Reprezinta o abordare interdisciplinara a Matematicii. Numarul de aur....

1. APLICAŢII ALE MATEMATICII
ABORDĂRI INTERDISCIPLINARE
Elevi: Mihai Popescu,
Daniela Codreanu,
Serban Silvestru,
Alexandra Radu
Profesor coordonator:
Carmen Delcea
Moto:
“Matematica este limba …
… în care Dumnezeu a creat lumea”

2. SUMAR
 EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN PRACTICA
 APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII MEDIILOR
 FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII
 NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE
 NOTELE CU PUNCT
 MODELUL DE CULORI RGB
 DEFINITIE SI SEMNIFICATII
 REPREZENTAREA CULORILOR
 REPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL BINAR
 REPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI
 REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA
 SIRUL LUI FIBONACCI
 SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL DE AUR
 SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA
 CORPUL OMENESC SI NUMERELE LUI FIBONACCI
 PROPORTIA DE AUR
 COCHILIA MELCULUI, SPIRALA LOGARITMICA SI SERIA LUI
FIBONACCI
 GEOGRAFIA SI MATEMATICA
 COORDONATE GEOGRAFICE
 LATITUDINEA
 LONGITUDINEA

3. EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN
PRACTICA
Raport Exemplu
1. Raport procentual = un raport
de forma p% (p∈Q, p≥0)
17% = 17/100
2. Scara unei harti = raportul
dintre distanta pe harta si distanta
pe teren
Pe o harta, unui segment ce are
lungimea de 1 mm ii corespunde o
distanta de teren egala cu 5 km.
Scara hartii este 1: 5 000 000.
3. Concentratia unei solutii =
raportul dintre masa substantei
care se dizolva si masa solutiei
In 190 g de apa de dizolva 10 g de
sare. Concentratia solutiei este 0,05
4. Titlul unui aliaj = raportul
dintre masa metalului pretios si
masa aliajului
Un aliaj contine 240 g aur si 940 g
cupru. Titlul aliajului este 0,2
5. Probabilitatea realizarii unui
eveniment A = raportul dintre
numarul cazurilor favorabile
realizarii evenimentului si numarul
cazurilor egal posibile ale
experientei.
Intr-o cutie sunt 5 bile albe si 2
negre. Probabilitatea de a extrage la
intamplare o bila neagra este 2/7

4. APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII
MEDIILOR
 Este foarte important sa ştim sa punem cunoştinţele de fizică în strânsă legătură cu matematica,
în viata de zi cu zi, sa privim evoluţia acestora prin prisma aplicaţiilor lor şi a vieţii oamenilor.
 Una dintre cele mai cunoscute inegalităţi în matematică este inegalitatea dintre media aritmetică
şi media armonica a două sau mai multe numere reale pozitive.
 Aplicaţie în fizică: Două mobile parcurg acelaşi drum, primul cu viteză constantă v, cel de-al
doilea parcurgând 2 porţiuni egale cu vitezele v1, v2, a căror medie aritmetică este v. Care mobil
parcurge drumul mai repede?
 Notăm distanţa cu D=2·d, iar timpii de parcurgere cu t1 (pentru primul mobil) şi t2 (pentru al
doilea mobil)
,
2121
1
4
2
2
vv
d
vv
d
v
D
t
+
⋅=
+
⋅
==






+⋅=+=
2121
2
11
vv
d
v
d
v
d
t
Aplicăm inegalitatea dintre media aritmetica si media armonica pentru v1 si v2:
211
2 21
21
vv
vv
+
≤
+
21
21212121
114114
tt
vv
d
vv
d
vvvv
≤⇒





+⋅≤
+
⋅⇒+≤
+
În concluzie, mobilul care merge cu viteză constantă ajunge la destinaţie în cel mai
scurt timp

5. FORMELE MATEMATICE ALE
MUZICII
NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE
Nota corespunzatoare Numele notei Durata
Nota intreaga Doua doimi
Doime
Doua patrimi
sau
jumatate din nota intreaga
Patrime
Doua optimi
sau
jumatate din doime
Optime
Doua saisprezecimi
sau
jumatate din patrime
Saisprezecime
Doua treizecidoimi
sau
jumate din optime
Treizecidoimea
Doua saizecipatrimi
sau
jumatate din saisprezecime
Saizecipatrimea Jumatate din treizecidoimea

6. FORMELE MATEMATICE ALE
MUZICII
NOTELE CU PUNCT
Adaugand un punct la o nota valoarea acesteia se mareste cu jumatate din
valoarea initiala a notei.
Exemple:
• O nota intreaga = 4 timpi. O nota intreaga cu punct = 6 timpi. De ce?
Raspuns: Deoarece, ½ din 4 este 2, si 4+2=6
• O doime = 2 timpi. O doime cu punct = 3 timpi. De ce?
Raspuns: Deoarece ½ din 2 este 1, si 2+1=3.
•O patrime = 1 timp. O patrime cu punct = 1 ½ timpi. De ce?
Deoarece ½ din 1 este ½ , si 1+ ½ = 1 ½ .

7.  Modelul de culori RGB este un model prin care orice culoare poate fi
exprimata ca o combinatie de rosu (R), verde (G) si albastru (B). Dupa
cum se observa, numele acestui model provine de la culorile sale de
baza:
 rosu = red = R
 verde = green = G
 albastru = blue = B
 Modelul a fost inspirat din realitate, intrucat cele 3 tipuri de conuri din
retina ochiului uman contin cate un pigment fotosenzitiv pentru aceste 3
culori: rosu, verde si albastru. Orice alta culoare pe care omul o percepe
este de fapt o combinatie din aceste 3 culori
 Scopul principal al modelului de culori RGB este de a reprezenta imaginile in
sistemele electronice, cum ar fi televizoarele sau calculatoarele.
MODELUL DE CULORI RGB
DEFINITIE SI SEMNIFICATII

8. MODELUL DE CULORI RGB
REPREZENTAREA CULORILOR
 In memoria calculatorului imaginile se reprezinta intr-
un mod foarte similar.
 Fiecare pixel, adica fiecare punct vizibil din imagine este
stocat in memoria calculatorului astfel:
 O valoare intre 0 si 255 pentru rosu
 O valoare intre 0 si 255 pentru verde
 O valoare intre 0 si 255 pentru albastru
 Astfel:
 0 reprezinta minimul culorii (sau lipsa ei)
 255 reprezinta maximul culorii (sau prezenta 100% a ei).
 In exemplul de mai jos se poate vedea reprezentarea
culorilor prin RGB la televizor.

9. MODELUL DE CULORI RGB
REPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL
BINAR
 Se stie ca in memoria calculatorului orice informatie este
reprezentata ca siruri de 0 si 1, adica in sistem binar.
 Unitatea de baza de masura pentru memorie este bitul,
adica o pozitie din memorie pe care poate fi 0 sau 1.
 Orice valoare intre 0 si 255 poate fi exprimata pe 8 pozitii,
deci pe 8 biti:
0(10) = 00000000(2)
1(10) = 00000001(2)
10(10) = 00001010(2)
….
255(10) = 11111111(2)
 Unitatea de masura folosita pentru o colectie de 8 biti se
numeste octet (sau byte).
 Putem concluziona astfel ca orice culoare pe care o
reprezinta calculatorul este reprezentata in memoria
acestuia pe 3 octeti = 24 de biti, cate un octet = 8 biti
pentru fiecare culoare: rosu, verde si albastru.

10.  Astfel, dintr-o imagine precum este cea de jos, se pot extrage 3 imagini, luand din
fiecare pixel doar valoarea corespunzatoare cate unei culori, pe rand:
 Prima imagine este imaginea initiala, fotografiata din realitate
 A doua imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru rosu, iar valorile pentru
albastru si verde sunt considerate 0
 A treia imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru verde, iar valorile
pentru rosu si albastru sunt considerate 0
 A patra este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru albastru, iar valorile pentru
rosu si verde sunt considerate 0.
 Din imaginile prezentate se observa ca:
 albul este combinatia de maxim rosu, maxim verde si maxim albastru
 negru reprezinta combinatia de minim rosu, minim verde si minim albastru
 maro este combinatia de mult rosu si verde, dar putin albastru
 verdele inchis este combinatie de mult verde cu putin rosu sau albastru
 albastrul cerului este o combinative de mult albastru si moderat rosu si verde.
MODELUL DE CULORI RGB
REPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI

11.  Deoarece orice culoare poate fi reprezentata ca o combinatie de rosu, verde, albastru,
atunci modelul RGB este un model cu 3 dimensiuni. Spatiul RGB este reprezentat prin 3
dimensiuni independente (rosu, verde si albastru).
 Astfel, putem considera spatiul RGB ca un cub, pe fiecare axa fiind o culoare din cele trei
(rosu, verde si albastru), cu valori de la 0 la 255.
 Dupa cum se observa in imaginea de mai jos, orice punct din interiorul cubului poate fi
exprimat in functie de cele 3 axe, adica cele 3 culori.
MODELUL DE CULORI RGB
REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA
 Toate aceste lucruri pot fi verificate foarte
simplu cu ajutorul unui calculator, deschizand
aplicatia Paint.

12. SIRUL LUI FIBONACCI
 In anul 1202, Fibonacci a participat la un concurs de matematica in Pisa. Problema propusa
concurentilor a fost celebra “Problema a iepurasilor” lui Fibonacci.
 Plecand de la o singura pereche de iepuri si stiind ca fiecare pereche de iepuri
produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine “productiva” la
varsta de 1 luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi dupa n luni. (de asemenea se
considera ca iepurii nu mor in decursul respectivei perioade de n luni)
 Sa notam Fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa
n+1 luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodata!), la care se adauga iepurii nou-nascuti.
Dar iepurasii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel putin o luna, deci vor fi Fn-1 perechi
de iepuri nou-nascuti.
 Obtinem astfel o relatie de recurenta: (reprezentata si prin diagrama de mai jos )
 Fn+1 = Fn + Fn-1;
 F1=1;
 F0=0.
 Aceasta relatie de recurenta reprezinta regula care genereaza termenii sirului lui Fibonacci :
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.....
 Sirul lui Fibonacci este un sir de numere in care fiecare, incepand cu al treilea,
este suma celor doua dinaintea sa.

13.  Dacă luăm în considerare raportul dintre două numere succesive, în sirul lui Fibonacci si vom
imparti fiecare la predecesorul sau vom găsi următoarele serii de numere:
1
/ 1 = 1, 2
/ 1 = 2, 3
/ 2 = 1·5, 5
/ 3 = 1·666..., 8
/ 5 = 1·6, 13
/ 8 = 1·625, 21
/ 13 = 1·61538... 1
/ 1
= 1, 2
/ 1 = 2, 3
/ 2 =
1,5, 5
/ 3 = 1.666 ..., 8
/ 5 = 1.6, 13
/ 8 = 1.625, 21
/ 13 = 1.61538 ...
 Raportul aproximeaza o anumită valoare, pe care o numim raportul de aur sau numărul de
aur:
φ (fi) = 1.618034
 Acest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei antice
din secolul lui Pericle respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, aceasta fiind considerata o
masura a armoniei si echilibrului.( ex. Partenonul )
 Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole
o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale π sau е, pare a face parte
din “constitutia” Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie.
SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL DE
AUR

14. Fuchsia FucsieGarofitaCrin
• Numarul de aur se regaseste in modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau
semintelor la plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc,
etc…
• La multe plante, numărul de petale este un numar Fibonacci
• 3 petale: crin, iris
• 5 petale: trandafir salbatic, viorele, lalele
• 8 petale: delphiniums
• 13 petale: gălbenele, porumb, cineraria, unele margarete
• 21 petale: margarete, cicoare
• 34 petale: patlagina
• Anumite conuri de pin respecta o dispunere data de numerele lui Fibonacci,
si de asemenea la floarea soarelui.
SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA
Con de pin

15. SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA
• La floarea soarelui se pot observa doua randuri de
spirale in sens invers. Numarul de spirale nu este
acelasi in fiecare sens. Potrivit soiului, acest numar
poate fi 21 si 34 sau 34 si 55, uneori 58 si 89.
• Multe plante au aranjamentul frunzelor dispus intr-
o secventa Fibonacci in jurul tulpinei.
• Ideea dispunerii frunzelor in acest sens pleaca de la
considerarea unghiului de aur de 222,5 grade, unghi
care impartit la intregul 360 de grade va da ca
rezultat numarul 0.61803398..., cunoscuta ca ratia
sirului lui Fibonacci.

16. CORPUL OMENESC SI NUMERELE LUI
FIBONACCI
 Mana umana are 5 degete, fiecare deget avand 3 falange, separate prin 2 incheieturi. Media
lungimilor falangelor este de 2, 3 si respectiv 5 cm. In continuarea lor este un os al palmei care
are in medie 8 cm.
 Catul dintre lungimea partii de jos a corpului omenesc, masurata de la ombilic pana la talpi, si
partea de sus, masurata din crestet pana la ombilic este numarul de aur.
 Ritmul ciclic al batailor inimii apare în electrocardiograma unui om sanatos ca o linie curba, cu
suisuri si coborâsuri. Reprezentarea grafica a "sirului lui Fibonacci" seamana izbitor cu cea de-a
doua parte a amintitei EKG.
 Molecula de ADN are si ea la baza sectiunea de aur. Ea masoara 34 angströmi (A) în lungime si
21 A latime, pentru fiecare ciclu complet al elicei duble a spiralei sale. 21 si 34 fac parte din "sirul
lui Fibonacci“.

17. PROPORTIA DE AUR
 O paralelă cu baza de la mijlocul unei laturi într-un
triunghi echilateral înscris într-un cerc generează proporţia
de aur.(fig.1)
 Pătratul maxim înscris într-un semicerc generează
proporţia de aur. (fig.2)
 Intersecţia diagonalelor unui pentagon generează proporţia
de aur. (fig.3)
 Bisectoarele (de ex.: DB) unui "triunghi isoscel de aur"
(adică unul în care baza reprezintă 0,618... faţă de laturi)
generează, la rîndul lor, proporţia de aur, iar arcele de cerc
trasate din punctele unde ele intersectează laturile
"triunghiurilor de aur" ce se formează succesiv generează
spirala logaritmică. (fig.4)

18. COCHILIA MELCULUI, SPIRALA
LOGARITMICA SI SERIA LUI
FIBONACCI
 Cati dintre voi nu au studiat un pic cochilia melcilor iesiti "la plimbare" dupa o ploaie de vara.
Designul ei urmeaza o spirala extrem de reusita, o spirala pe care noua ne-ar fi greu sa o realizam
trasand-o cu pixul. Aceasta spirala urmareste dimensiunile date de secventa lui Fibonacci:
 pe axa pozitiva: 1, 2, 5, 13, samd...
 pe axa negativa: 0, 1, 3, 8, samd..
 Dupa cum puteti observa, aceste 2 subsiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci.
 Motivatia pentru aceasta dispunere este simpla: in acest fel cochilia ii creaza melcului, in interior
un maxim de spatiu si de siguranta.
 Spirala logaritmică - unicul tip de spirală care nu-şi modifică forma pe măsură ce creşte. Aceasta
se gaseste:
o In forma cochiliei de melc
o In forma urechii umane.
o In interiorul aparatului auditiv

19. MATEMATICA
COORDONATE GEOGRAFICE
 Harta Pământului arătând liniile de latitudine (orizontal) şi longitudine
(vertical).
 Un sistem de coordonate geografice defineşte orice locaţii de pe Pământ
prin 2 sau 3 coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este
aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul. Pornind de la teoriile
vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au
asigurat 360°.

20. GEOGRAFIA SI
MATEMATICA
LATITUDINEA
 Latitudinea este una
dintre cele două
coordonate geografice care
descriu poziţia unui punct
de pe suprafaţa
Pământului
 Latitudinea unui punct
este unghiul dintre
direcţia de la centrul
Pământului spre acel
punct şi planul
ecuatorului.

21. GEOGRAFIA SI
MATEMATICA
LONGITUDINEA
 Longitudinea descrie poziţia
unui punct de pe suprafaţa
Pământului.
 Longitudinea unui punct este
unghiul dintre proiecţiile pe
planul ecuatorului ale
direcţiilor de la centrul
Pământului către punctul dat
şi, respectiv, către un punct de
pe Pământ ales convenţional ca
origine a longitudinii.
 Echivalent, longitudinea unui
punct este unghiul diedru
dintre semiplanele sprijinite pe
axa Pământului şi conţinând
punctul dat şi, respectiv,
punctul ales ca origine a
longitudinii.

22. INTERDISCIPLINARITATII