dfdfgfd

1. Ejercicios Resueltos
1. Dados los siguientes vectores: kjia ˆˆˆ ++−= 32

; kjib ˆˆˆ 334 +−=

y
kjc ˆˆ 4+−=

.
Determinar:
a) ba

−
b) cba

23 +−
c) cba

32 •− )(
d) bcb

234 ×−− )(
e) El ángulo que forma el vector a

con cada uno de los ejes
coordenados.
f) Un vector unitario en la dirección y sentido de ac

+
g) El ángulo entre los vectores: b

3 y c

2−
h) Un vector perpendicular al plano que forman c

y ba

+
Solución:
a) [ ] kjikjiba ˆˆˆˆ)(ˆ)(ˆ)( 266313342 −+−=−+−−+−−=−

7876266 222
,)()( ==−++−=−ba

b)
ikjkjikjicba (ˆ)()ˆˆ(ˆˆˆ()ˆˆˆ( 2931224233433223 −++−−=+−++−−++−=+−

jicba ˆˆ 101423 +−=+−

c)
()ˆˆˆ()ˆˆ()ˆˆˆˆˆˆ()( kjikjkjikjicba 59101236683232 •−+−=+−•−+−++−=•−

8712539010 −=−+−+−= ))(())(())((
d) )( cb

34 − =
jicbjikjkji ˆˆ)(ˆˆ)ˆˆ()ˆˆˆ( 91634916433344 +−=−−⇒−=+−−+−

kjib ˆˆˆ 6682 +−=

kji
kji
bcb ˆˆˆ
ˆˆˆ
)( 249654
668
0916234 ++=
−
−=×−−

e) Ángulos que forma a

con los ejes coordenados
Con el eje X : º,cos 3122
14
2
=⇒
−
== αα
a
ax
Con el eje Y : º,cos 736
14
3
=⇒== ββ
a
ay
Con el eje Z : º,cos 574
14
1
=⇒== γγ
a
az

2. f) Un vector unitario en la dirección y sentido de ac

+
kji
kji
ac
ac
u ˆ,ˆ,ˆ,
ˆˆˆ
ˆ 870350350
33
522
++−=
++−
=
+
+
= 

g) Angulo entre los vectores cyb

23 −
º,coscos.)( 612868306902323 =⇒=−⇒−=−• ϕϕϕcbcb

h) Un vector perpendicular al plano que forman bayc

+
kji
kji
bac 284
402
410 ++−=−=+× ˆˆ
ˆˆˆ
)(

2. Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª
respecto al semieje positivo de las x.
Solución:
Ligamos el vector a, a un sistema de coordenadas cartesianas y lo proyectamos
en cada uno de los semieje
a
ax
=0
30cos de donde 00
30530 coscos == aax
334.=⇒ xa
a
a
sen
y
=0
30 de donde 5230530 ,. =⇒°=°= yy asenasena
3. Sumar los vectores a y b de la siguiente figura
Solución:
Se aplica el teorema de Pitágoras
2552543 22
=⇒==+= SS

3. 4. Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes
fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este.
Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la
dirección a donde se mueve.
Solución:
Graficar todas las fuerzas con sus respectivas componentes en el sistema de
coordenadas rectangulares y calcular las componentes rectangulares
NsenFF
NFF
NsenFF
NFF
NsenFF
y
x
y
x
y
9470745
9470745
8801060
5501060
51590
0
33
0
33
0
22
0
22
0
11
.).(.
.).(cos.
).(.
).(cos.
))((.
===
===
−=−=−=
===
−=−=−=
Ahora se calculan las Fx y Fy , entonces
( ) NFNNNNNNFFFF
NFNNNNFFFF
yyyyy
xxxxx
181894139485
99999450
321
321
;,,,
.,,
−=⇒−=+−=+−+−=++=
=⇒=++=++=
Luego se calcula la fuerza resultante, aplicando teorema de Pitágoras
( ) ( ) NNNNNNFFF yxR 71262163616501981899 2222222
,,,,,, ==+=−+=+=
Calcular la dirección
'''
.
,
,
tan 86211739
99
18 011
=⇒




 −
=⇒





= −−
ααα tg
F
F
g
x
y
Grafica de la solución

4. 5. Dos fuerzas de 16 y 25 Kg-peso forman un ángulo de 60º. Determine la
magnitud de la fuerza resultante.
Solución
Para graficar las fuerzas se aplica el método del paralelogramo
Como se obtiene un triángulo oblicuo, para hallar la fuerza resultante se trabaja
con la ley del coseno
( ) ( ) ( )( ) °−+=⇒−+= 1201625216252
22
21
2
2
2
1 CosFCosFFFFF RR .... φ
( ) pesoKgFpesoKgF RR −=⇒−==−−+= 835835128150800256625 ,,,.
6. Dos puestos de observación a y b están separados 16 Km en la costa, vigilan
barcos que entran ilegalmente, en un límite de 4,8 Km. El puesto a reporta un
barco en el puesto c en un ángulo bac de 37º y el puesto b reporta el mismo
barco en un ángulo abc de 20º. Se pide: ¿A qué distancia esta el barco del
puesto a?
Solución:
Primeramente vamos a realizar la grafica de los tres puertos
Para determinar la distancia entre el barco y el puesto
A aplicamos la ley de seno, entonces

5. Km
Sen
Sen
ac
SenSen
ac
Sen
ab
Sen
ac
56
123
2016
123
16
2012320
,
º
º.
ººº
==⇒
=⇒=
°
Ejercicios Propuestos
1. Descomponer una fuerza de 15 Kg-peso de dos componentes que forman
ángulo recto. La línea de acción de una componente forma un ángulo de 45º
con la línea de acción de la fuerza de 15 Kg-peso. Realizar el gráfico y obtener
la magnitud de las componentes. Sol: F1=F2 = 10,57 Kg-peso.
2. Un automóvil se dirige al Oeste a una distancia de 60 Km después al Norte 50
Km, y después en una dirección de 20º al Este del Norte 30 Km. Obtener el
diagrama y determinar el recorrido total. Sol: 68 Km
3. Dada dos fuerzas, de 9 y 16 Newton, verificar que estas fuerzas se puedan
combinar para dar en magnitud fuerzas de 25 New, 7New y 18,36New.
4. Un barco navega 20 Km al Este y luego 12 Km al SE. ¿A qué distancia se halla
del punto de partida? Y ¿Cuál es la dirección con respecto a dicho origen? Sol:
25Km y 31º.
5. En una habitación de 3 x 6 x 9 metros (ancho, largo y alto) respectivamente, un
insecto vuela de un rincón al diametralmente opuesto. ¿Cuál es el camino
recorrido? Sol: 11,22 m
6. Un barco se desplaza sobre una superficie de aguas tranquilas a razón de 10
Km/h y entra en dirección Norte, 30º al Sur en una corriente, cuya dirección es
Este y que se mueve con una velocidad de 12 Km/h. ¿Cuál será la velocidad
resultante de dicho barco? Sol: 6,08 Km/h.
7. Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10
unidades se encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto
escalar y el producto vectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades.
8. Dos fuerzas F1 y F2 actúan sobre un cuerpo, de tal modo que la fuerza
resultante R tiene un valor igual a F1 = 20 New y es perpendicular a ella.
Encontrar el valor y dirección (con respecto a F1 ) de la segunda fuerza F2. Sol:
28,2 New y 135º.
9. Dos hombres y un niño desean empujar un bloque
en la dirección marcada con x en la figura. Los

6. hombres empujan con fuerzas F1 y F2, cuyos valores y sentidos están
indicados en la figura. Encontrar la magnitud y la dirección de la fuerza máxima
que debe ejercer el niño. Sol: 128 New y 21º.
10.Hallar el vector resultante de dos vectores fuerza de 4 Kp y 3 Kp aplicados en
un punto O y formando un ángulo de a) 90º b) 60º. Aplicar el método del
paralelogramo y el método del polígono vectorial. Sol: a) 5 Kp b) 6,1 Kp.
11.Hallar gráficamente las siguientes operaciones con los vectores A, B y
C. a) A + B, b) A - B, c) A + B + C, d) A + B – C e) A + C f) C+B g) C – B
12.El módulo del vector resultante de otros dos, correspondientes a sendas
fuerzas perpendiculares, es de 100 Kp, y que uno de ellos forma un
ángulo de 30º con dicha resultante. Hallar esta fuerza. Sol: 86,6 Kp.
13.Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto
0, como lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante.
14.Sabiendo que el vector fuerza resultante de otras dos forman que forman un
ángulo recto es de 10 Kp, y que uno de ellos es de 6 Kp. Hallar la otra fuerza.
Sol: 8 Kp
15.La velocidad de un bote en agua en reposo es de 8 Km/h. Sabiendo que la
velocidad de la corriente del río es de 4 Km/h. Hallar el ángulo que debe
formar, con la orilla, la ruta del bote para que alcance un punto de la otra orilla
enfrente al de partida. Sol: 60º
16.Un barco navega hacia el norte con una velocidad de 12 nudos. Sabiendo que
la velocidad de la marea es de 5 nudos y dirigida hacia el oeste. Calcular el
módulo, dirección y sentido del vector velocidad resultante del barco. Sol: 13
nudos, 23º
17.Descomponer un vector fuerza de 1000 Kp que forma un ángulo de 53º con la
horizontal en sus componentes vertical y horizontal. Sol: Fx = 602 Kp y Fy = 799
Kp

7. 18.Encontrar la resultante del siguiente conjunto de fuerzas por el método de
descomposición rectangular: 80 Kp verticalmente, hacia abajo; 100 Kp y 53º
por encima de la horizontal, hacia el NE; 60 Kp horizontalmente, hacia la
izquierda. Comprobar por el método del polígono. Sol: 0
19.Utilizar el método por descomposición rectangular para encontrar la resultante
del siguiente conjunto de fuerzas, y el ángulo que forma con la horizontal: 200
Kp, a lo largo del eje x, hacia el E; 300 Kp y 60º hacia el NE; 100 Kp y 45º
hacia el NO; 200 Kp hacia el sur. Sol: 30 Kp y 25º.
20.Un vector A de longitud 10 unidades forma un ángulo de 30º con un vector B
de longitud de 6 unidades. Encontrar la magnitud del vector diferencia A – B y
el ángulo que forma con el vector A. Sol: A –B = 5,65 unidades y 32º entre el
vector A y A – B.
a. Por el método del paralelogramo
b. Por el método del triángulo
c. Por el método de la descomposición rectangular
21.Hallar la resultante de los cinco vectores coplanarios F1 = 19 kp hacia el E; F2 =
15 KP y 60º hacia el NE; F3 = 16 Kp y 45º hacia el NO; F4 = 11 Kp y 30º hacia
el SO y F5 = 12 Kp hacia el Sur.
22.Hallar la resultante de los ocho vectores coplanarios F1 = 150 kp y 50º hacia el
NE; F2 = 180 KP hacia el E; F3 = 130 Kp y 45º hacia el NO; F4 = 125 Kp y 25º
hacia el SO. F5 = 110 Kp hacia el S, F6 = 115 Kp hacia el N, F7 = 90 Kp hacia el
S y F8 = 85 Kp hacia el N.
23.Un auto viaja 20 Km hacia el este y 70 Km hacia el sur, ¿cuál es su
desplazamiento resultante?
24.Pedro y Marta sujetan en sus manos los extremos de una cuerda. Pedro tira de
la cuerda con una fuerza de 50 Kp. Marta se opone con una fuerza de 50 Kp.
¿Quién ganara?
25.En un combate de halar de una cuerda, cuatro niños tiran de la cuerda tan
fuerte como cinco niñas. Dos chicas y un chico tiran de la cuerda tan fuerte
como un perro. El perro y tres niñas se enfrentan ahora con cuatro niños.
¿Quiénes ganaran?
26.En Valencia ocurre un asalto a un banco y los ladrones huyen en helicóptero,
ejecutando tres desplazamientos antes de agotar el combustible. Inicialmente
recorren 396 Km en dirección SO, luego 910 Km en dirección E y finalmente
recorren 350 Km en dirección S. Si la policía de Valencia quiere atraparlos, ¿en
que dirección debe dirigirse y que distancia debe recorrer? Sol: 45º ES y 891
Km.

8. 27.Un cazador sale de su tienda de campaña y camina 5 Km hacia el sur, luego 5
Km hacia el norte, en cuyo momento llega de nuevo a su tienda, y allí
encuentra un oso comiéndose su comida. ¿De qué color es el oso?
28.Dados los vectores A (2,4,-2); B (-1,3,2), determina:
a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares.
b. Determina el vector suma y su módulo.
c. Calcula el vector V= 2A-B y su módulo.
29. Suma gráfica analíticamente y los siguientes vectores: A de módulo 5 y
argumento 37º, B de módulo 10 y argumento 127º y C de valor 2 y argumento
270º.
30.Determina la resultante de un sistema de tres vectores de igual módulo y que
formen entre sí 120º.
31.Dados los vectores: A (2,-1,2) B (4,0,-2) C (0,0,1)
a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas.
b) Determina el vector D= A +1/2 B –C.
c) Efectúa el producto escalar de A y B.
32.Halla la gráfica y analíticamente la resultante del siguiente sistema de vectores:
A de módulo 10 y argumento 30, B de módulo 6 y argumento 90º y C de
módulo 3 y argumento 210º.
33.Dados los vectores A(3,0,-1) y B(0,-2,0) determina:
a. El producto escalar
b. El producto vectorial.
34.Un barquero atraviesa un río remando con una velocidad de 2 m/s, si el río
desciende a 1 m/s. Calcula la velocidad con que se mueve la barca en los
siguientes casos:
a. El barquero rema a favor de la corriente.
b. Rema en contra de la corriente
c. Rema perpendicularmente a la corriente.
35.Para los vectores zyxByzyxA ˆˆˆˆˆˆ 346332 ++=−−=
→→
, determine:
a. El vector suma 





+
→→
BA
b. El vector diferencia 





−
→→
BA
c. El producto escalar 





•
→→
BA
d. El producto vectorial 




 →→
BxA
36.Considere los vectores:
jˆ3-iˆ-2=Djˆ3-iˆ2=Cjˆ3+iˆ-=Bˆˆ

jiA 23 +=
Determine los vectores:

9. D5-C4+B2-A3,D3-A2,D-C,

BA + en forma algebraica y
en forma gráfica
37.Una fuerza de 100New forma un ángulo de 60º con la horizontal. Grafica y
calcula sus componentes rectangulares.
38.En una excursión los jóvenes caminan hacia el este 2 km , luego 7 km 40°
NO, ahí descansan un poco y siguen 5 km hacia el Sur. En ese momento se
pierden. ¿Cual debe ser el desplazamiento que deben realizar los jóvenes
para volver al campamento?
39.Una vez que llega al césped un jugador de golf necesita dar tres golpes para
hacer un “green”. En el primer golpe mueve la esfera 3,6 m al Norte, el
segundo 1,8 m 45º SE y el tercero 0,9 m al Oeste ¿Cuál debería haber
sido el desplazamiento de este tercer golpe para que el golfista hubiera
acertado con el tiro, si el green esta en 2, 5 m?
40.Exprese los vectores A, B, C , D , E y F en términos de los vectores
unitarios. En la figura cada cuadrado es una unidad.
A
41.Encuentre las componentes de "x" y de "y" de los siguientes vectores:
a) Una velocidad de 85 Km/h hacia el sur.
b) Una aceleración de 4 m/s2, hacia el oeste.
c) Una fuerza a 27º NO
d) Un desplazamiento de 500 m a 210º
42.Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular:
a) su producto escalar
b) el ángulo que forman
c) los cosenos directores del vector B.

10. D5-C4+B2-A3,D3-A2,D-C,

BA + en forma algebraica y
en forma gráfica
37.Una fuerza de 100New forma un ángulo de 60º con la horizontal. Grafica y
calcula sus componentes rectangulares.
38.En una excursión los jóvenes caminan hacia el este 2 km , luego 7 km 40°
NO, ahí descansan un poco y siguen 5 km hacia el Sur. En ese momento se
pierden. ¿Cual debe ser el desplazamiento que deben realizar los jóvenes
para volver al campamento?
39.Una vez que llega al césped un jugador de golf necesita dar tres golpes para
hacer un “green”. En el primer golpe mueve la esfera 3,6 m al Norte, el
segundo 1,8 m 45º SE y el tercero 0,9 m al Oeste ¿Cuál debería haber
sido el desplazamiento de este tercer golpe para que el golfista hubiera
acertado con el tiro, si el green esta en 2, 5 m?
40.Exprese los vectores A, B, C , D , E y F en términos de los vectores
unitarios. En la figura cada cuadrado es una unidad.
A
41.Encuentre las componentes de "x" y de "y" de los siguientes vectores:
a) Una velocidad de 85 Km/h hacia el sur.
b) Una aceleración de 4 m/s2, hacia el oeste.
c) Una fuerza a 27º NO
d) Un desplazamiento de 500 m a 210º
42.Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular:
a) su producto escalar
b) el ángulo que forman
c) los cosenos directores del vector B.