SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES      (S. E. L.)
   Dado un sistema de ecuaciones lineales    podremos sacar dos matrices:      M           La matriz de los coeficientes ...
Matriz de los coeficientes        6 3 2                        o matriz del sistema                                   ...
TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS   Si Rg M = Rg M* el sistema es compatible y    tiene solución   Si Rg M ≠ Rg M* el sistema ...
CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS   Si Rg M = Rg M* = nº de incógnitas (SCD) Sistema compatible determinado, tiene 1 solución...
SISTEMAS HOMOGÉNEOS   Los sistemas homogéneos tienen como término    independiente 0 en todas sus ecuaciones      2 x  3...
MÉTODO DE CRAMER   Se aplica en sistemas compatibles    determinados (SCD) con 1 solución    Rg M = Rg M* = nº de incógni...
   Rango de M                       1 3 2                                                   M   3 4  6           ...
   Rango de M*                                            1       3 11                                            3 4 1 ...
   El valor de las incógnitas se obtiene como    cociente de determinantes.    Como denominador se coloca el determinante...
   Como numerador se pone el mismo     determinante cambiando la primera columna si     se trata de la x, la segunda colu...
   En su lugar             se       ponen           los     términos    independientes      11 3  2    1   4    6     1...
MÉTODO DE GAUSS   Se puede aplicar siempre en cualquier    sistema, y es el más aconsejable para    sistemas compatibles ...
   Rango de M                     1  2 2                                               M   3 1  4               ...
    Rango de M*                                                 1 2            1                                        ...
   Se trabajará con tantas ecuaciones como indique    el rango del sistema. Cogeremos siempre las    ecuaciones más senci...
x  2 y  2z  1                     x  2 y  1  2z                                                                 ...
¡¡¡NOS CALLAMOS!!!
Me parece que haydemasiada  gente hablando
¡A quien   no leinterese  que se vaya al  patio a jugar al  fútbol!
Si atendemos un poco,    no es tan difícil
No le des tanto al pico
¡¡¡Cierra la boca de una vez!!!
¿Se entiende lo que explico?
Esto se acabó, ocomo decíaun colega:“SAYONARA  BABY”
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  1. 1. SISTEMAS DEECUACIONES LINEALES (S. E. L.)
  2. 2.  Dado un sistema de ecuaciones lineales podremos sacar dos matrices: M La matriz de los coeficientes o matriz del sistema M* La matriz ampliada que incluye además los términos independientes
  3. 3. Matriz de los coeficientes  6 3 2 o matriz del sistema   M   3 4 6   1 3 2  6 x  3 y  2z  5  3 x  4 y  6 z  3 x  3 y  2z  0   6 3 2 5    Matriz ampliada M*   3 4 6  3 1 3 2 0   
  4. 4. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Si Rg M = Rg M* el sistema es compatible y tiene solución Si Rg M ≠ Rg M* el sistema es incompatible y no tiene solución
  5. 5. CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS  Si Rg M = Rg M* = nº de incógnitas (SCD) Sistema compatible determinado, tiene 1 solución Método de Cramer  Si Rg M = Rg M* < nº de incógnitas (SCI) Sistema compatible indeterminado, tiene ∞ soluciones Método de Gauss  Si Rg M ≠ Rg M* (SI) Sistema incompatible, no tiene solución
  6. 6. SISTEMAS HOMOGÉNEOS Los sistemas homogéneos tienen como término independiente 0 en todas sus ecuaciones 2 x  3 y  5z  0   3 x  4 y  2z  0   x  3 y  2 z  0  Se tratan de sistemas compatibles, siempre tienen solución Rg M = Rg M* Si la solución es única se trata de la solución trivial (0, 0, 0)
  7. 7. MÉTODO DE CRAMER Se aplica en sistemas compatibles determinados (SCD) con 1 solución Rg M = Rg M* = nº de incógnitas x  3 y  2 z  11   1 3 2   1 3 2 11       3 x  4 y  6 z  1 M   3 4  6 M *   3 4  6  1   1 3  2 1 3  2 1   x  3 y  2z  1     
  8. 8.  Rango de M  1 3 2    M   3 4  6   1 3  2   1 3 2 3 4  6  8  18  18  8  18  18  72 1 3  2El determinante da distinto de 0 → Rg M = 3Rg M = 3 = Rg M* = nº de incógnitas SCD
  9. 9.  Rango de M* 1 3 11 3 4 1  1 3 1  1 3 2 11    M *   3 4  6  1 1 2 11 1 3  2 1  3  6 1    1  2 1 3 2 111 3 2 4  6 1 3 4  6  8  18  18  8  18  18  72 3 2 11 3  2 El determinante da distinto de 0 → Rg M* = 3
  10. 10.  El valor de las incógnitas se obtiene como cociente de determinantes. Como denominador se coloca el determinante de la matriz de los coeficientes o del sistema. ¿ ...? ¿ ...? ¿ ...?x   y   z   1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 4 6 3 4 6 3 4 6 1 3 2 1 3 2 1 3 2
  11. 11.  Como numerador se pone el mismo determinante cambiando la primera columna si se trata de la x, la segunda columna si se trata de la y, la tercera columna si se trata de la z, y así sucesivamente. ¿ ...? 3 2 ¿ ...? 4 6 1 3 ¿ ...? ¿ ...? 3 2 3 4 ¿ ...?x    1 3 ¿ ...? 1 3 2 z   1 ¿ ...? 2 1 3 2 3 4 6 3 ¿ ...? 6 3 4 6 1 3 2  1 ¿ ...? 2 1 3 2 y   1 3 2 3 4 6 1 3 2
  12. 12.  En su lugar se ponen los términos independientes 11 3 2 1 4 6 1 3 2  88  6  18  8  6  198 72x    1 1 3 2  8  18  18  8  18  18 72 3 4 6 1 3 2 1 11 2 3 1  6 1 1 2 2  6  66  2  6  66 144y     2 1 3 2  8  18  18  8  18  18 72 3 4 6 1 3 2 1 3 11 3 4 1 1 3 1 4  99  3  44  3  9 144z     2 1 3 2  8  18  18  8  18  18 72 3 4 6 1 3 2 Sol : ( x , y , z ) Sol : (1,2,2)
  13. 13. MÉTODO DE GAUSS Se puede aplicar siempre en cualquier sistema, y es el más aconsejable para sistemas compatibles indeterminados (SCI) con ∞ soluciones Rg M = Rg M* < nº de incógnitas x  2 y  2z  1  1  2 2  1  2 2 1       M   3 1  4 M*   3 1  4  1 3 x  y  4 z  1   2 3  6  2 3  6  2 2 x  3 y  6 z  2     
  14. 14.  Rango de M 1  2 2    M   3 1  4  2 3  6  1 2 23 1  4  6  18  16  4  12  36  46  46  02 3 6El determinante da 0 → Rg M = 2
  15. 15.  Rango de M* 1 2 1 3 1  1  2  9  4  2  3  12  0 2 3 2 1  2 2 1  1 2 1   M*   3 1  4  1 3  4  1  8  18  4  8  6  12  0  2 3  6  2   2 6 2 2 2 1 1  4  1  16  6  6  12  12  4  01 2 2 3 6 23 1  4  6  18  16  4  12  36  02 3 6 Todos los determinante dan 0 → Rg M* = 2Rg M = 2 = Rg M* < nº de incógnitas (SCI)
  16. 16.  Se trabajará con tantas ecuaciones como indique el rango del sistema. Cogeremos siempre las ecuaciones más sencillas.x  2 y  2z  1   x  2 y  2z  1 3 x  y  4 z  1  Rg M = 2 = Rg M* 2 x  3 y  6 z  2  3 x  y  4z  1 Tenemos más incógnitas que ecuaciones. A partir de ahora vamos a considerar que tenemos tantas ecuaciones como incógnitas. Pasamos las incógnitas que nos sobra a la otra parte de la igualdad y pasarán a considerarse parámetros.
  17. 17. x  2 y  2z  1  x  2 y  1  2z    3 x  y  4z  1 3 x  y  1  4z   Por reducción o Gauss hallamos las incógnitas, que generalmente dependerán de los parámetros o incógnitas que hemos pasado x  2 y  1  2z  E1 = E1 x  2 y  1  2z    3 x  y  1  4z  E2 = - 3E1 + E2 7 y  4  10z   4  10z y x  2 y  1  2z 7   4  10z    4  10z  7  14z  8  20z  1  6zx  2   1  2z x  1  2z  2      7   7  7 7   1  6 z  4  10z  Sol :  , , z) Sol : ( x , y , z )  7 7 
  18. 18. ¡¡¡NOS CALLAMOS!!!
  19. 19. Me parece que haydemasiada gente hablando
  20. 20. ¡A quien no leinterese que se vaya al patio a jugar al fútbol!
  21. 21. Si atendemos un poco, no es tan difícil
  22. 22. No le des tanto al pico
  23. 23. ¡¡¡Cierra la boca de una vez!!!
  24. 24. ¿Se entiende lo que explico?
  25. 25. Esto se acabó, ocomo decíaun colega:“SAYONARA BABY”

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