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Power point polinomios Presentation Transcript

  • 1. Los polinomios son una parte importante delÁlgebra. Están presentes en todos los contextoscientíficos y tecnológicos: desde losordenadores y la informática hasta la carreraespacial.La fórmula para calcular el La fórmula quevolumen de un cubo en expresa elfunción de la longitud (l) movimiento de unde su lado viene dada por: cuerpo en caída libre viene dada V (l ) = l 3 por el siguiente polinomio: 1 2 P (t ) = gt 2 t: tiempo g: gravedad
  • 2. MonomiosUn monomio es una expresión algebraica en la quela únicas operaciones que afectan a las letras son lamultiplicación y la potencia de exponente natural. Son monomios: NO son monomios: 2 2x 2x −2 − 12 x yz 3 2 2 15 − 7 yz x2 3 4abc
  • 3. Partes de un monomioLos coeficientes son los números que aparecen multiplicando.La parte literal la forman las letras y sus exponentes.El grado del monomio es la suma de los exponentes de las letras. 1 1 1 Gr. = 2 Gr. = 3 + 1 + 2 = 6 Gr. = 1 + 1 + 15 = 17
  • 4. Tipos de monomiosMonomios semejantes: semejantes Monomios opuestos:tienen la misma parte literal. son semejantes y sus coeficientes son números opuestos.− 25a b 2 3 ab2 3 − 25a b2 3 25a b2 3 1 1 3 2 1 3 25 xy − xy 7 7 x y − 7x y − NO semejantes NO opuestos 2 3 3a b c ab2 3 − 25a b3 2 25a b2 3
  • 5. Operaciones con monomiosLa suma (o resta) de monomios semejantes se realizasumando (o restando) los coeficientes y dejando la misma parteliteral. 5 xy + 3 xy − 5 xy + 7 xy = 2 2 2 2Ejemplo 1: ( ) xy 2 = 10xy 2Ejemplo 2: 5 xy + 3 x y 2 2 2 No son semejantes, luego no se pueden sumar.
  • 6. Operaciones con monomiosPara multiplicar por un lado, multiplicamos suscoeficientes y, por otro, sus partes literales.Ejemplo 3: − 3 y ⋅ 7 y = ( ) = − 21y 2 3Ejemplo 4: 5 xy ⋅ 3 x = ( ) = 15 x y 2 3 4 2
  • 7. Operaciones con monomiosPara dividir por un lado, dividimos suscoeficientes y, por otro, sus partes literales(si se puede).Ejemplo 5: − 21 y : 7 y = ( ) = −3y 5 7 2 )( : 25 3Ejemplo 6: 25a b : 4b = 3 2 = a 4
  • 8. PolinomiosUn polinomio es una expresión algebraica formada porla suma o resta de dos o más monomios no semejantes. Coeficiente Grado: 2 + 5 = 7 Término principal independiente 3 xy − 7 x y + 3 xyz − 21 3 2 5 TérminosSemayor de los grados de todos sus término, seCada unocoeficiente principalllama términosdelEl llama de los monomios se al coeficiente y términomonomio gradoliteral se llama términosi no tienede mayor grado.denomina parte del polinomio.independiente.independiente
  • 9. PolinomiosEl valor numérico de un polinomio P(x), para unvalor x=a, lo expresamos como P(a) y se obtienesustituyendo la variable x por el valor a en elpolinomio y operando.Ejemplo: P ( x) = 7 x − 3 x + 4 x −10 4 3P (2) = 7 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 + 4 ⋅ 2 −10 = 4 3= 7 ⋅16 − 3 ⋅ 8 + 8 −10 = 112 − 24 + 8 −10 = 86P (−1) = 7 ⋅ ( −1) − 3 ⋅ ( −1) + 4 ⋅ ( −1) −10 = 4 3= 7 ⋅1 − 3 ⋅ ( −1) − 4 −10 = 7 + 3 − 4 −10 = −4
  • 10. PolinomiosEl polinomio opuesto de un polinomio P(x), quedesignamos como -P(x), se obtiene cambiando elsigno de todos los términos de P(x).Ejemplo: P ( x) = 7 x − 3 x + 4 x −10 4 3Polinomio opuesto: − P ( x ) = −7 x + 3 x − 4 x + 10 4 3
  • 11. Operaciones con polinomiosPara sumar polinomios sumamos sus monomiossemejantes, dejando indicada la suma de losmonomios no semejantes.Ejemplo: P ( x ) = 2x − x + 7x +1 2x 5 7x4 2 Q ( x) = 3 x − 2x − 2x + 7 x − 8 4 3 3x 2 x 2 x 2 + P( x) + Q( x) 2x + 2x − 2 x + 5x + 7 x − 7 5 4 3 2
  • 12. Operaciones con polinomiosPara restar polinomios sumamos al primero elopuesto del segundo.Ejemplo: P( x) = 2 x − x + 7 x + 1 2x 5 7x4 2 Q ( x) = 3 x + 2x + 2 x + 7 x + 8 − 3x − 2 x − 2x − − 4 3 2 +P( x) − Q( x) 2x − 4x + 2x + 9x − 7x + 9 5 4 3 2
  • 13. Operaciones con polinomiosPara multiplicar un monomio por un polinomiomultiplicamos el monomio por cada uno de lostérminos del polinomio.Ejemplo: P( x) = 2 x − x + 7 x + 1 por 2 x 5 4 2 2x 3 × 2 x ⋅ P( x) 3 4 x − 2 x + 14 x + 2 x 8 7 5 3
  • 14. Operaciones con polinomiosEl producto de dos polinomio se halla multiplicandocada uno de los términos de uno de los polinomiospor el otro, y sumando después los polinomiossemejantes.Ejemplo: P( x) = 2 x − 5 x + 1 3 Q( x) = 3x − 4 2 × + − 8x 3 + 20 x − 4 6 x − 15 x + 3 x 5 3 2 P( x) ⋅ Q( x) 6 x − 23 x + 3 x + 20 x − 4 5 3 2
  • 15. Operaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un monomio, monomiodividimos cada término del polinomio entre elmonomio. Ejemplos: P( x) = 6 x − 9 x + 27 x 5 4 2 ( 5 2 ) ( P( x) : 3x = 6 x : 3x − 9 x : 3x + 27 x : 3x = 2 4 2 ) ( 2 2 )= 2 x − 3x + 9 3 2Q( x) = 7 x y − 5 xy 3 3 7 x y 5 xy 7 2 5Q( x) : ( − 2 x ) = − =− x + y − 2x − 2x 2 2
  • 16. Operaciones con polinomiosPara dividir un polinomio entre un polinomio, polinomioseguiremos los siguientes pasos: P( x) = −2 x + x − 20 − 11x + 30 x 3 4 2 Q( x) = 3x + x − 2 2 1º) Ordenamos los términos del dividendo y del divisor y los dispondremos como una división normal. x − 2x − 11x + 30 x − 20 4 3 2 x + 3x − 2 2
  • 17. Operaciones con polinomios2º) Se divide el primer término del dividendo con elprimer término del divisor, así se obtiene el primertérmino del cociente. x − 2x − 11x + 30 x − 20 4 3 2 x + 3x − 2 2− x − 3x + 2 x 4 3 2 x 2 x 2 + 3x − 2 × x2 x 4 + 3x 3 − 2 x 23º) Se multiplica el primer término del cociente porcada término del divisor y el producto pasa restando aldividendo.
  • 18. Operaciones con polinomios4º) Se suman algebraicamente. x − 2x − 11x + 30 x − 20 4 3 2 x + 3x − 2 2− x − 3x + 2 x 4 3 2 x − 5x 2 − 5 x − 9 x + 30 x − 20 3 2 x 2 + 3x − 2 5 x + 15 x − 10 x 3 2 × − 5x − 5 x 3 − 15 x 2 + 10 x5º) Se divide el primer término del nuevo residuo, entreel primer término del divisor, así obtenemos el segundotérmino del divisor. Este segundo término se multiplicapor el divisor y se pasa restando al dividendo.
  • 19. Operaciones con polinomios6º) Se repite el procedimiento hasta que el grado delpolinomio resto sea menor que el grado del polinomiodivisor. x − 2x − 11x + 30 x − 20 4 3 2 x + 3x − 2 2 − x − 3x + 2 x 4 3 2 x − 5x + 6 2 − 5 x − 9 x + 30 x − 20 3 2 5 x + 15 x − 10 x 3 2 6 x + 20 x − 20 2 − 6 x − 18 x + 12 2 2x − 8
  • 20. Operaciones con polinomiosPolinomio dividendoD(x) = Polinomio divisorx − 2x − 11x + 30 x − 20 4 3 2 x + 3x − 2 2 d (x) = x − 5x + 6 2 Polinomio cociente c(x) = Polinomio restor (x) = 2x − 8
  • 21. Identidades notablesLas siguientes operaciones con binomios sonsimples multiplicaciones.Es recomendable aprenderlas de memoria por suconstante utilidad.Uno de los errores mas frecuentes es considerarque la expresión (a+b)2 es igual a a2+b2. Pero es FALSO.
  • 22. Identidades notablesCuadrado de una suma: el cuadrado de una sumaes igual a: • el cuadrado del primero, • más el doble del primero por el segundo, • más el cuadrado del segundo. a b a + b a + b a ab + b2 a+b a2 ab (a+b)2 a2 + ab b ab b 2 a2 + 2ab + b2 a+b
  • 23. Identidades notablesCuadrado de una diferencia: el cuadrado de unadiferencia es igual a: • el cuadrado del primero, • menos el doble del primero por el segundo, • más el cuadrado del segundo. a - b a - b (a-b)2 - ab + b2 a2 ab a2 - ab ab a2 - 2ab + b2 b2
  • 24. Identidades notablesSuma por diferencia: una suma por una diferenciaes igual a: • el cuadrado del primero, • menos el cuadrado del segundo. a + b a - b - ab - b2 a2 + ab a2 - b2
  • 25. Identidades notables