1. PMT01 – Fundamentos da Mecânica dos Fluidos
Prof. Dr. Admilson T. Franco
Escoamento Viscoso com Fronteiras Móveis - Paper CIT02-
XXXX
Clovis Bombardelli
Lacit - Cefet/Curitiba
cb_kxt@hotmail.com
Resumo: Demonstração da obtenção de uma solução analítica para o escoamento viscoso transiente devido a uma aceleração ou
frenagem momentânea do suporte que contém o fluído. A metodologia é estendida também ao caso onde o suporte movimenta-se
com movimento constante, porém oscilatório e harmônico.
Palavras chave: escoamento temporário viscoso, escoamento, perfil de velocidades
1. Introdução.
As soluções analíticas para os escoamentos de fluídos, considerando sua viscosidade, é obtida através das equações
de Navier-Stokes, as quais apresenta soluções viáveis apenas em alguns casos particulares onde é possível eliminar a
maior parte das variáveis implicadas no fenômeno. Todas estas soluções existentes são restritas ao escoamento laminar
e entre elas se encontra o escoamento imposta por um objeto imerso num fluído, que tem sua velocidade subitamente
aumentada ou diminuída. Os primeiros estudos sobre este fato físico foram feitos por G. Stokes em 1845 ao estudar o
comportamento dos pêndulos. Neste trabalho apresentou a solução analítica do perfil de velocidades que este
movimento do objeto impõe ao fluído. Sendo portanto a primeira das soluções analíticas exatas das equações de Navier-
Stokes[1] conhecidas até hoje. Em seguida a esta G. Stokes apresentou a solução exata também para o caso do
movimento oscilatório harmônico, que foi o objeto de seu estudo sobre os pêndulos e sua influência ao fluído onde o
mesmo está imerso ou vice-versa, ou seja, a influência que poderia ter um fluído na alteração de freqüência de um
pêndulo, e conseqüentemente na variação da medida de tempo obtida nos relógios que dependiam deste para funcionar.
Posteriormente este mesmo trabalho foi feito por Rayleigh[4] fato que faz com que muitos autores tenham considerado
este problema como sendo deste último. Tal atribuição é indevida, uma vez que a solução do problema é clara e
completamente discutida nos memoriais escritos por G. Stokes.
Posteriormente outros estudos foram feitos por Carslaw & Jaeger[2], em 1957, realizando estudos sobre o calor, em
fluxo transitório, com similaridade ao fluxo de fluído, chegaram a conclusões matemáticas semelhantes. A mesma
expressão matemática também foi obtida por Fick, quando o mesmo expressou sua segunda lei para a difusividade
molecular. Um bom detalhamento matemático sobre as leis de Fick e a difusividade pode ser encontrada num tratado
escrito por Crank[3]. Devido a essas similaridades esses fenômenos físicos foram agrupados sob a denominação de
fenômenos de transportes, a qual, é a ciência que estuda a propagação de massa e energia entre os corpos devido a
diferenças de potencial. Os mecanismos de como isto ocorre ainda não estão muito bem esclarecido. e são motivos de
estudos. Entanto, se sabe que, sempre que existir uma diferença de potencial, este irá gerar um fenômeno de transporte,
de maneira a neutralizar o tal potencial. De uma forma simplista se pode dizer que tudo isso ocorre devido ao fato da
energia ser uma propriedade que se propaga e esta propagação é a causa natural de todos os fenômenos físicos.
No caso de Stokes, ocorre a transmissão da quantidade de movimento de uma partícula mais energizada às suas
vizinhas, devido ao efeito da viscosidade, que é na verdade, a ligação físico-química que as partículas atômicas tem
entre si. Analisando o calor sob a ótica microscópica, este na verdade consiste em quantidade de movimento das
partículas atômicas e moleculares, e portanto, incide no mesmo caso físico, diferindo apenas na ordem de grandeza.
Enquanto o primeiro trata dos movimentos de baixa freqüência, considerados mecânicos, o outro trata dos movimentos
de altíssima freqüência.
. Sob a ótica de Stokes, não houve a preocupação com as possíveis causas, mas apenas identificar o perfil de
velocidades e para tanto apresentar uma solução matemática para o problema. Uma vez conhecida a variação da
velocidade do fluído poder-se-ia determinar a perda de energia do pêndulo e conseqüentemente sua necessidade de
reposição energética para manter o movimento oscilatório uniforme. Ao considerar o movimento do pêndulo, verifica-
se que este tem um movimento considerado como sendo uniformemente variado, ou seja, ora acelerado, ora retardado.
Outra característica é ser também do tipo oscilatório harmônico. Ou seja, é dotado de uma velocidade máxima e esta é
atingida em períodos de tempos constante. O trabalho aqui apresentado tentará reproduzir de forma mais explicita
possível o mesmo problema, com detalhamento da busca da solução analítica exata para o fenômeno físico onde um
corpo imerso em um fluído é repentinamente acelerado ou frenado e com isto obter a influência que este objeto causa
sobre o fluído, verificável sob a luz do perfil de velocidades do mesmo nas imediações do objeto.
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O escoamento transiente ocorre sempre no inicio de um processo permanente até se estabelecer a constância do
mesmo ou também como um escoamento particular onde ele é, por natureza própria, sempre do tipo transitório, como o
é o caso de naves se deslocando na atmosfera ou mesmo o caso das ondas de choque ou também, o caso de um pêndulo
balançando. G. Stokes estudou esse último caso, sendo a solução por ele encontrada então se considerada a primeira
solução analítica exata para as equações do movimento de fluído, desenvolvidas por ele e por Navier, que mais tarde
receberiam seus nomes como uma homenagem. Devido ao fato de haver sempre um corpo atuando sobre o fluído, o
movimento do fluído se dará pela difusão de parte deste movimento, devido ao atrito e às forças viscosas, do corpo
sobre o fluído. Percebe-se então que o perfil de velocidades que o fluído assumirá é uma função do tipo de movimento
que o corpo possui. Se o movimento do corpo for do tipo acelerado, o corpo tem a cada instante sua velocidade
aumentada, e essa velocidade tende a se transmitir para o líquido nas proximidades do corpo, se propagando sempre em
direção ortogonal ao mesmo. Percebe-se então que o movimento do corpo é uma variável independente. Para
estabelecer a influência que este tem sobre um fluído vamos considerar a ação de uma placa horizontal bastante grande
sobre a qual repousa um fluído, e que, momentaneamente a mesma entra em movimento acelerando até atingir uma
velocidade máxima que será designada como U. Num caso mais geral, depois será considerada a hipótese deste
movimento tornar-se oscilatório, ou seja, variar sua velocidade entre U e –U, passando sempre pela condição de
repouso. De certa forma, com esta simulação se pode predizer o perfil de velocidades, obtida pela ação de osciladores
em fluídos, como por exemplo, diapasões, cordas de instrumentos musicais e outras fontes de ruídos, bem como, outras
fontes de oscilação em fluídos. Para o problema não se tornar tão complexo, algumas restrições serão adotadas, entre
elas a adoção de apenas fluídos newtonianos e que mantenham suas propriedades constantes com a pressão e
temperatura. Em resumo, os casos as serem analisados serão:
• Placa imersa em fluído, subitamente acelerada;
• Placa imersa em fluído, subitamente desacelerada;
• Placa imersa em fluído, dotada de movimento oscilatório harmônico;
• Placa imersa em fluído, num caso generalizado.
2. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Subitamente Acelerada
Para efeito de análise usar-se-ão as equações de Navier-Stokes acopladas à equação diferencial da conservação de
massa.
A equação da conservação da massa, também conhecida como equação da continuidade, tem a forma:
∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u )
+ + + =0 (2.1)
∂t ∂x ∂y ∂z
E as equações de Navier-Stokes,
∂u ∂u ∂u ∂u ∂p ∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx
ρ⋅ + u ⋅ + v ⋅ + w⋅ = ρ ⋅ gx − − + + (2.2)
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x ∂y ∂z
e
∂v ∂v ∂v ∂v ∂p ∂τ xy ∂τ yy ∂τ zy
ρ⋅ + u ⋅ + v ⋅ + w⋅ = ρ ⋅ gy − − + + (2.3)
∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x ∂y ∂z
e
∂w ∂w ∂w ∂w ∂p ∂τ xz ∂τ yz ∂τ zz
ρ⋅ +u⋅ +v⋅ + w⋅ = ρ ⋅ gz − − + + (2.4)
∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z
Introduzindo simplificações para fluído newtoniano, estas equações sofrem a alteração:
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na direção x:
Du ∂p ∂ ∂u ∂ ∂u ∂v ∂ ∂w ∂u
ρ⋅
Dt
= ρ .g x − −
∂x ∂x
2.µ
∂x
(
+ λ ∇ ⋅V ) +
∂y
µ +
∂y ∂x
+
∂z
µ +
∂x ∂z
(2.5)
na direção y:
Dv ∂p ∂ ∂v ∂u ∂ ∂v ∂ ∂v ∂w
ρ⋅
Dt
= ρ .g y − +
∂y ∂x
µ +
∂x ∂y
+
∂y ∂y
(
2.µ + λ ∇ ⋅ V ) +
∂z
µ +
∂z ∂y
(2.6)
e na direção z:
Dw ∂p ∂ ∂w ∂u ∂ ∂v ∂w ∂ ∂w
ρ⋅
Dt
= ρ .g z − +
∂z ∂x
µ +
∂x ∂z
+
∂y
µ +
∂z ∂y
+
∂z
2.µ
∂z
(
+ λ ∇ ⋅V ) (2.7)
Estas equações podem ser ainda mais simplificadas. Se considerarmos o escoamento como incompressível e
constante, o divergente do campo de velocidade se anula e a densidade e a viscosidade se tornam independentes da
temperatura e pressão, As equações tomam uma forma mais simples e homogênea como apresentado abaixo:
Na direção x:
Du ∂p ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u
ρ⋅ = ρ .g x − + µ + + (2.8)
Dt ∂x ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Na direção y:
Dv ∂p ∂ 2v ∂2v ∂2v
ρ⋅ = ρ .g y − + µ + + (2.9)
Dt ∂y ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
E na direção z:
Dw ∂p ∂2w ∂2w ∂2w
ρ⋅ = ρ .g z − +µ + + (2.10)
Dt ∂z ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
as quais são válidas para fluído newtoniano, incompressível e viscosidade constante, podem ser resumidas na
forma vetorial como:
DV
ρ⋅ = ρ .g − ∇p + µ.∇ 2V (2.11)
Dt
Para os escoamentos transientes, somente são resolvidas após a introdução de uma série de simplificações. A
primeira condição é que o escoamento seja laminar. Assim fez G. Stokes em seus estudos sobre a fricção em pêndulos
em 1845. Após considerar o fluído ao redor do pêndulo um fluído newtoniano, introduziu ainda as hipóteses de que o
mesmo fosse incompressível e ao mesmo tempo mantivesse suas propriedades constantes, tanto ao longo do tempo
como ao longo do escoamento. Desta forma os termos convectivos se anulam. Introduzindo as mesmas considerações
podemos então enumerá-las:
1. O fluído sofre a ação de uma placa infinita que subitamente tem sua velocidade aumentada a partir do repouso
até uma velocidade U máxima;
2. fluído está inicialmente em repouso. Isto significa que o mesmo se encontra isento da ação de diferenças de
pressões em qualquer direção;
3. Considerar o escoamento unidirecional na direção do movimento da placa;
4. Considerar densidade e viscosidade independentes da pressão e da temperatura e portanto, constantes;
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Aplicando a equação da continuidade, dada pela que 1.1, verifica-se que para um escoamento incompressível, a
densidade é constante e portanto pode sair da integral, ficando
∂ρ ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u ) ∂ ( ρ u ) ∂ρ ∂u ∂v ∂w
+ + + = +ρ +ρ +ρ =0
∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z
∂ρ ∂u ∂v ∂w ∂u ∂v ∂w
+ρ + + = 0(4) + ρ + + =0
∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z
(4)
– densidade constante e portanto seu gradiente é igual a zero. Pela equação percebe-se que para o resultado ser
igual a zero, então o gradiente de velocidades deve ser igual a zero. Isto leva à conclusão de que tanto u, v e w
são constante na direção de seu escoamento, mas podem variar nas outras direções.
5. Assim, considerando um escoamento unidirecional somente na direção do movimento da placa , atribuindo-se
a esta direção o eixo x, pode-se dizer que u(x) = 0, mas u = f(y) e u = g(z);
Aplicando as equações de Navier-Stokes e considerando estas hipóteses, resulta numa simplificação significativa,
tornando possível uma solução analítica para o caso.
Na direção x, o primeiro termo da equação:
∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u
ρ⋅ + u ⋅ + v⋅ + w⋅ = ρ ⋅ + 0(5) + 0(5) + 0(5) = ρ ⋅
∂t ∂x ∂y ∂z ∂t ∂t
e o segundo termo da equação fica
∂p ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2 u ∂ 2u ∂ 2u
ρ .g x − +µ + 2 + 2 = 0( ) + 0(2) + µ 0(5) + 2 + 2
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∂x ∂x 2
∂y ∂z ∂y ∂z
reunindo ambos, a expressão para um escoamento unidirecional, considerando as duas direções remanescentes
resulta:
∂u ∂ 2u ∂ 2u
ρ⋅ = µ 0(5) + 2 + 2 (2.12)
∂t ∂y ∂z
porém,
µ
=υ (2.13)
ρ
onde υ representa a viscosidade cinemática. Assim...
∂u ∂2u ∂2u
=υ + (2.14)
∂t ∂y 2 ∂z 2
Esta equação diferencial também é conhecida como a equação da difusão térmica em sólidos, a qual governa a
distribuição de temperatura num meio estacionário que tenha uma difusividade térmica igual a υ e a mesma foi descrita
por Carslaw & Jaeger[2]. A mesma equação surge também nos fenômenos de difusão molecular. Nos três casos a
solução é idêntica e pode ser conseguida de várias maneiras, a saber:
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A solução para esta equação pode ser obtida de várias maneiras, entre as quais pode-se citar o emprego das
transformadas de Laplace ou as transformadas de Fourier. Resolvendo-a pelo método de separação de variáveis obtém-
se a solução geral abaixo:
u = ( C1 .cos ( λ. y ) + C2 .sin ( λ. y ) ) .e − λ
2
.t
(2.15)
Mas se for considerado que a placa seja infinita na direção z, sua influencia em z será sempre a mesma e portanto o
gradiente segundo esta direção também será nulo. Assim, a expressão mais simples para um escoamento transiente
assume a forma:
∂u ∂ 2u
=υ ⋅ 2 (2.16)
∂t ∂y
ou, em forma de equação homogênea:
∂u ∂ 2u
−υ ⋅ 2 = 0 (2.17)
∂t ∂y
Uma outra solução mais elegante é obtida usando similaridade de expressões. Explicando melhor, pode-se dizer que
a velocidade u, a qual varia de 0 até U pode ser expressa de forma adimensional através da expressão u/U, a qual passa
a ser designada como f, variando então de 0 a 1, onde f = velocidade relativa com relação à velocidade máxima que a
placa irá atingir. Assim
u
= f ( y , t ,υ ) (2.18)
U
Uma vez que o termo à esquerda é adimensional, o termo à direita também deve ser. Entretanto, a única
combinação linear das variáveis citadas que fornecem uma relação adimensional, é
y2 L2
→ 2 (2.19)
υ .t L
⋅t
t
escolhendo
1 y
η= ⋅
2 υ .t
e fazendo
u
= f (η ) = ϑ (2.20)
U
derivando f e substituindo na equação diferencial (eq. 1.20) esta fica:
∂ (ϑ )
=
∂ (ϑ ) ∂η
⋅ =−
y.t 2 ∂ (ϑ )
−3
⋅ =−
2η υ .t .t ( ) −3
2
⋅
∂ (ϑ ) 1 η ∂ (ϑ )
=− ⋅ ⋅ (2.21)
∂t ∂η ∂t 4 υ ∂η 4 υ ∂η 2 t ∂η
d (ϑ ) d (ϑ ) ∂η 1 ∂η
= ⋅ = ⋅ (2.22)
∂y ∂y ∂y 2 υ.t ∂y
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∂ 2 (ϑ ) ∂ d (ϑ ) 1 ∂ 1 ∂ (ϑ ) 1 ∂ (ϑ )
2
= = ⋅ ⋅ = ⋅ (2.23)
∂y ∂y ∂y 2 υ.t ∂η 2 υ .t ∂η 4υ .t ∂η 2
2
substituindo na (eq. 1.17)...
1 η ∂ (ϑ ) 1 ∂ (ϑ ) 4 η.t ∂ (ϑ ) ∂ (ϑ )
2 2
∂u ∂ 2u
−υ ⋅ 2 = 0 − ⋅ ⋅ − υ. ⋅ =0 − ⋅ ⋅ =
∂t ∂y 2 t ∂η 4υ .t ∂η 2 2 t ∂η ∂η 2
∂ 2 (ϑ ) ∂ (ϑ )
+ 2η ⋅ =0 (2.24)
∂η 2 ∂η
Esta forma é equivalente à forma anterior, porém com apenas duas variáveis adimensionais envolvidas.
Resolvendo a equação anterior, submetendo-a as condições de contorno abaixo, fica:
u ( y, t = 0 ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c1)
u ( y = 0, t ) = v0 ϑ ( 0) = 1 ( c2 )
u ( y → ∞, t ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c3 )
∂ (ϑ )
∂
∂ (ϑ )
2
∂η
∂η 2 ∂η
= = −2η (2.25)
∂ (ϑ ) ∂ (ϑ )
∂η ∂η
y
η=
2 υ .t
que por similaridade induz a
d 1 ∂ ∂ (ϑ ) ∂ (ϑ )
( ln x ) = ⋅ x ' ln = −2η ∂ ln = −2η∂η (2.26)
dx x ∂η ∂η ∂η
η η
∂ϑ ∂ϑ
ϑ (η ) = C1e −η dη = C1 e −η dη + C2
2 2 2
ln = −η 2 + ln C1 = C1e −η (2.27)
∂η ∂η 0 0
Impondo as condições de contorno...
Para y = 0 e η =0 → ϑ =1 (condição c2)
Substituindo na eq. 1.27, isto implica dizer que
1 = 0 + C2 C2 = 1
Impondo as condições c3 ( y →∞ , η = ∞ e ϑ = 0 ) e C2 = 1 , a expressão 1.27 fica:
∞ ∞ ∞
2 2 2 1
0 = C1 e−η dη + 1 −C1 e−η dη = 1 − e −η dη =
0 0 0
C1
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Como a integral imprópria acima tem seu valor tabelado e seu valor é
1 −2
π C1 =
2 π
Assim a solução particular para o problema terá a expressão final abaixo.
η
u 2 2
= 1− e −η dη (2.28)
U π 0
Para qualquer valor de t ≥ 0. O termo integral da equação é conhecido como função erro, sendo representada de
maneira simplificada como erf( η ) e tem os seguintes valores notáveis:
Para η = 0 erf(0) = 0
η=∞ erf(∞) = 1
Impondo a condição de contorno c1 ( t = 0, y = 0 , η = ∞ e ϑ = 0 ), verifica-se a validade da expressão e assim a
mesma representa o fenômeno físico dentro das limitações e simplificações inicialmente impostas. De uma forma mais
reduzida a mesma pode ainda ser representada como:
ϑ = U .erfc(η ) (2.29)
2.1. Conclusões Importantes Encontradas neste Perfil
A penetração do efeito do movimento da placa no fluído é influenciada pela viscosidade do fluído e pelo tempo de
atuação da placa sobre o fluído. Tomando em conta a definição da camada limite, observa-se que para uma variação
maior que 1% sobre a velocidade da placa a profundidade de penetração do efeito é dado pela expressão
δ = 2.η. v.t ≈ 4. v.t (2.30)
Dispondo os dados obtidos numa simulação pode-se avaliar o formato do perfil através do gráfico abaixo
Figura (2.1) – Perfil de velocidade do fluído sobre uma placa subitamente acelerada. (duas vistas)
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3. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Subitamente Desacelerada.
O caso inverso, no qual o fluído está se movendo a uma velocidade uniforme U e a placa é subitamente
desacelerada até parar, tem uma solução bastante similar, porém oposta. Pode-se dizer resumidamente que uma solução
complementa a outra. A expressão analítica para este caso é:
ϑ = U .erf (η ) (3.1)
3.1. Conclusões Importantes Encontradas neste Perfil
Da mesma maneira a penetração do efeito do movimento da placa no fluído é influenciada pela viscosidade do
fluído e pelo tempo de atuação da placa sobre o fluído.
Dispondo os dados obtidos numa simulação pode-se avaliar o formato do perfil através do gráfico abaixo
Figura (2.1) – Perfil de velocidade do fluído sobre uma placa subitamente desacelerada.
4. Modelagem do Perfil de Velocidades. Placa Oscilante (Movimento Harmônico).
Neste caso, a placa em estudo possui um movimento oscilatório harmônico simples, ou seja, um movimento de vai-
e-vem similar ao que ocorre em um pêndulo de relógio. Para representar o movimento oscilatório, usa-se uma
representação de Fourier e um modelo mecânico baseado em duas placas planas distantes uma da outra de uma
distância h sendo que uma das quais está em repouso e a outra se move com o movimento acima descrito. A velocidade
na parede em movimento é dada então pela expressão:
uw = U (t ) = U .cos(ω .t ) (4.1)
Considerando a alternância deste movimento pode-se dizer que num determinado instante o fluído é submetido a
uma condição similar àquela da placa acelerada e no instante seguinte àquela da placa desacelerada, de forma que numa
primeira instância pode-se pensar numa solução analítica obtida pela combinação dos dois movimentos ou mesmo
aplicar a mesma regra da similaridade, convertendo a equação diferencial numa equação envolvendo apenas duas
variáveis adimensionais. Entretanto, a placa ao retornar irá encontrar o líquido dotado de movimento, devido à inércia,
na direção contrária a da placa e este será então progressivamente desacelerado até reverter seu movimento, implicando
num pequeno tempo de defasagem entre os movimentos e portanto, uma nova metodologia deve ser usada na solução,
pois envolve agora deslocamento de ondas mecânicas. A solução matemática deve ser pensada em como as ondas
amortecidas se deslocam através do fluído viscoso, partindo da parede.
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Este problema, também conhecido como segundo problema de Stokes, tem soluções obtidas através da aplicação
das equações de Navier-Stokes com as mesmas hipóteses simplificadoras usadas nos dois problemas anteriores, porém
com a diferença das condições de contorno, mostradas abaixo, onde se pode verificar que a única diferença reside na
velocidade junto à parede que se move.
u ( y, t = 0 ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c1)
u ( y = 0, t ) = U .sin(ω .t ) ϑ (0) = 1 ( c2 )
u ( y → ∞, t ) = 0 ϑ (η → ∞ ) = 0 ( c3 )
onde U é a velocidade máxima que a placa tem em seu movimento, o qual varia entre +U e –U. Neste problema o fluído
está inicialmente em repouso quando então a placa inicia seu movimento estabilizando após um tempo com um
movimento harmônico simples. O objetivo do problema é determinar a influência do movimento da placa no fluído.
Várias são as maneiras de se obter a solução geral para a mesma. De uma maneira resumida pode ser vista como a soma
de uma parte transiente e uma parte relativa ao movimento plenamente estabelecido. Para simplificar a solução
matemática do mesmo as partes são resolvidas em etapas separadas. À medida que o tempo passa, partindo do inicio, o
movimento tende a ir tendendo para uma freqüência de equilíbrio, e então, a parcela referente à transitoriedade tende
para um valor muito pequeno ou mesmo nula, restando somente a parte do movimento harmônico simples plenamente
estabelecido. De ambas, esta é a solução mais importante. Neste primeiro, se buscará a solução para o movimento
oscilatório estabilizado. De forma semelhante ao problema anterior, este também pode ser tratado de maneira
adimensional. Partindo da equação 2.16 com condições de contorno acima, a literatura pesquisada traz como solução
geral, uma expressão como mostrado abaixo:
ϑ ( y, t ) = u ( y, t ) + i.u *( y, t ) (4.2)
Esta expressão, se tiver os termos u = cos (T) e u* = sin (T), pode ser substituída pela identidade de Euler
eiT = cos(T ) + i.sen(T )
Fazendo as substituições de variáveis abaixo
uw .sin(T )
ϑ= = sin(T ) T = ω .t
U
Estas variáveis, substituídas na equação 2.16, juntamente com a consideração de que
y ω
η= 1
=y
v
(υ ω ) 2
que é a única combinação adimensional existente entre as variáveis do segundo termo da equação 2.16. O termo ω
representa a freqüência e é igual a 2.π.f, (medida em T-1). Após a substituição acima, a equação 2.16 se transforma em:
∂ (ϑ ) ∂ 2 (ϑ )
− =0 (4.3)
∂T ∂ 2η
A qual passa a ser considerada como sendo adimensional. A velocidade da placa por ser oscilante pode ser
representada como uma função cossenóide ou mesmo senóide. Somente uma parte da variável complexa tem
significação física. Se tratarmos a função que denota o movimento da placa como sendo senóide, então a parte
imaginária deve ser considerada. No outro caso, a parte real é a que importa. Considerando que a velocidade no fluído
irá penetrar em função do tempo, da viscosidade e da própria velocidade, pode-se dizer que ϑ também é uma função
destas variáveis de maneira tal a se tornar um valor adimensional. Desta forma, pode-se dizer que
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ϑ = sin T ei.T = cos(T ) + i.sin(T ) ϑ = eiT . f (η ) (considerar a parte imaginária)
ϑ = cosT ei.T = cos(T ) + i.sin(T ) ϑ = eiT . f (η ) (considerar a parte real)
derivando a expressão assumida como solução vem que
∂ϑ ∂ iT ∂
=
∂T ∂T
( e . f (η ) ) = eiT . ∂∂ [ f (η )] + i.eiT . f (η )
T
mas
∂T
[ f (η )] = 0
logo
∂ϑ
= i.eiT . f (η ) ( f(η) não depende do tempo, apenas viscosidade, freqüência e profundidade ). (4.4)
∂T
e
∂ϑ ∂ iT ∂ ∂ ∂
= ( e . f (η ) ) = eiT . f (η ) + ( eiT ) . f (η ) = eiT . f (η ) (4.5)
∂y ∂y ∂y ∂y ∂y
∂ 2ϑ ∂ iT ∂ ∂ iT ∂
( e ) . ∂y f (η ) + eiT . ∂∂y 2 f (η ) = eiT . ∂∂y 2 f (η )
2 2
= e . f (η ) = (4.6)
∂y 2 ∂ y ∂y ∂y
substituindo na equação 4.3 esta fica:
∂2 ∂2
i.eiT . f (η ) − eiT . f (η ) = 0 i. f (η ) − f (η ) eiT = 0 (4.7)
∂y 2 ∂y 2
Como ei .T ≠ 0 , o termo dentro dos colchetes deve ser igual a zero. Se considerarmos esta equação diferencial sua
solução geral é
(λ 2
= i) f (η ) = C1.e i .η
+ C2 .e − i .η
(4.8)
Aplicando as condições de contorno e forma coerente com as condições iniciais, tem-se que
η=0 f(η) = 1 ( O fluído terá a velocidade idêntica a da placa)
η=∞ f(η) = 0
Assim:
C1 + C2 = 1
C2 C2 = 1
C1 .∞ + C2 = 0 ∞.C1 = −C2 C1 = C1 = 0
−∞
Então,
f (η ) = e− i .η
e ϑ (η ) = e − i .η
.eiT (4.9)
1+ i
mas i=
2
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Assim:
1+ i η i .η η i .η η η
− η − − − i .T − − i. T −
ϑ (η ) = Im e 2
.e i .T
= Im e 2
.e 2
.e i .T
= Im e 2
.e 2
= Im e 2
.e 2
η
− η
ϑ (η ) = e 2
.sin T − (4.10)
2
Recuperando as variáveis iniciais, a expressão adquire sua forma final
ω
−y ω
ϑ (η ) = e 2v
.sin ω t − y (4.11)
2v
4.1 Conseqüências e Verificações Importantes para este Perfil
A penetração do efeito da placa na direção y é amortecida pelo termo exponencial da equação. Da mesma maneira
que no problema anterior verifica-se que esta penetração também é função da raiz quadrada da viscosidade e
inversamente proporcional à raiz quadrada da freqüência. Estimando a camada limite (camada onde o efeito do
movimento é maior que 1% da velocidade normal da placa), verifica-se que esta é relacionada pela expressão:
2.v
δ = 4,5 (4.12)
ω
O segundo termo da expressão fornece o comportamento ondulatório do perfil. Isolando a posição em função das
demais variáveis, obtém-se
y=C+ ( )
2.v.ω .t (4.13)
onde o termo entre parêntesis denota a velocidade da onda.
Avaliando este perfil em termos gráficos pode-se avaliar perfeitamente através dos gráficos abaixo. A simulação foi
feita com U = 10 unidades de velocidade, viscosidade na ordem de 1 centipoise, freqüência de 1 revolução por segundo
(ω = 2π). A grandeza y do gráfico expressa o afastamento em termos de distância (cm).
Figura (4.1) – Perfil da velocidade ilustrativo para U=10 unidades de velocidade.
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Figura (4.2) – Perfil visto pelo lado da placa em movimento, onde se pode observar o desenvolvimento do perfil ao
longo do tempo e ao longo do afastamento.
Figura (4.3) – Perfil obtido após multiplicar por 5 a freqüência de oscilação mantendo as demais variáveis inalteradas.
Pode-se perceber a diminuição na penetração.
Figura (4.4) – Perfil obtido após multiplicar por 5 a viscosidade, mantendo as demais variáveis inalteradas.
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Para a situação onde o fluído está oscilando com uma freqüência ω sobre uma placa em repouso, o problema
também é considerado como sendo um problema de Stokes, agora governado pela expressão U = -sin(T). E de forma
semelhante ao primeiro problema de Stokes, a solução deste caso será a expressa negativa da solução original obtida no
caso anterior, combinada com a expressão de que U∞ = sin(T), resultando numa solução complementar. Assim, a
expressão para este caso resulta em
η
η −
ϑ (η ) = − sin T − e 2
+ sin T (4.14)
2
Nesta expressão, a primeira parcela da soma representa o efeito viscoso e a segunda parcela representa a oscilação
invíscida, de donde se conclui que o fluído está dotado de um movimento oscilatório composto por duas ondas
senoidais de mesma freqüência que se somam mutuamente, sendo sempre possível representar esta como uma única
onda através da introdução de um termo de amplitude e outro de fase, da forma como mostrado abaixo
ϑ (η ) = A sin(T + θ ) (4.15)
onde A é amplitude e θ é o ângulo de defasagem.
Pode-se visualizar esta variação no gráfico abaixo
Figura (4.5) – Perfil de velocidades de um fluído oscilando sobre uma placa com movimento oscilatório.
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5. Modelagem do Perfil de Velocidades para Qualquer Situação Transitória.
Para uma avaliação em qualquer situação de estados transitórios, as equações de Navier-Stokes devem ser usadas.
Na situação onde as velocidades componentes são independentes das coordenadas longitudinais (direção do
escoamento), pode-se se usar as seguintes equações já feitas as simplificações mais importantes.
∂u ∂u 1 ∂p ∂2u
+v⋅ = − ⋅ +υ ⋅ 2 (5.1)
∂t ∂y ρ ∂x ∂y
∂v 1 ∂p
=− ⋅ (5.2)
∂t ρ ∂y
∂v
=0 (5.3)
∂y
6. Agradecimentos
Agradecimentos em especial ao professor Admilson T. Franco, pelo auxílio na busca de informações e bibliografia
referentes ao problema.
7. Lista de referências
1 – Ver Memoir on Pendulums, escrito em 1845;
2 – Ver Conduction of Heat in Solids, escrita por Carslaw & J. C. Jaeger (Oxford 1947);
3 – Ver The Mathematics of Diffusion, Oxford Univ. Press, London, 1958;
4 – Alguns autores consideram este problema como sendo um problema de Rayleigh. Entretanto, isto Não se
justifica, uma vez que este problema está muito bem discutido e resolvido no paper citado na referência 1.
8. Referências
White, F. M., Viscous Fluid Flow, 2a ed., McGraw-Hill, 1991;
Warsi, Z. U. A., Fluid Dynamics Theoretical and Computational Approaches, 2a ed., CRC Press,
Welty, J. R., Wilson, R. E., Wicks, C. E., Fundamentals of Momentum, Heat and Mass Transfer, John Wiley &
Sons, 1969, NY;
Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press, 1967, NY;
Panton, R. L., Incompressibile Flow, John Wiley & Sons, 1984;
9. Direitos autorais
UNSTEADY UNIDIRECTIONAL VISCOUS FLOW WITH MOVED BOUNDARIES
Clovis Bombardelli
Lacit - Cefet / Curitiba
cb_kxt@hotmail.com
Abstract. A unsteady unidirectional viscous flow has several features and characteristics that we pretend do the
demonstrations. First, there is the gradual spreading or diffusion of velocity variations across streamlines, which comes about
through the tangential force exerted across planes normal to y-axes. The distance of penetration of these velocity variations into
regions of uniform velocity after a time t is of order of square root of viscosity and time. Two special cases are analized in this paper.
The influence of a plane boundary moved suddenly in a fluid at rest and the flow near an oscillating flat plate.
Viscous flow, velocity streamlines, the viscosity influence in the momentum diffusion.
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1oQ/2003
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