19/04/2014
RAICES DE
POLINOMIOS
P(x)
x
y
INTRODUCCIÓN
La determinación de las raíces de los polinomios está entre los problemas más
antiguos de la matemática. Su e...
Definiciones Preliminares
1. Anillo
Un anillo A es un conjunto no vacío con dos leyes de composición internas + y •,
llama...
3. Polinomio
Un polinomio de una variable sobre el cuerpo K es un aplicación P : N0 K
Es decir un polinomio P es una suces...
Definición:
Sean: P F[ X ] un polinomio,   K (K cuerpo), entonces:
 es Raíz de P  P() = 0
Propiedad:
 es una raíz d...
) Dq. Si ( x -  )  P , entonces  es una raíz de P.
En efecto:
Si ( x -  )  P, entonces  Q(x) talque P(x) = ( x -  )...
Raíces de Polinomios Reales
Teorema de Gauss:
Si el polinomio real P de grado “n” con coeficientes enteros,
admite una raí...
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ii) Dq. q  an es decir  t  Z / an = q.t
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Raíces Complejas de Polinomios Reales
Si el Polinomio real P de grado “n” admite una raíz compleja,
entonces admite tambié...
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Exposición 2011

  1. 1. 19/04/2014 RAICES DE POLINOMIOS P(x) x y
  2. 2. INTRODUCCIÓN La determinación de las raíces de los polinomios está entre los problemas más antiguos de la matemática. Su estudio se remonta a la época de los babilonios (2000 A.C.), los cuales ya eran capaces de resolver ecuaciones de segundo grado por medio de radicales. En el año 300 A.C., Euclides da interpretaciones geométricas a las ecuaciones algebraicas, logrando así resolver ecuaciones cuadráticas por medio de construcciones geométricas. Luego, los árabes (1000 D.C.) logran reducir las ecuaciones del tipo x2p + axp = b , a ecuaciones cuadráticas. A partir del estudio del algebra, la investigación sobre polinomios y sus raíces cobró auge. Se investigaron más las propiedades de los polinomios como estructura, encontrándose soluciones por radicales para ecuaciones de grados dos, tres y cuatro; sin embargo, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron esquivas para los investigadores durante un tiempo prolongado. En 1824, Niels Henrik Abel demostró el resultado que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de grado cinco o mayores en términos de sus coeficientes. Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se encarga de un estudio detallado de las relaciones entre las raíces de los polinomios.
  3. 3. Definiciones Preliminares 1. Anillo Un anillo A es un conjunto no vacío con dos leyes de composición internas + y •, llamadas adición y multiplicación. + : A × A ⎯⎯→ A • : A × A ⎯⎯→ A (a, b) ⎯→ a + b (a, b) ⎯→ a b = a•b Verificando las sgtes propiedades: Con la Adición (+) : i) Asociativa ii) Existencia de elemento neutro (cero) iii) Conmutativa iv) Existencia de simétrico (opuesto), Es decir el par (A, +) es un grupo abeliano Con la Multiplicación (*): v) Asociativa Es decir el par (A, *) es un semigrupo vi) Distributiva. 2. Cuerpo o Campo El conjunto ( K, +, * ) con K ≠  es un cuerpo si cumple:  ( K, + ) es un grupo abeliano.  ( K – 0, * ) es un grupo abeliano.  Distributiva ( K, + , * ) . a . - b .b . a + b . 1/a -a . 0 . 1 . a*b Son cuerpos ( Q, +, * ) ; ( R, +, * ) ; ( C, +, * ) ; ( Zn, +, * )
  4. 4. 3. Polinomio Un polinomio de una variable sobre el cuerpo K es un aplicación P : N0 K Es decir un polinomio P es una sucesión ( a0, a1, a2, …) de elementos de K. Donde: P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 4. Grado de un Polinomio El grado de P(x) denotado por gr(P) se define como el mayor de los naturales “n” talque an ≠ 0. 5. Conjunto de Polinomios Al conjunto de todos los polinomios sobre K lo denotaremos por F[ x ], es decir: F[x] =  P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 , ai  K y nN0. Obs. El conjunto ( F[ x ], + , * ) es un anillo además es un cuerpo. 𝒂𝒊 𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟎 ( F[ x ], + , * ) Coeficiente Principal Termino independiente
  5. 5. Definición: Sean: P F[ X ] un polinomio,   K (K cuerpo), entonces:  es Raíz de P  P() = 0 Propiedad:  es una raíz de P  ( x -  )  P Prueba: ) Dq. Si  es una raíz de P  ( x -  )  P En efecto: Si  es una raíz de P , entonces P() = 0 Además: P(x) = ( x-  ) Q(x) + r( )  P() = ( -  ) Q( ) + r( ) = 0.Q( ) + r( ) = r( )  P() = r( ) y como  es una raíz de P , tenemos r( ) = 0 Luego : P(x) = (x -  ) Q( ) es decir ( x -  )  P
  6. 6. ) Dq. Si ( x -  )  P , entonces  es una raíz de P. En efecto: Si ( x -  )  P, entonces  Q(x) talque P(x) = ( x -  ).Q(x)  P() = ( -  ) Q( ) = 0.Q( ) = 0  P() = 0 es decir  es una raíz de P. Teorema del Resto: El resto de la división de P por ( x -  ) es P( ). Prueba: P(x) = ( x -  ).Q(x) + r  P() = ( -  ) Q( ) + r  P() = 0.Q( ) + r  P() = r Ejemplo: Sea P(x) = x2 + 4x + 7 y  = -1, entonces por el teorema del resto P(x) es expresado como: Donde P( -1 ) = 4 = r P(x) ( x -  ) Q( x )r x2 + 4x + 7 = ( x + 1 ) ( x + 3 ) + 4
  7. 7. Raíces de Polinomios Reales Teorema de Gauss: Si el polinomio real P de grado “n” con coeficientes enteros, admite una raíz racional (p/q) (p y q primos entre sí), entonces p es divisor del término independiente (a0) y q es divisor del coeficiente principal (an), es decir: p  a0 y q  an . Prueba: i) Dq. p  a0 es decir  s  Z / a0 = p.s En efecto: Como P es un polinomio de grado “n”, entonces: P(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = Además ( p/q) es una raíz, entonces: P(p/q) = 0 𝒂𝒊 𝒙𝒊 𝒏 𝒊=𝟎 𝑷 𝒑 𝒒 = 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟎 . 𝒑 𝒒 𝒊 = 𝟎 𝒒 𝒏 . 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟎 . 𝒑𝒊 𝒒𝒊 = 𝟎
  8. 8. 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟎 . 𝒑𝒊 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎 𝒂 𝟎 𝒑 𝟎 𝒒 𝒏 + 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 . 𝒑𝒊 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎 𝒂 𝟎 𝒒 𝒏 + 𝒑. 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 . 𝒑𝒊−𝟏 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎 𝒂 𝟎 𝒒 𝒏 = 𝒑. − 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟏 . 𝒑𝒊−𝟏 𝒒 𝒏−𝒊 𝒂 𝟎 𝒒 𝒏 = 𝒑. 𝒔 𝒄𝒐𝒏 𝒔 ∈ 𝒁 p  𝒂 𝟎 𝒒 𝒏 p  𝒂 𝟎. Es decir: p es divisor del término independiente a0
  9. 9. ii) Dq. q  an es decir  t  Z / an = q.t 𝑺𝒂𝒃𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒒 𝒏 . 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟎 . 𝒑𝒊 𝒒𝒊 = 𝟎, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔: 𝒂𝒊 𝒏 𝒊=𝟎 . 𝒑𝒊 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎 𝒂 𝒏 𝒑 𝒏 + 𝒂𝒊 𝒏−𝟏 𝒊=𝟎 . 𝒑𝒊 𝒒 𝒏−𝒊 = 𝟎 𝒂 𝒏 𝒑 𝒏 = 𝒒. − 𝒂𝒊 𝒏−𝟏 𝒊=𝟎 . 𝒑𝒊 𝒒 𝒏−𝒊−𝟏 = 𝟎 𝒂 𝒏 𝒑 𝒏 = 𝒒. 𝒕 𝒄𝒐𝒏 𝒕 ∈ 𝒁 q  𝒂 𝒏 𝒑 𝒏 , es decir q  𝒂 𝒏 Es decir: q es divisor del coeficiente principal an Ejemplo: El polinomio P(x) = 2x2 – 5x – 3 tiene raíces racionales 1 = 3 y 2 = -1/2
  10. 10. Raíces Complejas de Polinomios Reales Si el Polinomio real P de grado “n” admite una raíz compleja, entonces admite también a su conjugada. Prueba: Hipótesis : Tésis : 𝐏 𝐱 = 𝐚𝐢 𝐱 𝐢 𝐧 𝐢=𝟎 𝐜𝐨𝐧 𝐚𝐢 ∈ 𝐑, 𝐳 ∈ 𝐂 𝐮𝐧𝐚 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏(𝐱) 𝐳 ∈ 𝐂 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏 𝐱 𝐜𝐨𝐧𝐣𝐮𝐠𝐚𝐝𝐚 Demostremos que P( ) = 0 En efecto: 𝐏 𝐳 = 𝟎 𝐚𝐢 𝐧 𝐢=𝟎 . 𝐳 𝐢 = 𝟎 𝐚𝐢 𝐧 𝐢=𝟎 . 𝐳 𝐢 = 𝟎 𝐚𝐢 𝐳 𝐢 𝐧 𝐢=𝟎 = 𝟎 𝐚𝐢 𝐳 𝐢 𝐧 𝐢=𝟎 = 𝟎 𝐚𝐢 𝐳 𝐢 𝐧 𝐢=𝟎 = 𝟎 𝐏 𝐳 = 𝟎 𝐄𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐳 ∈ 𝐂 𝐞𝐬 𝐫𝐚í𝐳 𝐝𝐞 𝐏 𝐱 Ejemplo: El polinomio P(x) = x3 + x2 tiene raíces complejas y reales 1 = 0 , 2 = i y 3 = -i

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