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Caroline Godoy
Turma : Sistemas de Informação
Teste de Hipótese




Teste para a variância
• Em algumas situações, tais como problemas de controle de
  qualidade, além da medida de eficiência do tratamento, ou do interesse
  sobre a média por exemplo, existe o interesse no comportamento da
  variabilidade da medida de interesse.
• Portanto surge a necessidade do teste de hipótese a cerca da variância da
  medida de interesse, ou seja,
                                    2       2
                             H0 :           0
                                        2       2
                                                0
                                        2       2
                             H1 :               0
                                        2       2
                                                0
Teste de Hipótese




Teste para a variância
                                                               Segue uma distribuição
• A estatística de teste neste caso é dada por:                    Qui-quadrado

                              2    (n 1) S 2       2
                              c           2
                                               ~   n 1
                                          0                      O valor que quero
                                                                 testar na hipótese
• Rejeita-se H0 se:
       2       2                      2        2
i)     c       n 1;1 (   2)   ou      c        n 1;      2   (teste bilateral)
       2        2
ii)    c        n 1;      (teste unilateralà direita)
           2     2
iii)       c     n 1;1            (teste unilateralà esquerda)
Teste de Hipótese




  Teste para a variância
 • As regiões de rejeição podem ser apresentadas como:




2              2                     2               2
n 1;1 (   2)   n 1;   2              n 1;            n 1;1
Teste de Hipótese




Exemplo 5
• Sabe-se que em uma região do país a altura média é de 1,68m com
  variância 0,30m2. Um pesquisador acredita que a alimentação rotineira
  em uma cidade litorânea, sendo diferente da região como um
  todo, contribui para que as pessoas apresentem alturas mais
  homogêneas, apesar de não alterar a altura média na população da
  cidade. Para verificar a sua suspeitas, ele coletou uma amostra de 31
  pessoas e obteve como estimativa para a variância o valor de S2=0,25m2.
  Realizar um teste de hipótese para verificar a suspeita do pesquisador
  para α=4%.
Teste de Hipótese




Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Suponha que temos duas amostras independentes, de tamanhos n1 e
  n2, retiradas de duas populações normais com a mesma variância σ2
                     S12 S 2
  obtidos das amostras por2 e       respectivamente.
• Já vimos que:
                            (n1 1) S12       2
                      U          2
                                         ~       (n1 1)
                                    2
                           (n2 1) S 2        2
                      V          2
                                         ~       (n2 1)


• E portanto:               U
                S12       (n1 1)
                  2
                                 ~ F (n1 1, n2 1)
                S2          V
                          (n2 1)
Teste de Hipótese




Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Consideremos, agora, uma amostra ( X1 ,..., X n ) de uma população com
  distribuição N ( 1; 12 ) e uma amostra (Y1 ,...,Ym ) de uma população
                              2
  com distribuição N ( 2 ; 2 ) . Suponhamos que as duas amostras sejam
  independentes.

• Queremos testar:
                             2      2      2
                      H 0:   1      2
                             2      2
                      H 0:   1      2

                                                                     S12
• Então fixamos α e verificamos o valor da estatística de teste Fc .   2
                                                                     S2
Teste de Hipótese




Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Rejeitamos a hipótese nula se:         Fc       Fn   1;m 1;   2   ou Fc       Fn   1;m 1;1 (    2)




                                                                    A tabela somente nos fornece o
                                                                    valor da cauda da direita, mas
                                                                    podemos calcular o valor da
                                                                    cauda esquerda como:

                                                                    Fn                      1
                                                                         1;m 1;1 (   2)          Fm 1;n   1;   2




             Fm 1;n   1;1 (   2)   Fn   1;m 1;(   2)
Teste de Hipótese




Comparação das variâncias de Duas
Populações ou Tratamentos
• Se o teste for unilateral rejeitamos a hipótese nula se:




                  Fc    Fn   1;m 1;                     Fc   Fn   1;m 1;1




         Fn   1;m 1;1                     Fm 1;n   1;
Teste de Hipótese




Exemplo 6
• Considerando duas populações, uma com 13 observações e outra com
  7, qual os valores de F para um teste bilateral de variâncias para testar
                                  2       2      2
                           H 0:   1       2
                                  2       2
                           H 0:   1       2

• Considere α=10%
Teste de Hipótese




Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos
• Comparar duas populações ou dois tratamentos é muito frequente na
  prática estatística. Uma pergunta que aparece frequentemente em
  qualquer problema é: O tratamento (método) A é melhor que (mais
  eficiente) que o tratamento (método) B?

• Para comparar as respostas de dois métodos ou populações, pode-se usar
  planos de pares equiparados ou comparar amostras aleatórias
  selecionadas separadamente de cada poopulação.

• Exemplo: Um banco deseja conhecer qual dos dois planos de incentivo
  aumentará mais o uso de seus cartões de crédito. Ele oferece cada
  incentivo a uma a.a. de clientes de cartões de crédito e compara a
  quantidade debitada no cartão durante os 6 meses seguintes.
Teste de Hipótese




Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos
• O planejamento dos experimentos de duas populações pode ser de dois
  tipos:

   • Planejamento Aleatorizado (amostras independentes)
           Pop. 1: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta A;
                 (amostra de n1 valores)
           Pop. 2: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta B.
                 (amostra de n2 valores)

   • Planejamento Pareado (amostras dependentes)
           Pop. 1: Peso dos indivíduos antes da dieta A
           Pop. 2: Peso dos indivíduos depois da dieta A.
                (amostra única de tamanho n)
Teste de Hipótese




Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos – Amostras independentes
• Questões iniciais:


    1.   As duas populações são normais?
         Verificar por gráficos como Box Plot ou Histograma já vistos.
    2.   As variâncias são iguais ou diferentes?
         Realizar o Teste F já visto.
    3.   As variâncias da população são conhecidas ou desconhecidas?
Teste de Hipótese




 Comparação de Duas Populações ou
 Tratamentos – Amostras independentes
• Considerando as duas populações Normais ; variâncias iguais e
     desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de
     Verossimilhança:
                                     H 0:   A    B

                                     H 0:   B    A



                                                               2          2
       (YB YA ) ( B              )                   (n A 1) S A (nB 1) S B
tc                           A          onde    Sp
                                                          n A nB 2
               1   1
          Sp
               nA nB
Teste de Hipótese




Comparação de Duas Populações ou
Tratamentos – Amostras independentes
• Portanto, rejeita-se H0 se:

i ) | tc | t nA    nB 2;   2     (teste bilateral)
ii) tc      t nA   nB 2;        (teste unilateralà direita)
iii) tc         t nA   nB 2;      (teste unilateralà esquerda)
Teste de Hipótese




  Comparação de Duas Populações ou
  Tratamentos – Amostras independentes
  • Intervalo de Confiança para a diferença :      B        A



                                     *     1    1                     *      1       1
IC(   B    A   ; ) : ( xB   xA ) t S p             ; ( xB       xA ) t S p
                                           nA   nB                           nA      nB

                                 *
                             t       tnA   nB 2;   2
Teste de Hipótese




Correção da Prova
1.   Explique o Teorema do Limite Central (TLC).
2.   Explique a diferença entre estimação por ponto e por intervalo.
3.   Como podemos verificar se o comportamento de um conjunto de
     dados segue uma distribuição normal?
4.   Um centro de estudos de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa
     para avaliar a opinião dos telespectadores de uma região, sobre certo
     comentarista esportivo. Para isso entrevistou 380
     telespectadores, selecionados ao acaso da região, e constatou que 180
     desejavam que o comentarista fosse afastado da TV. Determine um
     intervalo de confiança de 90% para p: proporção de telespectadores
     favoráveis ao afastamento do comentarista.
Teste de Hipótese




Correção da Prova
5.   Para estimar o rendimento semanal de operários de construção de uma
     grande cidade, um sociólogo seleciona uma amostra aleatória de 75
     operários. A média amostral é dada por reais e reais. Determine um
     intervalo de confiança para considerando 90% e 95% de confiança.
     Qual intervalo abrange mais valores? Por quê?
6.   Complete as informações sobre testes de hipóteses abaixo:


           P(erro        )   P(             H0 | H0               )


           P(erro        )   P(             H0 | H0              )
Teste de Hipótese




Correção da Prova
7.   A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito
     preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja
     média nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem
     por ano e desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa
     de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra de
     nove indústrias e medido o número de horas/homens perdidas por
     acidente, que foi de 50 horas. Você diria, no nível de 5%, que há
     evidência de melhoria? (Defina as hipóteses e suponha normalidade
     nos dados).
Próxima aula
• Teste para duas populações com variâncias diferentes;
• Testes para amostras pareadas;

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  • 1. Caroline Godoy Turma : Sistemas de Informação
  • 2. Teste de Hipótese Teste para a variância • Em algumas situações, tais como problemas de controle de qualidade, além da medida de eficiência do tratamento, ou do interesse sobre a média por exemplo, existe o interesse no comportamento da variabilidade da medida de interesse. • Portanto surge a necessidade do teste de hipótese a cerca da variância da medida de interesse, ou seja, 2 2 H0 : 0 2 2 0 2 2 H1 : 0 2 2 0
  • 3. Teste de Hipótese Teste para a variância Segue uma distribuição • A estatística de teste neste caso é dada por: Qui-quadrado 2 (n 1) S 2 2 c 2 ~ n 1 0 O valor que quero testar na hipótese • Rejeita-se H0 se: 2 2 2 2 i) c n 1;1 ( 2) ou c n 1; 2 (teste bilateral) 2 2 ii) c n 1; (teste unilateralà direita) 2 2 iii) c n 1;1 (teste unilateralà esquerda)
  • 4. Teste de Hipótese Teste para a variância • As regiões de rejeição podem ser apresentadas como: 2 2 2 2 n 1;1 ( 2) n 1; 2 n 1; n 1;1
  • 5. Teste de Hipótese Exemplo 5 • Sabe-se que em uma região do país a altura média é de 1,68m com variância 0,30m2. Um pesquisador acredita que a alimentação rotineira em uma cidade litorânea, sendo diferente da região como um todo, contribui para que as pessoas apresentem alturas mais homogêneas, apesar de não alterar a altura média na população da cidade. Para verificar a sua suspeitas, ele coletou uma amostra de 31 pessoas e obteve como estimativa para a variância o valor de S2=0,25m2. Realizar um teste de hipótese para verificar a suspeita do pesquisador para α=4%.
  • 6. Teste de Hipótese Comparação das variâncias de Duas Populações ou Tratamentos • Suponha que temos duas amostras independentes, de tamanhos n1 e n2, retiradas de duas populações normais com a mesma variância σ2 S12 S 2 obtidos das amostras por2 e respectivamente. • Já vimos que: (n1 1) S12 2 U 2 ~ (n1 1) 2 (n2 1) S 2 2 V 2 ~ (n2 1) • E portanto: U S12 (n1 1) 2 ~ F (n1 1, n2 1) S2 V (n2 1)
  • 7. Teste de Hipótese Comparação das variâncias de Duas Populações ou Tratamentos • Consideremos, agora, uma amostra ( X1 ,..., X n ) de uma população com distribuição N ( 1; 12 ) e uma amostra (Y1 ,...,Ym ) de uma população 2 com distribuição N ( 2 ; 2 ) . Suponhamos que as duas amostras sejam independentes. • Queremos testar: 2 2 2 H 0: 1 2 2 2 H 0: 1 2 S12 • Então fixamos α e verificamos o valor da estatística de teste Fc . 2 S2
  • 8. Teste de Hipótese Comparação das variâncias de Duas Populações ou Tratamentos • Rejeitamos a hipótese nula se: Fc Fn 1;m 1; 2 ou Fc Fn 1;m 1;1 ( 2) A tabela somente nos fornece o valor da cauda da direita, mas podemos calcular o valor da cauda esquerda como: Fn 1 1;m 1;1 ( 2) Fm 1;n 1; 2 Fm 1;n 1;1 ( 2) Fn 1;m 1;( 2)
  • 9. Teste de Hipótese Comparação das variâncias de Duas Populações ou Tratamentos • Se o teste for unilateral rejeitamos a hipótese nula se: Fc Fn 1;m 1; Fc Fn 1;m 1;1 Fn 1;m 1;1 Fm 1;n 1;
  • 10. Teste de Hipótese Exemplo 6 • Considerando duas populações, uma com 13 observações e outra com 7, qual os valores de F para um teste bilateral de variâncias para testar 2 2 2 H 0: 1 2 2 2 H 0: 1 2 • Considere α=10%
  • 11. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos • Comparar duas populações ou dois tratamentos é muito frequente na prática estatística. Uma pergunta que aparece frequentemente em qualquer problema é: O tratamento (método) A é melhor que (mais eficiente) que o tratamento (método) B? • Para comparar as respostas de dois métodos ou populações, pode-se usar planos de pares equiparados ou comparar amostras aleatórias selecionadas separadamente de cada poopulação. • Exemplo: Um banco deseja conhecer qual dos dois planos de incentivo aumentará mais o uso de seus cartões de crédito. Ele oferece cada incentivo a uma a.a. de clientes de cartões de crédito e compara a quantidade debitada no cartão durante os 6 meses seguintes.
  • 12. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos • O planejamento dos experimentos de duas populações pode ser de dois tipos: • Planejamento Aleatorizado (amostras independentes) Pop. 1: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta A; (amostra de n1 valores) Pop. 2: Perda de peso dos indivíduos submetidos à dieta B. (amostra de n2 valores) • Planejamento Pareado (amostras dependentes) Pop. 1: Peso dos indivíduos antes da dieta A Pop. 2: Peso dos indivíduos depois da dieta A. (amostra única de tamanho n)
  • 13. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos – Amostras independentes • Questões iniciais: 1. As duas populações são normais? Verificar por gráficos como Box Plot ou Histograma já vistos. 2. As variâncias são iguais ou diferentes? Realizar o Teste F já visto. 3. As variâncias da população são conhecidas ou desconhecidas?
  • 14. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos – Amostras independentes • Considerando as duas populações Normais ; variâncias iguais e desconhecidas temos a estatística de teste pelo teste da Razão de Verossimilhança: H 0: A B H 0: B A 2 2 (YB YA ) ( B ) (n A 1) S A (nB 1) S B tc A onde Sp n A nB 2 1 1 Sp nA nB
  • 15. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos – Amostras independentes • Portanto, rejeita-se H0 se: i ) | tc | t nA nB 2; 2 (teste bilateral) ii) tc t nA nB 2; (teste unilateralà direita) iii) tc t nA nB 2; (teste unilateralà esquerda)
  • 16. Teste de Hipótese Comparação de Duas Populações ou Tratamentos – Amostras independentes • Intervalo de Confiança para a diferença : B A * 1 1 * 1 1 IC( B A ; ) : ( xB xA ) t S p ; ( xB xA ) t S p nA nB nA nB * t tnA nB 2; 2
  • 17. Teste de Hipótese Correção da Prova 1. Explique o Teorema do Limite Central (TLC). 2. Explique a diferença entre estimação por ponto e por intervalo. 3. Como podemos verificar se o comportamento de um conjunto de dados segue uma distribuição normal? 4. Um centro de estudos de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para avaliar a opinião dos telespectadores de uma região, sobre certo comentarista esportivo. Para isso entrevistou 380 telespectadores, selecionados ao acaso da região, e constatou que 180 desejavam que o comentarista fosse afastado da TV. Determine um intervalo de confiança de 90% para p: proporção de telespectadores favoráveis ao afastamento do comentarista.
  • 18. Teste de Hipótese Correção da Prova 5. Para estimar o rendimento semanal de operários de construção de uma grande cidade, um sociólogo seleciona uma amostra aleatória de 75 operários. A média amostral é dada por reais e reais. Determine um intervalo de confiança para considerando 90% e 95% de confiança. Qual intervalo abrange mais valores? Por quê? 6. Complete as informações sobre testes de hipóteses abaixo: P(erro ) P( H0 | H0 ) P(erro ) P( H0 | H0 )
  • 19. Teste de Hipótese Correção da Prova 7. A associação dos proprietários de indústrias metalúrgicas está muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho, cuja média nos últimos tempos, tem sido da ordem de 60 horas/homem por ano e desvio padrão de 20 horas/homem. Tentou-se um programa de prevenção de acidentes, após o qual foi tomada uma amostra de nove indústrias e medido o número de horas/homens perdidas por acidente, que foi de 50 horas. Você diria, no nível de 5%, que há evidência de melhoria? (Defina as hipóteses e suponha normalidade nos dados).
  • 20. Próxima aula • Teste para duas populações com variâncias diferentes; • Testes para amostras pareadas;