1. BAB III
TURUNAN
III. TURUNAN
Tujuan Pembelajaran :
1. Menjelaskan konsep turunan sesuai definisi
2. Menggunakan rumus-rumus dasar turunan untuk menyelesaikan
persoalan turunan
3. Menggunakan rumus turunan trigonometri dan kesamaan trigonometri
untuk menyelesaikan persoalan turunan trigonometri
4. Menyelesaikan persoalan turunan fungsi komposit dengan aturan rantai
5. Menyelesaikan persoalan turuan fungsi implisip dengan konsep dan
rumus turunan.
Salah satu metode yang cukup penting dalam matematika adalah turunan (diferensial).
Sejalan dengan perkembangannya aplikasi turunan telah banyak digunakan untuk
bidang-bidang rekayasa dan sain. Oleh karena itu materi turunan cukup perlu untuk
dipelajari padbidang keteknikan. Pada bab ini akan disjikan definisi dan konsep
turunan, rumus dasar turunan, contoh-contoh persoalan turunan beserta
penyelesaiannya dengan berbagai metode penyelesaian.
3.1. Notasi Turunan dan Rumus Dasar Turunan
Turunan dari sebuah fungsi f dengan variabel x atau f(x) adalah fungsi lain yang
dy
dinotasikan dengan f ’(x). Jika kita menuliskan y = f(x), dx
adalah koefisien turunan
(diferensial) untuk fungsi f(x). Atau turunan dari fungsi f dapat juga dinyatakan
dengan menggunakan operator D dengan menuliskan D[f(x)] = f ’(x).
Tabel berikut ini memuat daftar turunan (diferensial) baku yang akan membantu kita
dalam menyelesaikan persoalan turunan fungsi sederhana.
35 Matematika 1

2. BAB III
TURUNAN
Rumus Dasar Turunan
dy
No y = f(x) dx = f ’(x)
1 k, k adalah konstanta 0
2 xn nxn-1 , n ∈ Riil
3 ex ex
4 ekx kekx
5 ax ax ln(a)
1
6 ln(x) x
1
7 loga x x ln(a )
Selanjutnya kita akan mengenal terlebih dahulu sifat-sifat turunan yang juga akan
memudahkan kita dalm menyelesaikan persoalan turunan..
Sifat-sifat turunan.
Jika f(x) dan g(x) adalah dua fungsi yang mempunyai turunan yaitu f ’(x) dan g ’(x)
maka berlaku :
1. (k f) ‘(x) = k f ‘(x)
2. (f + g) ’(x) = f ’(x) + g ’(x)
3. (f – g) ‘(x) = f ‘(x) – g ‘(x)
4. (f . g) ‘(x) = f ‘(x) . g(x) + f (x) . g ‘(x)
'
f  f ' ( x ).g ( x ) − f ( x ).g ' ( x )
5. 
g  (x) =
 , g(x) ≠ 0
  [ g ( x ) ]2
untuk dua sifat (rumus) terakhir dapat diringkaskan agar memudahkan kita untuk
menghafalnya, yaitu dengan cara memisalkan u = f(x) maka u’ = f ’(x) dan v = g(x)
maka v’ = g ‘(x). sehingga dua rumus terakhir dapat dituliskan sebagai berikut :
(u . v) ‘(x) = u’ . v + u . v’ dan
'
u  u ' .v −u.v '
  ( x) =
v  v2
, v ≠ 0.
36 Matematika 1

3. BAB III
TURUNAN
Selanjutnya, contoh-contoh berikut akan menjelaskan bagaimana daftar (rumus)
dasar turunan dan sifatnya dapat digunakan dalam menyelesaikan persoalan turunan
untuk fungsi sederhana..
Contoh. 3.1.1
Tentukan turunan dari fungsi y = x4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2.
Penyelesain
y = x4 + 5x3 – 4x2 + 7x – 2, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka
dy
dx = 4x4-1 + 5 (3x3-1) – 4 (2x2-1) + 7 (x1-1) – 0
= 4x3 + 15x2 - 8x + 7.
Contoh 3.1.2.
Tentukan turunan dari fungsi y = 3x4 – 7x3 + 4x2 + 3x – 4 pada x = 2.
Penyelesaian.
y = 3x4 – 7x3 + 4x2 + 3x – 4, berdasarkan rumus no.1 dan 2 pada daftar maka
dy
dx
= 3 (4x3) – 7 (3x2) + 4 (2x) + 3 (1) – 0
= 12x3 – 21x2 + 8x + 3 dan untuk x = 2, maka
dy
dx
= 12 (2)3 – 21 (2)2 + 8 (2) + 3 = 31.
Contoh 3.1.3.
1 2
Tentukan turunan dari fungsi f(x) = 3x2 + 5x – x
+ x3
–1
Penyelesaian.
1 2
f(x) = 3x2 + 5x – x + x3
– 1 = 3x2 + 5x – x -1 + 2x -3 - 1, maka
1 6
f ’(x) = 6x + 5 + x -2 – 6x -4 = 6x + 5 + x2
- x4
.
37 Matematika 1

4. BAB III
TURUNAN
Contoh 3.1.4.
3
Tentukan turunan dari fungsi g(x) = 2x2 - 3 x
+3 3
x2 - 4x 2
Penyelesaian.
3 3
g(x) = 2x2 - 3 x
+3 3
x2 - 4x2
= 2x2 – 3x1/2 + 3x2/3 - 4
x -2, maka
3 6 3 2 6
g ’(x) = 4x - 2
x -1/2 + 2x -1/3 + 4
x -3 = 4x - 2 x
+ x1 / 3
+ 4x3
.
Contoh 3.1.5.
4 1
Tentukan turunan dari fungsi h(x) = 5x 3 / 4
- x
Penyelesaian.
4 1 4
h(x) = 5x 3 / 4
- x
= 5
x -3/4 – x -1/2, maka
12 12 1
h ’(x) = - 20
x -7/4 + x -3/2 = - 20 x 7 / 4
+ x3/ 2
.
Contoh 3.1.6
dy
Diferensialkan fungsi y = 2x3 + 4x2 – 2x + 7 dan hitung nilai dx
pada nilai x = -2.
Penyelesaian.
y = 2x3 + 4x2 – 2x + 7, maka
dy
dx = 6x2 + 8x – 2 dan untuk x = -2, maka
dy
dx = 6(- 2)2 + 8(- 2) – 2 = 6.
Contoh 3.1.7
Tentukan turunan dari fungsi y = x3 . ex.
Penyelesaian.
y = x3 . ex, dengan menggunakan sifat (rumus) turunan hasil kali dua buah fungsi,
maka
misalkan : u = x3 → u ’ = 3x2 dan v = ex → v ’ = ex
38 Matematika 1

5. BAB III
TURUNAN
dy
sehingga dx = (u . v) ’(x) = u ’ . v + u . v ’
= (3x2) ex + x3 . ex = x2 (3ex + x).
Contoh 3.1.8
2 x 2 − 3x
Tentukan turunan dari fungsi y = x +5
Penyelesaian.
2 x 2 − 3x
y= x +5
, dengan menggunakan sifat (rumus) turunan hasil bagi dua buah fungsi,
misalkan : u = 2x2 – 3x → u ’ = 4x – 3 dan v = x + 5 → v ’ = 1
'
dy u  u ' .v −u.v '
sehingga dx =   ( x) =
v  v2
( 4 x −3)( x +5) −( 2 x 2 −3 x ).1
= ( x +5) 2
2 x 2 + 20 x −15
= ( x + 5) 2
.
Koefisien turunan (diferensial) kedua.
dy
Turunan kedua dari fungsi y adalah turunan dari dx
(turunan pertama). Dalam hal
d dy d2y
ini koefisien turunan kedua adalah ( )
dx dx = dx 2
, dan dapat diteruskan untuk
turunan ketiga dan selanjutnya.
Contoh 3.1.9
d2y
Tentukan dx 2
dari fungsi y = 2x4 – 5x3 + 3x2 – 2x + 4.
Penyelesaian.
dy
y = 2x4 – 5x3 + 3x2 – 2x + 4 → dx = 8x3 – 15x2 + 6x - 2 + 0
d2y d
sehingga dx 2
= dx
(8 x 3 −15 x 2 +6 x −2)
39 Matematika 1

6. BAB III
TURUNAN
= 24x2 – 30x + 6.
Contoh. 3.1.10
d2y
Tentukan dx 2
dari fungsi y = 3x4 + 2x3 – 4x2 + 5x + 1
Penyelesaian.
dy
y = 3x4 + 2x3 – 4x2 + 5x + 1 → dx = 12x3 + 6x2 -8x + 5
d2y d
sehingga dx 2
= dx
(12 x 3 +6 x 2 −8 x +5)
= 36x2 + 12x - 8.
3.2. Turunan Sinus dan Kosinus
pada dasarnya turunan sinus dan kosinus mengacu pada definisi turunan, namun
hasilnya telah diringkaskan pada teorema berikut :
Teorema 3.2.1
Fungsi-fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x, keduanya mempunyai turunan
(dapat didiferensialkan) yaitu turunan sin x adalah f ’(x) = cos x dan turunan cos x
adalah g ’(x) = - sin x.
Dengan menggunakan teorema 3.2.1 diatas dan rumus turunan hasil kali serta turunan
hasil bagi, maka dapat di tentukan rumus turunan fungsi trigonometri lainnya yang
dinyatakan pada teorema berikut.
Teorema 3.2.2
d d
Jika dx
(sin x) = cos x dan dx
(cos x ) = – sin x, maka :
d
1. dx
(tan x ) = sec2 x.
40 Matematika 1

7. BAB III
TURUNAN
d
2. dx
(cot anx ) = - cosec2 x.
d
3. dx
(sec x ) = sec x . tan x.
d
4. dx
(cos ecx) = - cosec x . cotan x.
Contoh 3.2.1.
Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin x – 2 cos x.
Penyelesaian.
y = 3 sin x – 2 cos x, maka
dy d d
dx =3 dx
(sin x) -2 dx
(cos x )
= 3 cos x - 2 (- sin x) = 3 cos x + 2 sin x.
Contoh 3.2.2.
Tentukan turunan dari fungsi y = 3 sin 2x.
Penyelesaian.
dy
Untuk menentukan dx
terlebih dahulu kita uraikan fungsi sin 2x dengan
menggunakan kesamaan trigonometri yaitu sin 2x = 2 sin x . cos x. Dan dengan
menggunakan rumus turunan hasil kali, maka
dy d d
dx
= dx
(3 sin 2 x ) = dx
[3( 2 sin x. cos x )]
d
= dx
(6 sin x. cos x)
d d 
=6 
 dx
(sin x ). cos x +sin x
dx
(cos x ) 

dy
dx
= 6[cos x . cos x + sin x . (- sin x)]
= 6 cos2 x – sin2 x = 6 cos 2x.
Contoh 3.2.3
Tentukan turunan dari fungsi y = 4x2 . tan x.
41 Matematika 1

8. BAB III
TURUNAN
Penyelesaian.
y = 4x2 . tan x, maka
dy d d 
dx
= 
 dx
( 4 x 2 ). tan x +4 x 2
dx
(tan x ) 

= (8x) tan x + (4x2) sec2 x = 4x (2 tan x + x . sec2 x).
Contoh 3.2.4
3x 2
Tentukan turunan dari fungsi y = cos x
.
Penyelesaian.
d d
dy (3 x 2 ). cos x − 3 x 2 (cos x)
dx = dx dx
2
(cos x)
(6 x ) cos x + 3 x 2 . sin x 3 x ( 2. cos x + x. sin x )
= = cos 2 x
cos 2 x
3.3. Turunan Dengan Aturan Rantai.
Turunan dengan aturan rantai muncul dari fungsi yang merupakan komposit fungsi
lainnya. Rumus turunan aturan rantai dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 3.3.
Misalkan menentukan fungsi komposit y = f[g(x)] = (f o g)(x). Jika g punya turunan
di x dan f punya turunan di u, maka (f o g)(x) punya turunan di x
dy dy du
yaitu : (f o g) ’(x) = f ’[g(x)] . g ’(x), atau dx
= du
. dx
.
dy dy du dv
Jika y = f(u) dan u = g(v) dan v = h(x), maka dx = du . dv . dx disebut aturan
rantai bersusun dan dapat dilanjutkan untuk fungsi yang komposisinya lebih dari tiga.
Contoh 3.3.1
Tentukan turunan dari fungsi y = (3x + 5)4.
Penyelesaian.
42 Matematika 1

9. BAB III
TURUNAN
Misalkan u = 3x + 5 → y = u4
dy du
du
= 4u3 dan dx
= 3,
dy dy du
sehingga dx = du . dx
= (4u3) (3)
= 12u3 = 12 (3x + 5)3
Contoh 3.3.2
Tentukan turunan dari fungsi y = tan(4x + 1).
Penyelesaian.
Misalkan u = 4x + 1 → y = tan u
dy du
du
= sec2 u dan dx
= 4,
dy dy du
sehingga dx
= du
. dx
= sec2 u . (4) = 4 sec2(4x + 1)
Contoh 3.3.3
Tentukan turunan dari fungsi y = sin[cos(x2)]
Penyelesaian.
Misalkan v = x2, u = cos v → y = sin u
dy du dv
du
= cos u, dv
= - sin v dan dx
= 2x,
dy dy du dv
sehingga dx = du . dv . dx
= (cos u) (- sin v) (2x)
= - 2x sin (x2) cos[cos(x2)].
3.4. Turunan Fungsi Implisit.
Definisi 3.4 (fungsi implisit)
43 Matematika 1

10. BAB III
TURUNAN
Misalkan z = f(x, y) adalah fungsi dengan dua variabel, persamaan f(x, y) = 0
menyatakan y sebagai fungsi dari x, yangmana dalam hal ini y disebut fungsi implisit
dari x.
Secara umum fungsi implisit dapat dikatakan sebagai fungsi yang kedua variabel
(dalam hal ini x dan y) berada ada satu ruas dari sebuah persamaan. Sedangkan
turunan dari fungsi implisit dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 3.4
Misalkan persamaan f(x, y) = 0 menyatakan y sebagai fungsi implisit dari x, turunan
dy d
fungsi diperoleh dari [ f ( x, y ) ] , dengan menganggap y = y(x) kemudian
dx dx
nyatakan f dalam y dan x.
Contoh 3.4.1
dy
Tentukan dx
dari persamaan x2 + 5y3 = x + 9.
Penyelesaian.
dy
Untuk menentukan dx
, lakukan pendiferensialan untuk kedua ruas pada persamaan.
d
dx
(
x2 +5y3 ) =
d
dx
( x + 9)
→ dx
( )
d 2
x +5 dx
( )
d 3
y =
d
dx
( x) +
d
dx
( 9)
→ 2x + 5
d
dy
( )
y3 .
dy
dx =1+0
dy dy 1 − 2x
→ 2x + 15y2 dx = 1, maka dx = 15 y 2 .
Contoh.3.4.2.
dy
Tentukan dx jika diberikan persamaan x2 + 2xy + 3y2 = 4
Penyelesaian.
44 Matematika 1

11. BAB III
TURUNAN
d
dx
(
x 2 + 2 xy +3 y 2 ) = d
dx
( 4)
→
d 2
dx
x ( ) +2
d
dx
( xy ) +3 ( )
d 2
dx
y =0
d d  d
( ) dy
→ 2x + 2 dx ( x ). y + x dx ( y ) 
 
+3 dy
y2 .
dx =0
dy dy
→ 2x + 2 (y + x dx ) + 6y dx =0
dy dy
→ 2x + 2y + 2x dx
+ 6y dx
=0
dy
→ dx
(2x + 6y) = - 2x -2y
dy −2x −2 y
→ dx
= 2x +6 y .
Contoh 3.4.3
dy d2y
Jika x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0, tentukanlah dx
dan dx 2
di titik x = 3 dan y = 2.
Penyelesaian.
d
dx
(
x 2 + y 2 −2 x −6 y +5 ) = d
dx
( 0)
→
d 2
dx
x ( ) +
d 2
dx
y ( ) -2
d
dx
( x) -6
d
dx
( y) +
d
dx
( 5) =0
→ 2x +
d
dy
( )
y2 .
dy
dx -2–6
d
dy
( y ) . dy
dx =0
dy dy
→ 2x + 2y dx
-2–6 dx
= 0, maka
dy dy
→ 2y2 dx -6 dx = 2 – 2x
dy
→ dx (2y – 6) = 2 – 2x , maka
dy 2 − 2x 1− x
dx = 2y − 6 = y −3 untuk x = 3 dan y = 2, maka
dy 1− 3
dx
= 2−3
= 2.
Dengan rumus turunan hasil bagi maka diperoleh
45 Matematika 1

12. BAB III
TURUNAN
d d
d2y (1 − x ).( y −3) −(1 − x) ( y −3)
dx 2
= dx dx
( y −3) 2
dy
− ( y − 3) − (1 − x) dy
= dx , dan untuk x = 3 dan y = 2 dengan dx = 2, maka nilai
( y − 3) 2
d2y −(2 −3) −(1 −3)2
dx 2
= ( 2 −3) 2 = 5.
LATIHAN III.
1. Tentukan turunan dari fungsi y = 5x6 – 3x5 + 11x – 9.
2. Tentukan turunan dari fungsi g(x) = 4x5 + 2x4 – 3x3 + 7x2 – 2x + 3, pada x = 1.
3. Tentukan turunan dari fungsi y = 2.ex . ln x.
4. Tentukakn turunan dari fungsi y = (3x2 + 2x) (x4 – 3x + 1)
5. Tentukan turunan dari fungsi y = 5x2 . sin x.
46 Matematika 1

13. BAB III
TURUNAN
x 2 − 2x + 5
6. Tentukan turunan dari fungsi y = x 2 + 2x − 3
ln x
7. Tentukan turunan dari fungsi y = x3
d2y 2 1
8. Tentukan dx 2
dari fungsi f(x) = x6
+ x
9. Tentukan turunan dari fungsi y = 4 cos (3x + 1)
 x 2 −1  dy
10. Jika y = cos 
 2x + 5 



, tentukanlah dx
dy
11. Jika y = (3x2 + 5)4 (x3 – 11)2 , tentukanlah dx
dy
12. Jika y = ln (x2 + 4) , tentukanlah dx
dy
13. Tentukan dx
dari persamaan y3 + 7y – x3 = 0
dy
14. Tentukan dx
dari persamaan 6x - 2 xy
+ x2y3 – y2 = 0
dy d2y
15. Jika x2 – xy + y2 = 7, tentukanlah dx
dan dx 2
di titik x = 3 dan y = 2.
47 Matematika 1