Bioestatística aula 2

Aula 2 : Bioestatística
Caroline Godoy
Turma: Graduação em Educação Física

Última aula
• O que é estatística/bioestatística?

• Tipos de variáveis: Quantitativas e Qualitativas;

• Apresentação dos dados: Gráficos para diferentes tipos de
variáveis, tabelas;

• Tipos de frequências (absoluta e relativa);

• Medidas de tendência central: Média, Moda, Mediana;

• Medidas de variabilidade (dispersão): Desvio padrão,
Variância, Coeficiente de Variação, Quantis;

Noções de Cálculo de Probabilidades
• Curiosidade: A palavra probabilidade deriva do
Latim probare que significa provar ou testar;

• Outras palavras estão associadas à palavra
probabilidade tais como:
▫ Sorte;
▫ Risco;
▫ Incerteza;
▫ Duvidoso...


1) Espaço Amostral
• Considerando que se deseja realizar um
experimento com n possíveis resultados, cada
valor de n é chamado ponto amostral e S é o
conjunto de todos os resultados possíveis
chamado de espaço amostral da experiência.
... (n)

S


1) Espaço Amostral
• Exemplo 1: Lançamento de uma moeda
S={“cara”; “coroa”}

S

• Exemplo 2: Lançamento de um dado:
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
1 3 5
2 4 6 S


2) Evento
• Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral de S, como por exemplo o evento A do
espaço amostral de S:
... (n)

A
S
• onde A está contido em S.


2) Evento
• Evento é qualquer subconjunto do espaço
amostral de S, como por exemplo o evento A do
espaço amostral de S:
... (n)
B

A
S
• onde A e B estão contido em S.


2) Evento
• Exemplo 3: Considerando o espaço amostral do
lançamento de um dado tem-se o evento
“número ímpar”:
S={1, 2, 3, 4, 5, 6}
A
1 3 5
2 4 6 S

A={1, 3, 5}


2.1) Evento Impossível
• O conjunto vazio também é um subconjunto de
S, portanto, também é um evento;
• O conjunto vazio é chamado evento impossível,
pois nunca ocorre.
• Exemplo 4: Sair o número 7 no lançamento de
um dado é um evento impossível.

S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ou A


2.2) Evento Certo
• O conjunto S é subconjunto de si próprio,
portanto S também é um evento; S é chamado de
evento certo, pois sempre acontece.
• Exemplo 5: Sair o número 1 a 6 no lançamento
de um dado é um evento certo.

S {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A {1, 2, 3, 4, 5, 6}


2.3) Evento Complementar
• Evento complementar ou A é tal que
A = S–A

• Exemplo 6: No lançamento de um dado, o
evento complementar do evento “número ímpar”
é o evento “número par”.

A = { 1, 3, 5}
A = {2, 4, 6}


2.4) Evento Mutuamente Exclusivo
Dois eventos A e B são mutuamente exclusivos
quando A B
(lê - se : A e B igual a conjunto vazio)
• Exemplo 7: No lançamento de um dado:
A: Sair número par.
B: Sair número ímpar.
A B
Pois se sair um número par não há como
sair um número ímpar e vice - versa.


3) Probabilidade de um Evento
• Considerando S o espaço amostral e A um
evento qualquer, a probabilidade de um evento é
dada por:
n( A )
P( A)
n(S )


Exercícios
1. No lançamento de um dado, onde S = {1, 2, 3,
4, 5, 6}, determine a probabilidade de ocorrer:

a) A: um número primo.
b) B: um número múltiplo de 3.

2. Em uma urna há 18 bolas numeradas de 1 a 18.
Retirando-se uma bola ao acaso, qual a
probabilidade de obter um múltiplo de 3?


4) Soma de Probabilidades
• É calculada pela fórmula:

P ( A B) P( A) P(B) P( A B)
ou
Onde :
P( A B ) é a probabilidade de ocorrer o evento A ou B
P(A) é a probabilidade de ocorrer o evento A
P(B) é a probabilidade de ocorrer o evento B
P(A B) é a probabilidade de ocorrer o evento A e B

e


Exercícios
3. Lançando-se um dado, onde S = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
qual é a probabilidade de se obter um número par
ou múltiplo de 3?


5) Probabilidade condicional e
independente
• Para dois eventos quaisquer A e B de um espaço amostral S,
sendo P(B)>0, definimos a probabilidade condicional de A
dado B, P(A|B), como sendo
P( A B)
P( A | B) OU P ( A B) P( B) P( A / B)
P( B)
• A e B são ditos independentes se a probabilidade de um
deles ocorrer não afetar a probabilidade do outro ocorrer.
• Se A independe de B, então:

P ( A B) P( B) P( A)


5) Probabilidade condicional e
independente
• Teorema de Bayes

P( A B) P( A).P( B | A)
P( A | B)
P( B) P( B)


Exercício
4. Uma urna contém 6 bolas amarelas e 9 bolas brancas.
Calcule a probabilidade de, ao retirar sucessivamente 2
bolas, sem reposição, obtermos a 1ª amarela e 2ª branca.

5. Suponhamos que 10.000 bilhetes sejam vendidos em uma
loteria e 5.000 em outra. Cada um tendo apenas um
ganhador. Um homem tem 100 bilhetes em cada. Qual a
probabilidade de que ele ganhe alguma coisa?

Variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades

Conceitos
• Vimos variáveis quantitativas e qualitativas;
• Os conceitos para variáveis quantitativas são muito mais
ricos do que para variáveis qualitativas;
• O conhecimento de modelos probabilísticos para variáveis
quantitativas é muito importante e as variáveis para as
quais iremos construir modelos serão chamadas variáveis
aleatórias (v.a.);
• As aulas que seguirão serão dedicadas para variáveis
quantitativas.


Conceitos

Variável Aleatória Discreta
Variáveis quantitativas
Variável Aleatória Contínua


• Variável aleatória discreta é aquela em que podemos
contar os valores;
• Exemplo 1: O lançamento de um dado nos dá valores de 1 a
6 e nunca 2,444 por exemplo
v.a. discreta finita

• Exemplo 2: Número de carros que chegam num pedágio.
Não sabemos a quantidade mas não pode chegar 0,5 carro.

v.a. discreta infinita


• Mais exemplos:
- número de acidentes numa semana;
- número de caras em cinco lançamento de moeda;
- número de defeitos em sapatos;
- número de falhas numa safra;
-número de terremotos;
- número de jogos empatados;
- número de livros numa estante.


Conceitos (f.p.) V. A. D.
• Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a
cada possível resultado do espaço amostral
• A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada
valor de xi associa sua probabilidade


Conceitos (f.d.a.) V. A. D.
• A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x
por:

F ( x) P( X x)

• Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de
que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou
igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x,
a função F assumirá um valor diferente.


Conceitos (exemplo) V. A. D.
• Exemplo:


Conceitos V. A. D.
• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de
falarmos sobre distribuições discretas;

1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é
soma dos produtos dos valores assumidos pela variável
pelas respectivas probabilidades da variável assumir
tais valores
Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn,
então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x é
definido por:
n
E( X ) x1P( X 1 x1 )  xn P( X n xn ) xi P( X i xi )
i 1


Conceitos V. A. D.
Exemplo: Suponha que tem-se interesse em estudar a
composição de famílias de esportistas com três filhos,
quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela de
probabilidades:
X= número de meninos
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/9

E( X ) x1 P( X x1 ) x2 P( X x2 ) x3 P( X x3 ) x4 P( X x4 )
1 3 3 1 12 3
0 1 2 3
8 8 8 8 8 4


Conceitos V. A. D.
2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados
variam em relação a média.
então a variância da v.a. X é dada por:

por definição

Var ( X ) E( X X )2
( x1 X ) 2 P( X x1 )  ( xn X ) 2 P( X xn )
n 2

Var( X ) xi X P( X x)
i 0


Conceitos V. A. D.
Exemplo cont.: Suponha que tem-se interesse em estudar a
composição de famílias de esportistas com três filhos,
quanto a sexo. Seja a v.a. de interesse e a tabela de
probabilidades: 3
E( X )
X= número de meninos 4
x 0 1 2 3
P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/9
3 2

Var ( X ) X X P( X x)
i 0

3 2 1 3 2 3 3 2 3 3 2 1 3
(0 ) (1 ) (2 ) (3 )
2 8 2 8 2 8 2 8 4


• Modelo de distribuição Bernoulli
• Características:
▫ Permitem apenas 2 resultados tipo sucesso (1) ou
fracasso (0);
▫ p a probabilidade de sucesso, 0 < p <1
▫ Exemplos:
1. Um artigo esportivo é classificada como boa ou defeituosa;
2. O resultado de um exame médico de um atleta do esporte para
detecção de uma doença é positivo ou negativa.
3. Um entrevistado concorda ou não com a afirmação feita;
4. No lançamento de um dado ocorre ou não face 6;
5. No lançamento de uma moeda ocorre cara ou coroa


• Mais Características:
x 0 1 p x (1 p)1 x ; x 0,1
f ( x) P( X x)
P(X=x) 1-p p 0; c.c

Notação: X~Bernoulli (p), indica que a v.a. X tem distribuição de Bernoulli.

Se X~Bernoulli(p) pode-se mostrar que:
E(X)=p 0, se x 0
Var(X)=p-p2=p(1-p) F ( x) 1 p se 0 x 1
1 se x 1


• Mais Características:


• Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20
verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja

X: nº de bolas verdes

Calcular E(X), Var(X) e determinar P(X)


• Modelo de distribuição Binomial
▫ “n” repetições independentes de ensaios de Bernoulli geram uma
Binomial;
▫ Teríamos de 0 a n sucessos, onde
▫ Então a função de probabilidade é:
n nº total de repetiçõesdo experim ento
y nº de sucessos ocorridosem n repetições
n y
P(Y y ) p (1 p) n y , onde y 0,1,2,3,...,n
y
n n!
y y!(n y )!
E (Y ) np
V (Y ) np(1 p)
▫ Y = nº de sucessos ocorridos em “n” repetições independentes do
experimento do tipo Bernoulli.
Y~Bin(n,p)


p=0,1 p=0,3
• N=10 e

0.4
p variando

0.20
P(X=x)

P(X=x)
0.2

0.00
0.0
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

x x

p=0,5 p=0,8

0.20
P(X=x)

P(X=x)
0.15
0.00

0.00
0 2 4 6 8 0 2 4 6 8

x x


p=0,1 p=0,3
• N=20 e
p variando

0.15
0.20
P(X=x)

P(X=x)
0.00

0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

x x

p=0,5 p=0,8

0.15
P(X=x)

P(X=x)
0.00 0.10

0.00
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20

x x


• Exemplo Binomial: Suponha que nascimento de menino
e menina dos atletas seja igualmente prováveis e que o
nascimento de qualquer criança não afeta a
probabilidade do sexo do próximo nascimento.
Determine a probabilidade de nascer :
• a)Exatamente 4 meninos em 10 nascimentos.
• b)Ao menos 4 meninos em 10 nascimentos .
• c)No máximo um menino em 10 nascimentos.



• Outras distribuições:

▫ Distribuição Hipergeométrica
▫ Distribuição Poisson


• Variável aleatória contínua é aquela em que os valores
pertencem a um intervalo de números reais;
• Uma característica importante é que o valor é resultado
de uma mensuração, então pode ser pensado como
pertencendo a um intervalo ao redor do valor
efetivamente observado;
• Exemplo 1: quando dizemos que a altura de uma pessoa
é 175 cm, estamos medindo sua altura usando como
unidade de medida e portanto o valor é, na realidade, um
valor entre 174,5 cm e 175,5 cm;

Morettin e Bussab, 2006


Conceitos V. A. C.
• Alguns conceitos devem ser aprendidos antes de
falarmos sobre distribuições contínuas;

1. Esperança Matemática (Valor Esperado)  é a
integral dos produtos dos valores assumidos pela
variável por uma função de x

então o valor esperado de X, denotado por E(X)= x é
definido por:

E( X ) xf ( x)dx


Conceitos V. A. C.
2. Variância de uma v.a. significa o quanto os dados
variam em relação a média.
Assim, se X for uma v.a que assume valores x1, ,xn, então
a variância da v.a. X é dada por:

Var( X ) ( x E ( X ))2 f ( x)dx
2 2
Var( X ) E ( X ) [ E ( X )]


Conceitos V. A. C.
• Resumo

E( X ) (X )
2
Var ( X )
DP( X ) (X )


Conceitos (f.p.) V.A.C.
• Uma variável aleatória é uma quantidade X associada a
cada possível resultado do espaço amostral
• A função de probabilidade é a função p ( xi ) que cada
valor de xi associa sua probabilidade


Conceitos (f.d.a.) V.A.C.
• A Função Distribuição Acumulada é definida para cada x
por:

F ( x) P( X x)

• Ou seja, A função de nome "F" é igual à probabilidade de
que a variável aleatória X assuma um valor inferior ou
igual a determinado x. Note que, via de regra, para cada x,
a função F assumirá um valor diferente.


Conceitos (exemplo) V.A.C.
• Exemplo:


• Modelo da Distribuição Normal
▫ Permite resultados dentro de um intervalo;
▫ Exemplos:
1. Valores de depósitos em um banco;
2. Valores das alturas de indivíduos de uma escola.


▫ Dizemos que uma variável aleatória tem
distribuição Normal com parâmetros e se sua
2

densidade for dada por

2 1 (x )2 / 2 2
f ( x; ; ) e
2
2
onde x ; e 0


▫ Curva Normal Simétrica:

0,4
Parâmetros:

E( X )
2
Var ( X )
f(x)

DP( X )
2
0,0
X ~ N( , )
-2 0 2


▫ Quando a média é zero e a variância é 1 temos uma
distribuição Normal Padrão:
Parâmetros:
0,4

E( X ) 0
Var( X ) 1
f(x)

Z ~ N (0,1)
0,0
-2 0 2
1 0 1


Próxima Aula
• Amostragem;
• Exercícios;
• Início de Estimação de Parâmetros.

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