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Disciplina:Disciplina: Fundamentos para a Análise EstruturalFundamentos para a Análise Estrutural
Código:Código: AURB006AURB006 Turma:Turma: AA Período Letivo:Período Letivo: 20072007--22
Professor:Professor: Eduardo Nobre LagesEduardo Nobre Lages
Universidade Federal de AlagoasUniversidade Federal de Alagoas
Faculdade de Arquitetura e UrbanismoFaculdade de Arquitetura e Urbanismo
Curso de Arquitetura e UrbanismoCurso de Arquitetura e Urbanismo
Maceió/ALMaceió/AL
FunçõesFunções
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ObjetivoObjetivo
Formalizar relações
de dependência
entre grandezas.
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
GrandezasGrandezas
• Escalares: tempo, temperatura,
comprimento, volume, fluxo
luminoso etc.
• Vetoriais: força, velocidade,
posição, aceleração, torque etc.
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
RelaçãoRelação
É uma regra que estabelece um vínculo entre
elementos de dois conjuntos distintos, em
particular, entre elementos de conjuntos
numéricos.
Exemplo (Circunferência)
( ) ( ) ( ){ }912,,:,
22
=−+−ℜ∈= yxyxyxR
x
y
3
2
1
Representação gráficaRepresentação gráfica
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
FunçãoFunção
É uma relação que permite associar a cada
elemento de um dos conjuntos um único
elemento do segundo conjunto.
RelaçãoRelação FunçãoFunção
Toda função é umaToda função é uma
relação, mas nemrelação, mas nem
toda relação é umatoda relação é uma
função.função.
AA
a1
a2
a3
BB
b1
b2
b3
AA
a1
a2
a3
BB
b1
b2
b3
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
Formas de RepresentaçãoFormas de Representação
DiagramaDiagrama
AA
a1
a2
a3
BB
b1
b2
b3
f = {(a1,b1), (a2,b3), (a3,b2)}
Pares OrdenadosPares Ordenados
x
y
(a1,b1)
b1
a1
(a2,b3)
a2
b3
(a3,b2)
b2
a3
GráficoGráfico
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
Domínio, Contradomínio e ImagemDomínio, Contradomínio e Imagem
Notação: y = f(x)
O elemento y B que resulta da relação f(x) = y é denominado
imagemimagem de x A.
O conjunto de todos os elementos de B que são imagens dos
elementos de A é chamado de conjunto imagemimagem.
Contradomínio
Em f : A → B A = domíniodomínio de f
B = contradomíniocontradomínio de fx y=f(x)
Variável dependente
Variável independente
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExemploExemplo
Considere os conjuntos A = {-3,-1,0,2} e
B = {-1,0,1,2,3,4}
Domínio =Domínio =
ImagemImagem =
AA
-3
-1
0
2
BB
-1
0
1
2
3
4
Seja f : A → B
x y=f(x)=x+2
É uma funçãoÉ uma função
{{--3,3,--1,0,2}1,0,2}
{-1,1,2,4}
Contradomínio =Contradomínio = {{--1,0,1,2,3,4}1,0,1,2,3,4}
??
??
??
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ExemploExemplo
Relação:
DomínioDomínio:
ImagemImagem:
É uma funçãoÉ uma função
??
??
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
Propriedades EspeciaisPropriedades Especiais
Funções Sobrejetoras:
Todo.........é imagem de algum
elemento de A.
Funções Injetoras:
Para todo............existe um
único.........tal que . .
Funções Bijetoras:
É ao mesmo tempo injetora e
sobrejetora.
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExemploExemplo
Seja: = conjunto dos números reais
= conjunto dos números reais não negativos
Regra:
1º CASO:
Não é sobrejetoraNão é sobrejetora
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExemploExemplo
Seja: = conjunto dos números reais
= conjunto dos números reais não negativos
Regra:
2º CASO:
É sobrejetoraÉ sobrejetora
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExemploExemplo
Seja: = conjunto dos números reais
= conjunto dos números reais não negativos
Regra:
3º CASO:
É injetoraÉ injetora
Não é sobrejetoraNão é sobrejetora
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExemploExemplo
Seja: = conjunto dos números reais
= conjunto dos números reais não negativos
Regra:
4º CASO:
É sobrejetoraÉ sobrejetora
É injetoraÉ injetora
É bijetoraÉ bijetora
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
Outras Propriedades EspeciaisOutras Propriedades Especiais
Função Par:
Função Ímpar:
f(x)=|x|f(x)=|x| f(x)=xf(x)=x44+x+x22
f(x)=2xf(x)=2x33
f(x)=sin(x)f(x)=sin(x)
f(x)=f(-x)
f(x)=-f(-x)
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Outras Propriedades EspeciaisOutras Propriedades Especiais
Função nem par nem ímpar: f(x)=f(-x) e f(x)=-f(-x)
f(x)=sin(x)+xf(x)=sin(x)+x22
g(x)=[f(x)+f(g(x)=[f(x)+f(--x)]/2x)]/2
h(x)=[f(x)h(x)=[f(x)--f(f(--x)]/2x)]/2
Toda função, na pior das hipóteses, pode ser escritaToda função, na pior das hipóteses, pode ser escrita
como a soma de uma função par com uma função ímpar.como a soma de uma função par com uma função ímpar.
f(x)=g(x)+h(x)
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Funções MonotônicasFunções Monotônicas
Uma função é denominada monotônica quando
for crescentecrescente ou decrescentedecrescente, ou estritamenteestritamente
crescentecrescente ou estritamenteestritamente decrescentedecrescente ou
constanteconstante.
Estritamente Crescente:Estritamente Crescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒ <<
Crescente:Crescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒ ≤<
Estritamente Decrescente:Estritamente Decrescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒< >
Decrescente:Decrescente: x1 x2 f(x1) f(x2)⇒ ≥<
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Funções CompostasFunções Compostas
Seja e
Define-se a composição de X em Z como
Notação:
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ExemploExemplo
Sejam: e
Logo: e
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
para todo...............se...................então....................
Funções InversasFunções Inversas
Sejam e
Para todo...............se...................então...................e
Notação:
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Funções InversasFunções Inversas
Pode-se demonstrar que:
ff é bijetoraé bijetora ff é invertívelé invertível
uma vez que funções bijetoras estabelecem uma correspondência
biunívoca entre todos os elementos de X e de Y.
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExemploExemplo
Não é injetoraNão é injetora
Não é sobrejetoraNão é sobrejetora
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExemploExemplo
onde:
ff é bijetoraé bijetora
ff é invertívelé invertível
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExercíciosExercícios
Deseja-se construir uma caixa aberta a partir de uma folha de
papel Ofício 2 cortando quadrados iguais nos cantos e dobrando os
lados para cima (uma cola fantástica garantirá a junção de arestas,
quando necessária), conforme esquematização abaixo.
Pede-se:
a) Escreva o volume V da caixa como uma função da medida do
lado do quadrado de corte. Qual o domínio da função?
b) Estime um valor para a medida de corte que resulte em uma
caixa de maior volume.
dobre
aqui
dobre
aqui
dobre
aqui
dobre
aqui
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
ExercíciosExercícios
Para o próximo Maceió Fest, a Prefeitura de Maceió, visando uniformizar
o tamanho dos blocos, estabeleceu que o cordão de isolamento deve ter
200 m de comprimento. O bloco Funanestru & Cia, sob o comando do
vocalista Eduardo Nobre, vai contratar 6 pessoas para montar o cordão
de isolamento na forma especificada abaixo (um retângulo combinado
com dois triângulos equiláteros).
Pede-se:
a) Escreva a área de ocupação do bloco na avenida em função
da largura do mesmo. Qual o domínio da função?
b) Sabendo-se que, em média, um animado folião precisa de um
espaço de 0,8 m x 0,8 m para evoluir seus passos, estime o
número máximo de abadás que podem ser vendidos.
Largura
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CurvasCurvas
Representação paramétrica:
],[ bat ∈










=
)(
)(
)(
)(
tz
ty
tx
tv
r
3
: ℜℜC
a b
A representação paramétrica
cria uma curva orientada
)(bv
r
)(av
r
)(tv
r
t
x
y
z
ℜ 3
ℜ
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CurvasCurvas
Exemplos:
• Linha reta










+
+
+
=
tz
ty
tx
tv
γ
β
α
0
0
0
)(
r
Reta que passa pelo
ponto (x0, y0, z0) e que se
desenvolve na direção
do vetor (α, β, γ).
Reta passando pelo pontoReta passando pelo ponto (8,(8, --10, 6)10, 6) e possui a direçãoe possui a direção
do vetordo vetor ((--3, 4,3, 4, --2)2), com, com tt variando no intervalovariando no intervalo [0, 5][0, 5]..
x
y
z
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CurvasCurvas
Exemplos:
• Espiral










=
0
)sin()(
)cos()(
)( ttf
ttf
tv
r
A escolha de f(t)=a.t,
com o valor de a
positivo leva a espiral
de Arquimedes. A
escolha de f(t)=ea.t leva
a espiral logarítmica.
Espiral de ArquimedesEspiral de Arquimedes
f(t)=t/10f(t)=t/10
Espiral LogarítmicaEspiral Logarítmica
f(t)=ef(t)=et/10t/10
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SuperfíciesSuperfícies
Representação paramétrica:
( )],[],[),( dcbaut ×∈










=
),(
),(
),(
),(
utz
uty
utx
utv
r
32
: ℜℜS
x
y
z
2
ℜ 3
ℜ
t
u
c
d
a b
),( utv
r
EduardoNobreLages–CTEC/UFAL
SuperfíciesSuperfícies
Exemplos:
• Elipsóide










=
tc
utb
uta
utv
cos
sinsin
cossin
),(
r
Os coeficientes a, b e c
definem os semi-eixos
do elipsóide centrado na
origem. O domínio da
função é ([0,π]x[0,2π]).
Elipsóide centrado na origem e de semiElipsóide centrado na origem e de semi--eixos 3, 4 e 2,eixos 3, 4 e 2,
respectivamente nas direçõesrespectivamente nas direções xx,, yy ee zz..
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SuperfíciesSuperfícies
Exemplos:
• Parabolóide
hiperbólico 









−
=
2222
),(
ubta
t
u
utv
r
As seções ortogonais
ao eixo z são hipérboles
e as seções ortogonais
aos eixos x ou y são
parábolas.
Parabolóide hiperbólico comParabolóide hiperbólico com aa22
igual a 0,9 eigual a 0,9 e bb22 igual a 0,5.igual a 0,5.

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