madde Serie 12

1. Mathematik für Informatiker C
Serie 12
Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Gruppe B
23. Januar 2012

2. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.1
Gesucht ist der Gradient für f : R∗ × R × R+ → R mit
f (x, y, z) = sin(x) cos(y) − log(z)
Wir berechnen zunächst die partiellen Ableitungen für die 3 Komponenten x, y, z
∂f
(x, y, z) = cos(x) cos(y)
∂x
∂f
(x, y, z) = − sin(x) sin(y)
∂y
∂f 1
(x, y, z) = −
∂z z
Es gilt für x = (x1 , ..., xn ) ∈ D ⊂ Rn , f : D → R allgemein:
∂f ∂f
f (x) = ∂x1 (x) ... ∂xn (x)
Für die o.g. Funktion gilt also:
1
f (x, y, z) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y) − z
Damit ist die Richtung der maximalen Steigung von f im Punkt (π, π, 1)
f (π, π, 1) = cos(π) cos(π) − sin(π) sin(π) −1
= cos2 (π) − sin2 (π) 1
= 1 0 1
1

3. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.2
f : R2 → R, f (x, y) = y x2 + y 2
1
1.0
0
0.5
1
1.0 0.0
0.5
0.0 0.5
0.5
1.0
1.0
Abbildung 1: f (x, y) im Intervall [−1, 1] × [−1, 1]
Zunächst bestimmen wir die partielle von Ableitung der Funktion nach der x-
Komponente mit der Produktregel.
∂f
(x, y) = ∂x y x2 + y 2
∂x
= ∂x (y) x2 + y 2 + y ∂ x x2 + y 2
=0
√
Wir wenden die Kettenregel an. Setze g(x, y) := x2 + y 2 , f (u) = u.
df 1 1 ∂g
f (u) = (u) = √ = f (g(x, y)) = (x, y) = 2x
du 2 u 2 x2 + y2 ∂x
∂f xy
(x, y) =
∂x x2 + y 2
∂g x
f (g(x, y)) (x, y) =
∂x x2 + y 2
Um die partielle Ableitung nach der y-Komponente zu bestimmen formen wir
zunächst die Funktion um.
f (x, y) = y x2 + y 2 =
y 2 x2 + y 2 = y 2 x2 + y 4
√
Setze g(x, y) := y 2 x2 + y 4 und f (u) := u. Dann lautet die partielle Ableitung
der Funktion nach der y-Komponente:
∂g
(x, y) = 2yx2 + 4y 3 = 2y(x2 + 2y 2 )
∂y
df 1 1 1
f (u) = (u) = √ = f (g(x, y)) = =
du 2 u 2 y 2 x2 + y 4 2y x2 + y 2
2 2 2 2
∂g 2y(x + 2y ) x + 2y
f (g(x, y)) (x, y) = =
∂y 2y x 2 + y2 x2 + y 2
Die Funktion ist also partiell differenzierbar für (x, y) = (0, 0).
2

4. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.3
2.0 10
1.5
1.0 1.0
1.0 5
0.5 0.5 0.5
0.0 0
1.0 0.0 1.0 0.0
0.5 0.5
0.0 0.5 0.0 0.5
0.5 0.5
1.0 1.0
1.0 1.0
1
Abbildung 2: f (x, y) = x2 + y 2 und g(x, y) = x2 +y 2 im Intervall [−1, 1] × [−1, 1]
• f (x, y) = x2 + y 2 . In Polarkoordinatenform:
F (r, θ) = (r cos θ)2 + (r sin θ)2
= r2 (cos2 θ + sin2 θ)
=1
2
=r
Diese Funktion ist also stetig partiell differenzierbar auf R2 , mit:
∂r F (r, θ) = 2r
∂θ F (r, θ) = 0
Die Steigung ist also unabhängig vom Winkel und linear zur Entfernung
zum Ursprung da F das Quadrat des Abstandes zum Urspung liefert.
1
• g(x, y) = x2 +y 2 . In Polarkoordinatenform:
1
G(r, θ) =
(r cos θ)2
+ (r sin θ)2
1
= 2
r (cos θ + sin2 θ)
2
=1
−2
=r
Die Funktion G ist also für r = 0 nicht definiert. g ist für R2
{(0,0)} definiert.
Auf R∗ × R ist G partiell differenzierbar mit:
∂r G(r, θ) = −r−3
∂θ G(r, θ) = 0
Die Steigung ist also wieder unabhängig vom Winkel.
3

5. Fynn Holst, Henrik Dubaschny & Christian Schielke
Mathematik für Informatiker C 23. Januar 2012
Aufgabe 12.4
Gesucht ist die Jacobi-Matrix Jf für
 
r cos θ sin ϕ
f : R3 → R3 , (r, θ, ϕ) →  r sin θ sin ϕ 
r cos ϕ
Dazu berechnen wir die Gradienten der Komponenten f1 (x), f2 (x), f3 (x) von f
und tragen diese als Zeilen ein. Wir erhalten:
 
cos θ sin ϕ −r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ
Jf =  sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ 
cos ϕ 0 −r sin ϕ
Um zu prüfen wann diese Matrix regulär ist berechnen wir det(Jf ). Es gilt Jf
regulär gdw. det(Jf ) = 0. Um die Determinante zu berechnen wenden wir den
Laplace’schen Enwicklungssatz nach der 3. Zeile an.
−r sin θ sin ϕ r cos θ cos ϕ cos θ sin ϕ −r sin θ sin ϕ
det (Jf ) = cos ϕ · − r sin ϕ ·
r cos θ sin ϕ r sin θ cos ϕ sin θ sin ϕ r cos θ sin ϕ
= cos ϕ · ((−r sin θ sin ϕ)(r sin θ cos ϕ) − (r cos θ cos ϕ)(r cos θ sin ϕ))
− r sin ϕ · ((cos θ sin ϕ)(r cos θ sin ϕ) − (−r sin θ sin ϕ)(sin θ sin ϕ))
= cos ϕ · (−r2 sin2 θ sin ϕ cos ϕ − r2 cos2 θ cos ϕ sin ϕ)
− r sin ϕ · (r cos2 θ sin2 ϕ + r sin2 θ sin2 ϕ)
= cos ϕ · (− (sin2 θ + cos2 θ) r2 sin ϕ cos ϕ) − r sin ϕ · ((cos2 θ + sin2 θ) r sin2 ϕ)
=1 =1
= cos ϕ · (−r2 sin ϕ cos ϕ) − r sin ϕ · (r sin2 ϕ)
= − r2 cos2 ϕ sin ϕ − r2 sin3 ϕ
= − (cos2 ϕ + sin2 ϕ) r2 sin ϕ
=1
= − r2 sin ϕ
⇒det(Jf ) = 0 ⇔ r = 0 ∨ sin ϕ = 0
Es gilt sin ϕ = 0 gdw. ϕ = zπ, z ∈ Z. Deshalb sind die Punkte, an denen Jf
regulär ist:
(r, θ, ϕ) r ∈ R{0} , θ ∈ R, ϕ ∈ R{zπ|z∈Z}
4