อัตราส่วนตรีโกณมิติ

1. อัตราส่วนตรีโกณมิติ ม .5 โดย ... นางจันทร์เพ็ญ เมืองสง ครู โรงเรียนราชดำริ รายวิชา คณิตศาสตร์ รหัสชา ค 32101

2. อัตราส่วนตรีโกณมิติ (Trigonometric Ratio) จากการที่นักเรียนเคยศึกษาเรื่องสามเหลี่ยมที่คล้ายกันมาแล้ว จะพบว่า 2. ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปคล้ายกันแล้ว อัตราส่วนของด้าน ที่อยู่ตรงข้ามมุมเท่าจะเท่ากัน 1. สามเหลี่ยมสองรูป ถ้ามีมุมที่เท่ากัน 3 มุมแล้ว สามเหลี่ยมสองรูปนั้นจะคล้ายกัน

3. B x C X Z Y c b a z A y จากรูป ถ้า และ แล้ว สามเหลี่ยม ABC คล้ายกับ สามเหลี่ยม XYZ ดังนั้นจะได้ หรือ

4. และจาก จะได้ หรือจาก จะได้ จะได้ หรือจาก และจากสมบัติดังกล่าวเราสามารถนำไปหาความยาวของด้านของสามเหลี่ยมได้

5. ในทำนองเดียวกันถ้าสามเหลี่ยม 2 รูปที่คล้ายกันเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากดังรูป C A B Z X Y a c b x z y ก็จะได้ , , เช่นเดียวกัน อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ใดคู่หนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนี้ เรียกว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติ

6. ดังนั้น จากรูป เมื่อสามเหลี่ยม ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี และยึดมุม A เป็นหลัก C A b c a B เรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้ยาว c หน่วย เรียก BC ว่า ด้านตรงข้ามมุม A ให้ยาว a หน่วย เรียก AC ว่า ด้านประชิดมุม A ให้ยาว b หน่วย หรือในทำนองเดียวกันจากรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC เมื่อ ยึดมุม B เป็นหลัก เรียก AB ว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ให้ยาว c หน่วย เรียก AC ว่า ด้านตรงข้ามมุม B ให้ยาว b หน่วย เรียก BC ว่า ด้านประชิดมุม B ให้ยาว a หน่วย

7. และจากรูป สามเหลี่ยม ABC , เมื่อยึด มุม A เป็นหลัก จะได้อัตราส่วนตรีโกณมิติ ของมุม A ดังนี้ C A b c a B 1. ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A เรียกว่า ไซน์ของมุม A เขียนแทนด้วย sinA ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 2. ความยาวของด้านประชิดมุม A เรียกว่า โคไซน์ของมุม A เขียนแทนด้วย cosA ความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก 3. ความยาวของด้านตรงข้ามมุม A เรียกว่า แทนเจนต์ของ A เขียนแทนด้วย tanA ความยาวของด้านประชิดมุม A หมายเหตุ อัตราส่วนข้างต้นใช้ได้เฉพาะ กรณีมุม A เป็นมุมแหลมเท่านั้น

8. จากอัตราส่วนไซน์ โคไซน์ และแทนเจนต์ ยังมีอัตราส่วนตรีโกณมิติอีก 3 อัตราส่วน ซึ่งกำหนดด้วยบทนิยามดังนี้ 4. โคเซแคนท์ของมุม A หรือ cosecant A ซึ่งเขียนแทนด้วย cosecA ( อ่านว่า โคเซค เอ ) หมายถึง ส่วนกลับของ sinA ; sinA  0 นั่นคือ นั่นแสดงว่า ดังนั้น 5. เซแคนท์ของมุม A หรือ secant A ซึ่งเขียนแทนด้วย secA ( อ่านว่า เซค เอ ) หมายถึง ส่วนกลับของ cosA ; cosA  0 นั่นคือ นั่นแสดงว่า ดังนั้น 6. โคแทนเจนต์ของมุม A หรือ cotangent A ซึ่งเขียนแทนด้วย cotA ( อ่านว่า คอตท์เอ ) หมายถึง ส่วนกลับของ tanA ; tanA  0 นั่นคือ ดังนั้น นั่นแสดงว่า

9. ตัวอย่าง จากรูปจงหาค่าของ sinA, cosA, tanA, sinC, cosC, tanC, cosecA, cotA, cosecC, secC, C A 5 4 B วิธีทำ จากทฤษฎีบทพิธาโกรัส จะได้ ดังนั้น

10. สรุป จากรายละเอียดข้างต้น อัตราส่วนตรีโกณมิติ หมายถึง อัตราส่วนของความยาวของด้านคู่ใดคู่หนึ่ง ของสามเหลี่ยมมุมฉากเมื่อยึดมุมใดมุมหนึ่งเป็นหลัก ( มีขนาดมุมระหว่าง 0 – 90 องศา ) โดยที่ sinA = ข้าม ดังนั้น cosecA = ฉาก ฉาก ข้าม cosA = ชิด ดังนั้น secA = ฉาก ฉาก ชิด tanA = ข้าม ดังนั้น cot A = ชิด ชิด ข้าม ข้อตกลง ข้าม ในที่นี้หมายถึง ด้านตรงข้ามมุม A ฉาก ในที่นี้หมายถึง ด้านตรงข้ามมุมฉาก ชิด ในที่นี้หมายถึง ด้านประชิดมุม A