1. SliderShare.
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Análisis Numérico.
Es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través
de números y reglas matemáticas simples, simular procesos matemáticos más
complejos aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.
Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos,
pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas
simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje
necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos
susceptibles de expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que
permitan su simulación o cálculo en procesos más sencillos empleando números.
Métodos Numéricos.
Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular
problemas de tal forma que sean resueltas con operaciones aritméticas, Aunque
hay muchos tipos de métodos numéricos todos comparten una característica
común, llevan cabo un buen número de tediosos cálculos aritméticos.
Los métodos numéricos nos vuelven aptos para entender esquemas numéricos a
fin de resolver problemas matemáticos, de ingeniería y científicos en una
computadora, reducir esquemas numéricos básicos, escribir programas y
resolverlos en una computadora y usar correctamente el software existente para
dichos métodos y no solo aumenta nuestra habilidad para el uso de computadoras
sino que también amplia la pericia matemática y la comprensi6n de los principios
científicos básicos.
Números de Máquina Decimales
"Es un sistema numérico que consta de dos dígitos: Ceros (0) y unos (1) de base 2".
El término "representación máquina" o "representación binaria" significa que es de
base 2, la más pequeña posible; este tipo de representación requiere de menos
dígitos, pero en lugar de un número decimal exige de más lugares.

2. Cálculo de errores. Error absoluto y relativo.
Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la
medida, y a continuación, las unidades empleadas.
Por ejemplo, al medir un cierto volumen hemos obtenido 297±2 ml.
Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente,
en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).
Así, es incorrecto expresar 24567±2928 ml.
La última cifra significativa en el valor de una magnitud física y en su error,
expresados en las mismas unidades, deben de corresponder al mismo orden de
magnitud (centenas, decenas, unidades, décimas, centésimas).
Así, es incorrecto expresar 43±0.06 ml
Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una
fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos
tipos de errores que se utilizan en los cálculos:
• Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado
como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior
al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las
mismas que las de la medida.
• Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor
exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error.
Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el
error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene
unidades.
Cota de Errores Absolutos y Relativos.
Cotas de error:
1. Cota de error absoluto <½ unidad del orden de la última cifra significativa
2. Una cota para el error relativo es:
Cota de error relativo = cota del error absoluto/valor real
Fuentes Básicas de Errores.
Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de
truncamiento y error de redondeo. El Error de Redondeo se asocia con el número
limitado de dígitos con que se representan los números en una PC (para
comprender la naturaleza de estos errores es necesario conocer las formas en que
se almacenan los números y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de
una PC). El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la

3. fórmula matemática del modelo, también podemos decir que un error de
truncamiento es al aproximar un proceso infinito por uno finito.
Redondeo y Truncamiento.
Los errores numéricos se generan al realizar aproximaciones de los resultados de
los cálculos matemáticos y se pueden dividir en dos clases fundamentalmente:
errores de truncamiento, que resultan de representar aproximadamente un
procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo, que resultan de
representar aproximadamente números exactos.
• El error de redondeo se debe a la naturaleza discreta del sistema numérico
de máquina de punto flotante, el cual a su vez se debe a su longitud de
palabra finita.
• El error de truncamiento es cualquier número real positivo y puede ser
normalizado a:
y= 0,d1 d2 d3 ..., dk, dk+1, dk+2, . . . x 10 n.
Errores de Suma y Resta.
En esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números en la
computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional al épsilon de la
máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el proceso
Condicionamiento.
Las palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para
indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños cambios
relativos en los datos de entrada.
Estabilidad e Inestabilidad.
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios
en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable
si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente por el
método numérico. Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores
que se producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y
degradan seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.