2. COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil
Director Académico
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Mtro. Pedro Hernández Peña
MATEMÁTICAS 4
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2010 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Primera edición 2011. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaborador:
Alma Lorenia Valenzuela Chávez
Revisión Disciplinaria:
Margarita León Vega
Corrección de Estilo:
Flora Inés Cabrera Fregoso
Supervisión Académica:
Mtra. Luz María Grijalva Díaz
Equipo Técnico RIEMS
Diseño:
Joaquín Rivas Samaniego
María Jesús Jiménez Duarte
Edición:
Bernardino Huerta Valdez
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñuñuri
Diana Irene Valenzuela López
Coordinación General:
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de diciembre de 2010.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 10,064 ejemplares.
2
PRELIMINARES

3. DATOS DEL ALUMNO
Nombre: _______________________________________________________________
Plantel: __________________________________________________________________
Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________
E-mail: _________________________________________________________________
Domicilio: ______________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Ubicación Curricular
COMPONENTE: HORAS SEMANALES:
FORMACIÓN BÁSICA 05
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
MATEMÁTICO CRÉDITOS:
10
PRELIMINARES 3

4. 4
PRELIMINARES

5. Índice
Presentación ......................................................................................................................................................... 7
Mapa de asignatura .............................................................................................................................................. 8
BLOQUE 1: RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES. ...... 9
Secuencia Didáctica 1: Relaciones y funciones ................................................................................................10
• Diferencia entre relaciones y funciones......................................................................................................12
• Dominio y rango ..........................................................................................................................................21
• Formas de representar una función ...........................................................................................................23
Secuencia Didáctica 2: Clasificación de funciones ...........................................................................................32
• Según su forma analítica ............................................................................................................................36
• Según la presentación de su forma analítica .............................................................................................63
• Según su gráfica .........................................................................................................................................66
Secuencia Didáctica 3: Operaciones de funciones ...........................................................................................81
 Suma de funciones .....................................................................................................................................82
 Resta de funciones .....................................................................................................................................86
 Multiplicación de funciones ........................................................................................................................90
 División de funciones ..................................................................................................................................94
 Composición de funciones .........................................................................................................................99
BLOQUE 2: APLICA FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIONES GRÁFICAS. ................. 105
Secuencia Didáctica 1: Funciones especiales ................................................................................................106
 Función inversa ..........................................................................................................................................108
 Funciones definidas por partes .................................................................................................................122
Secuencia Didáctica 2: Transformaciones de gráficas de funciones .............................................................141
 Translación horizontal ................................................................................................................................144
 Traslación vertical.......................................................................................................................................146
 Reflexión con respecto al eje X ..................................................................................................................149
 Reflexión con respecto al eje Y ..................................................................................................................153
 Reflexión con respecto a la recta de 45º ...................................................................................................156
 Contracción y expansión de funciones .....................................................................................................157
BLOQUE 3: EMPLEA FUNCIONES POLINOMIALES ......................................................................... 161
Secuencia Didáctica 1: Funciones polinomiales de grados cero, uno y dos .................................................164
 Concepto de función polinomial de una variable ......................................................................................166
 Características de las funciones polinomiales .......................................................................................... 166
 Influencia de los parámetros de funciones de grados cero, uno y dos en su representación gráfica .... 168
Secuencia Didáctica 2: Funciones polinomiales de grado tres y cuatro ........................................................194
 Comportamiento y bosquejo de gráficas de funciones polinomiales de grados tres y cuatro ...............195
 Teorema del residuo y del factor ...............................................................................................................205
 Teoremas sobre las raíces de una ecuación ............................................................................................208
BLOQUE 4: APLICA FUNCIONES RACIONALES .............................................................................. 215
Secuencia Didáctica 1: Función racional .........................................................................................................216
 Concepto de función racional ...................................................................................................................217
 Función racional reducible .........................................................................................................................221
Secuencia Didáctica 2: Gráficas de funciones racionales ..............................................................................226
 Asíntotas de funciones racionales ............................................................................................................229
PRELIMINARES 5

6. Índice (continuación)
BLOQUE 5: UTILIZA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS ........................................ 239
Secuencia Didáctica 1: Funciones exponenciales.......................................................................................... 240
 Concepto de función exponencial ............................................................................................................ 241
 Variación exponencial ............................................................................................................................... 245
 El número e ............................................................................................................................................... 249
Secuencia Didáctica 2: Función logarítmica ................................................................................................... 254
 Propiedades de los logaritmos ................................................................................................................. 257
 Concepto de función logarítmica .............................................................................................................. 258
 Gráfica de la función logarítmica .............................................................................................................. 258
 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ................................................................................................ 262
BLOQUE 6: EMPLEA FUNCIONES PERIÓDICAS ............................................................................. 269
Secuencia Didáctica 1: Funciones sinoidales ................................................................................................. 270
 Concepto de las funciones senoidales .................................................................................................... 272
 Características de las funciones seonidales ............................................................................................ 273
Secuencia Didáctica 2: Graficación paramétrica de funciones senoidales ................................................... 283
 Graficación mediante parámetros ............................................................................................................ 284
Bibliografía ........................................................................................................................................................ 296
6
PRELIMINARES

7. Presentación
“Una competencia es la integración de habilidades, conocimientos y actitudes en un contexto específico”.
El enfoque en competencias considera que los conocimientos por sí mismos no son lo más importante, sino el uso
que se hace de ellos en situaciones específicas de la vida personal, social y profesional. De este modo, las
competencias requieren una base sólida de conocimientos y ciertas habilidades, los cuales se integran para un
mismo propósito en un determinado contexto.
El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura Matemáticas 4, es una herramienta de suma importancia, que
propiciará tu desarrollo como persona visionaria, competente e innovadora, características que se establecen en los
objetivos de la Reforma Integral de Educación Media Superior que actualmente se está implementando a nivel
nacional.
El Módulo de aprendizaje es uno de los apoyos didácticos que el Colegio de Bachilleres te ofrece con la intención de
estar acorde a los nuevos tiempos, a las nuevas políticas educativas, además de lo que demandan los escenarios
local, nacional e internacional; el módulo se encuentra organizado a través de bloques de aprendizaje y secuencias
didácticas. Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, organizadas en tres momentos: Inicio, desarrollo y
cierre. En el inicio desarrollarás actividades que te permitirán identificar y recuperar las experiencias, los saberes, las
preconcepciones y los conocimientos que ya has adquirido a través de tu formación, mismos que te ayudarán a
abordar con facilidad el tema que se presenta en el desarrollo, donde realizarás actividades que introducen nuevos
conocimientos dándote la oportunidad de contextualizarlos en situaciones de la vida cotidiana, con la finalidad de que
tu aprendizaje sea significativo.
Posteriormente se encuentra el momento de cierre de la secuencia didáctica, donde integrarás todos los saberes que
realizaste en las actividades de inicio y desarrollo.
En todas las actividades de los tres momentos se consideran los saberes conceptuales, procedimentales y
actitudinales. De acuerdo a las características y del propósito de las actividades, éstas se desarrollan de forma
individual, binas o equipos.
Para el desarrollo del trabajo deberás utilizar diversos recursos, desde material bibliográfico, videos, investigación de
campo, etc.
La retroalimentación de tus conocimientos es de suma importancia, de ahí que se te invita a participar de forma activa
cuando el docente lo indique, de esta forma aclararás dudas o bien fortalecerás lo aprendido; además en este
momento, el docente podrá tener una visión general del logro de los aprendizajes del grupo.
Recuerda que la evaluación en el enfoque en competencias es un proceso continuo, que permite recabar evidencias a
través de tu trabajo, donde se tomarán en cuenta los tres saberes: el conceptual, procedimental y actitudinal con el
propósito de que apoyado por tu maestro mejores el aprendizaje. Es necesario que realices la autoevaluación, este
ejercicio permite que valores tu actuación y reconozcas tus posibilidades, limitaciones y cambios necesarios para
mejorar tu aprendizaje.
Así también, es recomendable la coevaluación, proceso donde de manera conjunta valoran su actuación, con la
finalidad de fomentar la participación, reflexión y crítica ante situaciones de sus aprendizajes, promoviendo las
actitudes de responsabilidad e integración del grupo.
Nuestra sociedad necesita individuos a nivel medio superior con conocimientos, habilidades, actitudes y valores, que
les permitan integrarse y desarrollarse de manera satisfactoria en el mundo laboral o en su preparación profesional.
Para que contribuyas en ello, es indispensable que asumas una nueva visión y actitud en cuanto a tu rol, es decir, de
ser receptor de contenidos, ahora construirás tu propio conocimiento a través de la problematización y
contextualización de los mismos, situación que te permitirá: Aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a ser y
aprender a vivir juntos.
PRELIMINARES 7

8. MATEMÁTICAS 4
Contiene
FUNCIONES
Cuyo análisis particularizado
conduce al estudio de
Funciones algebraicas Funciones trascendentes
Las cuales se Las cuales se
clasifican en clasifican en
Su inversa
Irracionales Polinomiales Racionales Exponenciales Logarítmicas Senoidales
Compuestas por las
Limitadas a En especial funciones
Grado de 0 a 4
Bases 10 y e Seno Coseno
Con el fin de Con el fin de
RESOLVER
PROBLEMAS
2
PRELIMINARES

9. Reconoce y realiza operaciones con distintos tipos de funciones.
Competencias disciplinares básicas:
 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos,
algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales,
hipotéticas o formales.
 Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
 Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con
modelos establecidos o situaciones reales.
 Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o
variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la
comunicación.
 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las
propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
 Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.
Unidad de competencia:
 Construye e interpreta modelos algebraicos y gráficos, aplicando relaciones funcionales entre
magnitudes para representar situaciones y resolver problemas, teóricos o prácticos, de su vida cotidiana
y escolar, que le permiten comprender y transformar su realidad.
 Contrasta los resultados obtenidos mediante la aplicación de modelos funcionales, en el contexto de las
situaciones reales o hipotéticas que describen.
 Interpreta diagramas y textos que contienen símbolos propios de la notación funcional.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos
contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de
acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de
acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta
dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 21 horas

10. Secuencia didáctica 1.
Relaciones y funciones.
Inicio 
Actividad: 1
Desarrolla lo que se pide.
I. Lee con atención el siguiente texto y responde los cuestionamientos posteriores.
Mónica organizó en su salón la actividad del amigo secreto, que consiste en seleccionar aleatoriamente una
persona para enviarle diariamente un presente; el último día de clases, cada participante descubre quién era su
amigo secreto.
Cuando se hizo el sorteo, Juan se quedó con dos papelitos y no aguantó la tentación de abrirlos, por supuesto,
sin que nadie se diera cuenta. Al leer los nombres se sorprendió, porque era Claudia y Esteban, sus dos mejores
amigos, por lo que decidió callar y regarle a ambos, ya que no podía decidirse por alguno.
1. ¿Qué podría pasar en la actividad que organizó Mónica, con el proceder de Juan?
Si la lista de participantes es la siguiente, relaciona con una flecha la forma en que podría quedar el reparto, si no
descubren a Juan.
Persona que regala Persona que recibe el regalo
Gustavo Gustavo
María María
Juan Juan
Sonia Sonia
Mónica Mónica
Claudia Claudia
Sandra Sandra
Carlos Carlos
Esteban Esteban
2. ¿Qué condición debe existir para que la actividad resulte?
Relaciona con una flecha una forma en la que podría quedar el reparto de tal manera que funcione.
Persona que regala Persona que recibe el regalo
Gustavo Gustavo
María María
Juan Juan
Sonia Sonia
Mónica Mónica
Claudia Claudia
Sandra Sandra
Carlos Carlos
Esteban Esteban
10 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

11. Actividad: 1 (continuación)
3. De acuerdo a lo anterior, ¿cómo definirías una relación entre dos conjuntos?
4. De igual forma, ¿cómo definirías una relación funcional entre dos conjuntos?
II. Relaciona los siguientes conjuntos mediante flechas, escribiendo en la línea la palabra relación o relación
funcional, dado el caso.
Vegetales Tipos Figuras geométricas Número de lados
Chícharo Cereal 0
Avena Fruta 1
Toronja Verdura 2
Rábano Leguminosa 3
Tomate Cítrico 4
Tubérculo 5
6
7
__________________________________ __________________________________
Evaluación
Producto: Cuestionario y ejercicios
Actividad: 1 Puntaje:
de relacionar.
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Comprende la diferencia entre Identifica la diferencia entre una Muestra disposición al realizar la
relaciones y funciones. relación y una función. actividad.
C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
docente
11
BLOQUE 1

12. Desarrollo
Diferencia entre relaciones y funciones.
A lo largo de tu vida has relacionado eventos o fenómenos para poder comprender las situaciones, como por
ejemplo, cuando se reparten los temas de una exposición en equipo, cuando asignan la posición que tomarán los
jugadores de futbol, la distancia que recorre un automóvil al transcurrir el tiempo, la velocidad de un objeto que cae a
una altura determinada, etc.; estos eventos suceden debido a que es un mundo cambiante, donde existe un sinfín de
magnitudes que varían, como: el tiempo, la posición de la luna, el precio de un artículo, la población, entre otras.
A continuación se definirán los conceptos principales para desarrollar esta asignatura, como el concepto de relación y
función, y la diferencia que hay entre ellos.
Un conjunto es
Relaciones. una colección
La relación entre dos conjuntos es la correspondencia que existe entre los elementos de un primer de personas,
conjunto llamado dominio, con uno o más elementos de un segundo conjunto llamado animales u
contradominio o codominio. objetos con
características
Una relación se puede representar utilizando las siguientes formas: similares.
Mediante un criterio de selección o regla de asociación, el cual se puede presentar en forma de
enunciado o una expresión analítica (fórmula), que explicita la relación entre los elementos de los dos conjuntos.
Mediante un diagrama sagital, el cual relaciona los elementos de dos conjuntos por medio de flechas.
Mediante un diagrama de árbol, el cual es una representación gráfica que muestra el desglose progresivo de la
relación que existe entre los elementos de dos conjuntos.
Mediante un producto cartesiano, el cual consiste en obtener todos los pares ordenados posibles, cuya primera
coordenada es un elemento del primero conjunto y la segunda coordenada es un elemento del segundo conjunto. Si
los conjuntos a relacionar son A y B, el producto cartesiano entre ellos se denota como A x B.
Mediante una tabla, la cual es la organización de los conjuntos en columnas, relacionando así los elementos de los
mismos mediante las filas.
Mediante una gráfica, la cual es una representación de elementos, generalmente numéricos, mediante líneas,
superficies o símbolos, para ver la relación que guardan entre sí.
Todas las formas de correspondencia entre dos conjuntos se pueden expresar mediante pares ordenados; si la
asociación se da mediante un enunciado, se requiere obtener primero los elementos de cada conjunto para
establecer entre ellos la relación y describir los pares ordenados.
A continuación se mostrarán ejemplos de las diferentes formas de representar una relación.
Ejemplos de relación mediante un criterio de selección o regla de asociación.
 La relación que existe entre los estados colindantes a Durango y sus capitales.
 La relación que hay entre las asignaturas de cuarto semestre del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora,
con el número de horas a la semana en las que se imparten.
 La relación entre los jugadores de la selección mexicana, con su posible posición en el juego contra Sudáfrica en
el mundial del 2010.
 La relación que existe entre los kilómetros que recorre un automóvil con el tiempo que transcurre, si éste se
mueve a una velocidad de 90 Km/h y tiene que recorrer 252 Km para trasladarse de Ciudad Obregón a
Hermosillo.
 La relación que hay entre un número y su cuadrado aumentado en dos unidades.
12 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

13.  La relación que existe entre los resultados que se obtienen en el primer lanzamiento de una moneda, con su
segundo lanzamiento.
 La relación que existe entre las variables de la ecuación y  2x  3
Ejemplos de relación mediante un diagrama sagital.
Asignaturas Núm. de horas
E. socio-económica de México (ESEM)
Estados Capitales Matemáticas 4 (M4)
Chihuahua Saltillo Biología 2 (B2) 3
Sinaloa Tepic Literatura 2 (L2)
Coahuila Zacatecas Física 2 (F2) 4
Zacatecas Chihuahua Actividades paraescolares (A. P.)
Nayarit Culiacán Lengua adicional al español 4 (LAE 4) 5
Capacitación para el trabajo A (CPT A)
Capacitación para el trabajo B (CPT B)
(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán),
(ESEM, 4), (M4, 5), (B2, 4), (L2, 4), (F2, 5), (AP, 3), (LAE 4),
(Coahuila, Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas),
(CPT A, 4), (CPT B, 3)
(Nayarit, Tepic)
Jugadores Posiciones
Primer Segundo
lanzamiento lanzamiento Guillermo Ochoa
Paul Aguilar Portero
Carlos Salcido
Ricardo Osorio
Defensa
A A F. Javier Rodríguez
Efraín Juárez
Rafael Márquez Medio campista
S S Gerardo Torrado
Giovani dos Santos Delantero
Carlos Vela
Guille Franco
(A, A), (A, S), (S, A), (S, S) (G. Ochoa, Portero), (P. Aguilar, Defensa), (P. Aguilar, Medio),
(C. Salcido, Defensa), (R. Osorio, Defensa), (FJ, Rodríguez, Defensa),
(E. Juárez, Defensa), (E. Juárez, Medio), (R. Márquez, Defensa),
(R. Márquez, Medio), (G. Torrado, Medio), (GD. Santos, Medio),
(GD. Santos, Delantero), (C. Vela, Medio), (C. Vela, Delantero),
(G. Franco, Delantero)
13
BLOQUE 1

14. Ejemplos de relación mediante diagrama de árbol.
Primer Segundo Blusas Pantalones
lanzamiento lanzamiento
Mezclilla
A Vestir
Blanca Capri
A
S Mezclilla
Vestir
S A Negra Capri
Mezclilla
S Naranja Vestir
Capri
(A, A), (A, S), (S, A), (S, S)
(Blanca, Mezclilla), (Blanca, Vestir), (Blanca, Capri),
(Negra, Mezclilla), (Negra, Vestir), (Negra, Capri),
(Naranja, Mezclilla), (Naranja, Vestir), (Naranja, Capri)
Ejemplos de relación mediante un producto cartesiano.
1. Se lanza una moneda dos veces, expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento.
A:1er. lanzamiento
B: 2do. lanzamiento
Producto cartesiano A x B = {(s, s), (s, c), (c, s), (c, c)}
.
14 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

15. 2. Expresar el producto cartesiano de los resultados del lanzamiento de dos dados.
A: Primer dado.
B: Segundo dado.
1 1, 1 2, 1 3, 1 4, 1 5, 1 6  
, , , , , ,
2,1, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 5, 2, 6 
 
3,1, 3, 2, 3, 3, 3, 4, 3, 5, 3, 6 
 
A xB  
4,1, 4, 2, 4, 3, 4, 4, 4, 5, 4,6 
5,1, 5, 2, 5, 3, 5, 4, 5, 5, 5, 6 
 
6,1, 6, 2, 6, 3, 6, 4, 6, 5, 6, 6 
 
Ejemplos de relación mediante una tabla.
ESTADO CAPITAL x y  2x  3
Chihuahua Chihuahua –1 1
Sinaloa Culiacán 0 3
Coahuila Saltillo 1 5
Zacatecas Zacatecas 2 7
Nayarit Tepic 3 9
(Chihuahua, Chihuahua), (Sinaloa, Culiacán), (Coahuila, (-1, 1), (0, 3), (1, 5), (2, 7), (3, 9)
Saltillo), (Zacatecas, Zacatecas), (Nayarit, Tepic)
15
BLOQUE 1

16. Ejemplos de relación mediante una gráfica.
y y
 
d (Km)

 

 
  
  
x x
            
 

 
t (hrs)
 
   
Es muy importante que comprendas que no todas las relaciones se pueden representar mediante las formas antes
mencionadas, como por ejemplo, la relación que existe entre los jugadores y su posible posición, no se puede
representar mediante una ecuación; tampoco tendría sentido intentar formar un diagrama de árbol o un producto
cartesiano, por lo que sólo se puede representar en forma de enunciado o diagrama sagital.
Una tabla proporciona una relación directa, donde cada elemento del primer conjunto está asociado con un elemento
del segundo conjunto, de forma ordenada; al igual que la tabla, la representación gráfica proporciona una relación
directa entre los elementos de los conjuntos, sin embargo, tanto la tabla como la gráfica pueden carecer de
información suficiente como para describir su comportamiento mediante una expresión analítica, por ello, la
representación analítica es la más completa, de ella se puede derivar una tabla, un gráfica, una expresión verbal y un
diagrama sagital.
El diagrama de árbol y el producto cartesiano se utiliza, en su mayoría, para obtener espacios muestrales y eventos
probabilísticos, como los que abordaste en el último bloque de la asignatura de Matemáticas 2.
Actividad: 2
Cita dos ejemplos de cada una de las formas de representar la relación entre dos
conjuntos.
1. Enunciado.
16 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

17. Actividad: 2 (continuación)
2. Representación analítica.
3. Diagrama sagital.
4. Diagrama de árbol.
17
BLOQUE 1

18. Actividad: 2 (continuación)
5. Producto cartesiano.
6. Tabla.
7. Gráfica.
Evaluación
Actividad: 2 Producto: Diseño de ejemplos. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Reconoce las diferentes formas Ejemplifica las diferentes formas de Aprecia la utilidad de las
de representar la relación entre representar la relación entre diferentes formas de representar
conjuntos. conjuntos. una relación entre conjuntos.
C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
docente
18 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

19. Funciones.
Ahora se abordará el concepto de función, la cual es un tipo especial de relación, su definición es:
Una función es una relación en la cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le corresponde uno y sólo un
elemento del segundo conjunto (contradominio).
Actividad: 3
Anota en la línea la palabra RELACIÓN o la palabra FUNCIÓN según corresponda y
justifica tu respuesta.
Fam. Zárate Asignaturas
 y
 1
2
María
 Carlos
3
Francisco 5
x
Manuel 6
       Lupita 7
 Javier 8
9


______________________________________ ______________________________________
Justificación: Justificación:
Estados Capitales
x y  2x  3 Chihuahua Saltillo
Sinaloa Tepic
-1 1
Coahuila Zacatecas
0 3
Zacatecas Chihuahua
1 5
Nayarit Culiacán
2 7
3 9
______________________________________ ______________________________________
Justificación: Justificación:
19
BLOQUE 1

20. Actividad: 3 (continuación)
x 2  y 2  3x  4y  10  0 R  1  5, 5, 2, 4,  3, 1  4, 0,  5, 4, 6
, ,
______________________________________ ______________________________________
Justificación: Justificación:
Jugadores Posiciones
y

Guillermo Ochoa

Paul Aguilar Portero
Carlos Salcido

Ricardo Osorio
F. Javier Rodríguez Defensa

Efraín Juárez
x Rafael Márquez Medio campista
     
Gerardo Torrado
Giovani dos Santos Delantero

Carlos Vela
Guille Franco

______________________________________ ______________________________________
Justificación: Justificación:
Evaluación
Producto: Ejercicios de relacionar y
Actividad: 3 Puntaje:
respuesta breve.
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Enuncia las características de Argumenta la diferencia entre una Expone sus ideas con claridad.
una relación y de una función. función y una relación.
C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
docente
20 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

21. Dominio y rango.
En el estudio de las relaciones y las funciones, algunos conceptos deben quedar suficientemente claros para ser
utilizados correctamente. Entre ellos se encuentran el concepto de dominio y contradomonio o codominio,
mencionados anteriormente, los cuales se definen a continuación.
Dominio (Dom): Es el conjunto de elementos a los que se les aplica la relación.
Contradominio o codominio: Es el conjunto al que son enviadas, mediante la relación, los elementos del dominio.
Argumentos: Son los elementos del dominio, es decir, los valores que se toman para construir la relación.
Imágenes: Son los elementos del contradominio o codominio que están asociados con algún argumento.
Rango: Es el subconjunto del codominio o contradominio que contiene a todas las imágenes o valores de la relación.
En el siguiente ejemplo visualizarás estas definiciones.
Equipo de danza Grupos
Ana 101 M
Yolanda 102 M
Conchita 103 M
Karla 104 M
Laura 105 M
Sofía 106 M
RANGO
Equipo de danza Grupos (conjunto)
Argumentos Ana 101 M
(elementos) Yolanda 102 M
Imágenes
Conchita 103 M
(elementos)
Karla 104 M
Laura 105 M
Sofía 106 M
DOMINIO CONTRADOMINIO
(conjunto) (conjunto)
Los conjuntos se expresan de la siguiente forma:
Dom={Ana, Yolanda, Conchita, Karla, Laura, Sofía}
Contradominio={101 M, 102 M, 103 M, 104 M, 105 M, 106 M}
Rango={101 M, 102 M, 103 M, 104 M}
21
BLOQUE 1

22. Actividad: 4
Marca con  si los conjuntos corresponden a una función o relación; determina el
dominio, contradominio y rango de cada una de ellas.
Categorías
Docentes
Francisco Durán Función
Titular A
Javier Sandoval Titular B Relación
Marco Ramos Titular C Dom:
José Luis Gutierrez
CB I
Susana Herrera
Jesús Leyva CB II Contradominio:
José Armenta CB III
Antonio Ricardez CB IV
CB V Rango:
CB V
Figuras
geométricas Núm. de lados
Función
0 Relación
Dom:
1
2
3 Contradominio:
4
5
6 Rango:
7
Empleado Sueldo
Función
Antonio $5,000
Relación
Manuel $7,500
Dom:
Yolanda $8,000
Conchita $10,500
Jesús $12,000 Contradominio:
Karla $14,100
Rango:
Evaluación
Actividad: 4 Producto: Ejercicios de relacionar. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Identifica el dominio, Escoge los elementos del dominio, Aprecia a las relaciones y
contradominio y rango de contradominio y rango de funciones como parte de su vida
relaciones y funciones. relaciones y funciones. cotidiana.
C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
docente
22 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

23. Formas de representar una función.
Una función f que relaciona a un conjunto X con un conjunto Y se denota de la siguiente forma:
f:XY
Se lee: “función f de X a Y”.
f
X Y
1 A
2 B
3 C
4 D
5 F
5
Como se observa, a cada elemento del conjunto X le asocia un elemento del conjunto Y mediante la función “f”, por lo
tanto, se pueden relacionar de forma individual, de la siguiente forma.
f(1) = A
f(2) = B
f(3) = D
f(4) = C
f(5) = B
En general si se desea relacionar cualquier elemento del dominio con su correspondiente imagen, se denotaría de la
siguiente forma:
f(x)=y
Se lee: “f de x es igual a y".
Si se expresa la función como pares ordenados se obtiene:
f(x)={(1, A), (2, B), (3, D), (4, C), (5, B)}
También se puede representar la función en forma de tabla, como se observa a continuación.
x f(x)
1 A
2 B
3 D
4 C
5 B
La representación analítica no se puede expresar, debido a que no se tiene una regla de asociación que describa la
correspondencia entre los elementos.
Es necesario aclarar que una función no sólo se denota con la letra “f”, se puede utilizar cualquier letra del alfabeto en
mayúscula o minúscula, así como también con letras griegas. Cuando el problema es aplicado en alguna situación se
acostumbra a utilizar la letra de la función que se está aplicando, como por ejemplo: si el problema indica expresar al
volumen como función de “x”, la función se expresa como V(x).
23
BLOQUE 1

24. Cuando una función está expresada en forma de enunciado se puede escribir su representación analítica o viceversa,
como en los siguientes ejemplos:
1. Si el enunciado es: “El cubo de un número más cinco”, entonces su representación analítica es: f( x )  x 3  5 .
2. Si el enunciado es: “El triple del cuadrado de un número más el doble del mismo”, entonces su
representación analítica es: g( x )  3x 2  2x .
x
3. Si la representación analítica es: T( x )   7 , el enunciado correspondiente es: “la cuarta parte de un
4
número disminuido en 7 unidades”.
4. Si la representación analítica es: V( x )  x  1 , el enunciado correspondiente es: “la raíz cuadrada de la
diferencia de un número con uno”.
A continuación se mostrará algunos ejemplos aplicados, en los que se expresan las diferentes formas de denotar y
representar una función.
Ejemplo 1.
La edad de los hijos de Doña Lucía de Valdez.
E
A B
Gabriel 12
Sonia 13
14
Javier
15
Humberto 16
17
18
Los conjuntos A y B se relacionan mediante la función E, la edad; ésta es función dado que a los hijos de Doña Lucía
le corresponde sólo un número, debido a que ninguna persona puede tener dos edades.
La función se denota como:
E: A  B
De manera que si se aplica la función E al conjunto A, se obtiene el elemento correspondiente de B.
Una forma de relacionar a cada argumento con su imagen mediante la función es:
E(Gabriel) = 12
E(Sonia) = 14
E(Javier) = 14
E(Humberto) = 18
Lo más enriquecedor de descubrir la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos mediante una relación o
función es el análisis o conclusiones que se pueden desprender de ella, como es en este caso las siguientes
deducciones:
 Doña Lucía parió en tres ocasiones.
 Sonia y Javier provienen de un embarazo múltiple.
 La diferencia entre el mayor y sus hermanos es mínimo de 5 años.
24 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

25. Ejemplo 2.
El tanque de gasolina de un automóvil contiene 10 litros. Si su rendimiento es de 12 Km/L, la tabla muestra la cantidad
de gasolina contra la distancia, medida cada 24 km.
Litros Distancia
(l) (d)
2 24
4 48
6 72
8 96
10 120
En este caso cada columna representa un conjunto por lo que la función se representa de la siguiente forma.
F: L  D
Donde L representa al conjunto de los litros y D al conjunto de las distancias.
Debido a la descripción del problema y la información que se tiene de la tabla, se puede representar la forma analítica
de la función, de hecho, el comportamiento es lineal, a medida que se consumen 2 litros el automóvil avanza 24
kilómetros. Como recordarás, en Matemáticas 1 y 3 aprendiste a modelar y graficar funciones lineales, por lo tanto, la
función quedaría:
F(l)=12l
Utilizando la tabla se puede trazar la representación gráfica de la función.
d












l
             

De acuerdo a las características del problema, el dominio de la función no se puede describir de forma puntual, es
decir, citando los elementos uno a uno como se muestra en la tabla, ésta es una muestra de los posibles valores que
puede tomar; entonces el dominio se describe por intervalo, el cual va de cero a 10 litros, por lo tanto el rango abarca
el intervalo de 0 a 120 Kilómetros.
Posteriormente se proporcionará una notación más apropiada, matemáticamente hablando, de la forma de expresar
el dominio y el rango de una función en intervalos.
25
BLOQUE 1

26. Actividad: 5
Resuelve lo que se pide.
I. Considera la función g x   x 3  2x  3 para contestar los siguientes incisos:
a) Completa cada una de las imágenes de la función para los argumentos indicados, sigue el
ejemplo que se muestra a continuación.
g  2   2   2  2   3  1
3
g 1 
g 0 
g 1 
g 2 
b) Forma los pares ordenados con las imágenes obtenidas en el problema anterior.
g x   {(  2,  1 ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}
c) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.
II. Completa la siguiente tabla.
fx   x  3  2
2
x
1
2
3
4
5
a) Expresa el enunciado que describe a la función anterior.
b) Escribe los pares ordenados que se forman en la tabla.
c) Grafica los puntos que representan los pares ordenados.
26 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

27. Actividad: 5 (continuación)
III. Realiza la representación sagital de la regla de asociación “el doble de un número más 4
unidades”, usa los primeros cinco números naturales.
IV. Dados los pares ordenados Hx   {(  2,  10 ), (1,  5 ), ( 0,0 ), (1,5 ), ( 2,10 ), ( 3,15)}
a) Escribe un enunciado que corresponda a los pares ordenados.
b) Expresa la función que modele los pares ordenados.
c) Expresa el dominio y el rango de la función.
V. La renta de una habitación en el hotel Costa Marfil es de $450 como pago inicial más $300 por cada día
transcurrido.
a) Escribe la representación analítica de la renta de una habitación en función de los días transcurridos,
R(t).
b) Representa mediante una tabla, seis valores de la función anterior.
t Rt 
c) Determina el dominio y el rango de R(t).
Evaluación
Actividad: 5 Producto: Ejercicios. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Ubica las diferentes formas de Construye las diferentes Es creativo y propositivo al
representar una función, así representaciones de una función, realizar la actividad.
como el dominio y rango de la así como el dominio y rango de la
misma. misma.
C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
docente
27
BLOQUE 1

28. Actividad: 6
En equipo, elaboren una caja sin tapa con una hoja de papel tamaño carta. Para formar
la caja, se recortan cuadros de las esquinas como se muestra en la figura, el profesor
les asignará a cada equipo la longitud del lado del cuadrado (1 cm, 2 cm, 3cm, 4cm,
etc.) que deben de recortar para formarla.
x
x
1. Calcula el área de la caja y el volumen de la misma.
2. Los equipos mencionarán los resultados obtenidos y llenarán la siguiente tabla.
x Área Volumen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3. Graficar en un plano cartesiano el área contra la longitud del lado del cuadrado recortado.
28 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

29. Actividad: 6 (continuación)
4. Graficar en el plano cartesiano el volumen contra la longitud del lado del cuadrado
recortado.
5. Escribir la forma analítica del área y el volumen como una función que depende de la longitud del lado del
cuadrado recortado.
6. Escribe el dominio y el rango de cada una de las funciones antes obtenidas.
7. ¿Qué análisis y conclusiones puedes establecer de las representaciones antes obtenidas?
Evaluación
Actividad: 6 Producto: Práctica. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Identifica las diferentes formas Construye las diferentes formas de Presenta disposición al trabajo
de expresar una función. expresar una función. colaborativo con sus
compañeros.
C MC NC Calificación otorgada por el
Coevaluación
docente
29
BLOQUE 1

30. Cierre
Actividad: 7
Dadas las siguientes funciones, realiza la representación correspondiente.
1. fx   x 2 2. gx   3x 3. h x   2x  1 4. T x   x
a) Mediante un diagrama sagital.
f g
X Y X Y
h T
X Y X Y
b) Mediante una tabla de valores.
x fx   x 2 x gx   3x x h x   2x  1 x T x   x
c) Mediante pares ordenados.
f x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}
g x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}
h x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}
T x   {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )}
30 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

31. Actividad: 7 (continuación)
d) Mediante una gráfica.
 f (x)  g (x)
 
 
 
 
 
 x  x
                       
 
 
 
 
 
 
 
 h (x)  T (x)
 
 
 
 
 
 x  x
                       
 
 
 
 
 
 
 
e) Mediante un enunciado.
1. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
3. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
4. _______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
______
Evaluación
Actividad: 7 Producto: Representaciones. Puntaje:
Saberes
Conceptual Procedimental Actitudinal
Reconoce las diferentes formas Representa de diferentes formas Aporta puntos de vista
de representar a una función. una función. personales con apertura y
considera los de otras personas.
C MC NC Calificación otorgada por el
Autoevaluación
docente
31
BLOQUE 1

32. Secuencia didáctica 2.
Clasificación de funciones.
Inicio 
Actividad: 1
Contesta lo que se pide en cada sección.
I. Observa las siguientes gráficas y escribe en la línea la palabra Función o Relación según
sea el caso; justifica tu respuesta.
f (x)

 _________________________________________________________



Justificación:______________________________________________

__________________________________________________________


__________________________________________________________
x
__________________________________________________________
           
 __________________________________________________________




f (x)


 _________________________________________________________


 Justificación:______________________________________________
 __________________________________________________________

__________________________________________________________

x __________________________________________________________
    

       __________________________________________________________




f (x)


_________________________________________________________




Justificación:______________________________________________
 __________________________________________________________
 __________________________________________________________

x __________________________________________________________
            __________________________________________________________






32 RECONOCE Y REALIZA OPERACIONES CON DISTINTOS TIPOS DE FUNCIONES

33. Actividad: 1 (continuación)
II. Analiza la forma que tienen las siguientes gráficas y de la clasificación que se da
posteriormente, escribe en la línea las que pienses que cumplen cada una de ellas.
Clasificación: Creciente, Decreciente, Constante, Continua, Discontinua.
f (x)  f (x)









x 
            
 
 
 
x

           
 
 
 

________________________________________ 
_________________________________________
 
________________________________________ _________________________________________
 f (x)
f (x)



 



 
 



 


x  x
                            
 

 
 


________________________________________ _________________________________________

 
________________________________________

_________________________________________

 f (x) f (x)











 x
            


x 
            









________________________________________ _________________________________________


________________________________________ _________________________________________
33
BLOQUE 1