1. 2. En una comunidad de 8000 personas, la velocidad con la que se difunde un rumor
tiene una relación directa a la raíz cuadrada del número de personas que si escucharon
el rumor y al número de personas que no escucharon el rumor. Sabiendo que 40
personas escucharon el rumor, este llega a circular a velocidad de 200 personas por
hora. ¿Cuantas personas habrán escuchado otro rumor si la velocidad fue de 50
personas por hora?
Solución:
Según las relaciones la ecuación queda así:
𝑣 = 𝑘√ 𝑥(8000 − 𝑥)
Pero, se nota que la velocidad está en función de las personas:
𝑓( 𝑥) = 𝑘√ 𝑥(8000 − 𝑥)
Luego, se halla la constante k para hallar la ecuación completa
200
𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎
ℎ𝑜𝑟𝑎
= 𝑘√40(8000 − 40)
Hallando así: 𝑘 =
√10
796
Finalmente se tiene la ecuación completa: 𝑓( 𝑥) =
√10𝑥(8000−𝑥)
796
Ahora, teniendo en cuenta los datos anteriores, hallamos el número de personas que
escucharon el rumor representada por x, utilizando el método de Müller.
Haciendo la función más asequible: 𝑓( 𝑥) = 50 =
8000√10𝑥1/2
796
−
√10𝑥3/2
796
𝑓1( 𝑥) =
8000√10𝑥1/2
796
−
√10𝑥3/2
796
− 50 = 0
Método de Müller:
Primera Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
𝑥0 = 1 ; 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 3
Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene:
𝑓0 = −18.2223 ; 𝑓1 = −5.0651 , 𝑓2 = 5.0269
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
𝑓[ 𝑥1,𝑥0] =
𝑓1 − 𝑓0
𝑥1 − 𝑥0
= 13.1572
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] =
𝑓2 − 𝑓1
𝑥2 − 𝑥1
= 10.0920
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
= −1.5326
2. Luego:
𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −1.5326
𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = −17.775
𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −34.4447
Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 =
2𝑎0
−𝑎1±(𝑎1
2−4𝑎0 𝑎2)1/2
, y el
valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−𝑎1 + ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −7.553
−𝑎1 − ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −28.0117
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
𝑥2 =
2(−34.4447)
−28.0117
= 2.4593
Segunda Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
𝑥0 = 2 ; 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 2.4593
Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene:
𝑓0 = −5.0651 ; 𝑓1 = 5.0269 , 𝑓2 = −0.1749
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
𝑓[ 𝑥1,𝑥0] =
𝑓1 − 𝑓0
𝑥1 − 𝑥0
= 10.092
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] =
𝑓2 − 𝑓1
𝑥2 − 𝑥1
= 9.6205
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
= −1.0266
Luego:
𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −1.0266
𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = 15.225
𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −31.4087
Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 =
2𝑎0
−𝑎1±(𝑎1
2−4𝑎0 𝑎2)1/2
, y el
valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−𝑎1 + ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −5.0848
−𝑎1 − ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −25.3652
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
3. 𝑥2 =
2(−31.4087)
−25.3652
= 2.4765
Tercera Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
𝑥0 = 3 ; 𝑥1 = 2.4593 ; 𝑥2 = 2.4765
Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene:
𝑓0 = 5.0269 ; 𝑓1 = −0.1749 , 𝑓2 = −0.0010
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
𝑓[ 𝑥1,𝑥0] =
𝑓1 − 𝑓0
𝑥1 − 𝑥0
= 9.6205
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] =
𝑓2 − 𝑓1
𝑥2 − 𝑥1
= 10.1105
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
= −0.9360
Luego:
𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −0.9360
𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = 14.7304
𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −30.7403
Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 =
2𝑎0
−𝑎1±(𝑎1
2−4𝑎0 𝑎2)1/2
, y el
valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−𝑎1 + ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −4.6362
−𝑎1 − ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −24.8246
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
𝑥2 =
2(−30.7403)
−24.8246
= 2.4766
Finalmente, se obtiene el valor más aproximado a la raíz: x = 2.4766
𝒊 𝒙 𝒊 |𝒙 𝒊+𝟏 – 𝒙 𝒊|
1 1 -
2 2 1.0000
3 3 1.0000
4 2.4593 0.5407
5 2.4765 0.0172
6 2.4766 0.0001
Ahora para comprobar si resulta dar la misma respuesta con otro método:
4. Método del Newton-Raphson:
Teniendo 𝑥0 = 1 y 𝜀 = 1𝑥10−3
aplicando | 𝑥𝑖+1 − 𝑥 𝑖| :
Utilizando la ecuación:
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 −
𝑓( 𝑥𝑖)
𝑓′( 𝑥𝑖)
= 𝑔( 𝑥 𝑖)
Entonces, hallando la derivada de la función y reemplazando en la ecuación anterior:
Primera Iteración:
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓1( 𝑥0)
𝑓′
1
( 𝑥0)
= 𝑔( 𝑥0)
𝑥1 = 1 −
8000√10(1)
1
2
796
−
√10(1)
3
2
796
− 50
4000√10(1)−
1
2
796
−
3√10(1)
1
2
1592
= 𝑔(1) = 2.1471
Segunda Iteración:
𝑥2 = 2.1471 −
8000√10(2.1471)
1
2
796
−
√10(2.1471)
3
2
796
− 50
4000√10(2.1471)−
1
2
796
−
3√10(2.1471)
1
2
1592
= 2.4648
Tercera Iteración:
𝑥3 = 2.4648 −
8000√10(2.4648)
1
2
796
−
√10(2.4648)
3
2
796
− 50
4000√10(2.4648)−
1
2
796
−
3√10(2.4648)
1
2
1592
= 2.4766
Demostrando así que el valor hallado en el método anterior si tiene el mismo resultado
aplicado en este.
𝒊 𝒙 𝒊 |𝒙 𝒊+𝟏 – 𝒙 𝒊|
0 1 -
1 2.1471 1.1471
2 2.4648 0.3177
3 2.4766 0.0118