1. 1
Lekc 9
Xiqääliïn sädäw: Ogtorguï dax´ wektor, tüün däärx ²ugaman
üïldlüüd
Wektor, wektoriïn ²ugaman üïldäl
Todorxoïlolt: Toon utga, qigläl xoëroor bürän todorxoïlogdox
xämjigdäxüüniïg wektor gänä. Ji²äälbäl: xurd, xüq, caxilgaan ba
soronzon orny xüqläl, güïdliïn xüq gäx mäi. Zöwxön ganc toon utgaar
todorxoïlogdox xämjigdäxüüniïg skal¶r gänä. Ji²äälbäl urt, talbaï,
äzälxüün gäx mät.
Geometrt wektor xämjigdäxüün büxniïg todorxoï qiglältäï
xärqmäär dürsäldäg. Üünd xärqmiïn qigläl n´ xämjigdäxüüniï qigläliïg
zaaj, urt n´ tüüniï toon utgyg üzüülnä.
−→
Wektoryg AB buµu − gäj tämdäglänä.
→a
A cägiïg wektoryn äx, W cägiïg tögsgöl gänä.
−
→
a
B
− A
→ −→
|AB| xärqmiïn urtyg AB wektoryn modul´ gäj närlääd |AB| gäj tämdäglänä.
Modul´ n´ 1-täï täncüü wektoryg nägj wektor gänä. Ijil buµu äsräg
qiglältäï baïx xoër wektoryg kollinear wektoruud gänä. Äx, tögsgöl
xoër n´ dawxacsan wektoryg täg wektor gänä.
Aliwaa xoër wektoryn qigläl n´ ijil bögööd modul´ n´ täncüü baïwal
tädgääriïg täncüü wektor gänä. Wektoryn täncüügiïn änä todorxoïloltoos
üzwäl aliwaa wektoryg ogtorguïd paralleliar zööxöd tüüniï qanar ül
öörqlögdönö.
Wektoryg nämäx ba xasax
− , − wektoruudyn niïlbäriïg daraax´ dürmäär olno.
→ →
a b
• O cäg songoj awna.
• O cägääs → wektor tataj M cäg olno.
−
a
→
−
• M cägääs b wektor tataj N cäg olno.

2. 2
−→ →
−
• M, N cägüüdiïg xolbogq M N = − wektor baïguulna. − wektoryg
c →
c
→
−
− , b wektoruudyn niïlbär gädäg.
→
a
→=− +→
−
c → −
a b
Wektoruudyg nämäx üïldäl 4 ündsän qanartaï:
→ → − −
− →
1. − + b = b + → (baïr solix)
a a
→ −
a
→ → →
c a
→ →
−
2. (− + b ) + − = − + ( b + − ) (xäsäglän nämäx)
c
→ → → →
−
3. − + 0 = − (− wektor däär täg wektor nämäxäd öörqlögdöxgüï)
a a a
4. − + (−− ) = 0 (äsräg wektoruudyn niïlbär täg wektor bolno).
→
a →
a
−
→
b
→
−
c
→
−
a − +→
→ −
a b − −
→ →
b + c
− , − , − , ..., − wektoruudyg nämäxdää I wektoryn tögsgölöös II wektoryg
→ → →
a b c
→
d
tataj cäg olno. Tär cägääs III wektoryg tataj cäg olno. Tüünääs IV
wektoryg tatax gäx mätqilän äcäst näg cäg olj I-iïn äxläliïg süülqiïn
→ → → −
cägtäï xolbogq cägtäï xolbogq wektor baïguulna. Änä n´ − + b + − +
a c
−
→
... + d niïlbär bolno.
Wektoryn xasax üïldäl n´ nämäxiïn urwuu üïldäl µm.
→ − → −
→
Ji²ääläxäd − − b ¶lgawar gäj däär b däär nämäxäd − -taï täncäx
a →a
gurawdax wektoryg xälnä.
− − → ¶lgawryn qigläl n´ ¶magt xasagdagq wektoryn tögsgölrüü
→ −
a b
xandsan baïna.
− −−
→ →
a b
→
−
a
−
→
b

3. 3
Sanamj 1. Wektoryn nämäx, xasax düräm n´ näg ijil qiglältäï buµu
äswäl qiglältäï wektoruudyn xuw´d xüqin tögöldör baïdag.
2. Wektoruudyn moduliïn xuw´d
− − →
a
→
c
−
→ →
a
→
− →
c
−
→
|→ + b + − + ... + d | ≤ |− | + | b | + |− | + ... + | d |
Wektoryg toogoor ürjix
−
→
Dor dur´dsan 2 nöxcölöör todorxoïlogdox b wektoryg − wektor λ
→
a
too xoëryn ürjwär gäx, üünd
−
→
1. | b | = |λ| · |− |
→
a
→ →−
2. − , b wektoruud λ > 0 üed ijil, λ < 0 üed äsräg qiglältäï.
a
−
→
Wektoryg toogoor ürjsän ürjwäriïg b = λ− gäj tämdäglänä. Wekto-
→
a
ryg toogoor ürjix üïldäl 4 ündsän qanartaï:
1. − · 1 = −
→
a →
a
→ −→ −
→
2. (− + b )λ = − · λ + b · λ
a →
a
3. (λ + v)− = λ− + v −
→
a →
a →
a
4. λ(µ− ) = (λ · µ)→
→
a −
a
Wektoryn nämäx, xasax ba toogoor ürjix üïldliïg xamtad n´ wektoryn
²ugaman üïldäl gäj närlänä.
2. Wektoryg suuriar zadlax
Gurwan wektortoï näg xawtgaïtaï parallel´ baïwal, (ö.x tädgääriïg
paralleliar zaaj näg xawtgaïn wektor bolgoj bolox baïwal) tädgääriïg
komplanar wektoruud gänä. Gurwan wektortaï näg zäräg parallel´ or²ix
xawtgaï ogt baïxgüï bol tädgääriïg komplanar bi² gänä. Komplanar
bi² gurwan wektoryg ogtorguïn suur´ gäj närlänä. Aliwaa döröwdäx
wektoryg komplanar bi² gurwan wektoryn tuslamjtaïgaar nïilbär bol-
goj biqij bolox bögööd tiïnxüü biqixiïg wektoryg suuriar zadlax
gäj närlänä. − →, − suuriar − -yg zadlax. Tädgääriïg paralleliar
→ − →
m, n e →a
zööj O cägt äxlältäï bolgood − wektoryn tögsgöl M cägiïg daïruu-
→a
lan (− →), (− , − ), (− , − xawtgaïnuudtaï parallel´ gurwan xawtgaï
→ − → → → →
m, n n e e m)
tatwal parallelopiped üüsq wektoryn nämäx düräm ësoor

4. 4
C
−
→
a M
−
→
0 i
−
→
→ n
−
m
B
A
− = −→ + − →. Gätäl −→ = − + − D − → = − tul − = − +
→
a
−
OD DM
− −
OD
→ −
→
OA OB; DM
− →
OC →
a
→
OA
−−
→ − → → − → −→
OB + OC, − OA kollinear uqir OA = λ→ baïx λ too oldono. Mön
m, −
m
−
−→ − , − = v − tul
→ OC → →
üünqlän OB = µ n e
→ = λ → + µ− + v →
−
a −
m →
n −
e
Tuxaïn suur´ däär aliwaa wektor zöwxön ganc ¶nzyn zadargaataï.
Wektoryn koordinat. Täg² öncögt dekartyn koordinatyn Ox,
Ou, Oz gurwan tänxläg däär tädgääriïn äeräg qiglältäï dawxcax qigläl
→ − →
− → −
büxiï i , j , k gäsän gurwan nägj wektor awbaas änäxüü gurawt n´ kom-
planar bi² tul ogtorguïn suur´ bolno.
− → −
→ − →
Caa²daa i , j , k gurawtyg dekartyn koordinatyn suur´ gäj närlänä.
z
−
→ −
→
a
k
− −
→ →
i j y
x
Duryn − wektoryg koordinatyn suuriar zadalj biqwäl
→
a
→ = X− + Y − + Z−
−
a
→
i
→
j
→
k
bolox bögööd äl zadargaany X, Y, Z koäfficientüüdiïg − wektoryn
→a
− − −
→ → → − wektoryn
→
i , j , k suur´ dax´ koordinat gänä. Geometriïn X,Y,Z n´ a

5. 5
Ox, Oy, Oz tänxlägüüd däärx proekc bolno. − wektor X,Y,Z koordinat-
→
a
taï gäxiïg a − = {X, y, Z} gäj towq biqnä.
→
Iïnxüü koordinatyn suur´taï ogtorguïn aliwaa − wektor todorxoï
→a
ärämbätäï gurwan bodit toogoor ilärxiïlägdänä. Bas todorxoï äräm-
bätäï bodit toon gurawt büriïg näg wektoryn tuxaïlsan suur´ dax´ ko-
ordinat gäj üznä.
Koordinataar ögögdsön wektoryn ²ugaman üïldäl. Tuxaïl-
− → −
→ − → −
→
san i , j , k suur´ däär − = {X1 , Y1 , Z1 }, b = {X2 , Y2 , Z2 } xoër wektor
→a
ögögdwöl
→=X − +Y − +Z −, − =X − +Y →+Z −
−
a
→ → → → → − →
1 i 1 j 1 k b 2 i 2 j 2 k
Iïmd
− + − = (X → + Y − + Z − ) + (X − + Y − + Z →) =
→ →
a b
− → → → → −
1 i 1 j 1 k 2 i 2 j 2 k
−
→ −
→ −
→
= (X1 + X2 ) i + (Y1 + Y2 ) j + (Z1 + Z2 ) k
− → −
bolox tul → + b niïlbär wektoryn koordinat n´ {X1 + X2 , Y1 + Y2 , Z1 +
a
Z2 } bolno. Ööröör xälbäl niïlbär wektoryn koordinat n´ nämägdäxüün
wektoruudyn xargalzax koordinatuudyn niïlbärtäï täncüü.
−−→
−− −−→
−−
M1 (x1 , y1 , z1 ), M2 (x2 , y2 , z2 ) cägüüd M1 M2 wektor todorxoïlox ba M1 M2 =
−−
−→ −− −→
OM2 − OM1
−−
−→ −−
−→
OM2 = {x2 , y2 , z2 }, OM1 = {x1 , y1 , z1 }
−−→
−−
M1 M2 = {x2 − x1 , y2 − y1 , z2 − z1 }
Mön − wektoryg λ = 0 toogoor ürjüülbäl
→
a
→λ = λ− = λ(X − + Y → + Z − ) = λX − + λY − + λZ −
−
a →
a
→ − → → → →
1 i 1 j 1 k 1 i 1 j 1 k
bolj λ→ wektoryn koordinat n´ {λX1 , λY1 , λZ1 } bolno. Ööröör xälbäl
−a
− wektoryg λ toogoor ürjüüläxdää tüüniï koordinat tus büriïg ug
→
a
toogoor ürjüülnä.
−
→ √
Ji²ää n´: − = {3, −2, 4}, b = {5, 2, −7} ögsön gäwäl − = − +
→a →
c →
a
−
→ √ √
− = {8, −2 + 2, −3} λ = 1 gäwäl
→
b = {5 + 3, −2 + 2, 4 + (−7)} buµu c 2
−
→ →
−
d = λ · → = 1 · → = { 1 · 3; 1 · (−2); 1 · 4}; d = { 3 , −1, 2}
−
a 2
−
a 2 2 2 2