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MOISES VILLENA                                      Integración Múltiple




        5
                 5.1 INTEGRALES DOBLES
                    5.1.1  DEFINICIÓN.
                    5.1.2  TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
                    5.1.3  TEOREMA FUBINI
                    5.1.4  INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES
                            GENERALES
                    5.1.5 PROPIEDADES
                    5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
                            INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE
                            INTEGRACIÓN
                    5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE
                            DOS VARIABLES
                    5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
                    5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS
                            CILÍNDRICAS.
                    5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA
                            INTEGRALES DOBLES
                            (TRANSFORMACIONES)
                     5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE

                 5.2 INTEGRALES TRIPLES

                   OBJETIVOS:
                   • Calcular Integrales Dobles.
                   • Invertir el orden de integración.
                   • Calcular Volúmenes.
                   • Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones.
                   • Calcular áreas de una Superficie.




                                                                        149
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      5.1 INTEGRALES DOBLES

                 5.1.1 DEFINICIÓN
   La integral definida para funciones de una variable se la definió de la
siguiente manera:
                                          ⎡ n             ⎤
                     b

                    ∫    f ( x ) dx = lím ⎢
                                      n→∞
                                          ⎣ i =1
                                                 f xi Δxi ⎥
                                                          ⎦
                                                                   ∑ ( )
                     a
  La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la
curva   y = f ( x) en un intervalo [ a, b ] .
  Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos
variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración
sería de la forma     [ a, b] × [ c, d ] , es decir un rectángulo de                                            R 2 , la cual la
denotamos como      R.
                                         y
                                     d
                                                                                      R




                                     c

                                                        a                                    b          x



   Haciendo particiones de la región                               R , de dimensiones no necesariamente
iguales:

                             ym
                                     y
                              d                                                                     R
                                             Δy m
                            ym −1
                                                                              Δxi


                             yj                                                     Δyi



                            y2
                                             Δy2
                            y1
                                             Δy1
                              c
                              y  0                      Δx1        Δx2                        Δxn

                                                   a
                                                   x0         x1         x2
                                                                              xi
                                                                                          xn −1
                                                                                                    b
                                                                                                    x
                                                                                                            x
                                                                                                    n




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   La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al
área de esta partición, que estaría dada por:
                                             ΔAij = Δxi Δy j

  Podemos definir una función de dos variables                                    z = f ( x, y )              en la región
R , que para la ij − ésima partición sería:
                                   (             )
                                  f xi , y j Δxi Δy j

   Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica
siguiente:


                                   z




                                       z = f ( x, y )
                                                                                      (
                                                                               zi = f xi , y j        )




                                                             c                       d
                                                                                                          y
                             a


                                                     Δxi       •                     (x , y )
                                                                                          i   j

                     b                                     Δy j
                         x




  El punto   ( x , y ) , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo.
                 i       j

El volumen del       ij − ésimo        paralelepípedo, denotémoslo como                                       ΔVij , estaría
dado por:

                                                (
                                 ΔVij = f xi , y j Δxi Δy j .      )
  Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer
una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos, es decir:

                                       ∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δ y
                                        m        n
                         V = lim                                       i   j          i           j
                             n→∞
                             m→∞ j =1           i =1




                                                                                                                        151
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De aquí surge la definición de Integral doble

                 Sea f una función de dos variables
                 definida en la región plana
                    R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d }


                                ∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δy
                                 m        n
                 Al       lim                     i   j     i    j     se        le
                          n→∞
                          m→∞ j =1    i =1

                 denomina la Integral Doble de f en R y
                 se la denota de la siguiente manera:
                                      d       b

                                     ∫ ∫ f ( x, y)dxdy
                                      c       a

                 Además, si existe este límite decimos que
                 f es integrable en R .


   Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de la
Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cómo
evaluarla.

   En la definición se dice que si el límite existe la función es integrable, pero
surge la interrogante ¿cuándo será que el límite exista?. Esto lo veremos en
el siguiente teorema.


       5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD

                 Sea f una función de dos variable
                 definida                   en            la         región    plana
                 R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d }

                 Si f está acotada en R y si f es continua
                 en R a excepción de un número finito de
                 curvas suaves, entonces f es integrable
                 en R .

    Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable,
si la función es continua será integrable.


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  Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral
doble.


       5.1.3 TEOREMA FUBINI

                 Sea f una función de dos variable
                 definida                   en            la         región         plana
                 R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } . Si f es

                 continua en R , entonces:
                                                             d
                                                                ⎡b                ⎤
                                ∫∫R                          c ⎣a
                                                                   ∫ ∫
                                       f ( x, y )dA = ⎢ f ( x, y ) dx ⎥dy
                                                                ⎢                 ⎥
                                                                                  ⎦
                                                           b
                                                               ⎡d                ⎤

                                                           a ⎣c
                                                                 ∫ ∫
                                                        = ⎢ f ( x, y ) dy ⎥ dx
                                                               ⎢                 ⎥
                                                                                 ⎦

   Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas
como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales
Iteradas.


                    Ejemplo
                               1       2

                    Calcular
                               ∫∫
                               0       −1
                                            xy 2 dydx

                    SOLUCIÓN:
                    Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir:

                                   1   ⎡2      ⎤        1                        1
                                                            ⎡ 3        ⎤

                                   ∫∫                   ∫                       ∫
                                                                   3
                                       ⎢       ⎥
                                       ⎢ xy dy ⎥ dx =
                                            2               ⎢x y       ⎥ dx =
                                                                                     ⎡ 23
                                                                                     ⎢x − x
                                                                                            (− 1)3 ⎤ dx
                                                                                                   ⎥
                                       ⎢       ⎥            ⎢ 3        ⎥             ⎢ 3      3 ⎥
                                                            ⎢
                                                            ⎣       −1 ⎥
                                                                       ⎦             ⎣             ⎦
                                   0   ⎢ −1
                                       ⎣       ⎥
                                               ⎦        0                        0
                                                        1                        1



                                                        ∫                        ∫
                                                                                                      1
                                                            ⎡8      1 ⎤                          x2           3
                                                    =       ⎢ 3 x + 3 x ⎥ dx =       3 xdx = 3            =
                                                            ⎣           ⎦                        2
                                                                                                      0
                                                                                                              2
                                                        0                        0




   Aquí pudimos haber integrado con respecto a                                   x , y luego con respecto a
y , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo.



                                                                                                                  153
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    Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integración
rectangulares, pero en las mayorías de las ocasiones se presentarán otros
tipos de regiones.


  5.1.4          INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES
                 GENERALES
  El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales.

  En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana,
como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente
manera:




       Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma:




       Cuya área, denotada como    dA , está dada por:
                            dA = dxdy = dydx

  Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral
doble sobre la región plana R tiene la forma:


                                 ∫∫R
                                       f ( x, y )dA


       Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras:


       PRIMERO haciendo un barrido vertical



154
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                                               x =b
                                                      ⎡ y= f ( x)            ⎤
                                               ∫ ∫
                                               x=a
                                                      ⎢
                                                      ⎣
                                                                f ( x, y )dy ⎥dx
                                                      ⎢ y= g ( x)            ⎥
                                                                             ⎦

       SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal




                              y=d
                                     ⎡x= f ( y)            ⎤
                               ∫ ∫
                              y =c
                                     ⎢
                                     ⎣
                                              f ( x, y )dx ⎥dy
                                     ⎢ x=g ( y)            ⎥
                                                           ⎦

  Si f ( x, y ) = 1 , la integral doble representa el área de la región R , es decir:

                                        A=
                                                ∫∫ dA
                                                  R


   La región anterior es llamada una región simple- xy , sin embargo pueden
existir regiones simple- x , sólo se puede empezar haciendo primero un
barrido vertical.
                               y

                                                                    y = f ( x)


                                           R
                                                              dy
                                                       dx


                                                            y = g ( x)
                                                                                   x
                                       a                                 b



                                                                                               155
MOISES VILLENA                                                                            Integración Múltiple


  Como también pueden existir regiones simple- y , sólo se puede empezar
haciendo primero un barrido horizontal.

                                    y
                            d
                                                                    R


                                                         dy
                                         x = g ( y)
                                                                 dx
                                                                                               x = f ( y)

                            c


                                                                                                                     x




                   Ejemplo 1
                                1    x

                 Calcular
                            ∫∫  0   x2
                                         160 xy 3 dydx

                 SOLUCIÓN:
                 Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
                              1 ⎡ x           ⎤       1                                        1
                                                         ⎡                        x⎤


                                    ∫∫                       ∫                                 ∫
                                 ⎢            ⎥
                                                                                                       ( )4 − 40 x(x2 )4 ⎤ dx
                                                                 4
                                 ⎢ 160 xy 3dy ⎥ dx = ⎢160 x y                         ⎥            ⎡
                                 ⎢            ⎥          ⎢     4                      ⎥ dx =       ⎢40 x x
                                                                                                   ⎣                     ⎥
                                                                                                                         ⎦
                                 ⎢            ⎥          ⎢
                                                         ⎣                       x2   ⎥
                                                                                      ⎦
                               0 ⎣ x2         ⎦       0                                        0
                                                             1



                                                             ∫
                                                                                                                 1

                                                         =       [40 x   3
                                                                                      ]    ⎛ x4
                                                                             − 40 x 9 dx = ⎜ 40
                                                                                           ⎜    4
                                                                                                  − 40
                                                                                                       x10 ⎞
                                                                                                       10 ⎟
                                                                                                           ⎟ = 10 − 4 = 6
                                                                                           ⎝               ⎠0
                                                             0




                 Ejemplo 2
                                1   y

                 Calcular
                            ∫∫  0   0
                                         y 2 e xy dxdy

                 SOLUCIÓN:
                 Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:




156
MOISES VILLENA                                                                                            Integración Múltiple


                                 1   ⎡y      ⎤                      1                                 1
                                                                         ⎡              y⎤


                                 ∫∫                             ∫                                    ∫        [ye                  ]
                                     ⎢       ⎥                                  xy
                                        2 xy ⎥
                                     ⎢ y e dx dy =                       ⎢ y2 e         ⎥dy =                       yy
                                                                                                                         − ye(0 ) y dy
                                     ⎢       ⎥                           ⎢      y       ⎥
                                     ⎢       ⎥                           ⎢
                                                                         ⎣             0⎥
                                                                                        ⎦
                                 0   ⎣0      ⎦                      0                                 0
                                                                1                                    1                        1

                                                            =
                                                                ∫
                                                                0
                                                                        ⎡ ye y 2 − y ⎤dy =
                                                                        ⎢
                                                                        ⎣            ⎥
                                                                                     ⎦               ∫
                                                                                                     0
                                                                                                                y2
                                                                                                          ye dy −
                                                                                                                              ∫
                                                                                                                              0
                                                                                                                                  ydy


                                                                                        1
                                                             ⎛e    y ⎞   ⎛
                                                                        y2       ⎞ ⎛ 02
                                                                                   2         2⎞      12          2
                                                            =⎜   −   ⎟ = ⎜ e − 1 ⎟ − ⎜ e − 0 ⎟ = e −1
                                                             ⎜ 2   2 ⎟   ⎜ 2    2⎟ ⎜ 2      2 ⎟ 2
                                                             ⎝       ⎠0 ⎝        ⎠ ⎝          ⎠




                  Ejemplo 3
                             1        1

                  Calcular
                             ∫∫
                             0       1− y
                                            e y dxdy

                  SOLUCIÓN:
                  Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos:
                                1 ⎡ 1      ⎤       1    ⎡ 1 ⎤                                    1



                                 ∫∫                         ∫ ∫                                  ∫
                                  ⎢        ⎥            ⎢     ⎥
                                  ⎢ e y dx ⎥dy = e y ⎢ dx ⎥dy =
                                  ⎢        ⎥            ⎢     ⎥
                                                                                                     [e x]y
                                                                                                                1

                                                                                                                1− y
                                                                                                                         dy
                                  ⎢
                                0 ⎣1− y
                                           ⎥            ⎢1− y ⎥
                                           ⎦       0    ⎣     ⎦                                  0
                                                            1                                         1

                                                        =
                                                            ∫
                                                            0
                                                                e y (1 − (1 − y ))dy =
                                                                                                     ∫0
                                                                                                              ye y dy


                  La última integral, se la realiza POR PARTES:
                                             1



                                            ∫                                ∫
                                                            u v                  v du

                                                 y e dy = y e −
                                                   y           y
                                                                                             (
                                                                                 e dy = ye y − e y
                                                                                  y
                                                                                                                )   1

                                                                                                                    0
                                                                                                                         = (e − e ) − (0 − 1) = 1
                                                 u dv
                                             0




   En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los límites de integración,
por tanto no había más que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las
integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la región
de integración porque los límites no están definidos.


                  Ejemplo 1

                  Calcular
                             ∫∫
                              R
                                      xdA donde R es la región limitada por y = 2 x y y = x 2

                  SOLUCIÓN:
                  Primero identificamos la región           R:




                                                                                                                                                    157
MOISES VILLENA                                                                            Integración Múltiple




                 Note que es una región simple-, la calcularemos de las dos formas.

                 PRIMER MÉTODO: Haciendo primero un barrido vertical.
                                                                    2   2x

                 La integral doble con límites será:
                                                                   ∫∫
                                                                    0   x2
                                                                                xdydx

                 Calculando la integral, resulta:
                                2   ⎡ 2x  ⎤       2                             2



                               ∫∫                 ∫                         ∫       [x(2 x) − x(x )]dx
                                    ⎢     ⎥
                                    ⎢ xdy ⎥dx =         [xy]   2x
                                                               x2
                                                                  dx    =                       2
                                    ⎢     ⎥
                                    ⎢ x2  ⎥
                                0   ⎣     ⎦       0                             0
                                                    2



                                                  ∫     (2 x            )    ⎛ x 3 x 4 ⎞ 16      4
                                              =                2
                                                                   − x3 dx = ⎜ 2 −     ⎟=   −4 =
                                                                             ⎜ 3   4 ⎟ 3         3
                                                                             ⎝         ⎠
                                                    0


                 SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal.




                                                                    4       y

                 La integral doble con límites será:
                                                                   ∫∫
                                                                    0       y
                                                                                xdxdy

                                                                            2
                 Calculando la integral doble, resulta:




158
MOISES VILLENA                                                                                        Integración Múltiple


                                      ⎡           ⎤
                                      ⎢   y       ⎥                                       ⎛                    ⎛ y⎞
                                                                                                                       2   ⎞
                                  4                       4
                                                              ⎡          y⎤
                                                                                      4   ⎜                                ⎟         4
                                                                                              ( y)             ⎜ ⎟

                                  ∫∫                      ∫                           ∫                                              ∫
                                      ⎢           ⎥           ⎢ x2        ⎥               ⎜
                                                                                                          2
                                                                                                                           ⎟              ⎛ y y2 ⎞
                                                                                                              −⎝ ⎠
                                                                                                                 2                        ⎜ −    ⎟dy
                                      ⎢       xdx ⎥dy =       ⎢           ⎥ dy =          ⎜                                ⎟dy =
                                      ⎢           ⎥                                       ⎜                                ⎟              ⎜2 8 ⎟
                                                              ⎢ 2    y    ⎥                           2          2                        ⎝      ⎠
                                  0
                                      ⎢   y       ⎥       0   ⎣      2    ⎦           0   ⎜                                ⎟         0
                                      ⎢           ⎥                                       ⎝                                ⎠
                                      ⎣   2       ⎦
                                                                              4
                                                       ⎛ y 2 y3 ⎞
                                                      =⎜    −   ⎟ = 4− 8 = 4
                                                       ⎜ 4 24 ⎟        3 3
                                                       ⎝        ⎠0




                 Ejemplo 2
                                                   ⎧y = x
                                                   ⎪

                             ∫∫
                                                   ⎪y = 1
                                                   ⎪
                 Calcular             dA donde R : ⎨    x SOLUCIÓN:
                                                   ⎪x = 2
                              R                    ⎪
                                                   ⎪y = 0
                                                   ⎩
                 La región   R    es:




                                                                                                                           1
                                                                                  1       x                        2           x

                 Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero:
                                                                                  ∫∫
                                                                                  0       0
                                                                                              dydx +
                                                                                                                   ∫∫
                                                                                                                   1       0
                                                                                                                                   dydx

                 Calculando las integrales dobles, tenemos:
                                                       2 ⎡ x ⎤
                                                           1
                                        1 ⎡ x   ⎤                                             1                    2
                                                         ⎢   ⎥

                                              ∫∫                ∫∫                            ∫ ∫
                                          ⎢     ⎥
                                          ⎢ dy ⎥ dx + ⎢ dy ⎥ dx =
                                                                                                        x                  1
                                                         ⎢   ⎥                                        y 0 dx +         y 0 x dx
                                          ⎢     ⎥        ⎢   ⎥
                                        0 ⎢0
                                          ⎣     ⎥
                                                ⎦      1 ⎢0  ⎥                                0                    1
                                                         ⎣   ⎦
                                                                                              1                2



                                                                                          ∫ ∫
                                                                                                                   1
                                                                                      =               xdx +          dx
                                                                                                                   x
                                                                                              0                1
                                                                                                      1
                                                                                                  2
                                                                                              x                    2
                                                                                      =                   + ln x 1
                                                                                              2
                                                                                                      0
                                                                                       1
                                                                                      = + ln 2
                                                                                       2




                                                                                                                                                 159
MOISES VILLENA                                                                                 Integración Múltiple




                 Ejemplo 3


                            ∫∫
                                          2             ⎧ y = x3
                                                        ⎪
                 Calcular        12 x 2e y dA donde R : ⎨        en el primer cuadrante.
                                                        ⎪y = x
                                                        ⎩
                             R
                  SOLUCIÓN:
                 La región R es:




                 Aquí es mejor primero un barrido horizontal ¿Por qué? ¿Observe qué ocurre si hacemos
                 primero un barrido vertical?

                 Planteando la integral doble con límites y calculándola, tenemos:
                                      3   y
                                  1                                 1



                                 ∫∫                                 ∫
                                                                                                3   y
                                                       2
                                                                              y2       x3
                                              12 x e dxdy =
                                                 2 y
                                                                        12e                                 dy
                                                                                       3
                                                                                                y
                                  0       y                         0
                                                                    1



                                                                    ∫   4e y ⎛     ( y)                 − y 3 ⎞dy
                                                                            2                   3
                                                                =             ⎜    3
                                                                                                              ⎟
                                                                              ⎝                               ⎠
                                                                    0
                                                                    1                               1



                                                                    ∫         y2

                                                                                                ∫
                                                                                                                       2
                                                                =       4 ye dy −                           4 y 3 e y dy
                                                                    0                               0
                 Haciendo cambio de variable t = y 2 . De aquí tenemos: dt = 2 ydy
                 Reemplazando y resolviendo:

                                          1                1                       1                                   1



                                      ∫                    ∫                   ∫                t⎛
                                                                                                                      ∫
                                                 y2              3 y2                             dt ⎞                                 ⎛ dt ⎞
                                              4 ye dy −        4 y e dy =                  4 ye ⎜
                                                                                                ⎜ 2y ⎟ −
                                                                                                     ⎟                         4 y 3et ⎜
                                                                                                                                       ⎜ 2y ⎟
                                                                                                                                            ⎟
                                                                                                ⎝    ⎠                                 ⎝    ⎠
                                          0                0                       0                                   0
                                                                                       1                         1

                                                                           =2
                                                                                   ∫ ∫ 0
                                                                                            et dt − 2

                                                                                                                 0
                                                                                                                     tet dt



                                                                           = 2e        t
                                                                                           1

                                                                                           0
                                                                                                        [
                                                                                               − 2 te − et   t
                                                                                                                       ]1

                                                                                                                           0
                                                                           = 2e − 2 − 2[0 − (− 1)]
                                                                           = 2e − 4




160
MOISES VILLENA                                                                               Integración Múltiple


                 Ejemplo 4

                 Calcular
                            ∫∫(
                             R
                                   2 x + 1)dA


                 donde   R es el triángulo que tiene por vértices los puntos                          (−1,0) , (0,1) y (1,0)
                  SOLUCIÓN:
                 La región R es:




                 No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinación de las ecuaciones de las
                                                                                y 2 − y1
                 rectas se las puede obtener empleando la formula y − y 1 =                 (x − x 1 ) .
                                                                                x 2 − x1

                 Aquí también es mejor primero un barrido horizontal:


                             1 1− y                      1



                            ∫∫                           ∫     (x            )   1− y
                                      (2 x + 1)dxdy =               2
                                                                        +x
                                                                                 y −1
                                                                                        dy
                             0   y −1                    0
                                                           1

                                                     =
                                                         ∫ [(1− y)
                                                           0
                                                                             2
                                                                                              ][                  ]
                                                                                  + (1 − y ) − ( y − 1)2 + ( y − 1) dy

                                                           1

                                                     =
                                                         ∫ [(
                                                           0
                                                                    y − 1)2 + 1 − y − ( y − 1)2 − y + 1 dy   ]
                                                           1

                                                     =
                                                         ∫[0
                                                                2 − 2 y ]dy


                                                         (
                                                     = 2y − y2           )   1

                                                                             0
                             1 1− y



                            ∫ ∫(
                             0   y −1
                                        2 x + 1)dxdy = 1




                                                                                                                         161
MOISES VILLENA                                                                 Integración Múltiple



       5.1. 5 PROPIEDADES

                 Sean f y g funciones de dos variables
                 continuas en una región R , entonces:
                 1.
                    ∫∫ kdA = k ∫∫ dA ; ∀k ∈ℜ
                        R                         R

                 2.
                    ∫∫ ( f ± g )dA = ∫∫ fdA ± ∫∫ gdA
                         R                              R                  R

                 3.
                    ∫∫ dA = ∫∫ dA + ∫∫ dA donde R = R ∪ R
                         R                   R1         R2
                                                                                                  1         2




       5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES
            INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE
            INTEGRACIÓN
   Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero
tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales.

                      Ejemplo 1
                                 e    ln x

                      Calcular
                                 ∫∫
                                 1     0
                                             xydydx



                      SOLUCIÓN:
                      Primero se debe identificar la región de integración. En este caso, la integral doble está dada
                      primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que
                      interpretar la integral doble de la siguiente manera:
                                                         x =e   y = ln x



                                                         ∫ ∫
                                                         x =1    y =0
                                                                      xydydx


                                                  ⎧ y = ln x
                                                  ⎪
                      Por tanto, la región es R : ⎨ y = 0 , es decir:
                                                  ⎪x = e
                                                  ⎩




162
MOISES VILLENA                                                                                  Integración Múltiple


                 Invirtiendo los límites de integración hay que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir:


                                                                                   ( )
                  1   e               1                             1                                               1             1
                                                                         ⎛ e2 e y                ⎞

                 ∫∫                   ∫                             ∫                                           ∫                 ∫
                                                     e                                      2
                                            x2                                                           2
                                                                        y⎜                       ⎟dy = e                      1
                           xydxdy =       y                  dy =            −                                          ydy −         ye 2 y dy
                                            2                            ⎜ 2    2                ⎟      2                     2
                                                     e   y
                                                                         ⎝                       ⎠
                  0   ey              0                             0                                               0             0
                                                 1                                          1
                                      2
                                      e y   2
                                                             1⎡ e   1e ⎤2y         2y
                                  =                      −    ⎢y  −     ⎥
                                       2 2                   2⎢ 2
                                                              ⎣     2 2 ⎥
                                                                        ⎦0
                                                 0

                                    e2 e2 e2 1
                                  =    −   +  −
                                     4   4   8 8
                                    e2 1
                                  =    −
                                    8 8




                 Ejemplo 2
                                                                             2     4− x 2

                 Invierta el orden de integración para
                                                                             ∫ ∫ f ( x, y)dydx
                                                                             0       0
                 SOLUCIÓN:
                                                                                                x=2    y = 4− x 2

                 Interpretando los límites de integración dados, tenemos:
                                                                                                ∫ ∫
                                                                                                x =0     y =0
                                                                                                                f ( x, y )dydx . Se ha hecho


                 primero un barrido vertical
                                                          ⎧ y = 4 − x2
                                                          ⎪
                                                          ⎪
                 Entonces la región de integración es R : ⎨ x = 0
                                                          ⎪y = 0
                                                          ⎪
                                                          ⎩
                 Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:
                                                               4         4− y



                                                               ∫ ∫
                                                               0         0
                                                                             f ( x, y )dxdy




                                                                                                                                          163
MOISES VILLENA                                                                    Integración Múltiple


                 Ejemplo 3
                                                                 1         y +1

                 Invierta el orden de integración para
                                                              ∫ ∫ f ( x, y)dxdy
                                                                 −1   − y +1

                 SOLUCIÓN:
                                                                                        y =1       x = y +1

                 Interpretando los límites de integración dados, tenemos:
                                                                                        ∫ ∫
                                                                                    y = −1
                                                                                                           f ( x, y )dxdy . Se ha

                                                                                                  x = − y +1
                 hecho primero un barrido vertical
                                                          ⎧
                                                          ⎪ y = x2 − 1
                 Entonces la región de integración es R : ⎨
                                                          ⎪y = 1
                                                          ⎩
                 Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:
                                                      2      1



                                                     ∫ ∫
                                                     − 2   x 2 −1
                                                                  f ( x, y )dydx




                 Ejemplo 4
                                                                      16
                                                                 4         x

                 Invierta el orden de integración para
                                                              ∫∫ 2     x
                                                                               f ( x, y )dydx

                 SOLUCIÓN:
                                                                                  x=4          y =16
                                                                                                       x

                 Interpretando los límites de integración dados, tenemos:
                                                                                  ∫ ∫
                                                                                  x=2           y=x
                                                                                                       f ( x, y )dydx Se ha hecho


                 un barrido vertical primero
                                                          ⎧y = x
                                                          ⎪
                                                          ⎪     16
                 Entonces la región de integración es R : ⎨ y =
                                                          ⎪      x
                                                          ⎪x = 2
                                                          ⎩
                 Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir:




164
MOISES VILLENA                                                                                     Integración Múltiple


                                                                                              16
                                                             4   y                                 y



                                                         ∫∫  2   2
                                                                     f ( x, y )dxdy +
                                                                                         ∫∫
                                                                                          4    2
                                                                                                       f ( x, y )dxdy




                 Ejercicios propuestos 5.1
                                  1       y

                 1.   Calcular
                                  ∫∫
                                  0       0
                                              e x + y dxdy


                                                                                              ⎧x −
                                                                                              ⎪                            y2 + 9 = 0
                 2.   Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por ⎨
                                                                                              ⎪x +
                                                                                              ⎩                            y2 − 9 = 0


                                                                                               ⎧ y 2 = 2x − 2
                                                                                               ⎪
                 3.   Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por: ⎨
                                                                                               ⎪y = x − 5
                                                                                               ⎩

                                                                                       ⎧y = x

                                  ∫∫
                                               y2                                      ⎪
                 4.   Calcular:                   dA donde R es la región limitada por ⎨ y = 2
                                               x2                                      ⎪ xy = 1
                                                                                       ⎩
                                      R



                                  ∫∫
                                                                                        ⎧y = x2
                                                                                        ⎪
                 5.   Calcular                12 x dA donde R es la región limitada por ⎨
                                                                                        ⎪ y = 2x
                                                                                        ⎩
                                      R
                                  2       4

                 6.   Calcular
                                  ∫∫
                                  0 x2
                                                 y cos ydydx


                                    1
                                  1   2


                                  ∫∫           e − x dxdy
                                                    2
                 7.   Calcular

                                  0 y
                                          2
                                                                 2      x −1                       3          3+ x

                 8.   Invierta el orden de integración:
                                                                 ∫ ∫
                                                                 −1 − 3+ x
                                                                               f ( x, y )dydx +
                                                                                                   ∫ ∫
                                                                                                   2 − 3+ x
                                                                                                                 f ( x, y )dydx


                                                                                 1   x                    2      2− x 2

                 9.   INVERTIR el orden de integración y EVALUAR.
                                                                                ∫∫
                                                                                 0   0
                                                                                         ydydx +
                                                                                                        ∫ ∫
                                                                                                         1           0
                                                                                                                         ydydx




                                                                                                                                        165
MOISES VILLENA                                                                     Integración Múltiple




                                  ∫∫
                                                 2
                  10. Calcular:         12 x 2 e y dA , donde R es la región del primer cuadrante limitada por       y = x3    y

                                    R
                   y=x
                                                                     2 x3                     8 8

                  11. Representar la región de integración para:
                                                                    ∫∫
                                                                     1 x
                                                                            f (x, y) dy dx+
                                                                                              ∫∫ (
                                                                                              2 x
                                                                                                    f x, y) dy dx   e invertir el


                      orden de integración.




       5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE
            DOS VARIABLES

                 Sea f una función continua en las
                 variables x y y . El valor Medio de f
                 en una región plana R está dado por:
                                                            ∫∫ f ( x, y)dA
                            Valor Medio =                     R


                                                                    ∫∫ dA
                                                                     R




                  Ejemplo
                  Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = x 1 + y 3
                                               ⎧y = 2
                                               ⎪
                  sobre la región limitada por ⎨ y = x
                                               ⎪x = 0
                                               ⎩
                  SOLUCIÓN:
                  La región de integración es:




                  Empleando la fórmula, tenemos:




166
MOISES VILLENA                                                                                 Integración Múltiple


                                                                                      2        y




                                     Valor Medio =
                                                        ∫∫R
                                                               f ( x, y)dA

                                                                                  =
                                                                                      ∫∫
                                                                                      0        0
                                                                                                           x 1 + y3 dxdy




                                                          ∫∫
                                                                                                   2       y




                                                                                        ∫∫
                                                                    dA
                                                                                                                   dxdy
                                                               R
                                                                                                   0       0
                                                                                           2




                                                                                       ∫
                                                                                                                               y
                                                                                                                       x2
                                                                                                       1 + y3              dy
                                                                                                                       2 0
                                                                                      =    0
                                                                                                       2




                                                                                         ∫                  ( x ) 0 dy
                                                                                                                   y



                                                                                                       0
                                                                                               2




                                                                                        ∫
                                                                                          1
                                                                                                       y 2 1 + y3 dy
                                                                                          2
                                                                                      =        0
                                                                                                           2




                                                                                          ∫                0
                                                                                                               ydy


                                                                                                                           2


                                                                                          1 (1 + y )
                                                                                                                   3
                                                                                                               3       2


                                                                                          2     ⎛ 3⎞                            1
                                                                                              2⎜ ⎟
                                                                                                ⎝ 2⎠
                                                                                                                                  ( 27 − 1)
                                                                                      =                        2
                                                                                                                           0
                                                                                                                               =6
                                                                                                       y2                            2
                                                                                                       2       0

                                                                                        13
                                                                                      =
                                                                                         6


                 Ejercicios Propuestos 5.2
                                                                                  −1
                 1.   Calcule el valor medio de la función f ( x, y ) = e x y            2 en la región del primer cuadrante

                                      ⎧y = x2
                                      ⎪
                                      ⎪
                      limitada por    ⎨x = 0
                                      ⎪y = 1
                                      ⎪
                                      ⎩
                 2.   Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es f ( x, y ) = 100 x 0,6 y 0,4 .
                      Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de
                      unidades de capital entre 300 y 325.

                 3.   Hallar el valor medio de          f ( x, y ) = x + 2 y + 4 sobre la región limitada por las rectas
                      y = 2 x,    y = 3 − x,    y=0
                                                                                                          ⎧x = 0
                                                                                                          ⎪
                                                                                  − x2                    ⎪x = 2
                 4.   Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = e               sobre la región ⎨
                                                                                                          ⎪y = x
                                                                                                          ⎪y = 2
                                                                                                          ⎩

                                                                                          y2                                     ⎧0 ≤ y ≤ 1
                 5.   Encuentre el valor medio de la función       f ( x, y ) =                            , sobre la región R = ⎨
                                                                                  ( xy + 1) 2                                    ⎩0 < x ≤ y


                 6.   Hallar el valor medio de f (x, y) = 2xy en la región limitada por                        y= x2               y   y=x




                                                                                                                                              167
MOISES VILLENA                                                                  Integración Múltiple



       5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES
       Ya definimos el volumen bajo una superficie.

                 Ejemplo
                                                                                  x y z
                 Hallar el volumen del sólido limitado por el plano                + + = 1 y el plano xy en
                                                                                  a b c
                 el primer octante.
                 SOLUCIÓN:

                 Haciendo un dibujo

                                                           z


                                                           c




                                                                                 ⎛ x y⎞
                                                                           z = c ⎜1 − − ⎟
                                                                                 ⎝ a b⎠



                                                                 h

                                                                                    b         y


                                                                          dA


                                          a


                                      x



                 El volumen del elemento diferencial sería
                                                                     dV = hdA = zdA
                 Por tanto el volumen total está dado por :


                                              ∫∫
                                                        ⎛ x y⎞
                                      V=              c ⎜ 1 − − ⎟ dA
                                                        ⎝ a b⎠
                                              R

                 Donde la región R sería:

                                                  y


                                              b
                                                                 ⎛ x⎞
                                                           y = b ⎜1 − ⎟
                                                                 ⎝ a⎠




                                                                                        x
                                                                           a




                 Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría:



168
MOISES VILLENA                                                                          Integración Múltiple


                                               ⎛ x⎞
                                             b ⎜1− ⎟
                                         a     ⎝ a⎠




                                         ∫∫
                                                         ⎛ x y⎞
                                    V=                 c ⎜1 − − ⎟ dydx
                                                         ⎝ a b⎠
                                         0     0

                 Evaluando:

                            ⎛ x⎞
                          b ⎜1− ⎟
                      a     ⎝ a⎠                                 a
                                                                         ⎡            ⎛ x⎞
                                                                                              2 b ⎜1− ⎟ ⎤
                                                                                                  ⎛ x⎞



                      ∫∫                                        ∫
                                                                                    b ⎜1− ⎟
                                      ⎛ x y⎞                             ⎢⎛1 − x ⎞ y ⎝ a ⎠ − y ⎝ a ⎠ ⎥ dx
                 V=                 c ⎜ 1 − − ⎟ dydx = c                   ⎜     ⎟
                                      ⎝ a b⎠                             ⎢⎝ a ⎠              2b 0       ⎥
                      0       0                                  0
                                                                         ⎢
                                                                         ⎣
                                                                                    0
                                                                                                        ⎥
                                                                                                        ⎦
                                                                 a




                                                                ∫
                                                                         ⎡ ⎛ x ⎞2 b2 ⎛ x ⎞2 ⎤
                                                           =c            ⎢b ⎜ 1 − ⎟ − ⎜1 − ⎟ ⎥ dx
                                                                         ⎢ ⎝ a ⎠ 2b ⎝ a ⎠ ⎥
                                                                         ⎣                   ⎦
                                                                 0
                                                                 a




                                                                ∫
                                                                                    2
                                                                         b⎛ x⎞
                                                           =c             ⎜1 − ⎟ dx
                                                                         2⎝ a⎠
                                                                 0

                                                                              3 a
                                                                ⎛ x⎞
                                                                  1−
                                                             bc ⎜ a ⎟
                                                                ⎝     ⎠
                                                           =
                                                             2 ⎛ 1⎞
                                                                3⎜ − ⎟
                                                                   ⎝ a⎠         0
                                                                                        a
                                                               abc ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤
                                                                             3

                                                           =       ⎢ − ⎜1 − ⎟ ⎥
                                                                6 ⎢ ⎝ a⎠ ⎥
                                                                   ⎣           ⎦0
                                                            abc
                                                           =    [1 − 0]
                                                             6
                                                            abc
                                                         V=
                                                             6




       Ahora consideremos un sólido limitado por superficies. Por ejemplo:

                                                   z


                                                        z = f ( x, y )




                                                                            z = g ( x, y )


                                                                                                     y



                                                                                             R
                                     x



                                                                                                            169
MOISES VILLENA                                                                       Integración Múltiple


  En el gráfico, el volumen del sólido limitado por las superficies está dado
por:

                            V=
                                      ∫∫ ⎡⎣ f ( x, y ) − g ( x, y )⎤⎦dA
                                       R
R , es la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy .

                 Ejemplo
                 Hallar el volumen del sólido limitado por z = 4 − x 2 − 2 y 2 y el plano z = 2
                 SOLUCIÓN:
                 Haciendo un dibujo

                                                                   z


                                                                                z = 4 − x2 − 2 y 2



                                                                           h


                                                           2               dA


                                                                                           z=2

                                                                                                               y
                                                                                 R
                 En este caso

                                V=
                                      ∫∫ ∫∫
                                       R
                                              hdA =
                                                      R
                                                           ⎡( 4 − x 2 − 2 y 2 ) − ( 2 ) ⎤dA
                                                           ⎣                            ⎦

                 Para ponerle los límites de integración identificamos la región R , en este caso sería la curva de
                                  ⎧ z = 4 − x2 − 2 y2
                 intersección de ⎨                        proyectada en el plano xy .
                                  ⎩z = 2
                 Igualando y simplificando:
                                                4 − x2 − 2 y 2 = 2
                                                x2 + 2 y2 = 2
                                                x2 y 2
                                                  +    =1
                                                2   1
                 Entonces la región sería:
                                                                       y

                                                                                     2 − x2
                                                                                y=
                                                               1                       2



                                                                                                 x
                                                                   0                   2



170
MOISES VILLENA                                                                                                                             Integración Múltiple


                 Entonces
                                2− x 2
                            2     2                                                2




                           ∫∫                                                 ∫
                                                                                                                                               2− x 2
                                                                                         ⎡               y3 ⎤
                                         (2 − x       − 2 y )dydx = 4                    ⎢( 2 − x ) y − 2 ⎥
                                                                                                                                                2
                    V =4                          2         2                                    2
                                                                                                                                                            dy
                                                                                         ⎣               3 ⎦0
                            0    0                                                 0
                                                                                2




                                                                              ∫
                                                                                       ⎡                      ⎛                                                      ⎞
                                                                                                                                                                         3
                                                                                                                                                                             ⎤
                                                                                       ⎢( 2 − x 2 ) 2 − x − 2 ⎜ 2 − x
                                                                                                         2            2
                                                                     =4                                                                                              ⎟       ⎥ dx
                                                                                       ⎢              2     3⎝⎜   2                                                  ⎟       ⎥
                                                                                       ⎣                                                                             ⎠       ⎦
                                                                               0
                                                                                2




                                                                              ∫
                                                                                       ⎡                             2 ⎤
                                                                                       ⎢ ( 2 − x ) − 2 ( 2 − x ) ⎥ dx
                                                                                                  3                3
                                                                                                2   2          2

                                                                     =4
                                                                                       ⎢                               ⎥
                                                                                                                                       ( )
                                                                                                                 3
                                                                                               2      3
                                                                                       ⎢
                                                                                       ⎣
                                                                                                             2         ⎥
                                                                                                                       ⎦
                                                                               0
                                                                                2




                                                                              ∫        ⎛ 1   1 ⎞
                                                                                               ⎟ ( 2 − x ) dx
                                                                                                          3
                                                                     =4                ⎜   −            2   2

                                                                                       ⎝ 2 3 2⎠
                                                                               0
                                                                                        2


                                                                               8
                                                                                       ∫       (2 − x )
                                                                                                                      3
                                                                     =                                        2           2
                                                                                                                              dx
                                                                              3 2
                                                                                       0

                 La última integral se la realiza por sustitución trigonométrica.
                                                                                                                                                                               ⎧x = 0 → t = 0
                                                                                                                                                                               ⎪
                 Haciendo x =             2 sent entonces dx = 2 cos t dt y los límites serían                                                                                 ⎨              π
                                                                                                                                                                               ⎪x = 2 → t = 2
                                                                                                                                                                               ⎩
                                                                                                 π
                                                       2                                              2

                                             8
                                                      ∫    (2 − x )                        8
                                                                                                 ∫           ( 2 − 2sen t )
                                                                      3                                                                        3
                                     V=                          2        2
                                                                              dx =                                                     2           2
                                                                                                                                                            2 cos t dt
                                           3 2                                         3 2
                                                       0                                             0
                                                                                                 π
                                                                                                     2

                                                                                           8
                                                                                                 ∫                        ( cos )
                                                                                                                  3                    3
                                                                                   =                         2        2            2       2
                                                                                                                                                       2 cos t dt
                                                                                       3 2
                                                                                                  0
                                                                                                              π
                                                                                                                  2



                                                                                           ( 2)
                                                                                                             ∫
                                                                                     8                3
                                                                                   =                                      cos 4 t dt
                                                                                     3
                                                                                                              0
                                                                                                              π
                                                                                                                  2




                                                                                                              ∫           ⎛ 1 + cos 2t ⎞
                                                                                                                                                        2
                                                                                    8
                                                                                   = 2 2
                                                                                    3
                                                                                           (             )                ⎜
                                                                                                                          ⎝      2
                                                                                                                                       ⎟ dt
                                                                                                                                       ⎠
                                                                                                                  0
                                                                                                     π
                                                                                                          2




                                                                                                     ∫
                                                                                   =
                                                                                       16 2                       (1 + 2 cos 2t + cos 2t ) dt                    2


                                                                                         3                                                     4
                                                                                                         0
                                                                                                             π
                                                                                         ⎡                     2                   ⎤


                                                                                                                                                            ∫
                                                                                         ⎢             π                           ⎥
                                                                                     4 2 ⎢ π 2 2 sen2t   2
                                                                                                                 ⎛ 1 + cos 4t ⎞ ⎥
                                                                                   =       t0 +            + ⎜                ⎟ dt ⎥
                                                                                      3 ⎢          2 0           ⎝      2     ⎠
                                                                                         ⎢                                         ⎥
                                                                                         ⎢
                                                                                         ⎣                    0                    ⎥
                                                                                                                                   ⎦
                                                                                                                  π
                                                                                     4 2 ⎡π       1 π      sen 4t   2⎤
                                                                                   =     ⎢ +0+ t 02 +                ⎥
                                                                                      3 ⎢2        2          8 0 ⎥
                                                                                         ⎣                           ⎦
                                                                                       4 2 ⎡π π ⎤
                                                                                   =         +
                                                                                        3 ⎢2 4⎥
                                                                                           ⎣    ⎦
                                                                                       4 2 ⎡ 3π ⎤
                                                                                   =
                                                                                        3 ⎢ 4 ⎥
                                                                                           ⎣ ⎦
                                                                              V= 2π




                                                                                                                                                                                                  171
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  • 1. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5 5.1 INTEGRALES DOBLES 5.1.1 DEFINICIÓN. 5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD 5.1.3 TEOREMA FUBINI 5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES 5.1.5 PROPIEDADES 5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN 5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES 5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES 5.1.9 INTEGRALES DOBLES EN COORDENADAS CILÍNDRICAS. 5.1.10 CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES DOBLES (TRANSFORMACIONES) 5.1.11 ÁREA DE UNA SUPERFICIE 5.2 INTEGRALES TRIPLES OBJETIVOS: • Calcular Integrales Dobles. • Invertir el orden de integración. • Calcular Volúmenes. • Evaluar Integrales Dobles empleando Transformaciones. • Calcular áreas de una Superficie. 149
  • 2. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.1 INTEGRALES DOBLES 5.1.1 DEFINICIÓN La integral definida para funciones de una variable se la definió de la siguiente manera: ⎡ n ⎤ b ∫ f ( x ) dx = lím ⎢ n→∞ ⎣ i =1 f xi Δxi ⎥ ⎦ ∑ ( ) a La cual se llama Integral (Suma) de Riemann, que significa el área bajo la curva y = f ( x) en un intervalo [ a, b ] . Si quisiéramos obtener una Integral definida para una función de dos variables; primero deberíamos suponer que ahora la región de integración sería de la forma [ a, b] × [ c, d ] , es decir un rectángulo de R 2 , la cual la denotamos como R. y d R c a b x Haciendo particiones de la región R , de dimensiones no necesariamente iguales: ym y d R Δy m ym −1 Δxi yj Δyi y2 Δy2 y1 Δy1 c y 0 Δx1 Δx2 Δxn a x0 x1 x2 xi xn −1 b x x n 150
  • 3. MOISES VILLENA Integración Múltiple La ij − ésima partición tendrá forma rectangular. Ahora cabe referirse al área de esta partición, que estaría dada por: ΔAij = Δxi Δy j Podemos definir una función de dos variables z = f ( x, y ) en la región R , que para la ij − ésima partición sería: ( ) f xi , y j Δxi Δy j Bien, veamos ahora su significado geométrico. Observe la gráfica siguiente: z z = f ( x, y ) ( zi = f xi , y j ) c d y a Δxi • (x , y ) i j b Δy j x El punto ( x , y ) , representa cualquier punto del ij − ésimo rectángulo. i j El volumen del ij − ésimo paralelepípedo, denotémoslo como ΔVij , estaría dado por: ( ΔVij = f xi , y j Δxi Δy j . ) Por tanto, si deseamos el volumen bajo la superficie, tendríamos que hacer una suma de volúmenes de una cantidad infinita de paralelepídedos, es decir: ∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δ y m n V = lim i j i j n→∞ m→∞ j =1 i =1 151
  • 4. MOISES VILLENA Integración Múltiple De aquí surge la definición de Integral doble Sea f una función de dos variables definida en la región plana R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } ∑ ∑ f ( x , y ) Δx Δy m n Al lim i j i j se le n→∞ m→∞ j =1 i =1 denomina la Integral Doble de f en R y se la denota de la siguiente manera: d b ∫ ∫ f ( x, y)dxdy c a Además, si existe este límite decimos que f es integrable en R . Por el momento no vamos a seguir con la interpretación geométrica de la Integral doble, empecemos estudiando sus propiedades y la manera de cómo evaluarla. En la definición se dice que si el límite existe la función es integrable, pero surge la interrogante ¿cuándo será que el límite exista?. Esto lo veremos en el siguiente teorema. 5.1.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD Sea f una función de dos variable definida en la región plana R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } Si f está acotada en R y si f es continua en R a excepción de un número finito de curvas suaves, entonces f es integrable en R . Este teorema nos hace suponer que igual para funciones de una variable, si la función es continua será integrable. 152
  • 5. MOISES VILLENA Integración Múltiple Bien, ahora nos compete indicar la forma de como evaluar una integral doble. 5.1.3 TEOREMA FUBINI Sea f una función de dos variable definida en la región plana R = [ a, b ] × [ c, d ] = {( x, y ) / a ≤ x ≤ b ∧ c ≤ y ≤ d } . Si f es continua en R , entonces: d ⎡b ⎤ ∫∫R c ⎣a ∫ ∫ f ( x, y )dA = ⎢ f ( x, y ) dx ⎥dy ⎢ ⎥ ⎦ b ⎡d ⎤ a ⎣c ∫ ∫ = ⎢ f ( x, y ) dy ⎥ dx ⎢ ⎥ ⎦ Este teorema nos presenta la integral doble para que sean evaluadas como integrales simples, dichas integrales se denominan Integrales Iteradas. Ejemplo 1 2 Calcular ∫∫ 0 −1 xy 2 dydx SOLUCIÓN: Por el teorema de Fubini, integrando desde adentro hacia afuera, es decir: 1 ⎡2 ⎤ 1 1 ⎡ 3 ⎤ ∫∫ ∫ ∫ 3 ⎢ ⎥ ⎢ xy dy ⎥ dx = 2 ⎢x y ⎥ dx = ⎡ 23 ⎢x − x (− 1)3 ⎤ dx ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 3 ⎥ ⎢ 3 3 ⎥ ⎢ ⎣ −1 ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ 0 ⎢ −1 ⎣ ⎥ ⎦ 0 0 1 1 ∫ ∫ 1 ⎡8 1 ⎤ x2 3 = ⎢ 3 x + 3 x ⎥ dx = 3 xdx = 3 = ⎣ ⎦ 2 0 2 0 0 Aquí pudimos haber integrado con respecto a x , y luego con respecto a y , sin mayor trabajo. No deje de hacerlo. 153
  • 6. MOISES VILLENA Integración Múltiple Hasta el momento hemos trabajado con regiones de integración rectangulares, pero en las mayorías de las ocasiones se presentarán otros tipos de regiones. 5.1.4 INTEGRALES DOBLES SOBRE REGIONES GENERALES El teorema de Fubini puede ser extendido para regiones generales. En adelante vamos a hacer planteamientos directos. Una región plana, como la que se muestra en la figura, puede ser particionada de la siguiente manera: Lo cual da a lugar un elemento diferencial de la forma: Cuya área, denotada como dA , está dada por: dA = dxdy = dydx Entonces, igual como lo habíamos mencionado anteriormente, una integral doble sobre la región plana R tiene la forma: ∫∫R f ( x, y )dA Esta integral doble puede ser calculada de dos maneras: PRIMERO haciendo un barrido vertical 154
  • 7. MOISES VILLENA Integración Múltiple x =b ⎡ y= f ( x) ⎤ ∫ ∫ x=a ⎢ ⎣ f ( x, y )dy ⎥dx ⎢ y= g ( x) ⎥ ⎦ SEGUNDO: Haciendo primero un barrido horizontal y=d ⎡x= f ( y) ⎤ ∫ ∫ y =c ⎢ ⎣ f ( x, y )dx ⎥dy ⎢ x=g ( y) ⎥ ⎦ Si f ( x, y ) = 1 , la integral doble representa el área de la región R , es decir: A= ∫∫ dA R La región anterior es llamada una región simple- xy , sin embargo pueden existir regiones simple- x , sólo se puede empezar haciendo primero un barrido vertical. y y = f ( x) R dy dx y = g ( x) x a b 155
  • 8. MOISES VILLENA Integración Múltiple Como también pueden existir regiones simple- y , sólo se puede empezar haciendo primero un barrido horizontal. y d R dy x = g ( y) dx x = f ( y) c x Ejemplo 1 1 x Calcular ∫∫ 0 x2 160 xy 3 dydx SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 ⎡ x ⎤ 1 1 ⎡ x⎤ ∫∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ( )4 − 40 x(x2 )4 ⎤ dx 4 ⎢ 160 xy 3dy ⎥ dx = ⎢160 x y ⎥ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ 4 ⎥ dx = ⎢40 x x ⎣ ⎥ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ x2 ⎥ ⎦ 0 ⎣ x2 ⎦ 0 0 1 ∫ 1 = [40 x 3 ] ⎛ x4 − 40 x 9 dx = ⎜ 40 ⎜ 4 − 40 x10 ⎞ 10 ⎟ ⎟ = 10 − 4 = 6 ⎝ ⎠0 0 Ejemplo 2 1 y Calcular ∫∫ 0 0 y 2 e xy dxdy SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 156
  • 9. MOISES VILLENA Integración Múltiple 1 ⎡y ⎤ 1 1 ⎡ y⎤ ∫∫ ∫ ∫ [ye ] ⎢ ⎥ xy 2 xy ⎥ ⎢ y e dx dy = ⎢ y2 e ⎥dy = yy − ye(0 ) y dy ⎢ ⎥ ⎢ y ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0⎥ ⎦ 0 ⎣0 ⎦ 0 0 1 1 1 = ∫ 0 ⎡ ye y 2 − y ⎤dy = ⎢ ⎣ ⎥ ⎦ ∫ 0 y2 ye dy − ∫ 0 ydy 1 ⎛e y ⎞ ⎛ y2 ⎞ ⎛ 02 2 2⎞ 12 2 =⎜ − ⎟ = ⎜ e − 1 ⎟ − ⎜ e − 0 ⎟ = e −1 ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ 2 2⎟ ⎜ 2 2 ⎟ 2 ⎝ ⎠0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Ejemplo 3 1 1 Calcular ∫∫ 0 1− y e y dxdy SOLUCIÓN: Integrando desde adentro hacia afuera, tenemos: 1 ⎡ 1 ⎤ 1 ⎡ 1 ⎤ 1 ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ e y dx ⎥dy = e y ⎢ dx ⎥dy = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [e x]y 1 1− y dy ⎢ 0 ⎣1− y ⎥ ⎢1− y ⎥ ⎦ 0 ⎣ ⎦ 0 1 1 = ∫ 0 e y (1 − (1 − y ))dy = ∫0 ye y dy La última integral, se la realiza POR PARTES: 1 ∫ ∫ u v v du y e dy = y e − y y ( e dy = ye y − e y y ) 1 0 = (e − e ) − (0 − 1) = 1 u dv 0 En los dos ejemplos anteriores ya estaban dados los límites de integración, por tanto no había más que aplicar el teorema de Fubini para evaluar las integrales dobles, pero en otras ocasiones es necesario identificar la región de integración porque los límites no están definidos. Ejemplo 1 Calcular ∫∫ R xdA donde R es la región limitada por y = 2 x y y = x 2 SOLUCIÓN: Primero identificamos la región R: 157
  • 10. MOISES VILLENA Integración Múltiple Note que es una región simple-, la calcularemos de las dos formas. PRIMER MÉTODO: Haciendo primero un barrido vertical. 2 2x La integral doble con límites será: ∫∫ 0 x2 xdydx Calculando la integral, resulta: 2 ⎡ 2x ⎤ 2 2 ∫∫ ∫ ∫ [x(2 x) − x(x )]dx ⎢ ⎥ ⎢ xdy ⎥dx = [xy] 2x x2 dx = 2 ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ 0 ⎣ ⎦ 0 0 2 ∫ (2 x ) ⎛ x 3 x 4 ⎞ 16 4 = 2 − x3 dx = ⎜ 2 − ⎟= −4 = ⎜ 3 4 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠ 0 SEGUNDO METODO: Haciendo primero un barrido horizontal. 4 y La integral doble con límites será: ∫∫ 0 y xdxdy 2 Calculando la integral doble, resulta: 158
  • 11. MOISES VILLENA Integración Múltiple ⎡ ⎤ ⎢ y ⎥ ⎛ ⎛ y⎞ 2 ⎞ 4 4 ⎡ y⎤ 4 ⎜ ⎟ 4 ( y) ⎜ ⎟ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ x2 ⎥ ⎜ 2 ⎟ ⎛ y y2 ⎞ −⎝ ⎠ 2 ⎜ − ⎟dy ⎢ xdx ⎥dy = ⎢ ⎥ dy = ⎜ ⎟dy = ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜2 8 ⎟ ⎢ 2 y ⎥ 2 2 ⎝ ⎠ 0 ⎢ y ⎥ 0 ⎣ 2 ⎦ 0 ⎜ ⎟ 0 ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ 2 ⎦ 4 ⎛ y 2 y3 ⎞ =⎜ − ⎟ = 4− 8 = 4 ⎜ 4 24 ⎟ 3 3 ⎝ ⎠0 Ejemplo 2 ⎧y = x ⎪ ∫∫ ⎪y = 1 ⎪ Calcular dA donde R : ⎨ x SOLUCIÓN: ⎪x = 2 R ⎪ ⎪y = 0 ⎩ La región R es: 1 1 x 2 x Aquí es mejor hacer un barrido vertical primero: ∫∫ 0 0 dydx + ∫∫ 1 0 dydx Calculando las integrales dobles, tenemos: 2 ⎡ x ⎤ 1 1 ⎡ x ⎤ 1 2 ⎢ ⎥ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ ⎢ dy ⎥ dx + ⎢ dy ⎥ dx = x 1 ⎢ ⎥ y 0 dx + y 0 x dx ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 ⎢0 ⎣ ⎥ ⎦ 1 ⎢0 ⎥ 0 1 ⎣ ⎦ 1 2 ∫ ∫ 1 = xdx + dx x 0 1 1 2 x 2 = + ln x 1 2 0 1 = + ln 2 2 159
  • 12. MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo 3 ∫∫ 2 ⎧ y = x3 ⎪ Calcular 12 x 2e y dA donde R : ⎨ en el primer cuadrante. ⎪y = x ⎩ R SOLUCIÓN: La región R es: Aquí es mejor primero un barrido horizontal ¿Por qué? ¿Observe qué ocurre si hacemos primero un barrido vertical? Planteando la integral doble con límites y calculándola, tenemos: 3 y 1 1 ∫∫ ∫ 3 y 2 y2 x3 12 x e dxdy = 2 y 12e dy 3 y 0 y 0 1 ∫ 4e y ⎛ ( y) − y 3 ⎞dy 2 3 = ⎜ 3 ⎟ ⎝ ⎠ 0 1 1 ∫ y2 ∫ 2 = 4 ye dy − 4 y 3 e y dy 0 0 Haciendo cambio de variable t = y 2 . De aquí tenemos: dt = 2 ydy Reemplazando y resolviendo: 1 1 1 1 ∫ ∫ ∫ t⎛ ∫ y2 3 y2 dt ⎞ ⎛ dt ⎞ 4 ye dy − 4 y e dy = 4 ye ⎜ ⎜ 2y ⎟ − ⎟ 4 y 3et ⎜ ⎜ 2y ⎟ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 0 0 0 1 1 =2 ∫ ∫ 0 et dt − 2 0 tet dt = 2e t 1 0 [ − 2 te − et t ]1 0 = 2e − 2 − 2[0 − (− 1)] = 2e − 4 160
  • 13. MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo 4 Calcular ∫∫( R 2 x + 1)dA donde R es el triángulo que tiene por vértices los puntos (−1,0) , (0,1) y (1,0) SOLUCIÓN: La región R es: No olvide que dos puntos definen una recta, por tanto la determinación de las ecuaciones de las y 2 − y1 rectas se las puede obtener empleando la formula y − y 1 = (x − x 1 ) . x 2 − x1 Aquí también es mejor primero un barrido horizontal: 1 1− y 1 ∫∫ ∫ (x ) 1− y (2 x + 1)dxdy = 2 +x y −1 dy 0 y −1 0 1 = ∫ [(1− y) 0 2 ][ ] + (1 − y ) − ( y − 1)2 + ( y − 1) dy 1 = ∫ [( 0 y − 1)2 + 1 − y − ( y − 1)2 − y + 1 dy ] 1 = ∫[0 2 − 2 y ]dy ( = 2y − y2 ) 1 0 1 1− y ∫ ∫( 0 y −1 2 x + 1)dxdy = 1 161
  • 14. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.1. 5 PROPIEDADES Sean f y g funciones de dos variables continuas en una región R , entonces: 1. ∫∫ kdA = k ∫∫ dA ; ∀k ∈ℜ R R 2. ∫∫ ( f ± g )dA = ∫∫ fdA ± ∫∫ gdA R R R 3. ∫∫ dA = ∫∫ dA + ∫∫ dA donde R = R ∪ R R R1 R2 1 2 5.1.6 CÁLCULO DE INTEGRALES DOBLES INVIRTIENDO LOS LÍMITES DE INTEGRACIÓN Algunas Integral Iterada pueden ser calculada de las dos formas, pero tenga mucho cuidado cuando invierte el orden de las integrales. Ejemplo 1 e ln x Calcular ∫∫ 1 0 xydydx SOLUCIÓN: Primero se debe identificar la región de integración. En este caso, la integral doble está dada primero con barrido vertical porque el diferencial es de la forma dydx , entonces tenemos que interpretar la integral doble de la siguiente manera: x =e y = ln x ∫ ∫ x =1 y =0 xydydx ⎧ y = ln x ⎪ Por tanto, la región es R : ⎨ y = 0 , es decir: ⎪x = e ⎩ 162
  • 15. MOISES VILLENA Integración Múltiple Invirtiendo los límites de integración hay que hacer ahora un barrido horizontal primero, es decir: ( ) 1 e 1 1 1 1 ⎛ e2 e y ⎞ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ e 2 x2 2 y⎜ ⎟dy = e 1 xydxdy = y dy = − ydy − ye 2 y dy 2 ⎜ 2 2 ⎟ 2 2 e y ⎝ ⎠ 0 ey 0 0 0 0 1 1 2 e y 2 1⎡ e 1e ⎤2y 2y = − ⎢y − ⎥ 2 2 2⎢ 2 ⎣ 2 2 ⎥ ⎦0 0 e2 e2 e2 1 = − + − 4 4 8 8 e2 1 = − 8 8 Ejemplo 2 2 4− x 2 Invierta el orden de integración para ∫ ∫ f ( x, y)dydx 0 0 SOLUCIÓN: x=2 y = 4− x 2 Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫ x =0 y =0 f ( x, y )dydx . Se ha hecho primero un barrido vertical ⎧ y = 4 − x2 ⎪ ⎪ Entonces la región de integración es R : ⎨ x = 0 ⎪y = 0 ⎪ ⎩ Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 4 4− y ∫ ∫ 0 0 f ( x, y )dxdy 163
  • 16. MOISES VILLENA Integración Múltiple Ejemplo 3 1 y +1 Invierta el orden de integración para ∫ ∫ f ( x, y)dxdy −1 − y +1 SOLUCIÓN: y =1 x = y +1 Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫ y = −1 f ( x, y )dxdy . Se ha x = − y +1 hecho primero un barrido vertical ⎧ ⎪ y = x2 − 1 Entonces la región de integración es R : ⎨ ⎪y = 1 ⎩ Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 2 1 ∫ ∫ − 2 x 2 −1 f ( x, y )dydx Ejemplo 4 16 4 x Invierta el orden de integración para ∫∫ 2 x f ( x, y )dydx SOLUCIÓN: x=4 y =16 x Interpretando los límites de integración dados, tenemos: ∫ ∫ x=2 y=x f ( x, y )dydx Se ha hecho un barrido vertical primero ⎧y = x ⎪ ⎪ 16 Entonces la región de integración es R : ⎨ y = ⎪ x ⎪x = 2 ⎩ Ahora hay que hacer un barrido horizontal primero, es decir: 164
  • 17. MOISES VILLENA Integración Múltiple 16 4 y y ∫∫ 2 2 f ( x, y )dxdy + ∫∫ 4 2 f ( x, y )dxdy Ejercicios propuestos 5.1 1 y 1. Calcular ∫∫ 0 0 e x + y dxdy ⎧x − ⎪ y2 + 9 = 0 2. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por ⎨ ⎪x + ⎩ y2 − 9 = 0 ⎧ y 2 = 2x − 2 ⎪ 3. Emplee una integral doble para hallar el área de la región limitada por: ⎨ ⎪y = x − 5 ⎩ ⎧y = x ∫∫ y2 ⎪ 4. Calcular: dA donde R es la región limitada por ⎨ y = 2 x2 ⎪ xy = 1 ⎩ R ∫∫ ⎧y = x2 ⎪ 5. Calcular 12 x dA donde R es la región limitada por ⎨ ⎪ y = 2x ⎩ R 2 4 6. Calcular ∫∫ 0 x2 y cos ydydx 1 1 2 ∫∫ e − x dxdy 2 7. Calcular 0 y 2 2 x −1 3 3+ x 8. Invierta el orden de integración: ∫ ∫ −1 − 3+ x f ( x, y )dydx + ∫ ∫ 2 − 3+ x f ( x, y )dydx 1 x 2 2− x 2 9. INVERTIR el orden de integración y EVALUAR. ∫∫ 0 0 ydydx + ∫ ∫ 1 0 ydydx 165
  • 18. MOISES VILLENA Integración Múltiple ∫∫ 2 10. Calcular: 12 x 2 e y dA , donde R es la región del primer cuadrante limitada por y = x3 y R y=x 2 x3 8 8 11. Representar la región de integración para: ∫∫ 1 x f (x, y) dy dx+ ∫∫ ( 2 x f x, y) dy dx e invertir el orden de integración. 5.1.7 VALOR MEDIO PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES Sea f una función continua en las variables x y y . El valor Medio de f en una región plana R está dado por: ∫∫ f ( x, y)dA Valor Medio = R ∫∫ dA R Ejemplo Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = x 1 + y 3 ⎧y = 2 ⎪ sobre la región limitada por ⎨ y = x ⎪x = 0 ⎩ SOLUCIÓN: La región de integración es: Empleando la fórmula, tenemos: 166
  • 19. MOISES VILLENA Integración Múltiple 2 y Valor Medio = ∫∫R f ( x, y)dA = ∫∫ 0 0 x 1 + y3 dxdy ∫∫ 2 y ∫∫ dA dxdy R 0 0 2 ∫ y x2 1 + y3 dy 2 0 = 0 2 ∫ ( x ) 0 dy y 0 2 ∫ 1 y 2 1 + y3 dy 2 = 0 2 ∫ 0 ydy 2 1 (1 + y ) 3 3 2 2 ⎛ 3⎞ 1 2⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ( 27 − 1) = 2 0 =6 y2 2 2 0 13 = 6 Ejercicios Propuestos 5.2 −1 1. Calcule el valor medio de la función f ( x, y ) = e x y 2 en la región del primer cuadrante ⎧y = x2 ⎪ ⎪ limitada por ⎨x = 0 ⎪y = 1 ⎪ ⎩ 2. Para una compañía concreta, la función de producción de Cobb-Douglas es f ( x, y ) = 100 x 0,6 y 0,4 . Estimar el nivel medio de producción, si el número de unidades de trabajo varía entre 200 y 250 y el de unidades de capital entre 300 y 325. 3. Hallar el valor medio de f ( x, y ) = x + 2 y + 4 sobre la región limitada por las rectas y = 2 x, y = 3 − x, y=0 ⎧x = 0 ⎪ − x2 ⎪x = 2 4. Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = e sobre la región ⎨ ⎪y = x ⎪y = 2 ⎩ y2 ⎧0 ≤ y ≤ 1 5. Encuentre el valor medio de la función f ( x, y ) = , sobre la región R = ⎨ ( xy + 1) 2 ⎩0 < x ≤ y 6. Hallar el valor medio de f (x, y) = 2xy en la región limitada por y= x2 y y=x 167
  • 20. MOISES VILLENA Integración Múltiple 5.1.8 VOLÚMENES CON INTEGRALES DOBLES Ya definimos el volumen bajo una superficie. Ejemplo x y z Hallar el volumen del sólido limitado por el plano + + = 1 y el plano xy en a b c el primer octante. SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z c ⎛ x y⎞ z = c ⎜1 − − ⎟ ⎝ a b⎠ h b y dA a x El volumen del elemento diferencial sería dV = hdA = zdA Por tanto el volumen total está dado por : ∫∫ ⎛ x y⎞ V= c ⎜ 1 − − ⎟ dA ⎝ a b⎠ R Donde la región R sería: y b ⎛ x⎞ y = b ⎜1 − ⎟ ⎝ a⎠ x a Escogemos un barrido vertical primero, es decir que la integral iterada quedaría: 168
  • 21. MOISES VILLENA Integración Múltiple ⎛ x⎞ b ⎜1− ⎟ a ⎝ a⎠ ∫∫ ⎛ x y⎞ V= c ⎜1 − − ⎟ dydx ⎝ a b⎠ 0 0 Evaluando: ⎛ x⎞ b ⎜1− ⎟ a ⎝ a⎠ a ⎡ ⎛ x⎞ 2 b ⎜1− ⎟ ⎤ ⎛ x⎞ ∫∫ ∫ b ⎜1− ⎟ ⎛ x y⎞ ⎢⎛1 − x ⎞ y ⎝ a ⎠ − y ⎝ a ⎠ ⎥ dx V= c ⎜ 1 − − ⎟ dydx = c ⎜ ⎟ ⎝ a b⎠ ⎢⎝ a ⎠ 2b 0 ⎥ 0 0 0 ⎢ ⎣ 0 ⎥ ⎦ a ∫ ⎡ ⎛ x ⎞2 b2 ⎛ x ⎞2 ⎤ =c ⎢b ⎜ 1 − ⎟ − ⎜1 − ⎟ ⎥ dx ⎢ ⎝ a ⎠ 2b ⎝ a ⎠ ⎥ ⎣ ⎦ 0 a ∫ 2 b⎛ x⎞ =c ⎜1 − ⎟ dx 2⎝ a⎠ 0 3 a ⎛ x⎞ 1− bc ⎜ a ⎟ ⎝ ⎠ = 2 ⎛ 1⎞ 3⎜ − ⎟ ⎝ a⎠ 0 a abc ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ 3 = ⎢ − ⎜1 − ⎟ ⎥ 6 ⎢ ⎝ a⎠ ⎥ ⎣ ⎦0 abc = [1 − 0] 6 abc V= 6 Ahora consideremos un sólido limitado por superficies. Por ejemplo: z z = f ( x, y ) z = g ( x, y ) y R x 169
  • 22. MOISES VILLENA Integración Múltiple En el gráfico, el volumen del sólido limitado por las superficies está dado por: V= ∫∫ ⎡⎣ f ( x, y ) − g ( x, y )⎤⎦dA R R , es la región plana que tiene por proyección la superficie en el plano xy . Ejemplo Hallar el volumen del sólido limitado por z = 4 − x 2 − 2 y 2 y el plano z = 2 SOLUCIÓN: Haciendo un dibujo z z = 4 − x2 − 2 y 2 h 2 dA z=2 y R En este caso V= ∫∫ ∫∫ R hdA = R ⎡( 4 − x 2 − 2 y 2 ) − ( 2 ) ⎤dA ⎣ ⎦ Para ponerle los límites de integración identificamos la región R , en este caso sería la curva de ⎧ z = 4 − x2 − 2 y2 intersección de ⎨ proyectada en el plano xy . ⎩z = 2 Igualando y simplificando: 4 − x2 − 2 y 2 = 2 x2 + 2 y2 = 2 x2 y 2 + =1 2 1 Entonces la región sería: y 2 − x2 y= 1 2 x 0 2 170
  • 23. MOISES VILLENA Integración Múltiple Entonces 2− x 2 2 2 2 ∫∫ ∫ 2− x 2 ⎡ y3 ⎤ (2 − x − 2 y )dydx = 4 ⎢( 2 − x ) y − 2 ⎥ 2 V =4 2 2 2 dy ⎣ 3 ⎦0 0 0 0 2 ∫ ⎡ ⎛ ⎞ 3 ⎤ ⎢( 2 − x 2 ) 2 − x − 2 ⎜ 2 − x 2 2 =4 ⎟ ⎥ dx ⎢ 2 3⎝⎜ 2 ⎟ ⎥ ⎣ ⎠ ⎦ 0 2 ∫ ⎡ 2 ⎤ ⎢ ( 2 − x ) − 2 ( 2 − x ) ⎥ dx 3 3 2 2 2 =4 ⎢ ⎥ ( ) 3 2 3 ⎢ ⎣ 2 ⎥ ⎦ 0 2 ∫ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ ( 2 − x ) dx 3 =4 ⎜ − 2 2 ⎝ 2 3 2⎠ 0 2 8 ∫ (2 − x ) 3 = 2 2 dx 3 2 0 La última integral se la realiza por sustitución trigonométrica. ⎧x = 0 → t = 0 ⎪ Haciendo x = 2 sent entonces dx = 2 cos t dt y los límites serían ⎨ π ⎪x = 2 → t = 2 ⎩ π 2 2 8 ∫ (2 − x ) 8 ∫ ( 2 − 2sen t ) 3 3 V= 2 2 dx = 2 2 2 cos t dt 3 2 3 2 0 0 π 2 8 ∫ ( cos ) 3 3 = 2 2 2 2 2 cos t dt 3 2 0 π 2 ( 2) ∫ 8 3 = cos 4 t dt 3 0 π 2 ∫ ⎛ 1 + cos 2t ⎞ 2 8 = 2 2 3 ( ) ⎜ ⎝ 2 ⎟ dt ⎠ 0 π 2 ∫ = 16 2 (1 + 2 cos 2t + cos 2t ) dt 2 3 4 0 π ⎡ 2 ⎤ ∫ ⎢ π ⎥ 4 2 ⎢ π 2 2 sen2t 2 ⎛ 1 + cos 4t ⎞ ⎥ = t0 + + ⎜ ⎟ dt ⎥ 3 ⎢ 2 0 ⎝ 2 ⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣ 0 ⎥ ⎦ π 4 2 ⎡π 1 π sen 4t 2⎤ = ⎢ +0+ t 02 + ⎥ 3 ⎢2 2 8 0 ⎥ ⎣ ⎦ 4 2 ⎡π π ⎤ = + 3 ⎢2 4⎥ ⎣ ⎦ 4 2 ⎡ 3π ⎤ = 3 ⎢ 4 ⎥ ⎣ ⎦ V= 2π 171