ∞ Xr (S) =Lt x(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )] k=−∞ ∞ Xr (S) = x(KTm )Lt 1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm ) k=−∞ ∞ e−KTm S e−K+1Tm S = x(KTm ) − S S k=−∞ ∞ 1 − e−Tm S = x(KTm )e−KTm S S k=−∞ ∞ 1 − e−Tm S Xr (S) = x(KTm )e−KTm S S k=−∞ Funcion de transferencia del ZOH Transformada de Laplace DiscretaLa funcion de transferencia del retenedor de orden cero es: 1 − e−Tm S GZOH (S) = (1.16) SAhora revizando la transformada de Laplace Discreta: ∞ Lt xm (t) = x(KTm )e−KTm S k=−∞Tomemos Z = eT mS ∞ ∞ x(KTm )e−KTm S = x(KTm )Z −K k=−∞ k=−∞ =Z X(KT m) = X(Z, Tm )Es decir: 1 − e−Tm S Xr (S) = X(Z, Tm ) S Z=eTm SRESPUESTA EN FRECUENCIA DEL RETENEDOR DE ORDEN CERO 1 − e−Tm S GZOH (S) = S GZOH (jω) =GZOH (S) S=jω 1 − e−jTm ω GZOH (jω) = jω 20
  27. 27. jTm ω jTm ω 1 − e− 2 e− 2 GZOH (jω) = jω jTm ω jTm ω jTm ω e− 2 (e 2 − e− 2 ) GZOH (jω) = jω − jTm ω jTm ω jTm ω 2e 2 (e 2 − e− 2 ) = ω 2j 2 jTm ω Tm ω = e− 2 sin ω 2 Tm ω sin 2 − jTm ω =Tm e 2 ωTm 2 jTm ω Tm ω =Tm e− 2 sinc 2π Observemos la grafica de magnitud: jTm ω Tm ω |GZOH (jω)| = Tm e− 2 sinc 2π jTm ω Tm ω =Tm e− 2 sinc 2π 1 conclusion: Tm ω |GZOH (jω)| =Tm sinc (1.17) 2π Tm ω sin 2 Tm ω sup sinc = sup ωTm =1 ω 2π ω 2 Tm ω sinc ≤ 1; ∀ω 2π sup |GZOH (jω)| = m´x |GZOH (jω)| = Tm a ω ω La gr´fica de la magnitud se puede apreciar en la Figura 1.20. a De aqui se observa que NO es un filtro ideal, y que los puntos cr´ ıticos, es decir en los cuales vale cero|GZOH (jω)|, est´n ubicados cuando ωTm = 2π. O de otra forma cuando Tm = 2π/ω la se˜ al muestreada es a ncero. Los lobulos producidos causan distorsi´n de la se˜ al, por lo cual se aconseja que el periodo de muestreo o nTm sea peque˜ o. n Ahora observemos el efecto de la fase o argumento de la se˜ al. n jTm ω Tm ω Arg [GZOH (jω)] =Arg Tm e− 2 sinc 2π jTm ω Tm ω =Arg Tm e− 2 + Arg sinc 2π 21
  28. 28. 1 0.8 Magnitud GZOH 0.6 0.4 0.2 0 −30 −20 −10 0 10 20 30 Frecuencia (rad/seg) Figura 1.20: Magnitud de la Funci´n de transferencia del ZOH o   Tm ω Tm ω  sin 2  Arg [GZOH (jω)] = − + Arg  ωTm  2  2 Revisemos la fase del segundo termino: sin Tm ω/2 |ω|Tm ≥0 Si 2nπ ≤ ≤ (2n + 1)π ωTm /2 2 sin Tm ω/2 |ω|Tm <0 Si (2n + 1)π ≤ ≤ (2n + 2)π ωTm /2 2si ω < 0 → ω = −|ω| sin Tm ω/2 sin − Tm |ω|/2 sin Tm |ω|/2 ⇒ = ωTm /2 −|ω|Tm /2 |ω|Tm /2Entonces el argumento de esta parte esta dado por:   Tm ω  sin 2  0 if 2nπ ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 1)π Arg  = 2  ωTm 2  π if (2n + 1)π ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 2)π 2Conclusion: Tm ω 0 if 2nπ ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 1)π 2 Arg [GZOH (jω)] = − + 2 π if (2n + 1)π ≤ |ω|Tm ≤ (2n + 2)π 2 22
  29. 29. 20 15 10 Argumento de GZOH 5 0 −5 −10 −15 −20 −30 −20 −10 0 10 20 30 Frecuencia (rad/seg) Figura 1.21: Magnitud de la Funci´n de transferencia del ZOH o La gr´fica de Argumento se puede ver en la figura 1.21. a Revisemos cual seria el espectro de salida de una se˜ al reconstruida mediante el retenedor de orden cero, nobservemos en la figura 1.22 en la primera casilla tenemos el espectro de una se˜ al muestreada, en la segunda nel espectro de nuestro ZOH y en la tercera la respuesta de la reconstrucci´n con un ZOH, podemos observar oque en la reconstrucci´n utilizando retenedor de orden cero se producen l´bulos a lado y lado del espectro o ooriginal, estos l´bulos pueden ser eliminados utilizando un filtro pasabajo de un orden bajo, lo cual nos osimplifica la implementaci´n del circuito de reconstrucci´n frente a uno solo realizado con filtro. En la figura o o1.22 se observa un comparativo entre la se˜ al original y la se˜ al reconstruida con retenedor de orden cero, n ndonde se aprecia el error existente entre las dos. 1 X (jω) 0.5 m 0 −30 −20 −10 0 10 20 30 1 (jω)) ZOH 0.5 MAG(G 0 −30 −20 −10 0 10 20 30 1 X (jω) 0.5 r 0 −30 −20 −10 0 10 20 30 tiempo [seg] Figura 1.22: Respuesta a reconstrucci´n con ZOH o 23
  30. 30. 1 Xr(jω) 0.8 X(jω) X(jω) y X (jω) 0.6 r 0.4 0.2 0 −0.2 −30 −20 −10 0 10 20 30 0.15 X (jω)−X(jω) r 0.1 Error (P.U.) 0.05 0 −0.05 −30 −20 −10 0 10 20 30 Frecuencia Figura 1.23: Comparaci´n entre la se˜ al original y la se˜al reconstruida o n n1.5. Respuesta de un sistema Lineal a una entrada generada me- diante retenedor de orden cero Figura 1.24: Sistema Lineal con entrada de Retenedor de Orden Cero Tomemos el esquema de la figura 1.24: y(t) = g(t) ∗ ur (t) donde: ∞ ur (t) = u(KTm )[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )] k=−∞ suponemos que se cumplen las siguientes dos condiciones: g(t) = 0 si t < 0 ur (t) = 0 si t < 0 ∞ ur (t) = u(KTm)[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )] k=0 24
  31. 31. ∞ t y(t) = ur (τ )g(t − τ )dτ = ur (τ )g(t − τ )dτ (1.18) −∞ 0 como sabemos: ∞ ur (t) = u(KTm)[1(t − KTm ) − 1(t − K + 1Tm )] k=0 ur (t) = u(KTm )si KTm ≤ t ≤ K + 1Tm K ∈ Z+ U {0} Tenemos que realizar un an´lisis considerando intervalo por intervalo, es decir: a i) si 0 ≤ t ≤ Tm , tenemos ur (τ ) = u(0) t t y(t) = u(0)g(t − τ )dτ = g(t − τ )dτ u(0) 0 0 ii) si Tm ≤ t ≤ 2Tm , tenemos Tm t y(t) = u(0)g(t − τ )dτ + u(Tm )g(t − τ )dτ 0 Tm Tm t y(t) = g(t − τ )dτ u(0) + g(t − τ )dτ u(Tm ) 0 Tm iii) si 2Tm ≤ t ≤ 3Tm , tenemos Tm 2Tm t y(t) = u(0)g(t − τ )dτ + u(Tm )g(t − τ )dτ + u(2Tm )g(t − τ )dτ 0 Tm 2Tm Tm 2Tm t y(t) = g(t − τ )dτ u(0) + g(t − τ )dτ u(Tm ) + g(t − τ )dτ u(2Tm ) 0 Tm 2Tm Realizando una sencilla generalizaci´n obtenemos que: si KTm ≤ t ≤ K + 1Tm , tenemos: o K−1 J+1Tm t y(t) = g(t − τ )dτ u(JTm ) + g(t − τ )dτ u(KTm) (1.19) J=0 JTm KTm Ahora si Muestreamos esta se˜ al (y(t)) con periodo Tm , obtenemos: n K−1 J+1Tm y(KTm ) = g(KTm − τ )dτ u(JTm ) (1.20) J=0 JTm Notemos que el segundo termino desaparece por cuanto este esta actuando solo en el interior del intervalode muestreo. Observemos la integral al interior de la sumatoria: 25
  32. 32. J+1Tm Tm g(KTm − τ )dτ = g(KTm − τ − JTm )dτ JTm 0 Tm h(K − JTm ) = g(K − JTm − τ )dτ 0 es decir, podemos definir: Tm h(KTm ) = g(KTm − τ )dτ 0 h(0) = 0 y por consiguiente K−1 y(KTm ) = h(K − JTm )u(JTm ) (1.21) J=0 Realicemos una comparaci´n con la convoluci´n Discreta de se˜ ales, en la cual tenemos que: o o n K y(KTm ) = h(KTm ) ∗ u(KTm) = h(K − JTm )u(JTm ) J=0 El efecto del retenedor se ve en los limites de la sumatoria, introduciendo un retardo.Ejemplo 1.7. Determine y(t) y Y (KTm ) si consideramos que en el sistema descrito en la figura 1.24 setienen: g(t) = Γe−αt 1(t) u(t) = U0 1(t) Primero determinemos Y (KTm ), Tm h(KTm ) = g(KTm − τ )dτ 0 Tm h(KTm ) = Γe−α(KTm −τ ) 1(KTm − τ )dτ 0 h(0) = 0 Tm h(KTm ) = Γe−αKTm eατ 1(KTm − τ )dτ 0 Tm = Γe−αKTm eατ dτ ; K≥1 0 Γe−αKTm ατ Tm = e ; K≥1 α 0 Γ h(KTm ) = e−αKTm (eαTm − 1)1(K − 1Tm ) α 26
  33. 33. K Γ −αK−JTm αTm y(KTm ) = e (e − 1)1(K − J − 1Tm )U0 1(JTm ) α J=0 K−1 ΓU0 αTm y(KTm ) = (e − 1) e−αK−JTm α J=0 K≥1 K−1 ΓU0 αTm = (e − 1)e−αKTm eαJTm α J=0 K≥1 αKTm ΓU0 αTm 1−e = (e − 1)e−αKTm α 1 − eαTm K≥1 ΓU0 = (1 − e−αKTm )1(K − 1Tm ) α1.6. Ejercicios 1. Muestree las siguientes se˜ ales de tiempo continuo y obtenga su espectro en frecuencia (tanto de la n se˜ al original como de la se˜ al muestreada) n n a) x(t) = 1(t + T0 ) − 1(t − T0 ); Tm = T0 /2, T0 /10. b) y(t) = 12|sen(120πt)|; Tm = 1mseg, Tm = 5mseg, Tm = 10mseg. −4t c) z(t) = e 1(t); Tm = 1seg, Tm = 2seg, Tm = 4seg. t d ) z(t) = e [1(t + 1) − 1(t − 1)]; Tm = 0,1seg, Tm = 0,5seg, Tm = 1seg. 2. Se˜ ale las principales diferencias que existen entre un filtro pasabajo ideal y un circuito retenedor de n orden cero, en lo que respecta a reconstrucci´n de se˜ ales. o n 3. Una se˜ al de tiempo continuo tiene un espectro de frecuencia con componentes a las frecuencias 100Hz, n 200Hz, 300Hz. Esta se˜ al se muestrea con Tm = 0,0001seg y la se˜ al muestreada se aplica a un circuito n n retenedor de orden cero con periodo de retenci´n de 0,005seg. Se˜ ales las caracter´ o n ısticas de salida del retenedor frente a esta se˜ al de entrada. n 4. Una se˜ al de tiempo continuo Asen(60πt) se muestrea a una frecuencia de 120πrad/s; el resultado de n este muestreo pasa por un filtro ideal de 100Hz. cual sera la salida de este sistema. 5. Una se˜ al f (t) = sinc(200t) es meustreada por un tren de pulsos peri´dicos P∆ (t) representado en la n o siguiente figura. Halle y grafique el espectro de la se˜ al muestreada. n Explique si es posible reconstruir f (t) a partir de sus muestras. Si la se˜ al muestreada es aplicada a un filtro pasabajo ideal de ancho de banda 100 Hz y ganancia n unitaria, Halle la salida del filtro. Cual es la salida del filtro si su ancho de banda es βHz, donde 100 < β < 150. Que sucede si el ancho de banda es 150Hz. 6. Considere el siguiente circuito Obtenga la expresion matematica de vo (t) dependiendo de Vi (t). Grafique vo (t) 27
  34. 34. Figura 1.25: Circuito para el Ejercicio 6 Capitulo de Muestreo y Reconstrucci´n o Encuentre las condiciones que deben cumplir Ri , Ro , C para que el circuito se comporte como un Muestreador - Retenedor. Bajo que condiciones el circuito se comporta como un muestreador ideal Bajo que condiciones el circuito se comporta como un retenedor de orden cero.7. Considere el siguiente sistema. Determine la salida vo (t) si: Γ0 − τt g(t) = e 0 1(t) τ0 vi (t) =A sin(ωt)1(t)8. En la figura siguiente se muestra una realizacion de un retenedor de ordenc ero practico. Calule la respuesta al impulso unitario de este circuito. Halle y grafique |H(jω)|. Obtenga la salida de este circuito cuando la entrada es f (KTm ) donde f(t) es sinc2 (10t).9. Un circuito 28
  35. 35. Cap´ ıtulo 2Transformada Z [Z = eTmS ] La transformada Z cumple para los sistemas discretos la misma funci´n que la transformada de Laplace opara sistemas continuos, por cuanto en una transformada para sistemas discretos de la forma x(KTm ).Veamos un breve paralelo entre los sistemas continuos y los sistemas discretos: Sistemas Continuos Sistemas Discretos Descrito por Ecuaciones Diferenciales Descrito por Ecuaciones de Diferencia Transformada de Laplace Transformada Zeta Transformada de Fourier Continua Transformada de Fourier Discreta Serie Continua de Fourier Serie discreta de Fourier FFT d Operador P = dt P −1 = Operadores q, q −1 , ∇, ∆2.1. FUNDAMENTOS La Transformada Zeta de una secuencia discreta {x(KTm )} esta definida como: ∞ X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = x(KTm )Z −K (2.1) K=−∞ Esta transformada se conoce tambi´n como transformada Z bilateral. Con la definici´n 2.1 es importante e oanotar que como Z es una variable compleja, entonces X(Z, Tm ) tambi´n lo es. Tambi´n es importante e eresaltar que el termino tm aparece porque de manera general la transformada Z de x(KTm ) sera funci´n de oTm . Si x(KTm ) esta definido para K ≥ 0, entonces tenemos que: ∞ X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K Unilateral Positiva |Z| > R− K=0 Si x(KTm ) esta definido para K < 0, entonces tenemos que: −1 X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K Unilateral Negativa |Z| < R+ K=−∞ Si x(t) es una se˜ al de tiempo continuo, tal que posee transformada de Laplace: n 29
  36. 36. X(S) = Lt [x(t)] Ahora realizamos un muestreo de esta se˜ al continua para obtener: n ∞ xm (t) = x(KTm )δ(t − KTm ) k=−∞ ∞ Xm (S) = Lt [xm (t)] = Lt x(KTm )δ(t − KTm ) k=−∞ ∞ Xm (S) = x(KTm )Lt δ(t − KTm ) k=−∞ ∞ Xm (S) = x(KTm )e−KTm S k=−∞ ∞ Xm (S) = x(KTm )e−KTm S Transformada Discreta de Lapace (TDL) (2.2) k=−∞ Ahora si realizamos el cambio de variable Z = eT mS, se obtiene: ∞ Xm (S) → X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K (2.3) k=−∞ En la aplicaci´n practica. Realizando un par´ntesis en el tema, miremos breve mente lo que se realiza o eo se emplea en filtros digitales, teniendo una funci´n de transferencia de un filtro G(S), se reemplaza S por: o 1 S= LnZ la cual sale deZ = eTm S Tm Esta expresi´n queda un poco complicada, por lo cual se realiza la aproximaci´n: o o 1 Z = 1 + Tm S → S= (Z − 1) Tm Tm S e 2 1 + Tm /2S 2 Z −1 Z= ≈ → S= e − T2 m S 1 − Tm /2S Tm Z +1 Esta ultima se conoce como la aproximaci´n de Tustin, es quiz´ la mas empleada. Teniendo una funci´n o a ode un filtro G(S) se reemplaza S por la aproximaci´n de Tustin y se plantea una funci´n recursiva. o o Retomemos la Transformada Z. La transformada Z esta definida como: ∞ X(Z, Tm ) = x(KTm )Z −K (2.4) k=−∞ 30
  37. 37. Figura 2.1: Region de Convergencia Transformada Z La transformada Z bilateral exige que la sumatoria converga en una regi´n del plano Z, es asi que las oregiones de convergencia normalmente se describen de la forma R− < |Z| < R+ , por fuera de esta regi´n la osumatoria no converge (Figura 2.1). Ahora observemos la convergencia de la sumatoria: ∞ |X(Z, Tm )| = x(KTm )Z −K k=−∞ ∞ ≤ x(KTm ) Z −K k=−∞ Z = rz ejφZ ; |Z| = rz ≥ 0 −K −K −K |Z | = |Z| = rz ∞ −K |X(Z, Tm )| ≤ x(KTm ) rz < ∞ k=−∞ La sumatoria converge si x(KTm ) es de orden exponencial, es decir que x(KTm ) debe crecer mas despacio K −Kque rz , con lo cual rz decrece mas rapido que lo que crece x(KTm ). Si x(KTm ) es de orden exponencial,entonces: |X(KTm)| ≤ ΓrK ; ∀K Por ejemplo, si x(KTm ) = aKTm 1(KTm ), entonces x(KTm ) es de orden exponencial, y si x(KTm ) = K 2 Tma 1(KTm), entonces x(KTm ) NO es de orden exponencial. Para una secuencia Bilateral se debe tener en cuenta algunos aspectos sencillos, los cuales vienendictados por las regiones de convergencia tanto de secuencias unilaterales positivas como unilaterales nega-tivas. 31
  38. 38. ∞ X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = x(KTm )Z −K k=−∞ Si la secuencia es unilateral positiva, la transformada Z puede expresarse como: ∞ X(Z, Tm ) = x+ (KTm )Z −K ; Con regi´n de convergencia de la forma |Z| > R− o k=0 Si la secuencia es unilateral negativa, la transformada Z puede expresarse como: −1 X(Z, Tm ) = x− (KTm )Z −K ; Con regi´n de convergencia de la forma |Z| < R+ o k=0−∞ Al unir las dos transformadas para una secuencia bilateral se debe cumplir que: (|Z| > R− ) ∩ (|Z| < R+ ) = ∅ De lo contrario diremos que la transformada Z NO existe para esta secuencia.Ejemplo 2.1. Calculo Transformada Z. Sea x(KTm ) = aKTm 1(KTm ), obtenga X(Z, Tm ). ∞ X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = aKTm 1(KTm )Z −K k=−∞ ∞ = aKTm Z −K ; El escalon 1(KTm ) nos limita la sumatoria k=0 ∞ K aTm X(Z, Tm ) = Z k=0 Tm Tomando la serie de la ecuaci´n 3.3, sea P = a o /Z, entonces ∞ X(Z, Tm ) = PK tomemos N → ∞ y i = 0 k=0 N = l´ ım PK N →∞ k=0 1 − P N +1 = l´ ım ; con P = 1 N →∞ 1−P 1 − l´ N →∞ P N +1 ım = ; con P = 1 1−P 1 X(Z, Tm ) = ; con |P | < 1 1−P 1 aTm X(Z, Tm ) = T ; con <1 1 − a Zm Z Z X(Z, Tm ) = ; con |Z| > |aTm |(Figura 2.2) Z − aTm 32
  39. 39. Figura 2.2: Region de convergencia ejemplo x(KTm ) = aKTm 1(KTm ) (El amarillo)Ejemplo 2.2. Calculo Transformada Z. De una secuencia bilateral aKTm si K ≥ 0 x(KTm ) = −bKTm si K < 0 x(KTm ) = aKTm 1(KTm ) − bKTm 1(−K − 1Tm ) ∞ X(Z, Tm ) = Z [x(KTm )] = x(KTm )Z −K k=−∞ ∞ = aKTm 1(KTm ) − bKTm 1(−K − 1Tm ) Z −K k=−∞ ∞ ∞ = aKTm 1(KTm)Z −K − bKTm 1(−K − 1Tm )Z −K k=−∞ k=−∞ ∞ −1 = aKTm Z −K − bKTm Z −K k=0 k=−∞ Del ejemplo anterior se puede extraer: ∞ Z aKTm Z −K = ; con |Z| > |aTm | Z − aTm k=0 Ahora, el segundo termino −1 −1 bKTm Z −K = l´ ım bKTm Z −K ; K = −i N →∞ k=−∞ k=−N 33

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