Este documento estudia la estabilidad de un punto de equilibrio no hiperbólico en el origen de un sistema de control no lineal de primer orden. El sistema posee tres superficies de bifurcación en el espacio de parámetros (α, δ, γ). El punto de equilibrio (0,0,0) es no hiperbólico cuando γ = 1 o cuando γ toma valores específicos dependientes de α y δ. Se realiza un cambio de coordenadas para transformar el sistema a su forma canónica de Jordan y analizar la estabilidad mediante la teoría

1. De los Rios J., David S., Mosquera S. 2009. Estabilidad en un Sistema de Control.
Revista Sigma, 9 (2). P´g. 25-32
a
http://coes.udenar.edu.co/revistasigma/articulos/articulosIX2/4.pdf
REVISTA SIGMA
´
Departamento de Matematicas
Universidad de Nari˜o
n Volumen IX No 2 (2009), p´ ginas 25-32
a
Estabilidad en un Sistema de Control
Jairo De los Rios
Sandra David
1
Saulo Mosquera L´pez
o
Abstract. In 1985, P.J. Holmes stated the non linear system
x + δ x + g(x) = −z
¨ ˙
z + αz = αγx
˙
with the purpose of analysing certain kind of control system of feedback. Taking g(x) =
x(x2 − 1) and x = y a non linear systems is obtained which present a non hyperbolic point
˙
in its origin whose stability id being studied.
Keywords. Bifurcation, Non Hyperbolic point, stability.
Resumen. P.J. Holmes en 1985 plante´ el sistema no lineal
o
x + δ x + g(x) = −z
¨ ˙
z + αz = αγx
˙
con el prop´sito de analizar cierta clase de sistemas de control retro-alimentados. Tomando
o
g(x) = x(x2 − 1) y x = y se obtiene un sistema no lineal de primer orden el cual presenta
˙
un punto de equilibrio no hiperb´lico en el origen, para el que se estudia su estabilidad.
o
Palabras Clave. Bifurcaci´n, Punto de Equilibrio no Hiperb´lico, Estabilidad.
o o
Introducci´n
o
En 1985 P.J. Holmes propuso el sistema
x + δ x + g(x) = −z
¨ ˙
z + αz = αγx
˙
para estudiar cierta clase de sistemas de control retroalimentados en los cuales x representa
el desplazamiento del sistema oscilatorio con rigidez no lineal g(x), coeficiente de amor-
tiguamiento δ y retroalimentaci´n negativa z. El sistema posee una din´mica de primer
o a
1 Departamento de Matem´ticas y Estad´
a ıstica. Universidad de Nari˜o
n
25

2. 1
orden con constante de tiempo , ganancia γ y corresponde al modelo m´s simple para un
a
α
sistema el´stico no lineal cuya posici´n es controlada por un servomecanismo con inercia
a o
despreciable. En esta ocasi´n se desea tratar el problema propuesto por S. Wiggins en el
o
cual g(x) = x(x2 − 1), en particular se analizar´ la estabilidad del punto de equilibrio no
a
hiperb´lico en el origen que ocurre en el plano (δ, γ) al fijar α > 0, con δ y γ positivos.
o
1. Preliminares
Dado un campo vectorial que depende de un par´metro
a
x = f (x, λ), x ∈ Rn , λ ∈ Rk
˙ (1)
donde f es C r en alg´ n abierto de Rn × Rk y (x0 , λ0 ) es un punto fijo de f , dos preguntas
u
b´sicas son las siguientes:
a
1. El punto fijo (x0 , λ0 ) es estable o inestable?
2. C´mo cambia la estabilidad, la inestabilidad del punto fijo al pasar λ a trav´s de λ0 ?
o e
Al linealizar (1) alrededor del punto fijo se tiene el sistema
y = Jx (x0 , λ0 )y, y ∈ Rn ,
˙ (2)
y bajo ciertas condiciones la respuesta a los dos interrogantes est´ determinada por el sistema
a
lineal (2).
Si (x0 , λ0 ) es un punto fijo hiperb´lico (valores propios con parte real no nula) entonces
o
para los sistemas (1) y (2) el punto de equilibrio (x0 , λ0 ) tiene el mismo tipo de
estabilidad y puesto que puntos fijos hiperb´licos son estruturalmente estables entonces
o
al variar λ ligeramente la naturaleza de la estabilidad del punto fijo se conserva.
Si (x0 , λ0 ) es no hiperb´lico la linealizaci´n alrededor del punto fijo no proporciona
o o
informaci´n sobre la estabilidad del punto fijo y debe usarse la teor´ sobre la variedad
o ıa
central. Este ser´ nuestro referente te´rico b´sico.
a o a
2. Puntos de equilibrio y superficies de bifurcaci´n para el sistema
o
de control
El cambio de variable y = x produce el sistema no lineal
˙
x=y
˙
y = x − x3 − δy − z
˙ (3)
z = αγx − αz
˙
el cual tiene como puntos fijos
P0 : (x, y, z) = (0, 0, 0)
P+ : (x, y, z) = ( 1 − γ, 0, γ 1 − γ) (4)
P− : (x, y, z) = (− 1 − γ, 0, −γ 1 − γ)
y estos dos ultimos existen para γ < 1.
´
26

3. Puesto que la matriz jacobiana del sistema es
 
0 1 0
J(x, y, z) = 1 − 3x2 −δ −1 
αγ 0 −α
entonces en los puntos de equilibrio se tiene que
   
0 1 0 0 1 0
J(P0 ) =  1 −δ −1  y J(P± ) = 3γ − 2 −δ −1 
αγ 0 −α αγ 0 −α
cuyos polinomios caracter´
ısticos son respectivamente
p0 (λ) = λ3 + (α + δ)λ2 + (αδ − 1)λ + (γ − 1)α
y
p± (λ) = λ3 + (α + δ)λ2 + (αδ + 2 − 3γ)λ + 2α(1 − γ)
2α(1 − γ)
= λ(λ2 + (αδ + 2 − 3γ)) + (α + δ)(λ2 + )
α+δ
los cuales determinan los valores propios de J(P0 ) y J(P± ).
En el espacio (α, δ, γ) se tiene:
1. si γ = 1 entonces
p0 (λ) = λ(λ2 + (α + δ)λ + (αδ − 1))
y por lo tanto los valores propios son:
λ1 = 0
y
−(α + δ) ± (α − δ)2 + 4
λ2,3 =
2
con λ2 > 0 y λ3 < 0 y P0 es un punto fijo no hiperb´lico.
o
2. Si γ > 1 entonces
p0 (λ) = λ3 + (α + δ)λ2 + (αδ − 1)λ + (γ − 1)α
(γ − 1)α
= λ(λ2 + (αδ − 1)) + (α + δ) λ2 +
(α + δ)
δ
y cuando γ = α2 + αδ − 1 algunos c´lculos algebraicos muestran que
a
α
(γ − 1)α
= (αδ − 1) > 0
α+δ
as´
ı
p0 (λ) = (λ + (α + δ))(λ2 + (αδ − 1))
y p0 (λ) tiene una ra´ real negativa y dos imaginarias puras y por tanto P0 es un punto
ız
fijo no hiperb´lico.
o
27

4. 3. Si γ < 1 entonces existen P± y
2α(1 − γ)
p± (λ) = λ λ2 + (αδ + 2 − 3γ) + (α + δ) λ2 +
α+δ
nuevamente c´lculos algebraicos muestran que:
a
2α(1 − γ) 2α(1 − αδ)
αδ + 2 − 3γ = = >0
α+δ α + 3δ
cuando
δ α2 + αδ + 2
γ=
(α + 3δ)
as´
ı
2α(1 − αδ)
p± (λ) = (λ + (α + δ)) λ2 +
α + 3δ
y p± (λ) posee un valor propio real negativo y dos imaginarios puros, por lo que P±
son puntos fijos no hiperb´licos.
o
Por tanto en el espacio (α, δ, γ) el sistema de control (3) tiene como superficies de
δ δ(α2 + αδ + 2)
bifurcaci´n a γ = 1, γ = (α2 + αδ − 1), γ > 1 y γ =
o , 0 < γ < 1.
α (α + 3δ)
1
Obs´rvese que estas superficies se cortan sobre la curva γ = 1, δ = en cuyo caso
e
α
1 + α2
p0 (λ) = p± (λ) = λ2 λ +
α
y por lo tanto p0 (λ) posee como valor propio doble a λ = 0 y el tercer valor propio es
1 + α2
negativo con λ = −
α
3. Estabilidad del punto de equilibrio no hiperb´lico (0, 0, 0)
o
En este caso la matriz jacobiana en P0 = (0, 0, 0)
0 1 0
 
1
J0 (P0 ) =  0 − −1 
 
α
α 0 −α
tiene como valor propio doble λ = 0 y como tercer valor propio
1 + α2
λ=− , as´ la teor´ lineal y el teorema de Hartman-Grobman no pueden aplicarse. Los
ı ıa
α
vectores propios correspondientes a los espacios propios generalizados son respectivamente
α2 + 1
f1 = (1, α, 0), f2 = (α, 0, α) y f3 = (1, − , −α2 ) y por tanto el cambio de coordenadas
α
  1 α 1
 
x 2 u
y  = α 0 − α + 1   v 
 
z α w
0 α −α2
permite transformar el sistema no lineal
28

5.   0 1 0
   
˙
x x 0
1     3
˙
y  =  1 − −1  y + −x
α

˙
z α 0 −α z 0
en el sistema
 
α(u + αv + w)3
  0 0    −
˙
u 0 u  2 1 + α2 
 α (u + αv + w)3 

 v  = 1 0
˙ 0
 v +
   
α2 + 1 (1 + α2 )2
 
w˙ 0 0 − w  α(u + αv + w)3 
 
α
(1 + α2 )2
0 0 0
 
donde J = 1 0 0
 es la forma can´nica real de Jordan de J0 (P0 ). As´ el nuevo
o ı
 
α2 + 1
0 0 −
α
sistema no lineal es
−α
u=−
˙ (u + αv + w)3
(1 + α2 )
α2
v =u+
˙ (u + αv + w)3
(1 + α2 )2
α2 + 1 α
w=−
˙ w+ (u + αv + w)3
α (1 + α2 )2
y por el teorema 1 ([1], Cap´
ıtulo 2, secci´n 2,3) este sistema posee una variedad central
o
W c (0):
∂h ∂h
W c (0) = {(u, v, w) : h(u, v) = w, h(0, 0) = 0, (0, 0) = 0, (0, 0) = 0}
∂u ∂v
que localmente se puede representar como la gr´fica de una funci´n a o
h : U ⊂ R2 −→ R, h(u, v) = w definida en una vecindad U de (0, 0). Por el mismo teorema,
el flujo del sistema de control restringido a W c (0) est´ determinado por
a
−α
u=−
˙ (u + αv + h(u, v))3
(1 + α2 )
. (5)
α2 3
v =u+
˙ (u + αv + h(u, v))
(1 + α2 )2
sistema para el cual se debe calcular la funci´n h.
o
Usando la expresi´n (2,1,10) de [3], secci´n 2,1A, esta funci´n debe satisfacer la ecuaci´n
o o o o
diferencial parcial:
α ∂h ∂h α ∂h
− 2)
(u + αv + h(u, v))3 +u − 2 )2
(u + αv + h(u, v))3
(1 + α ∂u ∂v (1 + α ∂v
α2 + 1 α
+ h(u, v) − (u + αv + h(u, v))3 = 0
α (1 + α2 )2
y las condiciones
∂h ∂h
h(0, 0) = 0, (0, 0) = 0, (0, 0) = 0
∂u ∂v
29

6. y puesto que por el teorema 3 ([1], Cap´
ıtulo 2, secci´n 2,5) la variedad central puede ser
o
aproximada arbitrariamente por polinomios, entonces podemos tomar
h(u, v) = a1 u2 + a2 uv + a3 v 2 + a4 u3 + a5 u2 v + a6 uv 2 + a7 v 3 + · · ·
sustituyendo esta expresi´n en la ecuaci´n anterior y efectuando los c´lculos necesarios se
o o a
encuentra que:
α2 (3α4 + 2α2 − 4α6 + 1) 3 α3 (5α4 + 1) 2 α4 (1 − 2α2 ) 2
h(u, v) = u + u v+ uv + · · ·
(α2 + 1)6 (α2 + 1)5 (1 + α2 )4
Por ultimo sustituyendo h(u, v) en (5) se obtiene que el flujo reducido a la variedad central
´
est´ determinado por:
a
α α2 (3α4 + 2α2 − 4α6 + 1) 3 α3 (5α4 + 1) 2
u=−
˙ u + αv + u + u v
(1 + α2 ) (α2 + 1)6 (α2 + 1)5
3
α4 (1 − 2α2 ) 2
+ uv + · · ·
(1 + α2 )4
α2 α2 (3α4 + 2α2 − 4α6 + 1) 3 α3 (5α4 + 1) 2
v =u+
˙ u + αv + u + u v
(1 + α2 )2 (α2 + 1)6 (α2 + 1)5
3
α4 (1 − 2α2 ) 2
+ uv + · · ·
(1 + α2 )4
en el cual despreciando las potencias superiores a tres, se obtiene
α
u=−
˙ (u + αv)3 + · · ·
(1 + α2 )
α2
v =u+
˙ (u + αv)3 + · · ·
(1 + α2 )2
sistema para el cual el origen es asint´ticamente estable y por tanto por el teorema 2 ([1],
o
Cap´ ıtulo 2, secci´n 2,4) tambi´n lo es para el sistema de control.
o e
30

7. 4. Simulaciones Num´ricas del Sistema de Holmes
e
Figura 1: El flujo sobre la Variedad Central α = 0,5
Figura 2: El flujo del Sistema Tres Dimensional α = 0,5
31

8. Referencias
[1] Carr,J. Applications of centre manifold theory, Springer−Verlag, New York, 1981.
[2] David, S. y De los Rios, J. Estabilidad en un Oscilador no Lineal con un control de ciclo cerrado,
Universidad de Nari˜o, Tesis de Pregrado. Pasto, Nari˜o, Colombia. 2008.
n n
[3] Holmes, P.J.Dynamics of a Nonlinear oscillator with Feedback Control: Local Analysis., De-
partment of Theorical and Applied Mechanics and Center for Applied Mathematics, Cornell
University, Vol 107, june 1985, Ithaca, N.Y.
[4] Wiggins, S. Introducction to applied non linear dynamical systems and chaos, Springer−Verlag,
New York, 1990.
Departamento de Matematicas y Estad´
´ ıstica
˜
Universidad de Narino
32