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2. En una comunidad de 8000 personas, la velocidad con la que se difunde un rumor
tiene una relación directa a la raíz cuadrada del número de personas que si escucharon
el rumor y al número de personas que no escucharon el rumor. Sabiendo que 40
personas escucharon el rumor, este llega a circular a velocidad de 200 personas por
hora. ¿Cuantas personas habrán escuchado otro rumor si la velocidad fue de 50
personas por hora?
Solución:
 Según las relaciones la ecuación queda así:
𝑣 = 𝑘√ 𝑥(8000 − 𝑥)
 Pero, se nota que la velocidad está en función de las personas:
𝑓( 𝑥) = 𝑘√ 𝑥(8000 − 𝑥)
 Luego, se halla la constante k para hallar la ecuación completa
200
𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎
ℎ𝑜𝑟𝑎
= 𝑘√40(8000 − 40)
Hallando así: 𝑘 =
√10
796
Finalmente se tiene la ecuación completa: 𝑓( 𝑥) =
√10𝑥(8000−𝑥)
796
Ahora, teniendo en cuenta los datos anteriores, hallamos el número de personas que
escucharon el rumor representada por x, utilizando el método de Müller.
Haciendo la función más asequible: 𝑓( 𝑥) = 50 =
8000√10𝑥1/2
796
−
√10𝑥3/2
796
𝑓1( 𝑥) =
8000√10𝑥1/2
796
−
√10𝑥3/2
796
− 50 = 0
Método de Müller:
Primera Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
𝑥0 = 1 ; 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 3
Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene:
𝑓0 = −18.2223 ; 𝑓1 = −5.0651 , 𝑓2 = 5.0269
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
𝑓[ 𝑥1,𝑥0] =
𝑓1 − 𝑓0
𝑥1 − 𝑥0
= 13.1572
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] =
𝑓2 − 𝑓1
𝑥2 − 𝑥1
= 10.0920
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
= −1.5326
Luego:
𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −1.5326
𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = −17.775
𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −34.4447
Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 =
2𝑎0
−𝑎1±(𝑎1
2−4𝑎0 𝑎2)1/2
, y el
valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−𝑎1 + ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −7.553
−𝑎1 − ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −28.0117
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
𝑥2 =
2(−34.4447)
−28.0117
= 2.4593
Segunda Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
𝑥0 = 2 ; 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 2.4593
Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene:
𝑓0 = −5.0651 ; 𝑓1 = 5.0269 , 𝑓2 = −0.1749
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
𝑓[ 𝑥1,𝑥0] =
𝑓1 − 𝑓0
𝑥1 − 𝑥0
= 10.092
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] =
𝑓2 − 𝑓1
𝑥2 − 𝑥1
= 9.6205
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
= −1.0266
Luego:
𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −1.0266
𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = 15.225
𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −31.4087
Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 =
2𝑎0
−𝑎1±(𝑎1
2−4𝑎0 𝑎2)1/2
, y el
valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−𝑎1 + ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −5.0848
−𝑎1 − ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −25.3652
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
𝑥2 =
2(−31.4087)
−25.3652
= 2.4765
Tercera Iteración:
Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:
𝑥0 = 3 ; 𝑥1 = 2.4593 ; 𝑥2 = 2.4765
Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene:
𝑓0 = 5.0269 ; 𝑓1 = −0.1749 , 𝑓2 = −0.0010
Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:
𝑓[ 𝑥1,𝑥0] =
𝑓1 − 𝑓0
𝑥1 − 𝑥0
= 9.6205
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] =
𝑓2 − 𝑓1
𝑥2 − 𝑥1
= 10.1105
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] =
𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0]
𝑥2 − 𝑥0
= −0.9360
Luego:
𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −0.9360
𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = 14.7304
𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −30.7403
Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 =
2𝑎0
−𝑎1±(𝑎1
2−4𝑎0 𝑎2)1/2
, y el
valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.
−𝑎1 + ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −4.6362
−𝑎1 − ( 𝑎1
2
− 4𝑎0 𝑎2)
1
2 = −24.8246
Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
𝑥2 =
2(−30.7403)
−24.8246
= 2.4766
Finalmente, se obtiene el valor más aproximado a la raíz: x = 2.4766
𝒊 𝒙 𝒊 |𝒙 𝒊+𝟏 – 𝒙 𝒊|
1 1 -
2 2 1.0000
3 3 1.0000
4 2.4593 0.5407
5 2.4765 0.0172
6 2.4766 0.0001
Ahora para comprobar si resulta dar la misma respuesta con otro método:
Método del Newton-Raphson:
Teniendo 𝑥0 = 1 y 𝜀 = 1𝑥10−3
aplicando | 𝑥𝑖+1 − 𝑥 𝑖| :
Utilizando la ecuación:
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 −
𝑓( 𝑥𝑖)
𝑓′( 𝑥𝑖)
= 𝑔( 𝑥 𝑖)
Entonces, hallando la derivada de la función y reemplazando en la ecuación anterior:
Primera Iteración:
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓1( 𝑥0)
𝑓′
1
( 𝑥0)
= 𝑔( 𝑥0)
𝑥1 = 1 −
8000√10(1)
1
2
796
−
√10(1)
3
2
796
− 50
4000√10(1)−
1
2
796
−
3√10(1)
1
2
1592
= 𝑔(1) = 2.1471
Segunda Iteración:
𝑥2 = 2.1471 −
8000√10(2.1471)
1
2
796
−
√10(2.1471)
3
2
796
− 50
4000√10(2.1471)−
1
2
796
−
3√10(2.1471)
1
2
1592
= 2.4648
Tercera Iteración:
𝑥3 = 2.4648 −
8000√10(2.4648)
1
2
796
−
√10(2.4648)
3
2
796
− 50
4000√10(2.4648)−
1
2
796
−
3√10(2.4648)
1
2
1592
= 2.4766
Demostrando así que el valor hallado en el método anterior si tiene el mismo resultado
aplicado en este.
𝒊 𝒙 𝒊 |𝒙 𝒊+𝟏 – 𝒙 𝒊|
0 1 -
1 2.1471 1.1471
2 2.4648 0.3177
3 2.4766 0.0118
Codificación:
eps=0;eps1=0.00001;
x0=1;x1=2;x2=3;
for i=1:6
f0=((8000*(10)^(1/2)*x0^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x0^(3/2))/796)-50;
f1=((8000*(10)^(1/2)*x1^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x1^(3/2))/796)-50;
f2=((8000*(10)^(1/2)*x2^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x2^(3/2))/796)-50;
f10=(f1-f0)/(x1-x0);
f21=(f2-f1)/(x2-x1);
f210=(f21-f10)/(x2-x0);
a2=f210;
a1=f21-(x2+x1)*a2;
a0=f2-x2*(f21-x1*a2);
d1=-a1+(a1^(1/2)-4*a0*a2);
d2=-a1-(a1^(1/2)-4*a0*a2);
if abs(d1)>abs(d2)
x3=2*a0/d1;
else
x3=2*a0/d2;
end
f3=((8000*(10)^(1/2)*x3^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x3^(3/2))/796)-50;
dist=abs(x3-x2);
disp([x3,dist])
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x0=x1;x1=x2;x2=x3;
end
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Problema n2

  • 1. 2. En una comunidad de 8000 personas, la velocidad con la que se difunde un rumor tiene una relación directa a la raíz cuadrada del número de personas que si escucharon el rumor y al número de personas que no escucharon el rumor. Sabiendo que 40 personas escucharon el rumor, este llega a circular a velocidad de 200 personas por hora. ¿Cuantas personas habrán escuchado otro rumor si la velocidad fue de 50 personas por hora? Solución:  Según las relaciones la ecuación queda así: 𝑣 = 𝑘√ 𝑥(8000 − 𝑥)  Pero, se nota que la velocidad está en función de las personas: 𝑓( 𝑥) = 𝑘√ 𝑥(8000 − 𝑥)  Luego, se halla la constante k para hallar la ecuación completa 200 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑜𝑛𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑎 = 𝑘√40(8000 − 40) Hallando así: 𝑘 = √10 796 Finalmente se tiene la ecuación completa: 𝑓( 𝑥) = √10𝑥(8000−𝑥) 796 Ahora, teniendo en cuenta los datos anteriores, hallamos el número de personas que escucharon el rumor representada por x, utilizando el método de Müller. Haciendo la función más asequible: 𝑓( 𝑥) = 50 = 8000√10𝑥1/2 796 − √10𝑥3/2 796 𝑓1( 𝑥) = 8000√10𝑥1/2 796 − √10𝑥3/2 796 − 50 = 0 Método de Müller: Primera Iteración: Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como: 𝑥0 = 1 ; 𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = 3 Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene: 𝑓0 = −18.2223 ; 𝑓1 = −5.0651 , 𝑓2 = 5.0269 Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado: 𝑓[ 𝑥1,𝑥0] = 𝑓1 − 𝑓0 𝑥1 − 𝑥0 = 13.1572 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] = 𝑓2 − 𝑓1 𝑥2 − 𝑥1 = 10.0920 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0] 𝑥2 − 𝑥0 = −1.5326
  • 2. Luego: 𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −1.5326 𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = −17.775 𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −34.4447 Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 = 2𝑎0 −𝑎1±(𝑎1 2−4𝑎0 𝑎2)1/2 , y el valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración. −𝑎1 + ( 𝑎1 2 − 4𝑎0 𝑎2) 1 2 = −7.553 −𝑎1 − ( 𝑎1 2 − 4𝑎0 𝑎2) 1 2 = −28.0117 Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2: 𝑥2 = 2(−34.4447) −28.0117 = 2.4593 Segunda Iteración: Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como: 𝑥0 = 2 ; 𝑥1 = 3 ; 𝑥2 = 2.4593 Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene: 𝑓0 = −5.0651 ; 𝑓1 = 5.0269 , 𝑓2 = −0.1749 Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado: 𝑓[ 𝑥1,𝑥0] = 𝑓1 − 𝑓0 𝑥1 − 𝑥0 = 10.092 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] = 𝑓2 − 𝑓1 𝑥2 − 𝑥1 = 9.6205 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0] 𝑥2 − 𝑥0 = −1.0266 Luego: 𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −1.0266 𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = 15.225 𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −31.4087 Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 = 2𝑎0 −𝑎1±(𝑎1 2−4𝑎0 𝑎2)1/2 , y el valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración. −𝑎1 + ( 𝑎1 2 − 4𝑎0 𝑎2) 1 2 = −5.0848 −𝑎1 − ( 𝑎1 2 − 4𝑎0 𝑎2) 1 2 = −25.3652 Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:
  • 3. 𝑥2 = 2(−31.4087) −25.3652 = 2.4765 Tercera Iteración: Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como: 𝑥0 = 3 ; 𝑥1 = 2.4593 ; 𝑥2 = 2.4765 Se evalúan los puntos en el 𝑓1(𝑥) , en los cuales se obtiene: 𝑓0 = 5.0269 ; 𝑓1 = −0.1749 , 𝑓2 = −0.0010 Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado: 𝑓[ 𝑥1,𝑥0] = 𝑓1 − 𝑓0 𝑥1 − 𝑥0 = 9.6205 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] = 𝑓2 − 𝑓1 𝑥2 − 𝑥1 = 10.1105 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1,𝑥0] = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− 𝑓[ 𝑥1,𝑥0] 𝑥2 − 𝑥0 = −0.9360 Luego: 𝑎2 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1, 𝑥0] = −0.9360 𝑎1 = 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1] − ( 𝑥1 + 𝑥2) 𝑎2 = 14.7304 𝑎0 = 𝑓2 − 𝑥2( 𝑓[ 𝑥2, 𝑥1]− ( 𝑥1) 𝑎2) = −30.7403 Se calculan los denominadores de la ecuación 𝑥𝑖+1 = 2𝑎0 −𝑎1±(𝑎1 2−4𝑎0 𝑎2)1/2 , y el valor absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración. −𝑎1 + ( 𝑎1 2 − 4𝑎0 𝑎2) 1 2 = −4.6362 −𝑎1 − ( 𝑎1 2 − 4𝑎0 𝑎2) 1 2 = −24.8246 Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2: 𝑥2 = 2(−30.7403) −24.8246 = 2.4766 Finalmente, se obtiene el valor más aproximado a la raíz: x = 2.4766 𝒊 𝒙 𝒊 |𝒙 𝒊+𝟏 – 𝒙 𝒊| 1 1 - 2 2 1.0000 3 3 1.0000 4 2.4593 0.5407 5 2.4765 0.0172 6 2.4766 0.0001 Ahora para comprobar si resulta dar la misma respuesta con otro método:
  • 4. Método del Newton-Raphson: Teniendo 𝑥0 = 1 y 𝜀 = 1𝑥10−3 aplicando | 𝑥𝑖+1 − 𝑥 𝑖| : Utilizando la ecuación: 𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 − 𝑓( 𝑥𝑖) 𝑓′( 𝑥𝑖) = 𝑔( 𝑥 𝑖) Entonces, hallando la derivada de la función y reemplazando en la ecuación anterior: Primera Iteración: 𝑥1 = 𝑥0 − 𝑓1( 𝑥0) 𝑓′ 1 ( 𝑥0) = 𝑔( 𝑥0) 𝑥1 = 1 − 8000√10(1) 1 2 796 − √10(1) 3 2 796 − 50 4000√10(1)− 1 2 796 − 3√10(1) 1 2 1592 = 𝑔(1) = 2.1471 Segunda Iteración: 𝑥2 = 2.1471 − 8000√10(2.1471) 1 2 796 − √10(2.1471) 3 2 796 − 50 4000√10(2.1471)− 1 2 796 − 3√10(2.1471) 1 2 1592 = 2.4648 Tercera Iteración: 𝑥3 = 2.4648 − 8000√10(2.4648) 1 2 796 − √10(2.4648) 3 2 796 − 50 4000√10(2.4648)− 1 2 796 − 3√10(2.4648) 1 2 1592 = 2.4766 Demostrando así que el valor hallado en el método anterior si tiene el mismo resultado aplicado en este. 𝒊 𝒙 𝒊 |𝒙 𝒊+𝟏 – 𝒙 𝒊| 0 1 - 1 2.1471 1.1471 2 2.4648 0.3177 3 2.4766 0.0118