breve descripcion de los Procesos de Nacimiento y muerte en la Teoria de colas y lineas de espera

1. Teoría de colas
Proceso de nacimiento y de muerte
LEIDY VANESSA FALLA
CARLOS EDUARDO MARTINEZ PADILLA

2. Teoría de colas
Concepto
• El estudio de la espera en las distintas modalidades.
El número de clientes
que llegan hasta un
momento es una
Distribución de Poisson
La distribución de
probabilidad del
tiempo que
transcurre entre
dos llegadas
consecutivas es
exponencial

3. Nomenclatura básica de la teoría de colas
• Estado del sistema = numero de clientes en el sistema.
• Longitud de la cola = numero de clientes que esperan servicio.
• N(t) = numero de clientes en el sistema de colas en el tiempo t ( ).
• Pn(t) = probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el
tiempo t, dado el numero en el tiempo 0.
• s = numero de servidores (canales de servicio en paralelo) en el sistema de colas.
• = tasa media de llegadas (numero esperado de llegadas por unidad de
tiempo) de nuevos clientes cuando hay n clientes en el sistema.
• tasa media de servicio en todo el sistema (numero esperado de clientes que
completan su servicio por unidad de tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.
• Nota: representa la tasa combinada a la que todos los servidores ocupados
(aquellos que están sirviendo a un cliente) logran terminar sus servicios.
nλ
nµ
nµ
0t ≥

4. Medidas de desempeño de la línea de
espera
• Pn = Probabilidad de que haya exactamente n clientes en el sistema
• L = Numero esperado de clientes en el sistema
• Lq = Tamaño esperado de la cola
• W = Tiempo de espera en el sistema
• Wq= Tiempo de espera en la cola

5. Proceso de nacimiento
• Llegada de clientes al sistema
• N(t): Estado en el sistema en el tiempo t
• Supuesto 1.
Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo
nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n.
(n = 0, 1, 2, . . .).

6. Procesos de Muerte
• Salida de clientes del sistema
• Cambio probabilístico en N al aumentar t
• Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que
falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es
exponencial con parámetro n (n =1, 2, . . .).

7. Diagrama de tasas del proceso de nacimiento y
muerte.

8. Modelo de nacimiento puro
• En el modelo de nacimiento puro los clientes llegan y nunca parten. Los
procesos de llegada ocurren de manera aleatoria.
P0(t) = Probabilidad de que no hayan llegadas en un espacio de tiempo t.
Suponga que los nacimientos en un país están separados en
el tiempo, de acuerdo con una distribución exponencial,
presentándose un nacimiento cada 7 minutos.
a) Calcule la cantidad de nacimientos que se registraran
en un año.
b) Calcule la probabilidad de emitir 50 actas de nacimiento
en 3 horas cuando ya se emitieron 40 en las dos
anteriores del periodo.
Ejemplo

9. Solución
•

10. Modelo de muerte pura
• En el modelo de muerte pura, el
sistema se inicia con N clientes en
el instante 0, sin llegadas nuevas
permitidas. Las salidas ocurren a
razón de m clientes por unidad
de tiempo.
• Los clientes se retiran de un
abasto inicial, ocurren de
manera aleatoria.
EJEMPLO:
Una florería inicia cada semana con 18 docenas de rosas. En
promedio, la florería vende 3 docenas al día (una docena a
la vez), pero la demanda real sigue una distribución de
Poisson. Siempre que el nivel de las existencias se reduce a 5
docenas, se coloca un nuevo pedido de 18 nuevas docenas
para entrega al principio de la siguiente semana. Debido a la
naturaleza de la mercancía, las rosas sobrantes al final de la
semana se desechan.
Determine lo siguiente:
(a) La probabilidad de colocar un pedido cualquier día de la
semana.

11. Distribucion de Poison truncada

12. Procesos de
nacimiento y de
Muerte
PROBABILIDADES DE ESTADO
ESTABLE

13. Análisis de Procesos de nacimiento y
de Muerte
• Cuando el sistema ha alcanzado la condición de estado estable (en
caso de que pueda alcanzarla):
• En el tiempo 0 :
En (t) = numero de veces que el proceso entra al estado n hasta el tiempo
t.
Ln (t) = numero de veces que el proceso sale del estado n hasta el tiempo
t.
En (t) y Ln (t) entre t =
Tasa real
t → ∞ = tasa media

14. Ecuacion de balance de la cola (estado estable)
• Entonces :
• Lo que conduce a tasa de entrada = tasa de salida Principio Clave

15. Resultados de Procesos de nacimiento y de Muerte

16. • Cuando un modelo de líneas de espera se basa en el proceso de nacimiento y
muerte, de manera que el estado del sistema n representa el numero de clientes
en el sistema de colas, las medidas clave de desempeño del sistema (L, Lq, W y
Wq) se pueden obtener de inmediato después de calcular las Pn mediante las
formulas anteriores. Las definiciones de L y Lq que se dieron en la sección 17.2
especifican que:
Resultados de Procesos de nacimiento y de Muerte

17. GRACIAS