Equations différentielles, DUT MP, CM1

Les équations diﬀérentielles
Applications et mises en équations
Christophe Palermo
IUT de Montpellier
Département Mesures Physiques
&
Institut d’Electronique du Sud
Université Montpellier 2
Web : http://palermo.wordpress.com
e-mail : cpalermo@um2.fr
Cours du 16 novembre 2010
MONTPELLIER

Plan
1 Avant de commencer
2 Introduction
3 Économie
4 Physique nucléaire
5 Mécanique
Chûte libre
L’oscillateur harmonique
6 Electricité
7 Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Le pendule pesant
Dynamique des populations
8 Conclusion
IUT de Montpellier (Mesures Physiques) Les équations diﬀérentielles Nov. 2010 2 / 40

Avant de commencer
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Avant de commencer
Fonctions et nombres #1
Soit une fonction f , fonction de la variable x
En toute rigueur :
f est le nom de la fonction
f (x) est la valeur de f en x
Abus de langage :
f est appelée f (x) pour monter qu’elle dépend de x
Expression f (x) = 3 · x + 2 : remplacer le x pour obtenir la valeur f (x)
On parlera de variation de f , de dérivée de f et de Df
Exemple plus physique v(t) = 4,9 × t
v est la fonction vitesse
mais la vitesse est une grandeur physique
v(t) est la valeur de la vitesse v à l’instant t

Avant de commencer
Fonctions et nombres #2
En info : fonction addition
float addition (float a, float b)
{
float r ;
r=a+b ;
return (r) ;
}
définie comme un nombre !
Conclusion
On peut appeler la fonction f (x) au lieu de f mais il faut être conscient de
la subtilité qui différencie ces deux notations !

Avant de commencer
Dérivation
La dérivée de f
notée f est une fonction
f (x) est un nombre quand x a une valeur donnée
calcul du nombre f (x) : définition
f (x) = lim
dx→0
f (x + dx) − f (x)
dx
= lim
dx→0
df
dx
“Le nombre dérivé en x a pour valeur la différence de f entre x et
x + dx divisée par la différence de x lorsque cette dernière est très
petite”
Comment déterminer f ? Voie possible :
Pour une fonction totalement inconnue
Calcul des df /dx ∀x
Rapprochement d’une fonction

Avant de commencer
Exemples
Représentons :
y =
f (x + dx) − f (x)
dx
en fonction de x pour diﬀérents dx
y = f (x), fonction connue
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
cos(x)
dx=10
dx=1
dx=0,1
dx=0,01
f (x) = sin(x)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 0.5 1 1.5 2
1/x
dx=10
dx=1
dx=0,1
dx=0,01
f (x) = ln(x)

Avant de commencer
Exemples
0
2
4
6
8
10
12
14
0 0.5 1 1.5 2
exp(x)
dx=1
dx=0,5
dx=0,1
dx=0,01
f (x) = exp(x)
0
1
2
3
4
5
0 0.5 1 1.5 2
2x
dx=1
dx=0,5
dx=0,1
dx=0,01
f (x) = x2
Plus dx diminue
et plus le taux de variation df
dx → nombre dérivé f (x), ∀x

Avant de commencer
Dérivées usuelles
Départ : calcul systématique
∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ sin(x+dx)−sin(x)
dx → cos(x)
∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ln(x+dx)−ln(x)
dx → 1
x
∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ ex+dx
−ex
dx → ex
∀x ∈ R, dx → 0 =⇒ (x+dx)2
−x2
dx → 2 · x
Arrivée : opération pour passer d’une fonction à sa dérivée
sin (x) = cos(x)
ln (x) = 1/x
exp (x) = exp(x)
x2
= 2 · x
Tableau des dérivées usuelles

Avant de commencer
Quelques remarques
Il ne faut retenir que les opérations, mais se souvenir qu’elles découlent
d’un calcul de taux de variation
Approche numérique mais aussi (et surtout) approches analytiques
Par la suite :
df
dx
⇒ dx le plus petit possible !
inﬁnitésimal
élémentaire
df
dx
⇐⇒
d
dx
f ⇐⇒ f ⇐⇒ dérivée de f par rapport à x
Si f est fonction du temps t :
On aura
df
dt
dérivée de f par rapport au temps
rapport de variation df pendant dt
Notations :
df
dt
= f (t) = ˙f (t)

Introduction
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Introduction
Présentes dans de nombreux domaines
Mathématiques
Economie, biologie, physique, etc.
Plusieurs types :
Premier et second ordre
de diﬀérents degrés
d’une ou plusieurs variables (espace, temps)
avec ou sans second membre/membre perturbateur
Mise en équation
les lois du domaine
exemples : PFD, lois des noeuds et des mailles, lois de probabilités, etc.
Résolution de ces équations : outil important

Introduction
La mise en équation
Simple à condition de trouver la loi adéquate
On s’intéresse :
aux variations de la variable recherchée
au pas temporel qui régit ces variations
La solution
fonction dépendant du temps
évolution temporelle d’une variable
unité de temps = unité du pas temporel
Exemple en économie : calculer ses intérêts

Économie
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Économie
Exemple en économie : calcul d’intérêts
Question :
“Si je place 3000 euros au taux annuel de 3,6 % et que je ne touche
plus au livret, combien aurai-je au bout d’un an ?”
Problème pas si simple !
Réponse évidente, mais fausse :
3,6 % de 3000 euros ça fait 108 euros d’intérêts
J’aurai donc 3108 euros
Pourquoi la réponse est-elle fausse ?
Parce que j’aurai en fait 3110 euros
Parce qu’il faut résoudre une équation diﬀérentielle
Parce que les intérêts sont calculés tous les 15 jours

Économie
Calcul d’intérêts
La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle :
au taux k
au temps qui s’écoule dt
à l’encours p

Économie
Calcul d’intérêts
La variation dp sur une période du pécule est proportionnelle :
au taux k
au temps qui s’écoule dt
à l’encours p
Equation : dp =
k
100
· p · dt
Attention :
il faut choisir dt correctement (suﬃsamment petit)
banques : dt = 1 quinzaine et donc k =
3,6
24
% (24 quinzaines par an)

Économie
Exemple d’économie : l’équation diﬀérentielle
dp
dt
−
k
100
· p = 0

Économie
dp
dt
−
k
100
· p = 0
Deux approches de la même chose :
Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petit
Dérivée de p par rapport à t

Économie
dp
dt
−
k
100
· p = 0
Présence de p et de dp/dt : premier ordre

Économie
dp
dt
−
k
100
· p = 0
“= 0”
Pas de second membre
Pas de perturbation (membre perturbateur)

Économie
dp
dt
−
k
100
· p = 0
Deux approches de la même chose :
Rapport ∆p/∆t quand ∆t devient très petit
Dérivée de p par rapport à t
Présence de p et de dp/dt : premier ordre
“= 0”
Pas de second membre
Pas de perturbation (membre perturbateur)
Equation diﬀérentielle
du premier ordre
sans second membre (⇔ membre perturbateur) : homogène
unité de temps de la solution : la quinzaine

Économie
Solution du problème
Nous verrons plus tard que p(t) = p0 · e
k
100
t
Condition initiale : à l’instant zéro j’ai 3000 euros
Donc p(0) = p0 = 3000
Au bout d’un an :
p(24 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×24
= 3110 euros
Et au bout de 10 ans ?
p(240 quinz.) = 3000 · e1,5·10−3×240
= 4300 euros
soit +43 %
Calcul faux : 10 × 3,6 = 36 %

Physique nucléaire
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Physique nucléaire
Physique nucléaire : décroissance radioactive
Processus de Poisson
Probabilité d’occurrence indépendante du passé
Particule plus agée =⇒ même chance de se désintégrer
Variation du nombre de particules pendant l’instant dt
négative
proportionnelle au nombre en cours
dN(t) = −λ · N(t) · dt
équation diﬀérentielle :
dN
dt
+ λ · N = 0
S. D. Poisson
1781-1860
λ :
constante de décroissance ;
homogène à l’inverse d’un temps ;
reliée à τ (demi-vie) ⇒ calcul plus loin

Mécanique
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Mécanique Chûte libre
Mécanique : chûte d’un corps
Chute d’un corps sans forces de frottement :
Satellite (naturel ou artiﬁciel)
La loi à appliquer : le PFD (2nde loi de Newton)
Forces appliquées au mobile :
Poids mg de haut en bas
et rien d’autre
F(= mg) = ma
Projection sur les ordonnées :
ma = −mg
h
h0
0

Equation du premier ordre
Remarques :
la masse n’intervient pas !
il ne se passe rien en abscisse
Accélération :
variation de vitesse dv pendant l’instant dt
dérivée de v par rapport à t
Equation diﬀérentielle de la vitesse :
dv
dt
= −g
1er ordre, 1er degré et avec membre perturbateur
un terme en dv/dt
mais pas de membre en v(t)
équation incomplète

Equation du second ordre
Vitesse :
variation de position dh pendant l’instant dt
dérivée de h par rapport à t
Accélération :
d dh
dt
dt
=
d
dt
dh
dt
=
d2h
dt2
= ¨h
Equation diﬀérentielle de la position :
d2h
dt2
= −g
2ème ordre, 1er degré et avec membre perturbateur
un terme en d2
h/dt2
mais pas de membre en h(t) ni en dh/dt
équation incomplète

Chute amortie
On rajoute des frottements
Frottements visqueux :
intensité proportionnelle à la vitesse, coef. f
opposés au déplacement : −f dh
dt
Nouvelle équation :
¨h +
f
m
˙h = −g
Remarques :
inﬂuence de la masse
pas de terme en h : équation incomplète
Comment faire une équation complète ?

Mécanique L’oscillateur harmonique
Mécanique : pendule élastique
x
m k
0
On considère
un mobile de masse m
un ressort de raideur k
des frottements visqueux
Forces en jeu :
le poids P
la réaction du sol −P
la force de rappel du ressort R = −kx
les frottements F = −f
dx
dt
et rien d’autre

Mécanique : pendule élastique
x
m k
0
PFD, projection sur x (il ne se passe rien en y)
ma = md2
x
dt2 = −kx − f dx
dt
Equation du mouvement : ¨x +
f
m
˙x +
k
m
x = 0
2ème ordre, 1er degré, sans second membre (perturbateur)
présence de x, ˙x et ¨x : equation complète
Oscillateur harmonique
La solution est une fonction sinus
Fréquence propre, amortissement.
Masse-ressort, pendule pesant, circuit électrique, etc.

Introduction d’une perturbation
Système vertical
Projection sur x
Mise en équation :
On rajoute le poids P = −mg
F = m¨x = −kx − f ˙x − mg
Equation :
¨x +
f
m
˙x +
k
m
x = −g
Equation diﬀérentielle :
2ème ordre et 1er degré
terme perturbateur constant
complète
conséquence : point d’équilibre x0 < 0 (calculable)
x
m
k
0
x0

Oscillations forcées
Ajoutons une force sinusoïdale : S(t) = A cos(ωt + ϕ)
L’équation devient :
¨x +
f
m
˙x +
k
m
x =
A
m
cos(ωt + ϕ) [ +g ]
Equation diﬀérentielle du second ordre, premier degré,
avec membre perturbateur
Membre perturbateur : fonction périodique
Grandeurs (calculables) :
Fréquence propre, amortissement,
Régimes transitoire et permanent
x
m
k
0
x0

Electricité
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Electricité
Analogie électrique : circuit RLC
u
uL
i
E
uR
Lois du domaine :
loi des mailles E = uR + uL + u
loi des nœuds : conservation du courant
Mise en équation
Solution : tension aux bornes de C
Capacité : Q = C · u ⇒ i = C ˙u
inductance : uL = L di
dt = LC¨u
Résistance : uR = Ri = RC ˙u
Equation E = RC ˙u + LC¨u + u

Electricité
Oscillateur harmonique électrique
Oscillateur harmonique :
¨u +
R
L
˙u +
1
LC
u =
E
LC
à rapprocher de
¨x +
f
m
˙x +
k
m
x = −g
Terme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibre
Terme perturbateur périodique : bande passante

Electricité
Oscillateur harmonique électrique
Oscillateur harmonique :
¨u +
R
L
˙u +
1
LC
u =
E
LC
à rapprocher de
¨x +
f
m
˙x +
k
m
x = −g
Terme perturbateur constant =⇒ déplacement du point d’équilibre
Terme perturbateur périodique : bande passante
R joue le rôle d’amortisseur (pertes Joule)

Problèmes (presque) insolubles analytiquement
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Problèmes (presque) insolubles analytiquement Le pendule pesant
Le pendule pesant
Equation en θ
Mise en équation :
¨θ + k ˙θ +
g
l
sin θ = 0
Equation diﬀérentielle :
Non linéaire !
Résolution analytique compliquée
Solutions possibles :
Si θ petit alors sin θ θ : oscillateur
harmonique
¨θ + k ˙θ +
g
l
θ = 0
Résolution numérique

Problèmes (presque) insolubles analytiquement Dynamique des populations
Approche simplifiée
Etude d’une population n
Taux d’accroissement dn
Proportionnel à dt et à n lui-même
Equation simple :
dn = K · n · dt
et donc
dn
dt
− K · n = 0
Remarques :
Approche très simplifiée
Ne prend pas en compte les interactions
Influence des prédateurs, catastrophes, vivres ?

L’approche de Lotka et Volterra (proies-prédateurs)
Une population ne dépend pas que d’elle-même
Evolution conjointe de deux populations
des prédateurs (renards) p
des proies (lapins) n
Taux de variation ? On suppose que :
les proies se nourrissent sans problème : croissance α
les prédateurs meurent naturellement ( !) : décroissance −δ
les prédateurs ne se nourrissent que des proies : croissance des
prédateurs γn
seuls les prédateurs mangent ces proies : disparition des proies −βp
Approche simpliﬁée

Les équations proies-prédateurs
Deux équations à résoudre simultanément :
dn
dt
= (α − βp) · n
pour les proies
dp
dt
= (γn − δ) · p
pour les prédateurs
Résolution uniquement numérique (pas à pas)
ni+1 = ni + ∆t · [(α − βpi ) · ni ] pi+1 = pi + ∆t · [(γni − δ) · pi ]
Pas de solution analytique !
On ne peut pas écrire n et p sous la forme de fonctions du temps
Sauf avec de grandes simpliﬁcations

Une idée de la solution
Proies
Prédateurs
Population
Temps
1 Plus de proies =⇒ plus de prédateurs
2 Plus de prédateurs =⇒ moins de proies
3 Moins de proies =⇒ moins de prédateurs
4 Moins de prédateurs =⇒ plus de proies

Conclusion
Plan
2 Introduction
3 Économie
5 Mécanique
Chûte libre
6 Electricité
Le pendule pesant
8 Conclusion

Conclusion
Omniprésentes
Plusieurs sortes :
1er et 2nd ordre
Linéaires et non-linéaires (degré > 1 par exemple)
Avec et sans membre perturbateur
Complètes et incomplètes
Pour chaque sorte :
une méthode diﬀérente de résolution
Cette année : 1er et 2ème ordre, linéaires
Bac+3 : approche numérique
Prochain cours :
déﬁnition rigoureuse des notions
1er ordre
importance des conditions initiales

Equations différentielles, DUT MP, CM1

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