1. Messa in evidenza totale Esempio di polinomio che può essere scomposto con la messa in evidenza totale: 5x 2 y 4 z 3 +10x 3 y 2

2. Utilizziamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione e mettiamo in evidenza il più grande fattore comune dei polinomi con cui stiamo lavorando , procedendo in questo modo: Portiamo fuori dalle parentesi il fattore comune ai due polinomi: 5x 2 y 4 z 3 +10x 3 y 2 (...) Dividiamo ogni termine dei polinomi per il fattore comune 5x 2 y 4 z 3 :5x 2 y 2 =y 2 z 3 10x 3 y 2 :5x 2 y 2 =2x Inseriamo le cifre ottenute nelle parentesi con i loro rispettivi segni: 5x2y2(y2z3+2x)

3. Messa in evidenza per parti Esempio di un polinomio che può essere scomposto con la messa in evidenza per parti ax+bx+ay+by

4. Nell’espressione ax+bx+ay+by compaiono 4 termini , che presentano un M.C.D. a due a due . ax e bx presentano la x in comune , ay e by , presentano la y in comune . Si procederà in questo modo: Ricaviamo l M.C.D. dei monomi , con i rispettivi segni ,che contengono lettere uguali , portandolo fuori dalle parentesi , nelle quali metteremo il risultato della divisione tra i due monomi e il loro M.C.D. Otterremo quindi: x(a+b)+y(a+b) Si procederà poi mettendo in evidenza l’M.C.D. dell’intera espressione ottenuta , ovvero il contenuto delle due parentesi , al quale si aggiungerà una nuova parentesi che conterrà tutti i fattori rimasti . Otterremo quindi: (a+b)(x+y)

5. Scomposizione attraverso i prodotti notevoli Esempi: a 2 -b 2 a 2 +b 2 +2ab a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc a 3 +b 3 +3a 2 b+3ab 2 a 3 -b 3

6. Il primo prodotto notevole è scomponibile in una somma per differenza. Tenendo conto del termine che cambia segno e del termine che non cambia segno apriremo due parentesi con dentro le basi dei quadrati dei termini: (a…b)(a…b) Il secondo prodotto notevole è scomponibile in un quadrato di binomio . Basta tenere conto della presenza del doppio prodotto del primo termine per il secondo(2ab) e ovviamente dei quadrati del binomio(a2+b2) . Otterremo quindi: (a+b)2 Nella prima parentesi il segno sarà positivo per entrambi i termini e nella seconda parentesi il segno sarà positivo per il termine che non cambia segno(a2) e negativo per il termine che cambia segno(-b2) (a+b)(a-b)

7. Il terzo prodotto notevole è scomponibile in un quadrato di un trinomio. Si può definire tale solo se nel risultato finale presenta il doppio prodotto del primo termine per il secondo(2ab) , il doppio prodotto del primo termine per il terzo(2ac) e del secondo termine per il terzo(2bc) e ovviamente il quadrato di ogni termine del trinomio ( a2+b2+c2) . Otterremo quindi : (a+b+c)2 Il quarto prodotto notevole si scompone in un cubo di binomio , ma per essere definito tale nel risultato finale deve presentare il triplo prodotto del quadrato del primo termine per il secondo(3a2b) , il triplo prodotto del primo termine per il quadrato del secondo( 3ab2) e il cubo di ogni termine del binomio(a3 e b3). Si otterrà quindi: (a+b)3

8. Esistono molti casi simili e che si risolvono nello stesso modo al quinto polinomio. In questo caso bisognerà procedere creando due parentesi e inserendo nella prima le basi di ogni termine della differenza di cubi , con i rispettivi segni: (a-b)(…) Nella seconda parentesi inseriremo invece il quadrato della prima base il quadrato della seconda base e il prodotto delle basi cambiato di segno: (a-b)(a2+b2+ab) Un caso simile al polinomio appena preso in considerazione è: a 4 -b 4 Si scomporrà in questo modo: Si creano due parentesi e nella prima mettiamo le basi dei termini del polinomio originale: (a-b)(…) Nella seconda parentesi metteremo polinomi omogeneo di grado (in questo caso)4-1 , ordinato secondo le potenze decrescenti di a , che sarà la prima lettera che comparirà moltiplicata per 1, e per le potenze crescenti di b , che sarà l’ultima lettera che comparirà nel polinomio moltiplicata per 1 . Avremo quindi: (a-b)(a 3 +a 2 b+ab 2 +b 3 ) Si adotterò lo stesso procedimento per tutti gli altri polinomi simili a questo , anche se presentano due segni positivi . In questo caso i segni della seconda parentesi si alterneranno tra + e – e il polinomio sarà scomponibile solo se gli esponenti sono dispari .

9. Scomposizione tramite i teorema di Ruffini Esempio di polinomio che può essere scomposto tramite il teorema di Ruffini. x2+x-2

10. Per scomporre il polinomio x2+x-2 bisognerà trovare tutti i fattori che dividono l’ultimo termine. Otterremo quindi: 2 è divisibile per ±1 e ±2 Tutte le lettere presenti nel polinomio saranno sostituite con un divisore ottenuto nel passaggio precedente , che dopo aver svolto le varie operazioni ,dia come risultato 0. In questo caso utilizzeremo il divisore 1: 1+1-2=0 Riporteremo poi i coefficienti del polinomio originario in una tabella , separando l’ultimo con una linea e mettendo a lato il divisore ottenuto , separandolo con una linea .

11. Una volta creata la tabella dobbiamo abbassare il primo numero della parte superiore(1) nella parte inferiore e bisogna poi moltiplicarlo per il divisore(1) e sistemare il risultato ottenuto sulla stessa riga sulla quale si trova il divisore e nella stessa colonna del secondo coefficiente . Bisogna poi sommare i numeri di questa colonna sistemando il risultato nella parte inferiore della colonna . Questo risultato verrà poi moltiplicato per il divisore(1) e il risultato verrà riportato nella stessa riga del divisore e nella colonna del terzo coefficiente . Si procede così finché non si arriva alla colonna del coefficiente separato dagli altri , che sommato al numero ottenuto darà 0 come risultato . Una volta ottenuta la tabella , aggiungiamo alle cifre ottenute nella parte finale della tabella le lettere presenti nel polinomio da scomporre con gli esponenti in ordine decrescente e la prima lettera deve avere un esponente diminuito di uno rispetto al grado maggiore della lettera presente nel polinomio originario . Moltiplicheremo poi il polinomio ottenuto per la lettera presente in tutti e due i polinomi di grado uno addizionata al divisore ottenuto(1) ma cambiato di segno (-1) . (x+2)(x-1)