Este documento contém 20 problemas de matemática resolvidos, cobrindo tópicos como geometria plana e espacial, áreas de figuras planas, volumes, proporcionalidade e escalas. As soluções utilizam conceitos como semelhança de triângulos, fórmulas de área de figuras geométricas regulares e irregulares e aplicação de proporcionalidade.

1. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(01) Um edifício projeta uma sombra de 10 m ao mesmo tempo em que um poste de
12 m projeta uma sombra de 4 m. Qual a altura do edifício, sabendo que o edifício
e o poste são perpendiculares ao solo?
Solução
Pela semelhança de triângulos, temos:
(02) Um terreno foi dividido em lotes com frentes para a Rua 01 e para a Rua 02,
como você vê na ilustração abaixo. As laterais dos terrenos são paralelas. Calcule
os valores de x, y e z.
Solução
Aplicando o Teorema de Tales, temos:
𝑥
x=
𝑦
𝑧
𝑦
5
540
45
8
5
8
5
𝑧
5
5
𝒙
𝟏𝟐 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
𝒚
𝟏𝟖 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
𝒛
𝟐𝟒 𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔
1

2. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(03) Na praça central de uma cidade foi construído um obelisco, em forma de cruz,
conforme mostra figura abaixo. A cruz é compacta e construída com cubos de
alumínio de arestas iguais a 80 cm. O volume de alumínio usado para construir
somente a cruz foi de:
a) 5,12 m³
b) 4,80 m³ c) 4,48 m³ d) 4,16 m³ e) 3,84 m³
Solução
A cruz é formada por 10 cubos de aresta 80 cm
cada um.
𝑉 𝑑𝑎
𝑉 𝑑𝑎
𝑐𝑟𝑢𝑧
𝑎3
𝑐𝑟𝑢𝑧
5.
𝑉 𝑑𝑎
.
8
𝑐𝑟𝑢𝑧
𝑐𝑚³
𝑽 𝒅𝒂
3
𝟓, 𝟏𝟐 𝒎³
𝒄𝒓𝒖𝒛
Resposta: letra (a)
(04) As dimensões de uma piscina olímpica são: 50m de comprimento, 25m de
largura e 3m de profundidade. O seu volume, em litros, é:
a) 3.750.
b) 37.500.
c) 375.000.
d) 3.750.000.
e) 37.500.000.
Solução
A piscina tem a forma de um paralelepípedo retângulo,
logo:
𝑉
𝑎. 𝑏. 𝑐
𝑉
3.75 .
𝑉
5 . 5.3
𝑉
375
𝑚3
𝑑𝑚³
Como: 1 dm³ = 1 litros
Resposta: 3.750.000 litros, letra (d).
2

3. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(05) Calcule área do terreno cuja forma e dimensões estão representadas na
figura abaixo.
Solução
Sabemos que quando conhecemos os três lados (diferentes) de um triângulo, a área
dessa região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron.
Vejamos:
(1) Cálculo do semiperímetro do triângulo:
3
8
3
,
(2) Cálculo da área do triângulo:
(Fórmula de Heron)
√
√ 5,5 5,5
√ 5,5
3
5,5
8
5,5
,5 7,5 5,5
√ 598, 375
,
(06) Qual é a área da região triangular limitada pelo triângulo cujas medidas estão
indicadas na figura abaixo?
3

4. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
Quando conhecemos dois lados de um triângulo e o ângulo formado por eles, a área
da região triangular é dada por:
.
̂ (“a” e “b” são os lados conhecidos e ̂ o ângulo formado por eles).
.
Logo:
.
.
.
̂
.
3
5
,5
(07) Sabe-se que
é a medida (em graus) de um dos ângulos internos de um
triângulo retângulo. Se sen
, cos
e a hipotenusa do triângulo mede 20
cm, determine sua área.
Solução
𝑠𝑒𝑛 𝜃
𝑘
𝑘
𝑘
∆
6
𝑠𝑒𝑛 𝜃
Note que:
0
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
𝑘
5𝑘
𝑘
𝑘
𝑐𝑜𝑠 𝜃
3
∆
± 6
𝑘
6
𝑘
𝑠𝑒𝑛 𝜃
±8
3
5
𝑘′
3
, 𝑘"
5
𝒔𝒆𝒏 𝜽
𝑛ã𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒
𝟒
𝟓
, logo:
5
cos
Note que cos
0
4

5. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
3
5
Cálculo da área do triângulo:
.
6.
(08) Alguns jornais calculam o número de pessoas presentes em atos públicos
considerando que cada metro quadrado é ocupado por 4 pessoas. Qual é a
estimativa do número de pessoas presentes numa praça de 4.000 m² que tenha
ficado lotada para um comício, segundo essa avaliação?
Solução
Esse problema pode ser solucionado através de uma regra de três simples:
(09) Um mapa é feito em uma escala de 1 cm para cada 200 km. O município onde
se encontra a capital de certo estado está representado, nesse mapa, por um
losango que tem um ângulo de 120° e cuja diagonal menor mede 0,2 cm. determine a
área desse município.
Dado: 3
,7.
Solução
5

6. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Note que a área do município equivale ao dobro da área de um triângulo equilátero
de lado igual a 40 km:
3
3
.
6
.
3
8
3
8
. ,7
(10) O lado, o semiperímetro e a área de um hexágono regular formam, nessa
ordem, uma PG. Determine o apótema desse hexágono.
Solução
Lado = L
Semiperímetro = 3L
Área do hexágono:
𝑆
PG (L, 3L,
3
3
𝐿
3
𝑺
𝟑
𝑳
𝟑
𝟐
)
3
3
6.
3
3
3
6
Cálculo do apótema:
No triângulo vermelho, temos:
( )
3
3(
3)
3. .3
9
6

7. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(11) Calcule a área da região colorida na figura abaixo.
A área colorida é conhecida como “segmento
circular”. Ela pode ser obtida pela diferença
entre a área do setor circular e a da região
triangular:
(1) Área do setor circular:
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝜋𝑅 𝛼
36
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝜋. 36. 5
36
(2) Área da região triangular:
. 6.6.
5
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝜋. 6 . 5
36
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
5𝜋
𝑺 𝒔𝒆𝒕𝒐𝒓
𝟗𝝅
𝟐
. 36.
(3) Área do segmento circular:
9
9
9
8
√
(12) O perímetro do quadrado ABCD da figura abaixo é 32 cm. Calcule a área da
região colorida (amarelo) da figura.
Solução
(1) Cálculo do lado do quadrado:
Perímetro = 32
𝐿
3
𝑳
𝟖 𝒄𝒎 ∴
Área do quadrado de lado igual a 8 cm:
𝑆
𝐿
𝑺
𝟔𝟒 𝒄𝒎
(2) Cálculo da área do círculo de raio igual a 4 cm.
.
7

8. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(3) Área da região colorida:
6
6
(13) Calcule a área do setor circular da figura abaixo.
Solução
Temos na figura ao lado: raio = 4 cm e
comprimento do arco = 10 cm. Logo, devemos
calcular a área do setor circular em função
dessas duas dimensões:
Podemos usar o seguinte raciocínio:
.
.
(14) Uma cesta de lixo tem por faces laterais trapézios isósceles e por fundo um
quadrado de 19 cm de lado. Desprezando a espessura da madeira, quantos metros
quadrados de madeira foram necessários para fabricar essa cesta de lixo?
8

9. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
Solução
A área total da cesta é dada por:
.
.(
7
. 6. 5
75
9 3
)
9
36
36
3
,
(15) Dado um triângulo equilátero de lado L. Qual a área da coroa circular limitada
pelas circunferências inscrita e circunscrita nesse triângulo?
Solução
(1) Se R é o raio da circunferência circunscrita, então:
𝐿
𝑅 3
𝑅
𝐿
𝑳 𝟑
𝟑
𝑹
3
(2) Se r é o raio da circunferência inscrita, então:
𝐿
𝑟 3
𝑟
𝐿 3
3
𝒓
𝑳 𝟑
𝟔
(3) Área da coroa:
*(
3
3
)+
[(
3
6
) ]
(
3
9
3
)
36
9

10. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
3
(
36
)
(
9
)
36
(16) Um triângulo escaleno ABC tem área igual a 96 m². Sejam M e N os pontos
médios dos lados AB e AC, respectivamente. Calcule a área do quadrilátero BMNC.
Solução
A razão entre os lados dos triângulos ABC e
AMN é k = 2.
A razão entre suas áreas é:
96
𝑆
k² = 4 
𝑺
𝟐𝟒 𝒄𝒎
Então a área do trapézio BMNC é:
96 – 24 = 72 cm²
(17) Na figura ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O
segmento DE é paralelo a AB, F é um ponto de AB e o segmento CF intercepta DE
no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Calcule a área do triângulo CDE.
Solução
(1) O triângulo menor CDE é semelhante ao maior CAB, pois
̂ é comum e as bases 𝐷𝐸 𝑒 𝐴𝐵 são paralelas. Assim, a área
𝐶
do triângulo CAB é:
.5
𝑆 𝐶𝐴𝐵
𝑺 𝑪𝑨𝑩
𝟏𝟎 𝒄𝒎
(2) A razão entre os segmentos CF e CG é:
𝑘
𝐶𝐹
𝐶𝐺
𝑘
6
𝒌
𝟑
𝟐
(3) Logo, a razão entre as áreas é:
3
( )
9
9
10

11. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(18) A planta de um apartamento está confeccionada na escala 1:50. Assim sendo,
calcule a área real, em m², de uma sala retangular cujas medidas na planta são 12
cm e 14 cm.
Solução
(19) Em uma metalúrgica, uma talhadeira industrial recorta 24 discos de uma chapa
metálica, como mostra a figura abaixo. A sobra vai para a reciclagem para a
produção de novas chapas.
Quantas sobras são necessárias para produzir uma nova chapa com as mesmas
dimensões?
Dado: π = 3,14.
Solução
(1) Área da chapa
.
,8
.
11

12. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(2) Diagonal do círculo:
,
6
,
∴
,
(3) Como são 24 discos, a área recortada da chapa é:
.
.
,
.3,
. ,
,
(4) Área da sobra:
,96
,
,7536
6
5 Sobras necessárias para uma nova chapa:
,96
, 6
Resposta: Serão necessárias sobras de 5 chapas para produzir uma nova
chapa.
12

13. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(20) O triângulo inscrito na circunferência da figura abaixo de raio 1 cm é
isósceles de raio 1 cm. Calcule a área da região pintada de vermelho.
Solução
A área da região pintada de vermelho é igual à área do
círculo de raio 1 cm menos à área do triângulo isósceles
menos a área do segmento circular.
(1) Área do círculo:
𝑆𝑐
𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝜋𝑟
𝑆𝑐
𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
𝜋.
𝑺𝒄
𝒓𝒄𝒖𝒍𝒐
𝝅
(2) Área do triângulo
.
3
3
(3) Área do segmento:
(a) Cálculo da área do setor:
Observe que no triângulo equilátero de lado 1, cada ângulo interno vale 60°,
portanto:
13

14. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
.6
36
.
.6
36
(b) Cálculo da área do triângulo equilátero de lado 1:
3
3
(c) Área do segmento:
(4) Área da região pintada:
-(
*(
(
3
)
3 3
+
(
3
6
)
)+
3 3
)
6
14

15. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(21) O triângulo ABC da figura abaixo é equilátero e tem área
3 cm². As
circunferências têm centro em A, B e C. Calcule a área da região pintada de
amarelo.
Solução
Observe que o raio de cada círculo vale a metade do lado
do triângulo ABC, logo:
R=
𝐿
(1) Área do triângulo ABC =
𝑆 𝑡𝑟𝑖
𝐿
3
3
𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜
𝐿
3 cm².
3
𝐿
8
𝑳
𝟐 𝟐
Como:
R=

(2) Área amarela:
3.
3. (
3.
)
3.
.(
) .6
36
6
(22) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de
circunferências de raio 1. Calcule a área da região pintada de azul.
Solução
15

16. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(1) O quadrado ABCD de lado 1, tem área igual a:
(2) Cálculo da área do triângulo ADE:
3
3
O ângulo ̂ é o complemento do ângulo ̂ que mede 60°, então med ( ̂
3 . Da mesma forma, a medida do ângulo ̂ é 30°.
Assim podemos visualizar a seguinte figura:
Note que na figura ao lado:
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝐵𝐴𝐸
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝐶𝐷𝐸
𝜋𝑅 . 𝛼
36
𝜋.
.3
36
𝜋
Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2.
𝜋
(3) Quando subtrairmos da área do quadrado, a área do triângulo ADE e as áreas
dos dois setores circulares (BAE e CDE), encontraremos a área procurada:
(
3
6
)
16
𝜋
6

17. Questões Resolvidas de Matemática
Celso do Rosário Brasil Gonçalves
(23) (Variação do problema anterior) - O quadrado da figura abaixo tem lado
unitário. Calcule o valor da área colorida.
Solução
O triângulo ADE é equilátero. Logo, a área destacada é a área do
triângulo equilátero somada a 2 segmentos circulares de 60°.
𝐿
𝑆 𝐴𝐷𝐸
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝐵𝐴𝐸
3
3
𝑆 𝐴𝐷𝐸
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
.
𝐶𝐷𝐸
𝟑
𝑺 𝑨𝑫𝑬
𝜋𝑅 . 𝛼
36
𝟒
.
𝜋.
.6
36
.
𝜋
6
𝝅
𝟑
Como são dois setores, a área colorida ao lado vale: 2.
𝑆 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑆 𝑠𝑒𝑡𝑜𝑟
𝑺 𝒔𝒆𝒈𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
𝝅
𝟔
𝑆 𝑐𝑜𝑙𝑜𝑟𝑖𝑑𝑎
𝝅
𝟑
𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑜
𝟑
𝟒
3
4
𝑺 𝒄𝒐𝒍𝒐𝒓𝒊𝒅𝒂
𝑆 𝑡𝑟𝑖
𝜋
𝝅
𝟔
𝟑
𝟒
𝟑
𝟒
17
𝜋
6